भौमितिक प्रवाश्याचे विभक्त कसे शोधायचे. भौमितिक प्रगती

भौमितिक प्रगती गणित मध्ये गणित तुलनेत कमी महत्वाचे नाही. भौमितिक प्रगतीला संख्या बी 1, बी 2 ची क्रमवारी दिली जाते, ..., बी [एन] प्रत्येक पुढील टर्म जे मागील नंबर गुणाकार करून प्राप्त केले जाते. ही एक संख्या आहे जी प्रगतीची वाढ किंवा घट झाल्याचे मोजते. denominator भौमितिक प्रगती आणि सूचित

भौमितिक प्रगतीसाठी, denominator व्यतिरिक्त, त्याचे पहिले शब्द जाणून घेणे किंवा परिभाषित करणे आवश्यक आहे. Denominator च्या सकारात्मक मूल्यासाठी, प्रगती एक एकाकी अनुक्रम आहे, आणि संख्या च्या क्रमाने एकाकीपणा कमी होत आहे आणि एकाकी वाढते. जेव्हा संपादक एकच सराव समान असेल तेव्हा, आपल्याकडे समान संख्या एक क्रम आहे आणि त्यांचे सारांश व्यावहारिक व्याज लागू करत नाही.

भौमितिक प्रगती सामान्य सदस्य सूत्रानुसार गणना करा

भौमितिक प्रगतीचे प्रथम सदस्य सूत्र निश्चित करा

भौमितिक प्रगतीसाठी शास्त्रीय कार्येचे निराकरण करा. चला सर्वात सोपा समजू.

उदाहरण 1. भौमितिक प्रगतीचा पहिला सदस्य 27 आहे आणि त्याचे प्रतिनिधी 1/3 आहे. सहा प्रथम भौमितिक प्रगती सदस्य शोधा.

उपाय: फॉर्ममधील समस्येची स्थिती लिहा

गणनासाठी, आम्ही भौमितिक प्रगतीच्या एन-एमच्या सदस्याचे सूत्र वापरतो

त्याच्या आधारावर आम्हाला प्रगतीचे अज्ञात सदस्य सापडतात

भौमितिक प्रगतीच्या सदस्यांची गणना सोपे असल्याचे सुनिश्चित करू शकता. प्रगती स्वतःच दिसेल

उदाहरण 2. भौमितिक प्रगतीचे तीन प्रथम सदस्य आहेत: 6; -12; 24. डिनोमिनेटर आणि तिच्या डिकचा सातवा शोधा.

ऊत्तराची: त्याच्या परिभाषावर आधारित भौमितिक प्रगतीचे decominator गणना

च्या denominator च्या वैकल्पिक भौमितिक प्रगती प्राप्त झाली आहे -2. सातवा सदस्य सूत्राची गणना करतो

या समस्येवर निराकरण केले आहे.

उदाहरण 3. भौमितिक प्रगती दोन सदस्यांनी केली आहे . प्रगतीचा दहावा सदस्य शोधा.

निर्णय:

आम्ही सूत्रांद्वारे निर्दिष्ट मूल्ये लिहितो

नियमांनुसार एक denominator शोधणे आवश्यक आहे, आणि नंतर इच्छित मूल्य शोधणे आवश्यक आहे, परंतु आम्ही दहाव्या सदस्यासाठी आहे

इनपुट डेटासह नॉन-हार्ड मॅनिपुलेशनवर आधारित समान सूत्र मिळू शकते. आम्ही एक सहाव्या सदस्या दुसर्या व्यक्तीला विभाजित करतो, परिणामी आम्हाला मिळते

जर सहाव्या सदस्यासाठी मूल्य भिन्न असेल तर आम्हाला दहावा मिळतो

अशा प्रकारे, साध्या परिवर्तनांसह समान कार्यांसाठी, द्रुत मार्गाने योग्य उपाय आढळू शकते.

उदाहरण 4. भौमितिक प्रगती आवर्ती सूत्रांनी दिली आहे

एक denominator भौमितिक प्रगती आणि पहिल्या सहा सदस्यांची बेरीज शोधा.

निर्णय:

आम्ही समीकरणांच्या प्रणालीच्या स्वरूपात दिलेला डेटा लिहितो

प्रथमसाठी दुसर्या समीकरण वितरित denominator व्यक्त करा

प्रथम समीकरण प्रगतीचा पहिला शब्द शोधा

भौमितिक प्रगतीची रक्कम शोधण्यासाठी आम्ही खालील पाच सदस्यांची गणना करतो

काही पंक्ती विचारात घ्या.

7 28 112 448 1792...

हे स्पष्ट आहे की त्याच्या कोणत्याही घटकाचा अर्थ मागील चार वेळा पेक्षा जास्त आहे. तर, ही मालिका प्रगती आहे.

भौमितिक प्रगतीशील संख्यांची अनंत अनुक्रम आहे, मुख्य वैशिष्ट्य म्हणजे पुढील वैशिष्ट्य मागील नंबरवरून काही विशिष्ट संख्येपर्यंत वाढवून मिळते. हे खालील सूत्राद्वारे व्यक्त केले आहे.

एक z +1 \u003d z · Z, जेथे निवडलेल्या आयटमची संख्या आहे.

त्यानुसार, z ∈ n.

जेव्हा शाळेत भौमितिक प्रगतीचा अभ्यास केला जातो - ग्रेड 9. संकल्पना समजून घेण्यासाठी उदाहरणे मदत करतील:

0.25 0.125 0.0625...

या सूत्रावर आधारित, खालीलप्रमाणे प्रगतीकरणाचे प्रतिनिधीत्व शक्य आहे:

नाही क्यू, किंवा बी z शून्य समान असू शकते. तसेच, प्रगतीच्या प्रत्येक घटक शून्य नसतात.

त्यानुसार, पुढील पंक्ती शोधण्यासाठी, आपल्याला Q वर दीर्घकालीन गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

या प्रगती सेट करण्यासाठी, आपण त्याचे प्रथम घटक आणि denominator निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे. त्यानंतर, त्यानंतरचे सदस्य आणि त्यांचे योग शोधणे शक्य आहे.

विविधता

क्यू आणि 1 च्या आधारावर, ही प्रगती अनेक प्रकारांमध्ये विभागली गेली आहे:

• जर आणि एक 1 आणि क्यू अधिक युनिट्स, नंतर अशा अनुक्रम एकमेकांना भौमितिक प्रगतीसह वाढत आहे. उदाहरण खाली सादर केले आहे.

उदाहरण: ए 1 \u003d 3, क्यू \u003d 2 - दोन्ही पॅरामीटर्स एकापेक्षा मोठे आहेत.

नंतर अंकीय अनुक्रम खालीलप्रमाणे रेकॉर्ड केले जाऊ शकते:

3 6 12 24 48 ...

• जर | क्यू | कमी, याचा अर्थ असा आहे की त्यावर गुणाकार आहे, अशा परिस्थितीत प्रगती भौमितिक प्रगती कमी होत आहे. उदाहरण खाली सादर केले आहे.

उदाहरण: ए 1 \u003d 6, क्यू \u003d 1/3 - 1 आणखी एक युनिट्स, क्यू कमी आहे.

