ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകമാക്കുന്നു. പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യകൾ 6 എന്ന സംഖ്യയെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുന്നു

ഫാക്ടറിംഗ് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാം? ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് പഠിക്കാനാകും? ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

നിർവചനങ്ങൾ:

കൃത്യമായി രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വിഭജനങ്ങളുള്ള ഒരു സംഖ്യയെ പ്രൈം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

രണ്ടിൽ കൂടുതൽ വിഭജനങ്ങളുള്ള ഒരു സംഖ്യയെ കോമ്പോസിറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ ഫാക്ടർ എന്നതിനർത്ഥം അതിനെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുക എന്നാണ്.

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ അഭാജ്യ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക എന്നതിനർത്ഥം അതിനെ പ്രൈം സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുക എന്നാണ്.

കുറിപ്പുകൾ:

• ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയുടെ വിഘടനത്തിൽ, ഘടകങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, മറ്റൊന്ന് സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.
• ഫാക്‌ടറിംഗ് യൂണിറ്റിയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല.
• ഒരു സംയുക്ത സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാം, അവ ഓരോന്നും 1-ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

വലിയ സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുമ്പോൾ, കോളം നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുക:

	216 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ അഭാജ്യ സംഖ്യ 2 ആണ്. 216 നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. നമുക്ക് 108 ലഭിക്കും.
	തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ 108 നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. നമുക്ക് വിഭജനം നടത്താം. ഫലം 54 ആണ്.
	2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള ടെസ്റ്റ് അനുസരിച്ച്, 54 എന്ന സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് 27 ലഭിക്കും.
	7 എന്ന ഒറ്റ അക്കത്തിൽ 27 എന്ന സംഖ്യ അവസാനിക്കുന്നു. അത് 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. അടുത്ത പ്രധാന സംഖ്യ 3 ആണ്. 27 നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രൈം 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യ 3 ആണ്. മൂന്ന് അത് തന്നെ ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്; അത് തന്നാലും ഒന്ന് കൊണ്ടും ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. നമുക്ക് 3 സ്വയം ഹരിക്കാം. അവസാനം ഞങ്ങൾക്ക് 1 ലഭിച്ചു.

• ഒരു സംഖ്യയെ അതിന്റെ വിഘടനത്തിന്റെ ഭാഗമായ അഭാജ്യ സംഖ്യകളാൽ മാത്രമേ ഹരിക്കാനാകൂ.
• ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്ന സംയോജിത സംഖ്യകളായി മാത്രമേ വിഭജിക്കാനാകൂ.

നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഈ സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിച്ചാൽ, a സംഖ്യയെ b എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്റെ ഘടകഭാഗം കണ്ടെത്തുക: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙ 2∙ 3∙ 3∙ 5∙19

ഗ്രന്ഥസൂചിക

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. ഗണിതം 6. - എം.: മ്നെമോസൈൻ, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. കണക്ക് ആറാം ക്ലാസ്. - ജിംനേഷ്യം. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. ഒരു ഗണിത പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ പേജുകൾക്ക് പിന്നിൽ. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. 5-6 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിനുള്ള അസൈൻമെന്റുകൾ. - എം.: ZSh MEPhI, 2011.
5. രുരുകിൻ എ.എൻ., സോചിലോവ് എസ്.വി., ചൈക്കോവ്സ്കി കെ.ജി. ഗണിതം 5-6. MEPhI കറസ്പോണ്ടൻസ് സ്കൂളിലെ ആറാം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ. - എം.: ZSh MEPhI, 2011.
6. ഷെവ്രിൻ എൽ.എൻ., ഗെയ്ൻ എ.ജി., കൊറിയകോവ് ഐ.ഒ., വോൾക്കോവ് എം.വി. മാത്തമാറ്റിക്സ്: സെക്കൻഡറി സ്കൂളിലെ 5-6 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം-ഇന്റർലോക്കുട്ടർ. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, മാത്തമാറ്റിക്സ് ടീച്ചർ ലൈബ്രറി, 1989.

1. ഇന്റർനെറ്റ് പോർട്ടൽ Matematika-na.ru ().
2. ഇന്റർനെറ്റ് പോർട്ടൽ Math-portal.ru ().

