Simetri angka relatif kepada paksi. Simetri tengah dan paksi

I. . Simetri dalam matematik :

Konsep asas dan definisi.

Simetri paksi (definisi, pelan pembinaan, contoh)

Simetri tengah (definisi, pelan pembinaan, denganlangkah)

Meringkaskan jadual (semua hartanah, ciri)

Ii. . Aplikasi simetri:

1) Dalam matematik

2) Dalam Kimia

3) Dalam Biologi, Botani dan Zoologi

4) dalam seni, kesusasteraan dan seni bina

/dict/bse/article/00071/07200.htm.

/html/simmetr/index.html.

/sim/sim.ht.

/Index.html.

1. Konsep asas simetri dan jenisnya.

Konsep simetri P. r.ia adalah sepanjang sejarah manusia. Ia sudah dijumpai pada asal-usul pengetahuan manusia. Ia berasal dari hubungan dengan kajian organisma hidup, iaitu seseorang. Dan pengukir yang digunakan pada abad ke-5 SM. e. Perkataan "simetri" Yunani, ini bermakna "perkadaran, perkadaran, yang sama di lokasi bahagian-bahagian." Ia digunakan secara meluas tanpa menghapuskan arah sains moden. Ramai orang hebat yang mengandung tentang corak ini. Sebagai contoh, L. N. Tolstoy berkata: "Berdiri di hadapan papan hitam dan menarik angka yang berbeza di atasnya dengan kapur, saya tiba-tiba terkena pemikiran: mengapa simetri difahami dengan mata? Apakah simetri? Perasaan kongenital ini, saya menjawab diri saya sendiri. Apa itu berdasarkan? ". Benar-benar simetri adalah menyenangkan kepada mata. Yang tidak mengagumi simetri makhluk alam: daun, bunga, burung, haiwan; Atau ciptaan seseorang: bangunan, juruteknik, - semua fakta bahawa dari zaman kanak-kanak mengelilingi, oleh apa yang bertujuan untuk kecantikan dan keharmonian. Herman Vaile berkata: "Simetri adalah idea, di mana seseorang telah cuba memahami dan membuat pesanan, kecantikan dan kesempurnaan." Herman Vaile adalah ahli matematik Jerman. Kegiatannya jatuh pada separuh pertama abad kedua puluh. Ia adalah orang yang merumuskan definisi simetri, yang ditubuhkan untuk apa ciri-ciri untuk melihat kehadiran atau, sebaliknya, ketiadaan simetri dalam satu cara atau yang lain. Oleh itu, perwakilan yang ketat secara matematik dibentuk agak baru-baru ini - pada awal abad kedua puluh. Ia agak rumit. Kami bertukar dan sekali lagi ingat definisi yang diberikan kepada kami dalam buku teks.

2. Simetri Axial.

2.1 Definisi utama.

Definisi. Dua mata A dan 1 dipanggil simetri yang agak mengarahkan A, jika ini langsung melepasi bahagian tengah segmen AA 1 dan berserenjang dengannya. Setiap titik lurus dan dianggap simetri.

Definisi. Angka itu dipanggil simetri yang agak langsung tetapiJika bagi setiap angka angka simetri kepada saudara yang langsung tetapi juga tergolong dalam angka ini. Lurus tetapi dipanggil paksi bentuk simetri. Ia juga mengatakan bahawa angka itu mempunyai simetri paksi.

2.2 membina rancangan

Dan sebagainya, untuk membina tokoh simetri dengan garis yang agak lurus dari setiap titik, kita menjalankan berserenjang dengan langsung ini dan melanjutkannya ke jarak yang sama, menandakan titik yang terhasil. Jadi kita lakukan dengan setiap titik, kita mendapat puncak simetri dari angka baru. Kemudian mereka menghubungkan mereka secara berturut-turut dan kami mendapat tokoh simetri paksi relatif ini.

2.3 Contoh angka dengan simetri paksi.

3. Simetri Tengah.

3.1 Definisi utama.

Definisi. Dua mata A dan A 1 dipanggil simetri relatif ke titik O, jika pertengahan segmen AA 1. Titik o dianggap simetri.

