Sudut antara dua garis lurus. Sudut antara garis bersilang: definisi, contoh penemuan

A. Biarkan dua garis lurus diberikan Garis lurus ini, seperti yang ditunjukkan dalam Bab 1, membentuk pelbagai sudut positif dan negatif, yang boleh sama ada akut atau tumpul. Mengetahui salah satu sudut ini, kita boleh mencari sudut lain dengan mudah.

Dengan cara ini, untuk semua sudut ini nilai berangka tangen adalah sama, perbezaannya hanya boleh dalam tanda

Persamaan garis. Nombor ialah unjuran vektor arah bagi garis lurus pertama dan kedua. Sudut antara vektor ini adalah sama dengan salah satu sudut yang dibentuk oleh garis lurus. Oleh itu, masalah datang kepada penentuan sudut antara vektor

Untuk kesederhanaan, kita boleh bersetuju bahawa sudut antara dua garis lurus ialah sudut positif akut (seperti, sebagai contoh, dalam Rajah 53).

Maka tangen sudut ini akan sentiasa positif. Oleh itu, jika terdapat tanda tolak di sebelah kanan formula (1), maka kita mesti membuangnya, iaitu, simpan hanya nilai mutlak.

Contoh. Tentukan sudut antara garis lurus

Mengikut formula (1) yang kita ada

Dengan. Jika ditunjukkan sisi sudut mana yang merupakan permulaan dan yang mana penghujungnya, maka, sentiasa mengira arah sudut lawan jam, kita boleh mengekstrak sesuatu yang lebih daripada formula (1). Seperti yang mudah dilihat dari Rajah. 53, tanda yang diperoleh di sebelah kanan formula (1) akan menunjukkan jenis sudut - akut atau tumpul - garis lurus kedua terbentuk dengan yang pertama.

(Sememangnya, daripada Rajah 53 kita melihat bahawa sudut antara vektor arah pertama dan kedua sama ada sama dengan sudut yang dikehendaki antara garis lurus, atau berbeza daripadanya sebanyak ±180°.)

d. Jika garisan selari, maka vektor arahnya adalah selari.Menggunakan syarat keselarian dua vektor, kita dapat!

Ini adalah syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselarian dua baris.

Contoh. Langsung

adalah selari kerana

e. Jika garisan berserenjang maka vektor arahnya juga berserenjang. Menggunakan syarat keserenjangan dua vektor, kita memperoleh keadaan keserenjangan dua garis lurus, iaitu

Contoh. Langsung

adalah serenjang kerana fakta bahawa

Sehubungan dengan keadaan selari dan serenjang, kami akan menyelesaikan dua masalah berikut.

f. Lukis garis melalui titik selari dengan garis yang diberi

Penyelesaiannya dijalankan seperti ini. Oleh kerana garis yang dikehendaki adalah selari dengan yang ini, maka untuk vektor arahnya kita boleh mengambil yang sama seperti garis yang diberikan, iaitu, vektor dengan unjuran A dan B. Dan kemudian persamaan garis yang dikehendaki akan ditulis dalam borang (§ 1)

Contoh. Persamaan garis yang melalui titik (1; 3) selari dengan garis

akan ada seterusnya!

g. Lukis garisan melalui titik yang berserenjang dengan garis yang diberi

Di sini adalah tidak sesuai lagi untuk mengambil vektor dengan unjuran A dan sebagai vektor pemandu, tetapi perlu mengambil vektor berserenjang dengannya. Oleh itu, unjuran vektor ini mesti dipilih mengikut keadaan keserenjang kedua-dua vektor, iaitu mengikut keadaan

Syarat ini boleh dipenuhi dengan cara yang tidak terkira banyaknya, kerana di sini adalah satu persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Tetapi cara yang paling mudah ialah mengambil atau Kemudian persamaan garis yang dikehendaki akan ditulis dalam bentuk

Contoh. Persamaan garis yang melalui titik (-7; 2) dalam garis serenjang

akan ada yang berikut (mengikut formula kedua)!

h. Dalam kes apabila garis diberikan oleh persamaan bentuk

Arahan

Nota

Tempoh tangen fungsi trigonometri adalah sama dengan 180 darjah, yang bermaksud bahawa sudut cerun garis lurus tidak boleh, dalam nilai mutlak, melebihi nilai ini.

