ഒരു കോണിന്റെ സ്പർശനത്തിന്റെ അർത്ഥം. സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്: അതെന്താണ്? സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് എന്നിവ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ത്രികോണമിതിയിൽ സൈൻ

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416...\)

വാദവും മൂല്യവും

ഒരു നിശിത കോണിന്റെ കോസൈൻ

ഒരു നിശിത കോണിന്റെ കോസൈൻഒരു വലത് ത്രികോണം ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും - ഇത് തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം :

1) ഒരു ആംഗിൾ നൽകട്ടെ, ഈ കോണിന്റെ കോസൈൻ നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

2) ഈ മൂലയിൽ ഏതെങ്കിലും വലത് കോണുള്ള ത്രികോണം പൂർത്തിയാക്കാം.

3) ആവശ്യമായ വശങ്ങൾ അളന്നുകഴിഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് കോസൈൻ കണക്കാക്കാം.

ഒരു നിശിത കോണിന്റെ കോസൈൻ \(0\) നേക്കാൾ വലുതും \(1\) നേക്കാൾ കുറവുമാണ്

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു നിശിത കോണിന്റെ കോസൈൻ 1 അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആയി മാറിയെങ്കിൽ, പരിഹാരത്തിൽ എവിടെയെങ്കിലും ഒരു പിശക് ഉണ്ട്.

ഒരു സംഖ്യയുടെ കോസൈൻ

ഏത് സംഖ്യയുടെയും കോസൈൻ നിർണ്ണയിക്കാൻ നമ്പർ സർക്കിൾ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, എന്നാൽ സാധാരണയായി എങ്ങനെയോ ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യകളുടെ കോസൈൻ കണ്ടെത്തുക : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

ഉദാഹരണത്തിന്, \(\frac(π)(6)\) എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് - കോസൈൻ \(\frac(\sqrt(3))(2)\) ന് തുല്യമായിരിക്കും. കൂടാതെ \(-\)\(\frac(3π)(4)\) എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് അത് \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ഏകദേശം \) തുല്യമായിരിക്കും (-0 ,71\)).

പ്രായോഗികമായി പലപ്പോഴും കണ്ടുമുട്ടുന്ന മറ്റ് സംഖ്യകൾക്കുള്ള കോസൈൻ, കാണുക.

കോസൈൻ മൂല്യം എപ്പോഴും \(-1\) നും \(1\) നും ഇടയിലാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കോസൈൻ തികച്ചും ഏത് കോണിനും സംഖ്യയ്ക്കും കണക്കാക്കാം.

ഏതെങ്കിലും കോണിന്റെ കോസൈൻ

സംഖ്യാ വൃത്തത്തിന് നന്ദി, ഒരു നിശിത കോണിന്റെ മാത്രമല്ല, മങ്ങിയതും, നെഗറ്റീവ്, കൂടാതെ \ (360 ° \) (ഫുൾ ടേൺ) എന്നതിനേക്കാൾ വലുതുമായ കോസൈൻ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാം - \(100\) തവണ കേൾക്കുന്നതിനേക്കാൾ ഒരു തവണ കാണുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അതിനാൽ ചിത്രം നോക്കുക.

ഇപ്പോൾ ഒരു വിശദീകരണം: കോണിന്റെ കോസൈൻ നിർണ്ണയിക്കാൻ അത് ആവശ്യമായിരിക്കട്ടെ കെ.ഒ.എ\(150°\) ഡിഗ്രി അളവിനൊപ്പം. ഞങ്ങൾ പോയിന്റ് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു ഒവൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്തും വശവും ശരി- \(x\) അക്ഷം ഉപയോഗിച്ച്. അതിനുശേഷം, \ (150 ° \) എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ വയ്ക്കുക. പിന്നെ പോയിന്റിന്റെ ഓർഡിനേറ്റ് പക്ഷേഈ കോണിന്റെ കോസൈൻ നമുക്ക് കാണിച്ചുതരും.

ഡിഗ്രി അളവിലുള്ള ഒരു കോണിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, \ (-60 ° \) (കോണിൽ കെ.ഒ.വി), ഞങ്ങളും അതുതന്നെ ചെയ്യുന്നു, പക്ഷേ \(60°\) ഘടികാരദിശയിൽ മാറ്റിവെക്കുക.

അവസാനമായി, ആംഗിൾ \(360°\) (കോണിനെക്കാൾ വലുതാണ് KOS) - എല്ലാം മൂർച്ചയില്ലാത്തതിന് സമാനമാണ്, ഘടികാരദിശയിൽ ഒരു പൂർണ്ണ തിരിവ് കടന്നതിനുശേഷം മാത്രമേ ഞങ്ങൾ രണ്ടാം റൗണ്ടിലേക്ക് പോയി “ഡിഗ്രികളുടെ അഭാവം നേടൂ”. പ്രത്യേകിച്ചും, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, \(405°\) ആംഗിൾ \(360° + 45°\) ആയി പ്ലോട്ട് ചെയ്തിരിക്കുന്നു.

ഒരു ആംഗിൾ മാറ്റിവയ്ക്കാൻ, ഉദാഹരണത്തിന്, \ (960 ° \) ൽ, നിങ്ങൾ രണ്ട് തിരിവുകളും (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) കൂടാതെ \ എന്നതിലെ ഒരു കോണും നടത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് ഊഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. (2640 ° \) - മുഴുവൻ ഏഴ്.

ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്:

ഒരു വലത് കോണിന്റെ കോസൈൻ പൂജ്യമാണ്. മങ്ങിയ കോണിന്റെ കോസൈൻ നെഗറ്റീവ് ആണ്.

ക്വാർട്ടേഴ്സിൽ കോസൈൻ അടയാളങ്ങൾ

കോസൈൻ അക്ഷം (അതായത്, ചിത്രത്തിൽ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്ന അബ്സിസ്സ അക്ഷം) ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു സംഖ്യാ (ത്രികോണമിതി) സർക്കിളിനൊപ്പം കോസൈനുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്:

അച്ചുതണ്ടിലെ മൂല്യങ്ങൾ \(0\) മുതൽ \(1\) വരെയുള്ളിടത്ത്, കോസൈന് ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം ഉണ്ടായിരിക്കും (I, IV ക്വാർട്ടറുകൾ പച്ച പ്രദേശമാണ്),
- അച്ചുതണ്ടിലെ മൂല്യങ്ങൾ \(0\) മുതൽ \(-1\) വരെയാണെങ്കിൽ, കോസൈന് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉണ്ടായിരിക്കും (II, III ക്വാർട്ടേഴ്സ് - പർപ്പിൾ ഏരിയ).

ഉദാഹരണം. അടയാളം നിർവ്വചിക്കുക \(\cos 1\).
പരിഹാരം: നമുക്ക് ത്രികോണമിതി സർക്കിളിൽ \(1\) കണ്ടെത്താം. \ (π \u003d 3,14 \) എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കും. ഇതിനർത്ഥം ഒന്ന് പൂജ്യത്തോട് ഏകദേശം മൂന്ന് മടങ്ങ് അടുത്താണ് ("ആരംഭ" പോയിന്റ്).

കോസൈൻ അക്ഷത്തിന് ലംബമായി വരച്ചാൽ, \(\cos⁡1\) പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് വ്യക്തമാകും.
ഉത്തരം: ഒരു പ്ലസ്.

