Apakah sifat hasil darab skalar bagi vektor? Hasil darab titik vektor: teori dan penyelesaian masalah

Hasil darab titik bagi vektor

Kami terus berurusan dengan vektor. Pada pelajaran pertama Vektor untuk boneka Kami melihat konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor dan masalah paling mudah dengan vektor. Jika anda datang ke halaman ini buat kali pertama dari enjin carian, saya amat mengesyorkan membaca artikel pengenalan di atas, kerana untuk menguasai bahan, anda perlu membiasakan diri dengan istilah dan notasi yang saya gunakan, mempunyai pengetahuan asas tentang vektor dan dapat menyelesaikan masalah asas. Pelajaran ini adalah kesinambungan logik topik, dan di dalamnya saya akan menganalisis secara terperinci tugas-tugas tipikal yang menggunakan produk skalar vektor. Ini adalah aktiviti yang SANGAT PENTING.. Cuba untuk tidak melangkau contoh; mereka datang dengan bonus yang berguna - latihan akan membantu anda menyatukan bahan yang telah anda bincangkan dan menjadi lebih baik dalam menyelesaikan masalah biasa dalam geometri analitik.

Penambahan vektor, pendaraban vektor dengan nombor.... Adalah naif untuk berfikir bahawa ahli matematik tidak menghasilkan sesuatu yang lain. Sebagai tambahan kepada tindakan yang telah dibincangkan, terdapat beberapa operasi lain dengan vektor, iaitu: hasil darab titik bagi vektor, produk vektor bagi vektor Dan hasil campuran vektor. Hasil darab skalar bagi vektor sudah biasa kepada kita dari sekolah; dua produk lain secara tradisinya tergolong dalam kursus matematik yang lebih tinggi. Topiknya mudah, algoritma untuk menyelesaikan banyak masalah adalah mudah dan boleh difahami. Satu-satu nya. Terdapat jumlah maklumat yang baik, jadi adalah tidak diingini untuk cuba menguasai dan menyelesaikan SEGALANYA SEKALI. Ini benar terutamanya untuk dummies; percayalah, penulis sama sekali tidak mahu berasa seperti Chikatilo dari matematik. Nah, bukan dari matematik, sudah tentu, sama ada =) Pelajar yang lebih bersedia boleh menggunakan bahan secara selektif, dalam erti kata tertentu, "mendapatkan" pengetahuan yang hilang; untuk anda saya akan menjadi Count Dracula yang tidak berbahaya =)

Akhirnya mari kita buka pintu dan saksikan dengan penuh semangat apa yang berlaku apabila dua vektor bertemu antara satu sama lain...

Takrif hasil darab skalar bagi vektor.
Sifat produk skalar. Tugas biasa

Konsep produk titik

Pertama tentang sudut antara vektor. Saya rasa semua orang secara intuitif memahami sudut antara vektor, tetapi untuk kes, sedikit lebih terperinci. Mari kita pertimbangkan vektor bukan sifar percuma dan . Jika anda merancang vektor-vektor ini dari titik sewenang-wenangnya, anda akan mendapat gambaran yang ramai telah bayangkan secara mental:

Saya akui, di sini saya gambarkan situasi itu hanya pada tahap kefahaman. Jika anda memerlukan definisi ketat sudut antara vektor, sila rujuk buku teks; untuk masalah praktikal, pada dasarnya, ia tidak berguna kepada kami. Juga DI SINI DAN DI SINI saya akan mengabaikan vektor sifar di tempat kerana kepentingan praktikalnya yang rendah. Saya membuat tempahan khusus untuk pelawat tapak lanjutan yang mungkin mencela saya kerana ketidaklengkapan teori beberapa kenyataan berikutnya.

boleh mengambil nilai dari 0 hingga 180 darjah (0 hingga radian), termasuk. Secara analitikal, fakta ini ditulis dalam bentuk ketaksamaan berganda:

atau

(dalam radian).

Dalam kesusasteraan, simbol sudut sering dilangkau dan ditulis secara ringkas.

Definisi: Hasil darab skalar bagi dua vektor ialah NOMBOR yang sama dengan hasil darab panjang vektor ini dan kosinus sudut di antara keduanya:

Sekarang ini adalah definisi yang agak ketat.

Kami memberi tumpuan kepada maklumat penting:

Jawatan: hasil kali skalar ditandakan dengan atau hanya.