Definisi. Angka itu dipanggil simetri tentang titik O jika untuk setiap angka angka simetris kepadanya relatif kepada titik tentang juga kepunyaan angka ini.

3.2 Pelan Pembinaan

Membina segitiga simetri yang diberikan relatif kepada pusat O.

Untuk membina titik, titik simetri Tetapiberbanding dengan titik Kira-kira, sudah cukup untuk menghabiskan lurus Oa.(Rajah 46 ) dan di sisi lain dari titik itu Kira-kiramemerah Oa.. Dalam kata lain , mata A I. ; Masuk dan ; Dengan I. Simetri relatif kepada beberapa titik O. dalam Rajah. 46 segitiga yang dibina, segitiga simetri Abc. berbanding dengan titik Kira-kira.Segitiga ini sama.

Membina mata simetri berbanding dengan pusat.

Dalam angka titik M dan M 1, N dan N 1, simetri berkenaan dengan titik O, dan mata P dan Q tidak bersemetrik mengenai perkara ini.

Secara umum, angka, simetri relatif kepada beberapa titik, adalah sama .

3.3 Contoh

Kami memberi contoh angka dengan simetri pusat. Angka yang paling mudah yang memiliki simetri pusat adalah bulatan dan paralelogram.

Titik o dipanggil pusat simetri angka itu. Dalam kes sedemikian, angka itu mempunyai simetri pusat. Pusat simetri bulatan adalah pusat lilitan, dan paralelogram pusat simetri adalah titik persimpangan diagonalnya.

Lurus juga mempunyai simetri pusat, bagaimanapun, berbeza dengan bulatan dan paralelogram yang hanya mempunyai satu pusat simetri (titik oh dalam angka), terdapat banyak yang tidak terhingga - mana-mana titik langsung adalah pusat simetri.

Angka-angka menunjukkan sudut simetri relatif kepada puncak, segmen simetri ke segmen lain berbanding dengan pusat Tetapi dan quadrangle simetri berbanding dengan puncaknya M.

Satu contoh angka yang tidak mempunyai pusat simetri adalah segitiga.

4. Pelajaran hasil

Meringkaskan pengetahuan yang diperolehi. Hari ini, pada pelajaran, kami bertemu dengan dua jenis utama simetri: pusat dan paksi. Mari lihat skrin dan sistematalkan pengetahuan yang diperolehi.

Meringkaskan jadual

	Simetri paksi.	Simetri tengah.
Ciri	Semua titik angka itu harus bersemangat mengenai beberapa garis lurus.	Semua mata dari angka itu harus, simetri berkenaan dengan titik yang dipilih sebagai pusat simetri.
Sifat	1. Titik simetri terletak pada serenjang dengan garis lurus. 3. Peralihan langsung ke lurus, sudut dalam sudut yang sama. 4. Saiz dan bentuk disimpan.	1. Titik simetri terletak pada garis lurus yang melewati pusat dan titik ini. 2. Jarak dari titik ke lurus sama dengan jarak dari garis lurus ke titik simetri. 3. Saiz dan bentuk disimpan.

Ii. Penggunaan simetri

© Elena Vladimirovna Sukhacheva, 2008-2009.

Pertimbangkan simetri paksi dan tengah sebagai sifat beberapa bentuk geometri; Pertimbangkan simetri paksi dan tengah sebagai sifat beberapa bentuk geometri; Dapat membina titik simetri dan dapat mengenali angka-angka yang bersifat simetri kepada titik atau lurus; Dapat membina titik simetri dan dapat mengenali angka-angka yang bersifat simetri kepada titik atau lurus; Memperbaiki kemahiran menyelesaikan masalah; Memperbaiki kemahiran menyelesaikan masalah; Teruskan kerja mengenai ketepatan rakaman dan melakukan lukisan geometri; Teruskan kerja mengenai ketepatan rakaman dan melakukan lukisan geometri;

Kerja lisan "Survei yang membosankan" kerja lisan "Survei yang membosankan" Apa gunanya dipanggil tengah segmen? Segitiga apa yang dipanggil chagrin sama? Apa harta yang diagonal rhombus? Perkataan sifat-sifat bisector segitiga yang boleh disahkan. Apakah yang langsung dipanggil berserenjang? Segitiga apa yang dipanggil sama? Apakah harta yang dilakukan diagonal dari segi persegi? Angka apa yang dipanggil sama?