Nasihat yang berguna

Jika pekali sudut adalah sama antara satu sama lain, maka sudut antara garis tersebut ialah 0, kerana garis tersebut sama ada bertepatan atau selari.

Untuk menentukan nilai sudut antara garis bersilang, kedua-dua garisan (atau salah satu daripadanya) perlu dipindahkan ke kedudukan baharu menggunakan kaedah terjemahan selari sehingga ia bersilang. Selepas ini, anda harus mencari sudut antara garis bersilang yang terhasil.

Anda perlu

• Pembaris, segi tiga tepat, pensel, protraktor.

Arahan

Jadi, biarkan vektor V = (a, b, c) dan satah A x + B y + C z = 0 diberikan, di mana A, B dan C ialah koordinat bagi N normal. Kemudian kosinus sudut α antara vektor V dan N adalah sama dengan: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Untuk mengira sudut dalam darjah atau radian, anda perlu mengira songsang kepada fungsi kosinus daripada ungkapan yang terhasil, i.e. arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Contoh: cari sudut antara vektor(5, -3, 8) dan kapal terbang, diberikan oleh persamaan am 2 x – 5 y + 3 z = 0. Penyelesaian: tuliskan koordinat bagi vektor normal satah N = (2, -5, 3). Gantikan semua nilai yang diketahui ke dalam formula yang diberikan: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

Video mengenai topik

Garis lurus yang mempunyai satu titik sepunya dengan bulatan adalah tangen kepada bulatan itu. Satu lagi ciri tangen ialah ia sentiasa berserenjang dengan jejari yang dilukis ke titik sentuhan, iaitu tangen dan jejari membentuk garis lurus. sudut. Jika dua tangen kepada bulatan AB dan AC dilukis dari satu titik A, maka ia sentiasa sama antara satu sama lain. Menentukan sudut antara tangen ( sudut ABC) dibuat menggunakan teorem Pythagoras.

Arahan

Untuk menentukan sudut, anda perlu mengetahui jejari bulatan OB dan OS dan jarak titik permulaan tangen dari pusat bulatan - O. Jadi, sudut ABO dan ACO adalah sama, jejari OB ialah, contohnya, 10 cm, dan jarak ke pusat bulatan AO ialah 15 cm Tentukan panjang tangen menggunakan rumus mengikut teorem Pythagoras: AB = punca kuasa dua AO2 – OB2 atau 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

Biarkan dua garis lurus l dan m pada satah dalam sistem koordinat Cartes diberikan oleh persamaan am: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Vektor biasa kepada garisan ini: = (A 1 , B 1) – kepada garis l,

= (A 2 , B 2) – ke garisan m.

Biarkan j ialah sudut antara garis l dan m.

Oleh kerana sudut dengan sisi yang saling berserenjang sama ada sama atau ditambah hingga p, maka , iaitu cos j = .

Jadi, kami telah membuktikan teorem berikut.

Teorem. Biarkan j ialah sudut antara dua garis pada satah, dan biarkan garis ini dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesan dengan persamaan am A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Maka kos j = .

Senaman.

1) Terbitkan formula untuk mengira sudut antara garis lurus jika:

(1) kedua-dua garisan dinyatakan secara parametrik; (2) kedua-dua garis diberikan oleh persamaan kanonik; (3) satu baris ditentukan secara parametrik, garisan satu lagi ditentukan oleh persamaan am; (4) kedua-dua garis diberikan oleh persamaan dengan pekali sudut.

2) Biarkan j ialah sudut antara dua garis lurus pada satah, dan biarkan garis lurus ini ditakrifkan dalam sistem koordinat Cartesan dengan persamaan y = k 1 x + b 1 dan y =k 2 x + b 2 .

Kemudian tan j = .

3) Terokai kedudukan relatif dua garis lurus, diberikan oleh persamaan am dalam sistem koordinat Cartes, dan isi jadual:

Jarak dari titik ke garis lurus pada satah.

