Jinsi ya kutatua equations na logarithm asili. Baadhi ya mbinu za kutatua milinganyo ya logarithmic
Mlinganyo wa logarithmic inaitwa mlinganyo ambapo haijulikani (x) na semi zilizo nayo ziko chini ya ishara ya chaguo la kukokotoa la logarithmic. Kutatua milinganyo ya logarithmic huchukulia kuwa tayari unaifahamu na.
Jinsi ya kutatua equations za logarithmic?
Equation rahisi zaidi ni logi a x = b, ambapo a na b ni baadhi ya nambari, x haijulikani.
Kwa kutatua mlingano wa logarithmic ni x = a b iliyotolewa: a> 0, a 1.
Ikumbukwe kwamba ikiwa x iko mahali fulani nje ya logarithm, kwa mfano logi 2 x = x-2, basi equation hiyo tayari inaitwa mchanganyiko na mbinu maalum inahitajika ili kutatua.
Kesi inayofaa ni hali unapokutana na equation ambayo nambari pekee ziko chini ya ishara ya logarithm, kwa mfano x + 2 = logi 2 2. Hapa inatosha kujua mali ya logarithm kutatua. Lakini aina hii ya bahati haitokei mara kwa mara, kwa hiyo uwe tayari kwa mambo magumu zaidi.
Lakini kwanza, baada ya yote, hebu tuanze na equations rahisi. Ili kuzitatua, inashauriwa kuwa na uelewa wa jumla wa logarithm.
Kutatua milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic
Hizi ni pamoja na milinganyo kama logi 2 x = logi 2 16. Jicho pekee linaweza kuona kwamba tukidondosha ishara ya logariti, tunapata x = 16.
Ili kutatua mlingano changamano zaidi wa logarithmic, kwa kawaida hupunguzwa hadi kusuluhisha mlingano wa kawaida wa aljebra au kusuluhisha logi rahisi zaidi ya mlinganyo wa logarithmic x = b. Katika equations rahisi zaidi, hii hutokea kwa mwendo mmoja, ndiyo sababu wanaitwa wale rahisi zaidi.
Njia iliyo hapo juu ya kupunguza logarithmu ni mojawapo ya njia kuu za kutatua usawa wa logarithmic na kutofautiana. Katika hisabati, operesheni hii inaitwa potentiation. Kuna sheria fulani au vikwazo kwa aina hii ya uendeshaji:
- besi sawa za nambari za logarithmu
- logarithms katika pande zote mbili za equation hupatikana kwa uhuru, i.e. bila mgawo wowote na aina zingine tofauti za misemo.
Hebu tuseme katika logi ya equation 2 x = 2log 2 (1-x) uwezekano hautumiki - mgawo 2 upande wa kulia hauruhusu. Katika mfano unaofuata, logi 2 x + logi 2 (1 - x) = logi 2 (1 + x) pia inashindwa moja ya vikwazo - upande wa kushoto kuna logarithms mbili. Hiyo itakuwa moja - jambo tofauti kabisa!
Kwa ujumla, unaweza kuondoa logarithms ikiwa tu equation ina fomu:
logi a (...) = logi a (...)
Maneno yoyote kabisa yanaweza kupatikana kwenye mabano; hii haina athari kabisa kwenye utendakazi wa uwezo. Na baada ya kuondolewa kwa logarithms, equation rahisi itabaki - linear, quadratic, exponential, nk, ambayo, natumaini, tayari unajua jinsi ya kutatua.
Hebu tuchukue mfano mwingine:
logi 3 (2x-5) = logi 3x
Tunatumia uwezo, tunapata:
logi 3 (2x-1) = 2
Kulingana na ufafanuzi wa logariti, yaani kwamba logariti ni nambari ambayo msingi lazima uinulie ili kupata usemi ulio chini ya ishara ya logariti, i.e. (4x-1), tunapata:
Tulipata jibu zuri tena. Hapa tumeachana na uondoaji wa logariti, lakini uwezekano unatumika hapa, kwa sababu logarithm inaweza kufanywa kutoka kwa nambari yoyote, na haswa ile tunayohitaji. Njia hii inasaidia sana katika kutatua milinganyo ya logarithmic na hasa ukosefu wa usawa.
Wacha tusuluhishe logi yetu ya mlinganyo wa logarithmic 3 (2x-1) = 2 kwa kutumia uwezekano:
Wacha tuwakilishe nambari 2 kama logarithm, kwa mfano, logi kama hiyo 3 9, kwa sababu 3 2 = 9.
Kisha logi 3 (2x-1) = logi 3 9 na tena tunapata equation sawa 2x-1 = 9. Natumaini kila kitu ni wazi.
Kwa hivyo tulichunguza jinsi ya kutatua milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic, ambayo kwa kweli ni muhimu sana, kwa sababu suluhisho la milinganyo ya logarithmic, hata ya kutisha zaidi na iliyopotoka, mwishowe daima huja chini ya kutatua milinganyo rahisi zaidi.
Katika kila kitu tulichofanya hapo juu, tulipoteza mtazamo wa jambo moja muhimu sana, ambalo katika siku zijazo litakuwa na jukumu la kuamua. Ukweli ni kwamba suluhisho la equation yoyote ya logarithmic, hata ya msingi zaidi, ina sehemu mbili sawa. Ya kwanza ni suluhisho la equation yenyewe, ya pili ni kazi na anuwai ya maadili yanayoruhusiwa (ADV). Hiyo ni sehemu ya kwanza tu tumeweza. Katika mifano hapo juu, DHS haiathiri jibu kwa njia yoyote, kwa hiyo hatukuzingatia.
Hebu tuchukue mfano mwingine:
logi 3 (x 2 -3) = logi 3 (2x)
Kwa nje, equation hii sio tofauti na ile ya msingi, ambayo imetatuliwa kwa mafanikio sana. Lakini sivyo. Hapana, kwa kweli, tutasuluhisha, lakini uwezekano mkubwa itakuwa mbaya, kwa sababu kuna shambulio ndogo ndani yake, ambalo wanafunzi wa C na wanafunzi bora hukamatwa mara moja. Hebu tuangalie kwa karibu zaidi.
Wacha tuseme unahitaji kupata mzizi wa equation au jumla ya mizizi, ikiwa kuna kadhaa:
logi 3 (x 2 -3) = logi 3 (2x)
Tunatumia potentiation, hapa inaruhusiwa. Kama matokeo, tunapata equation ya kawaida ya quadratic.
Tafuta mizizi ya equation:
Iligeuka mizizi miwili.
Jibu: 3 na -1
Kwa mtazamo wa kwanza, kila kitu ni sawa. Lakini hebu tuangalie matokeo na tuunganishe kwenye equation ya awali.
Wacha tuanze na x 1 = 3:
kumbukumbu 3 6 = kumbukumbu 3 6
Cheki ilifanikiwa, sasa foleni x 2 = -1:
logi 3 (-2) = logi 3 (-2)
Kwa hivyo acha! Kwa nje, kila kitu ni kamili. Jambo moja - hakuna logarithms ya nambari hasi! Hii inamaanisha kuwa mzizi x = -1 haufai kusuluhisha mlinganyo wetu. Na kwa hivyo jibu sahihi litakuwa 3, sio 2, kama tulivyoandika.
Ilikuwa hapa kwamba ODZ ilicheza jukumu lake mbaya, ambalo tumesahau kuhusu.
Acha nikukumbushe kuwa chini ya anuwai ya maadili halali, maadili kama haya ya x yanakubaliwa ambayo yanaruhusiwa au yana maana kwa mfano asili.
Bila ODZ, suluhisho lolote, hata moja sahihi kabisa, ya equation yoyote inageuka kuwa bahati nasibu - 50/50.
Tunawezaje kukamatwa tunaposuluhisha mfano unaoonekana kuwa wa msingi? Lakini hasa wakati wa potentiation. Logarithms ilipotea, na pamoja nao vikwazo vyote.
Nini, basi, kufanya? Je, unakataa kuondoa logariti? Na kukataa kabisa kutatua equation hii?
Hapana, sisi tu, kama mashujaa halisi kutoka kwa wimbo mmoja maarufu, tutazunguka!
Kabla ya kuendelea na suluhisho la equation yoyote ya logarithmic, tutaandika ODZ. Lakini baada ya hayo, unaweza kufanya chochote ambacho moyo wako unatamani na mlinganyo wetu. Baada ya kupokea jibu, tunatupa tu mizizi hiyo ambayo haijajumuishwa kwenye ODZ yetu, na kuandika toleo la mwisho.
