അനുബന്ധ കോണുകൾ ശരിയാണ്. രണ്ട് വരികളുടെ സമാന്തരതയുടെ അടയാളങ്ങൾ

a, b എന്നീ സമാന്തര വരകളെ വിഭജിക്കാൻ ലൈൻ c അനുവദിക്കുക. ഇത് എട്ട് കോണുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. സമാന്തര രേഖകളിലെ കോണുകളും ഒരു സെക്കന്റും പലപ്പോഴും പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, അവയ്ക്ക് ജ്യാമിതിയിൽ പ്രത്യേക പേരുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

കോണുകൾ 1 ഉം 3 ഉം - ലംബമായ.സ്പഷ്ടമായി, ലംബ കോണുകൾ തുല്യമാണ്,അതാണ്
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

തീർച്ചയായും, 5, 7, 6, 8 എന്നീ കോണുകളും ലംബമാണ്.

കോണുകൾ 1 ഉം 2 ഉം - ബന്ധപ്പെട്ട, ഇത് ഞങ്ങൾക്കറിയാം. തൊട്ടടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180º ആണ്.

കോണുകൾ 3 ഉം 5 ഉം (അതുപോലെ 2 ഉം 8 ഉം, 1 ഉം 7, 4 ഉം 6 ഉം) ക്രോസ്‌വൈസ് കിടക്കുന്നു. ക്രോസ്-ലൈയിംഗ് കോണുകൾ തുല്യമാണ്.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

കോണുകൾ 1 ഉം 6 ഉം - ഏകപക്ഷീയമായ.അവർ മുഴുവൻ "നിർമ്മാണ" ത്തിന്റെ ഒരു വശത്ത് കിടക്കുന്നു. 4, 7 കോണുകളും ഏകപക്ഷീയമാണ്. ഏകപക്ഷീയമായ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° ആണ്, അതാണ്
∠1 + ∠6 = 180°,
∠4 + ∠7 = 180°.

കോണുകൾ 2 ഉം 6 ഉം (അതുപോലെ 3 ഉം 7 ഉം, 1 ഉം 5, 4 ഉം 8 ഉം) വിളിക്കുന്നു പ്രസക്തമായ.

അനുബന്ധ കോണുകളാണ്, അതാണ്
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

കോണുകൾ 3 ഉം 5 ഉം (അതുപോലെ 2 ഉം 8 ഉം, 1 ഉം 7, 4 ഉം 6 ഉം) വിളിക്കുന്നു കുറുകെ കിടക്കുന്നു.

ക്രോസ്വൈസ് കോണുകൾ തുല്യമാണ്, അതാണ്
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

USE പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഈ വസ്തുതകളെല്ലാം പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്, അവ ഡ്രോയിംഗിൽ കാണാൻ പഠിക്കണം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സമാന്തരരേഖയോ ട്രപസോയിഡോ നോക്കുമ്പോൾ, ഒരു ജോടി സമാന്തര വരകളും ഒരു സെക്കന്റും അതുപോലെ ഏകപക്ഷീയമായ കോണുകളും കാണാൻ കഴിയും. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഡയഗണൽ വരച്ച ശേഷം, കിടക്കുന്ന കോണുകൾ ക്രോസ്വൈസ് ആയി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. പരിഹാരം ഉണ്ടാക്കുന്ന ഘട്ടങ്ങളിൽ ഒന്നാണിത്.

1. ഒരു സമാന്തര കോണിന്റെ ദ്വിഭാഗം എതിർ വശത്തെ 3: 4 എന്ന അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കുന്നു, ഇത് ചരിഞ്ഞ കോണിന്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നു. സമാന്തരരേഖയുടെ ചുറ്റളവ് 88 ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ വശം കണ്ടെത്തുക.

കോണിന്റെ ശീർഷകത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തുവന്ന് കോണിനെ പകുതിയായി വിഭജിക്കുന്ന ഒരു കിരണമാണ് കോണിന്റെ ബൈസെക്ടർ എന്ന് ഓർക്കുക.

