സംഖ്യാ വിഭാഗങ്ങൾ, ഇടവേളകൾ, അർദ്ധ ഇടവേളകൾ, കിരണങ്ങൾ എന്നിവയെ സംഖ്യാ ഇടവേളകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംഖ്യാ ഇടവേളകളുടെ പ്രവർത്തനം. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ്

ബി) നമ്പർ ലൈൻ

നമ്പർ ലൈൻ പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 6):

യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം പരിഗണിക്കുക

ഓരോ യുക്തിസഹ സംഖ്യയും സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദു കൊണ്ട് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അക്കങ്ങൾ ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

അത് തെളിയിക്കട്ടെ.

തെളിവ്.ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഉണ്ടാകട്ടെ: . ഈ അംശം ഒഴിവാക്കാനാവാത്തതായി കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്. മുതൽ , അപ്പോൾ - സംഖ്യ ഇരട്ടയാണ്: - ഒറ്റത്തവണ. അതിന്റെ പദപ്രയോഗത്തിന് പകരമായി, നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നത്: , അത് ഇരട്ട സംഖ്യയാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പ്രസ്താവന തെളിയിക്കുന്ന ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു.

അതിനാൽ, സംഖ്യാ അക്ഷത്തിലെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നില്ല. യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കാത്ത പോയിന്റുകൾ വിളിക്കപ്പെടുന്ന സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു യുക്തിരഹിതമായ.

ഫോമിലെ ഏത് സംഖ്യയും , ഒന്നുകിൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയോ അവിഭാജ്യ സംഖ്യയോ ആണ്.

സംഖ്യാ ഇടവേളകൾ

സംഖ്യാ വിഭാഗങ്ങൾ, ഇടവേളകൾ, അർദ്ധ ഇടവേളകൾ, കിരണങ്ങൾ എന്നിവയെ സംഖ്യാ ഇടവേളകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ സംഖ്യകളെ നമുക്ക് പ്രതിനിധീകരിക്കാം എഒപ്പം ബി, അതുപോലെ നമ്പർ xഅവര്ക്കിടയില്.

വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും കൂട്ടം a ≤ x ≤ b, വിളിച്ചു സംഖ്യാ വിഭാഗംഅഥവാ ഒരു ഭാഗം മാത്രം. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു: [ എ; ബി] - ഇത് ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: a മുതൽ b വരെയുള്ള ഒരു ഭാഗം.

വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം എ< x < b , വിളിച്ചു ഇടവേള. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു: ( എ; ബി)

ഇത് ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: a മുതൽ b വരെയുള്ള ഇടവേള.

വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗണങ്ങൾ a ≤ x< b или എ<x ≤ ബി, വിളിക്കുന്നു പകുതി ഇടവേളകൾ. പദവികൾ:

ഒരു ≤ x സജ്ജമാക്കുക< b обозначается так:[എ; ബി), ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: മുതൽ പകുതി ഇടവേള എമുമ്പ് ബി, ഉൾപ്പെടെ എ.

ഒരു കൂട്ടം എ<x ≤ ബിഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:( എ; ബി], ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: മുതൽ പകുതി ഇടവേള എമുമ്പ് ബി, ഉൾപ്പെടെ ബി.

ഇനി നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം കിരണംഒരു ഡോട്ട് കൊണ്ട് എ, വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുണ്ട്.

എ, വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നു x ≥ എ, വിളിച്ചു സംഖ്യാ ബീം.

ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു: [ എ; +∞)-ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: നിന്നുള്ള ഒരു സംഖ്യാ കിരണം എപ്ലസ് അനന്തതയിലേക്ക്.

ഒരു പോയിന്റിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം എ, അസമത്വത്തിന് അനുസൃതമായി x>a, വിളിച്ചു തുറന്ന നമ്പർ ബീം.

ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു: ( എ; +∞)-ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: നിന്ന് ഒരു തുറന്ന സംഖ്യാ കിരണം എപ്ലസ് അനന്തതയിലേക്ക്.