Sasa hebu tuamue jinsi ya kuandika ODZ. Ili kufanya hivyo, tunachunguza kwa uangalifu equation ya asili na kutafuta maeneo ya tuhuma ndani yake, kama vile mgawanyiko na x, mzizi hata, nk. Hadi tutatue equation, hatujui ni nini x ni sawa, lakini tunajua kabisa kwamba x kama hiyo, ambayo, ikibadilishwa, itatoa mgawanyiko na 0 au kuchukua mzizi wa mraba wa nambari hasi, hakika haitafanya kazi katika jibu. Kwa hivyo, x kama hizo hazikubaliki, wakati zingine zitaunda ODZ.
Wacha tutumie equation sawa tena:
logi 3 (x 2 -3) = logi 3 (2x)
logi 3 (x 2 -3) = logi 3 (2x)
Kama unavyoona, hakuna mgawanyiko kwa 0, hakuna mizizi ya mraba pia, lakini kuna misemo iliyo na x kwenye mwili wa logarithm. Mara moja tunakumbuka kuwa usemi ndani ya logarithm lazima iwe> 0 kila wakati. Tunaandika hali hii kwa namna ya ODZ:
Wale. bado hatujaamua chochote, lakini tayari tumeandika sharti la usemi mzima wa logarithmic. Brace ya curly ina maana kwamba masharti haya lazima yatimizwe kwa wakati mmoja.
ODZ imeandikwa, lakini pia ni muhimu kutatua mfumo unaosababishwa wa kutofautiana, ambayo ndiyo tutafanya. Tunapata jibu x> v3. Sasa tunajua kwa hakika ni x gani haitatufaa. Na kisha tayari tunaanza kutatua equation ya logarithmic yenyewe, ambayo tulifanya hapo juu.
Baada ya kupokea majibu x 1 = 3 na x 2 = -1, ni rahisi kuona kwamba ni x1 = 3 tu ndio inafaa kwetu, na tunaandika kama jibu la mwisho.
Kwa siku zijazo, ni muhimu kukumbuka yafuatayo: tunafanya suluhisho la equation yoyote ya logarithmic katika hatua 2. Ya kwanza - tunatatua equation yenyewe, ya pili - tunatatua hali ya ODZ. Hatua zote mbili zinafanywa kwa kujitegemea na zinalinganishwa tu wakati wa kuandika jibu, i.e. Tupa yote yasiyo ya lazima na uandike jibu sahihi.
Ili kuunganisha nyenzo, tunapendekeza sana kutazama video:
Video inaonyesha mifano mingine ya suluhisho la logi. equations na kufanya kazi nje ya njia ya vipindi katika mazoezi.
Juu ya swali hili, jinsi ya kutatua milinganyo ya logarithmic, kwa sasa. Ikiwa kitu kimeamua na logi. equations ilibakia kuwa wazi au isiyoeleweka, andika maswali yako kwenye maoni.
Kumbuka: Chuo cha Elimu ya Jamii (KSUI) kiko tayari kupokea wanafunzi wapya.
Maandalizi ya mtihani wa mwisho katika hisabati ni pamoja na sehemu muhimu - "Logarithms". Kazi kutoka kwa mada hii lazima ziwemo kwenye mtihani. Uzoefu wa miaka iliyopita unaonyesha kwamba milinganyo ya logarithmic imesababisha matatizo kwa watoto wengi wa shule. Kwa hiyo, wanafunzi wenye viwango tofauti vya mafunzo wanapaswa kuelewa jinsi ya kupata jibu sahihi, na kukabiliana nao haraka.
Kupitisha mtihani wa vyeti kwa ufanisi kwa kutumia portal ya elimu "Shkolkovo"!
Wakati wa kuandaa mtihani wa umoja wa serikali, wahitimu wa shule ya upili wanahitaji chanzo cha kuaminika ambacho hutoa habari kamili na sahihi kwa suluhisho la mafanikio la shida za mtihani. Walakini, kitabu cha kiada sio karibu kila wakati, na kutafuta sheria na kanuni muhimu kwenye mtandao mara nyingi huchukua muda.
Portal ya elimu "Shkolkovo" hukuruhusu kujiandaa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja mahali popote wakati wowote. Tovuti yetu inatoa mbinu rahisi zaidi ya kurudia na kuiga kiasi kikubwa cha habari juu ya logarithms, pamoja na moja na kadhaa haijulikani. Anza na milinganyo rahisi. Ikiwa ulishughulikia kwa urahisi, nenda kwa ngumu zaidi. Ikiwa una matatizo ya kutatua ukosefu fulani wa usawa, unaweza kuiongeza kwenye Vipendwa vyako ili uweze kurejea tena baadaye.
Unaweza kupata fomula zinazohitajika kukamilisha kazi, kurudia kesi maalum na njia za kuhesabu mzizi wa equation ya kawaida ya logarithmic kwa kuangalia sehemu ya "Rejea ya Kinadharia". Walimu wa Shkolkovo wamekusanya, kuweka utaratibu na kuwasilisha vifaa vyote muhimu kwa utoaji wa mafanikio kwa fomu rahisi zaidi na inayoeleweka.
Ili kukabiliana kwa urahisi na kazi za ugumu wowote, kwenye portal yetu unaweza kujijulisha na suluhisho la hesabu za kawaida za logarithmic. Ili kufanya hivyo, nenda kwenye sehemu ya "Directory". Tumewasilisha idadi kubwa ya mifano, ikiwa ni pamoja na milinganyo ya kiwango cha wasifu wa mtihani katika hisabati.
Wanafunzi kutoka shule kote Urusi wanaweza kutumia tovuti yetu. Ili kuanza, jiandikishe tu kwenye mfumo na uanze kutatua hesabu. Ili kuunganisha matokeo, tunakushauri kurudi kwenye tovuti ya Shkolkovo kila siku.
Na video hii, ninaanza mfululizo mrefu wa mafunzo juu ya milinganyo ya logarithmic. Sasa una mifano mitatu mara moja, kwa msingi ambao tutajifunza kutatua matatizo rahisi zaidi, ambayo huitwa hivyo - protozoa.
logi 0.5 (3x - 1) = -3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Acha nikukumbushe kuwa equation rahisi zaidi ya logarithmic ni ifuatayo:
logi a f (x) = b
Katika kesi hii, ni muhimu kwamba variable x iko tu ndani ya hoja, yaani, tu katika kazi f (x). Na nambari a na b ni nambari tu, na kwa hali yoyote hakuna vitendaji vilivyo na mabadiliko ya x.
Njia za msingi za suluhisho
Kuna njia nyingi za kutatua miundo kama hiyo. Kwa mfano, walimu wengi shuleni wanapendekeza hivi: Eleza mara moja kazi f (x) kwa fomula. f ( x) = a b. Hiyo ni, unapokutana na ujenzi rahisi zaidi, unaweza kwenda moja kwa moja kwenye suluhisho bila vitendo vya ziada na ujenzi.
Ndio, kwa kweli, uamuzi utageuka kuwa sahihi. Walakini, shida ya fomula hii ni kwamba wanafunzi wengi sielewi, inatoka wapi na kwa nini tunapandisha herufi a hadi herufi b.
Matokeo yake, mara nyingi mimi huona makosa ya kukera sana wakati, kwa mfano, barua hizi zinabadilishwa. Fomula hii lazima ieleweke au kubatizwa, na njia ya pili husababisha makosa katika wakati usiofaa na muhimu zaidi: kwenye mitihani, majaribio, n.k.
Ndio maana ninapendekeza kwa wanafunzi wangu wote kuachana na fomula ya kawaida ya shule na kutumia mbinu ya pili kutatua hesabu za logarithmic, ambazo, kama unavyokisia tayari kutoka kwa jina, huitwa. fomu ya kisheria.
Wazo nyuma ya fomu ya kisheria ni rahisi. Wacha tuangalie tena shida yetu: upande wa kushoto tuna logi a, wakati herufi a inamaanisha nambari haswa, na kwa hali yoyote hakuna chaguo la kukokotoa lililo na x tofauti. Kwa hiyo, barua hii inakabiliwa na vikwazo vyote vinavyowekwa kwa msingi wa logarithm. yaani:
1 ≠ a> 0
Kwa upande mwingine, kutoka kwa equation sawa tunaona kwamba logarithm lazima iwe sawa na nambari b, na hakuna vikwazo vinavyowekwa kwa barua hii, kwa sababu inaweza kuchukua maadili yoyote - chanya na hasi. Yote inategemea ni maadili gani kazi f (x) inachukua.