BM ഒരു ചരിഞ്ഞ ആംഗിൾ B യുടെ ദ്വിവിഭാഗമായിരിക്കട്ടെ. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, MD, AB എന്നീ സെഗ്‌മെന്റുകൾ യഥാക്രമം 3x, 4x എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

SVM, VMA എന്നീ കോണുകൾ പരിഗണിക്കുക. AD, BC എന്നിവ സമാന്തരമായതിനാൽ, BM ഒരു സെക്കന്റ് ആണ്, CBM, BMA എന്നീ കോണുകൾ ക്രോസ്വൈസ് ആണ്. വിഭജിക്കുന്ന കോണുകൾ തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, AVM ത്രികോണം ഐസോസിലിസ് ആണ്, അതിനാൽ, AB = AM = 4x.

ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ ചുറ്റളവ് അതിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയാണ്, അതായത്
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
അതിനാൽ x = 4, 7x = 28.

2. ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ ഡയഗണൽ അതിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളുമായി 26º, 34º കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

ഒരു സമാന്തരരേഖയും അതിന്റെ ഡയഗണലും വരയ്ക്കുക. ഡ്രോയിംഗിലെ ക്രോസ്-ലൈയിംഗ് കോണുകളും ഏകപക്ഷീയമായ കോണുകളും ശ്രദ്ധിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ഉത്തരം ലഭിക്കും: 120º.

3. വിപരീത കോണുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 50º ആണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ ഒരു ഐസോസിലിസ് ട്രപസോയിഡിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കോൺ ഏതാണ്? നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

അത് ഞങ്ങൾക്കറിയാം സമഭാഗങ്ങൾ(അല്ലെങ്കിൽ ഐസോസിലിസ്) ഒരു ട്രപസോയിഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൽ വശങ്ങൾ തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, മുകളിലെ അടിത്തറയിലെ കോണുകൾ തുല്യമാണ്, അതുപോലെ തന്നെ താഴത്തെ അടിത്തറയിലെ കോണുകളും.

നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് നോക്കാം. കൺവെൻഷൻ പ്രകാരം, α - β = 50°, അതായത്, α = β + 50°.

α, β എന്നീ കോണുകൾ സമാന്തരരേഖകളും ഒരു സെക്കന്റും കൊണ്ട് ഏകപക്ഷീയമാണ്, അതിനാൽ,
α + β = 180°.

അതിനാൽ 2β + 50° = 180°
β = 65°, പിന്നെ α = 115°.

ഉത്തരം: 115.

EGE-പഠനം » അദ്ധ്യാപന സാമഗ്രികൾ » ജ്യാമിതി: പൂജ്യം മുതൽ C4 വരെ » ഉയരം, മീഡിയനുകൾ, ത്രികോണത്തിന്റെ ദ്വിഭാഗങ്ങൾ

രണ്ട് വരികളുടെ സമാന്തരതയുടെ അടയാളങ്ങൾ

സിദ്ധാന്തം 1. ഒരു സെക്കന്റിന്റെ രണ്ട് വരികളുടെ കവലയിലാണെങ്കിൽ:

ഡയഗണലായി കിടക്കുന്ന കോണുകൾ തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ

അനുബന്ധ കോണുകൾ തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ

ഒരു വശമുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° ആണ്, അപ്പോൾ

വരികൾ സമാന്തരമാണ്(ചിത്രം 1).

തെളിവ്. കേസ് 1 ന്റെ തെളിവിലേക്ക് ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു.

a, b വരികളുടെ കവലയിൽ ഒരു സെക്കന്റ് AB കൊണ്ട് കിടക്കുന്ന കോണുകൾ തുല്യമാണെന്ന് കരുതുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ∠ 4 = ∠ 6. നമുക്ക് ഒരു || ബി.

a, b എന്നീ വരികൾ സമാന്തരമല്ലെന്ന് കരുതുക. പിന്നീട് അവ M എന്ന ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു, തൽഫലമായി, 4 അല്ലെങ്കിൽ 6 കോണുകളിൽ ഒന്ന് ABM ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണായിരിക്കും. തീർച്ചയായും, ∠ 4 ABM ത്രികോണത്തിന്റെ പുറം മൂലയും ∠ 6 അകത്തെ മൂലവും ആയിരിക്കട്ടെ. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണിലെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ∠ 4 എന്നത് ∠ 6 നേക്കാൾ വലുതാണ്, ഇത് വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണ്, അതായത് a, 6 വരികൾ വിഭജിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ അവ സമാന്തരമാണ്.

