பின்னங்களுடன் எண்களைக் கூட்டுவதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகள். சாதாரண பின்னங்களை கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல்

குறிப்பு!உங்கள் இறுதி பதிலை எழுதும் முன், நீங்கள் பெற்ற பின்னத்தை சுருக்க முடியுமா என்று பார்க்கவும்.

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல், எடுத்துக்காட்டுகள்:

,

,

ஒன்றிலிருந்து சரியான பகுதியைக் கழித்தல்.

சரியான அலகு ஒன்றிலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்க வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால், அலகு முறையற்ற பின்னத்தின் வடிவமாக மாற்றப்படும், அதன் வகுப்பானது கழிக்கப்பட்ட பின்னத்தின் வகுப்பிற்குச் சமமாக இருக்கும்.

ஒன்றிலிருந்து சரியான பகுதியைக் கழிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு:

கழிக்கப்பட வேண்டிய பின்னத்தின் வகுத்தல் = 7 , அதாவது, 7/7 என்ற முறையற்ற பின்னமாக ஒன்றைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தி, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான விதியின்படி அதைக் கழிப்போம்.

முழு எண்ணிலிருந்து சரியான பின்னத்தை கழித்தல்.

பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான விதிகள் -முழு எண்ணிலிருந்து சரி (இயற்கை எண்):

• ஒரு முழு எண் பகுதியைக் கொண்டிருக்கும் கொடுக்கப்பட்ட பின்னங்களை முறையற்றதாக மாற்றுவோம். நாங்கள் சாதாரண விதிமுறைகளைப் பெறுகிறோம் (அவை வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருந்தாலும் பரவாயில்லை), மேலே கொடுக்கப்பட்ட விதிகளின்படி நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்;
• அடுத்து, நாம் பெற்ற பின்னங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுகிறோம். இதன் விளைவாக, கிட்டத்தட்ட பதிலைக் கண்டுபிடிப்போம்;
• நாங்கள் தலைகீழ் மாற்றத்தைச் செய்கிறோம், அதாவது, முறையற்ற பகுதியை அகற்றுவோம் - முழு பகுதியையும் பின்னத்தில் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்.

முழு எண்ணிலிருந்து சரியான பகுதியைக் கழிக்கவும்: இயற்கை எண்ணை ஒரு கலப்பு எண்ணாகக் குறிக்கவும். அந்த. இயற்கை எண்ணில் ஒரு அலகை எடுத்து, அதை முறையற்ற பின்னத்தின் வடிவத்திற்கு மாற்றுகிறோம், கழித்த பின்னத்தின் வகுத்தல் ஒன்றுதான்.

பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு:

எடுத்துக்காட்டில், தவறான பின்னம் 7/7 உடன் மாற்றினோம், 3 க்கு பதிலாக ஒரு கலப்பு எண்ணை எழுதி, பின்ன பகுதியிலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழித்தோம்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.

அல்லது, வேறு விதமாகச் சொன்னால், வெவ்வேறு பின்னங்களைக் கழித்தல்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான விதி.வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கு, முதலில், இந்த பின்னங்களை மிகக் குறைந்த பொதுவான வகுப்பிற்கு (எல்சிடி) குறைக்க வேண்டும், இதற்குப் பிறகுதான், அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைப் போலவே கழித்தலைச் செய்யவும்.

பல பின்னங்களின் பொதுவான வகுத்தல் LCM (குறைந்த பொதுவான பல)இந்த பின்னங்களின் வகுப்பினராக இருக்கும் இயற்கை எண்கள்.

கவனம்!இறுதி பின்னத்தில் எண் மற்றும் வகுப்பிற்கு பொதுவான காரணிகள் இருந்தால், பின்னம் குறைக்கப்பட வேண்டும். ஒரு முறையற்ற பின்னம் கலப்பு பின்னமாக சிறப்பாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது. முடிந்தவரை பின்னத்தை குறைக்காமல் கழித்தல் முடிவை விட்டுவிடுவது உதாரணத்திற்கு முழுமையற்ற தீர்வு!

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான நடைமுறை.