Na hapa tunakumbuka sheria yetu nzuri kwamba nambari yoyote b inaweza kuwakilishwa kama logariti hadi msingi kutoka a hadi nguvu ya b:
b = logi a b
Je, unaikumbukaje formula hii? Ni rahisi sana. Wacha tuandike muundo ufuatao:
b = b 1 = b logi a
Bila shaka, vikwazo vyote ambavyo tuliandika mwanzoni hutokea. Sasa hebu tutumie mali ya msingi ya logarithm na tutambue sababu b kama nguvu ya a. Tunapata:
b = b 1 = b logi a = logi a b
Kama matokeo, equation ya asili itaandikwa tena kama ifuatavyo:
logi a f (x) = logi a b → f (x) = a b
Ni hayo tu. Chaguo za kukokotoa mpya hazina logariti na hutatuliwa kwa kutumia mbinu za kawaida za aljebra.
Kwa kweli, mtu sasa atapinga: kwa nini ujisumbue kuja na aina fulani ya fomula ya kisheria, kwa nini ufanye hatua mbili za ziada zisizo za lazima, ikiwa unaweza kwenda mara moja kutoka kwa ujenzi wa awali hadi fomula ya mwisho? Ndio, hata hivyo, kwamba wengi wa wanafunzi hawaelewi fomula hii inatoka wapi na, kwa sababu hiyo, hufanya makosa mara kwa mara wakati wa kuitumia.
Lakini mlolongo huu wa vitendo, unaojumuisha hatua tatu, hukuruhusu kutatua equation ya asili ya logarithmic, hata ikiwa hauelewi fomula ya mwisho inatoka wapi. Kwa njia, rekodi hii inaitwa formula ya kisheria:
logi a f (x) = logi a a b
Urahisi wa fomu ya kisheria pia iko katika ukweli kwamba inaweza kutumika kutatua darasa pana sana la equations za logarithmic, na sio tu rahisi zaidi tunayozingatia leo.
Mifano ya suluhisho
Sasa hebu tuangalie mifano halisi ya maisha. Kwa hivyo, tunaamua:
logi 0.5 (3x - 1) = -3
Wacha tuiandike tena kama hii:
logi 0.5 (3x - 1) = logi 0.5 0.5 -3
Wanafunzi wengi wana haraka na wanajaribu kuongeza mara moja nambari 0.5 kwa nguvu ambayo ilitujia kutoka kwa shida ya asili. Hakika, wakati tayari umefundishwa vizuri katika kutatua matatizo hayo, unaweza kufuata hatua hii mara moja.
Walakini, ikiwa sasa unaanza kusoma mada hii, ni bora sio kukimbilia popote ili usifanye makosa ya kukasirisha. Kwa hivyo, tunayo fomu ya kisheria mbele yetu. Tuna:
3x - 1 = 0.5 -3
Huu sio tena mlinganyo wa logarithmic, lakini ni mstari unaohusiana na mabadiliko ya x. Ili kutatua hili, hebu kwanza tushughulike na nambari 0.5 hadi -3 nguvu. Kumbuka kuwa 0.5 ni 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Badilisha desimali zote kuwa sehemu za kawaida unapotatua mlingano wa logarithmic.
Tunaandika tena na kupata:
3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3
Ni hayo tu, tumepata jibu. Kazi ya kwanza imetatuliwa.
Jukumu la pili
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
Kama unaweza kuona, equation hii sio rahisi zaidi. Ikiwa tu kwa sababu tofauti iko upande wa kushoto, na sio logarithm moja kwenye msingi mmoja.
Kwa hiyo, unahitaji kwa namna fulani kuondokana na tofauti hii. Katika kesi hii, kila kitu ni rahisi sana. Wacha tuangalie kwa karibu besi: upande wa kushoto ni nambari iliyo chini ya mzizi:
Mapendekezo ya jumla: katika hesabu zote za logarithmic, jaribu kuondoa radicals, ambayo ni, kutoka kwa rekodi zilizo na mizizi na uende kwa kazi za nguvu, kwa sababu wawakilishi wa nguvu hizi hutolewa kwa urahisi nje ya ishara ya logarithm, na mwishowe. , rekodi kama hiyo hurahisisha sana na kuharakisha mahesabu. Hebu tuandike kama hii:
Sasa tunakumbuka mali ya ajabu ya logarithm: kutoka kwa hoja, na pia kutoka kwa msingi, unaweza kupata digrii. Katika kesi ya sababu, zifuatazo hutokea:
logi a k b = 1 / k logi b
Kwa maneno mengine, nambari iliyosimama katika kiwango cha msingi inafanywa mbele na wakati huo huo inageuka, yaani, inakuwa nambari ya kinyume. Kwa upande wetu, kulikuwa na kiwango cha msingi na kielelezo cha 1/2. Kwa hivyo, tunaweza kuitoa kama 2/1. Tunapata:
5 2 kumbukumbu 5 x - logi 5 x = 18
logi 10 5 x - logi 5 x = 18
Tafadhali kumbuka: kwa hali yoyote unapaswa kuondoa logarithms katika hatua hii. Kumbuka hisabati ya darasa la 4-5 na utaratibu: kwanza, kuzidisha kunafanywa, na kisha tu kuongeza na kutoa. Katika kesi hii, tunatoa moja ya sawa kutoka kwa vipengele 10:
9 kumbukumbu 5 x = 18
logi 5 x = 2
Sasa equation yetu inaonekana kama inapaswa. Huu ndio muundo rahisi zaidi, na tunasuluhisha kwa fomu ya kisheria:
kumbukumbu 5 x = kumbukumbu 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Ni hayo tu. Kazi ya pili imetatuliwa.
Mfano wa tatu
Wacha tuendelee kwenye kazi ya tatu:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Acha nikukumbushe formula ifuatayo:
lg b = logi 10 b
Ikiwa kwa sababu fulani umechanganyikiwa na logi b, basi wakati wa kufanya mahesabu yote, unaweza tu kuingia 10 b. Unaweza kufanya kazi na logariti za desimali kwa njia sawa na zingine: toa digrii, ongeza na uwakilishe nambari zozote katika fomu lg 10.
Ni mali hizi ambazo tutatumia sasa kutatua shida, kwani sio ile rahisi ambayo tuliandika mwanzoni mwa somo letu.
Kuanza, kumbuka kuwa kipengele cha 2 kabla ya lg 5 kinaweza kuletwa na kuwa nguvu ya msingi 5. Kwa kuongeza, neno la bure la 3 linaweza pia kuwakilishwa kama logarithm - hii ni rahisi sana kuchunguza kutoka kwa nukuu yetu.
Jaji mwenyewe: nambari yoyote inaweza kuwakilishwa kama msingi wa kumbukumbu 10:
3 = kumbukumbu 10 10 3 = kumbukumbu 10 3
Hebu tuandike upya tatizo la awali kwa kuzingatia mabadiliko yaliyopokelewa:
lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
logi (x - 3) = logi 1000 25
lg (x - 3) = lg 25,000
Mbele yetu kuna fomu ya kisheria tena, na tuliipata, tukipita hatua ya mabadiliko, ambayo ni, mlinganyo rahisi wa logarithmic haujawahi kutokea katika nchi yetu.
Hivi ndivyo nilivyozungumza mwanzoni kabisa mwa somo. Fomu ya kisheria inaruhusu kutatua darasa pana la matatizo kuliko fomula ya kawaida ya shule inayotolewa na walimu wengi wa shule.
Kweli, hiyo ndiyo yote, tunaondoa ishara ya logarithm ya decimal, na tunapata muundo rahisi wa mstari:
x + 3 = 25,000
x = 24,997
Kila kitu! Tatizo limetatuliwa.
Ujumbe juu ya upeo
Hapa ningependa kutoa maoni muhimu kuhusu wigo wa ufafanuzi. Hakika sasa kuna wanafunzi na walimu ambao watasema: "Tunapotatua misemo kwa logarithms, ni muhimu kukumbuka kwamba hoja f (x) lazima iwe kubwa kuliko sifuri!" Katika suala hili, swali la mantiki linatokea: kwa nini hakuna matatizo yoyote yaliyozingatiwa tulihitaji usawa huu kutimizwa?
Usijali. Hakuna mizizi ya ziada itatokea katika kesi hizi. Na hii ni hila nyingine nzuri ambayo inakuwezesha kuharakisha ufumbuzi. Jua tu kwamba ikiwa katika shida kutofautisha x kunatokea katika sehemu moja tu (au tuseme, katika hoja moja ya logarithm moja), na hakuna mahali pengine katika kesi yetu kuna kutofautisha x, basi andika kikoa. sio lazima kwa sababu itaendesha moja kwa moja.
