സമാന ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം വരയ്ക്കുന്നു

) കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ വഴി ഡിനോമിനേറ്റർ (ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ നമുക്ക് ലഭിക്കും).

ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല:

ഉദാഹരണത്തിന്:

നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററുകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും ഗുണിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പമായിരിക്കും.

ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ.

ഇത് തോന്നുന്നത്ര ഭയാനകമല്ല. സങ്കലനത്തിന്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, ഞങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഡിനോമിനേറ്ററിലെ ഒന്നിനൊപ്പം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാക്കി മാറ്റുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്:

മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നു.

ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ (മിശ്രിതം):

• മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളെ തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റുക;
• ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സംഖ്യകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും ഗുണിക്കുക;
• ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുക;
• നിങ്ങൾക്ക് അനുചിതമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയെ മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷനാക്കി മാറ്റുന്നു.

കുറിപ്പ്!ഒരു മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യയെ മറ്റൊരു മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം അവയെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമമനുസരിച്ച് ഗുണിക്കുക.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാനുള്ള രണ്ടാമത്തെ വഴി.

ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്ന രണ്ടാമത്തെ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും.

കുറിപ്പ്!ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ന്യൂമറേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ വിടുകയും വേണം.

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ബാക്കിയില്ലാതെ വിഭജിക്കുമ്പോൾ ഈ ഓപ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ബഹുനില ഭിന്നസംഖ്യകൾ.

ഹൈസ്കൂളിൽ, മൂന്ന് നിലകളുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ) ഭിന്നസംഖ്യകൾ പലപ്പോഴും കണ്ടുമുട്ടാറുണ്ട്. ഉദാഹരണം:

അത്തരമൊരു ഭിന്നസംഖ്യയെ അതിന്റെ സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ, 2 പോയിന്റുകളിലൂടെ വിഭജനം ഉപയോഗിക്കുക:

കുറിപ്പ്!ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, വിഭജനത്തിന്റെ ക്രമം വളരെ പ്രധാനമാണ്. ശ്രദ്ധിക്കുക, ഇവിടെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

കുറിപ്പ്, ഉദാഹരണത്തിന്:

ഒന്നിനെ ഏതെങ്കിലും ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, ഫലം അതേ ഭിന്നസംഖ്യയായിരിക്കും, വിപരീതം മാത്രം:

ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനും ഹരിക്കുന്നതിനുമുള്ള പ്രായോഗിക നുറുങ്ങുകൾ:

1. ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം കൃത്യതയും ശ്രദ്ധയുമാണ്. എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം കൃത്യമായും ഏകാഗ്രമായും വ്യക്തമായും ചെയ്യുക. മാനസിക കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ നഷ്ടപ്പെടുന്നതിനേക്കാൾ നിങ്ങളുടെ ഡ്രാഫ്റ്റിൽ കുറച്ച് അധിക വരികൾ എഴുതുന്നതാണ് നല്ലത്.

2. വ്യത്യസ്ത തരം ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള ടാസ്ക്കുകളിൽ, സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ തരത്തിലേക്ക് പോകുക.

3. കുറയ്ക്കാൻ സാധ്യമല്ലാത്തത് വരെ ഞങ്ങൾ എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും കുറയ്ക്കുന്നു.

4. 2 പോയിന്റുകളിലൂടെയുള്ള വിഭജനം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മൾട്ടി-ലെവൽ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പ്രഷനുകളെ സാധാരണമായവയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

5. നിങ്ങളുടെ തലയിലെ ഒരു അംശം കൊണ്ട് ഒരു യൂണിറ്റിനെ ഹരിക്കുക, അംശം മറിച്ചിടുക.

കഴിഞ്ഞ തവണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതും കുറയ്ക്കുന്നതും എങ്ങനെയെന്ന് ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു ("ഭിന്നങ്ങൾ ചേർക്കുന്നതും കുറയ്ക്കുന്നതും" എന്ന പാഠം കാണുക). ആ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏറ്റവും പ്രയാസകരമായ ഭാഗം ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയായിരുന്നു.

ഗുണനവും ഹരിക്കലും കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ട സമയമാണിത്. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സങ്കലനത്തേക്കാളും കുറയ്ക്കുന്നതിനേക്കാളും ലളിതമാണ് എന്നതാണ് നല്ല വാർത്ത. ആദ്യം, വേർതിരിക്കുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യയില്ലാതെ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉള്ളപ്പോൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസ് പരിഗണിക്കാം.

രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയുടെ സംഖ്യകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും വെവ്വേറെ ഗുണിക്കണം. ആദ്യ സംഖ്യ പുതിയ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും രണ്ടാമത്തേത് ഡിനോമിനേറ്ററും ആയിരിക്കും.

രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയെ "വിപരീത" രണ്ടാം ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പദവി:

ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നത് ഗുണനത്തിലേക്ക് കുറയുന്നുവെന്ന് നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ "ഫ്ലിപ്പ്" ചെയ്യാൻ, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും സ്വാപ്പ് ചെയ്യുക. അതിനാൽ, പാഠത്തിലുടനീളം നമ്മൾ പ്രധാനമായും ഗുണനം പരിഗണിക്കും.

ഗുണനത്തിന്റെ ഫലമായി, കുറയ്ക്കാവുന്ന ഒരു അംശം ഉണ്ടാകാം (പലപ്പോഴും ഉയർന്നുവരുന്നു) - അത് തീർച്ചയായും കുറയ്ക്കണം. എല്ലാ കുറവുകൾക്കും ശേഷം ഭിന്നസംഖ്യ തെറ്റാണെന്ന് തെളിഞ്ഞാൽ, മുഴുവൻ ഭാഗവും ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യണം. എന്നാൽ ഗുണനത്തിലൂടെ തീർച്ചയായും സംഭവിക്കാത്തത് ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കലാണ്: ക്രിസ്-ക്രോസ് രീതികളില്ല, ഏറ്റവും വലിയ ഘടകങ്ങളും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗുണിതങ്ങളും.

നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

മുഴുവൻ ഭാഗങ്ങളും നെഗറ്റീവ് ഭിന്നസംഖ്യകളും കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക

ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അവ അനുചിതമായവയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യണം - അതിനുശേഷം മാത്രമേ മുകളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന സ്കീമുകൾക്കനുസരിച്ച് ഗുണിക്കുക.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിലോ ഡിനോമിനേറ്ററിലോ അതിന് മുന്നിലോ ഒരു മൈനസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത് ഗുണനത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം അല്ലെങ്കിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് മൊത്തത്തിൽ നീക്കംചെയ്യാം:

1. പ്ലസ് ബൈ മൈനസ് മൈനസ് നൽകുന്നു;
2. രണ്ട് നെഗറ്റീവുകൾ ഒരു സ്ഥിരീകരണം ഉണ്ടാക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ വരെ, നെഗറ്റീവ് ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, മുഴുവൻ ഭാഗവും ഒഴിവാക്കാൻ ആവശ്യമായി വരുമ്പോൾ മാത്രമേ ഈ നിയമങ്ങൾ നേരിട്ടിട്ടുള്ളൂ. ഒരു സൃഷ്ടിയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഒരേസമയം നിരവധി പോരായ്മകൾ "കത്തിക്കാൻ" അവ സാമാന്യവൽക്കരിക്കാൻ കഴിയും:

1. നെഗറ്റീവുകൾ പൂർണ്ണമായും അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നതുവരെ ജോഡികളായി ഞങ്ങൾ അവയെ മറികടക്കുന്നു. അങ്ങേയറ്റത്തെ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു മൈനസ് നിലനിൽക്കും - ഇണ ഇല്ലാതിരുന്ന ഒന്ന്;
2. മൈനസുകളൊന്നും അവശേഷിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം പൂർത്തിയായി - നിങ്ങൾക്ക് ഗുണിക്കുന്നത് ആരംഭിക്കാം. ജോഡി ഇല്ലാതിരുന്നതിനാൽ അവസാന മൈനസ് മറികടക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത് ഗുണനത്തിന്റെ പരിധിക്ക് പുറത്താണ് എടുക്കുന്നത്. ഫലം ഒരു നെഗറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷൻ ആണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഞങ്ങൾ എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും അനുചിതമായവയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു, തുടർന്ന് ഗുണനത്തിൽ നിന്ന് മൈനസുകൾ എടുക്കുന്നു. സാധാരണ നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി ഞങ്ങൾ അവശേഷിക്കുന്നത് വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത മുഴുവൻ ഭാഗവും ഉള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മുന്നിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന മൈനസ് അതിന്റെ മുഴുവൻ ഭാഗത്തെയും മാത്രമല്ല (അവസാനത്തെ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾക്കും ഇത് ബാധകമാണ്) പ്രത്യേകമായി മുഴുവൻ ഭിന്നസംഖ്യയെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ.

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളിലേക്കും ശ്രദ്ധിക്കുക: ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അവ പരാൻതീസിസിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഗുണന ചിഹ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് മൈനസുകൾ വേർതിരിക്കാനും മുഴുവൻ നൊട്ടേഷനും കൂടുതൽ കൃത്യതയുള്ളതാക്കാനുമാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്.

ഈച്ചയിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നു

ഗുണനം വളരെ അധ്വാനം ആവശ്യമുള്ള ഒരു പ്രവർത്തനമാണ്. ഇവിടെയുള്ള സംഖ്യകൾ വളരെ വലുതായി മാറുന്നു, പ്രശ്നം ലളിതമാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഗുണിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്. വാസ്തവത്തിൽ, സാരാംശത്തിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സംഖ്യകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും സാധാരണ ഘടകങ്ങളാണ്, അതിനാൽ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് ഉപയോഗിച്ച് അവ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കുക:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

എല്ലാ ഉദാഹരണങ്ങളിലും, കുറച്ച സംഖ്യകളും അവയിൽ അവശേഷിക്കുന്നവയും ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, മൾട്ടിപ്ലയറുകൾ പൂർണ്ണമായും കുറച്ചു. അവയുടെ സ്ഥാനത്ത്, പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, എഴുതേണ്ടതില്ലാത്ത യൂണിറ്റുകൾ അവശേഷിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, പൂർണ്ണമായ കുറവ് കൈവരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ല, പക്ഷേ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ആകെ തുക ഇപ്പോഴും കുറഞ്ഞു.

എന്നിരുന്നാലും, ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുമ്പോഴും കുറയ്ക്കുമ്പോഴും ഈ സാങ്കേതികവിദ്യ ഒരിക്കലും ഉപയോഗിക്കരുത്! അതെ, ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾ കുറയ്ക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന സമാന സംഖ്യകളുണ്ട്. ഇതാ, നോക്കൂ:

നിങ്ങൾക്ക് അത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല!

പിശക് സംഭവിക്കുന്നത് കാരണം കൂട്ടിച്ചേർക്കുമ്പോൾ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ഒരു തുക ഉണ്ടാക്കുന്നു, അക്കങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നമല്ല. തൽഫലമായി, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് പ്രയോഗിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്, കാരണം ഈ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രത്യേകമായി സംഖ്യകളുടെ ഗുണനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിന് മറ്റ് കാരണങ്ങളൊന്നുമില്ല, അതിനാൽ മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിനുള്ള ശരിയായ പരിഹാരം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ശരിയായ പരിഹാരം:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ശരിയായ ഉത്തരം അത്ര മനോഹരമല്ലെന്ന് തെളിഞ്ഞു. പൊതുവേ, ശ്രദ്ധിക്കുക.

മിഡിൽ, ഹൈസ്കൂൾ കോഴ്‌സുകളിൽ, വിദ്യാർത്ഥികൾ "ഫ്രാക്ഷൻസ്" എന്ന വിഷയം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ആശയം പഠന പ്രക്രിയയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതിനേക്കാൾ വളരെ വിശാലമാണ്. ഇന്ന്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന ആശയം പലപ്പോഴും കണ്ടുമുട്ടുന്നു, എല്ലാവർക്കും ഒരു പദപ്രയോഗവും കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക.

എന്താണ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ?

ചരിത്രപരമായി, അളക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകതയിൽ നിന്നാണ് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉണ്ടായത്. പ്രാക്ടീസ് കാണിക്കുന്നതുപോലെ, ഒരു സെഗ്മെന്റിന്റെ നീളവും ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള ദീർഘചതുരത്തിന്റെ അളവും നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഉണ്ട്.

തുടക്കത്തിൽ, ഒരു ഷെയർ എന്ന ആശയം വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഒരു തണ്ണിമത്തനെ 8 ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചാൽ, ഓരോ വ്യക്തിക്കും തണ്ണിമത്തന്റെ എട്ടിലൊന്ന് ലഭിക്കും. എട്ടിന്റെ ഈ ഒരു ഭാഗത്തെ ഷെയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിന്റെ ½ ന് തുല്യമായ ഒരു ഓഹരിയെ പകുതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു; ⅓ - മൂന്നാമത്; ¼ - നാലിലൊന്ന്. 5/8, 4/5, 2/4 ഫോമിന്റെ രേഖകളെ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. അവയ്ക്കിടയിൽ ഫ്രാക്ഷൻ ബാർ അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രാക്ഷൻ ബാർ ഉണ്ട്. ഫ്രാക്ഷണൽ രേഖ തിരശ്ചീനമായോ ചരിഞ്ഞ വരയായോ വരയ്ക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് വിഭജന ചിഹ്നത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഡിനോമിനേറ്റർ, അളവ് അല്ലെങ്കിൽ വസ്തുവിനെ എത്ര തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു; ഒരേപോലെ എത്ര ഓഹരികൾ എടുക്കുന്നു എന്നതാണ് ന്യൂമറേറ്റർ. ന്യൂമറേറ്റർ ഫ്രാക്ഷൻ ലൈനിന് മുകളിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്, ഡിനോമിനേറ്റർ അതിന് താഴെയാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്.