എ, വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നു x ≤ എ, വിളിച്ചു മൈനസ് അനന്തതയിൽ നിന്ന് സംഖ്യാ കിരണംഎ .

ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:( - ∞; എ]-ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റിയിൽ നിന്ന് ഒരു സംഖ്യാ കിരണം എ.

പോയിന്റിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം എ, അസമത്വത്തിന് അനുസൃതമായി x< a , വിളിച്ചു മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റിയിൽ നിന്ന് ഓപ്പൺ നമ്പർ റേഎ .

ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു: ( - ∞; എ)-ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റിയിൽ നിന്ന് ഒരു ഓപ്പൺ നമ്പർ റേ എ.

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ മുഴുവൻ കോർഡിനേറ്റ് രേഖയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. അവൻ വിളിക്കപ്പെടുന്നു നമ്പർ ലൈൻ. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു: ( - ∞; + ∞ )

3) ഒരു വേരിയബിളുമായുള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും, അവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾ:

ഒരു വേരിയബിൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സമവാക്യത്തെ ഒരു വേരിയബിളുള്ള സമവാക്യം അല്ലെങ്കിൽ അജ്ഞാതമായ ഒരു സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വേരിയബിളുള്ള ഒരു സമവാക്യം 3(2x+7)=4x-1 ആണ്.

ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് അല്ലെങ്കിൽ പരിഹാരം എന്നത് ഒരു വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യമാണ്, അതിൽ സമവാക്യം ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വമായി മാറുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 2x+5=8x-1 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരമാണ് നമ്പർ 1. x2+1=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമില്ല, കാരണം സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശം എപ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്. (x+3)(x-4) =0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: x1= -3, x2=4.

ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നാൽ അതിന്റെ എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക.

ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ വേരുകളും രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളും തിരിച്ചും ആണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ വേരുകളും ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളാണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾക്കും വേരുകളില്ലെങ്കിൽ സമവാക്യങ്ങളെ തുല്യമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, x-8=2, x+10=20 എന്നീ സമവാക്യങ്ങൾ തുല്യമാണ്, കാരണം x=10 എന്ന ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് കൂടിയാണ്, രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾക്കും ഒരേ റൂട്ട് ഉണ്ട്.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

നിങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യത്തിലെ ഒരു പദത്തെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റുകയും അതിന്റെ ചിഹ്നം മാറ്റുകയും ചെയ്താൽ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും.

ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്താൽ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും.

ax=b എന്ന സമവാക്യത്തെ, x ഒരു വേരിയബിളും a, b എന്നിവ ചില സംഖ്യകളുമാണ്, ഒരു വേരിയബിളുള്ള ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

a¹0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

a=0, b=0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം x ന്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യം കൊണ്ട് തൃപ്തിപ്പെടുത്തും.

a=0, b¹0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, കാരണം വേരിയബിളിന്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിന് 0x=b എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്യുന്നില്ല.
ഉദാഹരണം 1. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശത്തുമുള്ള ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം, x ഉള്ള എല്ലാ പദങ്ങളും സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കുക, കൂടാതെ x അടങ്ങാത്ത പദങ്ങൾ വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

16x-15x=88-40-12

ഉദാഹരണം 2. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

x3-2x2-98x+18=0;

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ രേഖീയമല്ല, എന്നാൽ അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഘടകങ്ങളിലൊന്ന് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് x1=0 ലഭിക്കും; x2= .

ഉത്തരം: 0; .

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശം ഫാക്ടർ ചെയ്യുക:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), അതായത്. (x-2)(x-3)(x+3)=0. ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ x1=2, x2=3, x3=-3 എന്നീ സംഖ്യകളാണെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു.

c) 7x എന്നത് 3x+4x ആയി സങ്കൽപ്പിക്കുക, അപ്പോൾ നമുക്കുള്ളത്: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, അതിനാൽ x1=-3, x2=- 4.