मग अंकीय अनुक्रम अशा प्रकारे लिहू शकते:

6 2 2/3 ... - खालील घटक खालील घटकांपेक्षा मोठे आहे, 3 वेळा.

• साइन जर प्र.<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

उदाहरण: ए 1 \u003d -3, क्यू \u003d -2 - दोन्ही पॅरामीटर्स शून्यपेक्षा कमी आहेत.

मग अंकीय अनुक्रम लिहीले जाऊ शकते:

3, 6, -12, 24,...

फॉर्म्युला

भौमितिक प्रवाशांच्या सोयीस्कर वापरासाठी, अनेक सूत्र आहेत:

• फॉर्म्युला Z-TH सदस्य. मागील नंबरच्या गणनाशिवाय विशिष्ट संख्येखाली घटकांची गणना करण्याची आपल्याला परवानगी देते.

उदाहरणःप्रश्न = 3, ए 1 \u003d 4. प्रगतीचा चौथा घटक आवश्यक आहे.

निर्णय:ए 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• ज्याची संख्या समान आहे ती प्रथम घटकांची बेरीज झहीर. आपल्याला सर्व अनुक्रम घटकांच्या बेरीजची गणना करण्याची परवानगी देतेएक झहीर समावेशक.

जसे (1-प्रश्न) denominator मध्ये उभे आहे, नंतर (1 - क्यू)≠ 0, म्हणून, प्रश्न 1 च्या समान नाही.

टीप: जर क्यू \u003d 1, मग प्रगती असंख्य वारंवार पुनरावृत्तीच्या मालिकेचे प्रतिनिधित्व करेल.

भौमितिक प्रगतीची रक्कम, उदाहरणे:ए 1 = 2, प्रश्न \u003d -2. 5 गणना.

निर्णय:एस 5 = 22 - सूत्राद्वारे गणना.

• रक्कम असल्यासप्रश्न| < 1 и если z стремится к бесконечности.

उदाहरणःए 1 = 2 , प्रश्न \u003d 0.5. रक्कम शोधा.

निर्णय:एस. = 2 · = 4

एस. = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

काही गुणधर्म:

• वैशिष्ट्यपूर्ण मालमत्ता. खालील स्थिती असल्यास कोणत्याही साठी केलेझहीर, नंतर एक दिलेले अंकीय पंक्ती - भौमितिक प्रगती:

एक झहीर 2 = एक झहीर -1 · ए Z + 1.

• तसेच, भौमितिक प्रगतीची चौरस या आयटमच्या समान असल्यास दिलेल्या पंक्तीतील इतर कोणत्याही संख्येच्या चौरसांच्या जोड्याच्या व्यतिरिक्त आहे.

एक झहीर 2 = एक झहीर - ट. 2 + एक झहीर + ट. 2 कुठेट. - या नंबर दरम्यान अंतर.

• घटक क्यू मध्ये भिन्न.वेळ
• प्रगतीच्या घटकांची लॉगेरिदम देखील प्रगती देखील तयार करतात, परंतु आधीपासूनच अंकगणित आहेत, म्हणजे प्रत्येकजण विशिष्ट नंबरसाठी मागील एकापेक्षा अधिक आहे.

काही क्लासिक कार्यांचे उदाहरण

भौमितिक प्रगती काय आहे हे चांगले समजण्यासाठी, 9-श्रेणीचे समाधान असलेले उदाहरण मदत करू शकतात.

• परिस्थिती:ए 1 = 3, ए 3 \u003d 48. शोधाप्रश्न.

उपाय: प्रत्येक त्यानंतरच्या घटक मागील एकापेक्षा जास्त आहेप्रश्न वेळDenominator वापरून इतरांद्वारे काही घटक व्यक्त करणे आवश्यक आहे.

म्हणून,ए 3 = प्रश्न 2 · ए 1

जेव्हा प्रतिस्थापनप्रश्न= 4

• परिस्थिती:ए 2 = 6, ए 3 \u003d 12. गणना करा.

निर्णय:हे करण्यासाठी, प्रथम घटक आणि सूत्रामध्ये प्रथम घटक आणि पर्याय शोधण्यासाठी पुरेसे आहे.

ए 3 = प्रश्न· ए 2 , म्हणून,प्रश्न= 2

एक 2 \u003d क्यू · 1,म्हणून एक 1 \u003d. 3

एस 6 \u003d. 189

• · ए 1 = 10, प्रश्न \u003d -2. प्रगती चौथी घटक शोधा.

उपाय: हे करण्यासाठी, प्रथम आणि denominator द्वारे चौथ्या घटक व्यक्त करणे पुरेसे आहे.

एक 4 \u003d क्यू 3· एक 1 \u003d -80

अनुप्रयोगाचे उदाहरणः

• बँकेच्या क्लायंटने 10,000 रुबलमध्ये योगदान दिले, ज्याच्या अंतर्गत, दरवर्षी ग्राहकाने मुख्य रकमेपर्यंत 6% जोडले जाईल. 4 वर्षानंतर किती पैसे असतील?

उपाय: प्रारंभिक रक्कम 10 हजार रुबलच्या समान आहे. तर, खात्यात गुंतवणूक केल्यानंतर एक वर्ष 10,000 + 10,000 च्या समान रक्कम असेल · 0.06 \u003d 10000 · 1.06

त्यानुसार, दुसर्या वर्षानंतर खात्यावरील रक्कम खालीलप्रमाणे व्यक्त केली जाईल:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 \u003d 1.06 · 1.06 · 10,000

म्हणजेच दरवर्षी 1.06 वेळा वाढते. याचा अर्थ असा आहे की 4 वर्षानंतर खात्यातील निधीची रक्कम शोधण्यासाठी पुरेसे आहे, प्रगतीचा चौथा घटक शोधण्यासाठी पुरेसा आहे, जो पहिल्या घटकाद्वारे 10 हजार आणि अधीन असलेल्या पहिल्या घटकाद्वारे सेट केला जातो, आणि डेनॉमिनेटर, 1.06 .

एस \u003d 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 \u003d 12625

रक्कम मोजण्यासाठी कार्ये उदाहरणे:

विविध कार्यांमध्ये, भौमितिक प्रगती वापरली जाते. रक्कम शोधण्याचे एक उदाहरण खालीलप्रमाणे निर्दिष्ट केले जाऊ शकते:

ए 1 = 4, प्रश्न \u003d 2, गणना कराएस 5..

उपाय: गणनासाठी आवश्यक असलेले सर्व डेटा ओळखले जातात, आपल्याला त्यांना फॉर्म्युलामध्ये बदलण्याची आवश्यकता आहे.

एस 5 = 124

• ए 2 = 6, ए 3 \u003d 18. पहिल्या सहा घटकांची गणना करा.

निर्णय:

भौम मध्ये. प्रगती प्रति पुढील घटक प्रश्नोत्तरांपेक्षा मागील घटकापेक्षा जास्त आहे, म्हणजेच आपल्याला घटक माहित असणे आवश्यक आहे याची गणना करणेए 1 आणि denominator.प्रश्न.

ए 2 · प्रश्न = ए 3

प्रश्न = 3

त्याचप्रमाणे, आपल्याला शोधण्याची आवश्यकता आहेए 1 , जाणून घेणेए 2 आणिप्रश्न.