ഒരു കോർഡിനേറ്റ് റേയിൽ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കാണിക്കുന്നത് ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഒരൊറ്റ സെഗ്‌മെന്റിനെ 4 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചാൽ, ഓരോ ഭാഗവും ഒരു ലാറ്റിൻ അക്ഷരത്താൽ നിയുക്തമാക്കിയാൽ, ഫലം മികച്ച ദൃശ്യസഹായിയാകും. അതിനാൽ, പോയിന്റ് എ മുഴുവൻ യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെന്റിന്റെ 1/4 ന് തുല്യമായ ഒരു പങ്ക് കാണിക്കുന്നു, കൂടാതെ പോയിന്റ് ബി ഒരു നിശ്ചിത സെഗ്‌മെന്റിന്റെ 2/8 അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു.

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ തരങ്ങൾ

ഭിന്നസംഖ്യകൾ സാധാരണ, ദശാംശം, മിക്സഡ് സംഖ്യകൾ ആകാം. കൂടാതെ, ഭിന്നസംഖ്യകളെ ശരിയായതും അനുചിതവും ആയി തിരിക്കാം. ഈ വർഗ്ഗീകരണം സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് കൂടുതൽ അനുയോജ്യമാണ്.

ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിനേക്കാൾ കുറവുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ് ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യ. അതനുസരിച്ച്, അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യ അതിന്റെ സംഖ്യയെക്കാൾ കൂടുതലുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ്. രണ്ടാമത്തെ തരം സാധാരണയായി ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യയായി എഴുതുന്നു. ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗവും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 1½. 1 എന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, ½ എന്നത് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ പദപ്രയോഗത്തിൽ ചില കൃത്രിമങ്ങൾ നടത്തണമെങ്കിൽ (ഭിന്നങ്ങളെ ഹരിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ ഗുണിക്കുക, അവയെ കുറയ്ക്കുക അല്ലെങ്കിൽ പരിവർത്തനം ചെയ്യുക), മിക്സഡ് സംഖ്യ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയായി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടും.

ശരിയായ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ എപ്പോഴും ഒന്നിൽ കുറവായിരിക്കും, കൂടാതെ തെറ്റായത് എല്ലായ്പ്പോഴും 1-നേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയിരിക്കും.

ഈ പദപ്രയോഗത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു റെക്കോർഡ് എന്നാണ് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, അതിന്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പ്രഷന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ നിരവധി പൂജ്യങ്ങളുള്ള ഒന്നിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം. ഭിന്നസംഖ്യ ശരിയാണെങ്കിൽ, ദശാംശ നൊട്ടേഷനിലെ പൂർണ്ണസംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ എഴുതാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യം മുഴുവൻ ഭാഗവും എഴുതണം, ഒരു കോമ ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കുക, തുടർന്ന് ഫ്രാക്ഷൻ എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതുക. ഡെസിമൽ പോയിന്റിന് ശേഷം, ഡിനോമിനേറ്ററിൽ പൂജ്യങ്ങൾ ഉള്ള അതേ എണ്ണം ഡിജിറ്റൽ പ്രതീകങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.

ഉദാഹരണം. ഭിന്നസംഖ്യ 7 21 / 1000 ദശാംശ നൊട്ടേഷനിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക.

തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യയെ മിക്സഡ് സംഖ്യയിലേക്കും തിരിച്ചും പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

ഒരു പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരത്തിൽ തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യ എഴുതുന്നത് തെറ്റാണ്, അതിനാൽ ഇത് ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്:

• നിലവിലുള്ള ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഹരിക്കുക;
• ഒരു പ്രത്യേക ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു അപൂർണ്ണമായ ഘടകഭാഗം മൊത്തമാണ്;
• ബാക്കിയുള്ളത് ഭിന്നഭാഗത്തിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററാണ്, ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു.

ഉദാഹരണം. അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയെ മിക്സഡ് സംഖ്യയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക: 47/5.

പരിഹാരം. 47: 5. ഭാഗിക ഘടകം 9 ആണ്, ബാക്കി = 2. അതിനാൽ, 47 / 5 = 9 2 / 5.

ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യയെ തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തുടർന്ന് നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

• ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഭാഗം ഗുണിക്കുന്നു;
• തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു;
• ഫലം ന്യൂമറേറ്ററിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു.

ഉദാഹരണം. സംഖ്യയെ മിക്സഡ് രൂപത്തിൽ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയായി അവതരിപ്പിക്കുക: 9 8 / 10.

പരിഹാരം. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ആണ് ന്യൂമറേറ്റർ.

ഉത്തരം: 98 / 10.

ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നു

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ വിവിധ ബീജഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം. രണ്ട് സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിനൊപ്പം ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. മാത്രമല്ല, വ്യത്യസ്ത വിഭാഗങ്ങളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നത് ഒരേ വിഭാഗങ്ങളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല.

ഫലം കണ്ടെത്തിയ ശേഷം നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം കഴിയുന്നത്ര ലളിതമാക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ്. തീർച്ചയായും, ഒരു ഉത്തരത്തിലെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യ ഒരു പിശകാണെന്ന് പറയാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ അതിനെ ശരിയായ ഉത്തരം എന്ന് വിളിക്കാനും പ്രയാസമാണ്.

ഉദാഹരണം. രണ്ട് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക: ½, 20/18.

ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം, കുറയ്ക്കാവുന്ന ഫ്രാക്ഷണൽ നൊട്ടേഷൻ ലഭിക്കും. ഈ കേസിലെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു, ഫലം ഉത്തരം 5/9 ആണ്.

ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നു

ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം അതിന്റെ തത്വത്തിൽ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിൽ നിന്ന് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമാണ്. അതിനാൽ, ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നത് ഇപ്രകാരമാണ്:

• രണ്ട് ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒന്നിനു കീഴിൽ മറ്റൊന്നായി എഴുതണം, അങ്ങനെ വലതുവശത്തെ അക്കങ്ങൾ ഒന്നിനു കീഴിലായിരിക്കും;
• കോമകൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും നിങ്ങൾ എഴുതിയ സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളായി;
• ഓരോ സംഖ്യയിലും ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷം അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം എണ്ണുക;
• ഗുണനത്തിനു ശേഷം ലഭിക്കുന്ന ഫലത്തിൽ, ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷമുള്ള രണ്ട് ഘടകങ്ങളിലും തുകയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന അത്രയും ഡിജിറ്റൽ ചിഹ്നങ്ങൾ നിങ്ങൾ വലതുവശത്ത് നിന്ന് കണക്കാക്കുകയും വേർതിരിക്കുന്ന ചിഹ്നം ഇടുകയും വേണം;
• ഉല്പന്നത്തിൽ അക്കങ്ങൾ കുറവാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യ മറയ്ക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ അവയുടെ മുന്നിൽ എത്ര പൂജ്യങ്ങൾ എഴുതണം, ഒരു കോമ ഇടുക, കൂടാതെ മുഴുവൻ ഭാഗവും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി ചേർക്കുക.

ഉദാഹരണം. രണ്ട് ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുക: 2.25, 3.6.

പരിഹാരം.

മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നു

രണ്ട് മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കാൻ, ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

• മിശ്രിത സംഖ്യകളെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റുക;
• സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക;
• ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക;
• ഫലം എഴുതുക;
• പദപ്രയോഗം കഴിയുന്നത്ര ലളിതമാക്കുക.

ഉദാഹരണം. 4½, 6 2/5 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകൾ)

രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെയും ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നതിന് പുറമേ, നിങ്ങൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ട ടാസ്ക്കുകൾ ഉണ്ട്.

അതിനാൽ, ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെയും ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

• ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് കീഴിൽ സംഖ്യ എഴുതുക, അങ്ങനെ വലതുവശത്തെ അക്കങ്ങൾ ഒന്നിനു മുകളിൽ മറ്റൊന്നായിരിക്കും;
• കോമ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക;
• തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തിൽ, ഭിന്നസംഖ്യയിലെ ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം വലതുവശത്ത് നിന്ന് കണക്കാക്കി കോമ ഉപയോഗിച്ച് ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗത്തിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യ വേർതിരിക്കുക.

ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ ഉൽപ്പന്നവും സ്വാഭാവിക ഘടകവും കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഉത്തരം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഉണ്ടാക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് പരിവർത്തനം ചെയ്യണം.

ഉദാഹരണം. 5/8, 12 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

ഉത്തരം: 7 1 / 2.

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലം കുറയ്ക്കുകയും തെറ്റായ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യയിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലം മിശ്ര രൂപത്തിലും സ്വാഭാവിക ഘടകത്തിലും കണ്ടെത്തുന്നതിനെയും ബാധിക്കുന്നു. ഈ രണ്ട് സംഖ്യകളും ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ മിശ്രിത ഘടകത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഭാഗവും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം, ന്യൂമറേറ്ററിനെ അതേ മൂല്യം കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ വിടുക. ആവശ്യമെങ്കിൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലം കഴിയുന്നത്ര ലളിതമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം. 9 5 / 6, 9 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

ഉത്തരം: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 അല്ലെങ്കിൽ 0.1 ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനം; 0.01; 0.001

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം പിന്തുടരുന്നു. ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയെ 10, 100, 1000, 10000, മുതലായവ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, ഒന്നിന് ശേഷമുള്ള ഘടകത്തിൽ പൂജ്യങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ നിങ്ങൾ ദശാംശ പോയിന്റിനെ വലത്തേക്ക് നീക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 1. 0.065, 1000 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

ഉത്തരം: 65.

ഉദാഹരണം 2. 3.9, 1000 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

ഉത്തരം: 3900.

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും 0.1-ഉം ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ; 0.01; 0.001; 0.0001, മുതലായവ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിലെ കോമ ഒന്നിന് മുമ്പ് പൂജ്യങ്ങൾ ഉള്ളത്ര അക്ക പ്രതീകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇടത്തേക്ക് നീക്കണം. ആവശ്യമെങ്കിൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്ക് മുമ്പ് മതിയായ പൂജ്യങ്ങൾ എഴുതുന്നു.

ഉദാഹരണം 1. 56, 0.01 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

ഉത്തരം: 0,56.

ഉദാഹരണം 2. 4, 0.001 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

ഉത്തരം: 0,004.

അതിനാൽ, വ്യത്യസ്‌ത ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നത് ഒരു പക്ഷേ ഫലം കണക്കാക്കുകയല്ലാതെ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കരുത്; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

§ 87. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന് പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന് നിരവധി സമാനതകളുണ്ട്. നൽകിയിരിക്കുന്ന നിരവധി സംഖ്യകൾ (നിബന്ധനകൾ) ഒരു സംഖ്യയായി (തുക) സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു പ്രവർത്തനമാണ് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, നിബന്ധനകളുടെ യൂണിറ്റുകളുടെ എല്ലാ യൂണിറ്റുകളും ഭിന്നസംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ മൂന്ന് കേസുകൾ തുടർച്ചയായി പരിഗണിക്കും:

1. സമാന ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.
2. വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.
3. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

1. സമാന ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക: 1/5 + 2/5.

നമുക്ക് സെഗ്‌മെന്റ് AB (ചിത്രം 17) എടുക്കാം, അതിനെ ഒന്നായി എടുത്ത് 5 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക, തുടർന്ന് ഈ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഭാഗം AC സെഗ്‌മെന്റ് AB യുടെ 1/5 ന് തുല്യമായിരിക്കും, അതേ സെഗ്‌മെന്റ് സിഡിയുടെ ഭാഗം തുല്യമായിരിക്കും. 2/5 എബി.

ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്, നമ്മൾ സെഗ്മെന്റ് എഡി എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് 3/5 എബിക്ക് തുല്യമായിരിക്കും; എന്നാൽ സെഗ്‌മെന്റ് AD എന്നത് AC, CD എന്നീ സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. അതിനാൽ നമുക്ക് എഴുതാം:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

ഈ നിബന്ധനകളും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുകയും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, പദങ്ങളുടെ അക്കങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് തുകയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ലഭിച്ചതായും ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നതായും നാം കാണുന്നു.

ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ലഭിക്കും: ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയുടെ സംഖ്യകൾ ചേർക്കുകയും അതേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപേക്ഷിക്കുകയും വേണം.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

2. വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കാം: 3 / 4 + 3 / 8 ആദ്യം അവ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കേണ്ടതുണ്ട്:

ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ലിങ്ക് 6/8 + 3/8 എഴുതാൻ കഴിഞ്ഞില്ല; വ്യക്തതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ അത് ഇവിടെ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്.