ഉത്തരം: -3; - 4.
ഉദാഹരണം 3. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: ½x+1ç+½x-1ç=3.

ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർവചനം നമുക്ക് ഓർക്കാം:

ഉദാഹരണത്തിന്: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

ഈ സമവാക്യത്തിൽ, മോഡുലസ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ x-1, x+1 എന്നീ സംഖ്യകളുണ്ട്. x -1-ൽ കുറവാണെങ്കിൽ, x+1 എന്ന സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് ആണ്, തുടർന്ന് ½x+1½=-x-1. x>-1 ആണെങ്കിൽ, ½x+1½=x+1. x=-1 ½x+1½=0-ൽ.

അങ്ങനെ,

അതുപോലെ

a) x £-1 ന് ഈ സമവാക്യം½x+1½+½x-1½=3 പരിഗണിക്കുക, ഇത് -x-1-x+1=3, -2x=3, x= എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഈ സംഖ്യ സെറ്റിന്റേതാണ് x £-1.

b) അനുവദിക്കുക -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) കേസ് x>1 പരിഗണിക്കുക.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . ഈ സംഖ്യ x>1 എന്ന സെറ്റിന്റെതാണ്.

ഉത്തരം: x1=-1.5; x2=1.5.
ഉദാഹരണം 4. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: ½x+2½+3½x½=2½x-1½.

സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിന്റെ ഒരു ചെറിയ റെക്കോർഡ് നമുക്ക് കാണിക്കാം, "ഓവർ ഇടവേളകളിൽ" മോഡുലസിന്റെ അടയാളം വെളിപ്പെടുത്തുന്നു.

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

ഉത്തരം: [-2; 0]
ഉദാഹരണം 5. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), a പരാമീറ്ററിന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും.

ഈ സമവാക്യത്തിൽ യഥാർത്ഥത്തിൽ രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ x എന്നത് അജ്ഞാതവും a എന്നത് പരാമീറ്ററും ആയി കണക്കാക്കുക. a പരാമീറ്ററിന്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും വേരിയബിളിന്റെ x എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

a=1 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് 0×x=0 എന്ന രൂപമുണ്ട്; ഏത് സംഖ്യയും ഈ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

a=-1 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം 0×x=-2 പോലെ കാണപ്പെടുന്നു; ഒരു സംഖ്യ പോലും ഈ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

a¹1, a¹-1 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

ഉത്തരം: a=1 ആണെങ്കിൽ, x എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്;

a=-1 ആണെങ്കിൽ, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല;

a¹±1 ആണെങ്കിൽ, .

ബി) ഒരു വേരിയബിളുള്ള ലീനിയർ അസമത്വങ്ങൾ.

x എന്ന വേരിയബിളിന് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യാ മൂല്യം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ശരിയോ തെറ്റോ ആയ പ്രസ്താവനകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യാ അസമത്വം നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, അസമത്വം 5x-1>3x+2 നൽകാം. x=2 ന് നമുക്ക് 5·2-1>3·2+2 ലഭിക്കും - ഒരു യഥാർത്ഥ പ്രസ്താവന (യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ പ്രസ്താവന); x=0 ന് നമുക്ക് 5·0-1>3·0+2 ലഭിക്കും - ഒരു തെറ്റായ പ്രസ്താവന. ഒരു വേരിയബിളിനൊപ്പം നൽകിയിരിക്കുന്ന അസമത്വം ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ അസമത്വമായി മാറുന്ന വേരിയബിളിന്റെ ഏത് മൂല്യത്തെയും അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം അതിന്റെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും സെറ്റ് കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

ഒരേ വേരിയബിൾ x ഉള്ള രണ്ട് അസമത്വങ്ങൾ ഈ അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടം ഒത്തുവന്നാൽ തുല്യമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന ആശയം ഇപ്രകാരമാണ്: തന്നിരിക്കുന്ന അസമത്വത്തെ ഞങ്ങൾ മറ്റൊന്നുമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ലളിതവും എന്നാൽ തന്നിരിക്കുന്നതിന് തുല്യവുമാണ്; തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അസമത്വത്തെ അതിന് തുല്യമായ ലളിതമായ അസമത്വം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് അത്തരം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ നടത്തുന്നത്.