Hasil operasi ialah NUMBER: Vektor didarab dengan vektor, dan hasilnya ialah nombor. Sesungguhnya, jika panjang vektor ialah nombor, kosinus sudut ialah nombor, maka hasil darabnya juga akan menjadi nombor.

Hanya beberapa contoh pemanasan badan:

Contoh 1

Penyelesaian: Kami menggunakan formula . Dalam kes ini:

Jawapan:

Nilai kosinus boleh didapati di jadual trigonometri. Saya mengesyorkan mencetaknya - ia akan diperlukan di hampir semua bahagian menara dan akan diperlukan berkali-kali.

Dari sudut pandangan matematik semata-mata, produk skalar tidak berdimensi, iaitu, hasilnya, dalam kes ini, hanyalah nombor dan itu sahaja. Dari sudut pandangan masalah fizik, produk skalar sentiasa mempunyai makna fizikal tertentu, iaitu, selepas hasil satu atau satu lagi unit fizikal mesti ditunjukkan. Contoh kanonik mengira kerja daya boleh didapati dalam mana-mana buku teks (rumusnya betul-betul produk skalar). Kerja daya diukur dalam Joule, oleh itu, jawapan akan ditulis dengan agak khusus, contohnya, .

Contoh 2

Cari jika , dan sudut antara vektor adalah sama dengan .

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri, jawapannya ada di akhir pelajaran.

Sudut antara vektor dan nilai produk titik

Dalam Contoh 1 produk skalar ternyata positif, dan dalam Contoh 2 ia ternyata negatif. Mari kita ketahui apakah tanda produk skalar bergantung. Mari lihat formula kami: . Panjang vektor bukan sifar sentiasa positif: , jadi tanda hanya boleh bergantung pada nilai kosinus.

Catatan: Untuk lebih memahami maklumat di bawah, adalah lebih baik untuk mengkaji graf kosinus dalam manual Graf fungsi dan sifat. Lihat bagaimana kosinus berkelakuan pada segmen.

Seperti yang telah dinyatakan, sudut antara vektor boleh berbeza-beza dalam , dan kes berikut adalah mungkin:

1) Jika sudut antara vektor pedas: (dari 0 hingga 90 darjah), kemudian , Dan produk titik akan menjadi positif diarahkan bersama, maka sudut di antara mereka dianggap sifar, dan hasil skalar juga akan menjadi positif. Oleh kerana , formula memudahkan: .

2) Jika sudut antara vektor tumpul: (dari 90 hingga 180 darjah), kemudian , dan selaras dengan itu, produk titik adalah negatif: . Kes khas: jika vektor arah bertentangan, maka sudut di antara mereka dianggap diperluaskan: (180 darjah). Hasil kali skalar juga negatif, kerana

Pernyataan sebaliknya juga benar:

1) Jika , maka sudut antara vektor ini adalah akut. Sebagai alternatif, vektor adalah arah bersama.

2) Jika , maka sudut antara vektor ini adalah tumpul. Sebagai alternatif, vektor berada dalam arah yang bertentangan.

Tetapi kes ketiga sangat menarik:

3) Jika sudut antara vektor lurus: (90 darjah), kemudian hasil skalar ialah sifar: . Begitu juga sebaliknya: jika , maka . Pernyataan tersebut boleh dirumuskan secara ringkas seperti berikut: Hasil darab skalar bagi dua vektor adalah sifar jika dan hanya jika vektor itu ortogon. Notasi matematik pendek:

! Catatan : Mari kita ulangi asas logik matematik: Ikon akibat logik dua sisi biasanya dibaca "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika". Seperti yang anda lihat, anak panah diarahkan ke kedua-dua arah - "dari ini mengikuti ini, dan sebaliknya - dari itu mengikuti ini." Sebenarnya, apakah perbezaan daripada ikon ikut sehala? Ikon menyatakan itu sahaja, bahawa "dari ini mengikuti ini", dan bukan fakta bahawa sebaliknya adalah benar. Contohnya: , tetapi bukan setiap haiwan adalah harimau kumbang, jadi dalam kes ini anda tidak boleh menggunakan ikon. Pada masa yang sama, bukannya ikon boleh gunakan ikon sebelah. Sebagai contoh, semasa menyelesaikan masalah, kami mendapati bahawa kami membuat kesimpulan bahawa vektor adalah ortogon: - entri sedemikian akan betul, dan lebih sesuai daripada .