അതിനാൽ, വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം അവയെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് ചുരുക്കുകയും അവയുടെ സംഖ്യകൾ ചേർക്കുകയും പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്റർ ലേബൽ ചെയ്യുകയും വേണം.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കാം (അനുബന്ധ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് മുകളിൽ ഞങ്ങൾ അധിക ഘടകങ്ങൾ എഴുതും):

3. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

നമുക്ക് അക്കങ്ങൾ ചേർക്കാം: 2 3/8 + 3 5/6.

നമുക്ക് ആദ്യം നമ്മുടെ സംഖ്യകളുടെ ഭിന്നഭാഗങ്ങൾ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്ന് വീണ്ടും എഴുതാം:

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗങ്ങളും തുടർച്ചയായി ചേർക്കുന്നു:

§ 88. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നത് പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിന് സമാനമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. രണ്ട് പദങ്ങളുടെയും അവയിലൊന്നിന്റെയും ആകെത്തുക നൽകിയാൽ, മറ്റൊരു പദം കണ്ടെത്തുന്നതിന്റെ സഹായത്തോടെയുള്ള ഒരു പ്രവർത്തനമാണിത്. നമുക്ക് തുടർച്ചയായി മൂന്ന് കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം:

1. സമാന ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കൽ.
2. വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കൽ.
3. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ.

1. സമാന ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കൽ.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

13 / 15 - 4 / 15

നമുക്ക് സെഗ്മെന്റ് AB (ചിത്രം 18) എടുക്കാം, അതിനെ ഒരു യൂണിറ്റായി എടുത്ത് 15 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക; അപ്പോൾ ഈ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഭാഗം AC AB-യുടെ 1/15-നെ പ്രതിനിധീകരിക്കും, അതേ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഭാഗം AD 13/15 AB-യുമായി പൊരുത്തപ്പെടും. 4/15 എബിക്ക് തുല്യമായ മറ്റൊരു സെഗ്മെന്റ് ED നമുക്ക് മാറ്റിവെക്കാം.

13/15 ൽ നിന്ന് 4/15 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യ നമുക്ക് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഡ്രോയിംഗിൽ, സെഗ്‌മെന്റ് ED സെഗ്‌മെന്റ് എഡിയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കണം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. തൽഫലമായി, സെഗ്‌മെന്റ് എഇ നിലനിൽക്കും, അത് സെഗ്‌മെന്റ് എബിയുടെ 9/15 ആണ്. അതിനാൽ നമുക്ക് എഴുതാം:

ഞങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കിയ ഉദാഹരണം കാണിക്കുന്നത് ന്യൂമറേറ്ററുകൾ കുറച്ചാൽ വ്യത്യാസത്തിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ലഭിച്ചു, പക്ഷേ ഡിനോമിനേറ്റർ അതേപടി തുടർന്നു.

അതിനാൽ, സമാന ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ സബ്‌ട്രാഹെൻഡിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ മൈനുവിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുകയും അതേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപേക്ഷിക്കുകയും വേണം.

2. വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കൽ.

ഉദാഹരണം. 3/4 - 5/8

ആദ്യം, നമുക്ക് ഈ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം:

ഇന്റർമീഡിയറ്റ് 6 / 8 - 5 / 8 വ്യക്തതയ്ക്കായി ഇവിടെ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്, പക്ഷേ പിന്നീട് ഒഴിവാക്കാം.

അതിനാൽ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം അവയെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കണം, തുടർന്ന് മൈനുവിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന് മൈനുവിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ കുറയ്ക്കുകയും അവയുടെ വ്യത്യാസത്തിന് കീഴിൽ പൊതു വിഭാഗത്തിൽ ഒപ്പിടുകയും വേണം.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

3. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ.

ഉദാഹരണം. 10 3/4 - 7 2/3.

നമുക്ക് മൈനിന്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗങ്ങൾ കുറയ്ക്കുകയും ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് സബ്ട്രഹെൻഡ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യാം:

ഞങ്ങൾ ഒരു മൊത്തത്തിൽ നിന്ന് മൊത്തവും ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു അംശവും കുറച്ചു. എന്നാൽ സബ്‌ട്രാഹെൻഡിന്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം മൈനുവിന്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ കേസുകളുണ്ട്. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, നിങ്ങൾ മൈനുവിന്റെ മുഴുവൻ ഭാഗത്തുനിന്നും ഒരു യൂണിറ്റ് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളായി അതിനെ വിഭജിച്ച് മൈനുവിന്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗത്തേക്ക് ചേർക്കുക. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലെ അതേ രീതിയിൽ കുറയ്ക്കൽ നടപ്പിലാക്കും:

§ 89. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം.

ഭിന്നസംഖ്യ ഗുണനം പഠിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കും:

1. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ പൂർണ്ണ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
2. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അംശം കണ്ടെത്തൽ.
3. ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
4. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
5. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം.
6. താൽപ്പര്യം എന്ന ആശയം.
7. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ശതമാനം കണ്ടെത്തൽ. നമുക്ക് അവയെ ക്രമമായി പരിഗണിക്കാം.

1. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ പൂർണ്ണ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ അർത്ഥമുണ്ട്. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ (ഗുണനം) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ (ഘടകം) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം ഒരേ പദങ്ങളുടെ ഒരു തുക സൃഷ്ടിക്കുക എന്നാണ്, അതിൽ ഓരോ പദവും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഗുണനത്തിന് തുല്യവുമാണ്.

ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾക്ക് 1/9 നെ 7 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ, ഇത് ഇതുപോലെ ചെയ്യാം:

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിലേക്ക് പ്രവർത്തനം ചുരുക്കിയതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഫലം എളുപ്പത്തിൽ ലഭിച്ചു. അതിനാൽ,

ഈ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരിഗണന കാണിക്കുന്നത് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ പൂർണ്ണ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് ഈ ഭിന്നസംഖ്യയെ പൂർണ്ണ സംഖ്യയിൽ എത്രയധികം തവണ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ് എന്നാണ്. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നത് ഒന്നുകിൽ അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ വർദ്ധിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് നേടിയെടുക്കുന്നതിനാൽ

അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ , അങ്ങനെ വിഭജനം സാധ്യമാണെങ്കിൽ നമുക്ക് ഒന്നുകിൽ ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ അത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യാം.

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് നിയമം ലഭിക്കും:

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിനെ ആ പൂർണ്ണ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഡിനോമിനേറ്ററിനെ അതേപടി വിടുക, അല്ലെങ്കിൽ സാധ്യമെങ്കിൽ, ആ സംഖ്യകൊണ്ട് ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഹരിക്കുക, ന്യൂമറേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ വിടുക.

ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ചുരുക്കങ്ങൾ സാധ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്:

2. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അംശം കണ്ടെത്തൽ.തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയോ കണക്കാക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ട നിരവധി പ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ട്. ഈ പ്രശ്നങ്ങളും മറ്റുള്ളവയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം, അവ ചില വസ്തുക്കളുടെയോ അളവെടുപ്പിന്റെ യൂണിറ്റുകളുടെയോ എണ്ണം നൽകുന്നു എന്നതാണ്, ഈ സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അത് ഇവിടെ ഒരു നിശ്ചിത ഭിന്നസംഖ്യയാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. മനസ്സിലാക്കുന്നത് സുഗമമാക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യം അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകും, തുടർന്ന് അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി അവതരിപ്പിക്കും.

ടാസ്ക് 1.എനിക്ക് 60 റൂബിൾസ് ഉണ്ടായിരുന്നു; ഈ പണത്തിന്റെ 1/3 ഞാൻ പുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങാൻ ചെലവഴിച്ചു. പുസ്തകങ്ങളുടെ വില എത്രയാണ്?

ടാസ്ക് 2.എ, ബി നഗരങ്ങൾക്കിടയിൽ ട്രെയിൻ 300 കിലോമീറ്ററിന് തുല്യമായ ദൂരം സഞ്ചരിക്കണം. ഈ ദൂരത്തിന്റെ 2/3 അദ്ദേഹം ഇതിനകം പിന്നിട്ടു കഴിഞ്ഞു. ഇത് എത്ര കിലോമീറ്ററാണ്?

ടാസ്ക് 3.ഗ്രാമത്തിൽ 400 വീടുകളുണ്ട്, അവയിൽ 3/4 ഇഷ്ടികയും ബാക്കിയുള്ളവ മരവുമാണ്. ആകെ എത്ര ഇഷ്ടിക വീടുകൾ ഉണ്ട്?

തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ നേരിടുന്ന നിരവധി പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ ചിലത് ഇവയാണ്. ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെ അംശം കണ്ടെത്തുന്നതിന് അവയെ സാധാരണയായി പ്രശ്നങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം 1. 60 റബ്ബിൽ നിന്ന്. ഞാൻ 1/3 പുസ്തകങ്ങൾക്കായി ചെലവഴിച്ചു; ഇതിനർത്ഥം പുസ്തകങ്ങളുടെ വില കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾ 60 എന്ന സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കൽ 2. 300 കിലോമീറ്ററിൽ 2/3 നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എന്നതാണ് പ്രശ്നത്തിന്റെ കാര്യം. ആദ്യം നമുക്ക് 300 ന്റെ 1/3 കണക്കാക്കാം; 300 കിലോമീറ്ററിനെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ് ഇത് നേടുന്നത്:

300: 3 = 100 (അത് 300 ന്റെ 1/3 ആണ്).

300-ന്റെ മൂന്നിൽ രണ്ട് ഭാഗം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഘടകത്തെ ഇരട്ടിയാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക:

100 x 2 = 200 (അത് 300 ന്റെ 2/3 ആണ്).

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കൽ 3. 400-ൽ 3/4 വരുന്ന ഇഷ്ടിക വീടുകളുടെ എണ്ണം ഇവിടെ നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യം നമുക്ക് 400-ൽ 1/4 കണ്ടെത്താം,

400: 4 = 100 (അത് 400 ന്റെ 1/4 ആണ്).

400 ന്റെ മുക്കാൽ ഭാഗം കണക്കാക്കാൻ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഘടകത്തെ മൂന്നിരട്ടിയാക്കണം, അതായത് 3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക:

100 x 3 = 300 (അത് 400 ന്റെ 3/4 ആണ്).

ഈ പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ലഭിക്കും:

ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഈ സംഖ്യയെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഘടകത്തെ അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും വേണം.

3. ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

നേരത്തെ (§ 26) പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ഒരേ പദങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലായി മനസ്സിലാക്കണം (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). ഈ ഖണ്ഡികയിൽ (പോയിന്റ് 1) ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഈ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായ സമാന പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും, ഒരേ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നതാണ് ഗുണനം.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു. ഇവിടെ നമ്മൾ അഭിമുഖീകരിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഗുണനം: 9 2/3. ഗുണനത്തിന്റെ മുൻ നിർവചനം ഈ കേസിൽ ബാധകമല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. തുല്യ സംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് നമുക്ക് അത്തരം ഗുണനത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയില്ല എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് ഇത് വ്യക്തമാണ്.

ഇക്കാരണത്താൽ, ഗുണനത്തിന് ഒരു പുതിയ നിർവചനം നൽകേണ്ടിവരും, അതായത്, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ എന്താണ് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത്, ഈ പ്രവർത്തനം എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കണം എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുക.

ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്റെ അർത്ഥം ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്: ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ (ഗുണനം) ഒരു ഭിന്നസംഖ്യകൊണ്ട് (ഗുണനം) ഗുണിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം ഗുണനത്തിന്റെ ഈ ഭിന്നസംഖ്യ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

അതായത്, 9 നെ 2/3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഒമ്പത് യൂണിറ്റുകളുടെ 2/3 കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ, അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു; അതിനാൽ ഞങ്ങൾ 6-ൽ അവസാനിക്കുമെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

എന്നാൽ ഇപ്പോൾ രസകരവും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ ഒരു ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: തുല്യ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നതും ഒരു സംഖ്യയുടെ അംശം കണ്ടെത്തുന്നതും പോലെയുള്ള വ്യത്യസ്തമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ "ഗുണനം" എന്ന അതേ വാക്കിൽ വിളിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?

മുമ്പത്തെ പ്രവർത്തനവും (പദങ്ങളുള്ള ഒരു സംഖ്യ പലതവണ ആവർത്തിക്കുന്നത്) പുതിയ പ്രവർത്തനവും (ഒരു സംഖ്യയുടെ ഭിന്നസംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നത്) ഏകതാനമായ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകുന്നതിനാലാണ് ഇത് സംഭവിക്കുന്നത്. ഏകതാനമായ ചോദ്യങ്ങളോ ടാസ്ക്കുകളോ ഒരേ പ്രവർത്തനത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്ന പരിഗണനകളിൽ നിന്നാണ് ഞങ്ങൾ ഇവിടെ മുന്നോട്ട് പോകുന്നത് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഇത് മനസിലാക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക: “1 മീറ്റർ തുണിയുടെ വില 50 റുബിളാണ്. 4 മീറ്റർ അത്തരം തുണിയുടെ വില എത്രയാണ്?

