സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയൽ. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ എക്സ്ട്രീമ എന്താണ്: ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി, മിനിമം എക്‌സ്‌ട്രീമയുടെ നിർണായക പോയിന്റുകൾ
അർത്ഥം
ഏറ്റവും വലിയ
അർത്ഥം
കുറഞ്ഞത്
പരമാവധി പോയിന്റ്
കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്
ഒരു എക്സ്ട്രീം ഫംഗ്ഷന്റെ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്കീം അനുസരിച്ച് 3 ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ പരിഹരിക്കുന്നു.
ഘട്ടം 1. ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക
- എലിമെന്ററി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫോർമുലകളും ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങളും ഓർക്കുക.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
ഘട്ടം 2. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക
- ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
ഘട്ടം 3. അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക
- ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിക്കുക;
- കുറഞ്ഞ പോയിന്റിൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ചിഹ്നം മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്കും പരമാവധി പോയിന്റിൽ പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്കും മാറുന്നു.
ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നമുക്ക് ഈ സമീപനം ഉപയോഗിക്കാം:
y=x3−243x+19 ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുക.
1) ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക;
3) ഡെറിവേറ്റീവ് x>9, x എന്നിവയ്ക്ക് പോസിറ്റീവ് ആണ്<−9 и отрицательная при −9 ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ: പല ജോലികളിലും സഹായിക്കുന്നു സിദ്ധാന്തം: ഒരു സെഗ്മെന്റിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിന്റ് മാത്രമേ ഉള്ളൂ, ഇത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം അതിൽ കൈവരിക്കും. ഇത് പരമാവധി പോയിന്റാണെങ്കിൽ, ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം അവിടെ എത്തുന്നു. 14. അനിശ്ചിത ഇന്റഗ്രലിന്റെ ആശയവും അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളും. ചടങ്ങാണെങ്കിൽ എഫ്(x എക്സ്, ഒപ്പം കെ- നമ്പർ, പിന്നെ ചുരുക്കത്തിൽ: അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരാങ്കം പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയും. പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്കിൽ എഫ്(x) ഒപ്പം ജി(x) ഇടവേളയിൽ ആന്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും എക്സ്, അത് ചുരുക്കത്തിൽ: തുകയുടെ അവിഭാജ്യസംഖ്യ അവിഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ചടങ്ങാണെങ്കിൽ എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ ഒരു ആന്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട് എക്സ്, തുടർന്ന് ഈ ഇടവേളയുടെ ഇന്റീരിയർ പോയിന്റുകൾക്കായി: ചുരുക്കത്തിൽ: അവിഭാജ്യത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇന്റഗ്രാൻഡിന് തുല്യമാണ്. ചടങ്ങാണെങ്കിൽ എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായാണ് എക്സ്ഈ ഇടവേളയുടെ ഇന്റീരിയർ പോയിന്റുകളിൽ ഇത് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന്: ചുരുക്കത്തിൽ: ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡിഫറൻഷ്യലിന്റെ ഇന്റഗ്രൽ ഈ ഫംഗ്ഷനും സംയോജന സ്ഥിരാങ്കവും തുല്യമാണ്. നമുക്ക് കർശനമായ ഗണിത നിർവചനം നൽകാം അനിശ്ചിതത്വ സംയോജനത്തിന്റെ ആശയങ്ങൾ. രൂപത്തിന്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അവിഭാജ്യഘടകം f(x)
, എവിടെ f(x)
- നൽകിയിരിക്കുന്ന സംയോജിത പ്രവർത്തനം (അറിയപ്പെടുന്നു), dx
- ഡിഫറൻഷ്യൽ x
, ചിഹ്നം എപ്പോഴും ഉണ്ടായിരിക്കും dx
. നിർവ്വചനം. അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു F(x) + C
, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു സി
, ഇതിന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ തുല്യമാണ് സമഗ്രമായആവിഷ്കാരം f(x)dx
, അതായത്. നമുക്ക് അത് ഓർമ്മിപ്പിക്കാം - ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻകൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു: പ്രശ്നം കണ്ടെത്തുന്നു അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യഅത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഡെറിവേറ്റീവ്സംയോജനത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിലേക്ക് കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, അത് അറിയപ്പെടുന്നു , അപ്പോൾ അത് മാറുന്നു പ്രശ്നം കണ്ടെത്തൽ അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ തോന്നുന്നത്ര ലളിതവും എളുപ്പവുമല്ല. മിക്ക കേസുകളിലും, പ്രവർത്തിക്കുന്നതിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം ഉണ്ടായിരിക്കണം അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യങ്ങൾ,അഭ്യാസവും സ്ഥിരവുമായ അനുഭവം ഉണ്ടായിരിക്കണം അനിശ്ചിത ഇന്റഗ്രലുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.എന്ന വസ്തുത പരിഗണിക്കേണ്ടതാണ് അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യങ്ങൾചില ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് (അവയിൽ ധാരാളം ഉണ്ട്) പ്രാഥമിക ഫംഗ്ഷനുകളിൽ എടുത്തിട്ടില്ല. 15. അടിസ്ഥാന അനിശ്ചിത ഇന്റഗ്രലുകളുടെ പട്ടിക. അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ 16. അവിഭാജ്യ തുകയുടെ പരിധിയായി നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ. ഇന്റഗ്രലിന്റെ ജ്യാമിതീയവും ഭൗതികവുമായ അർത്ഥം. y=ƒ(x) ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളയിൽ [a; ബി], എ< b. Выполним следующие действия. 1. പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0 2. ഓരോ ഭാഗിക സെഗ്മെന്റിലും , i = 1,2,...,n, i є ഉപയോഗിച്ച് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് തിരഞ്ഞെടുത്ത് അതിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക, അതായത് മൂല്യം ƒ(i ഉള്ളത്). 3. ഫംഗ്ഷന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം ƒ (i യോടൊപ്പം) അനുബന്ധ ഭാഗിക സെഗ്മെന്റിന്റെ ദൈർഘ്യം ∆x i =x i -x i-1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക: ƒ (i കൂടെ) ∆x i. 4. അത്തരം എല്ലാ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക S n ഉണ്ടാക്കാം: ഫോമിന്റെ (35.1) ഒരു തുകയെ ഇടവേളയിൽ [a; ബി]. നമുക്ക് ഏറ്റവും വലിയ ഭാഗിക സെഗ്മെന്റിന്റെ ദൈർഘ്യം λ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. n → ∞ ആകുമ്പോൾ λ→0 ആകുമ്പോൾ നമുക്ക് ഇന്റഗ്രൽ തുകയുടെ (35.1) പരിധി കണ്ടെത്താം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അവിഭാജ്യ തുക S n ന് ഒരു പരിധി I ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത് സെഗ്മെന്റ് വിഭജിക്കുന്ന രീതിയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല [a; b] ഭാഗിക സെഗ്‌മെന്റുകളിലോ അവയിലെ പോയിന്റുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിലോ അല്ല, സെഗ്‌മെന്റിലെ [a; b] ഇങ്ങനെ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, a, b എന്നീ സംഖ്യകളെ യഥാക്രമം സംയോജനത്തിന്റെ താഴ്ന്നതും ഉയർന്നതുമായ പരിധികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ƒ(x) - ഇന്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്ഷൻ, ƒ(x) dx - ഇന്റഗ്രാൻഡ്, x - സംയോജനത്തിന്റെ വേരിയബിൾ, സെഗ്മെന്റ് [a; b] - സംയോജനത്തിന്റെ ഏരിയ (വിഭാഗം). ഫംഗ്ഷൻ y=ƒ(x), അതിനായി ഇടവേളയിൽ [a; b] ഈ ഇടവേളയിൽ ഇന്റഗ്രബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉണ്ട്. ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന്റെ നിലനിൽപ്പിനായി നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ഒരു സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്താം. സിദ്ധാന്തം 35.1 (കൗച്ചി). ഫംഗ്ഷൻ y = ƒ(x) ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ [a; b], പിന്നെ നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ തുടർച്ച അതിന്റെ സമഗ്രതയ്‌ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥയാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. എന്നിരുന്നാലും, ചില തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കും ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം നിലനിൽക്കും, പ്രത്യേകിച്ചും പരിമിതമായ എണ്ണം നിർത്തലാക്കൽ പോയിന്റുകളുള്ള ഒരു ഇടവേളയിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏതൊരു പ്രവർത്തനത്തിനും. അതിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്ന നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രലിന്റെ ചില സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം (35.2). 1. സംയോജന വേരിയബിളിന്റെ പദവിയിൽ നിന്ന് ഡിഫിനിറ്റ് ഇന്റഗ്രൽ സ്വതന്ത്രമാണ്: അവിഭാജ്യ തുക (35.1), അതിനാൽ അതിന്റെ പരിധി (35.2), തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ആർഗ്യുമെന്റ് ഏത് അക്ഷരത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്നാണ് ഇത് പിന്തുടരുന്നത്. 2. ഏകീകരണത്തിന്റെ അതേ പരിധികളുള്ള ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്: 3. ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും c. 17. ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല. ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രലിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ. പ്രവർത്തനം നടക്കട്ടെ y = f(x)സെഗ്മെന്റിൽ തുടർച്ചയായി