• அனைத்து பிரிவுகளுக்கும் LCM ஐக் கண்டறியவும்;
• அனைத்து பின்னங்களுக்கும் கூடுதல் காரணிகளை வைக்கவும்;
• அனைத்து எண்களையும் கூடுதல் காரணி மூலம் பெருக்கவும்;
• அனைத்து பின்னங்களின் கீழும் பொதுவான வகுப்பில் கையொப்பமிடுவதன் மூலம், விளைந்த தயாரிப்புகளை எண்களில் எழுதுகிறோம்;
• பின்னங்களின் எண்களைக் கழிக்கவும், வேறுபாட்டின் கீழ் பொதுவான வகுப்பில் கையொப்பமிடவும்.

அதே வழியில், எண்களில் எழுத்துக்கள் இருந்தால் பின்னங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

பின்னங்களைக் கழித்தல், எடுத்துக்காட்டுகள்:

கலப்பு பின்னங்களை கழித்தல்.

மணிக்கு கலப்பு பின்னங்களை கழித்தல் (எண்கள்)தனித்தனியாக, முழு எண் பகுதி முழு எண் பகுதியிலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது, மற்றும் பகுதியளவு பகுதி பகுதியிலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது.

கலப்பு பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான முதல் விருப்பம்.

பகுதி பகுதிகள் என்றால் அதேமைனுஎண்டின் பகுதியளவு பகுதியின் பிரிவுகள் மற்றும் எண் (அதை அதிலிருந்து கழிக்கிறோம்) ≥ சப்ட்ராஹெண்டின் பின்னம் பகுதியின் எண் (அதைக் கழிக்கிறோம்).

உதாரணத்திற்கு:

கலப்பு பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான இரண்டாவது விருப்பம்.

போது பகுதி பகுதிகள் வெவ்வேறுபகுப்புகள். தொடங்குவதற்கு, பகுதியளவு பகுதிகளை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வருகிறோம், அதன் பிறகு முழுப் பகுதியையும் முழுப் பகுதியிலிருந்தும், பகுதியளவு பகுதியைப் பகுதியிலிருந்தும் கழிப்போம்.

உதாரணத்திற்கு:

கலப்பு பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான மூன்றாவது விருப்பம்.

சப்ட்ராஹெண்டின் பகுதியளவு பகுதியை விட மினுஎண்டின் பகுதியளவு குறைவாக உள்ளது.

உதாரணமாக:

ஏனெனில் பின்ன பகுதிகள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது, இரண்டாவது விருப்பத்தைப் போலவே, முதலில் சாதாரண பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருகிறோம்.

மினுஎண்டின் பின்னப் பகுதியின் எண், துணைப் பகுதியின் பின்னப் பகுதியின் எண்ணிக்கையைக் காட்டிலும் குறைவாக உள்ளது.3 < 14. இதன் பொருள், முழுப் பகுதியிலிருந்தும் ஒரு அலகை எடுத்து, இந்த அலகை ஒரே வகுத்தல் மற்றும் எண் கொண்ட முறையற்ற பின்னத்தின் வடிவத்திற்குக் குறைக்கிறோம். = 18.

வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்களில் நாம் எண்களின் கூட்டுத்தொகையை எழுதுகிறோம், பின்னர் வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்களில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம், அதாவது எல்லாவற்றையும் பெருக்கி ஒத்தவற்றைக் கொடுக்கிறோம். வகுப்பில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க மாட்டோம். பகுத்தறிவுகளில் பொருளை விடுவது வழக்கம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதிகள் மிகவும் எளிமையானவை.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதிகளை படிப்படியாகப் பார்ப்போம்:

1. வகுப்பினரின் LCM (குறைந்தபட்ச பொதுவான பல) கண்டுபிடிக்கவும். இதன் விளைவாக வரும் LCM பின்னங்களின் பொதுவான வகுப்பாக இருக்கும்;

2. பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்தல்;

3. ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட்ட பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்.

ஒரு எளிய உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதிகளை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

உதாரணமாக

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்:

நாங்கள் படிப்படியாக முடிவு செய்வோம்.

1. வகுப்பினரின் LCM (குறைந்தபட்ச பொதுவான பல) கண்டுபிடிக்கவும்.