സിദ്ധാന്തം 1. അസമത്വത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് ഒരു വേരിയബിളുള്ള അസമത്വത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും പദം വിപരീത ചിഹ്നത്തോടെ മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, അസമത്വത്തിന്റെ ചിഹ്നം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുകയാണെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ അസമത്വം ലഭിക്കും.

സിദ്ധാന്തം 2. ഒരു വേരിയബിളുള്ള അസമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്താൽ, അസമത്വത്തിന്റെ അടയാളം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുകയാണെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു അസമത്വം ലഭിക്കും.

സിദ്ധാന്തം 3. ഒരു വേരിയബിളുള്ള അസമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്താൽ, അസമത്വത്തിന്റെ അടയാളം വിപരീതമായി മാറ്റുമ്പോൾ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു അസമത്വം ലഭിക്കും.

ax+b>0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ അസമത്വത്തെ ലീനിയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (യഥാക്രമം, ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

ഉദാഹരണം 1. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് 2x-6+5-5x³6x-15 ലഭിക്കും,

"ഗ്രേഡ് 7 ആൾജിബ്ര പട്ടികകൾ" - ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം. ഭാവങ്ങൾ. ഉള്ളടക്കം. ബീജഗണിത വർക്ക് ഷീറ്റുകൾ.

“ന്യൂമറിക്കൽ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ” - സെറ്റ് എക്‌സിനെ അസൈൻമെന്റ് ഡൊമെയ്‌ൻ അല്ലെങ്കിൽ f ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് D (f) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ്. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ വരികളും ചില പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫ് അല്ല. ഉദാഹരണം 1. ഒരു പാരാട്രൂപ്പർ ഒരു ഹെലികോപ്റ്ററിൽ നിന്ന് ചാടുന്നു. ഒരു നമ്പർ മാത്രം. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ കഷണം സ്പെസിഫിക്കേഷൻ. പ്രകൃതി പ്രതിഭാസങ്ങൾ പരസ്പരം അടുത്ത് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

"സംഖ്യാ ക്രമങ്ങൾ" - പാഠം-സമ്മേളനം. "നമ്പർ സീക്വൻസുകൾ". ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. നിയമന രീതികൾ. ഗണിത പുരോഗതി. സംഖ്യാ ക്രമങ്ങൾ.

“ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ പരിധി” - പരിഹാരം: ക്രമങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ. പരിമിത സംഖ്യ ക്രമം. уn എന്ന അളവിനെ അനുക്രമത്തിന്റെ പൊതുവായ പദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംഖ്യാ ക്രമത്തിന്റെ പരിധി. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ തുടർച്ച. ഉദാഹരണം: 1, 4, 9, 16, ..., n2, ... - താഴെ നിന്ന് 1 കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഒരു വിശകലന ഫോർമുല വ്യക്തമാക്കുന്നതിലൂടെ. പരിധികളുടെ സവിശേഷതകൾ.

“നമ്പർ സീക്വൻസ്” - നമ്പർ സീക്വൻസ് (നമ്പർ സീരീസ്): ഒരു നിശ്ചിത ക്രമത്തിൽ എഴുതിയ സംഖ്യകൾ. 2. ക്രമങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ. 1. നിർവ്വചനം. സീക്വൻസ് പദവി. സീക്വൻസുകൾ. 1. ഒരു സീക്വൻസിലെ nth അംഗത്തിനായുള്ള ഫോർമുല: - സീക്വൻസിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. 3. നമ്പർ സീക്വൻസ് ഗ്രാഫ്.

