Logaritma bagi ungkapan pecahan. Logaritma asli, ln x fungsi

Kami terus mengkaji logaritma. Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang pengiraan logaritma, proses ini dipanggil logaritma. Pertama, kita akan berurusan dengan pengiraan logaritma mengikut definisi. Seterusnya, pertimbangkan bagaimana nilai logaritma ditemui menggunakan sifatnya. Selepas itu, kita akan memikirkan pengiraan logaritma melalui nilai awal yang diberikan bagi logaritma lain. Akhir sekali, mari belajar cara menggunakan jadual logaritma. Keseluruhan teori disediakan dengan contoh dengan penyelesaian terperinci.

Navigasi halaman.

Mengira logaritma mengikut takrifan

Dalam kes yang paling mudah, ia boleh dilakukan dengan cepat dan mudah mencari logaritma mengikut definisi. Mari kita lihat dengan lebih dekat bagaimana proses ini berlaku.

Intipatinya adalah untuk mewakili nombor b dalam bentuk a c , di mana, mengikut takrifan logaritma, nombor c ialah nilai logaritma. Iaitu, mengikut takrifan, mencari logaritma sepadan dengan rantaian kesamaan berikut: log a b=log a a c =c .

Jadi, pengiraan logaritma, mengikut takrifan, datang untuk mencari nombor c sedemikian rupa sehingga a c \u003d b, dan nombor c itu sendiri ialah nilai logaritma yang dikehendaki.

Memandangkan maklumat perenggan sebelumnya, apabila nombor di bawah tanda logaritma diberikan oleh beberapa darjah asas logaritma, maka anda boleh segera menunjukkan logaritma itu sama dengan - ia sama dengan eksponen. Mari tunjukkan contoh.

Contoh.

Cari log 2 2 −3 , dan juga hitung logaritma asli bagi e 5.3 .

Penyelesaian.

Takrifan logaritma membolehkan kita mengatakan dengan segera bahawa log 2 2 −3 = −3 . Sesungguhnya, nombor di bawah tanda logaritma adalah sama dengan asas 2 kepada kuasa −3.

Begitu juga, kita dapati logaritma kedua: lne 5.3 =5.3.

Jawapan:

log 2 2 −3 = −3 dan lne 5.3 =5.3 .

Jika nombor b di bawah tanda logaritma tidak diberikan sebagai kuasa asas logaritma, maka anda perlu mempertimbangkan dengan teliti sama ada mungkin untuk menghasilkan perwakilan nombor b dalam bentuk a c . Selalunya perwakilan ini agak jelas, terutamanya apabila nombor di bawah tanda logaritma adalah sama dengan asas kepada kuasa 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Penyelesaian.

Adalah mudah untuk melihat bahawa 25=5 2 , ini membolehkan anda mengira logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Kami meneruskan pengiraan logaritma kedua. Nombor boleh diwakili sebagai kuasa 7: (lihat jika perlu). Akibatnya, .

Mari kita tulis semula logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang anda boleh melihatnya , dari mana kita membuat kesimpulan bahawa . Oleh itu, mengikut takrifan logaritma .

Secara ringkas, penyelesaiannya boleh ditulis seperti berikut:

Jawapan:

log 5 25=2 , dan .

Apabila nombor asli yang cukup besar berada di bawah tanda logaritma, maka tidak ada salahnya untuk menguraikannya menjadi faktor perdana. Ia sering membantu untuk mewakili nombor sedemikian sebagai beberapa kuasa asas logaritma, dan oleh itu, untuk mengira logaritma ini mengikut takrifan.

Contoh.

Cari nilai logaritma itu.

Penyelesaian.

Sesetengah sifat logaritma membolehkan anda menentukan nilai logaritma dengan segera. Sifat ini termasuk sifat logaritma satu dan sifat logaritma nombor yang sama dengan asas: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1 . Iaitu, apabila nombor 1 atau nombor a berada di bawah tanda logaritma, sama dengan asas logaritma, maka dalam kes ini logaritma adalah 0 dan 1, masing-masing.