12 என்ற எண் 6 ஆல் வகுபடும்.

இதிலிருந்து 12 என்பது 6 மற்றும் 12 எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுவான பெருக்கல் என்று முடிவு செய்கிறோம்.

பதில்: 6 மற்றும் 12 எண்களின் எண்ணிக்கை 12:

LCM(6, 12) = 12

இதன் விளைவாக வரும் LCM ஆனது 1/6 மற்றும் 5/12 ஆகிய இரண்டு பின்னங்களின் பொதுவான வகுப்பாக இருக்கும்.

2. பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கவும்.

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், முதல் பின்னம் மட்டுமே 12 இன் பொதுவான வகுப்பாகக் குறைக்கப்பட வேண்டும், ஏனெனில் இரண்டாவது பின்னம் ஏற்கனவே 12 இன் வகுப்பினைக் கொண்டுள்ளது.

12 இன் பொது வகுப்பினை முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கவும்:

2 கூடுதல் பெருக்கி உள்ளது.

முதல் பின்னத்தின் (1/6) எண் மற்றும் வகுப்பினை 2 இன் கூடுதல் காரணியால் பெருக்கவும்.

சாதாரண பின்ன எண்கள் முதலில் 5 ஆம் வகுப்பில் பள்ளி மாணவர்களைச் சந்தித்து அவர்களின் வாழ்நாள் முழுவதும் அவர்களுடன் செல்கின்றன, ஏனெனில் அன்றாட வாழ்க்கையில் ஒரு பொருளை முழுவதுமாக அல்ல, ஆனால் தனித்தனி துண்டுகளாகக் கருத்தில் கொள்வது அல்லது பயன்படுத்துவது அவசியம். இந்த தலைப்பைப் படிக்கத் தொடங்குங்கள் - பங்குகள். பங்குகள் சம பாகங்கள், இதில் இந்த அல்லது அந்த பொருள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு முழு எண்ணாக ஒரு பொருளின் நீளம் அல்லது விலையை வெளிப்படுத்துவது எப்போதும் சாத்தியமில்லை; சில அளவின் பாகங்கள் அல்லது பின்னங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும். "பிளவு" என்ற வினைச்சொல்லில் இருந்து உருவாக்கப்பட்டது - பகுதிகளாகப் பிரித்து, அரபு வேர்களைக் கொண்ட, "பின்னம்" என்ற வார்த்தை 8 ஆம் நூற்றாண்டில் ரஷ்ய மொழியில் எழுந்தது.

பின்னம் வெளிப்பாடுகள் நீண்ட காலமாக கணிதத்தின் மிகவும் கடினமான கிளையாகக் கருதப்படுகின்றன. 17 ஆம் நூற்றாண்டில், கணிதத்தின் முதல் பாடப்புத்தகங்கள் தோன்றியபோது, ​​​​அவை "உடைந்த எண்கள்" என்று அழைக்கப்பட்டன, இது மக்கள் புரிந்து கொள்ள மிகவும் கடினமாக இருந்தது.

எளிமையான பகுதியளவு எச்சங்களின் நவீன வடிவம், அதன் பகுதிகள் கிடைமட்டக் கோட்டால் பிரிக்கப்படுகின்றன, முதலில் ஃபைபோனச்சி - லியோனார்டோ ஆஃப் பைசாவால் ஊக்குவிக்கப்பட்டது. இவருடைய படைப்புகள் 1202 ஆம் ஆண்டைச் சேர்ந்தவை. ஆனால் இக்கட்டுரையின் நோக்கமானது, பல்வேறு பிரிவுகளுடன் கலந்த பின்னங்கள் எவ்வாறு பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் வாசகருக்கு விளக்குவதாகும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைப் பெருக்குதல்

ஆரம்பத்தில் அதை தீர்மானிப்பது மதிப்பு பின்னங்களின் வகைகள்:

• சரி;
• தவறான;
• கலந்தது.