"ടേബിളുകൾ" - എണ്ണ, വാതക ഉത്പാദനം. പട്ടിക 2. പട്ടിക 5. പട്ടിക വിവര മോഡലുകൾ. OS തരം പട്ടിക നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ക്രമം. പട്ടിക 4. വാർഷിക എസ്റ്റിമേറ്റ്. പട്ടിക നമ്പർ. "ഒബ്ജക്റ്റുകൾ - ഒബ്ജക്റ്റുകൾ" തരത്തിലുള്ള പട്ടികകൾ. 10 "ബി" ക്ലാസ്സിലെ കുട്ടികൾ. പട്ടിക ഘടന. ഒബ്ജക്റ്റ്-പ്രോപ്പർട്ടി തരത്തിന്റെ പട്ടികകൾ. വസ്തുക്കളുടെ ജോടി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു; ഒരു സ്വത്ത് മാത്രമേയുള്ളൂ.

സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടങ്ങൾക്കിടയിൽ, വസ്തുക്കൾ സംഖ്യാ ഇടവേളകളാകുന്ന ഗണങ്ങളുണ്ട്. ഒരു സെറ്റ് സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ഇടവേള അനുസരിച്ച് നിർണ്ണയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. അതിനാൽ, സംഖ്യാ ഇടവേളകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം എഴുതുന്നു.

ഈ ലേഖനം സംഖ്യാ ഇടവേളകൾ, പേരുകൾ, നൊട്ടേഷനുകൾ, ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ ഇടവേളകളുടെ ചിത്രങ്ങൾ, അസമത്വങ്ങളുടെ കത്തിടപാടുകൾ എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകുന്നു. അവസാനം, വിടവ് പട്ടിക ചർച്ച ചെയ്യും.

ഓരോ സംഖ്യാ ഇടവേളയും ഇനിപ്പറയുന്നവയുടെ സവിശേഷതയാണ്:

• പേര്;
• സാധാരണ അല്ലെങ്കിൽ ഇരട്ട അസമത്വത്തിന്റെ സാന്നിധ്യം;
• പദവി;
• ഒരു നേർരേഖ കോർഡിനേറ്റിലെ ജ്യാമിതീയ ചിത്രം.

മുകളിലെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും 3 രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് സംഖ്യാ ഇടവേള വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നത്. അതായത്, കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ അസമത്വം, നൊട്ടേഷൻ, ഇമേജ് എന്നിവ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ. ഈ രീതി ഏറ്റവും പ്രസക്തമാണ്.

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച വശങ്ങളുള്ള സംഖ്യാ ഇടവേളകൾ നമുക്ക് വിവരിക്കാം:

നിർവ്വചനം 2

• നമ്പർ ബീം തുറക്കുക.തുറന്ന് വിട്ടത് ഒഴിവാക്കിയതിനാലാണ് ഈ പേര് വന്നത്.

ഈ ഇടവേളയ്ക്ക് അനുബന്ധ അസമത്വങ്ങളുണ്ട് x< a или x >a , ഇവിടെ a എന്നത് ചില യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്. അതായത്, അത്തരമൊരു കിരണത്തിൽ ഒരു - (x< a) или больше a - (x >a)

x ഫോമിന്റെ അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a ആയി (a , + ∞) .

ഒരു തുറന്ന കിരണത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ സാന്നിധ്യം കണക്കാക്കുന്നു. ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിന്റെ പോയിന്റുകളും അതിന്റെ സംഖ്യകളും തമ്മിൽ ഒരു കത്തിടപാടുകൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ ഈ വരിയെ കോർഡിനേറ്റ് ലൈൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് അക്കങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യണമെങ്കിൽ, കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ വലിയ സംഖ്യ വലതുവശത്താണ്. അപ്പോൾ x എന്ന രൂപത്തിന്റെ അസമത്വം< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a - വലതുവശത്തുള്ള പോയിന്റുകൾ. സംഖ്യ തന്നെ പരിഹാരത്തിന് അനുയോജ്യമല്ല, അതിനാൽ ഇത് ഡ്രോയിംഗിൽ ഒരു പഞ്ചർ ഡോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ആവശ്യമുള്ള വിടവ് ഷേഡിംഗ് ഉപയോഗിച്ച് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുന്നു. ചുവടെയുള്ള ചിത്രം പരിഗണിക്കുക.

മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ നിന്ന്, സംഖ്യാ ഇടവേളകൾ വരിയുടെ ഭാഗങ്ങളുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതായത്, a യിൽ ആരംഭിക്കുന്ന കിരണങ്ങൾ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അവയെ തുടക്കമില്ലാത്ത കിരണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ടാണ് ഓപ്പൺ നമ്പർ ബീം എന്ന പേര് ലഭിച്ചത്.

ഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

നൽകിയിരിക്കുന്ന കർശനമായ അസമത്വത്തിന് x > − 3, ഒരു തുറന്ന ബീം വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. ഈ എൻട്രി കോർഡിനേറ്റുകളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം (− 3, ∞). അതായത്, ഇവയെല്ലാം വലതുവശത്ത് കിടക്കുന്ന പോയിന്റുകളാണ് - 3.

ഉദാഹരണം 2

നമുക്ക് x എന്ന ഫോമിന്റെ അസമത്വമുണ്ടെങ്കിൽ< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

നിർവ്വചനം 3

• നമ്പർ ബീം.ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, തുടക്കം നിരസിക്കപ്പെടുന്നില്ല, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, കിരണം അതിന്റെ പ്രയോജനം നിലനിർത്തുന്നു.

x ≤ a അല്ലെങ്കിൽ x ≥ a ഫോമിന്റെ കർശനമല്ലാത്ത അസമത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇതിന്റെ ചുമതല നിർവഹിക്കുന്നത്. ഈ തരത്തിന്, ഫോമിന്റെ പ്രത്യേക നൊട്ടേഷനുകൾ (− ∞, a ] കൂടാതെ [ a , + ∞) സ്വീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഒരു ചതുര ബ്രാക്കറ്റിന്റെ സാന്നിധ്യം അർത്ഥമാക്കുന്നത് പോയിന്റ് പരിഹാരത്തിലോ സെറ്റിലോ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു എന്നാണ്. ചുവടെയുള്ള ചിത്രം പരിഗണിക്കുക.

വ്യക്തമായ ഉദാഹരണത്തിനായി, നമുക്ക് ഒരു സംഖ്യാ കിരണത്തെ നിർവചിക്കാം.

ഉദാഹരണം 3

x ≥ 5 ഫോമിന്റെ അസമത്വം [5 , + ∞) എന്ന നൊട്ടേഷനുമായി യോജിക്കുന്നു, തുടർന്ന് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു കിരണം ലഭിക്കും:

നിർവ്വചനം 4

• ഇടവേള.ഇടവേളകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു പ്രസ്താവന ഇരട്ട അസമത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് എഴുതുന്നത് a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

ചുവടെയുള്ള ചിത്രം പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 4

ഇടവേള ഉദാഹരണം - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

നിർവ്വചനം 5

• സംഖ്യാ വിഭാഗം.ഈ ഇടവേളയിൽ ബൗണ്ടറി പോയിന്റുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് അതിന് a x ≤ b എന്ന രൂപമുണ്ട്. അത്തരമൊരു കർശനമല്ലാത്ത അസമത്വം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഒരു സംഖ്യാ വിഭാഗത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതുമ്പോൾ, ചതുര ബ്രാക്കറ്റുകൾ [a, b] ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത് പോയിന്റുകൾ സെറ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ഷേഡുള്ളതായി ചിത്രീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 5

സെഗ്‌മെന്റ് പരിശോധിച്ച ശേഷം, 2, 3 രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഇരട്ട അസമത്വം 2 x ≤ 3 ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ നിർവചനം സാധ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ ലായനിയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ഷേഡുചെയ്യുകയും ചെയ്യും.

