බහුපදයක් සාධක කිරීම. 1 කොටස

සාධකකරණයසංකීර්ණ සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳීමට උපකාර වන විශ්වීය තාක්ෂණයකි. දකුණු පැත්ත ශුන්‍ය වන සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳීමේදී මතකයට නැඟිය යුතු පළමු සිතුවිල්ල වන්නේ වම් පැත්ත සාධකකරණය කිරීමට උත්සාහ කිරීමයි.

අපි ප්රධාන වශයෙන් ලැයිස්තුගත කරමු බහුපදයක් සාධකකරණය කිරීමේ ක්‍රම:

• පොදු සාධකය වරහනෙන් පිටතට ගැනීම
• සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතය
• හතරැස් ත්‍රිපදයක් සාධක කිරීමේ සූත්‍රය මගින්
• කණ්ඩායම් ක්රමය
• බහුපදයක් ද්විපදයකින් බෙදීම
• අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය

මෙම ලිපියෙන් අපි පළමු ක්‍රම තුන ගැන විස්තරාත්මකව වාසය කරමු, ඉතිරිය පහත ලිපි වලින් සාකච්ඡා කෙරේ.

1. පොදු සාධකය වරහනෙන් පිටතට ගැනීම.

පොදු සාධකය වරහනෙන් ඉවත් කිරීමට, ඔබ මුලින්ම එය සොයා ගත යුතුය. පොදු ගුණක සංගුණකයසියලු සංගුණකවල ශ්රේෂ්ඨතම පොදු බෙදුම්කරුට සමාන වේ.

අකුරු කොටසපොදු සාධකය කුඩාම ඝාතකය සමඟ එක් එක් පදය සෑදෙන ප්‍රකාශනවල ගුණිතයට සමාන වේ.

පොදු සාධකයක් ඉවත් කිරීමේ යෝජනා ක්රමය මේ වගේ ය:

අවධානය!
වරහන් තුළ ඇති පද ගණන මුල් ප්‍රකාශනයේ ඇති පද ගණනට සමාන වේ. එක් පදයක් පොදු සාධකය සමඟ සමපාත වන්නේ නම්, එය පොදු සාධකයෙන් බෙදූ විට, අපට එකක් ලැබේ.

උදාහරණ 1

බහුපද සාධක කරන්න:

අපි පොදු සාධකය වරහන් වලින් ඉවත් කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි මුලින්ම එය සොයා ගනිමු.

1. බහුපදයේ සියලුම සංගුණකවල ශ්රේෂ්ඨතම පොදු බෙදුම්කරු සොයන්න, i.e. අංක 20, 35 සහ 15. එය 5 ට සමාන වේ.

2. විචල්‍යය සියලු පදවල අඩංගු වන බවත්, එහි කුඩාම ඝාතය 2. විචල්‍යය සියලු පදවල අඩංගු වන අතර, එහි ඝාතනවලින් කුඩාම 3 වන බවත් අපි තහවුරු කරමු.

විචල්‍යය අඩංගු වන්නේ දෙවන පදයේ පමණි, එබැවින් එය පොදු සාධකයේ කොටසක් නොවේ.

එබැවින් පොදු සාධකය වේ

3. ඉහත යෝජනා ක්රමය භාවිතා කර අපි සාධකය ඉවත් කරමු:

උදාහරණ 2සමීකරණය විසඳන්න:

විසඳුමක්. සමීකරණයේ වම් පැත්ත සාධකකරණය කරමු. අපි සාධකය වරහන් වලින් ඉවත් කරමු:

ඉතින් අපිට සමීකරණය ලැබුණා

සෑම සාධකයක්ම බිංදුවට සමාන කරන්න:

අපට ලැබෙන්නේ - පළමු සමීකරණයේ මූලය.

මුල්:

පිළිතුර: -1, 2, 4

2. සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතයෙන් සාධකකරණය.

අපි සාධකකරණය කිරීමට යන බහුපදයේ පද ගණන තුනට වඩා අඩු හෝ සමාන නම්, අපි අඩු කළ ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර යෙදීමට උත්සාහ කරමු.

1. බහුපද නම්පද දෙකක වෙනස, පසුව අපි අයදුම් කිරීමට උත්සාහ කරමු වර්ග සූත්‍රයේ වෙනස:

හෝ ඝනක වෙනස සූත්රය:

මෙන්න අකුරු සහ සංඛ්‍යාවක් හෝ වීජීය ප්‍රකාශනයක් දක්වන්න.

2. බහුපද යනු පද දෙකක එකතුව නම්, සමහර විට එය භාවිතා කර සාධක කළ හැක ඝනක එකතුව සඳහා සූත්ර:

3. බහුපද පද තුනකින් සමන්විත නම්, අපි අයදුම් කිරීමට උත්සාහ කරමු එකතුව වර්ග සූත්‍රය:

හෝ වෙනස වර්ග සූත්‍රය:

නැතහොත් අපි සාධකකරණය කිරීමට උත්සාහ කරමු හතරැස් ත්‍රිපදයක් සාධක කිරීම සඳහා වූ සූත්‍රය:

මෙන්න සහ චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් වේ

උදාහරණය 3ප්රකාශනය සාධක කිරීම:

විසඳුමක්. අපට ඇත්තේ පද දෙකක එකතුවකි. කැට එකතුව සඳහා සූත්රය යෙදීමට උත්සාහ කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ පළමුව එක් එක් පදය යම් ප්‍රකාශනයක ඝනකයක් ලෙස නිරූපණය කළ යුතු අතර, පසුව කැට එකතුව සඳහා සූත්‍රය යෙදිය යුතුය:

උදාහරණය 4ප්රකාශනය සාධක කිරීම:

විසඳුමක්. අපට ඉදිරියෙන් ඇත්තේ ප්‍රකාශන දෙකක වර්ගවල වෙනසයි. පළමු ප්රකාශනය: , දෙවන ප්රකාශනය:

වර්ග වෙනස සඳහා සූත්‍රය යොදමු:

අපි වරහන් විවෘත කර සමාන කොන්දේසි ලබා දෙමු, අපට ලැබෙන්නේ:

මාර්ගගත ගණක යන්ත්‍රය.
ද්විපදයේ වර්ග තෝරා ගැනීම සහ වර්ග ත්‍රිපදයේ සාධකකරණය.

එම. \(p, q \) සහ \(n, m \) ඉලක්කම් සොයා ගැනීම දක්වා ගැටළු අඩු වේ.

වැඩසටහන ගැටළුවට පිළිතුර ලබා දෙනවා පමණක් නොව, විසඳුම් ක්රියාවලිය ද පෙන්වයි.

මෙම වැඩසටහන උසස් පාසැල් සිසුන්ට පරීක්ෂණ සහ විභාග සඳහා සූදානම් වීමේදී, ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයට පෙර දැනුම පරීක්ෂා කිරීමේදී, ගණිතය හා වීජ ගණිතයේ බොහෝ ගැටලු විසඳීමට දෙමාපියන්ට ප්‍රයෝජනවත් විය හැකිය. එසේත් නැතිනම් ඔබට උපදේශකයෙකු කුලියට ගැනීම හෝ නව පෙළපොත් මිලදී ගැනීම මිල අධිකද? එසේත් නැතිනම් ඔබට හැකි ඉක්මනින් ඔබේ ගණිතය හෝ වීජ ගණිතය ගෙදර වැඩ කිරීමට අවශ්‍යද? මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟ අපගේ වැඩසටහන් භාවිතා කළ හැකිය.

මේ ආකාරයෙන්, විසඳිය යුතු කාර්යයන් ක්ෂේත්‍රයේ අධ්‍යාපන මට්ටම වැඩි වන අතරම, ඔබට ඔබේම පුහුණුව සහ/හෝ ඔබේ බාල සහෝදර සහෝදරියන්ගේ පුහුණුව පැවැත්විය හැකිය.

හතරැස් ත්‍රිපදයක් ඇතුළත් කිරීමේ නීති ඔබ නොදන්නේ නම්, ඔබ ඒවා ගැන හුරුපුරුදු වන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු.

හතරැස් බහුපදයක් ඇතුල් කිරීම සඳහා නීති

ඕනෑම ලතින් අකුරක් විචල්‍යයක් ලෙස ක්‍රියා කළ හැක.
උදාහරණයක් ලෙස: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ආදිය.

සංඛ්‍යා පූර්ණ සංඛ්‍යා හෝ භාග ලෙස ඇතුළත් කළ හැක.
එපමණක්ද නොව, භාගික සංඛ්යා දශම ආකාරයෙන් පමණක් නොව, සාමාන්ය භාගයක ආකාරයෙන්ද ඇතුළත් කළ හැකිය.

දශම භාග ඇතුළත් කිරීම සඳහා නීති.
දශම භාගයේදී, පූර්ණ සංඛ්‍යාවෙන් භාගික කොටස තිතකින් හෝ කොමාවකින් වෙන් කළ හැක.
උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට මෙවැනි දශමයන් ඇතුළත් කළ හැක: 2.5x - 3.5x^2

සාමාන්ය භාග ඇතුළත් කිරීම සඳහා නීති.
භාගයක සංඛ්‍යාව, හරය සහ පූර්ණ සංඛ්‍යාව ලෙස ක්‍රියා කළ හැක්කේ පූර්ණ සංඛ්‍යාවකට පමණි.

හරය සෘණ විය නොහැක.

සංඛ්‍යාත්මක භාගයක් ඇතුළත් කිරීමේදී, සංඛ්‍යාංකය බෙදුම් ලකුණකින් හරයෙන් වෙන් කරනු ලැබේ: /
පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටස කොටසෙන් වෙන් කර ඇත්තේ ඇම්පර්සන්ඩ් එකකින්: &
ආදානය: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
ප්‍රතිඵලය: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

ප්රකාශනයක් ඇතුල් කරන විට ඔබට වරහන් භාවිතා කළ හැකිය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, විසඳන විට, හඳුන්වා දුන් ප්රකාශනය මුලින්ම සරල කරනු ලැබේ.
උදාහරණයක් ලෙස: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

සවිස්තරාත්මක විසඳුම් උදාහරණය

ද්විපදයේ වර්ග තේරීම.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \දකුණ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \දකුණ)^2-\frac(9)(2) = $$ $2\වම (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \දකුණ)^2 \දකුණ)-\frac(9 )(2) = $$ $2\වම(x+\frac(1)(2) \දකුණ)^2-\frac(9)(2) $$ පිළිතුර:$$2x^2+2x-4 = 2\වම(x+\frac(1)(2) \දකුණ)^2-\frac(9)(2) $$ සාධකකරණය.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\වම(x^2+x-2 \දකුණ) = $$
$$ 2 \වම(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \දකුණ) = $$ $$ 2 \වම(x -1 \දකුණ) \වම(x +2 \දකුණ) $$ පිළිතුර:$$2x^2+2x-4 = 2 \වම(x -1 \දකුණ) \වම(x +2 \දකුණ) $$

මෙම කාර්යය විසඳීමට අවශ්‍ය සමහර ස්ක්‍රිප්ට් පූරණය කර නොමැති බව සොයා ගන්නා ලද අතර, වැඩසටහන ක්‍රියා නොකරනු ඇත.
ඔබට AdBlock සක්‍රීය කර තිබිය හැක.
මෙම අවස්ථාවේදී, එය අක්රිය කර පිටුව නැවුම් කරන්න.

නිසා ප්‍රශ්නය විසඳන්න ඕන ගොඩක් අය ඉන්නවා, ඔයාගේ ඉල්ලීම පෝලිමේ.
තත්පර කිහිපයකට පසු, විසඳුම පහත දිස්වනු ඇත.
කරුණාකර ඉන්න තත්පර...

ඔබ නම් විසඳුමේ දෝෂයක් දක්නට ලැබුණි, එවිට ඔබට ඒ ගැන ප්‍රතිපෝෂණ පෝරමයේ ලිවිය හැක.
අමතක කරන්න එපා කුමන කාර්යයද යන්න දක්වන්නඔබ තීරණය කරන්න ක්ෂේත්ර තුළට ඇතුල් කරන්න.

අපගේ ක්‍රීඩා, ප්‍රහේලිකා, ඉමුලේටර්:

න්‍යාය ටිකක්.

හතරැස් ත්‍රිපදයකින් වර්ග ද්විපදයක් උපුටා ගැනීම

p සහ q තාත්වික සංඛ්‍යා වන ත්‍රිපද අක්ෂය 2 + bx + c (x + p) 2 + q ලෙස නිරූපණය කරන්නේ නම්, ඔවුන් පවසන්නේ වර්ග ත්‍රිපද, ද්විපදයේ වර්ග උද්දීපනය කෙරේ.

අපි 2x 2 +12x+14 යන ත්‍රිපදයෙන් ද්විපදයේ වර්ගය උපුටා ගනිමු.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි 2 * 3 * x හි නිෂ්පාදනයක් ලෙස 6x නියෝජනය කරන්නෙමු, ඉන්පසු 3 2 එකතු කර අඩු කරන්න. අපට ලැබෙන්නේ:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

බව. අප වර්ග ත්‍රිපදයෙන් ද්විපදයේ වර්ග තෝරන ලදී, සහ එය පෙන්වූයේ:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

හතරැස් ත්‍රිකෝණයක සාධකකරණය

හතරැස් ත්‍රිපද අක්ෂය 2 +bx+c a(x+n)(x+m) ලෙස නිරූපණය කරන්නේ නම්, n සහ m තාත්වික සංඛ්‍යා වන විට, මෙහෙයුම සිදු කළ බව කියනු ලැබේ. හතරැස් ත්‍රිකෝණයක සාධකකරණය.

මෙම පරිවර්තනය සිදු කරන ආකාරය පෙන්වීමට උදාහරණයක් භාවිතා කරමු.

2x 2 + 4x-6 වර්ග ත්‍රිකෝණය සාධකකරණය කරමු.

අපි සංගුණකය a වරහන් වලින් ඉවතට ගනිමු, i.e. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

වරහන් තුළ ප්‍රකාශනය පරිවර්තනය කරමු.
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි 2x වෙනස 3x-1x ලෙසත්, -3 -1 * 3 ලෙසත් නියෝජනය කරමු. අපට ලැබෙන්නේ:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

බව. අප හතරැස් ත්‍රිකෝණය සාධක කරන්න, සහ එය පෙන්වූයේ:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

හතරැස් ත්‍රිපදයක සාධකකරණය කළ හැක්කේ මෙම ත්‍රිපදයට අනුරූප චතුරස්‍ර සමීකරණයට මූලයන් ඇති විට පමණක් බව සලකන්න.
එම. අපගේ නඩුවේදී, 2x 2 +4x-6 යන ත්‍රිකෝණාකාරය 2x 2 +4x-6 =0 යන චතුරස්‍ර සමීකරණයට මූලයන් තිබේ නම් එය සාධකගත කළ හැක. සාධක කිරීමේ ක්‍රියාවලියේදී, 2x 2 +4x-6 =0 සමීකරණයට 1 සහ -3 මූල දෙකක් ඇති බව අපට පෙනී ගියේය. මෙම අගයන් සමඟ, 2(x-1)(x+3)=0 සමීකරණය සත්‍ය සමානාත්මතාවයක් බවට පත්වේ.

බහුපදවල සාධකකරණය සමාන පරිවර්තනයකි, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස බහුපදයක් සාධක කිහිපයක නිෂ්පාදනයක් බවට පරිවර්තනය වේ - බහුපද හෝ ඒකපද.

බහුපද සාධකකරණය කිරීමට ක්‍රම කිහිපයක් තිබේ.

ක්රමය 1. පොදු සාධකය වරහන් කිරීම.

මෙම පරිවර්තනය ගුණ කිරීමේ බෙදාහැරීමේ නියමය මත පදනම් වේ: ac + bc = c(a + b). පරිවර්තනයේ සාරය නම්, සලකා බලනු ලබන සංරචක දෙකෙහි පොදු සාධකය හුදකලා කිරීම සහ වරහන් වලින් "එය එළියට දැමීම" ය.

අපි බහුපද 28x 3 - 35x 4 සාධකකරණය කරමු.

විසඳුමක්.

1. මූලද්‍රව්‍ය 28x3 සහ 35x4 සඳහා පොදු භාජකයක් අපට හමු වේ. 28 සහ 35 සඳහා එය 7 වනු ඇත. x 3 සහ x 4 - x 3 සඳහා. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අපගේ පොදු සාධකය 7x3 වේ.

2. අපි එක් එක් මූලද්‍රව්‍ය නියෝජනය කරන්නේ සාධකවල නිෂ්පාදනයක් ලෙසයි, ඉන් එකක්
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. පොදු සාධකය වරහන් කිරීම
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

ක්රමය 2. සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්ර භාවිතා කිරීම. මෙම ක්‍රමය ප්‍රගුණ කිරීමේ "ප්‍රවීණත්වය" යනු සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීම සඳහා වන එක් සූත්‍රයක් ප්‍රකාශනයේ සඳහන් කිරීමයි.

අපි බහුපද x 6 - 1 සාධකකරණය කරමු.

විසඳුමක්.

1. අපට මෙම ප්‍රකාශනයට වර්ග සූත්‍රයේ වෙනස යෙදිය හැක. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි x 6 (x 3) 2 ලෙසත්, 1 1 2 ලෙසත්, i.e. 1. ප්රකාශනය ස්වරූපය ගනී:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. ලැබෙන ප්‍රකාශනයට, අපට කැටවල එකතුව සහ වෙනස සඳහා සූත්‍රය යෙදිය හැක:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

ඒ නිසා,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

ක්රමය 3. කණ්ඩායම් කිරීම. කණ්ඩායම් කිරීමේ ක්‍රමය සමන්විත වන්නේ බහුපදයක සංරචක ඒවා මත මෙහෙයුම් සිදු කිරීමට පහසු වන පරිදි ඒකාබද්ධ කිරීමයි (එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, පොදු සාධකයක් ගැනීම).

අපි බහුපද x 3 - 3x 2 + 5x - 15 සාධකකරණය කරමු.

විසඳුමක්.

1. සංරචක මේ ආකාරයෙන් කාණ්ඩ කරන්න: 1 වන 2 වෙනි, සහ 3 වෙනි 4 සමග
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. ලැබෙන ප්‍රකාශනයේ දී, අපි පොදු සාධක වරහන් වලින් ඉවත් කරමු: පළමු අවස්ථාවෙහි x 2 සහ දෙවන අවස්ථාවෙහි 5.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. අපි පොදු සාධකය x - 3 ඉවත් කර ලබා ගනිමු:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

ඒ නිසා,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).

ද්රව්යය සවි කරමු.

බහුපද a 2 - 7ab + 12b 2 සාධකය කරන්න.

විසඳුමක්.

1. අපි ඒකමතික 7ab 3ab + 4ab එකතුව ලෙස නියෝජනය කරන්නෙමු. ප්රකාශනය ස්වරූපය ගනී:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

අපි වරහන් විවෘත කර ලබා ගනිමු:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. බහුපදයේ සංරචක මේ ආකාරයෙන් කාණ්ඩගත කරන්න: 1 වන 2 වන සහ 3 වන 4 සමඟ. අපට ලැබෙන්නේ:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. අපි පොදු සාධක ඉවත් කරමු:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. අපි පොදු සාධකය ඉවත් කරමු (a - 3b):
a (a - 3b) - 4b (a - 3b) = (a - 3b) ∙ (a - 4b).

ඒ නිසා,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

blog.site, ද්රව්යයේ සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් පිටපත් කිරීම සමඟ, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.

වීජ ගණිතයේ "බහුපද" සහ "බහුපදයක සාධකකරණය" යන සංකල්ප ඉතා සුලභ වේ, මන්ද විශාල බහු-අගය සහිත සංඛ්‍යා සමඟ පහසුවෙන් ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම සඳහා ඔබ ඒවා දැන සිටිය යුතු බැවිනි. මෙම ලිපිය වියෝජන ක්රම කිහිපයක් විස්තර කරනු ඇත. ඒවා සියල්ලම භාවිතා කිරීම තරමක් සරල ය, ඔබ එක් එක් අවස්ථාවෙහි නිවැරදි එකක් තෝරා ගත යුතුය.

බහුපද සංකල්පය

බහුපදයක් යනු ඒකමතික එකතුවකි, එනම් ගුණ කිරීමේ ක්‍රියාව පමණක් අඩංගු ප්‍රකාශන වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, 2 * x * y යනු ඒකපදයකි, නමුත් 2 * x * y + 25 යනු බහුපදයකි, එය ඒකපද 2 කින් සමන්විත වේ: 2 * x * y සහ 25. එවැනි බහුපද ද්විපද ලෙස හැඳින්වේ.

සමහර විට, බහු අගයන් සහිත උදාහරණ විසඳීමේ පහසුව සඳහා, ප්‍රකාශනය පරිවර්තනය කළ යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස, නිශ්චිත සාධක ගණනකට දිරාපත් කළ යුතුය, එනම් ගුණ කිරීමේ මෙහෙයුම සිදු කරන සංඛ්‍යා හෝ ප්‍රකාශන අතර. බහුපදයක් ෆැක්ටරයිස් කිරීමට ක්‍රම කිහිපයක් තිබේ. ප්‍රාථමික පන්තිවල පවා භාවිතා වන වඩාත් ප්‍රාථමික සිට ඒවා සලකා බැලීම වටී.

සමූහගත කිරීම (සාමාන්‍ය ප්‍රවේශය)

පොදුවේ කාණ්ඩගත කිරීමේ ක්‍රමය මගින් බහුපදයක් සාධක බවට පත් කිරීමේ සූත්‍රය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

එක් එක් කණ්ඩායම තුළ පොදු සාධකයක් දිස්වන පරිදි මොනොමියල් කාණ්ඩගත කිරීම අවශ්‍ය වේ. පළමු වරහන් තුළ, මෙය c සාධකය වන අතර, දෙවන - d. එය වරහනෙන් පිටතට ගැනීම සඳහා මෙය කළ යුතු අතර එමඟින් ගණනය කිරීම් සරල කරයි.

නිශ්චිත උදාහරණයක් මත විසංයෝජන ඇල්ගොරිතම

කාණ්ඩගත කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමින් බහුපදයක් සාධක බවට පත් කිරීමේ සරලම උදාහරණය පහත දැක්වේ.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

පළමු වරහන තුළ, ඔබ a සාධකය සමඟ නියමයන් ගත යුතුය, එය පොදු වනු ඇත, සහ දෙවන - සාධකය b සමඟ. නිමි ප්‍රකාශනයේ + සහ - සලකුණු කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන්න. මුල් ප්‍රකාශනයේ තිබූ ලකුණ අපි ඒකාධිකාරය ඉදිරියේ තබමු. එනම්, ඔබ වැඩ කළ යුත්තේ 25a ප්‍රකාශනය සමඟ නොව, නමුත් -25 ප්‍රකාශනය සමඟ ය. අවාසි ලකුණ, එය පිටුපස ඇති ප්‍රකාශනයට “ඇලවූ” අතර සෑම විටම ගණනය කිරීම් වලදී එය සැලකිල්ලට ගනී.

මීලඟ පියවරේදී, ඔබ පොදු වන සාධකය වරහනෙන් ඉවත් කළ යුතුය. ඒකට තමයි කණ්ඩායම්කරණය කියන්නේ. එය වරහනෙන් ඉවත් කිරීම යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ වරහනට පෙර (ගුණ කිරීමේ ලකුණ මඟ හැරීම) වරහනේ ඇති සියලුම නියමයන් තුළ හරියටම පුනරාවර්තනය වන සියලුම සාධක ලිවීමයි. වරහන තුළ නියමයන් 2ක් නොව, 3ක් හෝ වැඩි ගණනක් තිබේ නම්, ඒ සෑම එකක් තුළම පොදු සාධකය අඩංගු විය යුතුය, එසේ නොමැති නම් එය වරහනෙන් පිටතට ගත නොහැක.

අපගේ නඩුවේදී, වරහන් තුළ පද 2 ක් පමණි. සමස්ත ගුණකය ක්ෂණිකව දිස්වේ. පළමු වරහන් a, දෙවැන්න b වේ. මෙහිදී ඔබ ඩිජිටල් සංගුණක කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ යුතුය. පළමු වරහනෙහි, සංගුණක දෙකම (10 සහ 25) 5 හි ගුණාකාර වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ a පමණක් නොව 5a ද වරහන් කළ හැකි බවයි. වරහනට පෙර, 5a ලියා, පසුව එක් එක් නියමයන් වරහන් තුළ ඇති පොදු සාධකයෙන් බෙදන්න, සහ + සහ - සලකුණු අමතක නොකර වරහන් තුළ quotient ලියන්න. දෙවන වරහන සමඟද එසේ කරන්න. , 7 හි 14 සහ 35 ගුණාකාර බැවින්, 7b පිටතට ගන්න.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

එය පද 2 ක් බවට පත් විය: 5a (2c - 5) සහ 7b (2c - 5). ඒ සෑම එකක්ම පොදු සාධකයක් අඩංගු වේ (මෙහි වරහන් තුළ ඇති සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය සමාන වේ, එනම් එය පොදු සාධකයකි): 2c - 5. එය ද වරහනෙන් ඉවත් කළ යුතුය, එනම් 5a සහ 7b යන නියමයන් දෙවන වරහන තුළ රැඳී සිටින්න:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

එබැවින් සම්පූර්ණ ප්රකාශනය මෙසේය.

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

මේ අනුව, බහුපද 10ac + 14bc - 25a - 35b සාධක 2කට වියෝජනය වේ: (2c - 5) සහ (5a + 7b). ලිවීමේදී ඒවා අතර ගුණ කිරීමේ ලකුණ මඟ හැරිය හැක

සමහර විට මෙම වර්ගයේ ප්‍රකාශන තිබේ: 5a 2 + 50a 3, මෙහිදී ඔබට a හෝ 5a පමණක් නොව 5a 2 පවා වරහන් කළ හැකිය. හැකි උපරිම පොදු සාධකය වරහනෙන් පිටතට ගැනීමට ඔබ සැමවිටම උත්සාහ කළ යුතුය. අපගේ නඩුවේදී, අපි එක් එක් පදය පොදු සාධකයකින් බෙදුවහොත්, අපට ලැබෙන්නේ:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(සමාන පාද සහිත බල කිහිපයක ප්‍රමාණය ගණනය කිරීමේදී, පාදය සංරක්ෂණය වන අතර, ඝාතකය අඩු කරනු ලැබේ). මේ අනුව, එකක් වරහන තුළ පවතී (කිසිම අවස්ථාවක ඔබ වරහනෙන් එක් නියමයක් සම්පූර්ණයෙන්ම ඉවත් කරන්නේ නම් එකක් ලිවීමට අමතක නොකරන්න) සහ බෙදීමේ ප්‍රමාණය: 10a. එය නරකද ඔබ බැහැර කළ:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

හතරැස් සූත්ර

ගණනය කිරීමේ පහසුව සඳහා, සූත්ර කිහිපයක් ව්යුත්පන්න කර ඇත. ඒවා අඩු කරන ලද ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර ලෙස හැඳින්වෙන අතර ඒවා බොහෝ විට භාවිතා වේ. මෙම සූත්‍ර බල අඩංගු බහුපද සාධක කිරීමට උපකාරී වේ. මෙය සාධකකරණයට තවත් ප්‍රබල ක්‍රමයකි. ඉතින් ඒවා මෙන්න:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -සූත්‍රය, "එකතුවේ චතුරස්‍රය" ලෙස හැඳින්වේ, මන්ද යත්, චතුරස්‍රයක් දක්වා ප්‍රසාරණය වීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, වරහන් තුළ කොටා ඇති සංඛ්‍යාවල එකතුව ගනු ලැබේ, එනම්, මෙම එකතුවේ අගය 2 ගුණයකින් ගුණ කරනු ලැබේ. එයින් අදහස් වන්නේ එය සාධකයකි.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - වෙනසෙහි චතුරස්රයේ සූත්රය, එය පෙර එකට සමාන වේ. එහි ප්‍රතිඵලය වන්නේ හතරැස් බලයක අඩංගු වරහන් තුළ ඇති වෙනසකි.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- මෙය වර්ග වෙනස සඳහා වන සූත්‍රයයි, මුලදී බහුපදයේ සංඛ්‍යා වර්ග 2 කින් හෝ අඩු කිරීම සිදු කෙරෙන ප්‍රකාශන වලින් සමන්විත වේ. එය සමහර විට තුනෙන් වඩාත් බහුලව භාවිතා වේ.

වර්ග සූත්‍ර මගින් ගණනය කිරීම සඳහා උදාහරණ

ඒවා පිළිබඳ ගණනය කිරීම් ඉතා සරලව සිදු කෙරේ. උදාහරණ වශයෙන්:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - "එකතුවේ වර්ග" සූත්‍රය භාවිතා කරන්න.
2. 25x 2 යනු 5x හි වර්ග වේ. 20xy යනු 2*(5x*2y) හි ගුණිතය මෙන් දෙගුණයක් වන අතර 4y 2 යනු 2y හි වර්ග වේ.
3. එබැවින් 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y).මෙම බහුපද සාධක 2කට වියෝජනය වේ (සාධක සමාන වේ, එබැවින් එය වර්ග බලයක් සහිත ප්‍රකාශනයක් ලෙස ලියා ඇත).

වෙනසෙහි වර්ග සූත්‍රය අනුව මෙහෙයුම් මේවාට සමාන ලෙස සිදු කෙරේ. ඉතිරිව ඇත්තේ වර්ග සූත්‍රයේ වෙනසයි. මෙම සූත්‍රය සඳහා උදාහරණ වෙනත් ප්‍රකාශන අතර හඳුනා ගැනීමට සහ සොයා ගැනීමට ඉතා පහසු වේ. උදාහරණ වශයෙන්:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). 25a 2 \u003d (5a) 2, සහ 400 \u003d 20 2 සිට
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 \u003d (6x) 2, සහ 25y 2 \u003d (5y 2) සිට
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). 169b සිට 2 = (13b) 2

එක් එක් නියමයන් යම් ප්‍රකාශනයක වර්ග වීම වැදගත් වේ. එවිට මෙම බහුමාමකය වර්ග සූත්‍රයේ වෙනස මගින් සාධක කළ යුතුය. මේ සඳහා, දෙවන බලය අංකයට ඉහළින් තිබීම අවශ්ය නොවේ. විශාල බලයන් අඩංගු බහුපද ඇත, නමුත් තවමත් මෙම සූත්‍ර සඳහා සුදුසු වේ.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 * 5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

මෙම උදාහරණයේ දී, 8 (a 4) 2, එනම් යම් ප්‍රකාශනයක වර්ග ලෙස නිරූපණය කළ හැක. 25 යනු 5 2 වන අතර 10a යනු 4 වේ - මෙය 2*a 4 *5 යන පදවල ද්විත්ව ගුණිතයයි. එනම්, මෙම ප්‍රකාශනය, විශාල ඝාතකයන් සහිත අංශක තිබියදීත්, පසුව ඒවා සමඟ වැඩ කිරීම සඳහා සාධක 2 කට වියෝජනය කළ හැකිය.

කියුබ් සූත්ර

කියුබ් අඩංගු බහුපද සඳහා ද එම සූත්‍ර පවතී. ඒවා වර්ග සහිත ඒවාට වඩා ටිකක් සංකීර්ණයි:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- මෙම සූත්‍රය කැට එකතුව ලෙස හැඳින්වේ, එහි ආරම්භක ස්වරූපයෙන් බහුපද යනු ඝනකයක් තුළ කොටා ඇති ප්‍රකාශන දෙකක හෝ සංඛ්‍යා එකතුවකි.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) -පෙර එකට සමාන සූත්‍රයක් කැටවල වෙනස ලෙස දැක්වේ.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - එකතුව කියුබ්, ගණනය කිරීම්වල ප්‍රති result ලයක් ලෙස, සංඛ්‍යා හෝ ප්‍රකාශන එකතුව ලබාගෙන, වරහන් තුළ කොටා 3 ගුණයකින් ගුණ කරනු ලැබේ, එනම් ඝනකයේ පිහිටා ඇත
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -සූත්‍රය, ගණිතමය ක්‍රියා වල (ප්ලස් සහ ඍණ) සමහර සලකුණු වල පමණක් වෙනසක් සහිතව පෙර එක හා සැසඳීමෙන් සම්පාදනය කරන ලද සූත්‍රය "වෙනස ඝනකය" ලෙස හැඳින්වේ.

අවසාන සූත්‍ර දෙක ප්‍රායෝගිකව බහුපදයක් සාධක කිරීමේ අරමුණ සඳහා භාවිතා නොකෙරේ, ඒවා සංකීර්ණ බැවින්, මෙම සූත්‍රවලට අනුව දිරාපත් වීමට හැකි වන පරිදි එවැනි ව්‍යුහයකට සම්පූර්ණයෙන්ම අනුරූප වන බහුපද සොයා ගැනීම තරමක් දුර්ලභ ය. නමුත් ඔබ තවමත් ඒවා දැන සිටිය යුතුය, මන්ද ඒවා ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට ක්‍රියා කිරීමට අවශ්‍ය වනු ඇත - වරහන් විවෘත කිරීමේදී.

කියුබ් සූත්‍ර සඳහා උදාහරණ

උදාහරණයක් සලකා බලන්න: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) = (4a-2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 )

අපි මෙහි තරමක් ප්‍රාථමික සංඛ්‍යා ගෙන ඇත, එබැවින් ඔබට 64a 3 (4a) 3 සහ 8b 3 (2b) 3 බව වහාම දැක ගත හැක. මේ අනුව, මෙම බහුපදය කැට සූත්‍ර වෙනස මගින් සාධක 2කට ප්‍රසාරණය වේ. කැට එකතුවේ සූත්‍රය මත ක්‍රියා සිදු කරනු ලබන්නේ ප්‍රතිසමයක් මගිනි.

සියලුම බහුපද අවම වශයෙන් එක් ආකාරයකින් හෝ දිරාපත් කළ නොහැකි බව වටහා ගැනීම වැදගත්ය. නමුත් චතුරස්‍රයක් හෝ ඝනකයකට වඩා විශාල බලයන් අඩංගු එවැනි ප්‍රකාශන ඇත, නමුත් ඒවා සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ ආකාරවලටද පුළුල් කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 - x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

මෙම උදාහරණයේ අංශක 12 ක් පමණ අඩංගු වේ. නමුත් එය පවා කැට සූත්‍රයේ එකතුව භාවිතයෙන් සාධක කළ හැක. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ x 12 (x 4) 3 ලෙස නිරූපණය කළ යුතුය, එනම්, යම් ප්රකාශනයක ඝනකයක් ලෙස. දැන්, a වෙනුවට, ඔබ එය සූත්රයෙහි ආදේශ කළ යුතුය. හොඳයි, 125y 3 ප්‍රකාශනය 5y හි ඝනකයයි. ඊළඟ පියවර වන්නේ සූත්රය ලිවීම සහ ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමයි.

මුලදී, හෝ සැක සහිත විට, ඔබට සෑම විටම ප්රතිලෝම ගුණ කිරීම මගින් පරීක්ෂා කළ හැකිය. ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ ලැබෙන ප්‍රකාශනයේ වරහන් විවෘත කර සමාන නියමයන් සමඟ ක්‍රියා කිරීම පමණි. මෙම ක්‍රමය ඉහත සඳහන් අඩු කිරීමේ ක්‍රම සියල්ලටම අදාළ වේ: පොදු සාධකයක් සහ සමූහකරණයක් සමඟ වැඩ කිරීමට සහ කැට සහ හතරැස් බල සූත්‍රවල මෙහෙයුම් සඳහා.

මෙම පාඩමේදී, අපි කලින් අධ්‍යයනය කරන ලද බහුපදයක් සාධක කිරීමේ ක්‍රම සිහිපත් කර ඒවායේ යෙදුමේ උදාහරණ සලකා බලමු, ඊට අමතරව, අපි නව ක්‍රමයක් - සම්පූර්ණ වර්ග ක්‍රමය අධ්‍යයනය කර විවිධ ගැටළු විසඳීමේදී එය භාවිතා කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනිමු.

මාතෘකාව:බහුපද සාධක කිරීම

පාඩම:බහුපදවල සාධකකරණය. සම්පූර්ණ හතරැස් තේරීමේ ක්රමය. ක්රම සංයෝජනය

කලින් අධ්‍යයනය කරන ලද බහුපදයක් සාධකකරණය කිරීමේ ප්‍රධාන ක්‍රම සිහිපත් කරන්න:

පොදු සාධකයක් වරහන් වලින් පිටතට ගැනීමේ ක්‍රමය, එනම් බහුපදයේ සියලුම සාමාජිකයන් තුළ පවතින සාධකයකි. උදාහරණයක් සලකා බලන්න:

ඒකාධිකාරයක් යනු බල සහ සංඛ්‍යාවල නිෂ්පාදනයක් බව මතක තබා ගන්න. අපගේ උදාහරණයේ දී, සාමාජිකයින් දෙදෙනාටම පොදු, සමාන අංග කිහිපයක් තිබේ.

එබැවින්, අපි පොදු සාධකය වරහන් වලින් ඉවත් කරමු:

;

විදැහුම්කරණය කරන ලද ගුණකය වරහනෙන් ගුණ කිරීමෙන්, ඔබට විදැහුම්කරණයේ නිවැරදි බව පරීක්ෂා කළ හැකි බව මතක තබා ගන්න.

කණ්ඩායම් ක්රමය. බහුපදයක පොදු සාධකයක් ඉවත් කිරීම සැමවිටම කළ නොහැක. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ඔබ එහි සාමාජිකයින් කණ්ඩායම් වලට බෙදිය යුතු අතර එමඟින් සෑම කණ්ඩායමකම ඔබට පොදු සාධකයක් ගෙන එය බිඳ දැමීමට උත්සාහ කළ හැකි අතර එමඟින් කණ්ඩායම්වල ඇති සාධක ඉවත් කිරීමෙන් පසු පොදු සාධකයක් දිස්වේ. සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය සහ ප්‍රසාරණය දිගටම කරගෙන යා හැක. උදාහරණයක් සලකා බලන්න:

පළමු වාරය හතරවන, දෙවැන්න පස්වන සහ තුන්වන වාරය පිළිවෙලින් හයවන සමඟ සමූහගත කරන්න:

කණ්ඩායම්වල පොදු සාධක සලකා බලමු:

ප්‍රකාශනයට පොදු සාධකයක් ඇත. අපි එය පිටතට ගනිමු:

සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර යෙදීම. උදාහරණයක් සලකා බලන්න:

;

ප්රකාශනය විස්තරාත්මකව ලියන්න:

පැහැදිලිවම, ප්‍රකාශන දෙකක වර්ගවල එකතුවක් ඇති නිසාත් ඒවායේ ද්විත්ව ගුණිතය එයින් අඩු කරන නිසාත් වෙනසෙහි වර්ග සඳහා සූත්‍රය අප ඉදිරියේ ඇත. අපි සූත්‍රය අනුව පෙරළමු:

අද අපි තවත් ක්රමයක් ඉගෙන ගන්නෙමු - සම්පූර්ණ වර්ග තේරීමේ ක්රමය. එය එකතුවේ වර්ගය සහ වෙනසෙහි වර්ග සූත්‍ර මත පදනම් වේ. ඒවා සිහිපත් කරන්න:

එකතුවේ වර්ග සඳහා සූත්‍රය (වෙනස);

මෙම සූත්‍රවල විශේෂත්වය නම් ඒවායේ ප්‍රකාශන දෙකක වර්ග සහ ඒවායේ ද්විත්ව නිෂ්පාදනය අඩංගු වීමයි. උදාහරණයක් සලකා බලන්න:

අපි ප්රකාශනය ලියන්නෙමු:

එබැවින් පළමු ප්රකාශනය , සහ දෙවන .

එකතුවේ හෝ වෙනසෙහි වර්ග සඳහා සූත්‍රයක් සෑදීම සඳහා, ප්‍රකාශනවල ද්විත්ව ගුණිතය ප්‍රමාණවත් නොවේ. එය එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම අවශ්ය වේ:

එකතුවේ සම්පූර්ණ වර්ග අපි හකුළමු:

ලැබෙන ප්‍රකාශනය පරිවර්තනය කරමු:

අපි වර්ග සූත්‍රයේ වෙනස යොදන්නෙමු, ප්‍රකාශන දෙකක වර්ගවල වෙනස නිෂ්පාදනය සහ ඒවායේ වෙනස අනුව එකතුව බව සිහිපත් කරමු:

එබැවින්, මෙම ක්‍රමය සමන්විත වන්නේ, පළමුවෙන්ම, වර්ග කර ඇති ප්‍රකාශන a සහ b හඳුනා ගැනීම අවශ්‍ය වේ, එනම්, මෙම උදාහරණයේ වර්ග කර ඇත්තේ කුමන ප්‍රකාශනද යන්න තීරණය කිරීම සඳහා ය. ඊට පසු, ඔබ ද්විත්ව නිෂ්පාදනයක් තිබේදැයි පරීක්ෂා කළ යුතු අතර එය නොමැති නම්, එය එකතු කර අඩු කරන්න, මෙය උදාහරණයේ අර්ථය වෙනස් නොකරනු ඇත, නමුත් බහුපදයේ වර්ගීකරණය සඳහා සූත්‍ර භාවිතා කළ හැකිය. හැකි නම්, වර්ගවල එකතුව හෝ වෙනස සහ වෙනස.

අපි උදාහරණ විසඳීමට යමු.

උදාහරණ 1 - සාධකකරණය:

වර්ග කර ඇති ප්‍රකාශන සොයන්න:

ඔවුන්ගේ ද්විත්ව නිෂ්පාදනය කුමක් විය යුතුද යන්න අපි ලියන්නෙමු:

ද්විත්ව නිෂ්පාදනය එකතු කර අඩු කරමු:

එකතුවේ සම්පූර්ණ චතුරශ්‍රය හකුළාගෙන සමාන ඒවා දෙමු:

වර්ගවල වෙනස පිළිබඳ සූත්‍රය අනුව අපි ලියන්නෙමු:

උදාහරණ 2 - සමීකරණය විසඳන්න:

;

සමීකරණයේ වම් පැත්තේ ත්රිකෝණයක් ඇත. ඔබ එය සාධක කළ යුතුය. අපි වෙනසෙහි වර්ග සූත්රය භාවිතා කරමු:

අප සතුව පළමු ප්‍රකාශනයේ සහ ද්විත්ව නිෂ්පාදනයේ වර්ග තිබේ, දෙවන ප්‍රකාශනයේ වර්ගය අස්ථානගත වී ඇත, අපි එය එකතු කර අඩු කරමු:

අපි සම්පූර්ණ චතුරස්‍රය හකුළා මෙවැනි නියමයන් දෙමු:

වර්ග සූත්‍රයේ වෙනස යොදමු:

එබැවින් අපට සමීකරණය තිබේ

නිෂ්පාදිතය බිංදුවට සමාන වන්නේ අවම වශයෙන් එක් සාධකයක් බිංදුවට සමාන නම් පමණක් බව අපි දනිමු. මේ මත පදනම්ව, අපි සමීකරණ ලියන්නෙමු:

අපි පළමු සමීකරණය විසඳමු:

අපි දෙවන සමීකරණය විසඳමු:

පිළිතුර: හෝ

;

අපි පෙර උදාහරණයට සමානව ක්රියා කරමු - වෙනසෙහි වර්ග තෝරන්න.