Jaji mwenyewe: katika equation ya kwanza tulipata kwamba 3x - 1, yaani, hoja lazima iwe sawa na 8. Hii ina maana moja kwa moja kwamba 3x - 1 itakuwa kubwa kuliko sifuri.
Kwa mafanikio sawa, tunaweza kuandika kwamba katika kesi ya pili x lazima iwe sawa na 5 2, yaani, hakika ni kubwa kuliko sifuri. Na katika kesi ya tatu, ambapo x + 3 = 25,000, yaani, tena ni wazi zaidi kuliko sifuri. Kwa maneno mengine, kikoa kinaridhika kiotomatiki, lakini tu ikiwa x inatokea tu katika hoja ya logarithm moja tu.
Hiyo ndiyo yote inahitajika kujua kwa kazi za kimsingi. Sheria hii pekee, pamoja na sheria za mabadiliko, itawawezesha kutatua darasa kubwa sana la matatizo.
Lakini hebu tuwe waaminifu: ili hatimaye kuelewa mbinu hii, ili kujifunza jinsi ya kutumia fomu ya kisheria ya equation ya logarithmic, haitoshi tu kutazama mafunzo ya video moja. Kwa hiyo, hivi sasa, pakua chaguo kwa ufumbuzi wa kujitegemea ambao umeunganishwa kwenye mafunzo haya ya video na uanze kutatua angalau moja ya kazi hizi mbili za kujitegemea.
Itakuchukua dakika chache tu. Lakini matokeo ya mafunzo kama haya yatakuwa ya juu zaidi ikilinganishwa na ikiwa umetazama tu mafunzo haya ya video.
Natumai somo hili litakusaidia kuelewa milinganyo ya logarithmic. Tumia fomu ya kisheria, kurahisisha misemo kwa kutumia sheria za kufanya kazi na logarithms - na hakuna tatizo litakalotisha kwako. Na nina kila kitu kwa leo.
Kuzingatia upeo
Sasa hebu tuzungumze juu ya kikoa cha kazi ya logarithmic, na pia jinsi inavyoathiri suluhisho la milinganyo ya logarithmic. Fikiria muundo wa fomu
logi a f (x) = b
Usemi kama huo unaitwa rahisi zaidi - kuna kazi moja tu ndani yake, na nambari a na b ni nambari haswa, na kwa hali yoyote ni kazi ambayo inategemea kutofautisha x. Inaweza kutatuliwa kwa urahisi sana. Unahitaji tu kutumia formula:
b = logi a b
Fomula hii ni moja wapo ya sifa kuu za logarithm, na inapobadilishwa kuwa usemi wetu wa asili, tunapata yafuatayo:
logi a f (x) = logi a a b
f (x) = a b
Hii ni fomula inayojulikana kutoka kwa vitabu vya kiada vya shule. Wanafunzi wengi labda watakuwa na swali: kwa kuwa katika usemi wa asili kazi f (x) iko chini ya ishara ya kumbukumbu, vizuizi vifuatavyo vimewekwa juu yake:
f (x)> 0
Kizuizi hiki kinatumika kwa sababu logariti ya nambari hasi haipo. Kwa hivyo, labda kwa sababu ya kizuizi hiki, unapaswa kuanzisha cheki kwa majibu? Labda zinahitaji kubadilishwa katika chanzo?
Hapana, katika milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic hundi ya ziada sio lazima. Na ndiyo maana. Angalia fomula yetu ya mwisho:
f (x) = a b
Ukweli ni kwamba nambari a kwa hali yoyote ni kubwa kuliko 0 - hitaji hili pia linawekwa na logarithm. Nambari A ndio msingi. Katika kesi hii, hakuna vikwazo vinavyowekwa kwa nambari b. Lakini hii haijalishi, kwa sababu haijalishi ni kiwango gani tunaongeza nambari chanya, kwa matokeo bado tutapata nambari chanya. Kwa hivyo, hitaji la f (x)> 0 linatimizwa kiotomatiki.
Kinachostahili kuangalia ni wigo wa kazi chini ya ishara ya logi. Kunaweza kuwa na miundo ngumu, na katika mchakato wa kuzitatua, lazima ufuate. Hebu tuone.
Jukumu la kwanza:
Hatua ya kwanza: badilisha sehemu iliyo kulia. Tunapata:
Tunaondoa ishara ya logarithm na kupata equation ya kawaida isiyo na maana:
Kati ya mizizi iliyopatikana, ya kwanza tu inafaa kwetu, kwani mzizi wa pili ni chini ya sifuri. Jibu pekee litakuwa namba 9. Hiyo ndiyo yote, tatizo linatatuliwa. Hakuna hundi ya ziada kwamba kujieleza chini ya ishara ya logarithm ni kubwa kuliko 0 haihitajiki, kwa sababu sio tu zaidi ya 0, lakini kwa hali ya equation ni sawa na 2. Kwa hiyo, mahitaji "kubwa kuliko sifuri." " inaridhika moja kwa moja.
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
Kila kitu ni sawa hapa. Tunaandika upya ujenzi, kuchukua nafasi ya tatu:
Tunaondoa ishara za logarithm na kupata equation isiyo na maana:
Tunaweka pande zote mbili, kwa kuzingatia vizuizi, na tunapata:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |: 2
x 2 + 7x + 6 = 0
Tunatatua equation inayotokana na kibaguzi:
D = 49 - 24 = 25
x 1 = -1
x 2 = -6
Lakini x = −6 haitufai, kwa sababu tukibadilisha nambari hii kwa usawa wetu, tunapata:
−6 + 4 = −2 < 0
Kwa upande wetu, inahitajika kuwa kubwa kuliko 0 au, katika hali mbaya, sawa. Lakini x = −1 inatufaa:
−1 + 4 = 3 > 0
Jibu pekee katika kesi yetu ni x = -1. Hilo ndilo suluhisho lote. Hebu turejee mwanzo kabisa wa mahesabu yetu.
Jambo kuu la kuchukua kutoka kwa somo hili ni kwamba hauitaji kuangalia vizuizi kwa chaguo la kukokotoa katika milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic. Kwa sababu katika mchakato wa kutatua vikwazo vyote hukutana moja kwa moja.
Walakini, hii haimaanishi kuwa unaweza kusahau juu ya kuangalia kabisa. Katika mchakato wa kufanya kazi kwenye equation ya logarithmic, inaweza kugeuka kuwa isiyo na maana, ambayo itakuwa na mapungufu yake na mahitaji ya upande wa kulia, kama tulivyoona leo kwenye mifano miwili tofauti.
Jisikie huru kutatua matatizo kama haya na uwe mwangalifu haswa ikiwa kuna mzizi katika mabishano.
Milinganyo ya logarithmic yenye misingi tofauti
Tunaendelea kusoma hesabu za logarithmic na kuchambua hila mbili zaidi za kupendeza kwa msaada ambao ni mtindo kutatua ujenzi ngumu zaidi. Lakini kwanza, hebu tukumbuke jinsi kazi rahisi zaidi zinatatuliwa:
logi a f (x) = b
Katika nukuu hii, a na b ni nambari haswa, na katika kitendakazi f (x) kigezo x lazima kiwepo, na pale tu, yaani, x lazima iwe tu kwenye hoja. Tutabadilisha milinganyo kama hii ya logarithmic kwa kutumia fomu ya kisheria. Ili kufanya hivyo, kumbuka
b = logi a b
Zaidi ya hayo, a b ndio hoja haswa. Wacha tuandike tena usemi huu kama ifuatavyo:
logi a f (x) = logi a a b
Hili ndilo hasa tunalojaribu kufikia, ili kushoto na kulia ziwe logariti kwa msingi a. Katika kesi hii, tunaweza, kwa kusema kwa mfano, kutoa ishara za logi, na kutoka kwa mtazamo wa hisabati, tunaweza kusema kwamba tunasawazisha hoja:
f (x) = a b
Matokeo yake, tutapata usemi mpya ambao utakuwa rahisi sana kutatua. Wacha tutumie sheria hii kwa majukumu yetu leo.
Kwa hivyo muundo wa kwanza:
Kwanza kabisa, ninaona kuwa upande wa kulia ni sehemu iliyo na logi kwenye dhehebu. Unapoona usemi kama huo, haitakuwa mbaya sana kukumbuka mali ya ajabu ya logarithms:
Ikitafsiriwa kwa Kirusi, hii inamaanisha kuwa logariti yoyote inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya logariti mbili na msingi wowote wa s. Bila shaka, 0< с ≠ 1.