அடுத்து, ஒரே வகுப்பினருடன் பின்ன எண்கள் எவ்வாறு பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். இந்த செயல்முறையின் விதியை சுயாதீனமாக உருவாக்குவது கடினம் அல்ல: ஒரே மாதிரியான பிரிவுகளுடன் எளிய பின்னங்களைப் பெருக்குவதன் விளைவு ஒரு பகுதியளவு வெளிப்பாடு ஆகும், இதன் எண் எண்களின் விளைபொருளாகும், மேலும் வகுப்பானது இந்த பின்னங்களின் வகுப்பினரின் விளைபொருளாகும். . அதாவது, உண்மையில், புதிய வகுப்பானது ஆரம்பத்தில் இருக்கும் ஒன்றின் சதுரமாகும்.

பெருக்கும் போது வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட எளிய பின்னங்கள்இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளுக்கு விதி மாறாது:

ஒரு/பி * c/ஈ = a*c / b*d.

ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், பின்னக் கோட்டின் கீழ் உருவாக்கப்பட்ட எண் வெவ்வேறு எண்களின் விளைபொருளாக இருக்கும், இயற்கையாகவே, அதை ஒரு எண் வெளிப்பாட்டின் சதுரம் என்று அழைக்க முடியாது.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கருத்தில் கொள்வது மதிப்பு:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

எடுத்துக்காட்டுகள் பகுதியளவு வெளிப்பாடுகளைக் குறைக்கும் முறைகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. டினாமினேட்டர் எண்களுடன் மட்டுமே நீங்கள் எண் எண்களைக் குறைக்க முடியும்; பின்னம் கோட்டிற்கு மேலே அல்லது கீழே உள்ள காரணிகளைக் குறைக்க முடியாது.

எளிய பின்னங்களுடன், கலப்பு பின்னங்கள் என்ற கருத்தும் உள்ளது. ஒரு கலப்பு எண் ஒரு முழு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியளவு பகுதியைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, இது இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகை:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

பெருக்கல் எவ்வாறு செயல்படுகிறது?

பரிசீலனைக்கு பல எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

எடுத்துக்காட்டு ஒரு எண்ணின் பெருக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறது சாதாரண பகுதியளவு, இந்த செயலுக்கான விதியை இவ்வாறு எழுதலாம்:

ஒரு* b/c = a*b /c.

உண்மையில், அத்தகைய தயாரிப்பு ஒரே மாதிரியான பகுதியளவு எச்சங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும், மேலும் சொற்களின் எண்ணிக்கை இந்த இயற்கை எண்ணைக் குறிக்கிறது. சிறப்பு வழக்கு:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

ஒரு எண்ணை ஒரு பகுதி மீதியால் பெருக்க மற்றொரு தீர்வு உள்ளது. நீங்கள் வகுப்பினை இந்த எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்:

d* இ/f = இ/f: d.

வகுத்தல் ஒரு இயற்கை எண்ணால் மீதம் இல்லாமல் அல்லது அவர்கள் சொல்வது போல் முழு எண்ணால் வகுக்கப்படும் போது இந்த நுட்பம் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றி, முன்பு விவரிக்கப்பட்ட வழியில் தயாரிப்பைப் பெறவும்:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

இந்த எடுத்துக்காட்டில் ஒரு கலப்புப் பகுதியை ஒரு முறையற்ற பின்னமாகக் குறிப்பிடும் வழியை உள்ளடக்கியது, மேலும் பொதுவான சூத்திரமாகவும் குறிப்பிடலாம்:

அ பிc = a*b+ c / c, புதிய பின்னத்தின் வகுத்தல், முழுப் பகுதியையும் வகுப்பினருடன் பெருக்கி, அசல் பின்னம் எஞ்சியிருக்கும் எண்ணுடன் சேர்ப்பதன் மூலம் உருவாகிறது, மேலும் வகுப்பானது அப்படியே இருக்கும்.

இந்த செயல்முறையும் எதிர் திசையில் செயல்படுகிறது. முழு பகுதியையும் பகுதியளவு எஞ்சிய பகுதியையும் பிரிக்க, நீங்கள் ஒரு "மூலையில்" பயன்படுத்தி தவறான பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை அதன் வகுப்பினால் வகுக்க வேண்டும்.