ए 1 · प्रश्न = ए 2

एक 1 \u003d.2

एस 6 = 728.

प्रत्येक नैसर्गिक संख्या असल्यास एन एक वैध ठेवा एन. , मग ते काय आहे ते सांगतात अंकीय अनुक्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एन. , . . . .

म्हणून, अंकीय अनुक्रम नैसर्गिक युक्तिवादाचे कार्य आहे.

संख्या ए 1 कॉल अनुक्रम प्रथम सदस्य , संख्या ए 2 — अनुक्रम दुसरा सदस्य , संख्या ए 3 — तिसऱ्या इ. संख्या एन. कॉल एन-एम अनुक्रम सदस्य आणि नैसर्गिक संख्या एन — त्याचा नंबर .

दोन शेजारच्या सदस्यांमधून एन. आणि एन. +1 सदस्य अनुक्रम एन. +1 कॉल फॉलोअप (दिशेने एन. ), परंतु एन. — मागील (दिशेने एन. +1 ).

अनुक्रम सेट करण्यासाठी, आपल्याला एक पद्धत निर्दिष्ट करण्याची आवश्यकता आहे जी आपल्याला कोणत्याही संख्येसह अनुक्रमाचा सदस्य शोधण्याची परवानगी देते.

बहुतेक वेळा अनुक्रम निर्दिष्ट केले आहे फॉर्म्युलास एन-एम सदस्य , म्हणजे, सूत्र जो आपल्याला अनुक्रम सदस्य त्याच्या संख्येद्वारे निर्धारित करण्यास परवानगी देतो.

उदाहरणार्थ,

सकारात्मक विषम संख्या अनुक्रम सूत्राद्वारे सेट केले जाऊ शकते

एन.= 2एन -1,

आणि अनुक्रम alternating 1 आणि -1 - सुत्र

बी एन = (-1) एन +1 . ◄

अनुक्रम परिभाषित केले जाऊ शकते आवर्ती फॉर्म्युला, म्हणजे, एक सूत्र जो अनुक्रमाचा कोणताही सदस्य व्यक्त करतो, मागील (एक किंवा अधिक) सदस्यांद्वारे काही प्रारंभ करतो.

उदाहरणार्थ,

जर ए ए 1 = 1 , परंतु एन. +1 = एन. + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

जर ए एक 1.= 1, एक 2. = 1, एन. +2 = एन. + एन. +1 , अंकीय अनुक्रमाचे पहिले सात सदस्य खालीलप्रमाणे सेट आहेत:

एक 1. = 1,

एक 2. = 1,

एक 3. = एक 1. + एक 2. = 1 + 1 = 2,

एक 4. = एक 2. + एक 3. = 1 + 2 = 3,

एक 5. = एक 3. + एक 4. = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम असू शकतात समाप्त आणि अनंत .

अनुक्रम म्हणतात मर्यादित त्याच्याकडे सर्व सदस्यांची मर्यादित संख्या असेल तर. अनुक्रम म्हणतात अनंत जर ते असंख्य अनेक सदस्य असतील.

उदाहरणार्थ,

दोन अंकी नैसर्गिक संख्यांची क्रमवारी:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

मर्यादित

प्राइम नंबरचे अनुक्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत ◄

क्रम म्हणतात वाढते जर त्याचे प्रत्येक सदस्य दुसऱ्यापेक्षा दुस-या पेक्षा अधिक सुरू असेल तर.

क्रम म्हणतात उतरत आहे जर प्रत्येक सदस्य दुसऱ्या पेक्षा कमी असेल तर.

उदाहरणार्थ,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . - वाढते अनुक्रम;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / एन, . . . - घटते अनुक्रम. ◄

अनुक्रम, ज्याचे घटक, वाढत्या संख्येने, कमी होत नाहीत, किंवा उलट, वाढू नका, म्हणतात एकनिष्ठ अनुक्रम .

एकनिष्ठ क्रम, विशेषतः, वाढत अनुक्रम आणि कमी होत आहेत.

अंकगणित प्रगती

अंकगणित प्रगती अनुक्रम म्हणतात, प्रत्येक सदस्य, दुसरा पासून सुरू, मागील एक आहे, ज्यासाठी समान संख्या जोडली जाते.

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एन., . . .

कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी एक अंकगणित प्रगती आहे एन स्थिती समाधानी आहे:

एन. +1 = एन. + डी,

कुठे डी - काही संख्या.

अशा प्रकारे, या अंकगणित प्रगतीच्या त्यानंतरच्या आणि मागील सदस्यांमधील फरक नेहमीच स्थिर असतो:

एक 2. - ए 1 = आणि 3. - ए 2 = . . . = एन. +1 - एन. = डी.

संख्या डी कॉल अंकगणित प्रगती दरम्यान फरक.

अंकगणित प्रगती सेट करण्यासाठी, त्याचे पहिले शब्द आणि फरक निर्दिष्ट करण्यासाठी पुरेसे आहे.

उदाहरणार्थ,

जर ए ए 1 = 3, डी = 4 , अनुक्रमाचे पहिले पाच अनुक्रम खालीलप्रमाणे आहे:

एक 1. =3,

एक 2. = एक 1. + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3. = एक 2. + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4. = एक 3. + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहिल्या सदस्यासह अंकगणित प्रगतीसाठी ए 1 आणि फरक डी तिला एन

एन. = एक 1. + (एन- 1)डी.

उदाहरणार्थ,

अंकगणित प्रगतीचा एक तेरिवाट सदस्य शोधा

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1. =1, डी = 3,

एक 30. = एक 1. + (30 - 1)डी \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

एन -1 = एक 1. + (एन- 2)डी,

एन.= एक 1. + (एन- 1)डी,

एन. +1 = ए 1 + एनडी,

मग स्पष्टपणे

दुसर्या अंकगणित प्रगतीचे प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्या पासून सुरू होणारे सरासरी अंकगणित आणि त्यानंतरच्या सदस्यांसारखे आहे.

संख्या ए, बी आणि सी काही अंकगणित प्रगतीचे सातत्याने सदस्य आहेत आणि जर त्यापैकी फक्त सरासरी अंकगणित दोन इतरांपेक्षा समान असेल तर.

उदाहरणार्थ,

एन. = 2एन- 7 एक अंकगणित प्रगती आहे.

आम्ही उपरोक्त विधान वापरतो. आमच्याकडे आहे:

एन. = 2एन- 7,

एन -1 = 2(एन -1) - 7 = 2एन- 9,

एन + 1 = 2(एन +.1) - 7 = 2एन- 5.

म्हणून,

◄

लक्षात ठेवा की एन -री अंकगणित प्रगतीचा सदस्य केवळ सापडला नाही ए 1 पण कोणत्याही मागील एक के.

एन. = एक के. + (एन- के.)डी.