ഹോം വർക്ക്

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. ഗണിതം 6. - എം.: മ്നെമോസൈൻ, 2012. നമ്പർ 127, നമ്പർ 129, നമ്പർ 141.
2. മറ്റ് ജോലികൾ: നമ്പർ 133, നമ്പർ 144.

ഇതെല്ലാം ആരംഭിക്കുന്നത് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ നിന്നാണ്. വരികളിലെ ആദ്യ പ്രഭാഷണത്തിൽ (വിഭാഗം കാണുക 18.1 അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ) ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ പരമ്പരയുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു , എന്നതിലെ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് സീരീസ് ഒത്തുചേരുന്നു
. അതിനാൽ,

.

ഈ ശ്രേണിയുടെ നിരവധി ഇനങ്ങൾ നമുക്ക് പട്ടികപ്പെടുത്താം. മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു എക്സ് ഓൺ - എക്സ് , നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ എക്സ് ഓൺ
നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

തുടങ്ങിയവ.; ഈ എല്ലാ ശ്രേണികളുടെയും സംയോജന മേഖല ഒന്നുതന്നെയാണ്:
.

2.
.

പോയിന്റിലെ ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ എല്ലാ ഡെറിവേറ്റീവുകളും എക്സ് =0 തുല്യമാണ്
, അതിനാൽ സീരീസ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു

.

ഈ ശ്രേണിയുടെ സംയോജന മേഖല മുഴുവൻ സംഖ്യാ അക്ഷമാണ് (വിഭാഗത്തിന്റെ ഉദാഹരണം 6 18.2.4.3. ഒരു പവർ സീരീസിന്റെ സംയോജനത്തിന്റെ ആരം, ഒത്തുചേരലിന്റെ ഇടവേള, സംയോജനത്തിന്റെ മേഖല), അതുകൊണ്ടാണ്
ചെയ്തത്
. അനന്തരഫലമായി, ടെയ്‌ലർ ഫോർമുലയുടെ ശേഷിക്കുന്ന പദം
. അതിനാൽ പരമ്പര ഒത്തുചേരുന്നു
ഏത് ഘട്ടത്തിലും എക്സ് .

3.
.

ഈ പരമ്പര തികച്ചും ഒത്തുചേരുന്നു

, അതിന്റെ തുക ശരിക്കും തുല്യമാണ്
. ടെയ്‌ലർ ഫോർമുലയുടെ ശേഷിക്കുന്ന പദത്തിന് രൂപമുണ്ട്
, എവിടെ
അഥവാ
- പരിമിതമായ പ്രവർത്തനം, കൂടാതെ
(ഇത് മുമ്പത്തെ വിപുലീകരണത്തിന്റെ പൊതുവായ പദമാണ്).

4.
.

ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ക്രമാനുഗതമായി കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെ മുമ്പത്തേത് പോലെ ഈ വിപുലീകരണം നേടാനാകും, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായി മുന്നോട്ട് പോകും. മുൻ സീരീസ് പദത്തെ ടേം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് വേർതിരിക്കാം:

ഒരു പവർ സീരീസിന്റെ ടേം-ബൈ-ടേം വ്യത്യാസത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് മുഴുവൻ അച്ചുതണ്ടിലുമുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷനിലേക്കുള്ള സംയോജനം പിന്തുടരുന്നു.

5. മുഴുവൻ സംഖ്യാ അക്ഷത്തിലും അത് സ്വതന്ത്രമായി തെളിയിക്കുക.

6.
.

ഈ ഫംഗ്ഷനുള്ള പരമ്പരയെ വിളിക്കുന്നു ദ്വിപദ പരമ്പര. ഇവിടെ നമ്മൾ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കും.

...മക്ലൗറിൻ സീരീസിന് രൂപമുണ്ട്

ഞങ്ങൾ ഒത്തുചേരലിന്റെ ഇടവേളയ്ക്കായി തിരയുന്നു: അതിനാൽ, ഒത്തുചേരലിന്റെ ഇടവേളയാണ്
. കൺവേർജൻസ് ഇടവേളയുടെ അവസാനത്തിൽ പരമ്പരയുടെ ശേഷിക്കുന്ന പദവും പെരുമാറ്റവും ഞങ്ങൾ പഠിക്കില്ല; എപ്പോൾ എന്ന് മാറുന്നു
പരമ്പര രണ്ട് പോയിന്റിലും ഒത്തുചേരുന്നു
, at
പരമ്പര സോപാധികമായി ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഒത്തുചേരുന്നു
ഒരു ഘട്ടത്തിൽ വ്യതിചലിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു
, at
രണ്ട് പോയിന്റുകളിലും വ്യതിചലിക്കുന്നു.