முறையற்ற பின்னங்களைப் பெருக்குதல்பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட முறையில் தயாரிக்கப்பட்டது. ஒற்றைப் பின்னக் கோட்டின் கீழ் எழுதும் போது, ​​இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி எண்களைக் குறைக்கவும், முடிவைக் கணக்கிடுவதை எளிதாக்கவும் தேவையான பின்னங்களை நீங்கள் குறைக்க வேண்டும்.

நிரல்களின் பல்வேறு மாறுபாடுகளில் சிக்கலான கணித சிக்கல்களைக் கூட தீர்க்க இணையத்தில் பல உதவியாளர்கள் உள்ளனர். இத்தகைய சேவைகளின் போதுமான எண்ணிக்கையானது பிரிவுகளில் வெவ்வேறு எண்களைக் கொண்ட பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுவதில் தங்கள் உதவியை வழங்குகின்றன - பின்னங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை பெருக்குவது மட்டுமல்லாமல், சாதாரண பின்னங்கள் மற்றும் கலப்பு எண்களுடன் மற்ற அனைத்து எளிய எண்கணித செயல்பாடுகளையும் செய்ய முடியும். வேலை செய்வது கடினம் அல்ல; இணையதளப் பக்கத்தில் பொருத்தமான புலங்களை நிரப்பவும், கணித செயல்பாட்டின் அடையாளத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து, "கணக்கிடு" என்பதைக் கிளிக் செய்யவும். நிரல் தானாகவே கணக்கிடுகிறது.

பின்னங்கள் கொண்ட எண்கணித செயல்பாடுகளின் தலைப்பு நடுத்தர மற்றும் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களின் கல்வி முழுவதும் பொருத்தமானது. உயர்நிலைப் பள்ளியில், அவர்கள் இனி எளிய இனங்கள் கருதுகின்றனர், ஆனால் முழு எண் பகுதி வெளிப்பாடுகள், ஆனால் மாற்றத்திற்கான விதிகள் மற்றும் முன்னர் பெறப்பட்ட கணக்கீடுகளின் அறிவு அதன் அசல் வடிவத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நன்கு தேர்ச்சி பெற்ற அடிப்படை அறிவு மிகவும் சிக்கலான பிரச்சனைகளை வெற்றிகரமாக தீர்ப்பதில் முழுமையான நம்பிக்கையை அளிக்கிறது.

முடிவில், லெவ் நிகோலாவிச் டால்ஸ்டாயின் வார்த்தைகளை மேற்கோள் காட்டுவது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது: "மனிதன் ஒரு பின்னம். ஒரு நபரின் எண்ணிக்கையை - அவரது தகுதிகளை - அதிகரிப்பது ஒரு நபரின் சக்தியில் இல்லை, ஆனால் அவரது வகுப்பை - தன்னைப் பற்றிய அவரது கருத்தை யாரும் குறைக்க முடியும், மேலும் இந்த குறைவினால் அவரது முழுமைக்கு நெருங்கி வருகிறது.

இயற்கணித பின்னங்களை வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றை இந்தப் பாடம் உள்ளடக்கும். வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பொதுவான பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இதைச் செய்ய, பின்னங்கள் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும். இயற்கணித பின்னங்கள் அதே விதிகளைப் பின்பற்றுகின்றன என்று மாறிவிடும். அதே நேரத்தில், இயற்கணித பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு எவ்வாறு குறைப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். 8 ஆம் வகுப்பு பாடத்தில் வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கூட்டுவதும் கழிப்பதும் மிக முக்கியமான மற்றும் கடினமான தலைப்புகளில் ஒன்றாகும். மேலும், இந்த தலைப்பு நீங்கள் எதிர்காலத்தில் படிக்கும் அல்ஜீப்ரா பாடத்தில் பல தலைப்புகளில் தோன்றும். பாடத்தின் ஒரு பகுதியாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் படிப்போம், மேலும் பல பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளையும் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

சாதாரண பின்னங்களுக்கு எளிமையான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதியை நினைவில் கொள்வோம். தொடங்குவதற்கு, பின்னங்கள் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும். சாதாரண பின்னங்களின் பொதுவான வகுத்தல் மீச்சிறு பொது(எல்சிஎம்) அசல் பிரிவின்.