നിർവ്വചനം 6 ഉദാഹരണം 6

ഒരു അർദ്ധ ഇടവേള (1, 3] ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിന്റെ പദവി ഇരട്ട അസമത്വത്തിന്റെ രൂപത്തിലാകാം 1< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

ഇടവേളകൾ ഇങ്ങനെ ചിത്രീകരിക്കാം:

• തുറന്ന നമ്പർ ബീം;
• നമ്പർ ബീം;
• ഇടവേള;
• നമ്പർ ലൈൻ;
• പകുതി ഇടവേള

കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രക്രിയ ലളിതമാക്കുന്നതിന്, ഒരു വരിയുടെ എല്ലാത്തരം സംഖ്യാ ഇടവേളകൾക്കും പദവികൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു പ്രത്യേക പട്ടിക നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പേര്	അസമത്വം	പദവി	ചിത്രം
നമ്പർ ബീം തുറക്കുക	x< a	- ∞ , എ
	x>a	a , + ∞
നമ്പർ ബീം	x ≤ എ	(-∞ , a ]
	x ≥ എ	[a, + ∞)
ഇടവേള	എ< x < b	എ, ബി
സംഖ്യാ വിഭാഗം	a ≤ x ≤ b	എ, ബി
പകുതി ഇടവേള

സംഖ്യാ ഇടവേളകളിൽ കിരണങ്ങൾ, സെഗ്‌മെന്റുകൾ, ഇടവേളകൾ, അർദ്ധ ഇടവേളകൾ എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്നു.

സംഖ്യാ ഇടവേളകളുടെ തരങ്ങൾ

മേശയിൽ എഒപ്പം ബിഅതിർത്തി പോയിന്റുകളാണ്, കൂടാതെ x- ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഏത് പോയിന്റിന്റെയും കോർഡിനേറ്റ് എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു വേരിയബിൾ.

അതിർത്തി പോയിന്റ്- സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ അതിർത്തി നിർവചിക്കുന്ന പോയിന്റാണിത്. ഒരു ബൗണ്ടറി പോയിന്റ് ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെട്ടേക്കാം അല്ലെങ്കിൽ അല്ലായിരിക്കാം. ഡ്രോയിംഗുകളിൽ, പരിഗണനയിലുള്ള സംഖ്യാ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത അതിർത്തി പോയിന്റുകൾ ഒരു തുറന്ന സർക്കിളും അവയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നവ പൂരിപ്പിച്ച വൃത്തവും സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

തുറന്നതും അടച്ചതുമായ ബീം

തുറന്ന ബീംഈ ഗണത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിട്ടില്ലാത്ത ഒരു അതിർത്തി പോയിന്റിന്റെ ഒരു വശത്ത് കിടക്കുന്ന ഒരു വരിയിലെ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്. കിരണത്തിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത അതിർത്തി പോയിന്റ് കാരണം കൃത്യമായി ഓപ്പൺ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

2-ൽ കൂടുതൽ കോർഡിനേറ്റ് ഉള്ള കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ പോയിന്റുകളുടെ കൂട്ടം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, അതിനാൽ പോയിന്റ് 2 ന്റെ വലതുവശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു:

അത്തരമൊരു സെറ്റ് അസമത്വത്താൽ നിർവചിക്കാം x> 2. ഓപ്പൺ കിരണങ്ങൾ പരാൻതീസിസുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് - (2; +∞), ഈ എൻട്രി ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: ഓപ്പൺ ന്യൂമെറിക് റേ രണ്ട് മുതൽ പ്ലസ് അനന്തത വരെ.