ഒപ്പം F(x)ഈ സെഗ്‌മെന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ആന്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്നാണ് ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല: ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഇന്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസിന്റെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം. ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല തെളിയിക്കാൻ, നമുക്ക് വേരിയബിൾ അപ്പർ ലിമിറ്റ് ഉള്ള ഒരു ഇന്റഗ്രൽ എന്ന ആശയം ആവശ്യമാണ്. ചടങ്ങാണെങ്കിൽ y = f(x)സെഗ്മെന്റിൽ തുടർച്ചയായി
, പിന്നെ ആർഗ്യുമെന്റിന് ഫോമിന്റെ അവിഭാജ്യ ഘടകം ഉയർന്ന പരിധിയുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്. നമുക്ക് ഈ ഫംഗ്ഷൻ സൂചിപ്പിക്കാം തീർച്ചയായും, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇൻക്രിമെന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ് നമുക്ക് എഴുതാം, കൂടാതെ പത്താമത്തെ പ്രോപ്പർട്ടിയിൽ നിന്നുള്ള നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രലിന്റെ അഞ്ചാമത്തെ പ്രോപ്പർട്ടിയും കോറലറിയും ഉപയോഗിക്കാം: ഈ സമത്വം നമുക്ക് രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം F(a), നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രലിന്റെ ആദ്യ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നു: ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ് സാധാരണയായി ഇങ്ങനെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാൻ, നമുക്ക് ആന്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന് അറിഞ്ഞാൽ മതിയാകും. y=F(x)സമഗ്രമായ പ്രവർത്തനം y=f(x)സെഗ്മെന്റിൽ
കൂടാതെ ഈ സെഗ്മെന്റിൽ ഈ ആന്റിഡെറിവേറ്റീവിന്റെ വർദ്ധനവ് കണക്കാക്കുക. ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രധാന വഴികൾ സംയോജനത്തിന്റെ ലേഖനം ചർച്ചചെയ്യുന്നു. വ്യക്തതയ്ക്കായി ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രലുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം. ഉദാഹരണം. ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രലിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക. പരിഹാരം. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഇന്റഗ്രാൻഡ് ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു
അതിനാൽ, അതിൽ അവിഭാജ്യമാണ്. (ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉള്ള ഫംഗ്ഷനുകളെക്കുറിച്ചുള്ള വിഭാഗത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇന്റഗ്രബിൾ ഫംഗ്ഷനുകളെക്കുറിച്ച് സംസാരിച്ചു.) അനിശ്ചിത ഇന്റഗ്രലുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന്, ഒരു ഫംഗ്ഷനായി, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ എല്ലാ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾക്കും (അതിനാൽ ) ആന്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഇപ്പോൾ ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ കണക്കാക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു: 18. നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രലിന്റെ ജ്യാമിതീയ പ്രയോഗങ്ങൾ. ഡിറ്റർമിനേറ്റ് ഇന്റഗ്രലിന്റെ ജ്യാമിതീയ പ്രയോഗങ്ങൾ ശരീരത്തിന്റെ അളവിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ സമാന്തര വിഭാഗങ്ങളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന പ്രദേശങ്ങളിൽ നിന്ന് ശരീരത്തിന്റെ അളവ് കണക്കാക്കൽ: ഭ്രമണത്തിന്റെ ശരീരത്തിന്റെ അളവ്:; . ഉദാഹരണം 1. നേർരേഖകളാൽ y=sinx എന്ന വക്രത്താൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക പരിഹാരം:ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക: ഉദാഹരണം 2. വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക പരിഹാരം:ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകളുടെ abscissa നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു x 1 =0, x 2 =2.5. 19. ഡിഫറൻഷ്യൽ നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ ആശയം. ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം- ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യത്തെ ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ, സംഖ്യകൾ (പാരാമീറ്ററുകൾ). സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ക്രമം വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം (ഔപചാരികമായി ഇത് ഒന്നിലും പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല). ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ഫംഗ്ഷനുകൾ, ഇൻഡിപെൻഡന്റ് വേരിയബിളുകൾ, പരാമീറ്ററുകൾ എന്നിവ ഒരു സമവാക്യത്തിൽ വിവിധ കോമ്പിനേഷനുകളിൽ ദൃശ്യമാകാം, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഒഴികെയുള്ളവ മൊത്തത്തിൽ ഇല്ലായിരിക്കാം. ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അടങ്ങിയ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ(PDF) പല വേരിയബിളുകളുടെയും അവയുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും അജ്ഞാതമായ ഫംഗ്ഷനുകൾ അടങ്ങുന്ന സമവാക്യങ്ങളാണ്. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ പൊതുവായ രൂപം ഇതുപോലെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം: സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾ എവിടെയാണ്, ഈ വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനമാണ്. ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ക്രമം സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ അതേ രീതിയിൽ നിർണ്ണയിക്കാവുന്നതാണ്. ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ മറ്റൊരു പ്രധാന വർഗ്ഗീകരണം എലിപ്റ്റിക്, പരാബോളിക്, ഹൈപ്പർബോളിക് തരങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നതാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യങ്ങൾക്ക്. സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും രണ്ടായി തിരിക്കാം രേഖീയമായഒപ്പം രേഖീയമല്ലാത്ത. അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷനും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ആദ്യ ഡിഗ്രി വരെ (പരസ്പരം ഗുണിച്ചിട്ടില്ല) സമവാക്യത്തിൽ പ്രവേശിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം രേഖീയമാണ്. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്ക്, പരിഹാരങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഇടത്തിന്റെ ഒരു അഫൈൻ സബ്‌സ്‌പെയ്‌സ് ഉണ്ടാക്കുന്നു. ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തം രേഖീയമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തേക്കാൾ വളരെ ആഴത്തിൽ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്. ഒരു ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ കാഴ്ച എൻ-ആം ഓർഡർ: എവിടെ പി ഐ(x) സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളാണ്, സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ ആർ(x) വലതുവശത്ത് വിളിക്കുന്നു സ്വതന്ത്ര അംഗം(അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷനെ ആശ്രയിക്കാത്ത ഒരേയൊരു പദം) ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു പ്രധാന പ്രത്യേക ക്ലാസ് ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളാണ് സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഉപവിഭാഗമാണ് ഏകതാനമായഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ - ഒരു സ്വതന്ത്ര പദം ഉൾക്കൊള്ളാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ: ആർ(x) = 0. ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക്, സൂപ്പർപോസിഷൻ തത്വം പാലിക്കുന്നു: അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന്റെ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനവും അതിന്റെ പരിഹാരമായിരിക്കും. മറ്റെല്ലാ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെയും വിളിക്കുന്നു വൈവിധ്യമാർന്നഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. പൊതുവായ കേസിലെ നോൺ-ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ചില പ്രത്യേക ക്ലാസുകൾ ഒഴികെ വികസിപ്പിച്ച പരിഹാര രീതികളില്ല. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ (ചില ഏകദേശങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്) അവ രേഖീയമായി ചുരുക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്റെ രേഖീയ സമവാക്യം · - സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിന്റെ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. പരിഹാരം എന്നത് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു കുടുംബമാണ്, എവിടെയും അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്, അവ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാരത്തിനായി പ്രത്യേകം വ്യക്തമാക്കിയ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ സമവാക്യം, പ്രത്യേകിച്ച്, 3 ന്റെ ചാക്രിക ആവൃത്തിയുള്ള ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്റെ ചലനത്തെ വിവരിക്കുന്നു. ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിയമം ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതാം എം- ശരീര ഭാരം, x- അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റ്, എഫ്(x, ടി) - കോർഡിനേറ്റ് ഉള്ള ഒരു ശരീരത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബലം xഒരു ഘട്ടത്തിൽ ടി. നിർദ്ദിഷ്ട ശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് കീഴിലുള്ള ശരീരത്തിന്റെ പാതയാണ് അതിന്റെ പരിഹാരം. · ബെസൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം, വേരിയബിൾ കോഫിഫിഷ്യന്റുകളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ ഒരു സാധാരണ രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യമാണ്: അതിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ ബെസൽ ഫംഗ്ഷനുകളാണ്. · 1-ആം ഓർഡറിന്റെ നോൺ-ഹോമോജീനിയസ് നോൺ-ലീനിയർ സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം: ഉദാഹരണങ്ങളുടെ അടുത്ത ഗ്രൂപ്പിൽ ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട് യുരണ്ട് വേരിയബിളുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു xഒപ്പം ടിഅഥവാ xഒപ്പം വൈ. · ആദ്യ ക്രമത്തിന്റെ ഏകതാനമായ രേഖീയ ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം: · ഏകമാന തരംഗ സമവാക്യം - സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാം ഓർഡറിന്റെ ഹൈപ്പർബോളിക് തരത്തിന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളിലെ ഒരു ഏകീകൃത രേഖീയ സമവാക്യം, ഒരു സ്ട്രിംഗിന്റെ ആന്ദോളനത്തെ വിവരിക്കുന്നു എങ്കിൽ - കോർഡിനേറ്റുമായി ഒരു ബിന്ദുവിൽ സ്ട്രിംഗിന്റെ വ്യതിചലനം xഒരു ഘട്ടത്തിൽ ടി, കൂടാതെ പരാമീറ്റർ എസ്ട്രിംഗിന്റെ സവിശേഷതകൾ സജ്ജമാക്കുന്നു: · ദ്വിമാന സ്ഥലത്ത് ലാപ്ലേസിന്റെ സമവാക്യം, മെക്കാനിക്സ്, താപ ചാലകത, ഇലക്‌ട്രോസ്റ്റാറ്റിക്‌സ്, ഹൈഡ്രോളിക്‌സ് എന്നിവയുടെ പല ശാരീരിക പ്രശ്‌നങ്ങളിലും ഉയർന്നുവരുന്ന സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള എലിപ്റ്റിക് തരത്തിന്റെ രണ്ടാം ക്രമത്തിന്റെ ഏകതാനമായ രേഖീയ ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണ്: · Corteweg-de Vries സമവാക്യം, സോളിറ്റോണുകൾ ഉൾപ്പെടെയുള്ള നിശ്ചലമായ നോൺ-ലീനിയർ തരംഗങ്ങളെ വിവരിക്കുന്ന ഒരു മൂന്നാം-ക്രമേണ നോൺ-ലീനിയർ ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം: 20. വേർതിരിക്കാവുന്ന ബാധകമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും ബെർണൂലിയുടെ രീതിയും. ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷനും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും സംബന്ധിച്ച് രേഖീയമായ ഒരു സമവാക്യമാണ് ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷൻ. അതിന് മുഴുവൻ ശക്തി എന്ന രൂപമുണ്ട്. തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്ന തരങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തി പകരം വയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ തുല്യത ലഭിക്കും. എന്ന ലേഖനത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ, വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് അനുസൃതമായി ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം മാത്രം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, വ്യക്തമായ കാരണങ്ങളാൽ, പ്രവർത്തനം നമ്മെ അലോസരപ്പെടുത്തുന്നില്ല, പക്ഷേ ഒരു പൊതു പരിഹാരം/അഭിജാത്യം കണ്ടെത്തേണ്ടിവരുമ്പോൾ, അത് ഉറപ്പാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ പ്രവർത്തനം നഷ്‌ടപ്പെട്ടില്ല! ഞാൻ ബെർണൂലി സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ ജനപ്രിയ വ്യതിയാനങ്ങളും സമ്മാനങ്ങളുടെ ഒരു വലിയ ബാഗിൽ കൊണ്ടുവന്ന് വിതരണം ചെയ്യാൻ തുടങ്ങി. നിങ്ങളുടെ സോക്സുകൾ മരത്തിനടിയിൽ തൂക്കിയിടുക. ഉദാഹരണം 1 നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ അവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക. ആദ്യ സമ്മാനം ഉടൻ തന്നെ ബാഗിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുത്തത് ഒരുപക്ഷേ പലരും ആശ്ചര്യപ്പെട്ടു കോച്ചി പ്രശ്നം. ഇതൊരു അപകടമല്ല. ഒരു പരിഹാരത്തിനായി ബെർണൂലി സമവാക്യം നിർദ്ദേശിക്കപ്പെടുമ്പോൾ, ചില കാരണങ്ങളാൽ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എന്റെ ശേഖരത്തിൽ നിന്ന്, ഞാൻ 10 ബെർണൂലി സമവാക്യങ്ങൾ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്തു, പൊതുവായ പരിഹാരം (ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരമില്ലാതെ) 2 സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. പക്ഷേ, വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് ഒരു നിസ്സാര കാര്യമാണ്, കാരണം ഏത് സാഹചര്യത്തിലും ഒരു പൊതു പരിഹാരം തേടേണ്ടിവരും. പരിഹാരം:ഈ ഡിഫ്യൂസറിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്, അതിനാൽ ഇത് ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യമാണ് പ്രവർത്തനവും അതിന്റെ സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനവും ആധുനിക ഗണിതത്തിലെ പ്രധാന അധ്യായങ്ങളിലൊന്ന് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഏതൊരു ഫംഗ്ഷന്റെയും പ്രധാന ഘടകം അതിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ മാത്രമല്ല, ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പാരാമീറ്ററുകളും ചിത്രീകരിക്കുന്ന ഗ്രാഫുകളാണ്. ഈ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിഷയം നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാം. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും നല്ല മാർഗം ഏതാണ്? ഏതെങ്കിലും വിധത്തിൽ മറ്റൊരു അളവിന്റെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിക്കുന്ന ഏതൊരു വേരിയബിളിനെയും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, f(x 2) ഫംഗ്ഷൻ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണ്, കൂടാതെ മുഴുവൻ സെറ്റിന്റെയും മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. x = 9 എന്ന് പറയാം, അപ്പോൾ നമ്മുടെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം 9 2 = 81 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഫംഗ്ഷനുകൾ പല തരത്തിൽ വരുന്നു: ലോജിക്കൽ, വെക്റ്റർ, ലോഗരിഥമിക്, ത്രികോണമിതി, സംഖ്യാശാസ്ത്രം എന്നിവയും മറ്റുള്ളവയും. Lacroix, Lagrange, Leibniz, Bernoulli തുടങ്ങിയ മികച്ച മനസ്സുകളാണ് അവ പഠിച്ചത്. പ്രവർത്തനങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ആധുനിക രീതികളിൽ അവരുടെ കൃതികൾ ഒരു പ്രധാന ഘടകമായി വർത്തിക്കുന്നു. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, ഫംഗ്ഷന്റെയും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെയും അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. എല്ലാ ഫംഗ്ഷനുകളും അവയുടെ വേരിയബിളുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം അവയ്ക്ക് എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും അവയുടെ മൂല്യം മാറ്റാൻ കഴിയും എന്നാണ്. ഗ്രാഫിൽ, ഇത് ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ വീഴുകയോ ഉയരുകയോ ചെയ്യുന്ന ഒരു വക്രമായി ചിത്രീകരിക്കും (ഇത് ലംബ ഗ്രാഫിനൊപ്പം "y" സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റാണ്). അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഈ "ആന്ദോളനങ്ങളുമായി" കൃത്യമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ ബന്ധം എന്താണെന്ന് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം. ഏതൊരു ഫംഗ്ഷന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് അതിന്റെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുന്നതിനും ഫംഗ്ഷൻ എത്ര വേഗത്തിൽ മാറുന്നുവെന്ന് കണക്കാക്കുന്നതിനുമായി ഗ്രാഫ് ചെയ്യുന്നു (അതായത് "x" എന്ന വേരിയബിളിനെ ആശ്രയിച്ച് അതിന്റെ മൂല്യം മാറുന്നു). ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്ന നിമിഷത്തിൽ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഗ്രാഫും വർദ്ധിക്കും, എന്നാൽ ഏത് നിമിഷവും ഫംഗ്ഷൻ കുറയാൻ തുടങ്ങും, തുടർന്ന് ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഗ്രാഫ് കുറയും. ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പ്ലസ് ചിഹ്നത്തിലേക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് മാറുന്ന പോയിന്റുകളെ മിനിമം പോയിന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മിനിമം പോയിന്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് അറിയാൻ, നിങ്ങൾ നന്നായി മനസ്സിലാക്കണം നിർവചനവും ഫംഗ്ഷനുകളും പൊതുവേ, ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം തന്നെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം: ഫംഗ്ഷന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് കാണിക്കുന്ന അളവാണിത്. ഇത് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര രീതി പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. ഏത് ഫംഗ്ഷന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്ലാൻ പിന്തുടരേണ്ടതുണ്ട്. ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാതെയും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക ഓർമ്മിക്കാതെയും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ ചുവടെ വിവരിക്കുന്നു. സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് രണ്ട് തരത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ഒരു ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിക്കുന്ന ആദ്യ രീതി ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, എന്നാൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ സംഖ്യാ മൂല്യം നമുക്ക് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാനാകും? ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഗുണങ്ങളെ വിവരിക്കുന്ന നിരവധി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ "x" പോലുള്ള വേരിയബിളുകളെ അക്കങ്ങളാക്കി മാറ്റാൻ സഹായിക്കുകയും വേണം. ഇനിപ്പറയുന്ന രീതി സാർവത്രികമാണ്, അതിനാൽ ഇത് മിക്കവാറും എല്ലാ തരം ഫംഗ്ഷനുകളിലും (ജ്യാമിതീയവും ലോഗരിഥമിക്) പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും. ഒരു ഫംഗ്ഷനും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും പഠിക്കുന്നതിലെ ഏറ്റവും അടിസ്ഥാന ഘടകം വ്യത്യസ്തതയുടെ നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവാണ്. അവരുടെ സഹായത്തോടെ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളും വലിയ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ കഴിയൂ. നമുക്ക് അവരുമായി പരിചയപ്പെടാം, അവയിൽ ധാരാളം ഉണ്ട്, എന്നാൽ ശക്തിയുടെയും ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും സ്വാഭാവിക ഗുണങ്ങൾ കാരണം അവയെല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. മിനിമം പോയിന്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, എന്നാൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി പോയിന്റുകൾ എന്ന ആശയവും ഉണ്ട്. ഫംഗ്ഷൻ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പ്ലസ് ആയി മാറുന്ന പോയിന്റുകളെയാണ് മിനിമം സൂചിപ്പിക്കുന്നതെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പ്ലസിൽ നിന്ന് വിപരീതമായി മാറുന്ന x-അക്ഷത്തിലെ പോയിന്റുകളാണ് പരമാവധി പോയിന്റുകൾ - മൈനസ്. മുകളിൽ വിവരിച്ച രീതി ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, എന്നാൽ ഫംഗ്ഷൻ കുറയാൻ തുടങ്ങുന്ന മേഖലകളെ അവർ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കണം, അതായത്, ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, രണ്ട് ആശയങ്ങളെയും സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നത് പതിവാണ്, അവയെ "തീവ്രതയുടെ പോയിന്റുകൾ" എന്ന പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഈ പോയിന്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഒരു ടാസ്ക് നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുമ്പോൾ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിങ്ങൾ കണക്കാക്കുകയും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുകയും വേണം എന്നാണ്. ഏറ്റവും വലിയ പ്രവർത്തന മൂല്യം ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രവർത്തന മൂല്യം ഗോഡ്ഫാദർ പറഞ്ഞതുപോലെ: "വ്യക്തിപരമായി ഒന്നുമില്ല." ഡെറിവേറ്റീവുകൾ മാത്രം! സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് ടാസ്ക് 12 വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, എല്ലാം ആൺകുട്ടികൾ ഈ ലേഖനം വായിക്കാത്തതിനാൽ (തമാശ). മിക്ക കേസുകളിലും, അശ്രദ്ധയാണ് കുറ്റപ്പെടുത്തുന്നത്. 12 ടാസ്ക് രണ്ട് തരത്തിലാണ് വരുന്നത്: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷാ ചുമതലകൾ: പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരമാവധി പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുക പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുക ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷാ ചുമതലകൾ: ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക [−4; -1] ഉത്തരം: −6 സെഗ്‌മെന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക ഉത്തരം: 11 നിഗമനങ്ങൾ: സിദ്ധാന്തം.
(ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ) x = x 1 എന്ന ബിന്ദുവിൽ f(x) ഫംഗ്ഷൻ വ്യതിരിക്തമാണെങ്കിൽ, x 1 പോയിന്റ് ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിന്റാണെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു. തെളിവ്.
x = x 1 എന്ന ബിന്ദുവിൽ f(x) ഫംഗ്ഷന് പരമാവധി ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. അപ്പോൾ മതിയായ ചെറിയ പോസിറ്റീവ് Dх>0 ന് ഇനിപ്പറയുന്ന അസമത്വം ശരിയാണ്: എ-പ്രിയറി: ആ. Dх®0 ആണെങ്കിൽ, എന്നാൽ Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, തുടർന്ന് f¢(x 1) £ 0. Dх®0 f¢(x 1) = 0 ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. f(x) ഫംഗ്ഷന് x 2 പോയിന്റിൽ മിനിമം ഉണ്ടെങ്കിൽ, സിദ്ധാന്തം സമാനമായ രീതിയിൽ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു. അനന്തരഫലം.
വിപരീത പ്രസ്താവന ശരിയല്ല. ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷന് ഒരു തീവ്രത ഉണ്ടെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല. ഇതിന്റെ ഒരു മികച്ച ഉദാഹരണമാണ് y = x 3 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ, ഇതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് x = 0 പോയിന്റിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷന് ഒരു ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ മാത്രമേയുള്ളൂ, പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ മിനിമം അല്ല. നിർവ്വചനം.നിർണായക പോയിന്റുകൾഫങ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ലാത്ത അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ പോയിന്റുകളാണ് ഫംഗ്ഷനുകൾ. മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ നൽകുന്നു, എന്നാൽ ഇത് പര്യാപ്തമല്ല. ഉദാഹരണം: f(x) = ôxô ഉദാഹരണം: f(x) = x = 0 എന്ന പോയിന്റിൽ ഫംഗ്ഷന് മിനിമം ഉണ്ട്, എന്നാൽ x = 0 പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷനുമില്ല ഡെറിവേറ്റീവ് ഇല്ല. പരമാവധി, മിനിമം ഇല്ല, ഉത്പാദനമില്ല പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ലാത്തതോ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതോ ആയ പോയിന്റുകളിൽ f(x) ഫംഗ്ഷന് ഒരു തീവ്രത ഉണ്ടായിരിക്കാം. സിദ്ധാന്തം.
(ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ) നിർണ്ണായക പോയിന്റ് x 1 അടങ്ങുന്ന ഇടവേളയിൽ (a, b) ഫംഗ്ഷൻ തുടർച്ചയായിരിക്കട്ടെ, ഈ ഇടവേളയിലെ എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും (ഒരുപക്ഷേ, പോയിന്റ് x 1 ഒഴികെ). x 1 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് പോകുമ്പോൾ, f¢(x) ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം “+” എന്നതിൽ നിന്ന് “-“ ആയി മാറ്റുന്നുവെങ്കിൽ, x = x 1 എന്ന പോയിന്റിൽ f(x) ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട് പരമാവധി, കൂടാതെ ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം "- " ൽ നിന്ന് "+" ലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ - ഫംഗ്ഷന് മിനിമം ഉണ്ട്. തെളിവ്.
അനുവദിക്കുക ലഗ്രാഞ്ചിന്റെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1),എവിടെ x< e < x 1 . അപ്പോൾ: 1) x ആണെങ്കിൽ< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) x > x 1 ആണെങ്കിൽ, e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). ഉത്തരങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് f(x) എന്ന് പറയാം< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റിനുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവ് സമാനമാണ്. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു. മേൽപ്പറഞ്ഞവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു സെഗ്‌മെന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഏകീകൃത നടപടിക്രമം വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും: 1) ഫംഗ്ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. 2) നിർണായക പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക. 3) സെഗ്മെന്റിന്റെ അറ്റത്തുള്ള ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക. 4) ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായത് തിരഞ്ഞെടുക്കുക. ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉപയോഗത്തിനായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നു ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. പോയിന്റിൽ x = x 1 f¢(x 1) = 0, f¢¢(x 1) എന്നിവ നിലവിലുണ്ട്, x 1 എന്ന ബിന്ദുവിന്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ ഇത് തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു. സിദ്ധാന്തം.
f¢(x 1) = 0 ആണെങ്കിൽ, f¢¢(x 1) ആണെങ്കിൽ x = x 1 എന്ന ബിന്ദുവിലെ f(x) ഫംഗ്ഷന് പരമാവധി ഉണ്ടാകും.<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
തെളിവ്.
f¢(x 1) = 0, f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . കാരണം f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >x-ൽ 0 ഒരു മിനിമം ഫംഗ്ഷന്റെ കാര്യത്തിൽ, സിദ്ധാന്തം സമാനമായ രീതിയിൽ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു. f¢¢(x) = 0 ആണെങ്കിൽ, നിർണ്ണായക പോയിന്റിന്റെ സ്വഭാവം അജ്ഞാതമാണ്. അത് നിർണ്ണയിക്കാൻ കൂടുതൽ ഗവേഷണം ആവശ്യമാണ്. ഒരു വക്രതയുടെ കോൺവെക്സിറ്റിയും കോൺകാവിറ്റിയും. ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ. നിർവ്വചനം.
വളവ് കുത്തനെയുള്ളതാണ് മുകളിലേക്ക്ഇടവേളയിൽ (a, b) അതിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും ഈ ഇടവേളയിലെ ഏതെങ്കിലും ടാൻജെന്റുകൾക്ക് താഴെയാണെങ്കിൽ. മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ള ഒരു വളവ് വിളിക്കുന്നു കുത്തനെയുള്ള, കുത്തനെ താഴേക്ക് അഭിമുഖീകരിക്കുന്ന ഒരു വക്രത്തെ വിളിക്കുന്നു കുത്തനെയുള്ള. മുകളിൽ പറഞ്ഞ നിർവചനത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രം ചിത്രം കാണിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം 1.
ഇടവേളയുടെ എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും (a, b) f(x) ഫംഗ്ഷന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, y = f(x) എന്ന വക്രം മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ് (കോൺവെക്സ്). തെളിവ്.
x 0 О (a, b) അനുവദിക്കുക. ഈ ഘട്ടത്തിൽ വക്രത്തിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെന്റ് വരയ്ക്കാം. വക്ര സമവാക്യം: y = f(x); ടാൻജെന്റ് സമവാക്യം: അത് തെളിയിക്കപ്പെടണം. f(x) - f(x 0): , x 0 എന്നതിനായുള്ള ലാഗ്രാഞ്ചിന്റെ സിദ്ധാന്തം പ്രകാരം< c < x. ലഗ്രാഞ്ചിന്റെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് x > x 0, തുടർന്ന് x 0 എന്ന് അനുവദിക്കുക< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0, c – x 0 > 0, കൂടാതെ, വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം അതിനാൽ, . x അനുവദിക്കുക< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то ഇടവേളയിൽ (a, b) f¢¢(x) > 0 ആണെങ്കിൽ, y=f(x) എന്ന വക്രം ഇടവേളയിൽ (a, b) കോൺകേവ് ആണെന്നും സമാനമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു. നിർവ്വചനം.
വക്രത്തിന്റെ കുത്തനെയുള്ള ഭാഗത്തെ കോൺകേവ് ഭാഗത്ത് നിന്ന് വേർതിരിക്കുന്ന പോയിന്റിനെ വിളിക്കുന്നു ഒരു വളവിൽ വളവിന്റെ ഗതി മാറുന്ന ബിന്ദു. വ്യക്തമായും, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റിൽ ടാൻജെന്റ് വക്രത്തെ വിഭജിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം 2.
y = f(x) എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വക്രം നിർവചിക്കട്ടെ. രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് f¢¢(a) = 0 അല്ലെങ്കിൽ f¢¢(a) നിലവിലില്ലെങ്കിൽ x = a f¢¢(x) എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ചിഹ്നം മാറുകയാണെങ്കിൽ, abscissa x = ഉള്ള വക്രത്തിന്റെ പോയിന്റ് a ഒരു ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റാണ്. തെളിവ്.
1) f¢¢(x) അനുവദിക്കുക< 0 при х < a и f¢¢(x) >x ന് 0 > a. അപ്പോൾ at x< a кривая выпукла, а при x >a വക്രം കോൺകേവ് ആണ്, അതായത്. പോയിന്റ് x = a - ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റ്. 2) x-ന് f¢¢(x) > 0 അനുവദിക്കുക< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b - കുത്തനെ മുകളിലേക്ക്. അപ്പോൾ x = b എന്നത് ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റാണ്. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ. ഫംഗ്ഷനുകൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, ഒരു വക്രത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ x-കോർഡിനേറ്റ് അനന്തതയിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, വക്രം അനിശ്ചിതമായി ഒരു നിശ്ചിത നേർരേഖയെ സമീപിക്കുന്നു. നിർവ്വചനം.