Kes ketiga mempunyai kepentingan praktikal yang besar, kerana ia membolehkan anda menyemak sama ada vektor adalah ortogon atau tidak. Kami akan menyelesaikan masalah ini dalam bahagian kedua pelajaran.

Sifat produk titik

Mari kita kembali kepada situasi apabila dua vektor diarahkan bersama. Dalam kes ini, sudut di antara mereka ialah sifar, , dan formula produk skalar mengambil bentuk: .

Apakah yang berlaku jika vektor didarab dengan sendiri? Adalah jelas bahawa vektor adalah sejajar dengan dirinya sendiri, jadi kami menggunakan formula yang dipermudahkan di atas:

Nombor dipanggil segi empat sama skalar vektor, dan dilambangkan sebagai .

Oleh itu, kuasa dua skalar vektor adalah sama dengan kuasa dua panjang vektor yang diberikan:

Daripada kesamaan ini kita boleh mendapatkan formula untuk mengira panjang vektor:

Setakat ini nampaknya tidak jelas, tetapi objektif pelajaran akan meletakkan segala-galanya pada tempatnya. Untuk menyelesaikan masalah yang kita perlukan juga sifat produk titik.

Untuk vektor arbitrari dan sebarang nombor, sifat berikut adalah benar:

1) – komutatif atau komutatif undang-undang produk skalar.

2) – pengedaran atau pengedaran undang-undang produk skalar. Secara mudah, anda boleh membuka kurungan.

3) – berpersatuan atau berpersatuan undang-undang produk skalar. Pemalar boleh diperoleh daripada hasil skalar.

Selalunya, semua jenis harta benda (yang juga perlu dibuktikan!) dianggap oleh pelajar sebagai sampah yang tidak perlu, yang hanya perlu dihafal dan selamat dilupakan sejurus selepas peperiksaan. Nampaknya apa yang penting di sini, semua orang sudah tahu dari gred pertama bahawa penyusunan semula faktor tidak mengubah produk: . Saya mesti memberi amaran kepada anda bahawa dalam matematik yang lebih tinggi adalah mudah untuk mengacaukan keadaan dengan pendekatan sedemikian. Jadi, sebagai contoh, sifat komutatif tidak benar untuk matriks algebra. Ia juga tidak benar untuk produk vektor bagi vektor. Oleh itu, sekurang-kurangnya, adalah lebih baik untuk menyelidiki mana-mana sifat yang anda temui dalam kursus matematik yang lebih tinggi untuk memahami apa yang boleh anda lakukan dan apa yang tidak boleh anda lakukan.

Contoh 3

Penyelesaian: Pertama, mari kita jelaskan keadaan dengan vektor. Apakah ini pula? Jumlah vektor ialah vektor yang jelas, yang dilambangkan dengan . Tafsiran geometri tindakan dengan vektor boleh didapati dalam artikel Vektor untuk boneka. Pasli yang sama dengan vektor ialah jumlah vektor dan .

Jadi, mengikut syarat, perlu mencari hasil skalar. Secara teori, anda perlu menggunakan formula kerja , tetapi masalahnya ialah kita tidak tahu panjang vektor dan sudut di antara mereka. Tetapi syarat memberikan parameter yang sama untuk vektor, jadi kami akan mengambil laluan yang berbeza:

(1) Gantikan ungkapan vektor.

(2) Kami membuka kurungan mengikut peraturan untuk mendarab polinomial; pemusing lidah yang kesat boleh didapati dalam artikel Nombor kompleks atau Mengintegrasikan Fungsi Pecahan-Rasional. Saya tidak akan mengulangi diri saya sendiri =) Dengan cara ini, sifat pengedaran produk skalar membolehkan kita membuka kurungan. Kita ada hak.

(3) Dalam sebutan pertama dan terakhir kita padat menulis kuasa dua skalar vektor: . Dalam istilah kedua kami menggunakan kebolehtukaran produk skalar: .

(4) Kami mengemukakan istilah yang serupa: .

(5) Dalam istilah pertama kita menggunakan formula kuasa dua skalar, yang telah disebutkan tidak lama dahulu. Dalam penggal terakhir, oleh itu, perkara yang sama berfungsi: . Kami mengembangkan istilah kedua mengikut formula standard .

(6) Gantikan syarat ini , dan BERHATI-HATI melaksanakan pengiraan akhir.

Jawapan:

Nilai negatif hasil skalar menyatakan fakta bahawa sudut antara vektor adalah tumpul.