Kwa hivyo: formula hii ina kesi moja ya ajabu wakati variable c ni sawa na kutofautiana b. Katika kesi hii, tunapata muundo wa fomu:
Ni ujenzi huu ambao tunaona kutoka kwa ishara hadi kulia katika equation yetu. Wacha tubadilishe ujenzi huu na logi b, tunapata:
Kwa maneno mengine, ikilinganishwa na shida ya asili, tumebadilisha hoja na msingi wa logarithm. Badala yake, tulilazimika kugeuza sehemu hiyo.
Tunakumbuka kuwa digrii yoyote inaweza kutolewa kutoka kwa msingi kulingana na sheria ifuatayo:
Kwa maneno mengine, mgawo k, ambayo ni kiwango cha msingi, hutolewa kama sehemu iliyogeuzwa. Wacha tuitoe kama sehemu iliyogeuzwa:
Sababu ya sehemu haiwezi kuachwa mbele, kwa sababu katika kesi hii hatutaweza kuwakilisha ingizo hili kama fomu ya kisheria (baada ya yote, katika fomu ya kisheria, hakuna sababu ya ziada mbele ya logarithm ya pili). Kwa hivyo, wacha tuweke sehemu 1/4 kwenye hoja kama nguvu:
Sasa tunalinganisha hoja, ambazo misingi yake ni sawa (na misingi yetu ni sawa), na andika:
x + 5 = 1
x = -4
Ni hayo tu. Tulipata jibu la mlinganyo wa kwanza wa logarithmic. Tafadhali kumbuka: katika tatizo la awali, kutofautiana x hutokea tu kwenye logi moja, na iko katika hoja yake. Kwa hivyo, hakuna haja ya kuangalia kikoa, na nambari yetu x = -4 ndio jibu.
Sasa hebu tuendelee kwenye usemi wa pili:
lg 56 = lg 2 logi 2 7 - 3lg (x + 4)
Hapa, pamoja na logarithms ya kawaida, tutalazimika kufanya kazi na lg f (x). Jinsi ya kutatua equation kama hiyo? Inaweza kuonekana kwa mwanafunzi ambaye hajafunzwa kuwa hii ni aina fulani ya ugumu, lakini kwa kweli, kila kitu kinatatuliwa kwa njia ya msingi.
Angalia kwa karibu neno lg 2 logi 2 7. Tunaweza kusema nini kuhusu hilo? Sababu na hoja za logi na lg ni sawa, na hiyo inapaswa kuwa ya kukisia. Wacha tukumbuke tena jinsi digrii zinachukuliwa kutoka chini ya ishara ya logarithm:
log a b n = nlog a b
Kwa maneno mengine, ni nini nguvu ya nambari b kwenye hoja inakuwa sababu mbele ya logi yenyewe. Hebu tumia fomula hii kueleza lg 2 logi 2 7. Usiogope na lg 2 - hii ndiyo usemi wa kawaida zaidi. Unaweza kuiandika tena kama hii:
Sheria zote zinazotumika kwa logarithm nyingine yoyote ni kweli kwake. Hasa, jambo lililo mbele linaweza kuongezwa kwa nguvu ya hoja. Hebu tuandike:
Mara nyingi wanafunzi hawaoni hatua hii ikiwa wazi, kwa sababu si vizuri kuingiza logi moja chini ya ishara ya nyingine. Kwa kweli, hakuna kitu cha uhalifu katika hili. Kwa kuongezea, tunapata fomula ambayo inaweza kuhesabiwa kwa urahisi ikiwa unakumbuka sheria muhimu:
Fomula hii inaweza kuzingatiwa kama ufafanuzi na kama moja ya sifa zake. Kwa hali yoyote, ikiwa unabadilisha equation ya logarithmic, unapaswa kujua fomula hii kwa njia sawa na uwakilishi wa logi ya nambari yoyote.
Tunarudi kwenye kazi yetu. Tunaiandika upya kwa kuzingatia ukweli kwamba muhula wa kwanza wa kulia wa ishara sawa utakuwa sawa na lg 7. Tuna:
lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)
Wacha tuhamishe lg 7 kushoto, tunapata:
lg 56 - lg 7 = −3lg (x + 4)
Ondoa misemo iliyo upande wa kushoto kwa sababu ina msingi sawa:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Sasa hebu tuangalie kwa karibu equation tuliyopata. Kwa kweli ni fomu ya kisheria, lakini kuna kipengele cha -3 upande wa kulia. Wacha tuiweke katika hoja sahihi ya lg:
gogo 8 = gogo (x + 4) −3
Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlinganyo wa logarithmic, kwa hivyo tunavuka ishara za lg na kusawazisha hoja:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0.5
Ni hayo tu! Tumetatua mlingano wa pili wa logarithmic. Katika kesi hii, hakuna ukaguzi wa ziada unaohitajika, kwa sababu katika tatizo la awali x lilikuwepo katika hoja moja tu.
Acha nirudie mambo muhimu ya mafunzo haya.
Fomula kuu ambayo inasomwa katika masomo yote kwenye ukurasa huu yaliyowekwa kwa ajili ya kutatua milinganyo ya logarithmic ni fomu ya kisheria. Na usiogope ukweli kwamba vitabu vingi vya shule vinakufundisha kutatua matatizo hayo kwa njia tofauti. Chombo hiki hufanya kazi kwa ufanisi sana na hukuruhusu kutatua darasa pana zaidi la shida kuliko zile rahisi ambazo tulisoma mwanzoni mwa somo letu.
Kwa kuongeza, itakuwa muhimu kujua mali ya msingi ya kutatua hesabu za logarithmic. Yaani:
- Fomula ya mpito kwa msingi mmoja na kesi maalum tunapopindua logi (hii ilikuwa muhimu sana kwetu katika tatizo la kwanza);
- Njia ya kuongeza na kuondoa digrii kutoka kwa ishara ya logarithm. Hapa, wanafunzi wengi huganda na hawaoni kwa ukaribu kwamba digrii ya kielelezo na iliyoingizwa yenyewe inaweza kuwa na logi f (x). Hakuna ubaya kwa hilo. Tunaweza kuanzisha logi moja kwa ishara ya nyingine na wakati huo huo kurahisisha kwa kiasi kikubwa suluhisho la tatizo, ambalo tunaona katika kesi ya pili.
Kwa kumalizia, ningependa kuongeza kwamba si lazima kuangalia upeo katika kila kesi hizi, kwa sababu kila mahali kutofautiana x iko katika ishara moja tu ya logi, na wakati huo huo ni katika hoja yake. Kama matokeo, mahitaji yote ya wigo yanatimizwa kiatomati.
Matatizo ya radix yanayobadilika
Leo tutaangalia hesabu za logarithmic, ambazo kwa wanafunzi wengi zinaonekana kuwa zisizo za kawaida, ikiwa haziwezi kutatuliwa kabisa. Tunazungumza juu ya misemo kulingana na sio nambari, lakini kwa anuwai na hata kazi. Tutasuluhisha ujenzi kama huo kwa kutumia mbinu yetu ya kawaida, yaani, kupitia fomu ya kisheria.
Kuanza, hebu tukumbuke jinsi matatizo rahisi zaidi yanatatuliwa, ambayo yanategemea namba za kawaida. Kwa hiyo, rahisi zaidi ni ujenzi wa fomu
logi a f (x) = b
Ili kutatua shida kama hizo, tunaweza kutumia formula ifuatayo:
b = logi a b
Tunaandika upya usemi wetu wa asili na kupata:
logi a f (x) = logi a a b
Kisha tunalinganisha hoja, yaani, tunaandika:
f (x) = a b
Kwa hivyo, tunaondoa ishara ya logi na kutatua shida tayari ya kawaida. Katika kesi hiyo, mizizi iliyopatikana wakati wa suluhisho itakuwa mizizi ya equation ya awali ya logarithmic. Kwa kuongeza, rekodi, wakati wote wa kushoto na wa kulia wanasimama kwenye logarithm sawa na msingi sawa, inaitwa fomu ya kisheria. Ni kwa rekodi kama hiyo kwamba tutajaribu kupunguza ujenzi wa leo. Basi twende.