வரையறை

இரண்டு எண்களாலும் வகுபடும் சிறிய இயற்கை எண் மற்றும் .

LCM ஐக் கண்டறிய, நீங்கள் வகுப்பினரை முதன்மைக் காரணிகளாகக் கணக்கிட வேண்டும்.

; . எண்களின் LCM இரண்டு இரண்டு மற்றும் இரண்டு மூன்று ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்: .

பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறிந்த பிறகு, ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் ஒரு கூடுதல் காரணியைக் கண்டறிய வேண்டும் (உண்மையில், பொதுவான வகுப்பினை தொடர்புடைய பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கவும்).

ஒவ்வொரு பின்னமும் அதன் விளைவாக வரும் கூடுதல் காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது. முந்தைய பாடங்களில் சேர்க்க மற்றும் கழிக்க கற்றுக்கொண்ட அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைப் பெறுகிறோம்.

நாங்கள் பெறுகிறோம்: .

பதில்:.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்ப்பதை இப்போது கருத்தில் கொள்வோம். முதலில், எண்களாக இருக்கும் பிரிவுகளைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம் 2.பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

தீர்வு அல்காரிதம் முந்தைய உதாரணத்திற்கு முற்றிலும் ஒத்திருக்கிறது. இந்த பின்னங்களின் பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது: மேலும் அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் கூடுதல் காரணிகள்.

.

பதில்:.

எனவே, உருவாக்குவோம் வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் அல்காரிதம்:

1. பின்னங்களின் மிகக் குறைந்த பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.

2. ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணிகளைக் கண்டறியவும் (பொது வகுப்பினைக் கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுப்பதன் மூலம்).

3. தொடர்புடைய கூடுதல் காரணிகளால் எண்களை பெருக்கவும்.

4. போன்ற பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் பயன்படுத்தி பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் அல்லது கழிக்கவும்.

எழுத்து வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட வகுப்பின் பின்னங்களுடன் ஒரு உதாரணத்தை இப்போது பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

இரண்டு பிரிவுகளிலும் உள்ள எழுத்து வெளிப்பாடுகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், எண்களுக்கான பொதுவான வகுப்பினை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இறுதிப் பொதுப் பிரிவு இப்படி இருக்கும்: . எனவே, இந்த உதாரணத்திற்கான தீர்வு இதுபோல் தெரிகிறது:

பதில்:.

எடுத்துக்காட்டு 4.பின்னங்களை கழிக்கவும்: .

தீர்வு:

ஒரு பொதுவான வகுப்பினைத் தேர்ந்தெடுக்கும் போது உங்களால் "ஏமாற்ற" முடியாவிட்டால் (நீங்கள் அதை காரணியாக்கவோ அல்லது சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவோ முடியாது), பின்னர் நீங்கள் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் பெருக்கத்தை பொதுவான வகுப்பாக எடுக்க வேண்டும்.

பதில்:.

பொதுவாக, இத்தகைய உதாரணங்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்பதே மிகவும் கடினமான பணியாகும்.

இன்னும் சிக்கலான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம் 5.எளிமையாக்கு: .

தீர்வு:

ஒரு பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறியும் போது, ​​நீங்கள் முதலில் அசல் பின்னங்களின் பிரிவுகளை (பொது வகுப்பினை எளிமையாக்க) காரணிப்படுத்த முயற்சிக்க வேண்டும்.

இந்த குறிப்பிட்ட வழக்கில்:

பின்னர் பொதுவான வகுப்பினைத் தீர்மானிப்பது எளிது: .

கூடுதல் காரணிகளை நாங்கள் தீர்மானித்து இந்த உதாரணத்தை தீர்க்கிறோம்:

பதில்:.

இப்போது வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளை நிறுவுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6.எளிமையாக்கு: .

தீர்வு:

பதில்:.

எடுத்துக்காட்டு 7.எளிமையாக்கு: .

தீர்வு:

.

பதில்:.