റൂബിളുകളുടെ എണ്ണം (50) മീറ്ററുകളുടെ എണ്ണം (4), അതായത് 50 x 4 = 200 (റൂബിൾസ്) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാണ് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത്.

നമുക്ക് അതേ പ്രശ്‌നം എടുക്കാം, എന്നാൽ അതിൽ തുണിയുടെ അളവ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കും: “1 മീറ്റർ തുണിക്ക് 50 റുബിളാണ് വില. അത്തരം തുണിയുടെ 3/4 മീറ്റർ വില എത്ര വരും?

റൂബിളുകളുടെ എണ്ണം (50) മീറ്ററുകളുടെ എണ്ണം (3/4) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പ്രശ്നത്തിന്റെ അർത്ഥം മാറ്റാതെ തന്നെ നിങ്ങൾക്ക് അതിലെ അക്കങ്ങൾ പലതവണ മാറ്റാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, 9/10 മീ അല്ലെങ്കിൽ 2 3/10 മീ മുതലായവ എടുക്കുക.

ഈ പ്രശ്‌നങ്ങൾക്ക് ഒരേ ഉള്ളടക്കമുള്ളതും അക്കങ്ങളിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുള്ളതുമായതിനാൽ, അവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഒരേ വാക്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു - ഗുണനം.

ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം?

അവസാന പ്രശ്നത്തിൽ നേരിട്ട സംഖ്യകൾ എടുക്കാം:

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, 50 ന്റെ 3/4 കണ്ടെത്തണം. ആദ്യം നമുക്ക് 50 ന്റെ 1/4 കണ്ടെത്താം, തുടർന്ന് 3/4.

50-ൽ 1/4 എന്നത് 50/4 ആണ്;

50 എന്ന സംഖ്യയുടെ 3/4 ആണ്.

അതുകൊണ്ട്.

നമുക്ക് മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കാം: 12 5 / 8 =?

12 എന്ന സംഖ്യയുടെ 1/8 12/8 ആണ്,

12 എന്ന സംഖ്യയുടെ 5/8 ആണ്.

അതിനാൽ,

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് നിയമം ലഭിക്കും:

ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ മുഴുവൻ സംഖ്യയെയും ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഈ ഉൽപ്പന്നത്തെ ന്യൂമറേറ്റർ ആക്കുകയും ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററായി ഒപ്പിടുകയും വേണം.

അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ നിയമം എഴുതാം:

ഈ നിയമം പൂർണ്ണമായും വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഘടകമായി കണക്കാക്കാമെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. അതിനാൽ, കണ്ടെത്തിയ നിയമത്തെ § 38 ൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

ഗുണനം നടത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത് (സാധ്യമെങ്കിൽ) എന്നത് ഓർത്തിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. കുറയ്ക്കലുകൾ, ഉദാഹരണത്തിന്:

4. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ അർത്ഥമുണ്ട്, അതായത്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് (ഗുണനം) ഘടകത്തിലെ ഭിന്നസംഖ്യ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

അതായത്, 3/4 നെ 1/2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ (പകുതി) അർത്ഥമാക്കുന്നത് 3/4 ന്റെ പകുതി കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

നിങ്ങൾ എങ്ങനെയാണ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത്?

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം: 3/4 നെ 5/7 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ. ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ 3/4 ന്റെ 5/7 കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്. നമുക്ക് ആദ്യം 3/4 ന്റെ 1/7 കണ്ടെത്താം, തുടർന്ന് 5/7

3/4 എന്ന സംഖ്യയുടെ 1/7 ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കും:

5/7 സംഖ്യകൾ 3/4 ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കും:

അങ്ങനെ,

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: 5/8 നെ 4/9 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

5/8 ന്റെ 1/9 ആണ്,

5/8 എന്ന സംഖ്യയുടെ 4/9 ആണ്.

അങ്ങനെ,

ഈ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം മനസ്സിലാക്കാം:

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിനെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ആദ്യത്തെ ഉൽപ്പന്നത്തെ ന്യൂമറേറ്ററും രണ്ടാമത്തെ ഉൽപ്പന്നത്തെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററും ആക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ നിയമം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

ഗുണിക്കുമ്പോൾ, (സാധ്യമെങ്കിൽ) കുറയ്ക്കാൻ അത് ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

5. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം.മിക്സഡ് സംഖ്യകളെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളാൽ എളുപ്പത്തിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ, മിക്സഡ് സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ ഈ സാഹചര്യം സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗുണിതം, അല്ലെങ്കിൽ ഗുണനം, അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് ഘടകങ്ങളും മിക്സഡ് സംഖ്യകളായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ, അവ തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യകളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. നമുക്ക് ഗുണിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, മിക്സഡ് സംഖ്യകൾ: 2 1/2, 3 1/5. നമുക്ക് അവ ഓരോന്നും അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയാക്കി മാറ്റാം, തുടർന്ന് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമമനുസരിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക:

ഭരണം.മിക്സഡ് സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം അവയെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റണം, തുടർന്ന് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമമനുസരിച്ച് അവയെ ഗുണിക്കുക.

കുറിപ്പ്.ഘടകങ്ങളിലൊന്ന് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, വിതരണ നിയമത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഗുണനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നടത്താം:

6. താൽപ്പര്യം എന്ന ആശയം.പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും വിവിധ പ്രായോഗിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ എല്ലാത്തരം ഭിന്നസംഖ്യകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാൽ പല അളവുകളും അവയ്‌ക്ക് മാത്രമല്ല, സ്വാഭാവിക വിഭജനം അനുവദിക്കുന്നുവെന്നത് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു റൂബിളിന്റെ നൂറിലൊന്ന് (1/100) എടുക്കാം, അത് ഒരു കോപെക്ക് ആയിരിക്കും, ഇരുനൂറിൽ ഒന്ന് 2 കോപെക്കുകൾ, മുന്നൂറൊന്ന് 3 കോപെക്കുകൾ. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു റൂബിളിന്റെ 1/10 എടുക്കാം, അത് "10 kopecks, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പത്ത്-കൊപെക്ക് കഷണം ആയിരിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു റൂബിളിന്റെ നാലിലൊന്ന് എടുക്കാം, അതായത് 25 kopecks, അര റൂബിൾ, അതായത് 50 kopecks (50 kopecks). അവർ അത് പ്രായോഗികമായി എടുക്കുന്നില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, റൂബിളിന്റെ 2/7, കാരണം റൂബിൾ ഏഴിലൊന്നായി വിഭജിച്ചിട്ടില്ല.

ഭാരത്തിന്റെ യൂണിറ്റ്, അതായത് കിലോഗ്രാം, പ്രാഥമികമായി ദശാംശ വിഭജനം അനുവദിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന് 1/10 കിലോ, അല്ലെങ്കിൽ 100 ​​ഗ്രാം. കൂടാതെ ഒരു കിലോഗ്രാമിന്റെ 1/6, 1/11, 1/13 എന്നിങ്ങനെയുള്ള അംശങ്ങൾ സാധാരണമല്ല.

പൊതുവേ, ഞങ്ങളുടെ (മെട്രിക്) അളവുകൾ ദശാംശവും ദശാംശ വിഭജനം അനുവദിക്കുന്നതുമാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, അളവുകൾ ഉപവിഭജനത്തിന്റെ ഒരേ (യൂണിഫോം) രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് വളരെ ഉപയോഗപ്രദവും വൈവിധ്യമാർന്ന കേസുകളിൽ സൗകര്യപ്രദവുമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. അത്തരം ന്യായമായ വിഭജനം "നൂറാമത്തെ" വിഭജനമാണെന്ന് നിരവധി വർഷത്തെ അനുഭവം തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. മനുഷ്യ പരിശീലനത്തിന്റെ ഏറ്റവും വൈവിധ്യമാർന്ന മേഖലകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

1. പുസ്തകങ്ങളുടെ വില മുൻ വിലയുടെ 12/100 കുറഞ്ഞു.

ഉദാഹരണം. പുസ്തകത്തിന്റെ മുൻ വില 10 റൂബിൾ ആയിരുന്നു. ഇത് 1 റൂബിൾ കുറഞ്ഞു. 20 കോപെക്കുകൾ

2. സേവിംഗ്സ് ബാങ്കുകൾ നിക്ഷേപകർക്ക് വർഷത്തിൽ സമ്പാദ്യത്തിനായി നിക്ഷേപിച്ച തുകയുടെ 2/100 നൽകും.

ഉദാഹരണം. 500 റുബിളുകൾ ക്യാഷ് രജിസ്റ്ററിൽ നിക്ഷേപിക്കുന്നു, ഈ തുകയിൽ നിന്നുള്ള വരുമാനം വർഷത്തിൽ 10 റുബിളാണ്.

3. ഒരു സ്കൂളിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടിയവരുടെ എണ്ണം മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ 5/100 ആയിരുന്നു.

ഉദാഹരണം സ്‌കൂളിൽ 1,200 വിദ്യാർത്ഥികൾ മാത്രമാണുണ്ടായിരുന്നത്, അതിൽ 60 പേർ ബിരുദം നേടി.

ഒരു സംഖ്യയുടെ നൂറാമത്തെ ഭാഗത്തെ ശതമാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

"ശതമാനം" എന്ന വാക്ക് ലാറ്റിനിൽ നിന്ന് കടമെടുത്തതാണ്, അതിന്റെ മൂല "സെന്റ്" എന്നാൽ നൂറ് എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. പ്രീപോസിഷനോടൊപ്പം (പ്രോ സെന്റം), ഈ വാക്കിന്റെ അർത്ഥം "നൂറിന്" എന്നാണ്. ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം, തുടക്കത്തിൽ പുരാതന റോമിൽ പലിശ എന്നായിരുന്നു കടക്കാരൻ കടം കൊടുക്കുന്നയാൾക്ക് "ഓരോ നൂറിനും" നൽകിയ പണത്തിന് നൽകിയിരുന്ന പേര്. "സെന്റ്" എന്ന വാക്ക് അത്തരം പരിചിതമായ വാക്കുകളിൽ കേൾക്കുന്നു: സെന്റർ (നൂറ് കിലോഗ്രാം), സെന്റീമീറ്റർ (സെന്റിമീറ്റർ എന്ന് പറയുക).

ഉദാഹരണത്തിന്, കഴിഞ്ഞ മാസം പ്ലാന്റ് ഉൽപ്പാദിപ്പിച്ച എല്ലാ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും 1/100 വികലമാണെന്ന് പറയുന്നതിനുപകരം, ഞങ്ങൾ ഇത് പറയും: കഴിഞ്ഞ ഒരു മാസത്തിൽ പ്ലാന്റ് ഒരു ശതമാനം വൈകല്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കി. പറയുന്നതിനുപകരം: പ്ലാന്റ് സ്ഥാപിത പദ്ധതിയേക്കാൾ 4/100 കൂടുതൽ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു, ഞങ്ങൾ പറയും: പ്ലാന്റ് പ്ലാൻ 4 ശതമാനം കവിഞ്ഞു.

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാം:

1. പുസ്തകങ്ങളുടെ വില മുൻ വിലയേക്കാൾ 12 ശതമാനം കുറഞ്ഞു.

2. സേവിംഗ്‌സ് ബാങ്കുകൾ നിക്ഷേപകർക്ക് സേവിംഗിൽ നിക്ഷേപിച്ച തുകയുടെ 2 ശതമാനം പ്രതിവർഷം നൽകും.

3. ഒരു സ്കൂളിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടിയവരുടെ എണ്ണം എല്ലാ സ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികളുടെയും 5 ശതമാനമായിരുന്നു.

അക്ഷരം ചുരുക്കാൻ, "ശതമാനം" എന്ന വാക്കിന് പകരം % ചിഹ്നം എഴുതുന്നത് പതിവാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ % ചിഹ്നം സാധാരണയായി എഴുതപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്; ഇത് പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിലും അന്തിമ ഫലത്തിലും എഴുതാം. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുമ്പോൾ, ഈ ചിഹ്നമുള്ള ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയ്ക്ക് പകരം 100 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്.

100 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിച്ച ഐക്കണിനൊപ്പം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയേണ്ടതുണ്ട്:

നേരെമറിച്ച്, 100 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് പകരം സൂചിപ്പിച്ച ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ എഴുതാൻ നിങ്ങൾ ശീലിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

7. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ശതമാനം കണ്ടെത്തൽ.

ടാസ്ക് 1. 200 ക്യുബിക് മീറ്ററാണ് സ്‌കൂളിന് ലഭിച്ചത്. m വിറക്, ബിർച്ച് വിറക് 30% വരും. എത്ര ബിർച്ച് വിറക് ഉണ്ടായിരുന്നു?

ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ അർത്ഥം, സ്കൂളിൽ വിതരണം ചെയ്ത വിറകിന്റെ ഒരു ഭാഗം മാത്രമാണ് ബിർച്ച് വിറക് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, ഈ ഭാഗം 30/100 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം ഒരു സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം കണ്ടെത്താനുള്ള ചുമതല നമുക്കുണ്ട് എന്നാണ്. അത് പരിഹരിക്കാൻ, നമ്മൾ 200 നെ 30/100 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം (ഒരു സംഖ്യയുടെ ഭിന്നസംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ, സംഖ്യയെ ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും.).