Masalahnya adalah tipikal, berikut adalah contoh untuk menyelesaikannya sendiri:

Contoh 4

Cari hasil darab skalar bagi vektor dan jika diketahui bahawa .

Kini satu lagi tugas biasa, hanya untuk formula baharu untuk panjang vektor. Notasi di sini akan menjadi sedikit bertindih, jadi untuk kejelasan saya akan menulis semula dengan huruf yang berbeza:

Contoh 5

Cari panjang vektor jika .

Penyelesaian akan menjadi seperti berikut:

(1) Kami membekalkan ungkapan untuk vektor .

(2) Kami menggunakan formula panjang: , dan keseluruhan ungkapan ve bertindak sebagai vektor "ve".

(3) Kami menggunakan formula sekolah untuk kuasa dua jumlah. Perhatikan cara ia berfungsi di sini dengan cara yang ingin tahu: – sebenarnya, ia adalah kuasa dua perbezaan, dan, sebenarnya, begitulah keadaannya. Mereka yang mahu boleh menyusun semula vektor: - perkara yang sama berlaku, sehingga penyusunan semula terma.

(4) Perkara berikut sudah biasa daripada dua masalah sebelumnya.

Jawapan:

Oleh kerana kita bercakap tentang panjang, jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - "unit".

Contoh 6

Cari panjang vektor jika .

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Kami terus memerah perkara yang berguna daripada produk titik. Mari lihat semula formula kami . Menggunakan peraturan perkadaran, kami menetapkan semula panjang vektor kepada penyebut di sebelah kiri:

Mari kita tukar bahagian:

Apakah maksud formula ini? Jika panjang dua vektor dan hasil skalarnya diketahui, maka kita boleh mengira kosinus sudut antara vektor ini, dan, akibatnya, sudut itu sendiri.

Adakah produk titik adalah nombor? Nombor. Adakah nombor panjang vektor? Nombor. Ini bermakna pecahan juga adalah nombor. Dan jika kosinus sudut itu diketahui: , kemudian menggunakan fungsi songsang adalah mudah untuk mencari sudut itu sendiri: .

Contoh 7

Cari sudut antara vektor dan jika diketahui bahawa .

Penyelesaian: Kami menggunakan formula:

Pada peringkat akhir pengiraan, teknik teknikal digunakan - menghapuskan ketidakrasionalan dalam penyebut. Untuk menghapuskan ketidakrasionalan, saya mendarabkan pengangka dan penyebut dengan .

Jadi kalau , Itu:

Nilai fungsi trigonometri songsang boleh didapati dengan jadual trigonometri. Walaupun ini jarang berlaku. Dalam masalah geometri analitik, lebih kerap beberapa beruang kekok seperti , dan nilai sudut perlu dicari lebih kurang menggunakan kalkulator. Sebenarnya, kita akan melihat gambar sedemikian lebih daripada sekali.

Jawapan:

Sekali lagi, jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - radian dan darjah. Secara peribadi, untuk "menyelesaikan semua soalan" dengan jelas, saya lebih suka menunjukkan kedua-duanya (kecuali syaratnya, sudah tentu, memerlukan pembentangan jawapan hanya dalam radian atau hanya dalam darjah).

Kini anda boleh mengatasi tugas yang lebih kompleks secara bebas:

Contoh 7*

Diberikan ialah panjang vektor dan sudut di antaranya. Cari sudut antara vektor, .

Tugas itu tidak begitu sukar kerana ia adalah pelbagai langkah.
Mari lihat algoritma penyelesaian:

1) Mengikut keadaan, anda perlu mencari sudut antara vektor dan , jadi anda perlu menggunakan formula .

2) Cari hasil kali skalar (lihat Contoh No. 3, 4).

3) Cari panjang vektor dan panjang vektor (lihat Contoh No. 5, 6).

4) Pengakhiran penyelesaian bertepatan dengan Contoh No. 7 - kita tahu nombor , yang bermaksud mudah untuk mencari sudut itu sendiri:

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran.

Bahagian kedua pelajaran dikhaskan untuk produk skalar yang sama. Koordinat. Ia akan menjadi lebih mudah daripada bahagian pertama.

Hasil darab titik bagi vektor,
diberikan oleh koordinat dalam asas ortonormal

Jawapan:

Tidak perlu dikatakan, berurusan dengan koordinat adalah lebih menyenangkan.