മറ്റ് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധം:

പ്രവർത്തനം \(y=\cos(x)\)

ഞങ്ങൾ \(x\) അക്ഷത്തിൽ റേഡിയനുകളിൽ കോണുകളും \(y\) അക്ഷത്തിൽ ഈ കോണുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കോസൈൻ മൂല്യങ്ങളും പ്ലോട്ട് ചെയ്താൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗ്രാഫ് ലഭിക്കും:

ഈ ഗ്രാഫിനെ വിളിക്കുന്നു കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ x ന്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യമാണ്: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി - \(-1\) മുതൽ \(1\) വരെ: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- പോലും: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- ആനുകാലികം \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായുള്ള വിഭജന പോയിന്റുകൾ:
abscissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), ഇവിടെ \(n ϵ Z\)
y-അക്ഷം: \((0;1)\)
- പ്രതീക ഇടവേളകൾ:
ഇടവേളകളിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ പോസിറ്റീവ് ആണ്: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), എവിടെ \(n ϵ Z\)
ഇടവേളകളിൽ ഫംഗ്ഷൻ നെഗറ്റീവ് ആണ്: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), എവിടെ \(n ϵ Z\)
- വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ:
ഇടവേളകളിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു: \((π+2πn;2π+2πn)\), ഇവിടെ \(n ϵ Z\)
ഇടവേളകളിൽ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു: \((2πn;π+2πn)\), ഇവിടെ \(n ϵ Z\)
- ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി, മിനിമ:
\(x=2πn\), ഇവിടെ \(n ϵ Z\) എന്ന പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്‌ഷന് \(y=1\) പരമാവധി മൂല്യമുണ്ട്.
\(x=π+2πn\), ഇവിടെ \(n ϵ Z\) എന്ന പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്‌ഷന് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം \(y=-1\) ഉണ്ട്.

ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്താണ് എന്നത് ഒരു വലത് ത്രികോണം മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളെ എന്താണ് വിളിക്കുന്നത്? അത് ശരിയാണ്, ഹൈപ്പോടെൻസും കാലുകളും: വലത് കോണിന് എതിർവശത്തായി കിടക്കുന്ന വശമാണ് ഹൈപ്പോടെനസ് (ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇതാണ് വശം \ (AC \) ); കാലുകൾ ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് വശങ്ങളാണ് \ (AB \), \ (BC \) (വലത് കോണിനോട് ചേർന്നുള്ളവ), കൂടാതെ, കോണുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കാലുകൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ \ (BC \) , പിന്നെ കാൽ \ (AB \) അടുത്തുള്ള ലെഗ് ആണ്, ലെഗ് \ (BC \) വിപരീതമാണ്. അതിനാൽ, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാം: ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവ എന്തൊക്കെയാണ്?

ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ- ഇത് വിപരീത (ദൂരെ) കാലിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതമാണ്.

ഞങ്ങളുടെ ത്രികോണത്തിൽ:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ- ഇത് തൊട്ടടുത്തുള്ള (അടുത്തുള്ള) കാലിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതമാണ്.

ഞങ്ങളുടെ ത്രികോണത്തിൽ:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

ആംഗിൾ ടാൻജെന്റ്- ഇത് എതിർ (ദൂരെ) കാലിന്റെ തൊട്ടടുത്തുള്ള (അടുത്തുള്ള) അനുപാതമാണ്.

ഞങ്ങളുടെ ത്രികോണത്തിൽ:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

ഒരു കോണിന്റെ കോട്ടാൻജെന്റ്- ഇത് തൊട്ടടുത്തുള്ള (അടുത്തുള്ള) കാലിന്റെ വിപരീത (ദൂരെ) അനുപാതമാണ്.

ഞങ്ങളുടെ ത്രികോണത്തിൽ:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

ഈ നിർവചനങ്ങൾ ആവശ്യമാണ് ഓർക്കുക! ഏത് കാലിനെ എന്ത് കൊണ്ട് ഹരിക്കണമെന്ന് ഓർമ്മിക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അത് വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട് ടാൻജെന്റ്ഒപ്പം കോട്ടാൻജെന്റ്കാലുകൾ മാത്രം ഇരിക്കുന്നു, ഹൈപ്പോടെനസ് മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ സൈനസ്ഒപ്പം കോസൈൻ. തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അസോസിയേഷനുകളുടെ ഒരു ശൃംഖലയുമായി വരാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇത്:

കോസൈൻ→ടച്ച്→ടച്ച്→സമീപം;

കോട്ടാൻജെന്റ്→ടച്ച്→ടച്ച്→സമീപം.

ഒന്നാമതായി, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതങ്ങളായ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവ ഈ വശങ്ങളുടെ നീളത്തെ (ഒരു കോണിൽ) ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. വിശ്വസിക്കരുത്? തുടർന്ന് ചിത്രം നോക്കി ഉറപ്പാക്കുക:

ഉദാഹരണത്തിന്, \(\beta \) കോണിന്റെ കോസൈൻ പരിഗണിക്കുക. നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), എന്നാൽ നമുക്ക് \(\beta \) കോണിന്റെ കോസൈൻ ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് \(AHI \) കണക്കാക്കാം : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). നിങ്ങൾ കാണുന്നു, വശങ്ങളുടെ നീളം വ്യത്യസ്തമാണ്, എന്നാൽ ഒരു കോണിന്റെ കോസൈന്റെ മൂല്യം ഒന്നുതന്നെയാണ്. അതിനാൽ, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കോണിന്റെ വ്യാപ്തിയെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ നിർവചനങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുകയാണെങ്കിൽ, മുന്നോട്ട് പോയി അവ പരിഹരിക്കുക!

ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന \(ABC \) ത്രികോണത്തിന്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു \(\sin \\alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

ശരി, നിങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിച്ചോ? എന്നിട്ട് സ്വയം ശ്രമിക്കുക: \(\beta \) കോണിലും ഇത് തന്നെ കണക്കാക്കുക.

ഉത്തരങ്ങൾ: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

യൂണിറ്റ് (ത്രികോണമിതി) വൃത്തം

ഡിഗ്രിയുടെയും റേഡിയന്റെയും ആശയങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി, \ (1 \) ന് തുല്യമായ ദൂരമുള്ള ഒരു സർക്കിൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു. അത്തരമൊരു വൃത്തത്തെ വിളിക്കുന്നു സിംഗിൾ. ത്രികോണമിതിയുടെ പഠനത്തിൽ ഇത് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ അതിൽ കുറച്ചുകൂടി വിശദമായി വസിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ സർക്കിൾ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. സർക്കിളിന്റെ ആരം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതേസമയം വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം ഉത്ഭവസ്ഥാനത്താണ്, ആരം വെക്റ്ററിന്റെ പ്രാരംഭ സ്ഥാനം \(x \) അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ ഉറപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇതാണ് ആരം \(AB \) ).

സർക്കിളിലെ ഓരോ പോയിന്റും രണ്ട് സംഖ്യകളോട് യോജിക്കുന്നു: അക്ഷത്തോടൊപ്പമുള്ള കോർഡിനേറ്റ് \(x \) ഒപ്പം അക്ഷത്തിനൊപ്പം കോർഡിനേറ്റ് \(y \) . എന്താണ് ഈ കോർഡിനേറ്റ് നമ്പറുകൾ? പൊതുവേ, അവർ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന വിഷയവുമായി എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തെക്കുറിച്ച് ഓർക്കുക. മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വലത് ത്രികോണങ്ങൾ കാണാം. ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക \(ACG \) . \(CG \) \(x \) അക്ഷത്തിന് ലംബമായതിനാൽ ഇത് ദീർഘചതുരമാണ്.