Biarkan garis lurus l pada satah dalam sistem koordinat Cartesan diberikan oleh persamaan am Ax + By + C = 0. Mari kita cari jarak dari titik M(x 0 , y 0) ke garis lurus l.

Jarak dari titik M ke garis lurus l ialah panjang HM berserenjang (H О l, HM ^ l).

Vektor dan vektor normal kepada garis l adalah kolinear, jadi | | = | | | | dan | | = .

Biarkan koordinat titik H ialah (x,y).

Oleh kerana titik H tergolong dalam garis l, maka Ax + By + C = 0 (*).

Koordinat vektor dan: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - Oleh, lihat (*))

Teorem. Biarkan garis lurus l dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesan dengan persamaan am Ax + By + C = 0. Kemudian jarak dari titik M(x 0 , y 0) ke garis lurus ini dikira dengan formula: r ( M; l) = .

Senaman.

1) Terbitkan formula untuk mengira jarak dari titik ke garis jika: (1) garis diberi secara parametrik; (2) garis diberikan kepada persamaan kanonik; (3) garis lurus diberikan oleh persamaan dengan pekali sudut.

2) Tuliskan persamaan bulatan tangen kepada garis 3x – y = 0, dengan pusat di titik Q(-2,4).

3) Tulis persamaan garis yang membahagikan sudut yang dibentuk oleh persilangan garis 2x + y - 1 = 0 dan x + y + 1 = 0, pada separuh.

§ 27. Takrifan analitikal satah di angkasa

Definisi. Vektor biasa kepada pesawat kami akan memanggil vektor bukan sifar, mana-mana wakilnya berserenjang dengan satah tertentu.

Komen. Adalah jelas bahawa jika sekurang-kurangnya satu wakil vektor berserenjang dengan satah, maka semua wakil vektor lain adalah berserenjang dengan satah ini.

Biarkan sistem koordinat Cartesan diberikan dalam ruang.

Biarkan satah diberi, = (A, B, C) – vektor normal kepada satah ini, titik M (x 0 , y 0 , z 0) tergolong dalam satah a.

Untuk mana-mana titik N(x, y, z) satah a, vektor dan adalah ortogon, iaitu hasil darab skalarnya adalah sama dengan sifar: = 0. Mari kita tulis kesamaan terakhir dalam koordinat: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Biarkan -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, kemudian Ax + By + Cz + D = 0.

Mari kita ambil titik K (x, y) supaya Ax + By + Cz + D = 0. Oleh kerana D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0, maka A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Oleh kerana koordinat segmen yang diarahkan = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), kesamaan terakhir bermakna ^, dan, oleh itu, K О a.

Jadi, kami telah membuktikan teorem berikut:

Teorem. Mana-mana satah dalam ruang dalam sistem koordinat Cartesan boleh ditentukan dengan persamaan bentuk Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), di mana (A, B, C) ialah koordinat vektor normal ke satah ini.

Begitu juga sebaliknya.

Teorem. Mana-mana persamaan bentuk Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) dalam sistem koordinat Cartesian menentukan satah tertentu, dan (A, B, C) ialah koordinat bagi normal vektor ke pesawat ini.

Bukti.

Ambil satu titik M (x 0 , y 0 , z 0) supaya Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 dan vektor = (A, B, C) ( ≠ q).

Sebuah satah (dan hanya satu) melalui titik M berserenjang dengan vektor. Menurut teorem sebelumnya, satah ini diberikan oleh persamaan Ax + By + Cz + D = 0.

Definisi. Persamaan bentuk Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) dipanggil persamaan satah am.

Contoh.

Mari kita tulis persamaan satah yang melalui titik M (0,2,4), N (1,-1,0) dan K (-1,0,5).

1. Cari koordinat bagi vektor normal kepada satah (MNK). Oleh kerana hasil vektor ´ adalah ortogon kepada vektor bukan kolinear dan , maka vektor itu ialah kolinear ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Jadi, sebagai vektor biasa kita ambil vektor = (-11, 3, -5).

2. Sekarang mari kita gunakan keputusan teorem pertama:

persamaan satah ini A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, dengan (A, B, C) ialah koordinat bagi vektor normal, (x 0 , y 0 , z 0) – koordinat titik yang terletak dalam satah (contohnya, titik M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y – 5z + 14 = 0

Jawapan: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Senaman.