Apa konsep baru di pelajaran yang dipenuhi? Apa konsep baru di pelajaran yang dipenuhi? Apa yang baru dipelajari tentang angka geometri? Apa yang baru dipelajari tentang angka geometri? Berikan contoh angka geometri dengan simetri paksi. Berikan contoh angka geometri dengan simetri paksi. Berikan contoh angka dengan simetri pusat. Berikan contoh angka dengan simetri pusat. Berikan contoh objek dari kehidupan sekitar, memiliki satu atau dua jenis simetri. Berikan contoh objek dari kehidupan sekitar, memiliki satu atau dua jenis simetri.

Objektif:

• pendidikan:
  • memberi idea simetri;
  • memperkenalkan jenis utama simetri di atas kapal terbang dan di angkasa;
  • membangunkan kemahiran yang kuat untuk membina angka simetri;
  • memperluas idea tentang angka terkenal, memperkenalkan sifat yang berkaitan dengan simetri;
  • menunjukkan kemungkinan menggunakan simetri apabila menyelesaikan pelbagai tugas;
  • menyatukan pengetahuan yang diperoleh;
• pendidikan umum:
  • mengajar untuk mengkonfigurasi diri anda untuk bekerja;
  • untuk mengajar anda untuk mengawal kawalan dan jiran di meja;
  • mengajar diri mereka untuk menilai diri anda dan jiran di atas meja;
• membangun:
  • memperhebatkan aktiviti bebas;
  • membangunkan aktiviti kognitif;
  • belajarlah untuk mengemukakan dan sistematisasi maklumat yang diperoleh;
• pendidikan:
  • membawa perasaan bahu pelajar ";
  • mendidik komunikasi;
  • kami menanamkan budaya komunikasi.

Semasa kelas

Sebelum setiap gunting bawah dan lembaran kertas.

Latihan 1.(3 min).

- Ambil sekeping kertas, lipatnya untuk mendapatkannya dan potong beberapa ciri. Sekarang kita akan menghantar helaian dan melihat garis lipat.

Soalan: Fungsi apa yang dilakukan oleh baris ini?

Anggaran Jawapan: Baris ini membahagikan angka pada separuh.

Soalan: Bagaimanakah semua titik angka pada dua badan separuh badan?

Anggaran Jawapan: Semua titik bahagian berada pada jarak yang sama dari garisan lipatan dan pada tahap yang sama.

- Jadi, garis lipat membahagikan angka dalam separuh sehingga 1 setengah adalah salinan 2 bahagian, iaitu. Barisan ini tidak mudah, ia mempunyai harta yang indah (semua mata berbanding dengannya berada di jarak yang sama), baris ini adalah paksi simetri.

Tugas 2. (2 minit).

- Potong kepingan salji, cari paksi simetri, cirikannya.

Tugas 3. (5 minit).

- Pegang bulatan dalam buku nota.

Soalan: Tentukan bagaimana paksi simetri pas?

Anggaran Jawapan: Berbeza.

Soalan: Jadi berapa banyak paksi simetri mempunyai bulatan?

Anggaran Jawapan: Ramai.

- Betul, bulatan mempunyai banyak paksi simetri. Angka yang sama yang sama adalah bola (angka spatial)

Soalan: Apa angka lain yang tidak mempunyai satu paksi simetri?

Anggaran Jawapan: Persegi, segiempat tepat, keseimbangan dan segitiga sama sisi.

- Pertimbangkan angka volumetrik: kiub, piramid, kerucut, silinder, dll. Angka-angka ini juga mempunyai paksi simetri. Mengarahkan berapa paksi simetri di persegi, segiempat tepat, segitiga sama sisi dan angka volum yang dicadangkan?

Saya mengedarkan pelajar kepada separuh daripada tokoh plastik.

Tugas 4. (3 min).

- Menggunakan maklumat yang diperolehi, tarik bahagian yang hilang dari angka itu.