उदाहरणार्थ,

च्या साठी ए 5 रेकॉर्ड केले जाऊ शकते

एक 5. = एक 1. + 4डी,

एक 5. = एक 2. + 3डी,

एक 5. = एक 3. + 2डी,

एक 5. = एक 4. + डी. ◄

एन. = एन-के + केडी,

एन. = एन + के - केडी,

मग स्पष्टपणे

या अंकगणित प्रगतीच्या अर्ध्या समतुल्य दुसर्या व्यक्तीच्या दुसर्या व्यक्तीच्या दुसर्या दरम्यान, अंकगणित प्रगतीचा कोणताही सदस्य.

याव्यतिरिक्त, कोणत्याही अंकगणित प्रगतीसाठी समानता सत्य आहे:

एक एम + ए एन \u003d ए के + ए एल,

एम + एन \u003d के + एल.

उदाहरणार्थ,

अंकगणित प्रगती मध्ये

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10. = एक 3. + 7डी\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) एक 10.= 28 = (19 + 37)/2 = (एक 7 + एक 13)/2;

4) एक 2 + ए 12 \u003d एक 5 + ए 9, म्हणून

एक 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

एक 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस एन= 1 + ए 2 + ए 3 +. . .+ एन.,

पहिला एन अंकगणित प्रगतीचे सदस्य अटींच्या संख्येसाठी अत्यंत वैकल्पिक अटींच्या कामाच्या समान आहेत:

येथून, विशेषतः, जर सदस्यता संपली असेल तर

एक के., एक के. +1 , . . . , एन.,

मागील सूत्र त्याच्या संरक्षणा राखतो:

उदाहरणार्थ,

अंकगणित प्रगती मध्ये 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

जर अंकगणित प्रगती दिली तर मूल्ये ए 1 , एन., डी, एन आणिएस एन दोन सूत्रांनी बांधलेले:

म्हणून, जर यापैकी तीन मूल्यांचे मूल्य दिले गेले असेल तर दोन उर्वरित मूल्यांचे संबंधित मूल्य या सूत्रांमधून निर्धारित दोन अज्ञात असलेल्या दोन समीकरणांच्या व्यवस्थेत एकत्रित केले जातात.

अंकगणित प्रगती एक एकाकी अनुक्रम आहे. ज्यामध्ये:

• जर ए डी > 0 मग ते वाढत आहे;
• जर ए डी < 0 ते उतरते आहे;
• जर ए डी = 0 अनुक्रम स्थिर असेल.

भौमितिक प्रगती

भौमितिक प्रगती अनुक्रम म्हणतात, प्रत्येक सदस्य, दुसरा पासून सुरू, मागील, समान संख्या द्वारे गुणाकार.

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी एन, . . .

कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी, भौमितिक प्रगती आहे एन स्थिती समाधानी आहे:

बी एन +1 = बी एन · प्रश्न,

कुठे प्रश्न ≠ 0 - काही संख्या.

अशा प्रकारे, मागील एक या भौमितिक प्रगतीच्या पुढील सदस्याचे प्रमाण कायमस्वरुपी आहे:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी एन +1 / बी एन = प्रश्न.

संख्या प्रश्न कॉल denominator भौमितिक प्रगती.

भौमितिक प्रगती सेट करण्यासाठी, त्याचे पहिले शब्द आणि denominator निर्दिष्ट करण्यासाठी पुरेसे आहे.

उदाहरणार्थ,

जर ए बी 1 = 1, प्रश्न = -3 , अनुक्रमाचे पहिले पाच अनुक्रम खालीलप्रमाणे आहे:

बी 1. = 1,

बी 2. = बी 1. · प्रश्न = 1 · (-3) = -3,

बी 3. = बी 2. · प्रश्न= -3 · (-3) = 9,

बी 4. = बी 3. · प्रश्न= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · प्रश्न= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 आणि denominator. प्रश्न तिला एन - मी सूत्राने शोधू शकतो:

बी एन = बी 1 · क्यू एन -1 .

उदाहरणार्थ,

भौमितिक प्रगतीचा सातवा सदस्य शोधा 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, प्रश्न = 2,

बी 7 = बी 1 · प्रश्न 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄

बी एन -1 = बी 1. · क्यू एन -2 ,

बी एन = बी 1. · क्यू एन -1 ,

बी एन +1 = बी 1 · क्यू एन,

मग स्पष्टपणे

बी एन 2 = बी एन -1 · बी एन +1 ,

भौमितिक प्रगतीचे प्रत्येक सदस्य, सेकंदापासून सुरू होणारी, सरासरी भौमितीय (आनुपातिक) मागील आणि त्यानंतरच्या सदस्यांशी समान आहे.

उलट विधान देखील सत्य आहे, तर खालील विधान घडते:

संख्या ए, बी आणि सी काही भौमितिक प्रगतीचे सातत्यपूर्ण सदस्य आहेत आणि त्यापैकी एक स्क्वेअर इतर दोनांच्या कामाच्या समान असल्यास, म्हणजे, संख्या एक सरासरी भूमिती दोन इतर आहे.

उदाहरणार्थ,

आम्ही सिद्ध करतो की सूत्रानुसार निर्दिष्ट केलेली अनुक्रम बी एन \u003d -3 · 2 एन एक भौमितिक प्रगती आहे. आम्ही उपरोक्त विधान वापरतो. आमच्याकडे आहे:

बी एन \u003d -3 · 2 एन,

बी एन -1 \u003d -3 · 2 एन -1 ,

बी एन +1 \u003d -3 · 2 एन +1 .

म्हणून,

बी एन 2 \u003d (--3 · 2 एन) 2 \u003d (-3 · 2 एन -1 ) · (-3 · 2 एन +1 ) = बी एन -1 · बी एन +1 ,

जे आवश्यक विधान सिद्ध करते. ◄

लक्षात ठेवा की एन भौमितिक प्रगतीचे सदस्य केवळ माध्यमातून सापडले नाहीत बी 1 पण मागील मागील सदस्य देखील बी के. फॉर्म्युला वापरण्यासाठी पुरेसे का आहे

बी एन = बी के. · क्यू एन - के..

उदाहरणार्थ,

च्या साठी बी 5 रेकॉर्ड केले जाऊ शकते

बी 5. = बी 1. · प्रश्न 4 ,

बी 5. = बी 2. · प्रश्न 3.,

बी 5. = बी 3. · प्रश्न 2.,

बी 5. = बी 4. · प्रश्न. ◄

बी एन = बी के. · क्यू एन - के.,

बी एन = बी एन - के. · क्यू के.,

मग स्पष्टपणे

बी एन 2 = बी एन - के.· बी एन + के.

भौमितिक प्रगतीच्या कोणत्याही सदस्याचा स्क्वेअर, या प्रगतीच्या सदस्यांच्या कामाच्या दुसर्यापेक्षा दुसर्या पासून प्रारंभ करा.

याव्यतिरिक्त, कोणत्याही भौमितिक प्रगतीसाठी समानता सत्य आहे:

बी एम· बी एन= बी के.· बी एल,

एम.+ एन= के.+ एल.