നേർരേഖയെ വിളിക്കുന്നു ലക്ഷണംവക്രത്തിന്റെ വേരിയബിൾ പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഈ നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരം, പോയിന്റ് അനന്തതയിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ പൂജ്യമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ വക്രം. ഓരോ വക്രത്തിനും ഒരു അസിംപ്റ്റോട്ടില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ നേരായതോ ചരിഞ്ഞതോ ആകാം. അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തിനായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ പഠിക്കുന്നത് വളരെ പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നതാണ്, കൂടാതെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്വഭാവവും കർവ് ഗ്രാഫിന്റെ സ്വഭാവവും കൂടുതൽ കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു വക്രം, അനിശ്ചിതമായി അതിന്റെ ലക്ഷണത്തോട് അടുക്കുന്നു, അതിനെ വിഭജിക്കാൻ കഴിയും, താഴെയുള്ള ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു ഘട്ടത്തിലല്ല വളവുകളുടെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതികൾ നമുക്ക് കൂടുതൽ വിശദമായി പരിഗണിക്കാം. ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ. ഒരു അസിംപ്റ്റോട്ടിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, if or or , x = a എന്ന നേർരേഖ y = f(x) എന്ന വക്രത്തിന്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഫംഗ്ഷനായി, x = 5 എന്ന വരി ഒരു ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്. ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ. y = f(x) എന്ന വക്രത്തിന് ഒരു ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് y = kx + b ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. നമുക്ക് വക്രത്തിന്റെ വിഭജന പോയിന്റും അസിംപ്റ്റോട്ടിലേക്ക് ലംബമായി - എം, പി - അസിംപ്റ്റോട്ടുമായി ഈ ലംബത്തിന്റെ വിഭജന പോയിന്റ് സൂചിപ്പിക്കാം. അസിംപ്റ്റോട്ടിനും ഓക്സ് അക്ഷത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിനെ നമുക്ക് j എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം. ഓക്സ് അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള ലംബമായ MQ, പോയിന്റ് N-ൽ അസിംപ്റ്റോട്ടിനെ വിഭജിക്കുന്നു. അപ്പോൾ MQ = y എന്നത് വക്രത്തിലെ പോയിന്റിന്റെ ഓർഡിനേറ്റ് ആണ്, NQ = അസിംപ്റ്റോട്ടിലെ പോയിന്റ് N ന്റെ ഓർഡിനേറ്റ് ആണ്. വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്: , ÐNMP = j, . ആംഗിൾ j സ്ഥിരമാണ്, തുടർന്ന് 90 0 ന് തുല്യമല്ല പിന്നെ അതിനാൽ, y = kx + b എന്ന നേർരേഖ വക്രത്തിന്റെ ലക്ഷണമാണ്. ഈ വരി കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ, k, b എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്സ്പ്രഷനിൽ നമ്മൾ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് x എടുക്കുന്നു: കാരണം x®¥, പിന്നെ പിന്നെ കാരണം k = 0 എന്നതിനായുള്ള ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉദാഹരണം. 1) ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, അതിനാൽ, x = 0 ഒരു ലംബമായ ലക്ഷണമാണ്. 2) ചരിഞ്ഞ ലക്ഷണങ്ങൾ: അങ്ങനെ, y = x + 2 എന്ന നേർരേഖ ഒരു ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്. നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം: ഉദാഹരണം.അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തി ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക. x = 3, x = -3 എന്നീ വരികൾ വക്രതയുടെ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളാണ്. ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: y = 0 - തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ട്. ഉദാഹരണം.അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തി ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക x = -2 എന്ന നേർരേഖ വക്രത്തിന്റെ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്. ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. മൊത്തത്തിൽ, y = x – 4 എന്ന നേർരേഖ ഒരു ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്. പ്രവർത്തന പഠന പദ്ധതി പ്രവർത്തന ഗവേഷണ പ്രക്രിയ നിരവധി ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഫംഗ്ഷന്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചും അതിന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചും ഏറ്റവും പൂർണ്ണമായ ധാരണയ്ക്കായി, കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: 1) ഫംഗ്ഷന്റെ നിലനിൽപ്പിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ. ഈ ആശയത്തിൽ മൂല്യങ്ങളുടെ ഡൊമെയ്‌നും ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നും ഉൾപ്പെടുന്നു. 2) ബ്രേക്കിംഗ് പോയിന്റുകൾ. (ലഭ്യമാണെങ്കിൽ). 3) വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ. 4) കൂടിയതും കുറഞ്ഞതുമായ പോയിന്റുകൾ. 5) ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്നിലെ പരമാവധി കുറഞ്ഞ മൂല്യം. 6) കുതിച്ചുചാട്ടവും കുതിച്ചുചാട്ടവും ഉള്ള മേഖലകൾ. 7) ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ (എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ). 8) അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ (എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ). 9) ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു. ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സ്കീമിന്റെ പ്രയോഗം നോക്കാം. ഉദാഹരണം.ഫംഗ്ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്ത് അതിന്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക. ഫംഗ്ഷന്റെ നിലനിൽപ്പിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അത് വ്യക്തമാണ് നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻഫംഗ്ഷൻ എന്നത് ഏരിയയാണ് (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). അതാകട്ടെ, x = 1, x = -1 എന്നീ നേർരേഖകളാണെന്ന് വ്യക്തമാണ് ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾവക്രമായ. മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ഇടവേളയാണ് (-¥; ¥). ബ്രേക്ക് പോയിന്റുകൾ x = 1, x = -1 എന്നീ പോയിന്റുകളാണ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു നിർണായക പോയിന്റുകൾ. ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം നിർണായക പോയിന്റുകൾ: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1. ഫംഗ്ഷന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം ഇടവിട്ടുള്ള വക്രതയുടെ കുതിച്ചുചാട്ടവും കോൺകാവിറ്റിയും നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ >0, കോൺകേവ് കർവ് 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ >0, കോൺകേവ് കർവ് < x < ¥, y¢¢ >0, കോൺകേവ് കർവ് വിടവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു വർദ്ധിച്ചുവരുന്നഒപ്പം അവരോഹണംപ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇടവേളകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. -¥ < x < - , y¢ >0, പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ >0, പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു x = - എന്നത് ഒരു ബിന്ദുവാണെന്ന് കാണാം പരമാവധി, പോയിന്റ് x = ഒരു പോയിന്റാണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്. ഈ പോയിന്റുകളിലെ പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങൾ യഥാക്രമം -3/2, 3/2 എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ലംബത്തെക്കുറിച്ച് രോഗലക്ഷണങ്ങൾമുകളിൽ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. ഇനി നമുക്ക് കണ്ടെത്താം ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ. മൊത്തത്തിൽ, ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടിന്റെ സമവാക്യം y = x ആണ്. നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം പട്ടികഫീച്ചറുകൾ: നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ
നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഫംഗ്ഷനുകൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിശദമായ വിവരണത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തും. ലഭിച്ച എല്ലാ ഫലങ്ങളും ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് സാധുതയുള്ളതായിരിക്കും. നിർവ്വചനം: ചില നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഒരു നിശ്ചിത ഗണത്തിൽ നിന്നുള്ള പരസ്പര സ്വതന്ത്ര സംഖ്യകളുടെ (x, y) ഓരോ ജോഡിയും z വേരിയബിളിന്റെ ഒന്നോ അതിലധികമോ മൂല്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, z എന്ന വേരിയബിളിനെ രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിർവ്വചനം:
ഒരു ജോടി സംഖ്യകൾ (x, y) ഒരു മൂല്യം z ന് സമാനമാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷനെ വിളിക്കുന്നു അവ്യക്തമായ, ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ആണെങ്കിൽ - പോളിസെമാന്റിക്. നിർവ്വചനം:നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻഫംഗ്ഷൻ z എന്നത് ജോഡികളുടെ (x, y) ഗണമാണ്, അതിനായി z ഫംഗ്ഷൻ നിലവിലുണ്ട്. നിർവ്വചനം:ഒരു പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കം r ആരത്തിന്റെ M 0 (x 0, y 0) എന്നത് വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന എല്ലാ പോയിന്റുകളുടെയും (x, y) ഗണമാണ് നിർവ്വചനം:
എ എന്ന നമ്പർ വിളിക്കുന്നു പരിധി F(x, y) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ M(x, y) പോയിന്റ് M 0 (x 0, y 0) എന്ന ബിന്ദുവിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, ഓരോ സംഖ്യയ്ക്കും e > 0 എന്ന സംഖ്യയുണ്ടെങ്കിൽ, M എന്ന ബിന്ദുവിനും r > 0 എന്ന സംഖ്യ ഉണ്ടായിരിക്കും. (x, y), വ്യവസ്ഥ ശരിയാണ് വ്യവസ്ഥയും ശരിയാണ് എഴുതുക: നിർവ്വചനം:
M 0 (x 0, y 0) എന്ന പോയിന്റ് f(x, y) ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടട്ടെ. അപ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ z = f(x, y) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു തുടർച്ചയായപോയിന്റ് M 0 (x 0, y 0), എങ്കിൽ കൂടാതെ M(x, y) എന്ന പോയിന്റ് ഏകപക്ഷീയമായ രീതിയിൽ M 0 (x 0, y 0) എന്ന ബിന്ദുവിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും ഘട്ടത്തിൽ വ്യവസ്ഥ (1) തൃപ്തികരമല്ലെങ്കിൽ, ഈ പോയിന്റിനെ വിളിക്കുന്നു ബ്രേക്ക് പോയിന്റ്ഫംഗ്ഷനുകൾ f(x, y). ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ ആയിരിക്കാം: 1) z = f(x, y) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ M 0 (x 0, y 0) എന്ന പോയിന്റിൽ നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. 2) പരിധിയില്ല. 3) ഈ പരിധി നിലവിലുണ്ട്, എന്നാൽ ഇത് f(x 0 , y 0) ന് തുല്യമല്ല. സ്വത്ത്.