അനന്തരഫലം 1. ഒരേ രേഖയ്ക്ക് ലംബമായി ഒരു തലത്തിൽ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത രേഖകൾ സമാന്തരമാണ്(ചിത്രം 2).

അഭിപ്രായം. സിദ്ധാന്തം 1 ന്റെ കേസ് 1 ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ തെളിയിച്ച രീതിയെ വൈരുദ്ധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അസംബന്ധത്തിലേക്കുള്ള തെളിവ് രീതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ രീതിക്ക് അതിന്റെ ആദ്യ പേര് ലഭിച്ചു, കാരണം ന്യായവാദത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ, തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ട കാര്യത്തിന് വിപരീതമായി (എതിർവശത്ത്) ഒരു അനുമാനം നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു. ഉണ്ടാക്കിയ അനുമാനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വാദിച്ചാൽ, നമ്മൾ അസംബന്ധമായ ഒരു നിഗമനത്തിൽ (അസംബന്ധം) എത്തിച്ചേരുന്നു എന്ന വസ്തുത കാരണം ഇതിനെ അസംബന്ധത്തിലേക്കുള്ള കുറയ്ക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു നിഗമനം സ്വീകരിക്കുന്നത് തുടക്കത്തിൽ നടത്തിയ അനുമാനം നിരസിക്കാനും തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ട ഒന്ന് അംഗീകരിക്കാനും നമ്മെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു.

ടാസ്ക് 1. M എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകാതെ തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി M എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖ നിർമ്മിക്കുക.

പരിഹാരം. ഒരു വരിയിലേക്ക് ലംബമായി M എന്ന പോയിന്റിലൂടെ p എന്ന രേഖ ഞങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു (ചിത്രം 3).

പിന്നെ p എന്ന രേഖയ്ക്ക് ലംബമായി M എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ b എന്ന രേഖ വരയ്ക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം 1 ന്റെ അനന്തരഫലം അനുസരിച്ച് b എന്ന വരി a വരയ്ക്ക് സമാന്തരമാണ്.

പരിഗണിക്കപ്പെട്ട പ്രശ്നത്തിൽ നിന്ന് ഒരു പ്രധാന നിഗമനം പിന്തുടരുന്നു:
തന്നിരിക്കുന്ന വരിയിൽ അല്ലാത്ത ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ, തന്നിരിക്കുന്ന രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു രേഖ വരയ്ക്കാം..

സമാന്തര ലൈനുകളുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് ഇപ്രകാരമാണ്.

സമാന്തരരേഖകളുടെ സിദ്ധാന്തം. തന്നിരിക്കുന്ന വരിയിൽ അല്ലാത്ത ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ, തന്നിരിക്കുന്ന രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു വരി മാത്രമേയുള്ളൂ.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്ന സമാന്തര വരകളുടെ ചില സവിശേഷതകൾ പരിഗണിക്കുക.

1) ഒരു രേഖ രണ്ട് സമാന്തര വരകളിൽ ഒന്നിനെ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് മറ്റൊന്നിനെ വിഭജിക്കുന്നു (ചിത്രം 4).

2) രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വരികൾ മൂന്നാമത്തെ വരിക്ക് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, അവ സമാന്തരമാണ് (ചിത്രം 5).

താഴെ പറയുന്ന സിദ്ധാന്തവും ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം 2. രണ്ട് സമാന്തര രേഖകൾ ഒരു സെക്കന്റ് മുറിച്ചുകടക്കുകയാണെങ്കിൽ:

കിടക്കുന്ന കോണുകൾ തുല്യമാണ്;

അനുബന്ധ കോണുകൾ തുല്യമാണ്;

ഏകപക്ഷീയമായ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° ആണ്.