\(ACG \) ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് \(\cos \\alpha \) എന്താണ്? അത് ശരിയാണ് \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). കൂടാതെ, \(AC \) എന്നത് യൂണിറ്റ് സർക്കിളിന്റെ ആരം ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതിനാൽ \(AC=1 \) . ഈ മൂല്യം ഞങ്ങളുടെ കോസൈൻ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് ഇതാ:

\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

ത്രികോണം \(ACG \) യിൽ നിന്ന് എന്താണ് \(\sin \\alpha \) ? ശരി, തീർച്ചയായും, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! ഈ ഫോർമുലയിൽ \ (AC \) റേഡിയസിന്റെ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച് നേടുക:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

അപ്പോൾ, വൃത്തത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന \(C \) പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എന്നോട് പറയാമോ? ശരി, വഴിയില്ലേ? എന്നാൽ \(\cos \\alpha \) ഉം \(\sin \alpha \) വെറും സംഖ്യകളാണെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയാലോ? \(\cos \alpha \) ഏത് കോർഡിനേറ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു? ശരി, തീർച്ചയായും, കോർഡിനേറ്റ് \(x \) ! കൂടാതെ \(\sin \alpha \) ഏത് കോർഡിനേറ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു? അത് ശരിയാണ്, \(y \) കോർഡിനേറ്റ്! അതിനാൽ പോയിന്റ് \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

അപ്പോൾ എന്താണ് \(tg \alpha \), \(ctg \alpha \) ? അത് ശരിയാണ്, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ ഉചിതമായ നിർവചനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അത് നേടാം \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), എ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

ആംഗിൾ വലുതാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? ഇവിടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ ചിത്രത്തിൽ പോലെ:

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ എന്താണ് മാറിയത്? നമുക്ക് അത് കണ്ടുപിടിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിലേക്ക് തിരിയുന്നു. ഒരു വലത് ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ഒരു ആംഗിൾ (കോണിനോട് ചേർന്ന് \(\beta \) ). ഒരു കോണിനുള്ള സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ മൂല്യം എന്താണ് \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? അത് ശരിയാണ്, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പാലിക്കുന്നു:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\ cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))(A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

ശരി, നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, കോണിന്റെ സൈനിന്റെ മൂല്യം ഇപ്പോഴും കോർഡിനേറ്റുമായി യോജിക്കുന്നു \ (y \) ; കോണിന്റെ കോസൈന്റെ മൂല്യം - കോർഡിനേറ്റ് \ (x \) ; അനുബന്ധ അനുപാതങ്ങളിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളും. അതിനാൽ, ഈ ബന്ധങ്ങൾ ആരം വെക്റ്ററിന്റെ ഏത് ഭ്രമണത്തിനും ബാധകമാണ്.

ആരം വെക്‌ടറിന്റെ പ്രാരംഭ സ്ഥാനം \(x \) അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലാണെന്ന് ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇതുവരെ നമ്മൾ ഈ വെക്‌ടറിനെ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? അസാധാരണമായ ഒന്നുമില്ല, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത വലുപ്പത്തിന്റെ ഒരു കോണും ലഭിക്കും, പക്ഷേ അത് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും. അങ്ങനെ, ആരം വെക്റ്റർ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും പോസിറ്റീവ് കോണുകൾ, ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുമ്പോൾ - നെഗറ്റീവ്.

അതിനാൽ, സർക്കിളിന് ചുറ്റുമുള്ള ആരം വെക്റ്ററിന്റെ മുഴുവൻ വിപ്ലവവും \(360()^\circ \) അല്ലെങ്കിൽ \(2\pi \) ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം. റേഡിയസ് വെക്റ്റർ \(390()^\circ \) അല്ലെങ്കിൽ \(-1140()^\circ \) ഉപയോഗിച്ച് തിരിക്കാൻ കഴിയുമോ? ശരി, തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും! ആദ്യ കേസിൽ, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), അതിനാൽ ആരം വെക്റ്റർ ഒരു പൂർണ്ണ ഭ്രമണം നടത്തി \(30()^\circ \) അല്ലെങ്കിൽ \(\dfrac(\pi )(6) \) .

രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), അതായത്, റേഡിയസ് വെക്റ്റർ മൂന്ന് പൂർണ്ണ വിപ്ലവങ്ങൾ നടത്തുകയും \(-60()^\circ \) അല്ലെങ്കിൽ \(-\dfrac(\pi )(3) \) സ്ഥാനത്ത് നിർത്തുകയും ചെയ്യും.

അതിനാൽ, മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന്, \(360()^\circ \cdot m \) അല്ലെങ്കിൽ \(2\pi \cdot m \) (ഇവിടെ \(m \) ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ് ) റേഡിയസ് വെക്റ്ററിന്റെ അതേ സ്ഥാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ചുവടെയുള്ള ചിത്രം ആംഗിൾ കാണിക്കുന്നു \(\beta =-60()^\circ \) . ഒരേ ചിത്രം കോണുമായി യോജിക്കുന്നു \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)തുടങ്ങിയവ. ഈ ലിസ്റ്റ് അനിശ്ചിതമായി തുടരാം. ഈ കോണുകളെല്ലാം പൊതുവായ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാം \(\beta +360()^\circ \cdot m\)അല്ലെങ്കിൽ \(\beta +2\pi \cdot m \) (ഇവിടെ \(m \) ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

ഇപ്പോൾ, അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ നിർവചനങ്ങൾ അറിയുകയും യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച്, മൂല്യങ്ങൾ തുല്യമാണോ എന്ന് ഉത്തരം നൽകാൻ ശ്രമിക്കുക:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

നിങ്ങളെ സഹായിക്കാൻ ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഇതാ:

എന്തെങ്കിലും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടോ? അപ്പോൾ നമുക്ക് അത് മനസ്സിലാക്കാം. അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്കത് അറിയാം:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

ഇവിടെ നിന്ന്, കോണിന്റെ ചില അളവുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ശരി, നമുക്ക് ക്രമത്തിൽ ആരംഭിക്കാം: മൂലയിൽ \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു പോയിന്റുമായി യോജിക്കുന്നു \(\ഇടത്(0;1 \വലത്) \) , അതിനാൽ:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- നിലവിലില്ല;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

കൂടാതെ, അതേ യുക്തിക്ക് അനുസൃതമായി, മൂലകൾ ഉള്ളതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിന്റുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു \(\ഇടത്(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \വലത്) \), യഥാക്രമം. ഇത് അറിയുന്നതിലൂടെ, അനുബന്ധ പോയിന്റുകളിൽ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ആദ്യം ഇത് സ്വയം പരീക്ഷിക്കുക, തുടർന്ന് ഉത്തരങ്ങൾ പരിശോധിക്കുക.

ഉത്തരങ്ങൾ:

\(\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- നിലവിലില്ല

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- നിലവിലില്ല

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- നിലവിലില്ല

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- നിലവിലില്ല

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

അതിനാൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം:

ഈ മൂല്യങ്ങളെല്ലാം ഓർത്തിരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. യൂണിറ്റ് സർക്കിളിലെ പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളും ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളും തമ്മിലുള്ള കത്തിടപാടുകൾ ഓർമ്മിച്ചാൽ മതി:

\(\ഇടത്. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(ഓർക്കണം അല്ലെങ്കിൽ ഔട്ട്പുട്ട് ചെയ്യാൻ കഴിയണം!! \) !}

കോണുകളുടെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഇവിടെയുണ്ട് \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നത്, നിങ്ങൾ ഓർക്കണം:

ഭയപ്പെടേണ്ടതില്ല, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങളുടെ ലളിതമായ ഓർമ്മപ്പെടുത്തലിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങളിലൊന്ന് കാണിക്കും:

ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, മൂന്ന് ആംഗിൾ അളവുകൾക്കും സൈൻ മൂല്യങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ് ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), അതുപോലെ \(30()^\circ \) എന്നതിലെ കോണിന്റെ ടാൻജെന്റിന്റെ മൂല്യം. ഈ \(4\) മൂല്യങ്ങൾ അറിയുന്നത്, മുഴുവൻ പട്ടികയും പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ് - കോസൈൻ മൂല്യങ്ങൾ അമ്പടയാളങ്ങൾക്ക് അനുസൃതമായി കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, അതായത്:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \ അവസാനം(അറേ) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), ഇത് അറിയുന്നതിലൂടെ, മൂല്യങ്ങൾ പുനഃസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). ന്യൂമറേറ്റർ “\(1 \) ” \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) യുമായി പൊരുത്തപ്പെടും, കൂടാതെ “\(\sqrt(\text(3)) \)” എന്ന ഡിനോമിനേറ്റർ \/ (\text (tg)\ 60()^\circ \\) . ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന അമ്പടയാളങ്ങൾക്ക് അനുസൃതമായി കോട്ടാൻജെന്റ് മൂല്യങ്ങൾ കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. നിങ്ങൾ ഇത് മനസിലാക്കുകയും അമ്പടയാളങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സ്കീം ഓർമ്മിക്കുകയും ചെയ്താൽ, പട്ടികയിൽ നിന്ന് \(4 \) മൂല്യങ്ങൾ മാത്രം ഓർമ്മിച്ചാൽ മതിയാകും.

ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ

സർക്കിളിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും അതിന്റെ ആരവും ഭ്രമണകോണും അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് ഒരു വൃത്തത്തിൽ ഒരു പോയിന്റ് (അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ) കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ? ശരി, തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും! ഒരു പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു പൊതു സൂത്രവാക്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഇവിടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾക്ക് അത്തരമൊരു സർക്കിൾ ഉണ്ട്:

ഞങ്ങൾക്ക് ആ പോയിന്റ് നൽകിയിരിക്കുന്നു \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രമാണ്. വൃത്തത്തിന്റെ ആരം \(1,5 \) ആണ്. \(O \) പോയിന്റ് \(\ഡെൽറ്റ \) ഡിഗ്രി കൊണ്ട് തിരിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച \(P \) പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, \ (P \) പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് \ (x \) സെഗ്മെന്റിന്റെ നീളവുമായി യോജിക്കുന്നു \ (TP=UQ=UK+KQ \) . സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളം \ (UK \) സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് \ (x \) യുമായി യോജിക്കുന്നു, അതായത്, അത് \ (3 \) ന് തുല്യമാണ്. സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളം \(KQ \) കോസൈന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കാം:

\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

അപ്പോൾ നമുക്ക് പോയിന്റ് \(P \) കോർഡിനേറ്റ് ഉണ്ട് \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

അതേ ലോജിക്കനുസരിച്ച്, \(P \) എന്ന പോയിന്റിനുള്ള y കോർഡിനേറ്റിന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ വഴിയിൽ,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

അതിനാൽ, പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), എവിടെ

\((((x)_(0)),((y)_(0)) \) - സർക്കിളിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ,

\(r\) - സർക്കിൾ ആരം,

\(\ഡെൽറ്റ \) - വെക്റ്റർ ആരത്തിന്റെ ഭ്രമണ കോൺ.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്ന യൂണിറ്റ് സർക്കിളിനായി, ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഗണ്യമായി കുറയുന്നു, കാരണം കേന്ദ്രത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ പൂജ്യവും ആരം ഒന്നിന് തുല്യവുമാണ്:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \end(array) \)

കോസൈൻ അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനമാണ്, ഇത് ത്രികോണമിതിയുടെ പ്രധാന പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്. ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിലെ ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ, ത്രികോണത്തിന്റെ തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലും ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമാണ്. മിക്കപ്പോഴും, കോസൈന്റെ നിർവചനം കൃത്യമായി ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു ത്രികോണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൽ കോസൈൻ കണക്കാക്കേണ്ട ആംഗിൾ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഈ ത്രികോണത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നില്ല എന്നതും സംഭവിക്കുന്നു. അപ്പോൾ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണിന്റെ കോസൈൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

ഒരു വലത് കോണിലുള്ള ത്രികോണത്തിൽ ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. ഈ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന കോസൈനിന്റെ നിർവചനം നിങ്ങൾ ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്. തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലും ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസും തമ്മിലുള്ള അതേ അനുപാതം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. തീർച്ചയായും, ഇവിടെ ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: - cosα = a/c, ഇവിടെ "a" എന്നത് കാലിന്റെ നീളവും, വശം "c" യഥാക്രമം, ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ നീളവുമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ നിശിതകോണിന്റെ കോസൈൻ ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിലെ ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ എന്തിന് തുല്യമാണ് എന്നതിൽ നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു, അത് അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതാണ്. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ ചതുരം അതേ ത്രികോണത്തിന്റെ മറ്റ് വശങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു പ്രിയോറി ആണെന്ന് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു, എന്നാൽ ഈ വശങ്ങളുടെ ഇരട്ടി ഗുണം കൂടാതെ ഇവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ അവരെ.

1. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ഒരു നിശിത കോണിന്റെ കോസൈൻ കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ഒരു മങ്ങിയ കോണിന്റെ കോസൈൻ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). ഫോർമുലയിലെ പദവികൾ - a, b - ആവശ്യമുള്ള കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശങ്ങളുടെ നീളമാണ്, c എന്നത് ആവശ്യമുള്ള കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള വശത്തിന്റെ നീളമാണ്.

കൂടാതെ, സൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ കണക്കാക്കാം. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും എതിർ കോണുകളുടെ സൈനുകൾക്ക് ആനുപാതികമാണെന്ന് ഇത് പറയുന്നു. സൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ കണക്കാക്കാം, രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരു വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള ഒരു കോണും അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളും ഒരു വശവും മാത്രമേ അറിയൂ. ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക. പ്രശ്ന സാഹചര്യങ്ങൾ: a=1; b=2; c=3. "A" എന്ന വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോൺ, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു - α, തുടർന്ന്, ഫോർമുലകൾ അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. ഉത്തരം: 1.

കോണിന്റെ കോസൈൻ കണക്കാക്കേണ്ടത് ഒരു ത്രികോണത്തിലല്ല, മറിച്ച് മറ്റേതെങ്കിലും ഏകപക്ഷീയമായ ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിലാണെങ്കിൽ, എല്ലാം കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാകും. കോണിന്റെ മൂല്യം ആദ്യം റേഡിയൻ അല്ലെങ്കിൽ ഡിഗ്രിയിൽ നിർണ്ണയിക്കണം, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഈ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് കോസൈൻ കണക്കാക്കൂ. ബ്രാഡിസ് ടേബിളുകൾ, എഞ്ചിനീയറിംഗ് കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ അല്ലെങ്കിൽ പ്രത്യേക ഗണിത പ്രയോഗങ്ങൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചാണ് കോസൈൻ സംഖ്യാ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.

പ്രത്യേക ഗണിത പ്രയോഗങ്ങൾക്ക് തന്നിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിലെ കോണുകളുടെ കോസൈനുകളുടെ സ്വയമേവ കണക്കുകൂട്ടൽ പോലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം. അത്തരം ആപ്ലിക്കേഷനുകളുടെ ഭംഗി അവർ ശരിയായ ഉത്തരം നൽകുന്നു എന്നതാണ്, മാത്രമല്ല ചിലപ്പോൾ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉപയോക്താവ് സമയം ചെലവഴിക്കുന്നില്ല. മറുവശത്ത്, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രത്യേക ആപ്ലിക്കേഷനുകളുടെ നിരന്തരമായ ഉപയോഗത്തോടെ, ത്രികോണങ്ങളിലെ കോണുകളുടെ കോസൈനുകളും മറ്റ് അനിയന്ത്രിതമായ കണക്കുകളും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള എല്ലാ കഴിവുകളും നഷ്ടപ്പെടും.

സ്കൂൾ കുട്ടികൾ ഏറ്റവും വലിയ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ നേരിടുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖകളിലൊന്നാണ് ത്രികോണമിതി. അതിശയിക്കാനില്ല: ഈ വിജ്ഞാന മേഖലയെ സ്വതന്ത്രമായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് സ്പേഷ്യൽ ചിന്ത, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജന്റുകൾ, കോട്ടാൻജെന്റുകൾ എന്നിവ കണ്ടെത്താനുള്ള കഴിവ്, പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുക, കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പൈ നമ്പർ ഉപയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവ് എന്നിവ ആവശ്യമാണ്. കൂടാതെ, സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ത്രികോണമിതി പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയണം, ഇതിന് വികസിത ഗണിത മെമ്മറി അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ലോജിക്കൽ ശൃംഖലകൾ കണക്കാക്കാനുള്ള കഴിവ് ആവശ്യമാണ്.