Contoh 14

Cari hasil darab skalar bagi vektor dan jika

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Di sini anda boleh menggunakan persekutuan operasi, iaitu, jangan dikira , tetapi segera ambil tiga kali ganda di luar produk skalar dan darabkannya dengan terakhir. Penyelesaian dan jawapan ada di akhir pelajaran.

Di penghujung bahagian, contoh provokatif untuk mengira panjang vektor:

Contoh 15

Cari panjang vektor , Jika

Penyelesaian: Kaedah bahagian sebelumnya mencadangkan dirinya semula: tetapi ada cara lain:

Mari cari vektor:

Dan panjangnya mengikut formula remeh :

Produk dot tidak relevan di sini sama sekali!

Ia juga tidak berguna apabila mengira panjang vektor:
Berhenti. Bukankah kita patut mengambil kesempatan daripada sifat jelas panjang vektor? Apakah yang anda boleh katakan tentang panjang vektor? Vektor ini adalah 5 kali lebih panjang daripada vektor. Arahnya bertentangan, tetapi ini tidak penting, kerana kita bercakap tentang panjang. Jelas sekali, panjang vektor adalah sama dengan produk modul nombor setiap panjang vektor:
– tanda modulus "makan" kemungkinan tolak nombor itu.

Oleh itu:

Jawapan:

Formula untuk kosinus sudut antara vektor yang ditentukan oleh koordinat

Sekarang kita mempunyai maklumat lengkap untuk menyatakan formula yang diperoleh sebelum ini untuk kosinus sudut antara vektor melalui koordinat vektor:

Kosinus sudut antara vektor satah dan , dinyatakan dalam asas ortonormal, dinyatakan oleh formula:
.

Kosinus sudut antara vektor ruang, dinyatakan dalam asas ortonormal, dinyatakan oleh formula:

Contoh 16

Diberi tiga bucu bagi sebuah segitiga. Cari (sudut bucu).

Penyelesaian: Mengikut syarat, lukisan tidak diperlukan, tetapi masih:

Sudut yang diperlukan ditandakan dengan arka hijau. Marilah kita segera ingat penetapan sekolah sudut: – perhatian khusus kepada purata huruf - ini adalah puncak sudut yang kita perlukan. Untuk ringkasnya, anda juga boleh menulis secara ringkas .

Daripada lukisan itu agak jelas bahawa sudut segi tiga bertepatan dengan sudut antara vektor dan, dengan kata lain: .

Adalah dinasihatkan untuk mempelajari cara melakukan analisis secara mental.

Mari cari vektor:

Mari kita mengira hasil skalar:

Dan panjang vektor:

Kosinus sudut:

Ini betul-betul urutan menyelesaikan tugas yang saya cadangkan untuk dummies. Pembaca yang lebih maju boleh menulis pengiraan "dalam satu baris":

Berikut ialah contoh nilai kosinus "buruk". Nilai yang terhasil tidak muktamad, jadi tidak ada gunanya untuk menyingkirkan ketidakrasionalan dalam penyebut.

Mari cari sudut itu sendiri:

Jika anda melihat lukisan itu, hasilnya agak masuk akal. Untuk menyemak, sudut juga boleh diukur dengan protraktor. Jangan rosakkan penutup monitor =)

Jawapan:

Dalam jawapan kita tidak lupa itu ditanya tentang sudut segitiga(dan bukan tentang sudut antara vektor), jangan lupa untuk menunjukkan jawapan yang tepat: dan nilai anggaran sudut: , ditemui menggunakan kalkulator.

Mereka yang telah menikmati proses itu boleh mengira sudut dan mengesahkan kesahihan kesamaan kanonik

Contoh 17

Segitiga ditakrifkan dalam ruang dengan koordinat bucunya. Cari sudut antara sisi dan

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran

Bahagian akhir pendek akan ditumpukan kepada unjuran, yang juga melibatkan produk skalar:

Unjuran vektor pada vektor. Unjuran vektor pada paksi koordinat.
Kosinus arah vektor

Pertimbangkan vektor dan:

Mari kita unjurkan vektor pada vektor; untuk melakukan ini, dari awal dan akhir vektor kita tinggalkan serenjang kepada vektor (garis putus-putus hijau). Bayangkan bahawa sinar cahaya jatuh secara berserenjang pada vektor. Kemudian segmen (garis merah) akan menjadi "bayangan" vektor. Dalam kes ini, unjuran vektor pada vektor ialah PANJANG segmen. Iaitu, PROJECTION ADALAH NOMBOR.