അനന്തരഫലം 2. ഒരു രേഖ രണ്ട് സമാന്തര വരകളിൽ ഒന്നിന് ലംബമാണെങ്കിൽ, അത് മറ്റൊന്നിനും ലംബമാണ്.(ചിത്രം 2 കാണുക).

അഭിപ്രായം. സിദ്ധാന്തം 2 നെ സിദ്ധാന്തം 1 ന്റെ വിപരീതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം 1 ന്റെ ഉപസംഹാരം സിദ്ധാന്തം 2 ന്റെ അവസ്ഥയാണ്. കൂടാതെ സിദ്ധാന്തം 1 ന്റെ അവസ്ഥ സിദ്ധാന്തം 2 ന്റെ ഉപസംഹാരമാണ്. എല്ലാ സിദ്ധാന്തത്തിനും വിപരീതം ഇല്ല, അതായത് ഒരു സിദ്ധാന്തം ശരിയാണെങ്കിൽ, അപ്പോൾ വിപരീത സിദ്ധാന്തം തെറ്റായിരിക്കാം.

ലംബ കോണുകളിലെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നമുക്ക് ഇത് വിശദീകരിക്കാം. ഈ സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്താം: രണ്ട് കോണുകൾ ലംബമാണെങ്കിൽ, അവ തുല്യമാണ്. വിപരീത സിദ്ധാന്തം ഇതായിരിക്കും: രണ്ട് കോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവ ലംബമാണ്. ഇത് തീർച്ചയായും ശരിയല്ല. രണ്ട് തുല്യ കോണുകൾ ലംബമായിരിക്കണമെന്നില്ല.

ഉദാഹരണം 1രണ്ട് സമാന്തര വരകൾ മൂന്നിലൊന്ന് മുറിച്ചുകടക്കുന്നു. രണ്ട് ആന്തരിക ഏകപക്ഷീയ കോണുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 30 ° ആണെന്ന് അറിയാം. ആ കോണുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. ചിത്രം 6 നിബന്ധന പാലിക്കട്ടെ.

ചോദ്യം 1.ഏത് കോണുകളെ തൊട്ടടുത്ത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു?
ഉത്തരം.ഒരു വശം പൊതുവായതും ഈ കോണുകളുടെ മറുവശങ്ങൾ പരസ്പര പൂരകമായ അർദ്ധരേഖകളുമാണെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളെ തൊട്ടടുത്ത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ചിത്രം 31-ൽ, കോണുകൾ (a 1 b), (a 2 b) എന്നിവ തൊട്ടടുത്താണ്. അവയ്ക്ക് ഒരു പൊതു വശം b ഉണ്ട്, കൂടാതെ a 1 ഉം a 2 ഉം അധിക അർദ്ധരേഖകളാണ്.

ചോദ്യം 2.തൊട്ടടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° ആണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
ഉത്തരം. സിദ്ധാന്തം 2.1.തൊട്ടടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° ആണ്.
തെളിവ്.കോണും (a 1 b) കോണും (a 2 b) അടുത്തുള്ള കോണുകൾ നൽകട്ടെ (ചിത്രം 31 കാണുക). ബീം ബി വികസിപ്പിച്ച കോണിന്റെ 1-നും 2-നും ഇടയിൽ കടന്നുപോകുന്നു. അതിനാൽ, കോണുകളുടെ ആകെത്തുക (a 1 b), (a 2 b) വികസിപ്പിച്ച കോണിന് തുല്യമാണ്, അതായത് 180 °. ക്യു.ഇ.ഡി.

ചോദ്യം 3.രണ്ട് കോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവയോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകളും തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
ഉത്തരം.

സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് 2.1 രണ്ട് കോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവയോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകൾ തുല്യമാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.
കോണുകൾ (a 1 b), (c 1 d) എന്നിവ തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. കോണുകൾ (a 2 b), (c 2 d) എന്നിവയും തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
തൊട്ടടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° ആണ്. ഇതിൽ നിന്ന് a 1 b + a 2 b = 180° ഉം c 1 d + c 2 d = 180° ഉം ആണ്. അതിനാൽ, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b, c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. കോണുകൾ (a 1 b), (c 1 d) എന്നിവ തുല്യമായതിനാൽ, നമുക്ക് a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d ലഭിക്കും. തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്റെ ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റിയുടെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, ഒരു 2 b = c 2 d. ക്യു.ഇ.ഡി.