Contoh.

Apakah logaritma dan lg10 ?

Penyelesaian.

Oleh kerana , ia mengikuti daripada takrifan logaritma .

Dalam contoh kedua, nombor 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan asasnya, jadi logaritma perpuluhan sepuluh adalah sama dengan satu, iaitu, lg10=lg10 1 =1 .

Jawapan:

Dan lg10=1 .

Ambil perhatian bahawa pengiraan logaritma mengikut takrifan (yang kita bincangkan dalam perenggan sebelumnya) membayangkan penggunaan log kesamaan a a p =p , yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam amalan, apabila nombor di bawah tanda logaritma dan asas logaritma mudah diwakili sebagai kuasa beberapa nombor, adalah sangat mudah untuk menggunakan formula , yang sepadan dengan salah satu sifat logaritma. Pertimbangkan contoh mencari logaritma, menggambarkan penggunaan formula ini.

Contoh.

Hitung logaritma bagi .

Penyelesaian.

Jawapan:

.

Sifat logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam pengiraan, tetapi kita akan membincangkannya dalam perenggan berikut.

Mencari logaritma dari segi logaritma lain yang diketahui

Maklumat dalam perenggan ini meneruskan topik penggunaan sifat logaritma dalam pengiraannya. Tetapi di sini perbezaan utama ialah sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asal dari segi logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita ambil contoh untuk penjelasan. Katakan kita tahu bahawa log 2 3≈1.584963 , maka kita boleh mencari, sebagai contoh, log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dalam contoh di atas, sudah cukup untuk kita menggunakan sifat logaritma hasil darab. Walau bagaimanapun, lebih kerap anda perlu menggunakan senjata sifat logaritma yang lebih luas untuk mengira logaritma asal dari segi logaritma yang diberikan.

Contoh.

Hitung logaritma 27 hingga asas 60 jika diketahui log 60 2=a dan log 60 5=b .

Penyelesaian.

Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Adalah mudah untuk melihat bahawa 27=3 3 , dan logaritma asal, disebabkan oleh sifat logaritma darjah, boleh ditulis semula sebagai 3·log 60 3 .

Sekarang mari kita lihat bagaimana log 60 3 boleh dinyatakan dalam sebutan logaritma yang diketahui. Sifat logaritma nombor yang sama dengan asas membolehkan anda menulis log kesamaan 60 60=1 . Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Dengan cara ini, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Akibatnya, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Akhir sekali, kita mengira logaritma asal: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Jawapan:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Secara berasingan, adalah bernilai menyebut maksud formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma bentuk . Ia membolehkan anda beralih daripada logaritma dengan mana-mana asas kepada logaritma dengan asas tertentu, yang nilainya diketahui atau mungkin untuk mencarinya. Biasanya, dari logaritma asal, mengikut formula peralihan, mereka beralih kepada logaritma dalam salah satu asas 2, e atau 10, kerana untuk pangkalan ini terdapat jadual logaritma yang membolehkan mereka dikira dengan tahap ketepatan tertentu. Dalam bahagian seterusnya, kami akan menunjukkan bagaimana ini dilakukan.

Jadual logaritma, penggunaannya

Untuk pengiraan anggaran nilai logaritma, seseorang boleh menggunakan jadual logaritma. Yang paling biasa digunakan ialah jadual logaritma asas 2, jadual logaritma asli, dan jadual logaritma perpuluhan. Apabila bekerja dalam sistem nombor perpuluhan, adalah mudah untuk menggunakan jadual logaritma kepada asas sepuluh. Dengan bantuannya, kita akan belajar mencari nilai logaritma.

Jadual yang dibentangkan membolehkan, dengan ketepatan satu persepuluh ribu, untuk mencari nilai logaritma perpuluhan nombor daripada 1.000 hingga 9.999 (dengan tiga tempat perpuluhan). Kami akan menganalisis prinsip mencari nilai logaritma menggunakan jadual logaritma perpuluhan menggunakan contoh khusus - ia lebih jelas. Jom cari lg1,256 .