Nota: Angka itu mungkin satah, dan volumetrik. Adalah penting bahawa pelajar menentukan bagaimana paksi simetri berlalu, dan elemen yang hilang meninggal dunia. Ketepatan pelaksanaan menentukan jiran di meja, menilai betapa betul kerja itu dilakukan.

Satu baris (tertutup, dikunci, dengan persimpangan diri, tanpa persimpangan diri) dibentangkan dari renda di desktop.

Tugas 5. (Kerja Kumpulan 5 min).

- Tentukan paksi visual simetri dan relatif kepadanya untuk menyelesaikan bahagian kedua dari renda warna lain.

Ketepatan kerja yang dilakukan ditentukan oleh para pelajar sendiri.

Unsur-unsur lukisan dibentangkan di hadapan pelajar.

Tugas 6. (2 minit).

- Cari bahagian simetri lukisan ini.

Untuk memastikan bahan yang diluluskan, saya mencadangkan tugas-tugas berikut yang disediakan selama 15 minit:

Namakan semua unsur yang sama segitiga Cor dan Com. Apakah jenis segitiga ini?

2. Meningkatkan buku nota beberapa segitiga yang dirantai sama dengan asas yang dikongsi bersama dengan 6 cm.

3. Reka bentuk segmen AB. Membina segmen berserenjang langsung AV dan melalui pertengahan. Tandakan di atasnya Mata C dan D supaya segiempat dari ASD telah simetri berkenaan dengan AV langsung.

- Idea awal kami tentang bentuk tergolong dalam era yang sangat jauh dari abad kuno - Paleolithic. Semasa beratus-ratus millennia dalam tempoh ini, orang tinggal di gua, dalam keadaan perbezaan haiwan kecil. Orang yang membuat alat untuk memburu dan perikanan, membangunkan lidah untuk berkomunikasi antara satu sama lain, dan dalam era Paleolitik yang lewat, menghiasi kewujudan mereka, mewujudkan karya seni, patung dan lukisan di mana perasaan bentuk yang luar biasa dijumpai.
Apabila terdapat peralihan dari koleksi makanan mudah untuk pengeluaran aktif, dari memburu dan memancing ke arah pertanian, manusia memasuki zaman batu baru, di Neolitik.
Lelaki Neolitik mempunyai rasa geometri yang tajam. Menembak dan mewarna kapal tanah liat, pembuatan tikar reed, bakul, kain, kemudian - rawatan logam menghasilkan idea tentang pesawat dan angka spasial. Perhiasan Neolitik menyertai mata, mengesan kesaksamaan dan simetri.
- Dan di manakah simetri berlaku dalam alam semula jadi?

Anggaran Jawapan: Wings of Butterflies, Kumbang, Daun Pokok ...

- Simetri boleh diperhatikan dalam seni bina. Bangunan bangunan, pembina dengan jelas mematuhi simetri.

Oleh itu, bangunan sangat cantik. Juga, contoh simetri adalah orang, haiwan.

Tugas untuk rumah:

1. Datang dengan perhiasan anda, menggambarkannya pada helaian lembaran A4 (boleh ditarik dalam bentuk permaidani).
2. Lukis rama-rama, perhatikan di mana unsur-unsur simetri hadir.

Konsep gerakan

Kami akan mula menganalisis konsep seperti itu sebagai pergerakan.

Definisi 1.

Paparan satah disebut pergerakan pesawat jika cakera disimpan dengan jarak.

Terdapat beberapa teorem yang berkaitan dengan konsep ini.

Teorem 2.

Segi tiga, semasa memandu, masuk ke dalam segitiga yang sama.

Teorem 3.

Mana-mana angka, semasa memandu, masuk ke dalam angka yang sama dengannya.

Simetri paksi dan pusat adalah contoh pergerakan. Pertimbangkan mereka dengan lebih terperinci.

Simetri paksi.

Definisi 2.

The Points $ A $ dan $ A_1 $ dipanggil simetri yang agak langsung $ A $, jika langsung ini berserenjang dengan segmen $ (aa) _1 $ dan melewati pusatnya (Rajah 1).

Gambar 1.

Pertimbangkan simetri paksi atas contoh tugas.