ഇതിനർത്ഥം 200 ന്റെ 30% 60 ന് തുല്യമാണ് എന്നാണ്.

ഈ പ്രശ്‌നത്തിൽ അഭിമുഖീകരിക്കുന്ന 30/100 ഭിന്നസംഖ്യ 10 ആയി കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഈ കുറവ് ചെയ്യാൻ സാധിക്കും; പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം മാറുമായിരുന്നില്ല.

ടാസ്ക് 2.വിവിധ പ്രായത്തിലുള്ള 300 കുട്ടികളാണ് ക്യാമ്പിൽ ഉണ്ടായിരുന്നത്. 11 വയസ്സുള്ള കുട്ടികൾ 21%, 12 വയസ്സുള്ള കുട്ടികൾ 61%, ഒടുവിൽ 13 വയസ്സുള്ള കുട്ടികൾ 18% എന്നിങ്ങനെയാണ്. ക്യാമ്പിൽ ഓരോ പ്രായത്തിലുമുള്ള എത്ര കുട്ടികൾ ഉണ്ടായിരുന്നു?

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ നിങ്ങൾ മൂന്ന് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത് 11 വയസ്സ്, പിന്നെ 12 വയസ്സ്, ഒടുവിൽ 13 വയസ്സ് പ്രായമുള്ള കുട്ടികളുടെ എണ്ണം തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുക.

ഇതിനർത്ഥം ഇവിടെ നിങ്ങൾ സംഖ്യയുടെ അംശം മൂന്ന് തവണ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് ഇതുചെയ്യാം:

1) 11 വയസ്സുള്ള എത്ര കുട്ടികൾ ഉണ്ടായിരുന്നു?

2) 12 വയസ്സുള്ള എത്ര കുട്ടികൾ ഉണ്ടായിരുന്നു?

3) 13 വയസ്സുള്ള എത്ര കുട്ടികൾ ഉണ്ടായിരുന്നു?

പ്രശ്നം പരിഹരിച്ച ശേഷം, കണ്ടെത്തിയ അക്കങ്ങൾ ചേർക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്; അവയുടെ ആകെത്തുക 300 ആയിരിക്കണം:

63 + 183 + 54 = 300

പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ശതമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 100 ആണെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്:

21% + 61% + 18% = 100%

ക്യാമ്പിലെ മൊത്തം കുട്ടികളുടെ എണ്ണം 100% ആയി എടുത്തതായി ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

3 a d a h a 3.തൊഴിലാളിക്ക് പ്രതിമാസം 1,200 റൂബിൾ ലഭിച്ചു. ഇതിൽ 65% ഭക്ഷണത്തിനും 6% അപ്പാർട്ടുമെന്റുകൾക്കും ചൂടാക്കലിനും 4% ഗ്യാസ്, വൈദ്യുതി, റേഡിയോ എന്നിവയ്ക്കും 10% സാംസ്കാരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കും 15% ലാഭിച്ചു. പ്രശ്നത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ആവശ്യങ്ങൾക്കായി എത്ര പണം ചെലവഴിച്ചു?

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ 1,200 ന്റെ അംശം 5 തവണ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് ഇത് ചെയ്യാം.

1) ഭക്ഷണത്തിനായി എത്ര പണം ചെലവഴിച്ചു? ഈ ചെലവ് മൊത്തം വരുമാനത്തിന്റെ 65% ആണെന്ന് പ്രശ്നം പറയുന്നു, അതായത് 1,200 എന്ന സംഖ്യയുടെ 65/100. നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്താം:

2) ചൂടാക്കൽ ഉള്ള ഒരു അപ്പാർട്ട്മെന്റിനായി നിങ്ങൾ എത്ര പണം നൽകി? മുമ്പത്തേതിന് സമാനമായി, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന കണക്കുകൂട്ടലിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

3) ഗ്യാസ്, വൈദ്യുതി, റേഡിയോ എന്നിവയ്ക്കായി നിങ്ങൾ എത്ര പണം നൽകി?

4) സാംസ്കാരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി എത്ര പണം ചെലവഴിച്ചു?

5) തൊഴിലാളി എത്ര പണം ലാഭിച്ചു?

പരിശോധിക്കുന്നതിന്, ഈ 5 ചോദ്യങ്ങളിൽ കാണുന്ന അക്കങ്ങൾ ചേർക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. തുക 1,200 റൂബിൾസ് ആയിരിക്കണം. എല്ലാ വരുമാനവും 100% ആയി കണക്കാക്കുന്നു, ഇത് പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ശതമാനം നമ്പറുകൾ ചേർത്ത് പരിശോധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഞങ്ങൾ മൂന്ന് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു. ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത കാര്യങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തിട്ടുണ്ടെങ്കിലും (സ്കൂളിലേക്കുള്ള വിറക് വിതരണം, വ്യത്യസ്ത പ്രായത്തിലുള്ള കുട്ടികളുടെ എണ്ണം, തൊഴിലാളിയുടെ ചെലവുകൾ), അവ ഒരേ രീതിയിൽ പരിഹരിച്ചു. എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളിലും നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ നിരവധി ശതമാനം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമായതിനാലാണ് ഇത് സംഭവിച്ചത്.

§ 90. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വിഭജനം.

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വിഭജനം പഠിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും:

1. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.
2. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ പൂർണ്ണ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു
3. ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.
4. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.
5. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം.
6. നൽകിയിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നു.
7. ഒരു സംഖ്യ അതിന്റെ ശതമാനമനുസരിച്ച് കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് അവയെ ക്രമമായി പരിഗണിക്കാം.

1. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വകുപ്പിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെയും (ഡിവിഡന്റ്) ഈ ഘടകങ്ങളിൽ ഒന്നിന്റെയും (ഡിവൈസർ) മറ്റൊരു ഘടകം കണ്ടെത്തുന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പ്രവർത്തനമാണ് ഡിവിഷൻ.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലെ വിഭാഗത്തിൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ നോക്കി. വിഭജനത്തിന്റെ രണ്ട് കേസുകൾ ഞങ്ങൾ അവിടെ നേരിട്ടു: ബാക്കിയില്ലാത്ത വിഭജനം, അല്ലെങ്കിൽ "മുഴുവൻ" (150: 10 = 15), ബാക്കിയുള്ള വിഭജനം (100: 9 = 11, 1 ബാക്കി). അതിനാൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ മേഖലയിൽ, കൃത്യമായ വിഭജനം എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ലെന്ന് നമുക്ക് പറയാം, കാരണം ലാഭവിഹിതം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂർണ്ണസംഖ്യകൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്റെ ഗുണനമല്ല. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണനം അവതരിപ്പിച്ചതിന് ശേഷം, പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള ഏത് സാഹചര്യവും നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം (പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മാത്രം ഒഴിവാക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു).

ഉദാഹരണത്തിന്, 7 നെ 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം 12 കൊണ്ട് ഗുണം 7 ന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. അത്തരമൊരു സംഖ്യ 7 / 12 ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, കാരണം 7 / 12 12 = 7 ആണ്. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: 14: 25 = 14 / 25, കാരണം 14 / 25 25 = 14.

അങ്ങനെ, ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ സൃഷ്ടിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ലാഭവിഹിതത്തിന് തുല്യവും ഡിനോമിനേറ്റർ ഡിവിസറിന് തുല്യവുമാണ്.

2. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ പൂർണ്ണ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഭിന്നസംഖ്യ 6/7 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭജനത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഇവിടെ ഉൽപ്പന്നവും (6/7) ഘടകവും (3) ഉണ്ട്; 3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിന് 6/7 ലഭിക്കുന്ന രണ്ടാമത്തെ ഘടകം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. വ്യക്തമായും, ഇത് ഈ ഉൽപ്പന്നത്തേക്കാൾ മൂന്നിരട്ടി ചെറുതായിരിക്കണം. ഇതിനർത്ഥം, 6/7 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയെ 3 മടങ്ങ് കുറയ്ക്കുക എന്നതായിരുന്നു നമ്മുടെ മുമ്പിലുള്ള ചുമതല.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നത് ഒന്നുകിൽ അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ കുറച്ചോ അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൂട്ടിയോ ചെയ്യാമെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം. അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ന്യൂമറേറ്റർ 6 നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, അതിനാൽ ന്യൂമറേറ്റർ 3 മടങ്ങ് കുറയ്ക്കണം.

നമുക്ക് മറ്റൊരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം: 5/8 നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഇവിടെ ന്യൂമറേറ്റർ 5 നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, അതായത് ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു നിയമം ഉണ്ടാക്കാം: ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ പൂർണ്ണ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സംഖ്യയെ ആ പൂർണ്ണ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.(സാധ്യമെങ്കിൽ), ഒരേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപേക്ഷിക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അതേ ന്യൂമറേറ്റർ വിടുക.

3. ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

5 നെ 1/2 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമായിരിക്കട്ടെ, അതായത്, 1/2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഉൽപ്പന്നം 5 നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക. വ്യക്തമായും, ഈ സംഖ്യ 5-ൽ കൂടുതലായിരിക്കണം, കാരണം 1/2 ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. , ഒരു സംഖ്യയെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഗുണനം ഗുണിക്കുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കണം. ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, നമ്മുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: 5: 1 / 2 = എക്സ് , അതായത് x 1/2 = 5.

അത്തരമൊരു സംഖ്യ നാം കണ്ടെത്തണം എക്സ് , ഇത് 1/2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 5 ലഭിക്കും. ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയെ 1/2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഈ സംഖ്യയുടെ 1/2 കണ്ടെത്തുക എന്നതിനാൽ, അജ്ഞാത സംഖ്യയുടെ 1/2 എക്സ് 5 ന് തുല്യമാണ്, മുഴുവൻ സംഖ്യയും എക്സ് ഇരട്ടി, അതായത് 5 2 = 10.

അതിനാൽ 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം:

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് 6 നെ 2/3 കൊണ്ട് ഹരിക്കണമെന്ന് പറയാം. ആദ്യം ഡ്രോയിംഗ് ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമുള്ള ഫലം കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം (ചിത്രം 19).

ചിത്രം.19

നമുക്ക് 6 യൂണിറ്റുകൾക്ക് തുല്യമായ ഒരു സെഗ്മെന്റ് AB വരയ്ക്കാം, കൂടാതെ ഓരോ യൂണിറ്റും 3 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക. ഓരോ യൂണിറ്റിലും, AB മുഴുവൻ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ മൂന്നിലൊന്ന് (3/3) 6 മടങ്ങ് വലുതാണ്, അതായത്. ഉദാ. 18/3. ചെറിയ ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, 2 ന്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന 18 സെഗ്‌മെന്റുകൾ ഞങ്ങൾ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു; 9 സെഗ്‌മെന്റുകൾ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ. ഇതിനർത്ഥം 2/3 ഭിന്നസംഖ്യ 6 യൂണിറ്റുകളിൽ 9 തവണ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ, മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, 2/3 ഭിന്നസംഖ്യ 6 മുഴുവൻ യൂണിറ്റുകളേക്കാൾ 9 മടങ്ങ് കുറവാണ്. അതിനാൽ,

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഇല്ലാതെ ഈ ഫലം എങ്ങനെ നേടാം? നമുക്ക് ഇതുപോലെ ന്യായവാദം ചെയ്യാം: 6 നെ 2/3 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത് 6-ൽ 2/3 എത്ര തവണ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: 6-ൽ 1/3 എത്ര തവണ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു? ഒരു മുഴുവൻ യൂണിറ്റിൽ 3 മൂന്നിലൊന്ന് ഉണ്ട്, 6 യൂണിറ്റുകളിൽ 6 മടങ്ങ് കൂടുതലാണ്, അതായത് 18 മൂന്നിലൊന്ന്; ഈ സംഖ്യ കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ 6-നെ 3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം. അതായത് 1/3 എന്നത് b യൂണിറ്റുകളിൽ 18 തവണയും 2/3 എന്നത് b യൂണിറ്റുകളിൽ 18 തവണയല്ല, പകുതിയോളം തവണയും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതായത് 18: 2 = 9 അതിനാൽ, 6 നെ 2/3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്തു:

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ലഭിക്കും. ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് നിങ്ങൾ ഈ പൂർണ്ണ സംഖ്യയെ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ഈ ഉൽപ്പന്നത്തെ ന്യൂമറേറ്ററാക്കി, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് നിയമം എഴുതാം:

ഈ നിയമം പൂർണ്ണമായും വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഘടകമായി കണക്കാക്കാമെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. അതിനാൽ, കണ്ടെത്തിയ നിയമത്തെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്, അത് § 38 ൽ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. അതേ ഫോർമുല അവിടെയും ലഭിച്ചുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ചുരുക്കങ്ങൾ സാധ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്:

4. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

നമുക്ക് 3/4 നെ 3/8 കൊണ്ട് ഹരിക്കണമെന്ന് പറയാം. വിഭജനത്തിന്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? 3/4 ഭിന്നസംഖ്യയിൽ 3/8 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യ എത്ര തവണ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഇത് ഉത്തരം നൽകും. ഈ പ്രശ്നം മനസിലാക്കാൻ, നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം (ചിത്രം 20).