അസമത്വം പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സെറ്റ് x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

അടഞ്ഞ ബീംതന്നിരിക്കുന്ന സെറ്റിന്റെ അതിർത്തി പോയിന്റിന്റെ ഒരു വശത്ത് കിടക്കുന്ന ഒരു വരിയിലെ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്. ഡ്രോയിംഗുകളിൽ, പരിഗണനയിലുള്ള സെറ്റിന്റെ അതിർത്തി പോയിന്റുകൾ ഒരു പൂരിപ്പിച്ച വൃത്തം സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

കർശനമല്ലാത്ത അസമത്വങ്ങളാൽ ക്ലോസ്ഡ് നമ്പർ കിരണങ്ങൾ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, അസമത്വങ്ങൾ x 2 ഒപ്പം x 2 ഇതുപോലെ ചിത്രീകരിക്കാം:

ഈ അടഞ്ഞ കിരണങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു: , ഇത് ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: രണ്ടിൽ നിന്ന് പ്ലസ് അനന്തതയിലേക്കുള്ള ഒരു സംഖ്യാ കിരണവും മൈനസ് അനന്തതയിൽ നിന്ന് രണ്ടിലേക്കുള്ള സംഖ്യാ കിരണവും. നൊട്ടേഷനിലെ സ്ക്വയർ ബ്രാക്കറ്റ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പോയിന്റ് 2 സംഖ്യാ ഇടവേളയുടേതാണ്.

ലൈൻ സെഗ്മെന്റ്

ലൈൻ സെഗ്മെന്റ്തന്നിരിക്കുന്ന സെറ്റിന്റെ രണ്ട് അതിർത്തി പോയിന്റുകൾക്കിടയിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു വരിയിലെ പോയിന്റുകളുടെ കൂട്ടമാണ്. അത്തരം സെറ്റുകൾ ഇരട്ട നോൺ-സ്ട്രിക്റ്റ് അസമത്വങ്ങളാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു.

പോയിന്റ് -2, 3 എന്നിവയിൽ അവസാനിക്കുന്ന ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിന്റെ ഒരു ഭാഗം പരിഗണിക്കുക:

തന്നിരിക്കുന്ന സെഗ്‌മെന്റ് നിർമ്മിക്കുന്ന പോയിന്റുകളുടെ സെറ്റ് ഇരട്ട അസമത്വം -2 ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം x 3 അല്ലെങ്കിൽ നിയോഗിക്കുക [-2; 3], അത്തരമൊരു റെക്കോർഡ് ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: മൈനസ് രണ്ട് മുതൽ മൂന്ന് വരെയുള്ള ഒരു സെഗ്‌മെന്റ്.

ഇടവേളയും പകുതി ഇടവേളയും

ഇടവേള- ഈ ഗണത്തിൽ പെടാത്ത രണ്ട് അതിർത്തി പോയിന്റുകൾക്കിടയിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു വരിയിലെ പോയിന്റുകളുടെ കൂട്ടമാണിത്. അത്തരം സെറ്റുകൾ ഇരട്ട കർശനമായ അസമത്വങ്ങളാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു.

പോയിന്റ് -2, 3 എന്നിവയിൽ അവസാനിക്കുന്ന ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിന്റെ ഒരു ഭാഗം പരിഗണിക്കുക:

ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേള ഉണ്ടാക്കുന്ന പോയിന്റുകളുടെ കൂട്ടം ഇരട്ട അസമത്വം -2 ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം< x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

പകുതി ഇടവേളരണ്ട് അതിർത്തി പോയിന്റുകൾക്കിടയിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു വരിയിലെ പോയിന്റുകളുടെ കൂട്ടമാണ്, അതിൽ ഒന്ന് സെറ്റിന്റേതാണ്, മറ്റൊന്ന് ഇല്ല. അത്തരം സെറ്റുകൾ ഇരട്ട അസമത്വങ്ങളാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:

ഈ അർദ്ധ-ഇടവേളകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു: (-2; 3] കൂടാതെ [-2; 3]. ഇത് ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: മൈനസ് രണ്ട് മുതൽ മൂന്ന് വരെയുള്ള ഒരു പകുതി ഇടവേള, 3 ഉൾപ്പെടെ, മൈനസ് രണ്ട് മുതൽ മൂന്ന് വരെ മൈനസ് രണ്ട് ഉൾപ്പെടെ.