उदाहरणार्थ,

भौमितिक प्रगती मध्ये

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · प्रश्न 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , म्हणून

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस एन= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी एन

पहिला एन Denominator सह भौमितिक प्रगती सदस्य प्रश्न ≠ 0 सूत्रानुसार गणना:

आणि साठी प्रश्न = 1 - सूत्रानुसार

एस एन= एनबी. 1

लक्षात ठेवा की आपल्याला सदस्यांची सममूल्य असणे आवश्यक आहे

बी के., बी के. +1 , . . . , बी एन,

सूत्र वापरला जातो:

उदाहरणार्थ,

भौमितिक प्रगती मध्ये 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

जर भौमितीय प्रगती दिली गेली तर मूल्ये बी 1 , बी एन, प्रश्न, एन आणि एस एन दोन सूत्रांनी बांधलेले:

म्हणून, जर यापैकी कोणत्याही मूल्याचे मूल्य दिले गेले असेल तर दोन उर्वरित मूल्यांचे संबंधित मूल्य या सूत्रांमधून दोन अज्ञात असलेल्या दोन समीकरणांच्या व्यवस्थेत एकत्रित केले जातात.

पहिल्या सदस्यासह भौमितिक प्रगतीसाठी बी 1 आणि denominator. प्रश्न खालील आहेत एकोनोनी गुणधर्म :

• पुढील परिस्थितींपैकी एक असल्यास प्रगती वाढत आहे:

बी 1 > 0 आणि प्रश्न> 1;

बी 1 < 0 आणि 0 < प्रश्न< 1;

• खालीलपैकी एक अटी सादर केली असल्यास प्रगती कमी होत आहे:

बी 1 > 0 आणि 0 < प्रश्न< 1;

बी 1 < 0 आणि प्रश्न> 1.

जर ए प्रश्न< 0 , नंतर भौमितिक प्रगती एक चिन्ह आहे): विषम संख्या असलेल्या सदस्यांचे प्रथम सदस्य आणि अगदी संख्या असलेल्या सदस्यांसह समान चिन्ह आहेत - उलट चिन्ह. हे स्पष्ट आहे की वैकल्पिक भूमिती प्रगती एकनिष्ठ नाही.

प्रथम काम एन भौमितिक प्रगतीचे सदस्य सूत्रानुसार मोजले जाऊ शकतात:

पी एन= बी 1. · बी 2. · बी 3. · . . . · बी एन = (बी 1. · बी एन) एन / 2 .

उदाहरणार्थ,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

भौमितिक प्रगती कमी करणे

भौमितिक प्रगती कमी करणे अनंत भौमितिक प्रगतीवर कॉल करा, ज्यांचे denominator मॉड्यूल कमी आहे 1 , I..

|प्रश्न| < 1 .

लक्षात घ्या की भौमितिक प्रगती कमी करणे ही घटणारी अनुक्रम असू शकत नाही. हे प्रकरणाशी संबंधित आहे

1 < प्रश्न< 0 .

या denominator सह, अनुक्रम बदलणे आहे. उदाहरणार्थ,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

अमर्यादित अवास्तविक भूमिका कमी करणे ज्या नंबरची संख्या अमर्यादित आहे ती संख्या कॉल करा एन संख्येत अमर्यादित वाढीसह प्रगतीचे सदस्य एन . हा नंबर नेहमीच आहे आणि सूत्राद्वारे व्यक्त केला जातो

उदाहरणार्थ,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित आणि भौमितिक प्रगती संप्रेषण

अंकगणित आणि भौमितिक प्रगती एकमेकांशी घनिष्ठपणे संबंधित आहेत. फक्त दोन उदाहरणे विचारात घ्या.

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . डी ट.

बी ए 1 , बी ए 2 , बी ए 3 , . . . बी डी .

उदाहरणार्थ,

1, 3, 5, . . . - फरकाने अंकगणित प्रगती 2 आणि

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - denominator सह भौमितिक प्रगती 7 2 . ◄

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . - denominator सह भौमितिक प्रगती प्रश्न ट.

एक बी 1 लॉग करा, एक बी 2 लॉग करा, एक बी 3 लॉग करा, . . . - फरकाने अंकगणित प्रगती लॉग ए.प्रश्न .

उदाहरणार्थ,

2, 12, 72, . . . - denominator सह भौमितिक प्रगती 6 आणि

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . - फरकाने अंकगणित प्रगती एलजी 6 . ◄

विषयावर पाठ आणि सादरीकरण: "अंकीय अनुक्रम. भौमितिक प्रगती"

अतिरिक्त साहित्य
प्रिय वापरकर्ते, आपल्या टिप्पण्या, पुनरावलोकने, शुभेच्छा सोडू विसरू नका! सर्व साहित्य अँटीव्हायरस प्रोग्रामद्वारे तपासले जातात.

ग्रेड 9 साठी ऑनलाइन स्टोअरमध्ये प्रशिक्षण पुस्तिका आणि सिम्युलेटरचे अनुकरणकर्ते
अंश आणि मुळे फंक्शन्स आणि ग्राफिक्स

लोक, आज आम्ही दुसर्या प्रकारचे प्रगती सादर करू.
आजच्या धडाचा थीम भौमितिक प्रगती आहे.

भौमितिक प्रगती

उदाहरण 1,2,4,8,16 ... भौमितिक प्रगती, ज्यामध्ये पहिला शब्द एकसारखा आहे आणि $ Q \u003d $ 2.

उदाहरण 8,88,88 ... भौमितिक प्रगती, जे आठ बरोबरीचे आहे,
एक $ q \u003d 1 $.

उदाहरण 3, -3.3, -3.3 ... भौमितिक प्रगती, जे प्रथम सदस्य तीन समान आहे,
एक $ q \u003d -1 $.

भौमितिक प्रगतीमध्ये एकाकीपणा गुणधर्म आहे.
$ B_ (1)\u003e 0 डॉलर, $ 1, $ 1,
मग अनुक्रम वाढत आहे.
$ B_ (1)\u003e 0 $, $ 0 असल्यास अनुक्रम फॉर्ममध्ये दर्शविल्या जाणार आहे: $ b_ (1), बी_ (2), बी_ (3), ..., बी_ (एन), ... $.

अंकगणित प्रगतीमध्ये, जर भौमितिक प्रगतीमध्ये अर्थातच घटकांची संख्या, नंतर प्रगती अंतिम भौमितिक प्रगती म्हणतात.

$ b_ (1), बी_ (2), बी_ (3), ..., बी_ (एन - 2), बी_ (एन - 1), बी_ (एन 1) $.
नोट जर अनुक्रम भौमितिक प्रगती आहे, तर सदस्यांच्या वर्गांची क्रम देखील एक भौमितिक प्रगती आहे. दुसर्या क्रमाने, पहिला शब्द $ b_ (1) ^ 2 $ आहे आणि denominator $ ^ 2 $ आहे.

भौमितिक प्रगतीच्या एन-बेस सदस्याचे सूत्र

चला आपल्या उदाहरणावर परत जाऊ या.

उदाहरण 1,2,4,8,16 ... भौमितिक प्रगती, ज्यामध्ये पहिला शब्द एकसारखा आहे,
एक $ q \u003d $ 2.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (एन) \u003d 2 ^ (एन - 1) $.

उदाहरण 16,84,2,11/2 ... भौमितिक प्रगती, ज्यामध्ये पहिला शब्द सोळा आणि $ Q \u003d \\ Frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (एन - 1) $.