നമുക്ക് ഒരു സെഗ്മെന്റ് AB എടുക്കാം, അത് ഒന്നായി എടുത്ത് 4 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച് അത്തരം 3 ഭാഗങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക. സെഗ്‌മെന്റ് എസി സെഗ്‌മെന്റ് എബിയുടെ 3/4 ന് തുല്യമായിരിക്കും. നമുക്ക് ഇപ്പോൾ നാല് ഒറിജിനൽ സെഗ്‌മെന്റുകൾ പകുതിയായി വിഭജിക്കാം, തുടർന്ന് സെഗ്‌മെന്റ് AB 8 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെടും, അത്തരം ഓരോ ഭാഗവും സെഗ്‌മെന്റിന്റെ 1/8 ന് തുല്യമായിരിക്കും. നമുക്ക് അത്തരം 3 സെഗ്‌മെന്റുകൾ ആർക്കുകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കാം, അപ്പോൾ ഓരോ സെഗ്‌മെന്റും AD, DC എന്നിവ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ 3/8 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഡ്രോയിംഗ് കാണിക്കുന്നത് 3/8 ന് തുല്യമായ ഒരു സെഗ്‌മെന്റ് 3/4 ന് തുല്യമായ ഒരു സെഗ്‌മെന്റിൽ കൃത്യമായി 2 തവണ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു; ഇതിനർത്ഥം വിഭജനത്തിന്റെ ഫലം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

3 / 4: 3 / 8 = 2

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. നമുക്ക് 15/16 നെ 3/32 കൊണ്ട് ഹരിക്കണമെന്ന് പറയാം:

നമുക്ക് ഇതുപോലെ ന്യായവാദം ചെയ്യാം: 3/32 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 15/16 ന് തുല്യമായ ഒരു ഉൽപ്പന്നം നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

15 / 16: 3 / 32 = എക്സ്

3 / 32 എക്സ് = 15 / 16

3/32 അജ്ഞാത നമ്പർ എക്സ് 15/16 ആണ്

ഒരു അജ്ഞാത സംഖ്യയുടെ 1/32 എക്സ് ആണ്,

32/32 നമ്പറുകൾ എക്സ് മേക്ക് അപ്പ് .

അതിനാൽ,

അതിനാൽ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സംഖ്യയെ രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ആദ്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ആദ്യത്തെ ഉൽപ്പന്നത്തെ ന്യൂമറേറ്റർ ആക്കേണ്ടതുണ്ട്, രണ്ടാമത്തേത് ഡിനോമിനേറ്ററും.

അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് നിയമം എഴുതാം:

വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ചുരുക്കങ്ങൾ സാധ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്:

5. മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം.

മിശ്രിത സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, അവ ആദ്യം തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റണം, തുടർന്ന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് വിഭജിക്കണം. നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

നമുക്ക് മിക്സഡ് സംഖ്യകളെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റാം:

ഇനി നമുക്ക് വിഭജിക്കാം:

അങ്ങനെ, മിശ്രിത സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഉപയോഗിച്ച് വിഭജിക്കുക.

6. നൽകിയിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നു.

വിവിധ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, ചിലപ്പോൾ അജ്ഞാത സംഖ്യയുടെ ചില ഭാഗങ്ങളുടെ മൂല്യം നൽകിയിട്ടുള്ളവയും നിങ്ങൾ ഈ നമ്പർ കണ്ടെത്തേണ്ടതുമാണ്. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അംശം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിന്റെ വിപരീതമായിരിക്കും ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നം; അവിടെ ഒരു നമ്പർ നൽകി, ഈ സംഖ്യയുടെ കുറച്ച് ഭാഗം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, ഇവിടെ ഒരു സംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗം നൽകി, ഈ നമ്പർ തന്നെ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് തിരിയുകയാണെങ്കിൽ ഈ ആശയം കൂടുതൽ വ്യക്തമാകും.

ടാസ്ക് 1.ആദ്യ ദിവസം, ഗ്ലേസിയർ 50 ജാലകങ്ങൾ തിളങ്ങി, ഇത് നിർമ്മിച്ച വീടിന്റെ എല്ലാ ജാലകങ്ങളുടെയും 1/3 ആണ്. ഈ വീട്ടിൽ എത്ര ജനലുകൾ ഉണ്ട്?

പരിഹാരം. 50 ഗ്ലേസ്ഡ് വിൻഡോകൾ വീടിന്റെ എല്ലാ ജാലകങ്ങളുടെയും 1/3 ആണെന്ന് പ്രശ്നം പറയുന്നു, അതായത് മൊത്തത്തിൽ 3 മടങ്ങ് കൂടുതൽ വിൻഡോകൾ ഉണ്ട്, അതായത്.

വീടിന് 150 ജനാലകളുണ്ടായിരുന്നു.

ടാസ്ക് 2.സ്റ്റോർ 1,500 കിലോഗ്രാം മാവ് വിറ്റു, ഇത് സ്റ്റോറിലുണ്ടായിരുന്ന മൊത്തം മാവ് സ്റ്റോക്കിന്റെ 3/8 ആണ്. സ്റ്റോറിന്റെ പ്രാഥമിക മാവ് എന്തായിരുന്നു?

പരിഹാരം. 1,500 കിലോഗ്രാം മാവ് മൊത്തം സ്റ്റോക്കിന്റെ 3/8 ആണെന്ന് പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്; ഇതിനർത്ഥം ഈ കരുതൽ ശേഖരത്തിന്റെ 1/8 3 മടങ്ങ് കുറവായിരിക്കും, അതായത് ഇത് കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾ 1500 3 മടങ്ങ് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്:

1,500: 3 = 500 (ഇത് കരുതൽ ശേഖരത്തിന്റെ 1/8 ആണ്).

വ്യക്തമായും, മുഴുവൻ വിതരണവും 8 മടങ്ങ് വലുതായിരിക്കും. അതിനാൽ,

500 8 = 4,000 (കിലോ).

4,000 കിലോഗ്രാം മാവ് സ്റ്റോറിലെ പ്രാഥമിക സ്റ്റോക്ക് ആയിരുന്നു.

ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഗണനയിൽ നിന്ന്, ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ഉരുത്തിരിഞ്ഞു വരാം.

അതിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഈ മൂല്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മതിയാകും, ഫലം ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഭിന്നസംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിൽ ഞങ്ങൾ രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ, അവസാനത്തേതിൽ നിന്ന് വ്യക്തമായി കാണുന്നത് പോലെ, രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങളാൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു: വിഭജനം (ഒരു ഭാഗം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ), ഗുണനം (മുഴുവൻ സംഖ്യ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ).

എന്നിരുന്നാലും, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വിഭജനം പഠിച്ച ശേഷം, മുകളിൽ പറഞ്ഞ പ്രശ്നങ്ങൾ ഒരു പ്രവർത്തനം കൊണ്ട് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്: ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് വിഭജിക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, അവസാന ടാസ്ക്ക് ഇതുപോലുള്ള ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

ഭാവിയിൽ, അതിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ഒരു പ്രവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കും - വിഭജനം.

7. ഒരു സംഖ്യ അതിന്റെ ശതമാനമനുസരിച്ച് കണ്ടെത്തുക.

ഈ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, ആ സംഖ്യയുടെ കുറച്ച് ശതമാനം അറിയാവുന്ന ഒരു നമ്പർ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ടാസ്ക് 1.ഈ വർഷത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ എനിക്ക് സേവിംഗ്സ് ബാങ്കിൽ നിന്ന് 60 റുബിളുകൾ ലഭിച്ചു. ഒരു വർഷം മുമ്പ് ഞാൻ സമ്പാദ്യത്തിൽ നിക്ഷേപിച്ച തുകയിൽ നിന്നുള്ള വരുമാനം. സേവിംഗ്സ് ബാങ്കിൽ ഞാൻ എത്ര പണം ഇട്ടിട്ടുണ്ട്? (ക്യാഷ് ഡെസ്‌ക്കുകൾ നിക്ഷേപകർക്ക് പ്രതിവർഷം 2% റിട്ടേൺ നൽകുന്നു.)

ഞാൻ ഒരു സേവിംഗ്സ് ബാങ്കിൽ ഒരു നിശ്ചിത തുക ഇട്ടു ഒരു വർഷം അവിടെ താമസിച്ചു എന്നതാണ് പ്രശ്നത്തിന്റെ കാര്യം. ഒരു വർഷത്തിനുശേഷം, എനിക്ക് അവളിൽ നിന്ന് 60 റൂബിൾസ് ലഭിച്ചു. വരുമാനം, അത് ഞാൻ നിക്ഷേപിച്ച പണത്തിന്റെ 2/100 ആണ്. ഞാൻ എത്ര പണം ഇട്ടു?

തൽഫലമായി, ഈ പണത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗം രണ്ട് തരത്തിൽ (റൂബിളുകളിലും ഭിന്നസംഖ്യകളിലും) പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനാൽ, ഇതുവരെ അജ്ഞാതമായ തുക മുഴുവൻ കണ്ടെത്തണം. ഒരു സംഖ്യയെ അതിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു സാധാരണ പ്രശ്നമാണിത്. വിഭജനത്തിലൂടെ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം 3,000 റൂബിളുകൾ സേവിംഗ്സ് ബാങ്കിൽ നിക്ഷേപിച്ചു എന്നാണ്.

ടാസ്ക് 2.മത്സ്യത്തൊഴിലാളികൾ പ്രതിമാസ പദ്ധതി 64 ശതമാനം വർധിപ്പിച്ച് രണ്ടാഴ്ചകൊണ്ട് 512 ടൺ മത്സ്യം വിളവെടുത്തു. എന്തായിരുന്നു അവരുടെ പ്ലാൻ?

മത്സ്യത്തൊഴിലാളികൾ പദ്ധതിയുടെ ഒരു ഭാഗം പൂർത്തിയാക്കിയതായി പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് അറിയാം. ഈ ഭാഗം 512 ടണ്ണിന് തുല്യമാണ്, ഇത് പദ്ധതിയുടെ 64% ആണ്. പ്ലാൻ അനുസരിച്ച് എത്ര ടൺ മത്സ്യം തയ്യാറാക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല. ഈ നമ്പർ കണ്ടെത്തിയാൽ പ്രശ്‌നത്തിന് പരിഹാരമാകും.

അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ വിഭജനം വഴി പരിഹരിക്കുന്നു:

അതായത് പദ്ധതി പ്രകാരം 800 ടൺ മത്സ്യം തയ്യാറാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ടാസ്ക് 3.ട്രെയിൻ റിഗയിൽ നിന്ന് മോസ്കോയിലേക്ക് പോയി. 276-ാം കിലോമീറ്റർ പിന്നിട്ടപ്പോൾ, യാത്രക്കാരിലൊരാൾ അതുവഴി പോയ കണ്ടക്ടറോട് അവർ ഇതിനകം എത്ര യാത്ര ചെയ്തുവെന്ന് ചോദിച്ചു. ഇതിന് കണ്ടക്ടർ മറുപടി പറഞ്ഞു: "മുഴുവൻ യാത്രയുടെ 30% ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പൂർത്തിയാക്കി." റിഗയിൽ നിന്ന് മോസ്കോയിലേക്കുള്ള ദൂരം എന്താണ്?

റിഗയിൽ നിന്ന് മോസ്കോയിലേക്കുള്ള റൂട്ടിന്റെ 30% 276 കിലോമീറ്ററാണെന്ന് പ്രശ്നസാഹചര്യങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഈ നഗരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള മുഴുവൻ ദൂരവും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, ഈ ഭാഗത്തിന്, മുഴുവൻ കണ്ടെത്തുക:

§ 91. പരസ്പര സംഖ്യകൾ. വിഭജനത്തെ ഗുണനം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

2/3 ഭിന്നസംഖ്യ എടുത്ത് ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ സ്ഥാനത്ത് ന്യൂമറേറ്റർ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, നമുക്ക് 3/2 ലഭിക്കും. ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ വിപരീതം നമുക്ക് ലഭിച്ചു.

തന്നിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ വിപരീതം ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ സ്ഥാനത്തും ഡിനോമിനേറ്റർ ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ സ്ഥാനത്തും ഇടേണ്ടതുണ്ട്. ഈ രീതിയിൽ, നമുക്ക് ഏത് ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും പ്രതിരൂപം ലഭിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്:

3/4, വിപരീതം 4/3; 5/6, വിപരീതം 6/5

ആദ്യത്തേതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററും ആദ്യത്തേതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ രണ്ടാമത്തേതിന്റെ സംഖ്യയുമാണ് എന്ന ഗുണമുള്ള രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു. പരസ്പരം വിപരീതം.

ഇനി നമുക്ക് 1/2 ന്റെ റിപ്രോക്കൽ ഏത് അംശമായിരിക്കും എന്ന് ചിന്തിക്കാം. വ്യക്തമായും, ഇത് 2 / 1 ആയിരിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ വെറും 2 ആയിരിക്കും. നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒന്നിന്റെ വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യ തിരയുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ലഭിച്ചു. ഈ കേസ് ഒറ്റപ്പെട്ടതല്ല; നേരെമറിച്ച്, 1 (ഒന്ന്) സംഖ്യയുള്ള എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കും പരസ്പര സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായിരിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്:

1/3, വിപരീതം 3; 1/5, വിപരീതം 5

പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിൽ നമുക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യകളും കണ്ടുമുട്ടിയതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യകളെക്കുറിച്ചല്ല, മറിച്ച് പരസ്പര സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചാണ്.