Dalam lajur kiri jadual logaritma perpuluhan kita dapati dua digit pertama nombor 1.256, iaitu, kita dapati 1.2 (nombor ini dibulatkan dengan warna biru untuk kejelasan). Digit ketiga nombor 1.256 (nombor 5) ditemui pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garisan berkembar (nombor ini dibulatkan dengan warna merah). Digit keempat nombor asal 1.256 (nombor 6) ditemui pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis berkembar (nombor ini dibulatkan dengan warna hijau). Sekarang kita dapati nombor dalam sel jadual logaritma di persimpangan baris bertanda dan lajur bertanda (nombor ini diserlahkan dalam oren). Jumlah nombor yang ditanda memberikan nilai logaritma perpuluhan yang dikehendaki sehingga tempat perpuluhan keempat, iaitu, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Adakah mungkin, menggunakan jadual di atas, untuk mencari nilai logaritma perpuluhan nombor yang mempunyai lebih daripada tiga digit selepas titik perpuluhan, dan juga melampaui had dari 1 hingga 9.999? Ya awak boleh. Mari tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan contoh.

Jom kira lg102.76332 . Mula-mula anda perlu menulis nombor dalam bentuk piawai: 102.76332=1.0276332 10 2 . Selepas itu, mantissa harus dibundarkan ke tempat perpuluhan ketiga, kita ada 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, manakala logaritma perpuluhan asal adalah lebih kurang sama dengan logaritma nombor yang terhasil, iaitu, kita ambil lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sekarang gunakan sifat logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Akhir sekali, kita dapati nilai logaritma lg1.028 mengikut jadual logaritma perpuluhan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Akibatnya, keseluruhan proses pengiraan logaritma kelihatan seperti ini: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu diperhatikan bahawa menggunakan jadual logaritma perpuluhan, anda boleh mengira nilai anggaran mana-mana logaritma. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan formula peralihan untuk pergi ke logaritma perpuluhan, cari nilainya dalam jadual, dan lakukan pengiraan yang tinggal.

Sebagai contoh, mari kita hitung log 2 3 . Menurut formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma, kita mempunyai . Daripada jadual logaritma perpuluhan kita dapati lg3≈0.4771 dan lg2≈0.3010. Dengan cara ini, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Algebra dan Permulaan Analisis: Buku Teks untuk Gred 10-11 Institusi Pendidikan Am.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik).

Ungkapan logaritma, penyelesaian contoh. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugasan menimbulkan persoalan mencari nilai ungkapan. Perlu diingatkan bahawa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan amat penting untuk memahami maksudnya. Bagi PENGGUNAAN, logaritma digunakan dalam menyelesaikan persamaan, dalam masalah gunaan, dan juga dalam tugas yang berkaitan dengan kajian fungsi.

Berikut adalah contoh untuk memahami maksud logaritma:

Identiti logaritma asas:

Sifat logaritma yang anda mesti sentiasa ingat:

*Logaritma hasil darab adalah sama dengan jumlah logaritma faktor.

* * *

* Logaritma hasil bagi (pecahan) adalah sama dengan perbezaan logaritma faktor.

* * *

* Logaritma darjah adalah sama dengan hasil darab eksponen dan logaritma asasnya.

* * *

*Peralihan ke pangkalan baharu

* * *

Lebih banyak hartanah:

* * *

Pengiraan logaritma berkait rapat dengan menggunakan sifat eksponen.

Kami menyenaraikan beberapa daripada mereka:

Intipati sifat ini ialah apabila memindahkan pengangka ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah kepada sebaliknya. Sebagai contoh:

Akibat harta ini:

* * *

Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, asas kekal sama, tetapi eksponen didarabkan.