ത്രികോണമിതിയുടെ ഉത്ഭവം

ഈ ശാസ്ത്രവുമായുള്ള പരിചയം കോണിന്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നാണ് ആരംഭിക്കേണ്ടത്, എന്നാൽ ആദ്യം ത്രികോണമിതി പൊതുവെ എന്താണ് ചെയ്യുന്നതെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ചരിത്രപരമായി, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഈ വിഭാഗത്തിൽ വലത് ത്രികോണങ്ങളാണ് പഠനത്തിന്റെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം. 90 ഡിഗ്രി കോണിന്റെ സാന്നിധ്യം രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരു കോണും അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളും ഒരു വശവും ഉപയോഗിച്ച് പരിഗണനയിലുള്ള ചിത്രത്തിന്റെ എല്ലാ പാരാമീറ്ററുകളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. മുൻകാലങ്ങളിൽ, ആളുകൾ ഈ പാറ്റേൺ ശ്രദ്ധിക്കുകയും കെട്ടിടങ്ങൾ, നാവിഗേഷൻ, ജ്യോതിശാസ്ത്രം, കല എന്നിവയുടെ നിർമ്മാണത്തിലും ഇത് സജീവമായി ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി.

ആദ്യ ഘട്ടം

തുടക്കത്തിൽ, വലത് ത്രികോണങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ മാത്രം ആളുകൾ കോണുകളുടെയും വശങ്ങളുടെയും ബന്ധത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിച്ചു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഈ വിഭാഗത്തിന്റെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ ഉപയോഗത്തിന്റെ അതിരുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്ന പ്രത്യേക സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

ഇന്ന് സ്കൂളിൽ ത്രികോണമിതിയുടെ പഠനം ആരംഭിക്കുന്നത് വലത് ത്രികോണങ്ങളിൽ നിന്നാണ്, അതിനുശേഷം നേടിയ അറിവ് ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും അമൂർത്ത ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലും വിദ്യാർത്ഥികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് ഹൈസ്കൂളിൽ ആരംഭിക്കുന്നു.

ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണമിതി

പിന്നീട്, ശാസ്ത്രം വികസനത്തിന്റെ അടുത്ത തലത്തിൽ എത്തിയപ്പോൾ, മറ്റ് നിയമങ്ങൾ ബാധകമാകുന്ന ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതിയിൽ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി, ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക എല്ലായ്പ്പോഴും 180 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതലാണ്. ഈ വിഭാഗം സ്കൂളിൽ പഠിച്ചിട്ടില്ല, പക്ഷേ അതിന്റെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ച് അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, കാരണം ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലവും മറ്റേതെങ്കിലും ഗ്രഹത്തിന്റെ ഉപരിതലവും കുത്തനെയുള്ളതാണ്, അതായത് ഏത് ഉപരിതല അടയാളപ്പെടുത്തലും "ആർക്ക് ആകൃതിയിൽ" ആയിരിക്കും. ത്രിമാന സ്ഥലം.

ഗ്ലോബും ത്രെഡും എടുക്കുക. ഗ്ലോബിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകളിലേക്ക് ത്രെഡ് അറ്റാച്ചുചെയ്യുക, അങ്ങനെ അത് മുറുകെ പിടിക്കുക. ശ്രദ്ധിക്കുക - അത് ഒരു ആർക്ക് ആകൃതി കൈവരിച്ചു. ജിയോഡെസി, ജ്യോതിശാസ്ത്രം, മറ്റ് സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ മേഖലകൾ എന്നിവയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് അത്തരം രൂപങ്ങളിലാണ്.

മട്ട ത്രികോണം

ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള വഴികളെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് പഠിച്ച ശേഷം, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് എന്താണെന്നും അവയുടെ സഹായത്തോടെ എന്ത് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താമെന്നും ഏത് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാമെന്നും കൂടുതൽ മനസിലാക്കാൻ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതിയിലേക്ക് മടങ്ങാം.

ഒരു വലത് ത്രികോണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ആശയങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുക എന്നതാണ് ആദ്യപടി. ആദ്യം, ഹൈപ്പോടെനസ് 90 ഡിഗ്രി കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള വശമാണ്. അവൾ ഏറ്റവും നീളമുള്ളവളാണ്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, അതിന്റെ സംഖ്യാ മൂല്യം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ മൂലത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് വശങ്ങളും യഥാക്രമം 3 ഉം 4 സെന്റീമീറ്ററും ആണെങ്കിൽ, ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ നീളം 5 സെന്റീമീറ്ററായിരിക്കും. വഴിയിൽ, പുരാതന ഈജിപ്തുകാർക്ക് ഏകദേശം നാലര ആയിരം വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് ഇതിനെക്കുറിച്ച് അറിയാമായിരുന്നു.

വലത് കോണായി രൂപപ്പെടുന്ന അവശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് വശങ്ങളെ കാലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കൂടാതെ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ഡിഗ്രിയാണെന്ന് നാം ഓർക്കണം.

നിർവ്വചനം

അവസാനമായി, ജ്യാമിതീയ അടിത്തറയെക്കുറിച്ചുള്ള ഉറച്ച ധാരണയോടെ, ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് നമുക്ക് തിരിയാം.

ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ എന്നത് എതിർ ലെഗിന്റെ (അതായത്, ആവശ്യമുള്ള കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള വശം) ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതമാണ്. ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ എന്നത് തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതമാണ്.

സൈനോ കോസൈനോ ഒന്നിനെക്കാൾ വലുതാകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഓർക്കുക! എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം ഹൈപ്പോടെനസ് ഡിഫോൾട്ടായി ഏറ്റവും ദൈർഘ്യമേറിയതാണ്, കാലിന് എത്ര നീളമുണ്ടെങ്കിലും, അത് ഹൈപ്പോടെൻസിനെക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും, അതായത് അവയുടെ അനുപാതം എപ്പോഴും ഒന്നിൽ കുറവായിരിക്കും. അതിനാൽ, പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരത്തിൽ 1-ൽ കൂടുതൽ മൂല്യമുള്ള ഒരു സൈനോ കോസൈനോ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകളിലോ ന്യായവാദത്തിലോ ഒരു പിശക് നോക്കുക. ഈ ഉത്തരം വ്യക്തമായും തെറ്റാണ്.

അവസാനമായി, ഒരു കോണിന്റെ ടാൻജെന്റ് എതിർ വശവും തൊട്ടടുത്ത വശവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമാണ്. അതേ ഫലം തന്നെ കോസൈൻ കൊണ്ട് സൈനിന്റെ വിഭജനം നൽകും. നോക്കൂ: ഫോർമുലയ്ക്ക് അനുസൃതമായി, ഞങ്ങൾ വശത്തിന്റെ നീളം ഹൈപ്പോടെന്യൂസ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ഹൈപ്പോടെനസ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, നമുക്ക് ടാൻജെന്റിന്റെ നിർവചനത്തിലെ അതേ അനുപാതം ലഭിക്കും.

യഥാക്രമം കോടാൻജെന്റ്, കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശത്തിന്റെ എതിർ വശത്തിന്റെ അനുപാതമാണ്. യൂണിറ്റിനെ ടാൻജെന്റ് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് അതേ ഫലം ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവ എന്താണെന്നതിന്റെ നിർവചനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു, നമുക്ക് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ കഴിയും.

ഏറ്റവും ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ത്രികോണമിതിയിൽ, ഫോർമുലകളില്ലാതെ ഒരാൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല - അവയില്ലാതെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഇത് കൃത്യമായി ആവശ്യമാണ്.

ത്രികോണമിതി പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ട ആദ്യത്തെ ഫോർമുല പറയുന്നത് ഒരു കോണിന്റെ സൈനിന്റെയും കോസൈന്റെയും ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നിന് തുല്യമാണ് എന്നാണ്. ഈ സൂത്രവാക്യം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്, എന്നാൽ കോണിന്റെ മൂല്യം അറിയണമെങ്കിൽ ഇത് സമയം ലാഭിക്കുന്നു, വശമല്ല.

പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും രണ്ടാമത്തെ സൂത്രവാക്യം ഓർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല, അത് സ്കൂൾ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ വളരെ ജനപ്രിയമാണ്: ഒന്നിന്റെ ആകെത്തുകയും ഒരു കോണിന്റെ ടാൻജെന്റിന്റെ ചതുരവും കോണിന്റെ കോസൈനിന്റെ ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിന് തുല്യമാണ്. സൂക്ഷ്മമായി നോക്കുക: എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇത് ആദ്യ ഫോർമുലയിലെ അതേ പ്രസ്താവനയാണ്, ഐഡന്റിറ്റിയുടെ ഇരുവശങ്ങളും മാത്രമേ കോസൈനിന്റെ ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചിട്ടുള്ളൂ. ഒരു ലളിതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനം ത്രികോണമിതി ഫോർമുലയെ പൂർണ്ണമായും തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയാത്തതാക്കുന്നു. ഓർക്കുക: സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവ എന്താണെന്നും പരിവർത്തന നിയമങ്ങളും കുറച്ച് അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും ആവശ്യമായ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഒരു കടലാസിൽ സ്വതന്ത്രമായി നേടാനാകും.

ഡബിൾ ആംഗിൾ ഫോർമുലകളും ആർഗ്യുമെന്റുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും

നിങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ട രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കൂടി കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും വ്യത്യാസത്തിനുമായി സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അവ ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവ രണ്ട് തവണ ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നം ചേർക്കുന്നു.

ഡബിൾ ആംഗിൾ ആർഗ്യുമെന്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉണ്ട്. അവ മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണമായും ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ് - ഒരു പരിശീലനമെന്ന നിലയിൽ, ബീറ്റയുടെ കോണിന് തുല്യമായ ആൽഫയുടെ ആംഗിൾ എടുത്ത് അവ സ്വയം നേടാൻ ശ്രമിക്കുക.

അവസാനമായി, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് ആൽഫ എന്നിവയുടെ അളവ് കുറയ്ക്കാൻ ഡബിൾ ആംഗിൾ ഫോർമുലകൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യാമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതിയിലെ രണ്ട് പ്രധാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ സൈൻ സിദ്ധാന്തവും കോസൈൻ സിദ്ധാന്തവുമാണ്. ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് എന്നിവ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ മനസിലാക്കാൻ കഴിയും, അതിനാൽ ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം, ഓരോ വശത്തിന്റെയും വലുപ്പം മുതലായവ.

ത്രികോണത്തിന്റെ ഓരോ വശങ്ങളുടെയും നീളം വിപരീത കോണിന്റെ മൂല്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ഒരേ സംഖ്യ ലഭിക്കുമെന്ന് സൈൻ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു. മാത്രമല്ല, ഈ സംഖ്യ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ രണ്ട് ദൂരങ്ങൾക്ക് തുല്യമായിരിക്കും, അതായത് നൽകിയിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സർക്കിൾ.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നു, അത് ഏതെങ്കിലും ത്രികോണങ്ങളിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നു. രണ്ട് വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിൽ നിന്ന്, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം അവയോട് ചേർന്നുള്ള കോണിന്റെ ഇരട്ട കോസൈൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ കുറയ്ക്കുക - തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം മൂന്നാം വശത്തിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. അങ്ങനെ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസായി മാറുന്നു.

ശ്രദ്ധക്കുറവ് മൂലമുള്ള തെറ്റുകൾ

സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് എന്നിവ എന്താണെന്ന് അറിയാമെങ്കിലും, അസാന്നിദ്ധ്യം അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലെ പിശക് കാരണം ഒരു തെറ്റ് ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്. അത്തരം തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രചാരമുള്ളവയെ നമുക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

ആദ്യം, അന്തിമഫലം ലഭിക്കുന്നതുവരെ നിങ്ങൾ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ദശാംശങ്ങളിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യരുത് - വ്യവസ്ഥയിൽ പറയുന്നില്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായി നൽകാം. അത്തരമൊരു പരിവർത്തനത്തെ ഒരു തെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും പുതിയ വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാമെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്, അത് രചയിതാവിന്റെ ആശയം അനുസരിച്ച് കുറയ്ക്കണം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ അനാവശ്യ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ സമയം പാഴാക്കും. മൂന്നോ രണ്ടോ റൂട്ട് പോലുള്ള മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഇത് പ്രത്യേകിച്ചും സത്യമാണ്, കാരണം അവ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും ടാസ്ക്കുകളിൽ സംഭവിക്കുന്നു. "വൃത്തികെട്ട" നമ്പറുകൾ റൗണ്ട് ചെയ്യുന്നതിനും ഇത് ബാധകമാണ്.

കൂടാതെ, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഏത് ത്രികോണത്തിനും ബാധകമാണ്, പക്ഷേ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് ബാധകമല്ല! അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച വശങ്ങളുടെ ഇരട്ടി ഉൽപ്പന്നം കുറയ്ക്കാൻ നിങ്ങൾ തെറ്റായി മറന്നാൽ, നിങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണമായും തെറ്റായ ഫലം ലഭിക്കുക മാത്രമല്ല, വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പൂർണ്ണമായ തെറ്റിദ്ധാരണ പ്രകടമാക്കുകയും ചെയ്യും. ഇത് അശ്രദ്ധമായ തെറ്റിനേക്കാൾ മോശമാണ്.

മൂന്നാമതായി, സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജന്റുകൾ, കോട്ടാൻജെന്റുകൾ എന്നിവയുടെ 30, 60 ഡിഗ്രി കോണുകൾക്കുള്ള മൂല്യങ്ങൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്. ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഓർക്കുക, കാരണം 30 ഡിഗ്രിയുടെ സൈൻ 60 ന്റെ കോസൈന് തുല്യമാണ്, തിരിച്ചും. അവ കലർത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അതിന്റെ ഫലമായി നിങ്ങൾക്ക് അനിവാര്യമായും തെറ്റായ ഫലം ലഭിക്കും.

അപേക്ഷ

പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ത്രികോണമിതി പഠിക്കാൻ തിരക്കില്ല, കാരണം അവർക്ക് അതിന്റെ പ്രായോഗിക അർത്ഥം മനസ്സിലാകുന്നില്ല. ഒരു എഞ്ചിനീയർക്കോ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനോ വേണ്ടി സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് എന്താണ്? വിദൂര നക്ഷത്രങ്ങളിലേക്കുള്ള ദൂരം കണക്കാക്കാനും ഉൽക്കാശിലയുടെ പതനം പ്രവചിക്കാനും മറ്റൊരു ഗ്രഹത്തിലേക്ക് ഒരു ഗവേഷണ അന്വേഷണം അയയ്ക്കാനും കഴിയുന്ന ആശയങ്ങളാണ് ഇവ. അവയില്ലാതെ, ഒരു കെട്ടിടം പണിയുക, ഒരു കാർ രൂപകൽപ്പന ചെയ്യുക, ഉപരിതലത്തിലെ ലോഡ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വസ്തുവിന്റെ പാത കണക്കാക്കുക എന്നിവ അസാധ്യമാണ്. ഇവ ഏറ്റവും വ്യക്തമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രമാണ്! എല്ലാത്തിനുമുപരി, സംഗീതം മുതൽ വൈദ്യശാസ്ത്രം വരെ എല്ലായിടത്തും ഒരു രൂപത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒടുവിൽ

അതിനാൽ നിങ്ങൾ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് ആണ്. നിങ്ങൾക്ക് അവ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഉപയോഗിക്കാനും സ്കൂൾ പ്രശ്നങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കാനും കഴിയും.