Contoh 1.

Membina segitiga simetri untuk segitiga yang diberikan mengenai mana-mana pihak.

Keputusan.

Marilah kita menerima segitiga $ ABC $. Kami akan membinanya simetri mengenai sisi $ BC $. Sisi $ BC $ pada simetri paksi akan pergi ke dirinya sendiri (mengikuti dari definisi). $ Titik $ akan pergi ke $ A_1 Point seperti berikut: $ (AA) _1 \\ Bot BC $, $ (ah \u003d ha) _1 $. Segitiga $ ABC $ akan masuk ke $ A_1BC $ Triangle (Rajah 2).

Rajah 2.

Definisi 3.

Angka itu dipanggil simetri yang agak langsung $ A $ jika setiap titik simetri angka ini terkandung pada angka yang sama (Rajah 3).

Rajah 3.

Rajah $ 3 $ menunjukkan persegi panjang. Ia mempunyai simetri paksi berkenaan dengan setiap diameter, serta relatif kepada dua langsung, yang melalui pusat-pusat sisi bertentangan segi empat tepat ini.

Simetri tengah.

Definisi 4.

Mata $ x $ dan $ x_1 $ dipanggil simetrik relatif kepada $ o $ titik jika $ o $ adalah pusat segmen $ (xx) _1 $ (Rajah 4).

Rajah 4.

Pertimbangkan simetri tengah mengenai contoh tugas.

Contoh 2.

Membina segitiga simetri untuk segitiga ini mana-mana simpulnya.

Keputusan.

Marilah kita menerima segitiga $ ABC $. Kami akan membinanya simetri berbanding dengan $ A $ A $. The Vertex $ A $ di bawah simetri pusat akan pergi ke dirinya sendiri (mengikuti dari definisi). $ B $ Point akan beralih ke titik $ b_1 $ seperti berikut $ (BA \u003d AB) _1 $, dan titik $ C $ akan pergi ke titik $ C_1 $ seperti berikut: $ (ca \u003d ac) _1 $. Segitiga $ ABC $ akan masuk ke $ (AB) segi tiga _1c_1 $ (Rajah 5).

Rajah 5.

Definisi 5.

Angka itu adalah simetri relatif kepada $ o $ titik jika setiap titik simetri angka ini terkandung pada angka yang sama (Rajah 6).

Rajah 6.

Rajah $ 6 $ menunjukkan paralelogram. Ia mempunyai simetri pusat mengenai titik persimpangan diagonalnya.

Contoh Masalah.

Contoh 3.

Marilah kita mempunyai seksyen $ AB $. Membina simetri berkenaan dengan langsung $ L $, yang tidak menyeberangi segmen ini dan berbanding dengan $ C $ Point berbaring secara langsung $ L $.

Keputusan.

Saya akan menunjukkan secara skematik masalah masalah itu.

Rajah 7.

Kami akan ditunjukkan untuk memulakan simetri paksi berkenaan dengan langsung $ L $. Oleh kerana simetri paksi bergerak, maka mengikut $ 1 $ teorem, segmen $ $ $ dipaparkan pada segmen yang sama $ A "B" $. Untuk membinanya, kami akan melakukan perkara berikut: Saya akan menghabiskan melalui mata $ a \\ dan \\ b $ lurus $ m \\ dan \\ n $, serenjang dengan langsung $ L $. Biarkan $ m \\ cap l \u003d x, \\ n \\ cap l \u003d y $. Seterusnya, kami akan menjalankan segmen $ A "X \u003d AX $ dan $ B" Y \u003d oleh $.

Rajah 8.

Tunjukkan sekarang simetri pusat berbanding titik $ C $. Sejak simetri pusat adalah pergerakan, maka menurut $ 1 $ teorem, $ $ $ segmen dipaparkan pada segmen yang sama $ A "B" $. Untuk membinanya, kami akan melakukan perkara berikut: Kami akan menghabiskan $ AC \\ dan \\ BC $. Seterusnya, kami akan menjalankan segmen $ A ^ ("") c \u003d AC $ dan $ b ^ ("") c \u003d BC $.

Rajah 9.