Jukumu la kwanza:
logi x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
Badilisha 1 kwa logi x - 2 (x - 2) 1. Kiwango tunachoona katika hoja ni, kwa kweli, nambari b iliyosimama upande wa kulia wa ishara sawa. Kwa hivyo, tutaandika upya usemi wetu. Tunapata:
logi x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = logi x - 2 (x - 2)
Tunaona nini? Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlingano wa logarithmic, kwa hivyo tunaweza kusawazisha hoja kwa usalama. Tunapata:
2x 2 - 13x + 18 = x - 2
Lakini suluhisho haliishii hapo, kwa sababu mlinganyo huu sio sawa na ule wa asili. Baada ya yote, ujenzi unaozalishwa unajumuisha kazi ambazo zinafafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari, na logarithms yetu ya awali haijafafanuliwa kila mahali na si mara zote.
Kwa hiyo, lazima tuandike upeo tofauti. Wacha tusiwe wajanja na kwanza tuandike mahitaji yote:
Kwanza, hoja ya kila logariti lazima iwe kubwa kuliko 0:
2x 2 - 13x + 18> 0
x - 2> 0
Pili, msingi lazima sio tu kuwa mkubwa kuliko 0, lakini pia tofauti na 1:
x - 2 ≠ 1
Kama matokeo, tunapata mfumo:
Lakini usiogope: wakati wa kusindika hesabu za logarithmic, mfumo kama huo unaweza kurahisishwa kwa kiasi kikubwa.
Jaji mwenyewe: kwa upande mmoja, tunahitajika kwamba kazi ya quadratic iwe kubwa kuliko sifuri, na kwa upande mwingine, kazi hii ya quadratic inalingana na usemi fulani wa mstari, ambao pia unahitajika kuwa kubwa kuliko sifuri.
Katika kesi hii, ikiwa tunahitaji kwamba x - 2> 0, basi mahitaji 2x 2 - 13x + 18> 0 yatatoshelezwa moja kwa moja. Kwa hiyo, tunaweza kuvuka kwa usalama usawa ulio na kazi ya quadratic. Kwa hivyo, idadi ya misemo iliyomo katika mfumo wetu itapunguzwa hadi tatu.
Bila shaka, tunaweza pia kuvuka usawa wa mstari, yaani, kuvuka x - 2> 0 na kuhitaji hiyo 2x 2 - 13x + 18> 0. Lakini lazima ukubali kwamba kutatua usawa rahisi zaidi wa mstari ni haraka zaidi na rahisi, kuliko quadratic, hata chini ya hali kwamba kama matokeo ya kutatua mfumo huu mzima, tunapata mizizi sawa.
Kwa ujumla, jaribu kuongeza hesabu zako kila inapowezekana. Na katika kesi ya milinganyo ya logarithmic, ondoa tofauti ngumu zaidi.
Wacha tuandike upya mfumo wetu:
Hapa kuna mfumo kama huu wa misemo tatu, na mbili ambazo sisi, kwa kweli, tayari tumezifikiria. Wacha tuandike equation ya quadratic kando na tuitatue:
2x 2 - 14x + 20 = 0
x 2 - 7x + 10 = 0
Mbele yetu kuna utatu wa mraba uliotolewa na, kwa hivyo, tunaweza kutumia fomula za Vieta. Tunapata:
(x - 5) (x - 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Na sasa tunarudi kwenye mfumo wetu na kupata kwamba x = 2 haitufai, kwa sababu tunatakiwa kwamba x iwe kubwa kuliko 2.
Lakini x = 5 inatufaa kikamilifu: nambari 5 ni kubwa kuliko 2, na wakati huo huo 5 si sawa na 3. Kwa hiyo, suluhisho pekee la mfumo huu litakuwa x = 5.
Hiyo ndiyo yote, tatizo limetatuliwa, ikiwa ni pamoja na kuzingatia ODZ. Wacha tuendelee kwenye mlinganyo wa pili. Hapa tutapata mahesabu ya kuvutia zaidi na ya habari:
Hatua ya kwanza: kama vile mara ya mwisho, tunaleta jambo zima kwa mfumo wa kisheria. Kwa hili, tunaweza kuandika nambari 9 kama ifuatavyo.
Huna haja ya kugusa mzizi na mzizi, lakini ni bora kubadilisha hoja. Wacha tuende kutoka kwa mizizi hadi kielelezo cha busara. Hebu tuandike:
Acha nisiandike upya mlinganyo wetu wote mkubwa wa logarithmic, lakini nisawazishe tu hoja mara moja:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Mbele yetu kuna utatu mpya wa mraba, tunatumia fomula za Vieta na kuandika:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Kwa hivyo, tulipata mizizi, lakini hakuna mtu aliyetuhakikishia kwamba ingefaa mlinganyo wa asili wa logarithmic. Baada ya yote, ishara za logi zinaweka vikwazo vya ziada (hapa tunapaswa kuandika mfumo, lakini kutokana na ugumu wa muundo mzima, niliamua kuhesabu kikoa tofauti).
Kwanza kabisa, kumbuka kuwa hoja lazima ziwe kubwa kuliko 0, ambazo ni:
Haya ni mahitaji yaliyowekwa na kikoa cha ufafanuzi.
Mara moja, tunaona kwamba kwa kuwa tunalinganisha maneno mawili ya kwanza ya mfumo kwa kila mmoja, basi tunaweza kufuta yoyote yao. Wacha tufute ya kwanza kwa sababu inaonekana ya kutisha kuliko ya pili.
Kwa kuongezea, tunaona kuwa suluhisho la usawa wa pili na wa tatu litakuwa seti sawa (mchemraba wa nambari fulani ni kubwa kuliko sifuri, ikiwa nambari hii yenyewe ni kubwa kuliko sifuri; vivyo hivyo na mzizi wa digrii ya tatu - usawa huu. zinafanana kabisa, kwa hivyo moja yao tunaweza kuivuka).
Lakini hii haitafanya kazi na usawa wa tatu. Wacha tuondoe ishara kali upande wa kushoto, ambayo tutaunda sehemu zote mbili kuwa mchemraba. Tunapata:
Kwa hivyo, tunapata mahitaji yafuatayo:
- 2 ≠ x> −3
Ni ipi kati ya mizizi yetu: x 1 = −3 au x 2 = −1 inakidhi mahitaji haya? Ni wazi, ni x = −1 pekee, kwa sababu x = −3 haikidhi usawa wa kwanza (kwani ukosefu wetu wa usawa ni mkali). Kwa hivyo, tukirudi kwenye shida yetu, tunapata mzizi mmoja: x = -1. Hiyo yote, tatizo linatatuliwa.
Kwa mara nyingine tena, mambo muhimu ya kazi hii:
- Jisikie huru kutumia na kutatua milinganyo ya logarithmic kwa kutumia fomu ya kisheria. Wanafunzi wanaoandika rekodi kama hiyo, na hawaendi moja kwa moja kutoka kwa shida ya asili kwenda kwa ujenzi kama logi a f (x) = b, hufanya makosa machache sana kuliko wale wanaokimbilia mahali fulani, kuruka hatua za kati za hesabu;
- Mara tu msingi wa kutofautisha unapoonekana kwenye logarithm, shida hukoma kuwa rahisi zaidi. Kwa hivyo, wakati wa kuisuluhisha, ni muhimu kuzingatia kikoa cha ufafanuzi: hoja lazima ziwe kubwa kuliko sifuri, na misingi haipaswi kuwa kubwa kuliko 0 tu, lakini pia haipaswi kuwa sawa na 1.
Kuna njia tofauti za kulazimisha mahitaji ya mwisho kwenye majibu ya mwisho. Kwa mfano, unaweza kutatua mfumo mzima ulio na mahitaji yote ya kikoa. Kwa upande mwingine, unaweza kwanza kusuluhisha shida yenyewe, na kisha ukumbuke juu ya kikoa cha ufafanuzi, ufanyie kazi kando katika mfumo wa mfumo na uweke juu ya mizizi inayosababisha.
Njia gani ya kuchagua wakati wa kusuluhisha mlinganyo maalum wa logarithmic ni juu yako. Kwa hali yoyote, jibu litakuwa sawa.
Fikiria baadhi ya aina za milinganyo ya logarithmic ambayo haizingatiwi mara nyingi katika masomo ya hisabati shuleni, lakini hutumiwa sana katika utayarishaji wa kazi za ushindani, pamoja na za mtihani.
1. Milinganyo Iliyotatuliwa kwa Mbinu ya Logarithm
Wakati wa kutatua milinganyo iliyo na kigeuzo katika msingi na katika kielelezo, njia ya logarithm hutumiwa. Ikiwa, wakati huo huo, kipeo kikuu kina logariti, basi pande zote mbili za mlingano lazima ziwe logariti kwa msingi wa logariti hii.