இரண்டு அல்ல, மூன்று பின்னங்கள் சேர்க்கப்படும் ஒரு உதாரணத்தை இப்போது பார்ப்போம் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அதிக எண்ணிக்கையிலான பின்னங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் விதிகள் அப்படியே இருக்கும்).

எடுத்துக்காட்டு 8.எளிமையாக்கு: .

நீங்கள் பின்னங்களுடன் பல்வேறு செயல்பாடுகளைச் செய்யலாம், எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களைச் சேர்ப்பது. பின்னங்களைச் சேர்ப்பதை பல வகைகளாகப் பிரிக்கலாம். பின்னங்களின் ஒவ்வொரு வகை சேர்ப்பிற்கும் அதன் சொந்த விதிகள் மற்றும் செயல்களின் வழிமுறைகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு வகை கூட்டல்களையும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.

ஒரு பொதுவான வகுப்பினருடன் பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

சுற்றுலாப்பயணிகள் A புள்ளியில் இருந்து E க்கு ஒரு உயர்வில் சென்றனர். முதல் நாளில் அவர்கள் முழு பாதையின் A முதல் B அல்லது \(\frac(1)(5)\) வரை நடந்தனர். இரண்டாவது நாளில் அவர்கள் புள்ளி B இலிருந்து D அல்லது \(\frac(2)(5)\) வரை நடந்தனர். பயணத்தின் தொடக்கத்திலிருந்து புள்ளி D க்கு அவர்கள் எவ்வளவு தூரம் பயணித்தார்கள்?

புள்ளி A முதல் புள்ளி D வரையிலான தூரத்தைக் கண்டறிய, நீங்கள் பின்னங்களைச் சேர்க்க வேண்டும் \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பது என்பது இந்த பின்னங்களின் எண்களைச் சேர்க்க வேண்டும் என்று அர்த்தம், ஆனால் வகுத்தல் அப்படியே இருக்கும்.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

நேரடி வடிவத்தில், ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகை இப்படி இருக்கும்:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

பதில்: சுற்றுலாப் பயணிகள் \(\frac(3)(5)\) முழுவதும் நடந்தனர்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

நீங்கள் இரண்டு பின்னங்களைச் சேர்க்க வேண்டும் \(\frac(3)(4)\) மற்றும் \(\frac(2)(7)\).

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, நீங்கள் முதலில் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், பின்னர் போன்ற பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க விதியைப் பயன்படுத்தவும்.

4 மற்றும் 7 ஆகிய பிரிவுகளுக்கு, பொதுப் பிரிவு எண் 28 ஆக இருக்கும். முதல் பின்னம் \(\frac(3)(4)\) 7 ஆல் பெருக்கப்பட வேண்டும். இரண்டாவது பின்னம் \(\frac(2)(7)\ ) 4 ஆல் பெருக்க வேண்டும்.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \மடங்கு \நிறம்(சிவப்பு) (7) + 2 \மடங்கு \நிறம்(சிவப்பு) (4))(4 \ முறை \color(சிவப்பு) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

நேரடி வடிவத்தில் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

கலப்பு எண்கள் அல்லது கலப்பு பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.

கூட்டல் சட்டத்தின்படி கூட்டல் நிகழ்கிறது.

கலப்பு பின்னங்களுக்கு, முழுப் பகுதிகளையும் முழுப் பகுதியுடனும், பகுதியிலுள்ள பகுதிகளை பின்னங்களுடனும் சேர்க்கிறோம்.

கலப்பு எண்களின் பின்னப் பகுதிகள் ஒரே வகைப்பாட்டைக் கொண்டிருந்தால், நாம் எண்களைச் சேர்க்கிறோம், ஆனால் வகுத்தல் அப்படியே இருக்கும்.