ത്രികോണമിതിയുടെ മുഴുവൻ സാരാംശവും തിളച്ചുമറിയുന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന പരാമീറ്ററുകളിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കണം എന്നതാണ്. ആകെ ആറ് പാരാമീറ്ററുകൾ ഉണ്ട്: മൂന്ന് വശങ്ങളുടെ നീളവും മൂന്ന് കോണുകളുടെ വ്യാപ്തിയും. ടാസ്ക്കുകളിലെ മുഴുവൻ വ്യത്യാസവും വ്യത്യസ്ത ഇൻപുട്ട് ഡാറ്റ നൽകിയിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുതയിലാണ്.

കാലുകളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന നീളം അല്ലെങ്കിൽ ഹൈപ്പോടെൻസിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് എന്നിവ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം, ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം. ഈ പദങ്ങൾ ഒരു അനുപാതത്തിനപ്പുറം മറ്റൊന്നും അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, ഒരു അനുപാതം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായതിനാൽ, ത്രികോണമിതി പ്രശ്നത്തിന്റെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം ഒരു സാധാരണ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. ഇവിടെ നിങ്ങളെ സാധാരണ സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രം സഹായിക്കും.

സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നീ ആശയങ്ങൾ ത്രികോണമിതിയുടെ പ്രധാന വിഭാഗങ്ങളാണ് - ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖ, കൂടാതെ ഒരു കോണിന്റെ നിർവചനവുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ ഗണിതശാസ്ത്രം കൈവശം വയ്ക്കുന്നതിന് ഫോർമുലകളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും ഓർമ്മപ്പെടുത്തലും മനസ്സിലാക്കലും ആവശ്യമാണ്, അതുപോലെ തന്നെ വികസിത സ്പേഷ്യൽ ചിന്തയും ആവശ്യമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ് ത്രികോണമിതി കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പലപ്പോഴും സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നത്. അവയെ മറികടക്കാൻ, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും നിങ്ങൾ കൂടുതൽ പരിചയപ്പെടണം.

ത്രികോണമിതിയിലെ ആശയങ്ങൾ

ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ മനസിലാക്കാൻ, ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു വലത് ത്രികോണവും കോണും എന്താണെന്നും എല്ലാ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി കണക്കുകൂട്ടലുകളും അവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്നും നിങ്ങൾ ആദ്യം തീരുമാനിക്കണം. കോണുകളിൽ ഒന്ന് 90 ഡിഗ്രി ഉള്ള ഒരു ത്രികോണം ഒരു വലത് ത്രികോണമാണ്. ചരിത്രപരമായി, ഈ കണക്ക് പലപ്പോഴും വാസ്തുവിദ്യ, നാവിഗേഷൻ, കല, ജ്യോതിശാസ്ത്രം എന്നിവയിൽ ആളുകൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. അതനുസരിച്ച്, ഈ കണക്കിന്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുകയും വിശകലനം ചെയ്യുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, ആളുകൾ അതിന്റെ പാരാമീറ്ററുകളുടെ അനുബന്ധ അനുപാതങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലിലേക്ക് എത്തി.

വലത് ത്രികോണങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രധാന വിഭാഗങ്ങൾ ഹൈപ്പോടെൻസും കാലുകളുമാണ്. വലത് കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശമാണ് ഹൈപ്പോടെനസ്. കാലുകൾ, യഥാക്രമം, മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളാണ്. ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും കോണുകളുടെ ആകെത്തുക എപ്പോഴും 180 ഡിഗ്രിയാണ്.

സ്കൂളിൽ പഠിക്കാത്ത ത്രികോണമിതിയുടെ ഒരു വിഭാഗമാണ് സ്ഫെറിക്കൽ ത്രികോണമിതി, എന്നാൽ ജ്യോതിശാസ്ത്രം, ജിയോഡെസി തുടങ്ങിയ പ്രായോഗിക ശാസ്ത്രങ്ങളിൽ ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണമിതിയിലെ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു സവിശേഷത, അതിന് എല്ലായ്പ്പോഴും 180 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതലുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ എന്നത് ആവശ്യമുള്ള കോണിന്റെ എതിർവശത്തുള്ള കാലിന്റെ അനുപാതവും ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസും ആണ്. അതനുസരിച്ച്, കോസൈൻ എന്നത് തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെയും ഹൈപ്പോട്ടെനസിന്റെയും അനുപാതമാണ്. ഈ രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾക്കും എല്ലായ്പ്പോഴും ഒന്നിൽ താഴെ മൂല്യമുണ്ട്, കാരണം ഹൈപ്പോടെനസ് എല്ലായ്പ്പോഴും കാലിനേക്കാൾ നീളമുള്ളതാണ്.

ഒരു കോണിന്റെ ടാൻജെന്റ്, ആവശ്യമുള്ള കോണിന്റെ തൊട്ടടുത്തുള്ള ലെഗിന്റെ എതിർ ലെഗിന്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമായ മൂല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ കോസൈനിലേക്കുള്ള സൈൻ. കോടാൻജെന്റ്, ആവശ്യമുള്ള കോണിന്റെ തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെ എതിർ കള്ളിച്ചെടിയുടെ അനുപാതമാണ്. യൂണിറ്റിനെ ടാൻജെന്റിന്റെ മൂല്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിലൂടെയും ഒരു കോണിന്റെ കോട്ടാൻജെന്റ് ലഭിക്കും.

യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ

ജ്യാമിതിയിലെ ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഒരു വൃത്തമാണ്, അതിന്റെ ആരം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. അത്തരമൊരു വൃത്തം കാർട്ടിസിയൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗം ഉത്ഭവ സ്ഥാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ആരം വെക്റ്ററിന്റെ പ്രാരംഭ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എക്സ് അക്ഷത്തിന്റെ (അബ്സിസ്സ അക്ഷം) പോസിറ്റീവ് ദിശയാണ്. സർക്കിളിലെ ഓരോ പോയിന്റിനും രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്: XX, YY, അതായത്, abscissa, ordinate എന്നിവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ. XX പ്ലെയിനിലെ സർക്കിളിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദു തിരഞ്ഞെടുത്ത്, അതിൽ നിന്ന് ലംബമായി abscissa അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് ഡ്രോപ്പ് ചെയ്യുമ്പോൾ, തിരഞ്ഞെടുത്ത ബിന്ദുവിലേക്ക് ആരം കൊണ്ട് രൂപപ്പെട്ട ഒരു വലത് ത്രികോണം നമുക്ക് ലഭിക്കും (അത് C എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കാം), ലംബമായി വരച്ചിരിക്കുന്നു. X അക്ഷം (വിഭജന പോയിന്റിനെ G എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു), കൂടാതെ ഉത്ഭവത്തിനും (ബിന്ദുവിനെ A അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു) G എന്ന കവല പോയിന്റിനും ഇടയിലുള്ള abscissa അക്ഷം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണം ACG ഒരു വലത് ത്രികോണമാണ്. ഒരു വൃത്തം, ഇവിടെ AG ഹൈപ്പോടെൻസും AC, GC എന്നിവ കാലുകളുമാണ്. സർക്കിൾ എസിയുടെ ആരത്തിനും എജി എന്ന പദവിയുള്ള അബ്‌സിസ്സ അക്ഷത്തിന്റെ സെഗ്‌മെന്റിനും ഇടയിലുള്ള കോണിനെ ഞങ്ങൾ α (ആൽഫ) എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു. അതിനാൽ, cos α = AG/AC. AC എന്നത് യൂണിറ്റ് സർക്കിളിന്റെ ആരവും, അത് ഒന്നിന് തുല്യവും ആയതിനാൽ, അത് cos α=AG ആയി മാറുന്നു. അതുപോലെ, sin α=CG.