NUMBER ini dilambangkan seperti berikut: , “vektor besar” menandakan vektor YANG projek, "vektor subskrip kecil" menandakan vektor HIDUP yang diunjurkan.

Entri itu sendiri berbunyi seperti ini: "unjuran vektor "a" ke vektor "be"."

Apakah yang berlaku jika vektor "be" adalah "terlalu pendek"? Kami melukis garis lurus yang mengandungi vektor "be". Dan vektor "a" akan diunjurkan sudah ke arah vektor "menjadi", hanya - kepada garis lurus yang mengandungi vektor "be". Perkara yang sama akan berlaku jika vektor "a" ditangguhkan dalam kerajaan ketiga puluh - ia masih akan mudah diunjurkan ke garis lurus yang mengandungi vektor "be".

Jika sudut antara vektor pedas(seperti dalam gambar), kemudian

Jika vektor ortogon, maka (unjuran ialah titik yang dimensinya dianggap sifar).

Jika sudut antara vektor tumpul(dalam rajah, susun semula anak panah vektor secara mental), kemudian (panjang yang sama, tetapi diambil dengan tanda tolak).

Mari kita plot vektor ini dari satu titik:

Jelas sekali, apabila vektor bergerak, unjurannya tidak berubah

I. Hasil darab skalar lenyap jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada vektor adalah sifar atau jika vektor adalah serenjang. Malah, jika atau , atau kemudian .

Sebaliknya, jika vektor yang didarabkan bukan sifar, maka kerana dari keadaan

apabila ia berikut:

Oleh kerana arah vektor sifar tidak pasti, vektor sifar boleh dianggap berserenjang dengan mana-mana vektor. Oleh itu, sifat produk skalar yang ditunjukkan boleh dirumuskan dengan lebih ringkas: hasil kali skalar hilang jika dan hanya jika vektor berserenjang.

II. Hasil kali skalar mempunyai sifat komutatif:

Sifat ini mengikuti terus dari definisi:

kerana sebutan yang berbeza untuk sudut yang sama.

III. Undang-undang pengedaran adalah sangat penting. Aplikasinya adalah hebat seperti dalam aritmetik atau algebra biasa, di mana ia dirumuskan seperti berikut: untuk mendarabkan jumlah, anda perlu mendarabkan setiap sebutan dan menambah produk yang terhasil, i.e.

Jelas sekali, pendaraban nombor berbilang nilai dalam aritmetik atau polinomial dalam algebra adalah berdasarkan sifat pendaraban ini.

Undang-undang ini mempunyai kepentingan asas yang sama dalam algebra vektor, kerana berdasarkannya kita boleh menggunakan peraturan biasa untuk mendarab polinomial kepada vektor.

Mari kita buktikan bahawa bagi mana-mana tiga vektor A, B, C persamaan berikut adalah benar:

Menurut takrif kedua produk skalar, yang dinyatakan oleh formula, kita mendapat:

Sekarang menggunakan sifat 2 unjuran dari § 5, kami dapati:

Q.E.D.

IV. Hasil kali skalar mempunyai sifat kebolehgabungan berkenaan dengan faktor berangka; sifat ini dinyatakan dengan formula berikut:

iaitu, untuk mendarab hasil darab skalar vektor dengan nombor, sudah cukup untuk mendarab salah satu faktor dengan nombor ini.

Terdapat juga masalah untuk anda selesaikan sendiri, yang mana anda boleh melihat jawapannya.

Jika dalam masalah kedua-dua panjang vektor dan sudut di antara mereka dibentangkan "di atas pinggan perak", maka keadaan masalah dan penyelesaiannya kelihatan seperti ini:

Contoh 1. Vektor diberikan. Cari hasil darab skalar bagi vektor jika panjangnya dan sudut di antaranya diwakili oleh nilai berikut:

Takrifan lain juga sah, setara sepenuhnya dengan takrifan 1.

Definisi 2. Hasil darab skalar bagi vektor ialah nombor (skalar) yang sama dengan hasil darab panjang salah satu vektor ini dan unjuran vektor lain pada paksi yang ditentukan oleh vektor pertama ini. Formula mengikut definisi 2:

Kami akan menyelesaikan masalah menggunakan formula ini selepas titik teori penting seterusnya.

Definisi hasil darab skalar bagi vektor dari segi koordinat

Nombor yang sama boleh diperolehi jika vektor yang didarab diberi koordinatnya.