Jadi, berkenaan dengan geometri: memperuntukkan tiga jenis utama simetri.

Pada mulanya, simetri tengah (atau simetri berbanding dengan titik) - Ini adalah transformasi pesawat (atau ruang), di mana satu-satunya titik (titik O - pusat simetri) kekal di tempat, mata yang tinggal mengubah kedudukan mereka: bukannya titik, dan kita mendapat titik A1 seperti itu bahawa titik tentang bahagian tengah segmen AA1. Untuk membina angka F1, seorang tokoh simetrik berbanding dengan titik O, perlu melalui setiap titik angka F untuk menarik sinar yang melewati titik o (pusat simetri), dan pada rasuk ini untuk menangguhkan titik, Simetrik dipilih berbanding dengan titik O. Banyak mata yang dibina dengan cara ini akan memberi angka F1.

Kepentingan yang besar adalah angka-angka yang mempunyai pusat simetri: apabila simetri berbanding dengan titik apa pun, Figurift F ditukar lagi ke dalam beberapa titik angka F. Angka-angka seperti geometri berlaku banyak. Sebagai contoh: Segmen (pertengahan segmen - pusat simetri), lurus (mana-mana titik - pusat simetrinya), bulatan (tengah bulatan - pusat simetri), segi empat tepat (titik persimpangan diagonalnya adalah pusat simetri ). Banyak objek simetri tengah dalam alam yang meriah dan tidak bernyawa (pelajar mesej). Selalunya orang sendiri membuat objek yang mempunyai pusat simetrII (contoh jarum, contoh kejuruteraan, contoh dari seni bina dan banyak contoh lain).

Kedua, simetri paksi (atau simetri agak lurus) - Ini adalah transformasi pesawat (atau ruang), di mana hanya mata langsung P tetap di tempat (langsung ini adalah paksi simetri), mata yang tinggal mengubah kedudukan mereka: bukan satu titik dalam mendapatkan apa-apa titik B1, Bahawa garis lurus P adalah pertengkaran pertengahan dengan soal siasat BB1. Untuk membina angka F1, angka simetrik F, garis yang agak lurus, adalah perlu bagi setiap titik angka F untuk membina satu titik, simetri kepadanya dengan relatif langsung p. Ramai dari semua titik yang dibina dan memberikan angka yang diingini F1. Terdapat banyak bentuk geometri yang mempunyai paksi simetri.

Rectangle mempunyai dua, dalam persegi - empat, dalam bulatan - apa-apa langsung, melalui pusatnya. Jika anda melihat huruf abjad, maka di antara mereka, anda boleh mendapati mempunyai yang mendatar atau menegak, dan kadang-kadang kedua-dua paksi simetri. Objek yang mempunyai paksi simetri sering dijumpai dalam sifat hidup dan tidak bernyawa (laporan pelajar). Dalam kegiatannya, seseorang mencipta banyak objek (contohnya, perhiasan), mempunyai beberapa paksi simetri.

______________________________________________________________________________________________________

Ketiga, plane (cermin) simetri (atau simetri berbanding dengan pesawat) - Ini adalah penukaran ruang di mana hanya titik satu pesawat mengekalkan lokasi mereka (α-satah simetri), tempat yang tinggal ruang mengubah kedudukan mereka: bukannya titik C, ternyata apa-apa titik C1, Yang pesawat α melewati bahagian tengah segmen CC1 berserenjang dengannya.

Untuk membina angka F1, angka simetri berbanding dengan pesawat α, adalah perlu bagi setiap titik angka F untuk membina relatif simetri kepada titik α, mereka berada dalam set dan membentuk angka F1.

Selalunya di dunia di sekeliling kita dan objek kita mempunyai badan volumetrik. Dan beberapa badan ini mempunyai pesawat simetri, kadang-kadang ada beberapa. Dan orang itu sendiri dalam kegiatannya (pembinaan, jarum, pemodelan, ...) mencipta objek yang mempunyai satah simetri.

Perlu diingat bahawa bersama dengan tiga spesies simetri yang disenaraikan, memperuntukkan (dalam seni bina)mudah alih dan berputaryang dalam geometri adalah komposisi beberapa pergerakan.