Mfano 1.
Tatua mlingano: x logi 2 x + 2 = 8.
Suluhisho.
Hebu tufanye logarithm pande za kushoto na za kulia za equation katika msingi 2. Tunapata
logi 2 (x logi 2 x + 2) = logi 2 8,
(logi 2 x + 2) logi 2 x = 3.
Acha logi 2 x = t.
Kisha (t + 2) t = 3.
t 2 + 2t - 3 = 0.
D = 16.t 1 = 1; t 2 = -3.
Kwa hivyo logi 2 x = 1 na x 1 = 2 au logi 2 x = -3 na x 2 = 1/8
Jibu: 1/8; 2.
2. Milinganyo ya logarithmic ya homogeneous.
Mfano 2.
Tatua kumbukumbu ya mlinganyo 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3logi 3 (x + 5) logi 3 (x 2 - 3x + 4) - 2logi 2 3 (x + 5) = 0
Suluhisho.
Kikoa cha equation
(x 2 - 3x + 4> 0,
(x + 5> 0. → x> -5.
logi 3 (x + 5) = 0 kwa x = -4. Kwa kuangalia, tunaamua kuwa thamani iliyotolewa ya x sio 
ndio mzizi wa mlingano asilia. Kwa hiyo, unaweza kugawanya pande zote mbili za equation kwa logi 2 3 (x + 5).
Tunapata logi 2 3 (x 2 - 3x + 4) / logi 2 3 (x + 5) - 3 logi 3 (x 2 - 3x + 4) / logi 3 (x + 5) + 2 = 0.
Hebu logi 3 (x 2 - 3x + 4) / logi 3 (x + 5) = t. Kisha t 2 - 3 t + 2 = 0. Mizizi ya equation hii ni 1; 2. Kurudi kwa kutofautiana kwa asili, tunapata seti ya equations mbili
Lakini kwa kuzingatia kuwepo kwa logariti, ni muhimu tu kuzingatia maadili (0; 9]. Kwa hivyo usemi wa upande wa kushoto huchukua thamani kubwa zaidi 2 kwa x = 1. Sasa fikiria chaguo la kukokotoa y = 2. x-1 + 2 1-x Ikiwa tunachukua t = 2 x -1, basi itachukua fomu y = t + 1 / t, ambapo t> 0. Chini ya hali hizi, ina hatua moja muhimu t = 1. Hiki ndicho kiwango cha chini kabisa, y vin = 2. Na kinapatikana kwa x = 1.
Sasa ni dhahiri kwamba grafu za kazi zinazozingatiwa zinaweza kuingiliana mara moja tu kwa uhakika (1; 2). Inabadilika kuwa x = 1 ndio mzizi pekee wa equation inayotatuliwa.
Jibu: x = 1.
Mfano 5. Tatua kumbukumbu ya mlinganyo 2 2 x + (x - 1) logi 2 x = 6 - 2x
Suluhisho.
Tatua mlingano huu kwa logi 2 x. Acha logi 2 x = t. Kisha t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x = 0.
D = (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) = (x - 5) 2. t 1 = -2; t 2 = 3 - x.
Tunapata logi ya equation 2 x = -2 au logi 2 x = 3 - x.
Mzizi wa equation ya kwanza ni x 1 = 1/4. 
Mzizi wa logi ya equation 2 x = 3 - x hupatikana kwa uteuzi. Hii ni nambari 2. Mzizi huu ni wa pekee, kwani kazi y = logi 2 x inaongezeka juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi, na kazi y = 3 - x inapungua.
Kwa kuangalia ni rahisi kuhakikisha kwamba nambari zote mbili ni mizizi ya equation
Jibu: 1/4; 2.
tovuti, na kunakili kamili au sehemu ya nyenzo, kiunga cha chanzo kinahitajika.
Kama unavyojua, wakati wa kuzidisha misemo kwa nguvu, wafadhili wao huongeza kila wakati (a b * a c = a b + c). Sheria hii ya hisabati ilitolewa na Archimedes, na baadaye, katika karne ya 8, mtaalamu wa hisabati Virasen aliunda meza ya viashiria vyote. Ni wao ambao walihudumu kwa ugunduzi zaidi wa logarithms. Mifano ya kutumia kazi hii inaweza kupatikana karibu kila mahali ambapo unahitaji kurahisisha kuzidisha kwa shida kwa kuongeza rahisi. Ikiwa unatumia dakika 10 kusoma makala hii, tutakuelezea nini logarithms ni na jinsi ya kufanya kazi nao. Lugha rahisi na inayoweza kufikiwa.
Ufafanuzi katika hisabati
Logariti ni usemi wa fomu ifuatayo: logi ab = c, ambayo ni, logariti ya nambari yoyote isiyo hasi (yaani, chanya yoyote) "b" kulingana na msingi wake "a" inachukuliwa kuwa nguvu " c", ambayo msingi "a" lazima ufufuliwe, ili mwisho upate thamani "b". Hebu tuchambue logarithm kwa kutumia mifano, kwa mfano, kuna logi ya kujieleza 2 8. Jinsi ya kupata jibu? Ni rahisi sana, unahitaji kupata digrii kama hiyo ili kutoka 2 hadi digrii unayotaka kupata 8. Baada ya kufanya mahesabu kadhaa katika akili yako, tunapata nambari 3! Na sawa, kwa sababu 2 kwa nguvu ya 3 inatoa nambari 8 katika jibu.
Aina za logarithms
Kwa wanafunzi na wanafunzi wengi, mada hii inaonekana kuwa ngumu na isiyoeleweka, lakini kwa kweli, logarithms sio ya kutisha sana, jambo kuu ni kuelewa maana yao ya jumla na kukumbuka mali zao na sheria kadhaa. Kuna aina tatu tofauti za misemo ya logarithmic:
- Logarithm asilia ln a, ambapo msingi ni nambari ya Euler (e = 2.7).
- Desimali a, msingi 10.
- Logariti ya nambari yoyote b hadi msingi a> 1.
Kila moja yao hutatuliwa kwa njia ya kawaida, ikiwa ni pamoja na kurahisisha, kupunguza na kupunguzwa kwa logarithm moja kwa kutumia nadharia za logarithmic. Ili kupata maadili sahihi ya logarithms, unapaswa kukumbuka mali zao na mlolongo wa vitendo wakati wa kuzitatua.
Sheria na baadhi ya vikwazo
Katika hisabati, kuna sheria-vikwazo kadhaa ambazo zinakubaliwa kama axiom, yaani, hazijadiliwi na ni kweli. Kwa mfano, huwezi kugawanya nambari kwa sifuri, na bado huwezi kutoa mzizi hata wa nambari hasi. Logarithms pia zina sheria zao wenyewe, kufuatia ambayo unaweza kujifunza kwa urahisi kufanya kazi hata kwa maneno marefu na yenye uwezo wa logarithmic:
- msingi "a" lazima iwe kubwa zaidi kuliko sifuri, na wakati huo huo usiwe sawa na 1, vinginevyo usemi utapoteza maana yake, kwa sababu "1" na "0" kwa kiwango chochote daima ni sawa na maadili yao;
- ikiwa a> 0, basi b> 0, inageuka kuwa "c" lazima pia iwe kubwa kuliko sifuri.
Je, unatatua vipi logariti?
Kwa mfano, kutokana na kazi ya kupata jibu la equation 10 x = 100. Ni rahisi sana, unahitaji kuchagua nguvu hiyo, kuinua namba kumi ambayo tunapata 100. Hii, bila shaka, 10 2 = 100 .
Sasa hebu tuwakilishe usemi huu kama logarithmic. Tunapata logi 10 100 = 2. Wakati wa kutatua logarithms, vitendo vyote karibu vinaunganishwa ili kupata nguvu ambayo ni muhimu kuanzisha msingi wa logarithm ili kupata nambari iliyotolewa.
Ili kuamua kwa usahihi thamani ya shahada isiyojulikana, ni muhimu kujifunza jinsi ya kufanya kazi na meza ya digrii. Inaonekana kama hii:
Kama unavyoona, baadhi ya vielelezo vinaweza kubashiriwa kwa njia ya angavu ikiwa una mawazo ya kiufundi na ujuzi wa jedwali la kuzidisha. Walakini, maadili makubwa yatahitaji meza ya nguvu. Inaweza kutumika hata na wale ambao hawajui chochote kuhusu mada ngumu za hisabati. Safu wima ya kushoto ina nambari (msingi a), safu ya juu ya nambari ni nguvu c ambayo nambari a imeinuliwa. Katika makutano ya seli, maadili ya nambari yanafafanuliwa, ambayo ni jibu (a c = b). Chukua, kwa mfano, seli ya kwanza kabisa na nambari 10 na mraba, tunapata thamani 100, ambayo imeonyeshwa kwenye makutano ya seli zetu mbili. Kila kitu ni rahisi na rahisi hata hata mwanadamu wa kweli ataelewa!