Definisi 3. Hasil darab titik bagi vektor ialah nombor yang sama dengan hasil tambah hasil berpasangan bagi koordinat yang sepadan.

Di permukaan

Jika dua vektor dan pada satah ditakrifkan oleh dua vektornya Koordinat segi empat tepat Cartesian

maka hasil darab skalar bagi vektor-vektor ini adalah sama dengan hasil tambah berpasangan bagi koordinat yang sepadan:

Contoh 2. Cari nilai berangka unjuran vektor pada paksi yang selari dengan vektor.

Penyelesaian. Kami mencari hasil darab skalar bagi vektor dengan menambahkan hasil darab berpasangan bagi koordinatnya:

Sekarang kita perlu menyamakan hasil skalar yang terhasil dengan hasil darab panjang vektor dan unjuran vektor pada paksi yang selari dengan vektor (mengikut formula).

Kami mencari panjang vektor sebagai punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua koordinatnya:

Kami mencipta persamaan dan menyelesaikannya:

Jawab. Nilai berangka yang diperlukan ialah tolak 8.

Di angkasa lepas

Jika dua vektor dan dalam ruang ditakrifkan oleh tiga koordinat segi empat tepat Cartesan mereka

maka hasil darab skalar bagi vektor-vektor ini juga sama dengan hasil tambah berpasangan bagi koordinat yang sepadan, hanya sudah ada tiga koordinat:

Tugas mencari hasil kali skalar menggunakan kaedah yang dipertimbangkan adalah selepas menganalisis sifat-sifat hasil skalar. Kerana dalam masalah anda perlu menentukan sudut mana vektor berganda terbentuk.

Sifat hasil darab skalar bagi vektor

Sifat algebra

1. (sifat komutatif: membalikkan tempat bagi vektor darab tidak mengubah nilai hasil darab skalarnya).

2. (sifat bersekutu berkenaan dengan faktor berangka: hasil darab skalar vektor yang didarab dengan faktor tertentu dan vektor lain adalah sama dengan hasil darab skalar vektor ini didarab dengan faktor yang sama).

3. (sifat taburan relatif kepada jumlah vektor: hasil darab skalar hasil tambah dua vektor oleh vektor ketiga adalah sama dengan hasil tambah skalar vektor pertama dengan vektor ketiga dan vektor kedua oleh vektor ketiga).

4. (kuasa dua skalar bagi vektor yang lebih besar daripada sifar), if ialah vektor bukan sifar, dan , jika ialah vektor sifar.

Sifat geometri

Dalam takrifan operasi yang dikaji, kita telah pun menyentuh konsep sudut antara dua vektor. Sudah tiba masanya untuk menjelaskan konsep ini.

Dalam rajah di atas anda boleh melihat dua vektor yang dibawa ke asal yang sama. Dan perkara pertama yang perlu anda perhatikan ialah terdapat dua sudut antara vektor ini - φ 1 Dan φ 2 . Antara sudut ini yang manakah terdapat dalam takrifan dan sifat hasil darab skalar bagi vektor? Jumlah sudut yang dipertimbangkan ialah 2 π dan oleh itu kosinus bagi sudut ini adalah sama. Takrif produk titik hanya merangkumi kosinus sudut, dan bukan nilai ungkapannya. Tetapi sifat hanya mempertimbangkan satu sudut. Dan ini adalah salah satu daripada dua sudut yang tidak melebihi π , iaitu 180 darjah. Dalam rajah sudut ini ditunjukkan sebagai φ 1 .

1. Dua vektor dipanggil ortogon Dan sudut antara vektor ini adalah lurus (90 darjah atau π /2 ), jika hasil darab skalar bagi vektor ini ialah sifar :

Keortogonan dalam algebra vektor ialah keserenjangan dua vektor.

2. Dua vektor bukan sifar membentuk sudut tajam (dari 0 hingga 90 darjah, atau, yang sama - kurang π produk dot adalah positif .

3. Dua vektor bukan sifar membentuk sudut cakah (dari 90 hingga 180 darjah, atau, apa yang sama - lebih π /2) jika dan hanya jika mereka produk titik adalah negatif .

Contoh 3. Koordinat diberikan oleh vektor:

Kira hasil berskala bagi semua pasangan vektor yang diberi. Apakah sudut (akut, kanan, tumpul) yang membentuk pasangan vektor ini?