1) Tulis persamaan satah itu jika

(1) satah melalui titik M (-2,3,0) selari dengan satah 3x + y + z = 0;

(2) satah mengandungi paksi (Ox) dan berserenjang dengan satah x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Tulis persamaan satah yang melalui tiga titik yang diberi.

§ 28. Takrifan analitik bagi separuh ruang*

Komen*. Biarkan beberapa pesawat diperbaiki. Di bawah separuh ruang kita akan memahami set titik yang terletak pada satu sisi satah tertentu, iaitu dua titik terletak pada separuh ruang yang sama jika segmen yang menghubungkannya tidak bersilang dengan satah yang diberikan. Kapal terbang ini dipanggil sempadan separuh ruang ini. Kesatuan satah ini dan separuh ruang akan dipanggil separuh ruang tertutup.

Biarkan sistem koordinat Cartesan ditetapkan dalam ruang.

Teorem. Biarkan satah a diberikan oleh persamaan am Ax + By + Cz + D = 0. Kemudian salah satu daripada dua separuh ruang di mana satah a membahagi ruang diberi oleh ketaksamaan Ax + By + Cz + D > 0 , dan ruang separuh kedua diberikan oleh ketaksamaan Ax + By + Cz + D< 0.

Bukti.

Mari kita plotkan vektor normal = (A, B, C) ke satah a dari titik M (x 0 , y 0 , z 0) yang terletak pada satah ini: = , M О a, MN ^ a. Satah membahagikan ruang kepada dua separuh ruang: b 1 dan b 2. Jelas bahawa titik N tergolong dalam salah satu daripada separuh ruang ini. Tanpa kehilangan keluasan, kita akan menganggap bahawa N О b 1 .

Mari kita buktikan bahawa separuh ruang b 1 ditakrifkan oleh ketaksamaan Ax + By + Cz + D > 0.

1) Ambil satu titik K(x,y,z) dalam separuh ruang b 1 . Sudut Ð NMK ialah sudut antara vektor dan - akut, oleh itu hasil darab skalar bagi vektor ini adalah positif: > 0. Mari kita tulis ketaksamaan ini dalam koordinat: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, iaitu, Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Oleh kerana M О b 1, maka Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, oleh itu -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Oleh itu, ketaksamaan terakhir boleh ditulis seperti berikut: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Ambil satu titik L(x,y) supaya Ax + By + Cz + D > 0.

Mari kita tulis semula ketaksamaan dengan menggantikan D dengan (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (sejak M О b 1, kemudian Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Vektor dengan koordinat (x - x 0,y - y 0, z - z 0) ialah vektor, jadi ungkapan A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) boleh difahami , sebagai hasil darab skalar bagi vektor dan . Oleh kerana hasil darab skalar bagi vektor dan adalah positif, sudut di antara mereka adalah akut dan titik L О b 1 .

Begitu juga, kita boleh membuktikan bahawa separuh ruang b 2 diberikan oleh ketaksamaan Ax + By + Cz + D< 0.

Nota.

1) Jelaslah bahawa bukti yang diberikan di atas tidak bergantung kepada pilihan titik M dalam satah a.

2) Jelas bahawa separuh ruang yang sama boleh ditakrifkan oleh ketaksamaan yang berbeza.

Begitu juga sebaliknya.

Teorem. Sebarang ketaksamaan linear dalam bentuk Ax + By + Cz + D > 0 (atau Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Bukti.

Persamaan Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) dalam ruang mentakrifkan satah tertentu a (lihat § ...). Seperti yang telah dibuktikan dalam teorem sebelumnya, salah satu daripada dua separuh ruang di mana satah membahagikan ruang diberikan oleh ketaksamaan Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Nota.

1) Jelas bahawa separuh ruang tertutup boleh ditakrifkan oleh ketaksamaan linear tidak ketat, dan mana-mana ketaksamaan linear tidak ketat dalam sistem koordinat Cartesian mentakrifkan separuh ruang tertutup.