* * *

Seperti yang anda lihat, konsep logaritma adalah mudah. Perkara utama ialah amalan yang baik diperlukan, yang memberikan kemahiran tertentu. Sememangnya ilmu formula adalah wajib. Jika kemahiran dalam menukar logaritma asas tidak terbentuk, maka apabila menyelesaikan tugasan mudah, seseorang boleh dengan mudah membuat kesilapan.

Berlatih, selesaikan contoh paling mudah dari kursus matematik dahulu, kemudian beralih kepada yang lebih kompleks. Pada masa akan datang, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "hodoh" diselesaikan, tidak akan ada yang seperti itu pada peperiksaan, tetapi mereka menarik, jangan ketinggalan!

Itu sahaja! Semoga berjaya!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu tentang laman web dalam rangkaian sosial.

Privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Berikut ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan mesej penting kepada anda.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan berkenaan perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau insentif yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Sekiranya perlu - mengikut undang-undang, perintah kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan / atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada badan-badan negara di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pengganti pihak ketiga yang berkaitan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta daripada akses, pendedahan, pengubahan dan kemusnahan yang tidak dibenarkan.

Mengekalkan privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan amalan privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan tegas.

Jadi, kita ada kuasa dua. Jika anda mengambil nombor dari baris bawah, maka anda boleh dengan mudah mencari kuasa yang anda perlu menaikkan dua untuk mendapatkan nombor ini. Sebagai contoh, untuk mendapatkan 16, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keempat. Dan untuk mendapatkan 64, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keenam. Ini boleh dilihat dari jadual.

Dan sekarang - sebenarnya, takrifan logaritma:

Logaritma kepada asas a bagi hujah x ialah kuasa yang nombor a mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x .

Notasi: log a x \u003d b, di mana a ialah asas, x ialah hujah, b sebenarnya adalah sama dengan logaritma.

Contohnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma asas 2 bagi 8 ialah tiga kerana 2 3 = 8). Boleh juga log 2 64 = 6 kerana 2 6 = 64 .

Operasi mencari logaritma nombor kepada asas tertentu dipanggil logaritma. Jadi mari tambahkan baris baharu pada jadual kami:

Malangnya, tidak semua logaritma dianggap begitu mudah. Sebagai contoh, cuba cari log 2 5 . Nombor 5 tiada dalam jadual, tetapi logik menentukan bahawa logaritma akan terletak di suatu tempat pada segmen. Kerana 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional: nombor selepas titik perpuluhan boleh ditulis selama-lamanya, dan ia tidak akan berulang. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik biarkan seperti ini: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Adalah penting untuk memahami bahawa logaritma ialah ungkapan dengan dua pembolehubah (asas dan hujah). Pada mulanya, ramai orang keliru di mana asas dan di mana hujah. Untuk mengelakkan salah faham yang menjengkelkan, lihat sahaja gambar:

Di hadapan kita tidak lebih daripada definisi logaritma. Ingat: logaritma ialah kuasa, yang mana anda perlu meningkatkan asas untuk mendapatkan hujah. Ia adalah pangkalan yang dinaikkan kepada kuasa - dalam gambar ia diserlahkan dengan warna merah. Ternyata asasnya sentiasa di bawah! Saya memberitahu peraturan yang menarik ini kepada pelajar saya pada pelajaran pertama - dan tidak ada kekeliruan.

Kami mengetahui definisi - ia masih perlu belajar cara mengira logaritma, i.e. buang tanda "log". Sebagai permulaan, kami perhatikan bahawa dua fakta penting mengikuti dari definisi:

1. Hujah dan asas mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar. Ini berikutan daripada takrifan darjah oleh eksponen rasional, yang mana takrifan logaritma dikurangkan.
2. Asas mestilah berbeza daripada kesatuan, kerana unit kepada mana-mana kuasa masih satu unit. Oleh sebab itu, persoalan "kepada apa kuasa seseorang mesti dibangkitkan untuk mendapat dua" tidak bermakna. Tidak ada ijazah seperti itu!