f(x, y, …) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും ഒരു ക്ലോസ്‌ഡിൽ തുടർച്ചയായതും ആണെങ്കിൽ ബൗണ്ടഡ് ഡൊമെയ്ൻ ഡി, ഈ ഡൊമെയ്‌നിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു പോയിന്റെങ്കിലും ഉണ്ട് N(x 0 , y 0 , ...), ബാക്കിയുള്ള പോയിന്റുകൾക്ക് അസമത്വം ശരിയാണ് f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, ...) അതുപോലെ പോയിന്റ് N 1 (x 01, y 01, ...), മറ്റെല്ലാ പോയിന്റുകൾക്കും അസമത്വം ശരിയാണ് f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …) അപ്പോൾ f(x 0 , y 0 , …) = M – ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യംഫംഗ്ഷനുകൾ, ഒപ്പം f(x 01 , y 01 , ...) = m – ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം D ഡൊമെയ്നിലെ f(x, y, …) ഫംഗ്ഷനുകൾ. ഒരു അടഞ്ഞതും ബൗണ്ടഡ് ആയതുമായ ഡൊമെയ്നിലെ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം D അതിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യത്തിൽ ഒരു തവണയെങ്കിലും അതിന്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യത്തിൽ എത്തുന്നു. സ്വത്ത്.
F(x, y, …) ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും തുടർച്ചയായതുമായ ഒരു അടഞ്ഞ ബൗണ്ടഡ് ഡൊമെയ്‌നിൽ D, കൂടാതെ M, m എന്നിവ യഥാക്രമം ഈ ഡൊമെയ്നിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങളാണെങ്കിൽ, ഏത് പോയിന്റിനും m O ഒരു പോയിന്റുണ്ട് N 0 (x 0, y 0, …) അതായത് f(x 0, y 0, …) = m. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, M നും m നും ഇടയിലുള്ള എല്ലാ ഇന്റർമീഡിയറ്റ് മൂല്യങ്ങളും D എന്ന ഡൊമെയ്‌നിൽ ഒരു തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം എടുക്കുന്നു. ഈ പ്രോപ്പർട്ടിയുടെ അനന്തരഫലമായി, M, m എന്നീ സംഖ്യകൾ വ്യത്യസ്ത ചിഹ്നങ്ങളാണെങ്കിൽ, D എന്ന ഡൊമെയ്‌നിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഒരിക്കലെങ്കിലും അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു എന്ന നിഗമനം ആകാം. സ്വത്ത്.
ഫംഗ്ഷൻ f(x, y, …), ഒരു അടഞ്ഞ ബൗണ്ടഡ് ഡൊമെയ്‌നിൽ തുടർച്ചയായി, പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നുഈ മേഖലയിൽ, ഈ മേഖലയിലെ എല്ലാ പോയിന്റുകൾക്കും അസമത്വം ശരിയാകുന്ന തരത്തിൽ K എന്ന സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ സ്വത്ത്.
ഒരു ക്ലോസ്ഡ് ബൗണ്ടഡ് ഡൊമെയ്‌നിൽ f(x, y, …) ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുകയും തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, അത് ഒരേപോലെ തുടർച്ചയായിഈ പ്രദേശത്ത്, അതായത്. ഏതൊരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്കും e എന്നതിന് D > 0 എന്ന സംഖ്യയുണ്ട്, അതായത് D-നേക്കാൾ കുറഞ്ഞ അകലത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന പ്രദേശത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്ക് (x 1, y 1) (x 2, y 2) അസമത്വം നിലനിൽക്കും. മുകളിലുള്ള ഗുണങ്ങൾ ഒരു ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി വരുന്ന ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗുണങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ്. ഒരു ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ കാണുക. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഡിഫറൻഷ്യലുകളും നിരവധി വേരിയബിളുകൾ. നിർവ്വചനം.
ചില ഡൊമെയ്‌നിൽ z = f(x, y) ഫംഗ്ഷൻ നൽകട്ടെ. നമുക്ക് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് M(x, y) എടുത്ത് ഇൻക്രിമെന്റ് Dx x എന്ന വേരിയബിളിലേക്ക് സജ്ജമാക്കാം. അപ്പോൾ അളവ് D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) എന്ന് പറയുന്നു x ലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഭാഗിക വർദ്ധനവ്. നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം അപ്പോൾ അത് വിളിക്കപ്പെടുന്നു ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് x-ൽ z = f(x, y) പ്രവർത്തനങ്ങൾ. പദവി: y യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് സമാനമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ജ്യാമിതീയ ബോധംഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് (നമുക്ക് പറയാം) എന്നത് y = y 0 എന്ന തലം മുഖേന ഉപരിതലത്തിന്റെ ഭാഗത്തേക്ക് N 0 (x 0, y 0, z 0) എന്ന ബിന്ദുവിൽ വരച്ച ടാൻജെന്റിന്റെ ചെരിവിന്റെ കോണിന്റെ ടാൻജെന്റാണ്. ഫുൾ ഇൻക്രിമെന്റും ഫുൾ ഡിഫറൻഷ്യലും.
ടാൻജെന്റ് വിമാനം N, N 0 എന്നിവ ഈ പ്രതലത്തിന്റെ ബിന്ദുക്കളായിരിക്കട്ടെ. NN 0 എന്ന നേർരേഖ വരയ്ക്കാം. N 0 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തെ വിളിക്കുന്നു ടാൻജെന്റ് വിമാനം NN 0 ദൂരം പൂജ്യമായി മാറുമ്പോൾ, സെക്കന്റ് NN 0-നും ഈ തലം പൂജ്യത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ പൂജ്യമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ ഉപരിതലത്തിലേക്ക്. നിർവ്വചനം.സാധാരണ N 0 പോയിന്റിലെ ഉപരിതലത്തിലേക്ക് ഈ പ്രതലത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് തലത്തിലേക്ക് ലംബമായി N 0 പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയാണ്. ഏത് ഘട്ടത്തിലും ഉപരിതലത്തിന് ഒന്നുകിൽ ഒരു ടാൻജെന്റ് തലം മാത്രമേയുള്ളൂ അല്ലെങ്കിൽ അത് ഇല്ല. z = f(x, y) എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഉപരിതലം നൽകിയിരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, F(x, y) എന്നത് M 0 (x 0, y 0) എന്ന ബിന്ദുവിൽ വ്യത്യാസമുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ആണെങ്കിൽ, N 0 എന്ന ബിന്ദുവിലെ ടാൻജെന്റ് തലം ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) നിലവിലുണ്ട്, അതിന് സമവാക്യമുണ്ട്: ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഉപരിതലത്തിലേക്കുള്ള നോർമലിന്റെ സമവാക്യം ഇതാണ്: ജ്യാമിതീയ ബോധംപോയിന്റിലെ (x 0, y 0) രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ആകെ വ്യത്യാസം (x 0, y 0) പോയിന്റിൽ നിന്ന് (x 0) നീങ്ങുമ്പോൾ ഉപരിതലത്തിലേക്ക് ടാൻജെന്റ് പ്ലെയിനിന്റെ അപേക്ഷയുടെ (z കോർഡിനേറ്റുകൾ) വർദ്ധനവാണ്. , y 0) പോയിന്റിലേക്ക് (x 0 + Dx, y 0 +Dу). നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡിഫറൻഷ്യലിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തിന്റെ സ്പേഷ്യൽ അനലോഗ് ആണ്. ഉദാഹരണം.ടാൻജെന്റ് തലത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളും ഉപരിതലത്തിലേക്ക് സാധാരണവും കണ്ടെത്തുക പോയിന്റിൽ M(1, 1, 1). ടാൻജെന്റ് പ്ലെയിൻ സമവാക്യം: സാധാരണ സമവാക്യം: മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ.