2) Mana-mana polihedron cembung boleh ditakrifkan sebagai persilangan separuh ruang tertutup (sempadannya ialah satah yang mengandungi muka polihedron), iaitu secara analitikal - oleh sistem ketaksamaan linear tidak ketat.

Senaman.

1) Buktikan dua teorem yang dikemukakan untuk sistem koordinat affine arbitrary.

2) Adakah sebaliknya benar, bahawa mana-mana sistem ketaksamaan linear tidak ketat mentakrifkan poligon cembung?

1) Siasat kedudukan relatif dua satah yang ditakrifkan oleh persamaan am dalam sistem koordinat Cartes dan isi jadual.

Saya akan bagi ringkas. Sudut antara dua garis lurus adalah sama dengan sudut antara vektor arah mereka. Oleh itu, jika anda berjaya mencari koordinat bagi vektor arah a = (x 1 ; y 1 ; z 1) dan b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), anda boleh mencari sudut. Lebih tepat lagi, kosinus sudut mengikut formula:

Mari lihat cara formula ini berfungsi menggunakan contoh khusus:

Tugasan. Dalam kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, titik E dan F ditanda - masing-masing titik tengah tepi A 1 B 1 dan B 1 C 1. Cari sudut antara garis AE dan BF.

Memandangkan tepi kubus tidak dinyatakan, mari kita tetapkan AB = 1. Kami memperkenalkan sistem koordinat piawai: asalan adalah pada titik A, paksi x, y, z diarahkan di sepanjang AB, AD dan AA 1, masing-masing. Segmen unit adalah sama dengan AB = 1. Sekarang mari kita cari koordinat vektor arah untuk garisan kita.

Mari cari koordinat vektor AE. Untuk ini kita memerlukan mata A = (0; 0; 0) dan E = (0.5; 0; 1). Oleh kerana titik E ialah tengah segmen A 1 B 1, koordinatnya adalah sama dengan min aritmetik bagi koordinat hujungnya. Ambil perhatian bahawa asal vektor AE bertepatan dengan asal koordinat, jadi AE = (0.5; 0; 1).

Sekarang mari kita lihat vektor BF. Begitu juga, kami menganalisis mata B = (1; 0; 0) dan F = (1; 0.5; 1), kerana F ialah tengah segmen B 1 C 1. Kami ada:
BF = (1 − 1; 0.5 − 0; 1 − 0) = (0; 0.5; 1).

Jadi, vektor arah sudah sedia. Kosinus sudut antara garis lurus ialah kosinus sudut antara vektor arah, jadi kita mempunyai:

Tugasan. Dalam prisma segi tiga biasa ABCA 1 B 1 C 1, semua tepi yang sama dengan 1, titik D dan E ditanda - titik tengah tepi A 1 B 1 dan B 1 C 1, masing-masing. Cari sudut antara garis AD dan BE.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat piawai: asalan adalah pada titik A, paksi x diarahkan sepanjang AB, z - sepanjang AA 1. Mari kita halakan paksi-y supaya satah OXY bertepatan dengan satah ABC. Segmen unit adalah sama dengan AB = 1. Mari kita cari koordinat vektor arah untuk garisan yang diperlukan.

Mula-mula, mari cari koordinat vektor AD. Pertimbangkan mata: A = (0; 0; 0) dan D = (0.5; 0; 1), kerana D - tengah segmen A 1 B 1. Oleh kerana permulaan vektor AD bertepatan dengan asal koordinat, kita memperoleh AD = (0.5; 0; 1).

Sekarang mari kita cari koordinat vektor BE. Titik B = (1; 0; 0) mudah dikira. Dengan titik E - tengah segmen C 1 B 1 - ia lebih rumit sedikit. Kami ada:

Ia kekal untuk mencari kosinus sudut:

Tugasan. Dalam prisma heksagon sekata ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , semua tepi yang sama dengan 1, titik K dan L ditanda - titik tengah tepi A 1 B 1 dan B 1 C 1, masing-masing. . Cari sudut antara garis AK dan BL.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat piawai untuk prisma: kita letakkan asal koordinat di tengah tapak bawah, paksi x diarahkan sepanjang FC, paksi y diarahkan melalui titik tengah segmen AB dan DE, dan z paksi diarahkan menegak ke atas. Segmen unit sekali lagi sama dengan AB = 1. Mari kita tuliskan koordinat tempat yang menarik kepada kita:

Titik K dan L ialah titik tengah bagi segmen A 1 B 1 dan B 1 C 1, masing-masing, jadi koordinatnya ditemui melalui min aritmetik. Mengetahui titik, kita dapati koordinat bagi vektor arah AK dan BL:

Sekarang mari kita cari kosinus sudut:

Tugasan. Dalam piramid segi empat biasa biasa SABCD, semua tepi yang sama dengan 1, titik E dan F ditanda - titik tengah sisi SB dan SC, masing-masing. Cari sudut antara garis AE dan BF.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat piawai: asalan adalah pada titik A, paksi x dan y masing-masing diarahkan sepanjang AB dan AD, dan paksi z diarahkan secara menegak ke atas. Segmen unit adalah sama dengan AB = 1.

Titik E dan F masing-masing ialah titik tengah bagi segmen SB dan SC, jadi koordinatnya didapati sebagai min aritmetik bagi hujungnya. Mari tuliskan koordinat tempat-tempat menarik kepada kami:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Mengetahui titik, kita dapati koordinat bagi vektor arah AE dan BF:

Koordinat vektor AE bertepatan dengan koordinat titik E, kerana titik A ialah asalan. Ia kekal untuk mencari kosinus sudut:

SUDUT ANTARA PESAWAT

Pertimbangkan dua satah α 1 dan α 2, masing-masing ditakrifkan oleh persamaan:

Di bawah sudut antara dua satah kita akan memahami salah satu sudut dihedral yang dibentuk oleh satah ini. Jelas sekali bahawa sudut antara vektor normal dan satah α 1 dan α 2 adalah sama dengan salah satu sudut dihedral bersebelahan yang ditunjukkan atau . sebab tu . Kerana Dan , Itu

.

Contoh. Tentukan sudut antara satah x+2y-3z+4=0 dan 2 x+3y+z+8=0.

Keadaan untuk keselarian dua satah.

Dua satah α 1 dan α 2 adalah selari jika dan hanya jika vektor normalnya selari, dan oleh itu .

Jadi, dua satah selari antara satu sama lain jika dan hanya jika pekali koordinat yang sepadan adalah berkadar:

atau

Keadaan serenjang satah.

Adalah jelas bahawa dua satah berserenjang jika dan hanya jika vektor normalnya berserenjang, dan oleh itu, atau .

Justeru, .

Contoh.

LURUS DI ANGKASA.

PERSAMAAN VEKTOR UNTUK GARIS.

PERSAMAAN LANGSUNG PARAMETRIK

Kedudukan garisan dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menyatakan mana-mana titik tetapnya M 1 dan vektor selari dengan garis ini.

Vektor yang selari dengan garis dipanggil panduan vektor baris ini.

Jadi biarkan garis lurus l melalui satu titik M 1 (x 1 , y 1 , z 1), terletak pada garis selari dengan vektor .

Pertimbangkan satu perkara yang sewenang-wenangnya M(x,y,z) pada garis lurus. Daripada rajah itu jelas bahawa .

Vektor dan adalah kolinear, jadi terdapat nombor sedemikian t, apa , di manakah pengganda t boleh mengambil sebarang nilai berangka bergantung pada kedudukan titik M pada garis lurus. Faktor t dipanggil parameter. Setelah menetapkan vektor jejari titik M 1 dan M masing-masing, melalui dan , kita memperoleh . Persamaan ini dipanggil vektor persamaan garis lurus. Ia menunjukkan bahawa bagi setiap nilai parameter t sepadan dengan vektor jejari sesuatu titik M, berbaring di atas garis lurus.

Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk koordinat. Perhatikan, bahawa, dan dari sini

Persamaan yang terhasil dipanggil parametrik persamaan garis lurus.

Apabila menukar parameter t perubahan koordinat x, y Dan z dan tempoh M bergerak dalam garis lurus.