Penyelesaian. Kami akan mengira dengan menambah produk koordinat yang sepadan.

Kami mendapat nombor negatif, jadi vektor membentuk sudut tumpul.

Kami mendapat nombor positif, jadi vektor membentuk sudut akut.

Kami mendapat sifar, jadi vektor membentuk sudut tepat.

Kami mendapat nombor positif, jadi vektor membentuk sudut akut.

Untuk ujian kendiri anda boleh gunakan kalkulator dalam talian Darab titik bagi vektor dan kosinus sudut di antara mereka.

Contoh 4. Diberi panjang dua vektor dan sudut di antara keduanya:

Tentukan pada nilai nombor mana vektor dan adalah ortogon (berserenjang).

Penyelesaian. Mari kita darabkan vektor menggunakan peraturan untuk mendarab polinomial:

Sekarang mari kita hitung setiap istilah:

Mari buat persamaan (hasilnya bersamaan dengan sifar), tambah istilah serupa dan selesaikan persamaan:

Jawapan: kami mendapat nilai λ = 1.8, di mana vektor adalah ortogon.

Contoh 5. Buktikan bahawa vektor ortogon (berserenjang) dengan vektor

Penyelesaian. Untuk memeriksa keortogonan, kami mendarabkan vektor dan sebagai polinomial, menggantikan ungkapan yang diberikan dalam pernyataan masalah:

Untuk melakukan ini, anda perlu mendarabkan setiap sebutan (istilah) polinomial pertama dengan setiap sebutan kedua dan tambah hasil yang terhasil:

Dalam keputusan yang terhasil, pecahan dikurangkan dengan. Keputusan berikut diperoleh:

Kesimpulan: sebagai hasil daripada pendaraban kami mendapat sifar, oleh itu, keortogonan (persenjang) vektor terbukti.

Selesaikan masalah itu sendiri dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 6. Panjang vektor dan diberi, dan sudut antara vektor ini ialah π /4 . Tentukan pada nilai apa μ vektor dan saling berserenjang.

Untuk ujian kendiri anda boleh gunakan kalkulator dalam talian Darab titik bagi vektor dan kosinus sudut di antara mereka.

Perwakilan matriks hasil darab titik bagi vektor dan hasil darab vektor n-dimensi

Kadangkala adalah berfaedah untuk kejelasan untuk mewakili dua vektor darab dalam bentuk matriks. Kemudian vektor pertama diwakili sebagai matriks baris, dan yang kedua - sebagai matriks lajur:

Maka hasil darab skalar bagi vektor ialah hasil darab matriks ini :

Hasilnya adalah sama seperti yang diperolehi dengan kaedah yang telah kita pertimbangkan. Kami mendapat satu nombor tunggal, dan hasil darab matriks baris dengan matriks lajur juga adalah satu nombor tunggal.

Adalah mudah untuk mewakili hasil darab vektor abstrak n-dimensi dalam bentuk matriks. Oleh itu, hasil darab dua vektor empat dimensi akan menjadi hasil darab matriks baris dengan empat unsur dengan matriks lajur juga dengan empat unsur, hasil darab dua vektor lima dimensi akan menjadi hasil darab matriks baris dengan lima unsur dengan matriks lajur juga dengan lima elemen, dan seterusnya.

Contoh 7. Cari hasil darab skalar pasangan vektor

menggunakan perwakilan matriks.

Penyelesaian. Sepasang vektor pertama. Kami mewakili vektor pertama sebagai matriks baris, dan yang kedua sebagai matriks lajur. Kami mendapati hasil darab skalar bagi vektor ini sebagai hasil darab matriks baris dan matriks lajur:

Kami juga mewakili pasangan kedua dan mencari:

Seperti yang anda lihat, hasilnya adalah sama seperti pasangan yang sama dari contoh 2.

Sudut antara dua vektor

Terbitan formula untuk kosinus sudut antara dua vektor adalah sangat cantik dan ringkas.

Untuk menyatakan hasil darab titik bagi vektor

(1)

dalam bentuk koordinat, kita mula-mula mencari hasil kali skalar bagi vektor unit. Hasil darab skalar bagi vektor dengan dirinya sendiri mengikut takrifan:

Apa yang tertulis dalam formula di atas bermaksud: hasil darab skalar bagi vektor dengan dirinya adalah sama dengan kuasa dua panjangnya. Kosinus sifar adalah sama dengan satu, jadi kuasa dua setiap unit akan sama dengan satu: