Katika somo la mwisho la video, tulijifunza kwamba kiwango cha msingi ni usemi ambao ni bidhaa ya msingi na yenyewe, ikichukuliwa kwa kiasi sawa na kielelezo. Hebu sasa tujifunze baadhi ya mali muhimu na uendeshaji wa mamlaka.

Kwa mfano, hebu tuzidishe nguvu mbili tofauti kwa msingi sawa:

Wacha tuangalie kipande hiki kwa ukamilifu:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Baada ya kuhesabu thamani ya usemi huu, tutapata nambari 32. Kwa upande mwingine, kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mfano huo huo, 32 inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya msingi sawa (mbili), kuchukuliwa mara 5. Na kwa kweli, ikiwa utahesabu, basi:

Kwa hivyo, inaweza kuhitimishwa kwa usalama kuwa:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Sheria hii inafanya kazi kwa mafanikio kwa viashiria vyovyote na misingi yoyote. Sifa hii ya kuzidisha shahada inafuata kutoka kwa kanuni ya uhifadhi wa maana ya misemo wakati wa mabadiliko katika bidhaa. Kwa msingi wowote a, bidhaa ya semi mbili (a) x na (a) y ni sawa na (x + y). Kwa maneno mengine, wakati wa kutoa misemo yoyote yenye msingi sawa, monomia ya mwisho ina digrii ya jumla inayoundwa kwa kuongeza kiwango cha maneno ya kwanza na ya pili.

Sheria iliyowasilishwa pia inafanya kazi vizuri wakati wa kuzidisha misemo kadhaa. Hali kuu ni kwamba misingi ya wote iwe sawa. Kwa mfano:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Haiwezekani kuongeza digrii, na kwa kweli kutekeleza vitendo vya pamoja vya nguvu na vipengele viwili vya kujieleza, ikiwa misingi yao ni tofauti.
Kama video yetu inavyoonyesha, kwa sababu ya kufanana kwa michakato ya kuzidisha na kugawanya, sheria za kuongeza nguvu wakati wa bidhaa huhamishiwa kikamilifu kwa utaratibu wa mgawanyiko. Fikiria mfano huu:

Wacha tufanye mabadiliko ya neno baada ya muda ya usemi kuwa fomu kamili na tupunguze vitu sawa katika gawio na kigawanyiko:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Matokeo ya mwisho ya mfano huu sio ya kuvutia sana, kwa sababu tayari katika kipindi cha ufumbuzi wake ni wazi kwamba thamani ya kujieleza ni sawa na mraba wa mbili. Na ni deu ambayo hupatikana kwa kupunguza kiwango cha usemi wa pili kutoka kwa kiwango cha kwanza.

Kuamua kiwango cha mgawo, ni muhimu kuondoa kiwango cha mgawanyiko kutoka kwa kiwango cha mgawanyiko. Sheria hiyo inafanya kazi kwa msingi sawa kwa maadili yake yote na kwa nguvu zote za asili. Katika fomu ya kufikirika, tunayo:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Ufafanuzi wa digrii sifuri hufuata kutoka kwa sheria ya kugawanya besi zinazofanana na mamlaka. Kwa wazi, usemi ufuatao ni:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Kwa upande mwingine, ikiwa tunagawanya kwa njia ya kuona zaidi, tunapata:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Wakati wa kupunguza vitu vyote vinavyoonekana vya sehemu, usemi 1/1 hupatikana kila wakati, ambayo ni, moja. Kwa hivyo, inakubalika kwa ujumla kuwa msingi wowote ulioinuliwa kwa nguvu ya sifuri ni sawa na moja:

Bila kujali thamani ya a.

Walakini, itakuwa upuuzi ikiwa 0 (ambayo bado inatoa 0 kwa kuzidisha yoyote) ni sawa na moja, kwa hivyo usemi kama (0) 0 (sifuri hadi digrii sifuri) hauleti maana, na kutunga (a) 0 = 1 ongeza sharti: "ikiwa a sio sawa na 0".

Hebu tufanye zoezi hilo. Wacha tupate thamani ya usemi:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Kwa kuwa msingi ni sawa kila mahali na ni sawa na 34, thamani ya mwisho itakuwa na msingi sawa na digrii (kulingana na sheria zilizo hapo juu):

Kwa maneno mengine:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Jibu: Usemi huo ni sawa na moja.

Somo juu ya mada: "Sheria za kuzidisha na kugawanya mamlaka na vielelezo sawa na tofauti. Mifano"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, maoni, mapendekezo. Nyenzo zote zinachunguzwa na programu ya antivirus.

Vifaa vya kufundishia na simulators kwenye duka la mtandaoni "Integral" kwa daraja la 7
Mwongozo wa kitabu cha maandishi Yu.N. Mwongozo wa Makarycheva wa kitabu cha maandishi A.G. Mordkovich

Kusudi la somo: jifunze jinsi ya kufanya shughuli na nguvu za nambari.

Kuanza, hebu tukumbuke wazo la "nguvu ya nambari". Usemi kama $\underbrace( a * a * \ldets * a )_(n)$ unaweza kuwakilishwa kama $a^n$.

Kinyume chake pia ni kweli: $a^n= \underbrace( a * a * \ldets * a )_(n)$.

Usawa huu unaitwa "kurekodi digrii kama bidhaa". Itatusaidia kuamua jinsi ya kuzidisha na kugawanya mamlaka.
Kumbuka:
a- msingi wa shahada.
n- kielelezo.
Kama n=1, ambayo ina maana idadi a imechukuliwa mara moja na mtawalia: $a^n= 1$.
Kama n=0, kisha $a^0= 1$.

Kwa nini hii inatokea, tunaweza kujua tunapofahamiana na sheria za kuzidisha na kugawanya nguvu.

kanuni za kuzidisha

Mfano.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Mali hii ni rahisi kutumia ili kurahisisha kazi wakati wa kuongeza nambari kwa nguvu kubwa.
Mfano.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ikiwa mamlaka yanazidishwa na msingi tofauti, lakini kipeo sawa.
Kwa $a^n * b^n$, tunaandika mamlaka kama bidhaa: $\underbrace( a * a * \ldets * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m) $.
Ikiwa tutabadilisha vipengele na kuhesabu jozi zinazosababisha, tunapata: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldets * (a * b) )_(n)$.

Kwa hivyo $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Mfano.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

kanuni za mgawanyiko

Kwa hiyo, ni lazima $\frac(a^n)(a^m)$, wapi n> m.

Tunaandika digrii kama sehemu:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\ underbrace( a * a * \ldbrace * a )_(m))$.

Sasa hebu tupunguze sehemu.

Inageuka: $\underbrace( a * a * \lddots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Ina maana, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Mali hii itasaidia kuelezea hali hiyo kwa kuongeza nambari kwa nguvu ya sifuri. Hebu tuchukulie hivyo n=m, kisha $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Mifano.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Misingi ya digrii ni tofauti, viashiria ni sawa.
Wacha tuseme unahitaji $\frac(a^n)( b^n)$. Tunaandika nguvu za nambari kama sehemu:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldbrace * a )_(n))(\ underbrace( b * b * \ldbrace * b )_(n))$.

Mfano.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Kuongeza na kupunguza mamlaka

Ni wazi, nambari zilizo na nguvu zinaweza kuongezwa kama idadi zingine , kwa kuwaongeza moja baada ya nyingine kwa ishara zao.

Kwa hivyo, jumla ya 3 na b 2 ni 3 + b 2 .
Jumla ya 3 - b n na h 5 -d 4 ni 3 - b n + h 5 - d 4.

Odd nguvu sawa za vigezo sawa inaweza kuongezwa au kupunguzwa.

Kwa hivyo, jumla ya 2a 2 na 3a 2 ni 5a 2.

Pia ni dhahiri kwamba tukichukua miraba miwili a, au miraba mitatu a, au miraba mitano a.

Lakini digrii vigezo mbalimbali na digrii mbalimbali vigezo vinavyofanana, lazima ziongezwe kwa kuziongeza kwenye ishara zao.

Kwa hivyo, jumla ya 2 na 3 ni jumla ya 2 + a 3 .

Ni dhahiri kwamba mraba wa a, na mchemraba wa a, sio mraba wa a, lakini mara mbili ya mchemraba wa a.

Jumla ya 3 b n na 3a 5 b 6 ni 3 b n + 3a 5 b 6 .

Kutoa nguvu zinafanywa kwa njia sawa na kuongeza, isipokuwa kwamba ishara za subtrahend lazima zibadilishwe ipasavyo.

Au:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Kuzidisha nguvu

Nambari zilizo na nguvu zinaweza kuzidishwa kama idadi zingine kwa kuziandika moja baada ya nyingine, pamoja na au bila ishara ya kuzidisha kati yao.

Kwa hivyo, matokeo ya kuzidisha 3 kwa b 2 ni 3 b 2 au aaabb.

Au:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Matokeo katika mfano wa mwisho yanaweza kuamuru kwa kuongeza vigezo sawa.
Usemi huo utachukua fomu: a 5 b 5 y 3 .

Kwa kulinganisha nambari kadhaa (vigezo) na nguvu, tunaweza kuona kwamba ikiwa yoyote kati yao itazidishwa, basi matokeo yake ni nambari (kigeu) na nguvu sawa na jumla digrii za masharti.

Kwa hiyo, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hapa 5 ni nguvu ya matokeo ya kuzidisha, sawa na 2 + 3, jumla ya nguvu za masharti.

Kwa hiyo, n .a m = a m+n .

Kwa n , a inachukuliwa kama sababu mara nyingi kama nguvu ya n ilivyo;

Na a m , inachukuliwa kama sababu mara nyingi vile shahada m ni sawa na;

Kwa hiyo, nguvu zilizo na misingi sawa zinaweza kuzidishwa kwa kuongeza vielelezo.

Kwa hivyo, 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Na x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Au:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Zidisha (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Jibu: x 4 - y 4.
Zidisha (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Sheria hii pia ni kweli kwa nambari ambazo vielelezo vyake ni - hasi.

1. Kwa hiyo, a -2 .a -3 = a -5 . Hii inaweza kuandikwa kama (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ikiwa a + b inazidishwa na a - b, matokeo yatakuwa 2 - b 2: yaani

Matokeo ya kuzidisha jumla au tofauti ya nambari mbili ni sawa na jumla au tofauti ya miraba yao.

Ikiwa jumla na tofauti ya nambari mbili zilizoinuliwa hadi mraba, matokeo yatakuwa sawa na jumla au tofauti ya nambari hizi ndani nne shahada.

Kwa hiyo, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Mgawanyiko wa mamlaka

Nambari zilizo na nguvu zinaweza kugawanywa kama nambari zingine kwa kutoa kutoka kwa kigawanyiko, au kwa kuziweka katika muundo wa sehemu.

Kwa hivyo 3 b 2 iliyogawanywa na b 2 ni 3 .

Kuandika 5 iliyogawanywa na 3 inaonekana kama $\frac $. Lakini hii ni sawa na 2 . Katika mfululizo wa nambari
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
nambari yoyote inaweza kugawanywa na nyingine, na kielelezo kitakuwa sawa na tofauti viashiria vya nambari zinazoweza kugawanywa.

Wakati wa kugawanya mamlaka na msingi sawa, wafadhili wao hupunguzwa..

Kwa hiyo, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Hiyo ni, $\frac = y$.

Na n+1:a = a n+1-1 = a n . Hiyo ni, $\frac = a^n$.

Au:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Sheria pia ni halali kwa nambari zilizo na hasi maadili ya shahada.
Matokeo ya kugawanya -5 kwa -3 ni -2 .
Pia, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 au $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Inahitajika kujua kuzidisha na mgawanyiko wa nguvu vizuri, kwani shughuli kama hizo hutumiwa sana katika algebra.

Mifano ya kutatua mifano na sehemu zilizo na nambari zilizo na nguvu

1. Punguza vielelezo katika $\frac $ Jibu: $\frac $.

2. Punguza vipeo katika $\frac$. Jibu: $\frac $ au 2x.

3. Punguza vielelezo 2 / a 3 na -3 / a -4 na kuleta kwa dhehebu la kawaida.
a 2 .a -4 ni -2 nambari ya kwanza.
a 3 .a -3 ni 0 = 1, nambari ya pili.
a 3 .a -4 ni -1 , nambari ya kawaida.
Baada ya kurahisisha: a -2 /a -1 na 1/a -1 .

4. Punguza vipeo 2a 4 /5a 3 na 2 /a 4 na ulete kwa dhehebu la kawaida.
Jibu: 2a 3 / 5a 7 na 5a 5 / 5a 7 au 2a 3 / 5a 2 na 5/5a 2.

5. Zidisha (a 3 + b)/b 4 kwa (a-b)/3.

6. Zidisha (a 5 + 1)/x 2 kwa (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kuzidisha b 4 /a -2 kwa h -3 /x na n /y -3.

8. Gawanya 4 /y 3 kwa 3 /y 2 . Jibu: a/y.

sifa za shahada

Tunakukumbusha kwamba katika somo hili tunaelewa sifa za shahada na viashiria vya asili na sifuri. Digrii zilizo na viashiria vya busara na mali zao zitajadiliwa katika masomo ya daraja la 8.

Kielelezo kilicho na kielelezo cha asili kina mali kadhaa muhimu zinazokuwezesha kurahisisha mahesabu katika mifano ya kielelezo.

Mali #1
Bidhaa ya mamlaka

Wakati wa kuzidisha nguvu na msingi sawa, msingi unabaki bila kubadilika, na wafadhili huongezwa.

a m a n \u003d a m + n, ambapo "a" ni nambari yoyote, na "m", "n" ni nambari zozote za asili.

Mali hii ya mamlaka pia huathiri bidhaa ya mamlaka tatu au zaidi.

• Rahisisha usemi.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Wasilisha kama shahada.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Wasilisha kama shahada.
  (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Tafadhali kumbuka kuwa katika mali iliyoonyeshwa ilikuwa tu juu ya kuzidisha nguvu na besi sawa.. Haitumiki kwa nyongeza yao.

Huwezi kubadilisha jumla (3 3 + 3 2) na 3 5 . Hii inaeleweka kama
hesabu (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 na 3 5 = 243

Mali #2
Digrii za kibinafsi

Wakati wa kugawanya mamlaka na msingi sawa, msingi unabaki bila kubadilika, na kielelezo cha kigawanyiko kinatolewa kutoka kwa kielelezo cha mgao.

• Andika mgawo kama nguvu
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Piga hesabu.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Mfano. Tatua mlinganyo. Tunatumia mali ya digrii za sehemu.
3 8: t = 3 4

Jibu: t = 3 4 = 81

Kwa kutumia sifa Nambari 1 na Nambari 2, unaweza kurahisisha misemo na kufanya mahesabu kwa urahisi.

Mfano. Rahisisha usemi.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

Mfano. Tafuta thamani ya usemi kwa kutumia sifa za digrii.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Tafadhali kumbuka kuwa mali 2 ilihusika tu na mgawanyiko wa mamlaka na misingi sawa.

Huwezi kubadilisha tofauti (4 3 -4 2) na 4 1 . Hii inaeleweka ukihesabu (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, na 4 1 = 4

Mali #3
Ufafanuzi

Wakati wa kuinua nguvu kwa nguvu, msingi wa nguvu unabaki bila kubadilika, na vielelezo vinazidishwa.

(a n) m \u003d a n m, ambapo "a" ni nambari yoyote, na "m", "n" ni nambari zozote za asili.

Tunakukumbusha kwamba mgawo unaweza kuwakilishwa kama sehemu. Kwa hivyo, tutakaa juu ya mada ya kuongeza sehemu kwa nguvu kwa undani zaidi kwenye ukurasa unaofuata.

Jinsi ya kuzidisha nguvu

Jinsi ya kuzidisha nguvu? Ni mamlaka gani yanaweza kuzidishwa na ambayo hayawezi? Unawezaje kuzidisha nambari kwa nguvu?

Katika algebra, unaweza kupata bidhaa ya nguvu katika hali mbili:

1) ikiwa digrii zina msingi sawa;

2) ikiwa digrii zina viashiria sawa.

Wakati wa kuzidisha nguvu na msingi sawa, msingi lazima ubaki sawa, na wafadhili lazima waongezwe:

Wakati wa kuzidisha digrii na viashiria sawa, kiashiria jumla kinaweza kuchukuliwa kutoka kwa mabano:

Fikiria jinsi ya kuzidisha nguvu, kwa mifano maalum.

Sehemu katika kielelezo haijaandikwa, lakini wakati wa kuzidisha digrii, huzingatia:

Wakati wa kuzidisha, idadi ya digrii inaweza kuwa yoyote. Ikumbukwe kwamba huwezi kuandika ishara ya kuzidisha kabla ya barua:

Katika misemo, ufafanuzi unafanywa kwanza.

Ikiwa unahitaji kuzidisha nambari kwa nguvu, lazima kwanza ufanye ufafanuzi, na kisha tu - kuzidisha:

Kuzidisha nguvu kwa msingi sawa

Mafunzo haya ya video yanapatikana kwa kujisajili

Je, tayari una usajili? Ili kuingia

Katika somo hili, tutajifunza jinsi ya kuzidisha nguvu kwa msingi sawa. Kwanza, tunakumbuka ufafanuzi wa shahada na kuunda nadharia juu ya uhalali wa usawa . Kisha tunatoa mifano ya matumizi yake kwa nambari maalum na kuthibitisha. Pia tutatumia nadharia kutatua matatizo mbalimbali.

Mada: Shahada yenye kiashirio cha asili na sifa zake

Somo: Kuzidisha nguvu kwa misingi sawa (formula)

1. Ufafanuzi wa msingi

Ufafanuzi wa kimsingi:

n- kielelezo,

— n- nguvu ya nambari.

2. Taarifa ya Nadharia 1

Nadharia 1. Kwa nambari yoyote a na asili yoyote n na k usawa ni kweli:

Kwa maneno mengine: ikiwa a- nambari yoyote; n na k nambari za asili, basi:

Kwa hivyo kanuni ya 1:

3. Kueleza kazi

Hitimisho: kesi maalum zilithibitisha usahihi wa Theorem No. Hebu tuthibitishe katika kesi ya jumla, yaani, kwa yoyote a na asili yoyote n na k.

4. Uthibitisho wa Nadharia 1

Imepewa nambari a- yoyote; nambari n na k- asili. Thibitisha:

Uthibitisho unatokana na ufafanuzi wa shahada.

5. Suluhisho la mifano kwa kutumia Nadharia 1

Mfano 1: Wasilisha kama shahada.

Ili kutatua mifano ifuatayo, tunatumia Theorem 1.

g)

6. Ujumla wa Nadharia 1

Hapa kuna jumla:

7. Suluhisho la mifano kwa kutumia jumla ya Nadharia 1

8. Kutatua matatizo mbalimbali kwa kutumia Theorem 1

Mfano 2: Kuhesabu (unaweza kutumia meza ya digrii za msingi).

a) (kulingana na jedwali)

b)

Mfano 3: Andika kama nguvu na msingi 2.

a)

Mfano 4: Amua ishara ya nambari:

, a - hasi kwa sababu kipeo katika -13 ni isiyo ya kawaida.

Mfano 5: Badilisha ( ) kwa nguvu iliyo na msingi r:

Tunayo, yaani.

9. Kujumlisha

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. na aljebra 7. Toleo la 6. M.: Kuelimika. 2010

1. Msaidizi wa Shule (Chanzo).

1. Eleza kama shahada:

B C D E)

3. Andika kama nguvu na msingi 2:

4. Amua ishara ya nambari:

a)

5. Badilisha ( ) kwa nguvu ya nambari yenye msingi r:

a) r 4 ( ) = r 15; b) ( ) r 5 = r 6

Kuzidisha na mgawanyiko wa mamlaka na vielelezo sawa

Katika somo hili, tutajifunza kuzidisha kwa nguvu na vielezi sawa. Kwanza, hebu tukumbuke fasili na nadharia za kimsingi kuhusu kuzidisha na kugawanya mamlaka kwa misingi sawa na kuinua nguvu kwa mamlaka. Kisha tunaunda na kuthibitisha nadharia juu ya kuzidisha na mgawanyiko wa mamlaka na vielezi sawa. Na kisha kwa msaada wao tutasuluhisha shida kadhaa za kawaida.

Kikumbusho cha fasili na nadharia za kimsingi

Hapa a- msingi wa shahada

— n- nguvu ya nambari.

Nadharia 1. Kwa nambari yoyote a na asili yoyote n na k usawa ni kweli:

Wakati wa kuzidisha nguvu na msingi sawa, wafadhili huongezwa, msingi unabaki bila kubadilika.

Nadharia 2. Kwa nambari yoyote a na asili yoyote n na k, vile vile n > k usawa ni kweli:

Wakati wa kugawanya nguvu na msingi sawa, wafadhili hutolewa, na msingi unabaki bila kubadilika.

Nadharia 3. Kwa nambari yoyote a na asili yoyote n na k usawa ni kweli:

Nadharia zote hapo juu zilihusu nguvu zilizo na sawa misingi, somo hili litazingatia digrii na sawa viashiria.

Mifano ya nguvu za kuzidisha na vielelezo sawa

Fikiria mifano ifuatayo:

Wacha tuandike misemo ya kuamua digrii.

Hitimisho: Kutoka kwa mifano, unaweza kuona hilo , lakini hii bado inahitaji kuthibitishwa. Tunaunda nadharia na kuithibitisha katika kesi ya jumla, ambayo ni, kwa yoyote a na b na asili yoyote n.

Taarifa na uthibitisho wa Nadharia 4

Kwa nambari yoyote a na b na asili yoyote n usawa ni kweli:

Ushahidi Nadharia 4 .

Kwa ufafanuzi wa shahada:

Kwa hivyo tumethibitisha hilo .

Ili kuzidisha nguvu na kielelezo sawa, inatosha kuzidisha besi, na kuacha kielelezo bila kubadilika.

Taarifa na uthibitisho wa Nadharia 5

Tunaunda nadharia ya kugawanya mamlaka na vipeo sawa.

Kwa nambari yoyote a na b() na asili yoyote n usawa ni kweli:

Ushahidi Nadharia 5 .

Wacha tuandike na kwa ufafanuzi wa digrii:

Taarifa ya nadharia kwa maneno

Kwa hivyo tumethibitisha hilo.

Ili kugawanya digrii na vielelezo sawa kwa kila mmoja, inatosha kugawanya msingi mmoja na mwingine, na kuacha kielelezo bila kubadilika.

Suluhisho la shida za kawaida kwa kutumia Theorem 4

Mfano 1: Eleza kama bidhaa ya mamlaka.

Ili kutatua mifano ifuatayo, tunatumia Theorem 4.

Ili kutatua mfano ufuatao, kumbuka fomula:

Ujumla wa nadharia 4

Ujumla wa nadharia ya 4:

Kutatua Mifano kwa kutumia Nadharia ya Jumla 4

Kuendelea kutatua matatizo ya kawaida

Mfano 2: Andika kama kiwango cha bidhaa.

Mfano 3: Andika kama nguvu iliyo na kipeo cha 2.

Mifano ya Mahesabu

Mfano 4: Hesabu kwa njia ya busara zaidi.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. na wengine Aljebra 7 .M .: Elimu. 2006

2. Msaidizi wa shule (Chanzo).

1. Wasilisha kama zao la mamlaka:

a) ; b); v); G);

2. Andika kama kiwango cha bidhaa:

3. Andika katika mfumo wa shahada yenye kiashirio cha 2:

4. Piga hesabu kwa njia ya busara zaidi.

Somo la hisabati juu ya mada "Kuzidisha na mgawanyiko wa madaraka"

Sehemu: Hisabati

Lengo la ufundishaji:

Kazi:

Vitengo vya shughuli za mafundisho: uamuzi wa shahada na kiashiria cha asili; vipengele vya shahada; ufafanuzi wa kibinafsi; sheria ya ushirika ya kuzidisha.

I. Shirika la onyesho la kusimamia maarifa yaliyopo kwa wanafunzi. (hatua ya 1)

a) Kusasisha maarifa:

2) Tengeneza ufafanuzi wa digrii na kiashiria cha asili.

a n \u003d a a a ... a (mara n)

b k \u003d b b b b a ... b (k mara) Thibitisha jibu lako.

II. Shirika la tathmini ya kibinafsi ya mwanafunzi kwa kiwango cha milki ya uzoefu husika. (hatua ya 2)

Jaribio la kujichunguza: (kazi ya mtu binafsi katika matoleo mawili.)

A1) Eleza bidhaa 7 7 7 7 x x x kama nguvu:

A2) Eleza kama bidhaa digrii (-3) 3 x 2

A3) Hesabu: -2 3 2 + 4 5 3

Ninachagua idadi ya kazi katika mtihani kwa mujibu wa maandalizi ya kiwango cha darasa.

Kwa mtihani, ninatoa ufunguo wa kujipima. Vigezo: kutofaulu.

III. Kazi ya kielimu na ya vitendo (hatua ya 3) + hatua ya 4. (wanafunzi wenyewe wataunda mali)

Wakati wa kutatua shida 1) na 2), wanafunzi wanapendekeza suluhisho, na mimi, kama mwalimu, hupanga darasa kutafuta njia ya kurahisisha nguvu wakati wa kuzidisha kwa misingi sawa.

Mwalimu: njoo na njia ya kurahisisha nguvu wakati wa kuzidisha kwa msingi sawa.

Ingizo linaonekana kwenye nguzo:

Mandhari ya somo imeundwa. Kuzidisha nguvu.

Mwalimu: njoo na sheria ya kugawa digrii na besi sawa.

Hoja: ni hatua gani hukagua mgawanyiko? a 5: a 3 =? kwamba 2 a 3 = a 5

Ninarudi kwenye mpango - nguzo na kuongeza kiingilio - ..wakati wa kugawanya, kuondoa na kuongeza mada ya somo. ...na mgawanyo wa digrii.

IV. Mawasiliano kwa wanafunzi wa mipaka ya maarifa (kama kiwango cha chini na kiwango cha juu).

Mwalimu: kazi ya kiwango cha chini cha somo la leo ni kujifunza jinsi ya kutumia mali ya kuzidisha na mgawanyiko wa nguvu na misingi sawa, na upeo: kutumia kuzidisha na kugawanya pamoja.

Andika ubaoni : a m a n = a m + n; a m: a n = a m-n

V. Shirika la utafiti wa nyenzo mpya. (hatua ya 5)

a) Kulingana na kitabu cha kiada: Nambari 403 (a, c, e) kazi zenye maneno tofauti

Nambari 404 (a, e, f) kazi ya kujitegemea, basi mimi hupanga hundi ya pamoja, natoa funguo.

b) Je, usawa una thamani gani ya m? 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Kazi: kuja na mifano sawa ya mgawanyiko.

c) Nambari 417(a), Na. 418 (a) Mitego kwa wanafunzi: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: 8 \u003d a 2.

VI. Kufanya muhtasari wa kile ambacho umejifunza, kufanya kazi ya uchunguzi (ambayo inahimiza wanafunzi, sio walimu, kusoma mada hii) (hatua ya 6)

kazi ya uchunguzi.

Mtihani(weka funguo nyuma ya jaribio).

Chaguo za kazi: wasilisha kama digrii mgawo x 15: x 3; kuwakilisha kama nguvu bidhaa (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; ambayo m ni usawa a 16 a m = a 32 kweli; pata thamani ya usemi h 0: h 2 na h = 0.2; hesabu thamani ya usemi (5 2 5 0) : 5 2 .

Muhtasari wa somo. Tafakari. Ninagawanya darasa katika vikundi viwili.

Pata hoja za kikundi I: kwa niaba ya ujuzi wa mali ya shahada, na kikundi II - hoja ambazo zitasema kuwa unaweza kufanya bila mali. Tunasikiliza majibu yote, fanya hitimisho. Katika masomo yanayofuata, unaweza kutoa data ya takwimu na kutaja rubriki "Haifai katika kichwa changu!"

VII. Kazi ya nyumbani.

Rejea ya historia. Nambari gani zinaitwa nambari za Fermat.

Uk.19. #403, #408, #417

Vitabu vilivyotumika:

Sifa za digrii, uundaji, uthibitisho, mifano.

Baada ya kiwango cha nambari imedhamiriwa, ni busara kuzungumza juu yake sifa za shahada. Katika makala hii, tutatoa mali ya msingi ya kiwango cha nambari, huku tukigusa wafadhili wote wanaowezekana. Hapa tutatoa uthibitisho wa mali zote za digrii, na pia kuonyesha jinsi mali hizi zinatumika wakati wa kutatua mifano.

Urambazaji wa ukurasa.

Mali ya digrii na viashiria vya asili

Kwa ufafanuzi wa shahada yenye kipeo asilia, kiwango cha n ni zao la mambo n, ambayo kila moja ni sawa na . Kulingana na ufafanuzi huu, na kutumia mali halisi ya kuzidisha nambari, tunaweza kupata na kuhalalisha yafuatayo sifa za shahada na kipeo asilia:

Dhana ya digrii katika hisabati huanzishwa mapema kama darasa la 7 katika somo la aljebra. Na katika siku zijazo, katika kipindi chote cha kusoma hisabati, wazo hili linatumika kikamilifu katika aina zake tofauti. Digrii ni mada ngumu, inayohitaji kukariri maadili na uwezo wa kuhesabu kwa usahihi na haraka. Kwa kazi ya haraka na bora na digrii za hisabati, walikuja na sifa za digrii. Wanasaidia kupunguza mahesabu makubwa, kubadilisha mfano mkubwa kuwa nambari moja kwa kiwango fulani. Hakuna mali nyingi, na zote ni rahisi kukumbuka na kutumia katika mazoezi. Kwa hivyo, kifungu hicho kinajadili mali kuu ya digrii, na vile vile mahali zinatumika.

sifa za shahada

Tutazingatia sifa 12 za digrii, pamoja na mali ya mamlaka yenye misingi sawa, na tutatoa mfano kwa kila mali. Kila moja ya mali hizi zitakusaidia kutatua shida na digrii haraka, na pia kukuokoa kutokana na makosa mengi ya hesabu.

Mali ya 1.

Watu wengi mara nyingi husahau juu ya mali hii, hufanya makosa, wakiwakilisha nambari hadi digrii sifuri kama sifuri.

Mali ya 2.

Mali ya 3.

Ni lazima ikumbukwe kwamba mali hii inaweza kutumika tu wakati wa kuzidisha nambari, haifanyi kazi na jumla! Na hatupaswi kusahau kuwa hii na mali zifuatazo zinatumika tu kwa nguvu zilizo na msingi sawa.

Mali ya 4.

Ikiwa nambari katika dhehebu imeinuliwa kwa nguvu hasi, basi wakati wa kupunguza, kiwango cha dhehebu kinachukuliwa kwenye mabano ili kuchukua nafasi ya ishara kwa mahesabu zaidi.

Mali hufanya kazi tu wakati wa kugawa, sio wakati wa kutoa!

Mali ya 5.

Mali ya 6.

Mali hii pia inaweza kutumika kinyume chake. Sehemu iliyogawanywa na nambari kwa kiwango fulani ni nambari hiyo hadi nguvu hasi.

Mali ya 7.

Mali hii haiwezi kutumika kwa jumla na tofauti! Wakati wa kuongeza jumla au tofauti kwa nguvu, fomula zilizofupishwa za kuzidisha hutumiwa, sio sifa za nguvu.

Mali ya 8.

Mali ya 9.

Mali hii inafanya kazi kwa digrii yoyote ya sehemu na nambari sawa na moja, formula itakuwa sawa, tu kiwango cha mzizi kitabadilika kulingana na denominator ya digrii.

Pia, mali hii mara nyingi hutumiwa kwa utaratibu wa reverse. Mzizi wa nguvu yoyote ya nambari inaweza kuwakilishwa kama nambari hiyo kwa nguvu ya moja iliyogawanywa na nguvu ya mzizi. Mali hii ni muhimu sana katika hali ambapo mzizi wa nambari haujatolewa.

Mali ya 10.

Mali hii haifanyi kazi tu na mzizi wa mraba na shahada ya pili. Ikiwa kiwango cha mzizi na kiwango ambacho mzizi huu umeinuliwa ni sawa, basi jibu litakuwa usemi mkali.

Mali ya 11.

Unahitaji kuwa na uwezo wa kuona mali hii kwa wakati unapoisuluhisha ili kujiokoa kutoka kwa mahesabu makubwa.

Mali ya 12.

Kila moja ya mali hizi itakutana nawe zaidi ya mara moja katika kazi, inaweza kutolewa kwa fomu yake safi, au inaweza kuhitaji mabadiliko fulani na matumizi ya fomula zingine. Kwa hiyo, kwa ufumbuzi sahihi, haitoshi kujua mali tu, unahitaji kufanya mazoezi na kuunganisha ujuzi wote wa hisabati.

Utumiaji wa digrii na mali zao

Zinatumika kikamilifu katika algebra na jiometri. Digrii katika hisabati zina nafasi tofauti, muhimu. Kwa msaada wao, hesabu za kielelezo na usawa hutatuliwa, na vile vile nguvu mara nyingi huchanganya hesabu na mifano inayohusiana na sehemu zingine za hesabu. Wafadhili husaidia kuepuka mahesabu makubwa na ya muda mrefu, ni rahisi kupunguza na kuhesabu wafadhili. Lakini kufanya kazi na nguvu kubwa, au kwa nguvu za idadi kubwa, unahitaji kujua sio tu mali ya digrii, lakini pia ufanyie kazi kwa ustadi na besi, uweze kuzitenganisha ili kurahisisha kazi yako. Kwa urahisi, unapaswa pia kujua maana ya nambari zilizoinuliwa kwa nguvu. Hii itapunguza muda wako katika kutatua kwa kuondoa hitaji la mahesabu marefu.

Wazo la digrii ina jukumu maalum katika logarithms. Kwa kuwa logariti, kimsingi, ni nguvu ya nambari.

Fomula zilizofupishwa za kuzidisha ni mfano mwingine wa matumizi ya mamlaka. Hawawezi kutumia mali ya digrii, hutengana kulingana na sheria maalum, lakini katika kila fomula iliyofupishwa ya kuzidisha kuna digrii kila wakati.

Digrii pia hutumiwa kikamilifu katika fizikia na sayansi ya kompyuta. Tafsiri zote katika mfumo wa SI zinafanywa kwa kutumia digrii, na katika siku zijazo, wakati wa kutatua matatizo, mali ya shahada hutumiwa. Katika sayansi ya kompyuta, nguvu za mbili hutumiwa kikamilifu, kwa urahisi wa kuhesabu na kurahisisha mtazamo wa nambari. Mahesabu zaidi ya ubadilishaji wa vitengo vya kipimo au mahesabu ya shida, kama ilivyo katika fizikia, hufanyika kwa kutumia sifa za digrii.

Digrii pia ni muhimu sana katika unajimu, ambapo unaweza kupata matumizi ya mali ya digrii mara chache, lakini digrii zenyewe hutumiwa kikamilifu kufupisha kurekodi kwa idadi na umbali.

Digrii pia hutumiwa katika maisha ya kila siku, wakati wa kuhesabu maeneo, kiasi, umbali.

Kwa msaada wa digrii, maadili makubwa sana na madogo sana yameandikwa katika uwanja wowote wa sayansi.

milinganyo ya kielelezo na ukosefu wa usawa

Sifa za digrii huchukua nafasi maalum kwa usahihi katika milinganyo ya kielelezo na ukosefu wa usawa. Kazi hizi ni za kawaida sana, katika kozi ya shule na katika mitihani. Zote zinatatuliwa kwa kutumia mali ya digrii. Haijulikani ni daima katika shahada yenyewe, kwa hiyo, kujua mali zote, haitakuwa vigumu kutatua equation hiyo au usawa.

Kiwango cha kwanza

Shahada na sifa zake. Mwongozo wa Kina (2019)

Kwa nini digrii zinahitajika? Unazihitaji wapi? Kwa nini unahitaji kutumia wakati kuzisoma?

Ili kujifunza kila kitu kuhusu digrii, ni nini, jinsi ya kutumia ujuzi wako katika maisha ya kila siku, soma makala hii.

Na, bila shaka, kujua digrii kutakuleta karibu na kufaulu kwa OGE au Uchunguzi wa Jimbo la Umoja na kuingia chuo kikuu cha ndoto zako.

Twende... (Twende!)

Kumbuka muhimu! Ikiwa badala ya fomula unaona ujinga, futa akiba yako. Ili kufanya hivyo, bonyeza CTRL+F5 (kwenye Windows) au Cmd+R (kwenye Mac).

NGAZI YA KWANZA

Ufafanuzi ni operesheni sawa ya hisabati kama kujumlisha, kutoa, kuzidisha au kugawanya.

Sasa nitaeleza kila kitu kwa lugha ya binadamu kwa kutumia mifano rahisi sana. Makini. Mifano ni ya msingi, lakini eleza mambo muhimu.

Wacha tuanze na kuongeza.

Hakuna cha kueleza hapa. Tayari unajua kila kitu: kuna wanane wetu. Kila mmoja ana chupa mbili za cola. Kola ngapi? Hiyo ni kweli - chupa 16.

Sasa kuzidisha.

Mfano sawa na cola unaweza kuandikwa kwa njia tofauti:. Wanahisabati ni watu wajanja na wavivu. Kwanza wanaona mifumo fulani, na kisha kuja na njia ya "kuhesabu" kwa kasi zaidi. Kwa upande wetu, waliona kwamba kila mmoja wa watu wanane alikuwa na idadi sawa ya chupa za cola na walikuja na mbinu inayoitwa kuzidisha. Kukubaliana, inachukuliwa kuwa rahisi na kwa kasi zaidi kuliko.

Kwa hiyo, kuhesabu kwa kasi, rahisi na bila makosa, unahitaji tu kukumbuka meza ya kuzidisha. Bila shaka, unaweza kufanya kila kitu polepole, ngumu na kwa makosa! Lakini…

Hapa kuna jedwali la kuzidisha. Rudia.

Na nyingine, nzuri zaidi:

Na ni mbinu gani nyingine gumu za kuhesabu ambazo wanahisabati wavivu walikuja nazo? Haki - kuinua nambari kwa nguvu.

Kuinua nambari hadi nguvu

Ikiwa unahitaji kuzidisha nambari yenyewe mara tano, basi wanahisabati wanasema kwamba unahitaji kuongeza nambari hii kwa nguvu ya tano. Kwa mfano, . Wanahisabati wanakumbuka kuwa nguvu mbili hadi tano ni. Na wanasuluhisha shida kama hizo katika akili zao - haraka, rahisi na bila makosa.

Ili kufanya hivyo, unahitaji tu kumbuka kile kilichoonyeshwa kwa rangi kwenye jedwali la nguvu za nambari. Niamini, itafanya maisha yako kuwa rahisi zaidi.

Kwa njia, kwa nini shahada ya pili inaitwa mraba nambari, na ya tatu mchemraba? Ina maana gani? Swali zuri sana. Sasa utakuwa na mraba na cubes.

Mfano wa maisha halisi #1

Wacha tuanze na mraba au nguvu ya pili ya nambari.

Hebu fikiria bwawa la mraba la kupima mita kwa mita. Bwawa liko kwenye uwanja wako wa nyuma. Kuna joto na ninataka sana kuogelea. Lakini ... bwawa bila chini! Ni muhimu kufunika chini ya bwawa na matofali. Unahitaji tiles ngapi? Ili kuamua hili, unahitaji kujua eneo la chini ya bwawa.

Unaweza kuhesabu kwa kunyoosha kidole chako kuwa chini ya bwawa kuna cubes za mita kwa mita. Ikiwa tiles zako ni mita kwa mita, utahitaji vipande. Ni rahisi ... Lakini uliona wapi tile kama hiyo? Tile itakuwa badala ya cm kwa cm.Na kisha utateswa na "kuhesabu kwa kidole chako". Kisha unapaswa kuzidisha. Kwa hiyo, kwa upande mmoja wa chini ya bwawa, tutafaa tiles (vipande) na kwa upande mwingine, pia, tiles. Kuzidisha kwa, unapata tiles ().

Umegundua kuwa tulizidisha nambari sawa peke yake ili kuamua eneo la chini ya bwawa? Ina maana gani? Kwa kuwa nambari sawa imezidishwa, tunaweza kutumia mbinu ya udhihirisho. (Kwa kweli, unapokuwa na nambari mbili tu, bado unahitaji kuzizidisha au kuziinua kwa nguvu. Lakini ikiwa una nyingi, basi kuinua kwa nguvu ni rahisi zaidi na pia kuna makosa machache katika mahesabu. Kwa mtihani, hii ni muhimu sana).
Kwa hiyo, thelathini hadi shahada ya pili itakuwa (). Au unaweza kusema kuwa mraba thelathini itakuwa. Kwa maneno mengine, nguvu ya pili ya nambari inaweza kuwakilishwa kama mraba kila wakati. Na kinyume chake, ukiona mraba, ni DAIMA nguvu ya pili ya nambari fulani. Mraba ni taswira ya nguvu ya pili ya nambari.

Mfano wa maisha halisi #2

Hapa kuna kazi kwako, hesabu ni miraba ngapi kwenye ubao wa chess ukitumia mraba wa nambari ... Upande mmoja wa seli na kwa upande mwingine pia. Ili kuhesabu idadi yao, unahitaji kuzidisha nane kwa nane, au ... ikiwa unaona kwamba chessboard ni mraba na upande, basi unaweza mraba nane. Pata seli. () Kwa hiyo?

Mfano wa maisha halisi #3

Sasa mchemraba au nguvu ya tatu ya nambari. Bwawa sawa. Lakini sasa unahitaji kujua ni maji ngapi yatalazimika kumwagika kwenye bwawa hili. Unahitaji kuhesabu kiasi. (Volumes na liquids, kwa njia, hupimwa kwa mita za ujazo. Haijatarajiwa, sawa?) Chora bwawa: chini ya mita kwa ukubwa na kina cha mita na jaribu kuhesabu ni mita ngapi ya cubes ya mita itaingia kwenye bwawa lako.

Ingiza tu kidole chako na uhesabu! Moja, mbili, tatu, nne…ishirini na mbili, ishirini na tatu… Ilikua kiasi gani? Je, si kupotea? Je, ni vigumu kuhesabu kwa kidole chako? Kwahivyo! Chukua mfano kutoka kwa wanahisabati. Wao ni wavivu, kwa hiyo waliona kwamba ili kuhesabu kiasi cha bwawa, unahitaji kuzidisha urefu, upana na urefu kwa kila mmoja. Kwa upande wetu, kiasi cha bwawa kitakuwa sawa na cubes ... Rahisi zaidi, sawa?

Sasa fikiria jinsi wanahisabati walivyo wavivu na wajanja ikiwa watafanya hivyo kuwa rahisi sana. Imepunguza kila kitu kwa hatua moja. Waliona kwamba urefu, upana na urefu ni sawa na kwamba idadi sawa ni kuongezeka kwa yenyewe ... Na hii ina maana gani? Hii ina maana kwamba unaweza kutumia shahada. Kwa hiyo, kile ulichohesabu mara moja kwa kidole, wanafanya kwa hatua moja: tatu katika mchemraba ni sawa. Imeandikwa hivi:

Inabaki tu kukariri meza ya digrii. Isipokuwa, bila shaka, wewe ni mvivu na mjanja kama wanahisabati. Ikiwa unapenda kufanya kazi kwa bidii na kufanya makosa, unaweza kuendelea kuhesabu kwa kidole chako.

Kweli, ili hatimaye kukushawishi kuwa digrii hizo ziligunduliwa na loafers na watu wenye hila kutatua shida zao za maisha, na sio kukuletea shida, hapa kuna mifano michache zaidi kutoka kwa maisha.

Mfano wa maisha halisi #4

Una rubles milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, unapata milioni nyingine kwa kila milioni. Hiyo ni, kila moja ya milioni yako mwanzoni mwa kila mwaka huongezeka maradufu. Utakuwa na pesa ngapi kwa miaka? Ikiwa sasa umekaa na "kuhesabu kwa kidole chako", basi wewe ni mtu mwenye bidii sana na .. mjinga. Lakini uwezekano mkubwa utatoa jibu katika sekunde chache, kwa sababu wewe ni smart! Kwa hiyo, katika mwaka wa kwanza - mara mbili mbili ... katika mwaka wa pili - nini kilichotokea, kwa mbili zaidi, mwaka wa tatu ... Acha! Uligundua kuwa nambari hiyo inazidishwa yenyewe mara moja. Kwa hivyo nguvu mbili hadi tano ni milioni! Sasa fikiria kwamba una ushindani na yule anayehesabu kwa kasi atapata mamilioni haya ... Je, ni thamani ya kukumbuka digrii za nambari, unafikiri nini?

Mfano wa maisha halisi #5

Una milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, unapata mbili zaidi kwa kila milioni. Ni nzuri sawa? Kila milioni ni mara tatu. Utakuwa na pesa ngapi kwa mwaka? Hebu tuhesabu. Mwaka wa kwanza - kuzidisha, kisha matokeo kwa mwingine ... Tayari ni boring, kwa sababu tayari umeelewa kila kitu: tatu huzidishwa na yenyewe mara. Kwa hivyo nguvu ya nne ni milioni. Unahitaji tu kukumbuka kuwa nguvu tatu hadi nne ni au.

Sasa unajua kuwa kwa kuongeza nambari kwa nguvu, utafanya maisha yako kuwa rahisi zaidi. Wacha tuangalie zaidi kile unachoweza kufanya na digrii na kile unachohitaji kujua kuzihusu.

Masharti na dhana ... ili usichanganyikiwe

Kwa hiyo, kwanza, hebu tufafanue dhana. Nini unadhani; unafikiria nini, kielelezo ni nini? Ni rahisi sana - hii ndiyo nambari ambayo iko "juu" ya nguvu ya nambari. Sio kisayansi, lakini wazi na rahisi kukumbuka ...

Naam, wakati huo huo, nini msingi kama huo wa digrii? Hata rahisi zaidi ni nambari iliyo chini, chini.

Hapa kuna picha ili uwe na uhakika.

Kweli, kwa ujumla, ili kujumlisha na kukumbuka bora ... Shahada iliyo na msingi "" na kiashiria "" inasomwa kama "katika digrii" na imeandikwa kama ifuatavyo.

Nguvu ya nambari iliyo na kipeo asilia

Labda tayari umekisia: kwa sababu kipeo ni nambari asilia. Ndiyo, lakini ni nini nambari ya asili? Msingi! Nambari za asili ni zile zinazotumiwa katika kuhesabu wakati wa kuorodhesha vitu: moja, mbili, tatu ... Tunapohesabu vitu, hatusemi: "minus tano", "minus sita", "minus saba". Hatusemi "theluthi moja" au "sifuri nukta tano sehemu ya kumi" pia. Hizi sio nambari za asili. Unafikiri nambari hizi ni nini?

Nambari kama "ondoa tano", "toa sita", "toa saba" hurejelea nambari nzima. Kwa ujumla, nambari kamili ni pamoja na nambari zote asilia, nambari zilizo kinyume na nambari asilia (yaani, zilizochukuliwa na ishara ya minus), na nambari. Zero ni rahisi kuelewa - hii ni wakati hakuna kitu. Na nambari hasi ("minus") inamaanisha nini? Lakini ziligunduliwa kimsingi kuashiria deni: ikiwa una usawa kwenye simu yako katika rubles, hii inamaanisha kuwa unadaiwa rubles za waendeshaji.

Sehemu zote ni nambari za busara. Walikujaje, unafikiri? Rahisi sana. Miaka elfu kadhaa iliyopita, babu zetu waligundua kwamba hawakuwa na idadi ya kutosha ya asili ya kupima urefu, uzito, eneo, nk. Na walikuja na nambari za busara… Inavutia, sivyo?

Pia kuna nambari zisizo na maana. Nambari hizi ni nini? Kwa kifupi, sehemu ya desimali isiyo na kikomo. Kwa mfano, ikiwa unagawanya mzunguko wa mduara kwa kipenyo chake, basi unapata nambari isiyo na maana.

Muhtasari:

Wacha tufafanue wazo la digrii, kielelezo chake ambacho ni nambari asilia (hiyo ni nambari kamili na chanya).

1. Nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe:
2. Kuweka nambari mraba ni kuzidisha peke yake:
3. Kuweka nambari ni kuzidisha yenyewe mara tatu:

Ufafanuzi. Kuinua nambari kwa nguvu asilia ni kuzidisha nambari peke yake mara:
.

Tabia za digrii

Mali hizi zimetoka wapi? Nitakuonyesha sasa.

Hebu tuone ni nini na ?

Kwa ufafanuzi:

Je, kuna vizidishi vingapi kwa jumla?

Ni rahisi sana: tuliongeza sababu kwa sababu, na matokeo yake ni sababu.

Lakini kwa ufafanuzi, hii ni kiwango cha nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni: , ambayo ilihitajika kuthibitishwa.

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho:

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho: Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu lazima lazima iwe sababu sawa!
Kwa hivyo, tunachanganya digrii na msingi, lakini kubaki sababu tofauti:

tu kwa bidhaa za mamlaka!

Kwa hali yoyote unapaswa kuandika hivyo.

2. yaani - Nguvu ya nambari

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeuke kwa ufafanuzi wa digrii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa kweli, hii inaweza kuitwa "bracketing kiashiria". Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:

Hebu tukumbuke fomula za kuzidisha kwa kifupi: ni mara ngapi tulitaka kuandika?

Lakini hiyo si kweli, kwa kweli.

Shahada yenye msingi hasi

Hadi kufikia hatua hii, tumejadili tu kile kielelezo kinapaswa kuwa.

Lakini msingi unapaswa kuwa nini?

Katika digrii kutoka kiashiria cha asili msingi unaweza kuwa nambari yoyote. Hakika, tunaweza kuzidisha nambari yoyote kwa kila mmoja, iwe ni chanya, hasi, au hata.

Wacha tufikirie juu ya ishara gani (" " au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari itakuwa chanya au hasi? A? ? Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Baada ya yote, tunakumbuka sheria rahisi kutoka kwa daraja la 6: "mara minus minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa, inageuka.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

Je, uliweza?

Hapa kuna majibu: Katika mifano minne ya kwanza, natumai kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo, na kutumia sheria inayofaa.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mfano 5), kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa chanya kila wakati.

Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena!

6 mifano ya mazoezi

Uchambuzi wa suluhisho 6 mifano

Ikiwa hatuzingatii daraja la nane, tunaona nini hapa? Wacha tuangalie programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, kumbuka? Hii ndiyo fomula iliyofupishwa ya kuzidisha, yaani tofauti ya miraba! Tunapata:

Tunaangalia kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio usio sahihi wa masharti. Ikiwa zilibadilishwa, sheria inaweza kutumika.

Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa ni rahisi sana: hata shahada ya denominator inatusaidia hapa.

Masharti yamebadilisha maeneo kichawi. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa uhuru ishara kwenye mabano.

Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

mzima tunataja nambari za asili, kinyume chake (hiyo ni, kuchukuliwa na ishara "") na nambari.

nambari chanya, na sio tofauti na asili, basi kila kitu kinaonekana sawa na katika sehemu iliyopita.

Sasa hebu tuangalie kesi mpya. Wacha tuanze na kiashiria sawa na.

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja:

Kama kawaida, tunajiuliza: kwa nini hii ni hivyo?

Fikiria nguvu fulani na msingi. Chukua, kwa mfano, na uzidishe kwa:

Kwa hivyo, tulizidisha nambari kwa, na tukapata sawa na ilivyokuwa -. Ni nambari gani inapaswa kuzidishwa ili hakuna kitu kinachobadilika? Hiyo ni kweli, endelea. Maana.

Tunaweza kufanya vivyo hivyo na nambari ya kiholela:

Wacha turudie sheria:

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja.

Lakini kuna tofauti kwa sheria nyingi. Na hapa pia iko - hii ni nambari (kama msingi).

Kwa upande mmoja, lazima iwe sawa na shahada yoyote - bila kujali ni kiasi gani unazidisha sifuri peke yake, bado unapata sifuri, hii ni wazi. Lakini kwa upande mwingine, kama nambari yoyote hadi digrii sifuri, lazima iwe sawa. Kwa hivyo ukweli wa hii ni nini? Wanahisabati waliamua kutojihusisha na kukataa kuongeza sifuri hadi nguvu ya sifuri. Hiyo ni, sasa hatuwezi tu kugawanya kwa sifuri, lakini pia kuinua kwa nguvu ya sifuri.

Twende mbele zaidi. Mbali na nambari za asili na nambari, nambari kamili ni pamoja na nambari hasi. Ili kuelewa digrii hasi ni nini, wacha tufanye sawa na mara ya mwisho: tunazidisha nambari fulani ya kawaida kwa sawa katika kiwango hasi:

Kuanzia hapa tayari ni rahisi kuelezea unayotaka:

Sasa tunapanua sheria inayosababisha kwa kiwango cha kiholela:

Kwa hivyo, wacha tutengeneze sheria:

Nambari hadi nguvu hasi ni kinyume cha nambari sawa hadi nguvu chanya. Lakini wakati huo huo msingi hauwezi kuwa batili:(kwa sababu haiwezekani kugawanyika).

Hebu tufanye muhtasari:

I. Usemi haufafanuliwa katika hali. Ikiwa, basi.

II. Nambari yoyote kwa nguvu ya sifuri ni sawa na moja: .

III. Nambari ambayo si sawa na sifuri kwa nguvu hasi ni kinyume cha nambari sawa hadi nguvu chanya: .

Kazi za suluhisho la kujitegemea:

Kweli, kama kawaida, mifano ya suluhisho la kujitegemea:

Uchambuzi wa kazi kwa suluhisho la kujitegemea:

Najua, najua, nambari zinatisha, lakini kwenye mtihani lazima uwe tayari kwa chochote! Tatua mifano hii au uchanganue suluhisho lake ikiwa hukuweza kuitatua na utajifunza jinsi ya kukabiliana nayo kwa urahisi kwenye mtihani!

Wacha tuendelee kupanua mduara wa nambari "zinazofaa" kama kielelezo.

Sasa fikiria nambari za busara. Ni nambari gani zinazoitwa mantiki?

Jibu: yote ambayo yanaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni integers, zaidi ya hayo.

Ili kuelewa ni nini "shahada ya sehemu" Wacha tuzingatie sehemu:

Wacha tuinue pande zote mbili za equation kwa nguvu:

Sasa kumbuka kanuni "shahada kwa digrii":

Ni nambari gani inapaswa kuongezwa ili kupata nguvu?

Uundaji huu ndio ufafanuzi wa mzizi wa digrii ya th.

Acha nikukumbushe: mzizi wa nguvu ya nambari () ni nambari ambayo, inapoinuliwa kwa nguvu, ni sawa.

Hiyo ni, mzizi wa shahada ya th ni uendeshaji wa inverse wa ufafanuzi: .

Inageuka kuwa. Kwa wazi, kesi hii maalum inaweza kupanuliwa:.

Sasa ongeza nambari: ni nini? Jibu ni rahisi kupata na sheria ya nguvu-kwa-nguvu:

Lakini msingi unaweza kuwa nambari yoyote? Baada ya yote, mzizi hauwezi kutolewa kutoka kwa nambari zote.

Hakuna!

Kumbuka sheria: nambari yoyote iliyoinuliwa hadi nguvu sawa ni nambari chanya. Hiyo ni, haiwezekani kutoa mizizi ya digrii hata kutoka kwa nambari hasi!

Na hii inamaanisha kuwa nambari kama hizo haziwezi kuinuliwa kwa nguvu ya sehemu na dhehebu hata, ambayo ni kusema, usemi hauna maana.

Vipi kuhusu kujieleza?

Lakini hapa tatizo linatokea.

Nambari inaweza kuwakilishwa kama sehemu zingine, zilizopunguzwa, kwa mfano, au.

Na inageuka kuwa iko, lakini haipo, na hizi ni rekodi mbili tofauti za nambari sawa.

Au mfano mwingine: mara moja, basi unaweza kuandika. Lakini mara tu tunapoandika kiashiria kwa njia tofauti, tunapata shida tena: (yaani, tulipata matokeo tofauti kabisa!).

Ili kuepuka utata kama huo, fikiria kipeo chanya cha msingi pekee chenye kipeo cha sehemu.

Kwa hivyo ikiwa:

• - nambari ya asili;
• ni nambari kamili;

Mifano:

Nguvu zilizo na kipeo cha busara ni muhimu sana kwa kubadilisha misemo na mizizi, kwa mfano:

5 mifano ya mazoezi

Uchambuzi wa mifano 5 ya mafunzo

Kweli, sasa - ngumu zaidi. Sasa tutachambua shahada na kipeo kisicho na mantiki.

Sheria zote na sifa za digrii hapa ni sawa kabisa na digrii zilizo na kielelezo cha busara, isipokuwa

Kwa kweli, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na mantiki ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili (yaani, nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa zile za busara).

Wakati wa kusoma digrii kwa kiashirio cha asili, kamili na cha kimantiki, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi.

Kwa mfano, kielelezo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa;

...nguvu sifuri- hii ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado haijaanza kuzidishwa, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo, matokeo yake ni "maandalizi fulani ya nambari”, ambayo ni nambari;

...kipeo kamili hasi- ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umefanyika, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Kwa njia, sayansi mara nyingi hutumia digrii na kielelezo changamani, ambayo ni, kielelezo sio nambari halisi.

Lakini shuleni, hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

AMBAPO TUNA UHAKIKA UTAKWENDA! (ikiwa utajifunza jinsi ya kutatua mifano kama hii :))

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Uchambuzi wa suluhisho:

1. Wacha tuanze na sheria ya kawaida ya kuongeza digrii hadi digrii:

Sasa angalia alama. Je, anakukumbusha chochote? Tunakumbuka fomula ya kuzidisha kwa kifupi tofauti ya miraba:

Kwa kesi hii,

Inageuka kuwa:

Jibu: .

2. Tunaleta sehemu katika vipeo kwa muundo sawa: ama desimali au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:

Jibu: 16

3. Hakuna maalum, tunatumia sifa za kawaida za digrii:

KIWANGO CHA JUU

Ufafanuzi wa shahada

Shahada ni kielelezo cha fomu: , ambapo:

• — msingi wa shahada;
• - kielelezo.

Shahada yenye kipeo asilia (n = 1, 2, 3,...)

Kuinua nambari hadi nguvu asilia n inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:

Nguvu yenye kipeo kamili (0, ±1, ±2,...)

Ikiwa kipeo ni nambari chanya nambari:

erection kwa nguvu sifuri:

Usemi huo hauna kikomo, kwa sababu, kwa upande mmoja, kwa kiwango chochote ni hiki, na kwa upande mwingine, nambari yoyote hadi digrii ya th ni hii.

Ikiwa kipeo ni hasi kamili nambari:

(kwa sababu haiwezekani kugawanyika).

Wakati mmoja zaidi kuhusu nulls: usemi haujafafanuliwa katika kesi hiyo. Ikiwa, basi.

Mifano:

Shahada yenye kipeo cha busara

• - nambari ya asili;
• ni nambari kamili;

Mifano:

Tabia za digrii

Ili iwe rahisi kutatua matatizo, hebu jaribu kuelewa: mali hizi zilitoka wapi? Hebu tuyathibitishe.

Wacha tuone: ni nini na?

Kwa ufafanuzi:

Kwa hivyo, upande wa kulia wa usemi huu, bidhaa ifuatayo inapatikana:

Lakini kwa ufafanuzi, hii ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni:

Q.E.D.

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : .

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu lazima lazima iwe na msingi sawa. Kwa hivyo, tunachanganya digrii na msingi, lakini kubaki sababu tofauti:

Ujumbe mwingine muhimu: sheria hii - tu kwa bidhaa za mamlaka!

Kwa hali yoyote sipaswi kuandika hivyo.

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeuke kwa ufafanuzi wa digrii:

Wacha tuipange upya kama hii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio -th nguvu ya nambari:

Kwa kweli, hii inaweza kuitwa "bracketing kiashiria". Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:!

Hebu tukumbuke fomula za kuzidisha kwa kifupi: ni mara ngapi tulitaka kuandika? Lakini hiyo si kweli, kwa kweli.

Nguvu yenye msingi hasi.

Hadi wakati huu, tumejadili tu kile kinachopaswa kuwa kiashirio shahada. Lakini msingi unapaswa kuwa nini? Katika digrii kutoka asili kiashirio msingi unaweza kuwa nambari yoyote .

Hakika, tunaweza kuzidisha nambari yoyote kwa kila mmoja, iwe ni chanya, hasi, au hata. Hebu fikiria juu ya ishara gani ("" au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari itakuwa chanya au hasi? A? ?

Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Baada ya yote, tunakumbuka sheria rahisi kutoka kwa daraja la 6: "mara minus minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa (), tunapata -.

Na kadhalika ad infinitum: kwa kuzidisha kila baadae, ishara itabadilika. Unaweza kuunda sheria hizi rahisi:

1. hata shahada, - nambari chanya.
2. Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
3. Nambari chanya kwa nguvu yoyote ni nambari chanya.
4. Sufuri kwa nguvu yoyote ni sawa na sifuri.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

Je, uliweza? Hapa kuna majibu:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mifano minne ya kwanza, natumaini kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo, na kutumia sheria inayofaa.

Katika mfano 5), kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa chanya kila wakati. Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena. Hapa unahitaji kujua ambayo ni kidogo: au? Ikiwa unakumbuka hilo, inakuwa wazi kwamba, ambayo ina maana kwamba msingi ni chini ya sifuri. Hiyo ni, tunatumia kanuni ya 2: matokeo yatakuwa mabaya.

Na tena tunatumia ufafanuzi wa digrii:

Kila kitu ni kama kawaida - tunaandika ufafanuzi wa digrii na kuzigawanya kwa kila mmoja, kuzigawanya katika jozi na kupata:

Kabla ya kuchambua sheria ya mwisho, hebu tutatue mifano michache.

Kuhesabu maadili ya maneno:

Ufumbuzi :

Ikiwa hatuzingatii daraja la nane, tunaona nini hapa? Wacha tuangalie programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, kumbuka? Hii ndiyo fomula iliyofupishwa ya kuzidisha, yaani tofauti ya miraba!

Tunapata:

Tunaangalia kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio usio sahihi wa masharti. Ikiwa zingebadilishwa, sheria ya 3 inaweza kutumika. Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa ni rahisi sana: hata shahada ya denominator inatusaidia hapa.

Ukizidisha kwa, hakuna kinachobadilika, sawa? Lakini sasa inaonekana kama hii:

Masharti yamebadilisha maeneo kichawi. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa uhuru ishara kwenye mabano. Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja! Haiwezi kubadilishwa kwa kubadilisha minus moja tu isiyofaa kwetu!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Kwa hivyo sasa sheria ya mwisho:

Je, tutathibitishaje hilo? Kwa kweli, kama kawaida: wacha tupanue wazo la digrii na kurahisisha:

Naam, sasa hebu tufungue mabano. Kutakuwa na barua ngapi? mara na vizidishi - inaonekanaje? Hii sio chochote ila ufafanuzi wa operesheni kuzidisha: jumla kuna wazidishaji. Hiyo ni, kwa ufafanuzi, nguvu ya nambari iliyo na kielelezo:

Mfano:

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

Kwa kuongeza habari kuhusu digrii kwa kiwango cha wastani, tutachambua digrii na kiashiria kisicho na mantiki. Sheria zote na mali ya digrii hapa ni sawa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa - baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari (hiyo ni. , nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa zile za busara).

Wakati wa kusoma digrii kwa kiashirio cha asili, kamili na cha kimantiki, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi. Kwa mfano, kielelezo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa; nambari hadi digrii sifuri ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado haijaanza kuzidishwa, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo, matokeo ni tu. fulani "maandalizi ya nambari", ambayo ni nambari; digrii iliyo na kiashiria hasi kamili - ni kana kwamba "mchakato fulani wa nyuma" umetokea, ambayo ni, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Ni vigumu sana kufikiria shahada na kielelezo kisicho na mantiki (kama vile ni vigumu kufikiria nafasi ya 4-dimensional). Badala yake, ni kitu cha kihesabu ambacho wanahisabati wameunda kupanua dhana ya digrii hadi nafasi nzima ya nambari.

Kwa njia, sayansi mara nyingi hutumia digrii na kielelezo changamani, ambayo ni, kielelezo sio nambari halisi. Lakini shuleni, hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

Kwa hivyo tunafanya nini ikiwa tunaona kielezi kisicho na akili? Tunajaribu tuwezavyo kuiondoa! :)

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Majibu:

1. Kumbuka tofauti ya fomula ya mraba. Jibu:.
2. Tunaleta sehemu kwa fomu sawa: ama desimali zote mbili, au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:.
3. Hakuna maalum, tunatumia mali ya kawaida ya digrii:

MUHTASARI WA SEHEMU NA FORMULA YA MSINGI

Shahada inaitwa usemi wa fomu: , ambapo:

Shahada yenye kipeo kamili

shahada, kipeo chake ambacho ni nambari asilia (yaani kamili na chanya).

Shahada yenye kipeo cha busara

shahada, kiashiria ambacho ni nambari hasi na za sehemu.

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

kipeo ambaye kipeo chake ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo au mzizi.

Tabia za digrii

Vipengele vya digrii.

• Nambari hasi imeongezwa hadi hata shahada, - nambari chanya.
• Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
• Nambari chanya kwa nguvu yoyote ni nambari chanya.
• Sifuri ni sawa na nguvu yoyote.
• Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa.

SASA UNA NENO...

Unapendaje makala? Nijulishe kwenye maoni hapa chini ikiwa uliipenda au la.

Tuambie kuhusu matumizi yako na sifa za nishati.

Labda una maswali. Au mapendekezo.

Andika kwenye maoni.

Na bahati nzuri na mitihani yako!