PERSAMAAN KANONIKAL LANGSUNG

biarlah M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – titik terletak pada garis lurus l, Dan ialah vektor arahnya. Mari kita sekali lagi mengambil titik sewenang-wenangnya pada baris M(x,y,z) dan pertimbangkan vektor.

Adalah jelas bahawa vektor juga adalah kolinear, jadi koordinat sepadannya mestilah berkadar, oleh itu,

– berkanun persamaan garis lurus.

Nota 1. Ambil perhatian bahawa persamaan kanonik garis boleh didapati daripada parametrik dengan menghapuskan parameter t. Sesungguhnya, daripada persamaan parametrik yang kita perolehi atau .

Contoh. Tuliskan persamaan garis itu dalam bentuk parametrik.

Mari kita nyatakan , dari sini x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Biarkan garis lurus berserenjang dengan salah satu paksi koordinat, contohnya paksi lembu. Kemudian vektor arah garisan adalah serenjang lembu, oleh itu, m=0. Akibatnya, persamaan parametrik garis akan menjadi bentuk

Tidak termasuk parameter daripada persamaan t, kita memperoleh persamaan garis dalam bentuk

Walau bagaimanapun, dalam kes ini juga, kami bersetuju untuk menulis secara rasmi persamaan kanonik garis dalam bentuk . Oleh itu, jika penyebut salah satu pecahan ialah sifar, ini bermakna garis lurus adalah berserenjang dengan paksi koordinat yang sepadan.

Sama dengan persamaan kanonik sepadan dengan garis lurus yang berserenjang dengan paksi lembu Dan Oy atau selari dengan paksi Oz.

Contoh.

PERSAMAAN AM GARISAN LURUS SEBAGAI GARISAN PERSIMPANGAN DUA SATAH

Melalui setiap garis lurus di angkasa terdapat satah yang tidak terkira banyaknya. Mana-mana dua daripadanya, bersilang, mentakrifkannya dalam ruang. Akibatnya, persamaan mana-mana dua satah sedemikian, yang dipertimbangkan bersama, mewakili persamaan garis ini.

Secara umum, mana-mana dua satah tidak selari yang diberikan oleh persamaan am

tentukan garis lurus persilangan mereka. Persamaan ini dipanggil persamaan am lurus.

Contoh.

Bina garis yang diberikan oleh persamaan

Untuk membina garis lurus, cukup untuk mencari mana-mana dua titiknya. Cara paling mudah ialah memilih titik persilangan garis lurus dengan satah koordinat. Contohnya, titik persilangan dengan satah xOy kita perolehi daripada persamaan garis lurus, dengan andaian z= 0:

Setelah menyelesaikan sistem ini, kami dapati maksudnya M 1 (1;2;0).

Begitu juga dengan andaian y= 0, kita mendapat titik persilangan garis dengan satah xOz:

Daripada persamaan am garis lurus seseorang boleh beralih kepada persamaan kanonik atau parametriknya. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari titik tertentu M 1 pada garis lurus dan vektor arah garis lurus.

Koordinat titik M 1 kita peroleh daripada sistem persamaan ini, memberikan salah satu koordinat nilai arbitrari. Untuk mencari vektor arah, ambil perhatian bahawa vektor ini mestilah berserenjang dengan kedua-dua vektor normal Dan . Oleh itu, di luar vektor arah garis lurus l anda boleh mengambil produk vektor bagi vektor biasa:

.

Contoh. Berikan persamaan am bagi garis itu kepada bentuk kanonik.

Mari kita cari titik yang terletak pada garisan. Untuk melakukan ini, kami memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenangnya, sebagai contoh, y= 0 dan selesaikan sistem persamaan:

Vektor biasa satah yang menentukan garis mempunyai koordinat Oleh itu, vektor arah akan lurus

. Oleh itu, l: .

SUDUT ANTARA LURUS

sudut antara garis lurus dalam ruang kita akan memanggil mana-mana sudut bersebelahan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang dilukis melalui titik arbitrari selari dengan data.

Biarkan dua baris diberikan dalam ruang:

Jelas sekali, sudut φ antara garis lurus boleh diambil sebagai sudut antara vektor arah dan . Sejak , kemudian menggunakan formula untuk kosinus sudut antara vektor yang kita dapat