7.
.

എന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കും
. മുതൽ, ടേം-ബൈ-ടേം സംയോജനത്തിന് ശേഷം,

ഈ ശ്രേണിയുടെ സംയോജന മേഖല പകുതി ഇടവേളയാണ്
, ഇന്റീരിയർ പോയിന്റുകളിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിലേക്കുള്ള സംയോജനം പോയിന്റിലെ ഒരു പവർ സീരീസിന്റെ ടേം-ബൈ-ടേം സംയോജനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു എക്സ് =1 - ഫംഗ്‌ഷന്റെ തുടർച്ചയിൽ നിന്നും എല്ലാ പോയിന്റുകളിലെയും പവർ സീരീസിന്റെ ആകെത്തുകയിൽ നിന്ന്, ഏകപക്ഷീയമായി അടുത്ത് എക്സ് =1 അവശേഷിക്കുന്നു. എടുക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക എക്സ് =1, പരമ്പരയുടെ ആകെത്തുക ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.

8. സീരീസ് ടേം ടേം പ്രകാരം സംയോജിപ്പിച്ച്, ഫംഗ്‌ഷനായി ഞങ്ങൾ ഒരു വിപുലീകരണം നേടുന്നു
. എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും സ്വയം നടത്തുക, ഒത്തുചേരൽ മേഖല എഴുതുക.

9. പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വികാസം നമുക്ക് എഴുതാം
ബൈനോമിയൽ സീരീസ് ഫോർമുല അനുസരിച്ച്
: . ഡിനോമിനേറ്റർ
ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഇരട്ട ഫാക്‌ടോറിയൽ
തുല്യ തുല്യതയുള്ള എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെയും ഗുണനമാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് , കവിയരുത് . വിപുലീകരണം ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്നു
. 0 മുതൽ ടേം ബൈ ടേം വരെ സംയോജിപ്പിക്കുന്നു എക്സ് , നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഈ ശ്രേണി മുഴുവൻ ഇടവേളയിലും ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു
; ചെയ്തത് എക്സ് =1 സംഖ്യയുടെ മറ്റൊരു മനോഹരമായ പ്രാതിനിധ്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും :
.

18.2.6.2. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പരമ്പര വിപുലീകരണം ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.ഒരു പ്രാഥമിക ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു പവർ സീരീസിലേക്ക് വിപുലീകരിക്കേണ്ട മിക്ക പ്രശ്‌നങ്ങളും
, സാധാരണ വിപുലീകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. ഭാഗ്യവശാൽ, എല്ലാ അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനത്തിനും ഇത് ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ട്. നമുക്ക് നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

1. ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക
ഡിഗ്രികൾ പ്രകാരം
.

പരിഹാരം. . പരമ്പര ഒത്തുചേരുന്നു
.

2. ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക
ഡിഗ്രികൾ പ്രകാരം
.

പരിഹാരം.
. ഒത്തുചേരൽ ഏരിയ:
.

3. ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക
ഡിഗ്രികൾ പ്രകാരം
.

പരിഹാരം. . പരമ്പര ഒത്തുചേരുന്നു
.

4. ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക
ഡിഗ്രികൾ പ്രകാരം
.

പരിഹാരം. . പരമ്പര ഒത്തുചേരുന്നു
.

5. ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക
ഡിഗ്രികൾ പ്രകാരം
.

പരിഹാരം. . ഒത്തുചേരൽ മേഖല
.

6. ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക
ഡിഗ്രികൾ പ്രകാരം
.

പരിഹാരം. രണ്ടാമത്തെ തരത്തിന്റെ ലളിതമായ യുക്തിസഹമായ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയിലേക്കുള്ള വികാസം ആദ്യ തരത്തിലെ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ അനുബന്ധ വികാസങ്ങളുടെ ടേം-ബൈ-ടേം വ്യത്യാസം വഴി ലഭിക്കും. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ. കൂടാതെ, ടേം-ബൈ-ടേം ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ വഴി, നമുക്ക് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വിപുലീകരണങ്ങൾ നേടാനാകും
,
തുടങ്ങിയവ.

7. ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക
ഡിഗ്രികൾ പ്രകാരം
.

പരിഹാരം. ഒരു യുക്തിപരമായ ഭിന്നസംഖ്യ ഒരു ലളിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയല്ലെങ്കിൽ, അത് ആദ്യം ലളിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്:
, തുടർന്ന് ഉദാഹരണം 5 പോലെ തുടരുക: എവിടെ
.

സ്വാഭാവികമായും, ഈ സമീപനം ബാധകമല്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, ഫംഗ്ഷൻ വിഘടിപ്പിക്കാൻ ഡിഗ്രികൾ പ്രകാരം എക്സ് . ഇവിടെ, നിങ്ങൾക്ക് ടെയ്‌ലർ സീരീസിന്റെ ആദ്യ കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ ലഭിക്കണമെങ്കിൽ, പോയിന്റിലെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് എളുപ്പവഴി എക്സ് =0 ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആവശ്യമായ എണ്ണം.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുന്നതിനാണ് ഈ ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ രൂപകൽപ്പന ചെയ്‌തിരിക്കുന്നത്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുക: x 2 /3-3x+12. x^2/3-3*x+12 എന്ന് എഴുതാം. എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും വേഡ് ഫോർമാറ്റിൽ സംരക്ഷിച്ചിരിക്കുന്ന ഈ സേവനവും നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിബന്ധനകളായി വിഘടിപ്പിക്കുക. നമുക്ക് ഇത് (1-x^2)/(x^3+x) എന്ന് എഴുതാം. പരിഹാരത്തിന്റെ പുരോഗതി കാണുന്നതിന്, ഘട്ടങ്ങൾ കാണിക്കുക ക്ലിക്കുചെയ്യുക. നിങ്ങൾക്ക് വേഡ് ഫോർമാറ്റിൽ ഫലം ലഭിക്കണമെങ്കിൽ, ഈ സേവനം ഉപയോഗിക്കുക.

കുറിപ്പ്: "പൈ" (π) എന്ന സംഖ്യ പൈ എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു; സ്ക്വയർ റൂട്ട് sqrt ആയി, ഉദാഹരണത്തിന് sqrt(3) , tangent tg എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നത് tan എന്നാണ്. ഉത്തരം കാണുന്നതിന്, ഇതര കാണുക.

1. ഒരു ലളിതമായ പദപ്രയോഗം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, 8*d+12*c*d, എക്‌സ്‌പ്രഷൻ ഫാക്‌ടറിംഗ് എന്നത് പദപ്രയോഗത്തെ ഘടകങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്നാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പൊതുവായ ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് ഈ പദപ്രയോഗം ഇങ്ങനെ എഴുതാം: 4*d*(2+3*c) .
2. രണ്ട് ബൈനോമിയലുകളുടെ രൂപത്തിൽ ഉൽപ്പന്നം അവതരിപ്പിക്കുക: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. ഇവിടെ നിങ്ങൾ ഇതിനകം നിരവധി പൊതുവായ ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്: x(x+7z) + 3y(x + 7z). ഞങ്ങൾ പുറത്തെടുത്ത് (x+7z) നേടുക: (x+7z)(x + 3y) .

ഒരു കോണുള്ള ബഹുപദങ്ങളുടെ വിഭജനവും കാണുക (ഒരു കോളമുള്ള വിഭജനത്തിന്റെ എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളും കാണിച്ചിരിക്കുന്നു)

ഫാക്ടറൈസേഷന്റെ നിയമങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ ഉപയോഗപ്രദമാകും ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ഒരു ചതുരം ഉപയോഗിച്ച് ബ്രാക്കറ്റുകൾ എങ്ങനെ തുറക്കാമെന്ന് അതിന്റെ സഹായത്തോടെ വ്യക്തമാകും:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

ഫാക്ടറൈസേഷൻ രീതികൾ

1. ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
2. ഒരു പൊതു ഘടകം കണ്ടെത്തുന്നു.