ഫംഗ്ഷൻ u യുടെ ആകെ വ്യത്യാസം ഇതിന് തുല്യമാണ്: ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം 1.049275225687319176 ആണ്. ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. ചില ഡൊമെയ്‌നുകളിൽ f(x, y) ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളും അതേ ഡൊമെയ്‌നിലോ അതിന്റെ ഭാഗത്തിലോ നിർവചിക്കപ്പെടും. ഞങ്ങൾ ഇവയെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ എന്ന് വിളിക്കും ആദ്യ ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ആയിരിക്കും രണ്ടാം ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതകളെ വേർതിരിക്കുന്നത് തുടരുന്നതിലൂടെ, ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു. y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക, അത് ഇടവേളയിൽ (a, b) കണക്കാക്കുന്നു. എല്ലാ x (x1, b) നും അസമത്വം f(x1) > f(x) നിലനിർത്തുന്ന തരത്തിൽ (a, b) ഇടവേളയിൽ പെടുന്ന x1 പോയിന്റിന്റെ b-അയൽപക്കം സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, y1 = f1(x1) എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരമാവധി y = f(x) ചിത്രം കാണുക. y = f(x) ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി ഞങ്ങൾ പരമാവധി f(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. എല്ലാ x നും അത് O (x2, 6) എന്നതിന് തുല്യമായതിനാൽ, x എന്നത് x2 ന് തുല്യമല്ല, ഇടവേളയിൽ (a, b) പെടുന്ന ഒരു പോയിന്റിന്റെ x2-ന്റെ b-അയൽപക്കം സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു f(x2)< f(x)
, തുടർന്ന് y2= f(x2) എന്നത് y-f(x) ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതായി വിളിക്കുന്നു (ചിത്രം കാണുക). പരമാവധി കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണത്തിനായി, ഇനിപ്പറയുന്ന വീഡിയോ കാണുക y = f(x) ഫംഗ്ഷന്റെ മിനിമം f(x) കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വാക്കിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞത് y = f(x) വിളിച്ചുഅതിന്റെ മൂല്യം തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിനോട് വളരെ അടുത്തും അതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തവുമായ പോയിന്റുകളിൽ സ്വീകാര്യമായ മറ്റെല്ലാ മൂല്യങ്ങളേക്കാളും വലുതാണ് (കുറവ്). കുറിപ്പ് 1. പരമാവധി പ്രവർത്തനം, അസമത്വത്താൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടത് കർശനമായ പരമാവധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു; കർശനമല്ലാത്ത പരമാവധി അസമത്വത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു f(x1) > = f(x2) കുറിപ്പ് 2. ഒരു പ്രാദേശിക പ്രതീകം ഉണ്ടായിരിക്കുക (ഇത് അനുബന്ധ പോയിന്റിന്റെ മതിയായ ചെറിയ അയൽപക്കത്തിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങളാണ്); ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വ്യക്തിഗത മിനിമ അതേ ഫംഗ്ഷന്റെ മാക്‌സിമയേക്കാൾ വലുതായിരിക്കാം ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ കൂടിയതും കുറഞ്ഞതും ആയവയെ എക്സ്ട്രീം എന്ന് വിളിക്കുന്നു
. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ എക്സ്ട്രീമ ഇൻ കണ്ടെത്തി ലാറ്റിൻ എക്സ്ട്രീം എന്നാൽ "തീവ്രമായത്"
അർത്ഥം. ആർഗ്യുമെന്റ് x ന്റെ മൂല്യം ഏത് തീവ്രതയിൽ എത്തുന്നുവോ അതിനെ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം. ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്ഷന്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റിൽ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. സിദ്ധാന്തത്തിന് ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമുണ്ട്: അനുബന്ധ പോയിന്റിലെ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്.
അല്ലെങ്കിൽ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ആന്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ആന്റിഡെറിവേറ്റീവ് സ്ഥിരമായ മൂല്യം വരെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.
, ഇവിടെ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കമാണ്.
.
, ഈ പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായതും സമത്വം സത്യവുമാണ് 
.
എവിടെ .
. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഓർമ്മിക്കുകയും ലെ പരിധിയിലേക്ക് പോകുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും. അതായത്, ഇത് ഫംഗ്ഷന്റെ ആന്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്നാണ് y = f(x)സെഗ്മെന്റിൽ
. അങ്ങനെ, എല്ലാ ആന്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും സെറ്റ് F(x)എന്ന് എഴുതാം 
, എവിടെ കൂടെ- ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കം.
, അതിനാൽ, . കണക്കാക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ഈ ഫലം ഉപയോഗിക്കാം F(b): , അതാണ് 
. ഈ സമത്വം തെളിയിക്കാവുന്ന ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല നൽകുന്നു .
. ഈ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല രൂപം പ്രാപിക്കുന്നു 
.
. നമുക്ക് ആന്റിഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കാം C=0: .
.ചതുരാകൃതിയിലുള്ള എസ്.കെ. ഫംഗ്ഷൻ പാരാമെട്രിക് ആയി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു പൊല്യര്നയ എസ്.കെ.
വിമാന രൂപങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ
ഒരു തലം വക്രത്തിന്റെ ആർക്ക് നീളം കണക്കാക്കുന്നു
വിപ്ലവത്തിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു
ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമല്ല.
രേഖീയമല്ലാത്ത ഗണിതശാസ്ത്ര പെൻഡുലം സമവാക്യത്തിന്റെ ഏകദേശമായി കണക്കാക്കാം 
ചെറിയ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകളുടെ കാര്യത്തിൽ, എപ്പോൾ വൈ≈ പാപം വൈ.
, പ്രവർത്തനം: നിർവചനം
ഡെറിവേറ്റീവും അതിന്റെ പങ്കും
ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?
പ്രവർത്തനം പഠിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ
വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ
എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ
പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങളും പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകളും
ഈ കേസുകളിൽ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കണം? പരമാവധി/കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുക
അത് ശരിയാണ്, ആദ്യം പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു, തുടർന്ന് കുറയുന്നു - ഇതാണ് പരമാവധി പോയിന്റ്!
ഉത്തരം: −15 
ഉത്തരം: -2 ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലിയ/ചെറിയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക
വൈ വൈ
ചെയ്തത്
. അതിന്റെ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് y = x ആണ്.
.
, കാരണം b = const, അപ്പോൾ 
.
, അതിനാൽ,
.
, അത് 
, അതിനാൽ,
.
.
.
.
(1)
.
.
ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനങ്ങൾ
തൽഫലമായി, ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി (കുറഞ്ഞത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രാദേശിക പരമാവധി(പ്രാദേശിക മിനിമം) സമ്പൂർണ്ണ മാക്സിമം (കുറഞ്ഞത്) എന്നതിന് വിപരീതമായി - ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്നിലെ ഏറ്റവും വലിയ (ചെറിയ) മൂല്യം.