Sekatan sedemikian dipanggil julat yang sah(ODZ). Ternyata ODZ logaritma kelihatan seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Ambil perhatian bahawa tiada sekatan pada nombor b (nilai logaritma) tidak dikenakan. Sebagai contoh, logaritma mungkin negatif: log 2 0.5 \u003d -1, kerana 0.5 = 2 −1 .

Walau bagaimanapun, kini kami hanya mempertimbangkan ungkapan berangka, di mana ia tidak diperlukan untuk mengetahui ODZ logaritma. Semua sekatan telah diambil kira oleh penyusun masalah. Tetapi apabila persamaan logaritma dan ketaksamaan mula dimainkan, keperluan DHS akan menjadi wajib. Sesungguhnya, dalam asas dan hujah boleh terdapat pembinaan yang sangat kuat, yang tidak semestinya sepadan dengan sekatan di atas.

Sekarang pertimbangkan skema umum untuk mengira logaritma. Ia terdiri daripada tiga langkah:

1. Nyatakan asas a dan hujah x sebagai kuasa dengan asas terkecil mungkin lebih besar daripada satu. Sepanjang perjalanan, adalah lebih baik untuk menyingkirkan pecahan perpuluhan;
2. Selesaikan persamaan bagi pembolehubah b: x = a b ;
3. Nombor b yang terhasil akan menjadi jawapannya.

Itu sahaja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini akan dilihat pada langkah pertama. Keperluan bahawa asas lebih besar daripada satu adalah sangat relevan: ini mengurangkan kemungkinan ralat dan sangat memudahkan pengiraan. Begitu juga dengan pecahan perpuluhan: jika anda segera menukarnya kepada pecahan biasa, ralat akan berkurangan berkali-kali ganda.

Mari lihat bagaimana skema ini berfungsi dengan contoh khusus:

Satu tugas. Kira logaritma: log 5 25

1. Mari kita wakili asas dan hujah sebagai kuasa lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Mendapat jawapan: 2.

Satu tugas. Kira logaritma:

Satu tugas. Kira logaritma: log 4 64

1. Mari kita wakili asas dan hujah sebagai kuasa dua: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Mendapat jawapan: 3.

Satu tugas. Kira logaritma: log 16 1

1. Mari kita wakili asas dan hujah sebagai kuasa dua: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Menerima jawapan: 0.

Satu tugas. Kira logaritma: log 7 14

1. Mari kita wakili asas dan hujah sebagai kuasa tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak diwakili sebagai kuasa tujuh, kerana 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Ia berikutan daripada perenggan sebelumnya bahawa logaritma tidak dipertimbangkan;
3. Jawapannya tiada perubahan: log 7 14.

Nota kecil pada contoh terakhir. Bagaimana untuk memastikan bahawa nombor bukan kuasa tepat nombor lain? Sangat mudah - hanya menguraikannya menjadi faktor utama. Jika terdapat sekurang-kurangnya dua faktor berbeza dalam pengembangan, bilangannya bukanlah kuasa yang tepat.

Satu tugas. Ketahui sama ada kuasa sebenar nombor itu ialah: 8; 48; 81; 35; empat belas.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - darjah yang tepat, kerana hanya ada satu pengganda;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 bukan kuasa yang tepat kerana terdapat dua faktor: 3 dan 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - darjah tepat;
35 = 7 5 - sekali lagi bukan darjah yang tepat;
14 \u003d 7 2 - sekali lagi bukan tahap yang tepat;

Perhatikan juga bahawa nombor perdana itu sendiri sentiasa kuasa tepat bagi diri mereka sendiri.

Logaritma perpuluhan

Sesetengah logaritma adalah sangat biasa sehingga mereka mempunyai nama dan sebutan khas.

Logaritma perpuluhan bagi hujah x ialah logaritma asas 10, i.e. kuasa yang anda perlukan untuk menaikkan nombor 10 untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: lg x .

Sebagai contoh, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dsb.