ഒന്നൊഴികെ എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും രണ്ടോ അതിലധികമോ ഹരിക്കരണങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, 7 എന്ന സംഖ്യയെ ബാക്കിയില്ലാതെ 1 ഉം 7 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, അതായത്, അതിന് രണ്ട് ഹരണങ്ങളുണ്ട്. 8 എന്ന സംഖ്യയിൽ 1, 2, 4, 8, അതായത് ഒരേസമയം 4 ഹരിക്കലുകൾ ഉണ്ട്.

പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്?

രണ്ടിൽ കൂടുതൽ വിഭജനങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളെ സംയുക്ത സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. രണ്ട് വിഭജനങ്ങൾ മാത്രമുള്ള സംഖ്യകൾ: ഒന്നിനെയും സംഖ്യയെയും അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നമ്പർ 1 ന് ഒരു ഡിവിഷൻ മാത്രമേയുള്ളൂ, അതായത് നമ്പർ തന്നെ. ഒന്ന് അഭാജ്യ സംഖ്യയോ സംയോജിത സംഖ്യയോ അല്ല.

• ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ 7 പ്രധാനവും സംഖ്യ 8 സംയുക്തവുമാണ്.

ആദ്യത്തെ 10 പ്രധാന സംഖ്യകൾ: 2.

78 എന്ന സംഖ്യ സംയോജിതമാണ്, കാരണം 1 നും അതിനും പുറമേ, അത് 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് 39 ലഭിക്കും. അതായത്, 78 = 2*39. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സംഖ്യയെ 2, 39 എന്നീ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുമെന്ന് അവർ പറയുന്നു.

ഏത് സംയോജിത സംഖ്യയും രണ്ട് ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം, അവയിൽ ഓരോന്നും 1-ൽ കൂടുതലാണ്. ഈ ട്രിക്ക് ഒരു പ്രൈം നമ്പറിൽ പ്രവർത്തിക്കില്ല. അങ്ങനെ പോകുന്നു.

ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നു

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഏത് സംയുക്ത സംഖ്യയും രണ്ട് ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, 210 എന്ന സംഖ്യയെടുക്കാം. ഈ സംഖ്യയെ 21, 10 എന്നീ രണ്ട് ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം. എന്നാൽ 21, 10 എന്നീ സംഖ്യകളും സംയുക്തമാണ്, അവയെ രണ്ട് ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് 10 = 2*5, 21=3*7 ലഭിക്കും. തൽഫലമായി, 210 എന്ന സംഖ്യ 4 ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിച്ചു: 2,3,5,7. ഈ സംഖ്യകൾ ഇതിനകം പ്രൈം ആയതിനാൽ വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. അതായത്, ഞങ്ങൾ 210 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി.

സംയോജിത സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുമ്പോൾ, അവ സാധാരണയായി ആരോഹണ ക്രമത്തിലാണ് എഴുതുന്നത്.

ഏത് സംയോജിത സംഖ്യയും പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാമെന്നും അതുല്യമായ രീതിയിൽ ക്രമപ്പെടുത്തൽ വരെയാകാമെന്നും ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.

• സാധാരണയായി, ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുമ്പോൾ, വിഭജന മാനദണ്ഡം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നമുക്ക് 378 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാം

ഞങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ എഴുതും, അവയെ ഒരു ലംബ വര ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കുന്നു. 378 എന്ന സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, കാരണം അത് 8 ൽ അവസാനിക്കുന്നു. ഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് 189 എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കും. 189 എന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതായത് 189 എന്ന സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഫലം 63 ആണ്.

63 എന്ന സംഖ്യയെ വിഭജനമനുസരിച്ച് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. നമുക്ക് 21 ലഭിക്കുന്നു, 21 എന്ന സംഖ്യയെ വീണ്ടും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, നമുക്ക് 7 ലഭിക്കും. ഏഴ് അത് കൊണ്ട് മാത്രം ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ഒന്ന് ലഭിക്കും. ഇത് വിഭജനം പൂർത്തിയാക്കുന്നു. വരിക്ക് ശേഷം വലതുവശത്ത് 378 എന്ന സംഖ്യ വിഘടിപ്പിച്ച പ്രധാന ഘടകങ്ങളാണ്.

378|2
189|3
63|3
21|3