Equations na kutofautiana
Inabadilika kuwa chini ya hali fulani kielelezo ni logarithm. Kwa hivyo, usemi wowote wa nambari wa hisabati unaweza kuandikwa kama usawa wa logarithmic. Kwa mfano, 3 4 = 81 inaweza kuandikwa kama logariti ya 81 hadi msingi 3, sawa na nne (logi 3 81 = 4). Kwa nguvu hasi, sheria ni sawa: 2 -5 = 1/32, tunaiandika kama logarithm, tunapata logi 2 (1/32) = -5. Moja ya maeneo ya kuvutia zaidi ya hisabati ni mada ya "logarithms". Tutazingatia mifano na suluhisho za equations kidogo hapa chini, mara baada ya kusoma mali zao. Sasa hebu tuangalie jinsi usawa unavyoonekana na jinsi ya kutofautisha kutoka kwa equations.
Usemi wa fomu ifuatayo hutolewa: logi 2 (x-1)> 3 - ni usawa wa logarithmic, kwa kuwa thamani isiyojulikana "x" iko chini ya ishara ya logarithm. Na pia katika usemi, maadili mawili yanalinganishwa: logarithm ya nambari inayohitajika kwa msingi wa mbili ni kubwa kuliko nambari tatu.
Tofauti muhimu zaidi kati ya milinganyo ya logarithmic na kukosekana kwa usawa ni kwamba milinganyo na logariti (kwa mfano, logariti 2 x = √9) inaashiria thamani moja au zaidi ya nambari maalum katika jibu, wakati utatuzi wa ukosefu wa usawa huamua anuwai ya maadili yanayokubalika. na pointi zinazovunja kipengele hiki. Kama matokeo, jibu sio seti rahisi ya nambari tofauti kama katika jibu la equation, lakini safu inayoendelea au seti ya nambari.
Nadharia za msingi juu ya logarithms
Wakati wa kusuluhisha kazi za zamani ili kupata maadili ya logarithm, sifa zake haziwezi kujulikana. Hata hivyo, linapokuja suala la usawa wa logarithmic au usawa, kwanza kabisa, ni muhimu kuelewa wazi na kutumia katika mazoezi mali yote ya msingi ya logarithms. Tutafahamiana na mifano ya hesabu baadaye, wacha kwanza tuchambue kila mali kwa undani zaidi.
- Kitambulisho kikuu kinaonekana kama hii: logiB = B. Inatumika tu ikiwa a ni kubwa kuliko 0, si sawa na moja, na B ni kubwa kuliko sifuri.
- Logarithm ya bidhaa inaweza kuwakilishwa katika formula ifuatayo: logi d (s 1 * s 2) = logi d s 1 + logi d s 2. Katika kesi hii, sharti ni: d, s 1 na s 2> 0; a ≠ 1. Unaweza kutoa uthibitisho wa fomula hii ya logarithms, na mifano na suluhisho. Hebu ingia kama 1 = f 1 na uweke kama 2 = f 2, kisha f1 = s 1, f2 = s 2. Tunapata hiyo s 1 * s 2 = f1 * a f2 = f1 + f2 (sifa za powers ), na zaidi kwa ufafanuzi: logi a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = weka logi s1 + kama 2, ambayo ndiyo ilihitajika kuthibitisha.
- Logariti ya mgawo inaonekana kama hii: logi a (s 1 / s 2) = logi a s 1 - logi a s 2.
- Nadharia katika mfumo wa formula inachukua fomu ifuatayo: logi a q b n = n / q logi a b.
Fomula hii inaitwa "mali ya kiwango cha logarithm". Inafanana na mali ya digrii za kawaida, na haishangazi, kwa sababu hisabati zote hutegemea postulates asili. Hebu tuangalie uthibitisho.
Hebu tuandikie b = t, inageuka t = b. Ikiwa tunainua sehemu zote mbili kwa nguvu ya m: a tn = b n;
lakini kwa kuwa tn = (a q) nt / q = b n, kwa hiyo weka q b n = (n * t) / t, kisha weka q b n = n / q logi a b. Nadharia imethibitishwa.
Mifano ya matatizo na ukosefu wa usawa
Aina za kawaida za matatizo ya logarithm ni mifano ya milinganyo na usawa. Zinapatikana katika karibu vitabu vyote vya shida, na pia zimejumuishwa katika sehemu ya lazima ya mitihani katika hisabati. Kuingia chuo kikuu au kupitisha mitihani ya kuingia katika hisabati, unahitaji kujua jinsi ya kutatua kwa usahihi kazi kama hizo.
Kwa bahati mbaya, hakuna mpango au mpango mmoja wa kutatua na kuamua thamani isiyojulikana ya logarithm, hata hivyo, sheria fulani zinaweza kutumika kwa kila usawa wa hisabati au logarithmic equation. Kwanza kabisa, inahitajika kujua ikiwa usemi huo unaweza kurahisishwa au kuletwa kwa fomu ya jumla. Maneno marefu ya logarithmic yanaweza kurahisishwa ikiwa sifa zao zinatumiwa kwa usahihi. Hebu tuwafahamu hivi karibuni.
Wakati wa kusuluhisha milinganyo ya logarithmic, ni muhimu kuamua ni aina gani ya logariti iliyo mbele yetu: mfano wa usemi unaweza kuwa na logarithm asili au desimali.
Hapa kuna mifano ln100, ln1026. Suluhisho lao linapungua kwa ukweli kwamba unahitaji kuamua kiwango ambacho msingi 10 utakuwa sawa na 100 na 1026, kwa mtiririko huo. Kwa ufumbuzi wa logarithms asili, unahitaji kutumia vitambulisho vya logarithmic au mali zao. Hebu tuangalie mifano ya kutatua matatizo ya logarithmic ya aina tofauti.
Jinsi ya kutumia fomula za logarithm: na mifano na suluhisho
Kwa hivyo, hebu tuangalie mifano ya kutumia nadharia kuu kwenye logarithms.
- Sifa ya logariti ya bidhaa inaweza kutumika katika kazi ambapo ni muhimu kutenganisha thamani kubwa ya nambari b katika vipengele rahisi. Kwa mfano, logi 2 4 + logi 2 128 = logi 2 (4 * 128) = logi 2 512. Jibu ni 9.
- logi 4 8 = logi 2 2 2 3 = 3/2 logi 2 2 = 1.5 - kama unaweza kuona, kutumia mali ya nne ya nguvu ya logarithm, iliwezekana kutatua usemi unaoonekana kuwa ngumu na usioweza kutatuliwa. Unahitaji tu kuzingatia msingi na kisha kuchukua maadili ya nguvu kutoka kwa ishara ya logarithm.
Kazi kutoka kwa mtihani
Logarithmu mara nyingi hupatikana katika mitihani ya kuingia, haswa shida nyingi za logarithmic katika mtihani (mtihani wa serikali kwa wahitimu wote wa shule). Kawaida, kazi hizi hazipo tu katika sehemu A (sehemu rahisi ya mtihani), lakini pia katika sehemu C (kazi ngumu zaidi na ngumu). Mtihani huchukua maarifa kamili na kamili ya mada "Logarithms za Asili".
Mifano na ufumbuzi wa matatizo huchukuliwa kutoka kwa matoleo rasmi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja. Wacha tuone jinsi kazi kama hizo zinatatuliwa.
Imepewa logi 2 (2x-1) = 4. Suluhisho:
kuandika upya usemi, kurahisisha logi kidogo 2 (2x-1) = 2 2, kwa ufafanuzi wa logarithm tunapata kwamba 2x-1 = 2 4, kwa hiyo 2x = 17; x = 8.5.
- Ni bora kubadili logarithms zote kwa msingi mmoja ili suluhisho sio mbaya na kuchanganya.
- Maneno yote chini ya ishara ya logarithm yanaonyeshwa kama chanya, kwa hivyo, wakati kielelezo cha kielelezo cha usemi, ambacho kiko chini ya ishara ya logariti na msingi wake, kinatolewa na sababu, usemi unaobaki chini ya neno. logarithm lazima iwe chanya.