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ വിപരീതം എങ്ങനെ എഴുതാമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം. ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക്, ഇത് ലളിതമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും: നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ സ്ഥാനത്ത് ഡിനോമിനേറ്റർ ഇടേണ്ടതുണ്ട്. അതുപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ വിപരീതം ലഭിക്കും, കാരണം ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്കും 1 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഇതിനർത്ഥം 7 ന്റെ വിപരീതം 1/7 ആയിരിക്കും, കാരണം 7 = 7/1; 10 എന്ന സംഖ്യയുടെ വിപരീതം 1/10 ആയിരിക്കും, കാരണം 10 = 10/1

ഈ ആശയം വ്യത്യസ്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാം: തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ പരസ്‌പരം ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കും. ഈ പ്രസ്താവന പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾക്ക് മാത്രമല്ല, ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, നമുക്ക് 5/9 ഭിന്നസംഖ്യയുടെ വിപരീതം എഴുതണമെങ്കിൽ, നമുക്ക് 1 എടുത്ത് അതിനെ 5/9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, അതായത്.

ഇനി ഒരു കാര്യം സൂചിപ്പിക്കാം സ്വത്ത്പരസ്പര സംഖ്യകൾ, അത് ഞങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും: പരസ്പര സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.തീർച്ചയായും:

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരസ്പര സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്താം. നമുക്ക് 8 ന്റെ വിപരീതം കണ്ടെത്തണമെന്ന് പറയാം.

അതിനെ അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം എക്സ് , പിന്നെ 8 എക്സ് = 1, അതിനാൽ എക്സ് = 1/8. 7/12 ന്റെ വിപരീതമായ മറ്റൊരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തി അതിനെ അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം എക്സ് , പിന്നെ 7/12 എക്സ് = 1, അതിനാൽ എക്സ് = 1: 7 / 12 അല്ലെങ്കിൽ എക്സ് = 12 / 7 .

ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ ചെറുതായി സപ്ലിമെന്റ് ചെയ്യുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ ഇവിടെ പരസ്പര സംഖ്യകൾ എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിച്ചു.

ഞങ്ങൾ 6 എന്ന സംഖ്യയെ 3/5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യുന്നു:

എക്‌സ്‌പ്രഷനിൽ പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ ചെലുത്തി നൽകിയിരിക്കുന്നതുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക: .

മുമ്പത്തേതുമായി ബന്ധമില്ലാതെ ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം പ്രത്യേകം എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് എവിടെ നിന്നാണ് വന്നത് എന്ന ചോദ്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല: 6 നെ 3/5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൽ നിന്നോ 6 നെ 5/3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിൽ നിന്നോ. രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും ഒരേ കാര്യം സംഭവിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് പറയാം ഒരു സംഖ്യയെ മറ്റൊരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ഡിവിഡന്റിനെ ഹരിക്കലിന്റെ വിപരീതം കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് മാറ്റാം.

ഞങ്ങൾ ചുവടെ നൽകുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ ഈ നിഗമനത്തെ പൂർണ്ണമായും സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു.

ആമയെക്കാൾ പത്തിരട്ടി വേഗത്തിലാണ് അക്കില്ലസ് ഓടുന്നത്, അതിന് ആയിരം ചുവടുകൾ പിന്നിലാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. ഈ ദൂരം ഓടാൻ അക്കില്ലസ് എടുക്കുന്ന സമയത്ത്, ആമ അതേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു. അക്കില്ലസ് നൂറ് ചുവടുകൾ ഓടുമ്പോൾ, ആമ മറ്റൊരു പത്ത് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു, അങ്ങനെ. ഈ പ്രക്രിയ അനന്തമായി തുടരും, അക്കില്ലസ് ഒരിക്കലും ആമയെ പിടിക്കില്ല.

ഈ ന്യായവാദം എല്ലാ തുടർന്നുള്ള തലമുറകൾക്കും ഒരു ലോജിക്കൽ ഷോക്കായി മാറി. അരിസ്റ്റോട്ടിൽ, ഡയോജെനിസ്, കാന്ത്, ഹെഗൽ, ഹിൽബർട്ട്... ഇവരെല്ലാം ഒരു തരത്തിലല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിൽ സെനോയുടെ അപ്പോറിയയെ പരിഗണിച്ചു. ഞെട്ടൽ വളരെ ശക്തമായിരുന്നു " ... ചർച്ചകൾ ഇന്നും തുടരുന്നു; വിരോധാഭാസങ്ങളുടെ സാരാംശത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പൊതു അഭിപ്രായത്തിലേക്ക് വരാൻ ശാസ്ത്ര സമൂഹത്തിന് ഇതുവരെ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല ... ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം, സെറ്റ് സിദ്ധാന്തം, പുതിയ ഭൗതികവും ദാർശനികവുമായ സമീപനങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിന്റെ പഠനത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരുന്നു. ; അവയൊന്നും പ്രശ്നത്തിന് പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട പരിഹാരമായില്ല..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". തങ്ങൾ വഞ്ചിക്കപ്പെടുകയാണെന്ന് എല്ലാവരും മനസ്സിലാക്കുന്നു, എന്നാൽ വഞ്ചന എന്താണ് ഉൾക്കൊള്ളുന്നതെന്ന് ആർക്കും മനസ്സിലാകുന്നില്ല.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ, സെനോ തന്റെ അപ്പോറിയയിൽ അളവിൽ നിന്ന് എന്നതിലേക്കുള്ള മാറ്റം വ്യക്തമായി പ്രകടമാക്കി. ഈ പരിവർത്തനം സ്ഥിരമായവയ്ക്ക് പകരം പ്രയോഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഞാൻ മനസ്സിലാക്കിയിടത്തോളം, അളവിന്റെ വേരിയബിൾ യൂണിറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ഒന്നുകിൽ ഇതുവരെ വികസിപ്പിച്ചിട്ടില്ല, അല്ലെങ്കിൽ അത് സെനോയുടെ അപ്പോറിയയിൽ പ്രയോഗിച്ചിട്ടില്ല. നമ്മുടെ സാധാരണ യുക്തി പ്രയോഗിക്കുന്നത് നമ്മെ ഒരു കെണിയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. നാം, ചിന്തയുടെ നിഷ്ക്രിയത്വം കാരണം, പരസ്പര മൂല്യത്തിന് സമയത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഒരു ഭൗതിക വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, അക്കില്ലസ് ആമയെ പിടിക്കുന്ന നിമിഷത്തിൽ ഇത് പൂർണ്ണമായും നിർത്തുന്നത് വരെ സമയം മന്ദഗതിയിലാണെന്ന് തോന്നുന്നു. സമയം നിലച്ചാൽ, അക്കില്ലസിന് ആമയെ മറികടക്കാൻ കഴിയില്ല.

നമ്മൾ നമ്മുടെ പതിവ് യുക്തിയിലേക്ക് തിരിയുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാം ശരിയാകും. അക്കില്ലസ് സ്ഥിരമായ വേഗതയിൽ ഓടുന്നു. അവന്റെ പാതയുടെ തുടർന്നുള്ള ഓരോ സെഗ്‌മെന്റും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി ചെറുതാണ്. അതനുസരിച്ച്, അതിനെ മറികടക്കാൻ ചെലവഴിച്ച സമയം മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി കുറവാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ “അനന്തം” എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, “അക്കില്ലസ് ആമയെ അനന്തമായി വേഗത്തിൽ പിടിക്കും” എന്ന് പറയുന്നത് ശരിയാണ്.

ഈ ലോജിക്കൽ കെണി എങ്ങനെ ഒഴിവാക്കാം? സമയത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകളിൽ തുടരുക, പരസ്പര യൂണിറ്റുകളിലേക്ക് മാറരുത്. സെനോയുടെ ഭാഷയിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ആയിരം ചുവടുകൾ ഓടാൻ അക്കില്ലസ് എടുക്കുന്ന സമയത്ത്, ആമ അതേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. ആദ്യത്തേതിന് തുല്യമായ അടുത്ത ഇടവേളയിൽ, അക്കില്ലസ് മറ്റൊരു ആയിരം പടികൾ ഓടും, ആമ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. ഇപ്പോൾ ആമയെക്കാൾ എണ്ണൂറോളം പടി മുന്നിലാണ് അക്കില്ലസ്.

ഈ സമീപനം യുക്തിപരമായ വിരോധാഭാസങ്ങളില്ലാതെ യാഥാർത്ഥ്യത്തെ വേണ്ടത്ര വിവരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇത് പ്രശ്നത്തിന് പൂർണ്ണമായ പരിഹാരമല്ല. പ്രകാശവേഗത്തിന്റെ അപ്രതിരോധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ഐൻസ്റ്റീന്റെ പ്രസ്താവന സെനോയുടെ അപ്പോറിയ "അക്കില്ലസ് ആൻഡ് ആമ" യുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്. ഈ പ്രശ്നം നമ്മൾ ഇനിയും പഠിക്കുകയും പുനർവിചിന്തനം ചെയ്യുകയും പരിഹരിക്കുകയും വേണം. പരിഹാരം തേടേണ്ടത് അനന്തമായ സംഖ്യകളിലല്ല, മറിച്ച് അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളിലാണ്.

സെനോയുടെ രസകരമായ മറ്റൊരു അപ്പോറിയ പറക്കുന്ന അമ്പടയാളത്തെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു:

പറക്കുന്ന അസ്ത്രം ചലനരഹിതമാണ്, കാരണം ഓരോ നിമിഷവും അത് വിശ്രമത്തിലാണ്, എല്ലാ സമയത്തും അത് വിശ്രമിക്കുന്നതിനാൽ, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും വിശ്രമത്തിലാണ്.

ഈ അപ്പോറിയയിൽ, ലോജിക്കൽ വിരോധാഭാസം വളരെ ലളിതമായി മറികടക്കുന്നു - ഓരോ നിമിഷവും ഒരു പറക്കുന്ന അമ്പടയാളം ബഹിരാകാശത്തിന്റെ വിവിധ പോയിന്റുകളിൽ നിശ്ചലമാണെന്ന് വ്യക്തമാക്കിയാൽ മതിയാകും, അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ചലനമാണ്. ഇവിടെ മറ്റൊരു കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. റോഡിലെ ഒരു കാറിന്റെ ഒരു ഫോട്ടോയിൽ നിന്ന് അതിന്റെ ചലനത്തിന്റെ വസ്തുതയോ അതിലേക്കുള്ള ദൂരമോ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു കാർ നീങ്ങുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഒരേ പോയിന്റിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്ത സമയങ്ങളിൽ എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു കാറിലേക്കുള്ള ദൂരം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സമയത്ത് ബഹിരാകാശത്തെ വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളിൽ നിന്ന് എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ചലനത്തിന്റെ വസ്തുത നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല (തീർച്ചയായും, കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അധിക ഡാറ്റ ആവശ്യമാണ്, ത്രികോണമിതി നിങ്ങളെ സഹായിക്കും. ). ഞാൻ പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നത്, സമയത്തിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകളും ബഹിരാകാശത്തിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകളും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാൻ പാടില്ലാത്ത വ്യത്യസ്ത കാര്യങ്ങളാണ്, കാരണം അവ ഗവേഷണത്തിന് വ്യത്യസ്ത അവസരങ്ങൾ നൽകുന്നു.

2018 ജൂലൈ 4 ബുധനാഴ്ച

സെറ്റും മൾട്ടിസെറ്റും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ വിക്കിപീഡിയയിൽ നന്നായി വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. നമുക്ക് കാണാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, "ഒരു സെറ്റിൽ സമാനമായ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകരുത്", എന്നാൽ ഒരു സെറ്റിൽ സമാനമായ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു സെറ്റിനെ "മൾട്ടിസെറ്റ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം അസംബന്ധ യുക്തികൾ യുക്തിസഹമായ ജീവികൾ ഒരിക്കലും മനസ്സിലാക്കുകയില്ല. "പൂർണ്ണമായി" എന്ന വാക്കിൽ നിന്ന് ബുദ്ധിയില്ലാത്ത, സംസാരിക്കുന്ന തത്തകളുടെയും പരിശീലനം ലഭിച്ച കുരങ്ങുകളുടെയും നിലവാരമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സാധാരണ പരിശീലകരായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അവരുടെ അസംബന്ധ ആശയങ്ങൾ നമ്മോട് പ്രസംഗിക്കുന്നു.