கலப்பு எண்களைச் சேர்ப்போம் \(3\frac(6)(11)\) மற்றும் \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\நிறம்(சிவப்பு) (3) + \நிறம்(நீலம்) (\frac(6)(11))) + ( \color(சிவப்பு) (1) + \நிறம்(நீலம்) (\frac(3)(11))) = (\நிறம்(சிவப்பு) (3) + \நிறம்(சிவப்பு) (1)) + (\நிறம்( நீலம்) (\frac(6)(11)) + \நிறம்(நீலம்) (\frac(3)(11))) = \நிறம்(சிவப்பு)(4) + (\நிறம்(நீலம்) (\frac(6) + 3)(11))) = \நிறம்(சிவப்பு)(4) + \நிறம்(நீலம்) (\frac(9)(11)) = \நிறம்(சிவப்பு)(4) \நிறம்(நீலம்) (\frac (9)(11))\)

கலப்பு எண்களின் பின்னப் பகுதிகள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருந்தால், பொதுவான வகுப்பினைக் காணலாம்.

கலப்பு எண்கள் \(7\frac(1)(8)\) மற்றும் \(2\frac(1)(6)\) ஆகியவற்றைச் சேர்ப்போம்.

வகுத்தல் வேறுபட்டது, எனவே நாம் பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அது 24 க்கு சமம். முதல் பின்னம் \(7\frac(1)(8)\) 3 இன் கூடுதல் காரணி மற்றும் இரண்டாவது பின்னம் \( 2\frac(1)(6)\) ஆல் 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \time \color(சிவப்பு) (3))(8 \times \color(சிவப்பு) (3) ) = 2\frac(1\மடங்கு \நிறம்(சிவப்பு) (4))(6\மடங்கு \நிறம்(சிவப்பு) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

தொடர்புடைய கேள்விகள்:
பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது?
பதில்: முதலில் அது எந்த வகையான வெளிப்பாடு என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்: பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பிகள், வெவ்வேறு பிரிவுகள் அல்லது கலப்பு பின்னங்களைக் கொண்டுள்ளன. வெளிப்பாட்டின் வகையைப் பொறுத்து, தீர்வு வழிமுறைக்கு செல்கிறோம்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது?
பதில்: நீங்கள் பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், பின்னர் அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கும் விதியைப் பின்பற்றவும்.

கலப்பு பின்னங்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது?
பதில்: முழு எண்களுடன் முழு எண் பகுதிகளையும் பின்னங்களுடன் பின்ன பகுதிகளையும் சேர்க்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு #1:
இரண்டின் கூட்டுத்தொகை சரியான பின்னத்தை ஏற்படுத்துமா? தகாப்பின்னம்? உதாரணங்கள் கொடுங்கள்.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

பின்னம் \(\frac(5)(7)\) என்பது சரியான பின்னம், இது இரண்டு சரியான பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகை \(\frac(2)(7)\) மற்றும் \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

பின்னம் \(\frac(58)(45)\) ஒரு முறையற்ற பின்னம், இது சரியான பின்னங்கள் \(\frac(2)(5)\) மற்றும் \(\frac(8) ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் விளைவாகும். (9)\).

பதில்: இரண்டு கேள்விகளுக்கும் ஆம் என்பதே பதில்.

எடுத்துக்காட்டு #2:
பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \time \color(சிவப்பு) (3))(3 \time \color(சிவப்பு) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

எடுத்துக்காட்டு #3:
கலப்புப் பகுதியை இயல் எண் மற்றும் சரியான பின்னத்தின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதவும்: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

எடுத்துக்காட்டு #4:
தொகையைக் கணக்கிடுக: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\times 3)(5\times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

பணி #1:
மதிய உணவின் போது கேக்கில் இருந்து \(\frac(8)(11)\) சாப்பிட்டோம், மாலையில் இரவு உணவில் \(\frac(3)(11)\) சாப்பிட்டோம். கேக் முழுவதுமாக சாப்பிட்டதா இல்லையா?

தீர்வு:
பின்னத்தின் வகுத்தல் 11 ஆகும், இது கேக் எத்தனை பகுதிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. மதிய உணவின் போது நாங்கள் 11 இல் 8 கேக்கை சாப்பிட்டோம். இரவு உணவின் போது 11 இல் 3 கேக்கை சாப்பிட்டோம். 8 + 3 = 11 ஐ சேர்ப்போம், நாங்கள் 11 இல் கேக் துண்டுகளை சாப்பிட்டோம், அதாவது முழு கேக்.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

பதில்: முழு கேக் சாப்பிட்டது.