ചോദ്യം 4.ഏത് കോണിനെ വലത് (അക്യൂട്ട്, ഒബ്റ്റസ്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു?
ഉത്തരം. 90 ° ന് തുല്യമായ കോണിനെ വലത് കോണെന്ന് വിളിക്കുന്നു.
90°യിൽ താഴെയുള്ള കോണിനെ അക്യൂട്ട് ആംഗിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
90°യിൽ കൂടുതലും 180°യിൽ താഴെയുമുള്ള കോണിനെ ചരിഞ്ഞ കോണെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചോദ്യം 5.വലത് കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള ഒരു കോണാണ് വലത് കോണാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
ഉത്തരം.തൊട്ടടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയിലെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു വലത് കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള കോൺ ഒരു വലത് കോണാണ്: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

ചോദ്യം 6.ലംബ കോണുകൾ എന്തൊക്കെയാണ്?
ഉത്തരം.ഒരു കോണിന്റെ വശങ്ങൾ മറ്റേതിന്റെ വശങ്ങളുടെ പൂരകമായ അർദ്ധരേഖകളാണെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളെ ലംബമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചോദ്യം 7.ലംബ കോണുകൾ തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
ഉത്തരം. സിദ്ധാന്തം 2.2. ലംബ കോണുകൾ തുല്യമാണ്.
തെളിവ്.(a 1 b 1) ഉം (a 2 b 2) ലംബ കോണുകളും നൽകട്ടെ (ചിത്രം 34). കോർണർ (a 1 b 2) കോണിനോടും (a 1 b 1) കോണിനോടും ചേർന്നാണ് (a 2 b 2). ഇവിടെ നിന്ന്, അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയിലെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഓരോ കോണുകളും (a 1 b 1), (a 2 b 2) കോണിനെ (a 1 b 2) 180 ° വരെ പൂരകമാക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു, അതായത്. കോണുകൾ (a 1 b 1), (a 2 b 2) എന്നിവ തുല്യമാണ്. ക്യു.ഇ.ഡി.

ചോദ്യം 8.രണ്ട് വരികളുടെ കവലയിൽ ഒരെണ്ണം വലത് കോണാണെങ്കിൽ, മറ്റ് മൂന്ന് കോണുകളും ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
ഉത്തരം.പോയിന്റ് O-ൽ AB, CD എന്നീ വരികൾ പരസ്പരം ഛേദിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. AOD 90° ആണ് എന്ന് കരുതുക. തൊട്ടടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° ആയതിനാൽ, നമുക്ക് AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90° ലഭിക്കും. COB ആംഗിൾ AOD കോണിലേക്ക് ലംബമാണ്, അതിനാൽ അവ തുല്യമാണ്. അതായത്, കോൺ COB = 90 °. COA BOD ലേക്ക് ലംബമാണ്, അതിനാൽ അവ തുല്യമാണ്. അതായത്, കോൺ BOD = 90°. അങ്ങനെ, എല്ലാ കോണുകളും 90 ° തുല്യമാണ്, അതായത്, അവ എല്ലാം ശരിയാണ്. ക്യു.ഇ.ഡി.

ചോദ്യം 9.ലംബമായി വിളിക്കപ്പെടുന്ന വരികൾ ഏതാണ്? വരകളുടെ ലംബത സൂചിപ്പിക്കാൻ ഏത് അടയാളമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്?
ഉത്തരം.വലത് കോണിൽ വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് വരികളെ ലംബമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.
വരികളുടെ ലംബത സൂചിപ്പിക്കുന്നത് \(\perp\) ആണ്. എൻട്രി \(a\perp b\) ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: "ലൈൻ a ലൈൻ b ന് ലംബമാണ്".