Mulai sekarang, apabila frasa seperti "Cari lg 0.01" muncul dalam buku teks, ketahui bahawa ini bukan kesilapan menaip. Ini ialah logaritma perpuluhan. Walau bagaimanapun, jika anda tidak biasa dengan sebutan sedemikian, anda sentiasa boleh menulis semula:
log x = log 10 x

Semua yang benar untuk logaritma biasa adalah benar untuk perpuluhan.

logaritma semula jadi

Terdapat satu lagi logaritma yang mempunyai tatatanda tersendiri. Dari satu segi, ia lebih penting daripada perpuluhan. Ini ialah logaritma semula jadi.

Logaritma asli bagi x ialah logaritma asas e, i.e. kuasa yang nombor e mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: ln x .

Ramai yang akan bertanya: apa lagi nombor e? Ini adalah nombor tidak rasional, nilai tepatnya tidak dapat ditemui dan ditulis. Berikut adalah nombor pertama:
e = 2.718281828459...

Kami tidak akan menyelidiki apakah nombor ini dan mengapa ia diperlukan. Ingatlah bahawa e ialah asas logaritma asli:
ln x = log e x

Oleh itu ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - dsb. Sebaliknya, ln 2 ialah nombor tak rasional. Secara amnya, logaritma asli mana-mana nombor rasional adalah tidak rasional. Kecuali, sudah tentu, perpaduan: ln 1 = 0.

Untuk logaritma asli, semua peraturan yang benar untuk logaritma biasa adalah sah.

sifat asas.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

alasan yang sama

log6 4 + log6 9.

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas.

Contoh penyelesaian logaritma

Bagaimana jika terdapat ijazah dalam asas atau hujah logaritma? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x >

Satu tugas. Cari nilai ungkapan:

Peralihan kepada asas baharu

Biarkan logaritma logax diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Satu tugas. Cari nilai ungkapan:

Lihat juga:

Sifat asas logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponennya ialah 2.718281828…. Untuk mengingati eksponen, anda boleh mengkaji peraturan: eksponen ialah 2.7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Tolstoy.

Sifat asas logaritma

Mengetahui peraturan ini, anda akan mengetahui nilai sebenar eksponen dan tarikh lahir Leo Tolstoy.

Contoh untuk logaritma

Ambil logaritma ungkapan

Contoh 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Dengan sifat 3,5 kita mengira

2.

3.

4. di mana .

Contoh 2 Cari x jika

Contoh 3. Biarkan nilai logaritma diberikan

Kira log(x) jika

Sifat asas logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan ditukar dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat asas.

Peraturan ini mesti diketahui - tiada masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan tanpanya. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - semuanya boleh dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Penambahan dan penolakan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya ialah logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah - alasan yang sama. Jika pangkalannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Oleh kerana asas logaritma adalah sama, kami menggunakan formula jumlah:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log2 48 − log2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log3 135 − log3 5.

Sekali lagi, asasnya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dianggap secara berasingan. Tetapi selepas transformasi nombor yang agak normal ternyata. Banyak ujian berdasarkan fakta ini. Ya, kawalan - ungkapan yang serupa dalam semua kesungguhan (kadangkala - hampir tiada perubahan) ditawarkan semasa peperiksaan.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, i.e. anda boleh memasukkan nombor sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling kerap diperlukan.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log7 496.

Mari kita buang darjah dalam hujah mengikut formula pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Satu tugas. Cari nilai ungkapan:

Perhatikan bahawa penyebut ialah logaritma yang asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 24; 49 = 72. Kami ada:

Saya rasa contoh terakhir memerlukan penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut.

Formula logaritma. Logaritma ialah contoh penyelesaian.