उदाहरण 8,88,88 ... भौमितिक प्रगती, ज्यामध्ये पहिला शब्द आठ, आणि $ q \u003d 1 $ आहे.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (एन - 1) \u003d $ 8.

उदाहरण 3, -3.3, -3.3 ... भौमितिक प्रगती, ज्यामध्ये पहिला शब्द तीन समान आहे आणि $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (एन - 1) $.

उदाहरण $ B_ (1), बी_ (2), ..., बी_ (एन), ... $.
अ) हे माहित आहे की $ b_ (1) \u003d 6, क्यू \u003d $ 3. $ B_ (5) $ शोधा.
बी) हे माहित आहे की $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (एन) \u003d $ 768. एन शोधा.
सी) हे माहित आहे की $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d $ 96. $ B_ (1) $ शोधा.
ड) हे माहित आहे की $ b_ (1) \u003d - 2, बी_ (12) \u003d $ 40 9 6. क्यू शोधा.

निर्णय.
अ) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d $ 486.
बी) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (एन - 1) \u003d 6 * 2 ^ (एन - 1) \u003d $ 768.
$ 2 ^ (एन - 1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $, $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e एन - 1 \u003d 7; एन \u003d $ 8.
सी) $ b_ (6) \u003d बी_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (1) ^ 5 \u003d -32 * बी_ (1) \u003d 9 6 \u003d\u003e बी_ (1) \u003d - $ 3.
ड) $ b_ (12) \u003d बी_ (1) * ^ (11) \u003d - 2 * क्यू ^ (11) \u003d 40 9 6 \u003d\u003e क्यू ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

उदाहरण भौमितिक प्रगतीच्या सातव्या आणि पाचव्या सदस्यांमधील फरक 1 9 2 आहे, प्रगतीचा पाचव्या आणि सहाव्या सदस्याची रक्कम 1 9 2 आहे. या प्रगतीचा दहावा सदस्य शोधा.

निर्णय.
आम्हाला माहित आहे: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 1 9 2 $ आणि $ b_ (5) + बी_ (6) \u003d 1 9 2 डॉलर.
आम्हाला हे देखील माहित आहे: $ b_ (5) \u003d बी_ (1) * ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * ^ 6 डॉलर.
मग:
$ B_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 1 9 2 $.
$ B_ (1) * क्यू ^ 4 + बी_ (1) * क्यू ^ 5 \u003d 1 9 2 डॉलर.
समीकरण एक प्रणाली प्राप्त झाली:
$ \\ प्रारंभ (प्रकरण) बी_ (1) * क्यू ^ 4 (क्यू ^ 2-1) \u003d 1 9 2 \\\\ b_ (1) * क्यू ^ 4 (1 + क्यू) \u003d 1 9 2 \\ समाप्ती (प्रकरण) $.
तयारी, आमच्या समीकरण प्राप्त केले जाईल:
$ B_ (1) * q ^ 4 (क्यू ^ 2-1) \u003d बी_ (1) * क्यू ^ 4 (1+ क्यू) $.
$ Q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ Q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
दोन सोल्यूशन प्राप्त झाले प्रश्न: $ Q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
आम्ही नंतर दुसर्या समीकरण साठी पर्याय:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 1 9 2 \u003d\u003e बी_ (1) \u003d $ 4.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 1 9 2 \u003d\u003e $ नाही उपाय.
म्हणून प्राप्त केले: $ b_ (1) \u003d 4, क्यू \u003d $ 2.
आम्हाला दहावा सदस्य सापडतो: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d $ 2048.

मर्यादित भौमितिक प्रगतीची रक्कम

अंतिम भौमित प्रगती दिल्या: $ b_ (1), बी_ (2), ..., बी_ (एन - 1), बी_ (एन) $.
आम्ही त्याच्या सदस्यांच्या बेरीजची रचना सादर करतो: $ s_ (एन) \u003d बी_ (1) + बी_ (2) + ⋯ + b_ (एन - 1) + बी_ (एन) $.
जेव्हा त्या वेळी $ Q \u003d 1 $. भौमितिक प्रगतीचे सर्व सदस्य पहिल्या सदस्याच्या समान आहेत, मग ते स्पष्ट आहे की $ s_ (एन) \u003d एन * बी_ (1) $.
आता $ Q ≠ $ 1 च्या बाबतीत विचार करा.
वरील वरील रक्कम गुणाकार करा.
$ S_ (एन) * क्यू \u003d (बी_ (1) + बी_ (2) + ⋯ + b_ (एन - 1) + बी_ (एन)) * क्यू \u003d बी_ (1) * क्यू + बी_ (2) * क्यू + ⋯ + B_ (एन - 1) * क्यू + बी_ (एन) * क्यू \u003d बी_ (2) + बी_ (3) + ⋯ + b_ (एन) + बी_ (एन) * क्यू $.
टीपः
$ S_ (एन) \u003d b_ (1) + (बी_ (2) + ⋯ + b_ (एन - 1) + बी_ (एन)) $ $.
$ S_ (एन) * क्यू \u003d (बी_ (2) + ⋯ + b_ (एन - 1) + बी_ (एन)) + बी_ (एन) * क्यू $.

$ S_ (एन) * क्यू-एस_ (एन) \u003d (बी_ (2) + ⋯ + b_ (एन - 1) + बी_ (एन)) + बी_ (एन) * क्यू-बी_ (1) - (बी_ (2 ) + ⋯ + बी_ (एन - 1) + बी_ (एन)) \u003d बी_ (एन) * क्यू-बी_ (1) $.

$ S_ (एन) (क्यू -1) \u003d बी_ (एन) * क्यू-बी_ (1) $.

$ S_ (एन) \u003d \\ frac (\\ (n) * q-b_ (1)) (Q-1) \u003d \\ frac (\\ frac (\\ frac (q ^ (एन - 1) * q-b_ (1)) (क्यू -1) \u003d \\ frac (b_ (1) (क्यू ^ (एन) -1)) (क्यू -1) $.

$ S_ (एन) \u003d \\ frac (बी_ (1) (क्यू ^ (एन) -1)) (क्यू -1) $.

आम्ही मर्यादित भौमितिक प्रगतीची सूत्र प्राप्त केली.

निर्णय.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d $ 4372.

उदाहरण
भौमितिक प्रगतीचा पाचवा सदस्य शोधा, जो ज्ञात आहे: $ b_ (1) \u003d - $ 3; $ b_ (एन) \u003d - 3072 $; $ S_ (एन) \u003d - $ 40 9 5.

निर्णय.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * क्यू ^ (एन - 1) \u003d - $ 3072.
$ Q ^ (एन - 1) \u003d 1024 डॉलर.
$ Q ^ (एन) \u003d 1024q $.

$ S_ (एन) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (एन) -1)) (क्यू -1) \u003d - $ 40 9 5.
$ -4095 (क्यू -1) \u003d - 3 * (क्यू ^ (एन) -1) $.
$ -4095 (क्यू -1) \u003d - 3 * (1024Q-1) $.
$ 1365Q-1365 \u003d 1024Q-1 $.
$ 341q \u003d $ 1364.
$ Q \u003d $ 4.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

भौमितिक प्रगतीची वैशिष्ट्यपूर्ण मालमत्ता

अंकीय अनुक्रम भौमितिक प्रगती आहे, तेव्हाच प्रत्येक सदस्याचा स्क्वेअर त्याच्या दोन समीप प्रगतीच्या उत्पादनाच्या समान असतो. अंतिम प्रगतीसाठी हे विसरू नका, ही स्थिती पहिल्या आणि शेवटच्या सदस्यांसाठी केली जात नाही.