കൂടാതെ, ഈ ഡാറ്റ അറിയുന്നതിലൂടെ, സർക്കിളിലെ പോയിന്റ് C യുടെ കോർഡിനേറ്റ് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും, കാരണം cos α=AG, sin α=CG, അതായത് പോയിന്റ് C ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് (cos α; sin α). ടാൻജെന്റ്, സൈനിന്റെയും കോസൈന്റെയും അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് അറിയുമ്പോൾ, നമുക്ക് tg α \u003d y / x, ctg α \u003d x / y എന്നിവ നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ഒരു നെഗറ്റീവ് കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ കോണുകൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ചില കോണുകളുടെ സൈൻ, കോസൈൻ മൂല്യങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമെന്ന് കണക്കാക്കാം.

കണക്കുകൂട്ടലുകളും അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ

യൂണിറ്റ് സർക്കിളിലൂടെയുള്ള ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ സാരാംശം പരിഗണിച്ച്, ചില കോണുകൾക്കായി ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് നേടാനാകും. മൂല്യങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റികൾ

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു അജ്ഞാത മൂല്യം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങളെ ത്രികോണമിതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. sin x = α, k എന്ന മൂല്യമുള്ള ഐഡന്റിറ്റികൾ ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

cos x = a മൂല്യമുള്ള ഐഡന്റിറ്റികൾ, ഇവിടെ k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ± ആർക്കോസ് α + 2πk.

tg x = a മൂല്യമുള്ള ഐഡന്റിറ്റികൾ, ഇവിടെ k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

ctg x = a മൂല്യമുള്ള ഐഡന്റിറ്റികൾ, ഇവിടെ k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

കാസ്റ്റ് ഫോർമുലകൾ

സ്ഥിരമായ ഫോർമുലകളുടെ ഈ വിഭാഗം നിങ്ങൾക്ക് ഫോമിന്റെ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഫംഗ്ഷനുകളിലേക്ക് പോകാൻ കഴിയുന്ന രീതികളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്, ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിന്റെ ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവ കോണിന്റെ അനുബന്ധ സൂചകങ്ങളിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൂടുതൽ സൗകര്യത്തിനായി 0 മുതൽ 90 ഡിഗ്രി വരെയുള്ള ഇടവേള.

ഒരു കോണിന്റെ സൈനിനുള്ള ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

ഒരു കോണിന്റെ കോസൈനിനായി:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

മുകളിൽ പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം രണ്ട് നിയമങ്ങൾക്ക് വിധേയമായി സാധ്യമാണ്. ആദ്യം, കോണിനെ ഒരു മൂല്യമായി (π/2 ± a) അല്ലെങ്കിൽ (3π/2 ± a) പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം മാറുന്നു:

• പാപത്തിൽ നിന്ന് കോസിലേക്ക്;
• കോസ് മുതൽ പാപം വരെ;
• tg മുതൽ ctg വരെ;
• ctg മുതൽ tg വരെ.

കോണിനെ (π ± a) അല്ലെങ്കിൽ (2π ± a) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരും.

രണ്ടാമതായി, കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അടയാളം മാറില്ല: ഇത് തുടക്കത്തിൽ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അത് അങ്ങനെ തന്നെ തുടരുന്നു. നെഗറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കും ഇത് ബാധകമാണ്.

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളും രണ്ട് ഭ്രമണ കോണുകളുടെ വ്യത്യാസവും അവയുടെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. കോണുകളെ സാധാരണയായി α, β എന്നിങ്ങനെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. ടാൻ (α ± β) = (ടാൻ α ± ടാൻ β) / (1 ∓ ടാൻ α * ടാൻ β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഏത് കോണിലും α, β എന്നിവയ്ക്ക് സാധുതയുള്ളതാണ്.

ഇരട്ട, ട്രിപ്പിൾ ആംഗിൾ ഫോർമുലകൾ

ഇരട്ട, ട്രിപ്പിൾ കോണിന്റെ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ യഥാക്രമം 2α, 3α കോണുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളെ α കോണിന്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ്. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

തുകയിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റം

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), ഈ ഫോർമുല ലളിതമാക്കി, നമുക്ക് sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α - β)/2 എന്ന ഐഡന്റിറ്റി ലഭിക്കും. അതുപോലെ, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് തുകയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്കുള്ള തുകയുടെ പരിവർത്തനത്തിനായുള്ള ഐഡന്റിറ്റികളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ

ഈ ഐഡന്റിറ്റികളിൽ, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ചതുരവും ക്യൂബിക് ശക്തികളും ഒന്നിലധികം കോണിന്റെ ആദ്യ ശക്തിയുടെ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

യൂണിവേഴ്സൽ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ

സാർവത്രിക ത്രികോണമിതി സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഫോർമുലകൾ ഒരു അർദ്ധകോണിന്റെ ടാൻജെന്റിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), അതേസമയം x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), ഇവിടെ x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), ഇവിടെ x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), അതേസമയം x \u003d π + 2πn.

പ്രത്യേക കേസുകൾ

ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രത്യേക കേസുകൾ ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു (k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്).

സൈനിനുള്ള സ്വകാര്യം:

കോസൈൻ ഘടകഭാഗങ്ങൾ:

ടാൻജെന്റിനുള്ള സ്വകാര്യം:

കോട്ടാൻജെന്റ് ഘടകഭാഗങ്ങൾ:

സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

സൈൻ സിദ്ധാന്തം

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രണ്ട് പതിപ്പുകളുണ്ട് - ലളിതവും വിപുലീകൃതവും. ലളിതമായ സൈൻ സിദ്ധാന്തം: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, a, b, c ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ, α, β, γ എന്നിവ യഥാക്രമം വിപരീത കോണുകളാണ്.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിനായുള്ള വിപുലീകൃത സൈൻ സിദ്ധാന്തം: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. ഈ ഐഡന്റിറ്റിയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണം ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തെ R സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം

ഐഡന്റിറ്റി ഈ രീതിയിൽ പ്രദർശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. ഫോർമുലയിൽ, a, b, c ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ, α എന്നത് എതിർ വശം a ആണ്.

ടാൻജന്റ് സിദ്ധാന്തം

ഫോർമുല രണ്ട് കോണുകളുടെ സ്പർശനങ്ങളും അവയ്‌ക്ക് എതിർവശത്തുള്ള വശങ്ങളുടെ നീളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. വശങ്ങൾ a, b, c എന്ന് ലേബൽ ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു, അനുബന്ധ വിപരീത കോണുകൾ α, β, γ എന്നിവയാണ്. ടാൻജെന്റ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഫോർമുല: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

കോട്ടാൻജെന്റ് സിദ്ധാന്തം

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു. a, b, c ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളും A, B, C എന്നിവ യഥാക്രമം അവയുടെ വിപരീത കോണുകളുമാണെങ്കിൽ, r എന്നത് ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരവും p എന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ അർദ്ധപരിധിയുമാണ്, ഇനിപ്പറയുന്ന ഐഡന്റിറ്റികൾ പിടിക്കുക:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

അപേക്ഷകൾ

ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സൈദ്ധാന്തിക ശാസ്ത്രം മാത്രമല്ല ത്രികോണമിതി. ജ്യോതിശാസ്ത്രം, വായു, കടൽ നാവിഗേഷൻ, സംഗീത സിദ്ധാന്തം, ജിയോഡെസി, രസതന്ത്രം, ശബ്ദശാസ്ത്രം, ഒപ്റ്റിക്സ്, ഇലക്ട്രോണിക്സ്, ആർക്കിടെക്ചർ, ഇക്കണോമിക്സ്, മെക്കാനിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, അളക്കുന്ന ജോലി, കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ്, എന്നിങ്ങനെ മനുഷ്യ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വിവിധ ശാഖകൾ അതിന്റെ ഗുണങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും നിയമങ്ങളും പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. കാർട്ടോഗ്രഫി, സമുദ്രശാസ്ത്രം, കൂടാതെ മറ്റു പലതും.

സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയാണ് ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ, അതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളും നീളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി പ്രകടിപ്പിക്കാനും ഐഡന്റിറ്റികൾ, സിദ്ധാന്തങ്ങൾ, നിയമങ്ങൾ എന്നിവയിലൂടെ ആവശ്യമുള്ള അളവുകൾ കണ്ടെത്താനും കഴിയും.