Mereka membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk darjah dan mengeluarkan penunjuk - mereka mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mempunyai nombor yang sama: log2 7. Oleh kerana log2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Menurut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika asasnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan ke pangkalan baharu datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma logax diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Khususnya, jika kita meletakkan c = x, kita mendapat:

Ia mengikuti dari formula kedua bahawa adalah mungkin untuk menukar asas dan hujah logaritma, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma adalah dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Walau bagaimanapun, terdapat tugas yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita pertimbangkan beberapa perkara ini:

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log5 16 log2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma adalah eksponen tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita balikkan logaritma kedua:

Oleh kerana produk tidak berubah daripada pilih atur faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian memikirkan logaritma.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tuliskannya dan singkirkan penunjuk:

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian ia diperlukan untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen dalam hujah. Nombor n boleh menjadi apa-apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Ia dipanggil seperti ini:

Sesungguhnya, apakah yang akan berlaku jika nombor b dinaikkan ke tahap sedemikian sehingga nombor b dalam darjah ini memberikan nombor a? Betul: ini adalah nombor yang sama a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang "menggantung" di atasnya.

Seperti formula penukaran asas baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan:

Ambil perhatian bahawa log25 64 = log5 8 - baru sahaja mengeluarkan petak dari pangkalan dan hujah logaritma. Memandangkan peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita mendapat:

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu 🙂

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang sukar untuk dipanggil sifat - sebaliknya, ini adalah akibat daripada definisi logaritma. Mereka sentiasa ditemui dalam masalah dan, yang mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

1. logaa = 1 ialah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a daripada asas itu sendiri adalah sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 ialah. Asas a boleh menjadi apa sahaja, tetapi jika hujahnya adalah satu, logaritmanya adalah sifar! Kerana a0 = 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.

Lihat juga:

Logaritma nombor b ke pangkal a menandakan ungkapan. Untuk mengira logaritma bermakna untuk mencari kuasa x () yang mana kesamaan adalah benar

Sifat asas logaritma

Sifat di atas perlu diketahui, kerana, atas asasnya, hampir semua masalah dan contoh diselesaikan berdasarkan logaritma. Sifat eksotik yang selebihnya boleh diperolehi melalui manipulasi matematik dengan formula ini

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Apabila mengira formula untuk jumlah dan perbezaan logaritma (3.4) ditemui agak kerap. Selebihnya agak rumit, tetapi dalam beberapa tugas, ia amat diperlukan untuk memudahkan ungkapan kompleks dan mengira nilainya.

Kes biasa logaritma

Beberapa logaritma biasa ialah logaritma yang asasnya ialah sepuluh, eksponen atau deuce.
Logaritma asas sepuluh biasanya dipanggil logaritma asas sepuluh dan hanya dilambangkan lg(x).

Dapat dilihat daripada rekod bahawa asas tidak ditulis dalam rekod. Sebagai contoh

Logaritma asli ialah logaritma yang asasnya ialah eksponen (ditandakan ln(x)).

Eksponennya ialah 2.718281828…. Untuk mengingati eksponen, anda boleh mengkaji peraturan: eksponen ialah 2.7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Tolstoy. Mengetahui peraturan ini, anda akan mengetahui nilai sebenar eksponen dan tarikh lahir Leo Tolstoy.

Dan satu lagi logaritma asas dua yang penting ialah

Terbitan logaritma fungsi adalah sama dengan satu dibahagikan dengan pembolehubah

Logaritma kamiran atau antiterbitan ditentukan oleh pergantungan

Bahan di atas sudah cukup untuk anda menyelesaikan kelas masalah yang luas berkaitan dengan logaritma dan logaritma. Untuk mengasimilasikan bahan, saya hanya akan memberikan beberapa contoh biasa dari kurikulum sekolah dan universiti.

Contoh untuk logaritma

Ambil logaritma ungkapan

Contoh 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Dengan sifat 3,5 kita mengira

2.
Dengan sifat perbezaan logaritma, kita ada

3.
Menggunakan sifat 3.5 kita dapati

4. di mana .