भौमितिक प्रगतीच्या कोणत्याही सदस्याचे मॉड्यूल ते सरासरी भौमितिक दोन सदस्यांच्या समान आहेत.

निर्णय.
आम्ही वैशिष्ट्यपूर्ण मालमत्ता वापरतो:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + $ 6.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ आणि $ X_ (2) \u003d - 1 $.
मूळ अभिव्यक्तीमध्ये सातत्याने पर्याय, आमचे निराकरण:
$ X \u003d $ 2 वर, अनुक्रम प्राप्त झाले: 4; 6; 9 - भौमितिक प्रगती, ज्यामध्ये $ Q \u003d $ 1.5 $.
$ X \u003d -1 $ साठी, अनुक्रम प्राप्त: 1; 0; 0.
उत्तरः $ x \u003d 2. $

स्वत: च्या समाधानासाठी कार्य

भौमितिक प्रगती, अंकगणित सह, एक महत्त्वपूर्ण अंकीय जवळ आहे, जे ग्रेड 9 मध्ये बीजगणितच्या शाळेच्या वर्षात अभ्यास केला जातो. या लेखात, भौमितिक प्रगतीचे denominator आणि त्याचे मूल्य त्याच्या गुणधर्मांवर कसा प्रभाव पाडते.

प्रगतीची भूमिका परिभाषा

सुरुवातीला, आम्ही या अंकीय मालिकेची व्याख्या देतो. भौमितिकाच्या प्रगतीमुळे अशा अनेक तर्कशुद्ध संख्या म्हणतात, जे सतत संख्येसाठी त्याच्या पहिल्या घटकाचे सातत्यपूर्ण गुणाकार करून तयार केले जाते, ज्याला डिमॉमिनेटर म्हणतात.

उदाहरणार्थ, पंक्ती 3, 6, 12, 24, ... एक भौमितिक प्रगती आहे, कारण आपण 2 द्वारे 3 (प्रथम घटक) गुणाकार केल्यास, आम्हाला 6 मिळेल तर 6. 6 द्वारे गुणाकार करा, मग आम्हाला मिळते 12, आणि असे.

एआय चिन्हास सूचित करण्यासाठी अनुक्रमात अनुक्रमांचे सदस्य परंपरागत आहेत, जेथे मी पंक्तीतील घटक संख्या दर्शविणारी इंटिजर आहे.

प्रगतीची उपरोक्त परिभाषा गणितीच्या भाषेत लिहीली जाऊ शकते: ए \u003d बीएन -1 * ए 1, जिथे बी ही संपत्ती आहे. हे सूत्र सहज तपासा: n \u003d 1, नंतर बी 1-1 \u003d 1, आणि आम्ही ए 1 \u003d ए 1 प्राप्त करतो. जर एन \u003d 2, नंतर एक \u003d बी * ए 1, आणि आम्ही पुन्हा विचाराधीन संख्येच्या संख्येच्या परिभाषामध्ये येतात. समान वितर्क एन च्या मोठ्या मूल्यांसाठी चालू असू शकतात.

भौमितिक च्या प्रगती च्या denominator

संख्या बी पूर्णपणे निर्धारित करते की कोणत्या वर्ण सर्व अंकीय मालिका असेल. Denominator बी सकारात्मक, नकारात्मक असू शकते आणि एक किंवा त्यापेक्षा कमी मूल्य देखील असू शकते. सर्व सूचीबद्ध पर्याय भिन्न क्रमांकडे जातात:

• बी\u003e 1. तर्कसंगत संख्या वाढत आहे. उदाहरणार्थ, 1, 2, 4, 8, ... जर घटक ए 1 नकारात्मक असेल तर संपूर्ण अनुक्रम केवळ मॉड्यूलद्वारे वाढेल, परंतु संख्यांच्या चिन्हास कमी करण्यासाठी.
• बी \u003d 1. बहुतेकदा या प्रकरणात प्रगती म्हणतात, कारण सामान्य समान तर्कशुद्ध संख्या आहे. उदाहरणार्थ, -4, -4, -4.

सूट साठी फॉर्म्युला

विशिष्ट कार्ये विचारात घेतल्या जाणार्या विशिष्ट कार्यांचा विचार करून विचारात घेऊन, त्याच्या पहिल्या एन घटकांच्या संख्येसाठी एक महत्त्वपूर्ण सूत्र आणणे आवश्यक आहे. सूत्राचा फॉर्म आहे: एसएन \u003d (बीएन - 1) * ए 1 / (बी - 1).

आपण प्रगती सदस्यांची पुनर्प्राप्ती अनुक्रम विचार केल्यास आपण हे अभिव्यक्ती स्वत: ला मिळवू शकता. आम्ही हे देखील लक्षात ठेवतो की वरील फॉर्म्युला मध्ये केवळ प्रथम घटक आणि जनतेचे लोकसंख्येची संख्या शोधून काढण्यासाठी पुरेसे आहे.

असंख्य कमी अनुक्रम

वरील स्पष्टीकरण दिले गेले आहे. आता एसएन साठी सूत्र जाणून घेणे, आम्ही या अंकीय पंक्तीवर ते लागू करतो. कोणत्याही संख्येपासून, ज्या मॉड्यूलने तयार केले होते, ते 1 पेक्षा जास्त नसतात, ते शून्य होते, म्हणजे, b∞ \u003d\u003e 0, 0, if -1

फरक (1 - बी) नेहमीच सकारात्मक असेल, डिमॉमिनेटरच्या मूल्यांकडे दुर्लक्ष करून, भौमितिक व्यवस्थेच्या अमर्यादित प्रगतीची चिन्हे अनन्यपणे त्याच्या पहिल्या घटक ए 1 च्या चिन्हाद्वारे निर्धारित केली जाते.

आता अनेक कार्ये विचारात घ्या जेथे विशिष्ट संख्येवर मिळालेले ज्ञान कसे लागू करावे ते आम्ही दर्शवितो.

कार्य क्रमांक 1. प्रगती आणि रकमेच्या अज्ञात घटकांची गणना

भौमितिक, प्रगती 2 च्या denominator च्या प्रगती आणि त्याचे पहिले घटक 3 त्याच्या 7 व्या आणि 10 व्या सदस्यांना समान आहे आणि सात प्रारंभिक घटकांची बेरीज काय आहे?

समस्येची स्थिती अगदी सोपी आहे आणि वरील सूत्रांचा थेट वापर होय. म्हणून, संख्या एन सह घटक गणना करण्यासाठी, आम्ही अभिव्यक्ती ए \u003d बीएन -1 * ए 1 वापरतो. 7 व्या घटकासाठी आमच्याकडे आहे: आमच्याकडे आहे: A7 \u003d बी 6 * ए 1, आम्ही प्राप्त करतो: A7 \u003d 26 * 3 \u003d 1 9 2. याच मार्गाने 10 व्या सदस्यासाठी केले आहे: A10 \u003d 2 9 * 3 \u003d 1536.