ഒരു കാലത്ത് പാലം പണിത എൻജിനീയർമാർ പാലത്തിന്റെ പരീക്ഷണ വേളയിൽ പാലത്തിനടിയിൽ ബോട്ടിലിരുന്നു. പാലം തകർന്നാൽ, സാധാരണക്കാരനായ എഞ്ചിനീയർ തന്റെ സൃഷ്ടിയുടെ അവശിഷ്ടങ്ങൾക്കടിയിൽ മരിച്ചു. പാലത്തിന് ഭാരം താങ്ങാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, കഴിവുള്ള എഞ്ചിനീയർ മറ്റ് പാലങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ "എന്നെ ശ്രദ്ധിക്കൂ, ഞാൻ വീട്ടിലാണ്" അല്ലെങ്കിൽ "ഗണിതശാസ്ത്രം അമൂർത്തമായ ആശയങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു" എന്ന വാക്യത്തിന് പിന്നിൽ എങ്ങനെ മറഞ്ഞാലും, അവയെ യാഥാർത്ഥ്യവുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പൊക്കിൾക്കൊടിയുണ്ട്. ഈ പൊക്കിൾക്കൊടി പണമാണ്. നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് തന്നെ പ്രയോഗിക്കാം.

ഞങ്ങൾ കണക്ക് നന്നായി പഠിച്ചു, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ശമ്പളം നൽകി ക്യാഷ് രജിസ്റ്ററിൽ ഇരിക്കുകയാണ്. അങ്ങനെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ തന്റെ പണത്തിനായി ഞങ്ങളുടെ അടുക്കൽ വരുന്നു. ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ തുകയും അവനു കണക്കാക്കി വ്യത്യസ്ത കൂമ്പാരങ്ങളിൽ ഞങ്ങളുടെ മേശപ്പുറത്ത് വയ്ക്കുക, അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിന്റെ ബില്ലുകൾ ഇടുന്നു. അപ്പോൾ നമ്മൾ ഓരോ ചിതയിൽ നിന്നും ഒരു ബില്ല് എടുത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് അവന്റെ "ഗണിത ശമ്പളത്തിന്റെ സെറ്റ്" നൽകുന്നു. സമാന മൂലകങ്ങളില്ലാത്ത ഒരു കൂട്ടം സമാന ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു ഗണത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ശേഷിക്കുന്ന ബില്ലുകൾ അദ്ദേഹത്തിന് ലഭിക്കൂ എന്ന് നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനോട് വിശദീകരിക്കാം. ഇവിടെയാണ് വിനോദം ആരംഭിക്കുന്നത്.

ഒന്നാമതായി, ഡെപ്യൂട്ടിമാരുടെ യുക്തി പ്രവർത്തിക്കും: "ഇത് മറ്റുള്ളവർക്ക് ബാധകമാക്കാം, പക്ഷേ എനിക്കല്ല!" അപ്പോൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിലുള്ള ബില്ലുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ബിൽ നമ്പറുകളുണ്ടെന്ന് അവർ ഉറപ്പുനൽകാൻ തുടങ്ങും, അതായത് അവ ഒരേ ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാനാവില്ല. ശരി, നമുക്ക് ശമ്പളം നാണയങ്ങളിൽ കണക്കാക്കാം - നാണയങ്ങളിൽ അക്കങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തെ ഭ്രാന്തമായി ഓർക്കാൻ തുടങ്ങും: വ്യത്യസ്ത നാണയങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത അളവിലുള്ള അഴുക്കുകൾ ഉണ്ട്, ആറ്റങ്ങളുടെ ക്രിസ്റ്റൽ ഘടനയും ക്രമീകരണവും ഓരോ നാണയത്തിനും അദ്വിതീയമാണ് ...

ഇപ്പോൾ എനിക്ക് ഏറ്റവും രസകരമായ ഒരു ചോദ്യമുണ്ട്: ഒരു മൾട്ടിസെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങൾ ഒരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങളായി മാറുന്നതിനും തിരിച്ചും എന്നതിനപ്പുറം ലൈൻ എവിടെയാണ്? അത്തരമൊരു വരി നിലവിലില്ല - എല്ലാം ജമാന്മാരാണ് തീരുമാനിക്കുന്നത്, ശാസ്ത്രം ഇവിടെ കള്ളം പറയാൻ പോലും അടുത്തില്ല.

ഇവിടെ നോക്കുക. ഒരേ ഫീൽഡ് ഏരിയയുള്ള ഫുട്ബോൾ സ്റ്റേഡിയങ്ങൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. വയലുകളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ് - അതായത് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു മൾട്ടിസെറ്റ് ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഇതേ സ്റ്റേഡിയങ്ങളുടെ പേരുകൾ നോക്കിയാൽ നമുക്ക് പലതും ലഭിക്കും, കാരണം പേരുകൾ വ്യത്യസ്തമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരേ കൂട്ടം ഘടകങ്ങൾ ഒരു സെറ്റും മൾട്ടിസെറ്റും ആണ്. ഏതാണ് ശരി? ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ-ഷാമൻ-ഷാർപിസ്റ്റ് തന്റെ സ്ലീവിൽ നിന്ന് ട്രംപിന്റെ ഒരു ഏസ് പുറത്തെടുത്ത് ഒരു സെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ മൾട്ടിസെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ ഞങ്ങളോട് പറയാൻ തുടങ്ങുന്നു. എന്തായാലും താൻ പറഞ്ഞത് ശരിയാണെന്ന് അവൻ നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തും.

ആധുനിക ജമാന്മാർ സെറ്റ് തിയറിയുമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, അത് യാഥാർത്ഥ്യവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, ഒരു ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകിയാൽ മതി: ഒരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങൾ മറ്റൊരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? "ഒറ്റ മുഴുവനായി സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്നത്" അല്ലെങ്കിൽ "ഒറ്റ മൊത്തമായി സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല" എന്നൊന്നും കൂടാതെ ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് കാണിച്ചുതരാം.

2018 മാർച്ച് 18 ഞായർ

ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ലാത്ത ഒരു ടാംബോറിനൊപ്പം ജമാന്മാരുടെ നൃത്തമാണ്. അതെ, ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താനും അത് ഉപയോഗിക്കാനും നമ്മെ പഠിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ അതുകൊണ്ടാണ് അവർ ജമാന്മാർ, അവരുടെ പിൻഗാമികളെ അവരുടെ കഴിവുകളും ജ്ഞാനവും പഠിപ്പിക്കാൻ, അല്ലാത്തപക്ഷം ജമാന്മാർ മരിക്കും.

തെളിവ് വേണോ? വിക്കിപീഡിയ തുറന്ന് "ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക" എന്ന പേജ് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. അവൾ നിലവിലില്ല. ഏത് സംഖ്യയുടെയും അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ ഗണിതത്തിൽ ഒരു ഫോർമുലയും ഇല്ല. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അക്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ എഴുതുന്ന ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളാണ്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ ടാസ്‌ക് ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു: “ഏത് സംഖ്യയെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.” ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ജമാന്മാർക്ക് ഇത് എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും.

ഒരു തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യുമെന്നും എങ്ങനെ ചെയ്യുമെന്നും നമുക്ക് നോക്കാം. അതിനാൽ, നമുക്ക് 12345 എന്ന നമ്പർ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. ഈ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളും ക്രമത്തിൽ പരിഗണിക്കാം.

1. ഒരു കടലാസിൽ നമ്പർ എഴുതുക. നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്തത്? ഞങ്ങൾ സംഖ്യയെ ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ നമ്പർ ചിഹ്നമാക്കി മാറ്റി. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

2. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഒരു ചിത്രം ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത നമ്പറുകൾ അടങ്ങിയ നിരവധി ചിത്രങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു. ഒരു ചിത്രം മുറിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രവർത്തനമല്ല.

3. വ്യക്തിഗത ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളെ അക്കങ്ങളാക്കി മാറ്റുക. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

4. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക. ഇപ്പോൾ ഇതാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം.

12345 എന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 15 ആണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഷാമൻമാർ പഠിപ്പിക്കുന്ന "കട്ടിംഗ് ആൻഡ് തയ്യൽ കോഴ്സുകൾ" ഇവയാണ്. എന്നാൽ അത് മാത്രമല്ല.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഏത് സംഖ്യ സിസ്റ്റത്തിലാണ് നമ്മൾ ഒരു സംഖ്യ എഴുതുന്നത് എന്നത് പ്രശ്നമല്ല. അതിനാൽ, വ്യത്യസ്ത സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിൽ ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, നമ്പർ സിസ്റ്റം സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്തുള്ള സബ്സ്ക്രിപ്റ്റായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. 12345 എന്ന വലിയ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച്, എന്റെ തലയെ കബളിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല, ലേഖനത്തിൽ നിന്നുള്ള നമ്പർ 26 പരിഗണിക്കാം. നമുക്ക് ഈ സംഖ്യ ബൈനറി, ഒക്ടൽ, ഡെസിമൽ, ഹെക്സാഡെസിമൽ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിൽ എഴുതാം. ഞങ്ങൾ ഒരു മൈക്രോസ്കോപ്പിന് കീഴിൽ ഓരോ ഘട്ടവും നോക്കില്ല; ഞങ്ങൾ അത് ഇതിനകം ചെയ്തുകഴിഞ്ഞു. ഫലം നോക്കാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വ്യത്യസ്ത നമ്പർ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ ഫലത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല. നിങ്ങൾ ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം മീറ്ററിലും സെന്റിമീറ്ററിലും നിർണ്ണയിച്ചതിന് സമാനമാണ്, നിങ്ങൾക്ക് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കും.

എല്ലാ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിലും പൂജ്യം ഒരുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുമില്ല. എന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് അനുകൂലമായ മറ്റൊരു വാദമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കുള്ള ചോദ്യം: ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയല്ലാത്ത ഒന്ന് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു? എന്താണ്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അക്കങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നും നിലവിലില്ല? ജമാന്മാർക്ക് ഇത് അനുവദിക്കാം, പക്ഷേ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അനുവദിക്കില്ല. യാഥാർത്ഥ്യം അക്കങ്ങളിൽ മാത്രമല്ല.

സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങൾ സംഖ്യകൾ അളക്കുന്നതിനുള്ള യൂണിറ്റുകളാണെന്നതിന്റെ തെളിവായി ലഭിച്ച ഫലം കണക്കാക്കണം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, നമുക്ക് സംഖ്യകളെ വ്യത്യസ്ത അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഒരേ അളവിലുള്ള വ്യത്യസ്‌ത യൂണിറ്റുകളുള്ള ഒരേ പ്രവർത്തനങ്ങൾ താരതമ്യപ്പെടുത്തിയ ശേഷം വ്യത്യസ്‌ത ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇതിന് ഗണിതവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല.

എന്താണ് യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്രം? ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഫലം, സംഖ്യയുടെ വലിപ്പം, ഉപയോഗിച്ച അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റ്, ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നവർ എന്നിവയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

ഓ! ഇത് സ്ത്രീകളുടെ വിശ്രമമുറിയല്ലേ?
- യുവതി! സ്വർഗ്ഗാരോഹണ വേളയിൽ ആത്മാക്കളുടെ അവിഭാജ്യമായ വിശുദ്ധിയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിനുള്ള ഒരു പരീക്ഷണശാലയാണിത്! മുകളിൽ ഹാലോ, അമ്പടയാളം. വേറെ ഏത് ടോയ്‌ലറ്റ്?

സ്ത്രീ... മുകളിലെ പ്രഭാവലയവും താഴേക്കുള്ള അമ്പും പുരുഷനാണ്.

അത്തരമൊരു ഡിസൈൻ ആർട്ട് നിങ്ങളുടെ കണ്ണുകൾക്ക് മുന്നിൽ ദിവസത്തിൽ പല തവണ മിന്നിമറയുന്നുവെങ്കിൽ,

നിങ്ങളുടെ കാറിൽ പെട്ടെന്ന് ഒരു വിചിത്ര ഐക്കൺ കണ്ടെത്തിയതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല:

വ്യക്തിപരമായി, മലമൂത്രവിസർജ്ജനം നടത്തുന്ന ഒരാളിൽ മൈനസ് നാല് ഡിഗ്രി കാണാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കുന്നു (ഒരു ചിത്രം) (നിരവധി ചിത്രങ്ങളുടെ ഒരു രചന: ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം, നമ്പർ നാല്, ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു പദവി). പിന്നെ ഈ പെൺകുട്ടി ഫിസിക്‌സ് അറിയാത്ത ഒരു വിഡ്ഢിയാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നില്ല. ഗ്രാഫിക് ഇമേജുകൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിനുള്ള ശക്തമായ ഒരു സ്റ്റീരിയോടൈപ്പ് അവൾക്കുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും നമ്മെ പഠിപ്പിക്കുന്നു. ഇതാ ഒരു ഉദാഹരണം.

1A എന്നത് "മൈനസ് നാല് ഡിഗ്രി" അല്ലെങ്കിൽ "വൺ എ" അല്ല. ഇതാണ് "പൂപ്പിംഗ് മാൻ" അല്ലെങ്കിൽ ഹെക്സാഡെസിമൽ നൊട്ടേഷനിൽ "ഇരുപത്തിയാറ്" എന്ന സംഖ്യ. ഈ നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിൽ നിരന്തരം പ്രവർത്തിക്കുന്ന ആളുകൾ ഒരു സംഖ്യയും അക്ഷരവും ഒരു ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നമായി യാന്ത്രികമായി മനസ്സിലാക്കുന്നു.