ചോദ്യം 10.ഒരു വരിയുടെ ഏത് പോയിന്റിലൂടെയും അതിന് ലംബമായി ഒരു രേഖ വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് തെളിയിക്കുക.
ഉത്തരം. സിദ്ധാന്തം 2.3.ഓരോ വരിയിലൂടെയും, നിങ്ങൾക്ക് അതിന് ലംബമായി ഒരു രേഖ വരയ്ക്കാം, ഒന്ന് മാത്രം.
തെളിവ്. a തന്നിരിക്കുന്ന വരിയും A അതിന്മേൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിന്റും ആയിരിക്കട്ടെ. ആരംഭ പോയിന്റ് എ (ചിത്രം 38) ഉപയോഗിച്ച് നേർരേഖ a ഉപയോഗിച്ച് പകുതി വരികളിൽ ഒന്ന് 1 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുക. 90 ° ന് തുല്യമായ ഒരു 1 ആംഗിൾ (a 1 b 1) പകുതി വരിയിൽ നിന്ന് മാറ്റിവെക്കുക. അപ്പോൾ b 1 എന്ന റേ അടങ്ങുന്ന ലൈൻ a രേഖയ്ക്ക് ലംബമായിരിക്കും.

A എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന മറ്റൊരു വര ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, അത് a രേഖയ്ക്ക് ലംബമാണ്. റേ ബി 1 ഉപയോഗിച്ച് അതേ അർദ്ധതലത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഈ രേഖയുടെ അർദ്ധരേഖ c 1 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുക.
കോണുകൾ (a 1 b 1), (a 1 c 1), ഓരോന്നിനും 90 ° തുല്യമാണ്, അർദ്ധ-രേഖ a 1-ൽ നിന്ന് ഒരു അർദ്ധ-തലത്തിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ അർദ്ധരേഖയിൽ നിന്ന് 1, 90 ° ന് തുല്യമായ ഒരു ആംഗിൾ മാത്രമേ ഈ അർദ്ധ-തലത്തിൽ നീക്കിവെക്കാൻ കഴിയൂ. അതിനാൽ, A എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെയും a രേഖയ്ക്ക് ലംബമായും മറ്റൊരു രേഖ കടന്നുപോകാൻ കഴിയില്ല. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ചോദ്യം 11.ഒരു വരയ്ക്ക് ലംബമായത് എന്താണ്?
ഉത്തരം.തന്നിരിക്കുന്ന രേഖയ്ക്ക് ലംബമായ ഒരു രേഖാ സെഗ്‌മെന്റാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്, അവയുടെ കവല പോയിന്റിൽ അതിന്റെ അറ്റങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഉണ്ട്. സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഈ അവസാനത്തെ വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാനംലംബമായി.

ചോദ്യം 12.വൈരുദ്ധ്യത്തിന്റെ തെളിവ് എന്താണെന്ന് വിശദീകരിക്കുക.
ഉത്തരം.സിദ്ധാന്തം 2.3-ൽ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച തെളിവിന്റെ രീതിയെ വൈരുദ്ധ്യത്തിലൂടെയുള്ള തെളിവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം പ്രസ്താവിച്ചതിന് വിപരീതമായി ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഒരു അനുമാനം ഉണ്ടാക്കുന്നു എന്നതാണ് ഈ തെളിവിന്റെ മാർഗ്ഗം. തുടർന്ന്, യുക്തിസഹമായി, സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും ആശ്രയിച്ച്, സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അവസ്ഥയോ അല്ലെങ്കിൽ സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മുമ്പ് തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തമോ വിരുദ്ധമായ ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തി. ഈ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ അനുമാനം തെറ്റാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു, അതിനർത്ഥം സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വാദം ശരിയാണെന്നാണ്.

ചോദ്യം 13.എന്താണ് ആംഗിൾ ബൈസെക്ടർ?
ഉത്തരം.കോണിന്റെ ശീർഷകത്തിൽ നിന്ന് വരുന്ന ഒരു കിരണമാണ് കോണിന്റെ ദ്വിമുഖം, അതിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിൽ കടന്നുപോകുകയും കോണിനെ പകുതിയായി വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.