आम्ही मालिकेच्या 7 व्या प्रथम घटकांसाठी ही रक्कम रक्कमसाठी सुप्रसिद्ध सूत्र वापरतो आणि निर्धारित करतो. आमच्याकडे आहे: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

कार्य क्रमांक 2. प्रगतीच्या अनियंत्रित घटकांची निर्धारण

बीएन -1 * 4 च्या भौमितिक प्रगतीमध्ये प्रगतीच्या घटनेच्या समान असू द्या, जेथे एन एक पूर्णांक आहे. या मालिकेच्या समावेशाच्या 5 व्या ते 10 व्या घटकाचे प्रमाण निश्चित करणे आवश्यक आहे.

ज्ञात सूत्रांचा वापर करुन समस्या थेट सोडविली जाऊ शकत नाही. हे 2 वेगवेगळ्या पद्धतींनी सोडवले जाऊ शकते. विषयाची सादरीकरण पूर्ण करण्यासाठी आम्ही दोन्ही आणतो.

पद्धत 1. याची कल्पना सोपी आहे: आपल्याला पहिल्या सदस्यांच्या दोन संबंधित समभागांची गणना करणे आवश्यक आहे आणि नंतर दुसर्या कडून कापून घेणे आवश्यक आहे. लहान रक्कम मोजणे: एस 10 \u003d (-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. आता आम्ही मोठ्या प्रमाणात गणना करतो: एस 4 \u003d (-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. लक्षात घ्या की नंतरच्या अभिव्यक्तीमध्ये केवळ 4 अटींचा सारांश झाला आहे, कारण 5 व्या वर्षी आपण समस्येच्या समस्येखाली गणन करू इच्छित असलेल्या रकमेमध्ये समाविष्ट केले आहे. शेवटी, आम्ही फरक घेतो: एस 510 \u003d एस 10 - एस 4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

पद्धत 2. संख्या पुनर्संचयित करण्यापूर्वी आणि मोजणी करण्यापूर्वी, मालवाहतूक अंतर्गत मालिका एम आणि एन यांच्यातील रक्कमसाठी सूत्र प्राप्त करणे शक्य आहे. आम्ही पद्धत 1 मध्ये अगदी सारखाच करतो, केवळ आम्ही केवळ रकमेच्या सादरीकरणासह प्रथम कार्य करतो. आमच्याकडे आहे: snm \u003d (बीएन - 1) * ए 1 / (बी - 1) - (बीएम -1 - 1) * ए 1 / (बी - 1) \u003d ए 1 * (बीएन - बीएम -1) / (बी - 1) . परिणामी अभिव्यक्तीमध्ये, आपण ज्ञात संख्या बदलू शकता आणि अंतिम परिणामांची गणना करू शकता: S105 \u003d 4 * ((2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

कार्य # 3. denominator काय आहे?

ए 1 \u003d 2 ला द्या, भौमितिकाच्या प्रगतीचा भाग शोधा, जे त्याची अनंत रक्कम 3 आहे, आणि हे ओळखले जाते की ही संख्या कमी संख्या आहे.

कार्याच्या स्थितीनुसार ते सोडवण्यासाठी कोणता सूत्र वापरावा हे अंदाज करणे कठीण नाही. अर्थातच, असंख्य घटनेच्या प्रगतीसाठी. आमच्याकडे आहे: s∞ \u003d a1 / (1 - बी). जेथे व्यक्त दर्शवितात: बी \u003d 1 - ए 1 / एस. हे ज्ञात मूल्यांचे पुनर्स्थापित करणे आणि इच्छित नंबर प्राप्त करणे: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 किंवा -0.333 (3). आपण या प्रकारचे अनुक्रमे लक्षात ठेवल्यास आपण या परिणामास पात्रतेने तपासू शकता, मॉड्यूल बी पेक्षा जास्त जाऊ नये म्हणून लक्षात येऊ नये म्हणून, | -1/3 |

कार्य क्रमांक 4. अनेक संख्या पुनर्संचयित करणे

उदाहरणार्थ, संख्यात्मक मालिकेतील 2 घटक, उदाहरणार्थ, 30 व्या आणि 10 व्या 60 च्या समान आहेत. या डेटानुसार संपूर्ण श्रेणी पुनर्संचयित करणे आवश्यक आहे, हे भौमितिकाच्या प्रगतीची गुणधर्म पूर्ण करते.

कार्य सोडविण्यासाठी, प्रत्येक सुप्रसिद्ध सदस्यासाठी संबंधित अभिव्यक्ती सुरू करणे आवश्यक आहे. आमच्याकडे आहे: ए 5 \u003d बी 4 * ए 1 आणि ए 10 \u003d बी 9 * ए 1. आता आम्ही प्रथम अभिव्यक्ती प्रथम विभाजित करतो, आम्ही प्राप्त करतो: ए 10 / ए 5 \u003d बी 9 * ए 1 / (बी 4 ए 1) \u003d बी 5. येथून आम्ही सदस्यांच्या कामाच्या अटींमधून ओळखल्या जाणार्या नातेसंबंधापासून पाचव्या डिग्रीचे रूट घेऊन, बी \u003d 1,148698. परिणामी क्रमांक ज्ञात घटकांच्या एक अभिव्यक्तीमध्ये बदलला जातो, आम्ही प्राप्त करतो: ए 1 \u003d ए 5 / बी 4 \u003d 30 / (1,1486 9 8) 4 \u003d 17,230,4966.

अशाप्रकारे, आम्हाला आढळले की बीएनच्या प्रगतीच्या denominator आणि बीएन -1 * 17,2304966 \u003d a, जेथे बी \u003d 1,148698 येथे भौमितीय प्रगती.

भौमितिकाची प्रगती कोठे आहे?

जर या अंकीय मालिका सराव प्रक्रियेसाठी नसेल तर त्याचा अभ्यास पूर्णपणे सैद्धांतिक रूची कमी होईल. पण हा अनुप्रयोग अस्तित्वात आहे.

खालील 3 सर्वात प्रसिद्ध उदाहरणे आहेत:

• झेंओच्या विरोधाभास, ज्यामध्ये डॉक्सट्रस अॅचिलीस हळूहळू कछुएने पकडू शकत नाही, संख्येच्या अमर्याद क्रम कमी करण्याच्या संकल्पनेचा वापर करुन सोडवले जाते.
• जर चेसबोर्डच्या प्रत्येक पेशीवर गव्हाचे धान्य असेल तर 1 व्या सेलवर तिसऱ्या - 2 वर, तृतीय -2 वर 1 धान्य ठेवावे, त्यावेळी बोर्डच्या सर्व पेशींना भरण्यासाठी 1844674407370 9 551615 धान्य!
• एका रॉडमधून डिस्क पुनर्संचयित करण्यासाठी "हॅनाइ टॉवर" हा गेममध्ये 2 एन - 1 ऑपरेशन करणे आवश्यक आहे, म्हणजे, वापरलेल्या डिस्कच्या संख्येवर भौमितिक प्रगतीमध्ये त्यांची संख्या वाढते.