Ungkapan yang kelihatan kompleks menggunakan satu siri peraturan dipermudahkan kepada bentuk

Mencari Nilai Logaritma

Contoh 2 Cari x jika

Penyelesaian. Untuk pengiraan, kami menggunakan sifat 5 dan 13 sehingga penggal terakhir

Gantikan dalam rekod dan berkabung

Oleh kerana asas adalah sama, kami menyamakan ungkapan

Logaritma. Tahap pertama.

Biarkan nilai logaritma diberikan

Kira log(x) jika

Penyelesaian: Ambil logaritma pembolehubah untuk menulis logaritma melalui hasil tambah sebutan

Ini hanyalah permulaan untuk mengenali logaritma dan sifatnya. Amalkan pengiraan, perkayakan kemahiran praktikal anda - tidak lama lagi anda akan memerlukan pengetahuan yang diperoleh untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Setelah mempelajari kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kami akan mengembangkan pengetahuan anda untuk topik lain yang sama penting - ketaksamaan logaritma ...

Sifat asas logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan ditukar dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat asas.

Peraturan ini mesti diketahui - tiada masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan tanpanya. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - semuanya boleh dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Penambahan dan penolakan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya ialah logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah - alasan yang sama. Jika pangkalannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log6 4 + log6 9.

Oleh kerana asas logaritma adalah sama, kami menggunakan formula jumlah:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log2 48 − log2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log3 135 − log3 5.

Sekali lagi, asasnya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dianggap secara berasingan. Tetapi selepas transformasi nombor yang agak normal ternyata. Banyak ujian berdasarkan fakta ini. Ya, kawalan - ungkapan yang serupa dalam semua kesungguhan (kadangkala - hampir tiada perubahan) ditawarkan semasa peperiksaan.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika terdapat ijazah dalam asas atau hujah logaritma? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, i.e. anda boleh memasukkan nombor sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling kerap diperlukan.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log7 496.

Mari kita buang darjah dalam hujah mengikut formula pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Satu tugas. Cari nilai ungkapan:

Perhatikan bahawa penyebut ialah logaritma yang asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 24; 49 = 72. Kami ada:

Saya rasa contoh terakhir memerlukan penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk darjah dan mengeluarkan penunjuk - mereka mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mempunyai nombor yang sama: log2 7. Oleh kerana log2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Menurut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika asasnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan ke pangkalan baharu datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma logax diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Khususnya, jika kita meletakkan c = x, kita mendapat:

Ia mengikuti dari formula kedua bahawa adalah mungkin untuk menukar asas dan hujah logaritma, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma adalah dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Walau bagaimanapun, terdapat tugas yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita pertimbangkan beberapa perkara ini:

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log5 16 log2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma adalah eksponen tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita balikkan logaritma kedua:

Oleh kerana produk tidak berubah daripada pilih atur faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian memikirkan logaritma.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan: log9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tuliskannya dan singkirkan penunjuk:

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian ia diperlukan untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen dalam hujah. Nombor n boleh menjadi apa-apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Ia dipanggil seperti ini:

Sesungguhnya, apakah yang akan berlaku jika nombor b dinaikkan ke tahap sedemikian sehingga nombor b dalam darjah ini memberikan nombor a? Betul: ini adalah nombor yang sama a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang "menggantung" di atasnya.

Seperti formula penukaran asas baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Satu tugas. Cari nilai ungkapan:

Ambil perhatian bahawa log25 64 = log5 8 - baru sahaja mengeluarkan petak dari pangkalan dan hujah logaritma. Memandangkan peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita mendapat:

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu 🙂

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang sukar untuk dipanggil sifat - sebaliknya, ini adalah akibat daripada definisi logaritma. Mereka sentiasa ditemui dalam masalah dan, yang mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

1. logaa = 1 ialah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a daripada asas itu sendiri adalah sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 ialah. Asas a boleh menjadi apa sahaja, tetapi jika hujahnya adalah satu, logaritmanya adalah sifar! Kerana a0 = 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.