பாலிஹெட்ரா

ஸ்டீரியோமெட்ரியின் ஆய்வின் முக்கிய பொருள் இடஞ்சார்ந்த உடல்கள். உடல்ஒரு குறிப்பிட்ட மேற்பரப்பால் வரையறுக்கப்பட்ட இடத்தின் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது.

பாலிஹெட்ரான்தட்டையான பலகோணங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையைக் கொண்ட ஒரு உடல். ஒரு பாலிஹெட்ரான் அதன் மேற்பரப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு பலகோணத்தின் விமானத்தின் ஒரு பக்கத்தில் அமைந்திருந்தால் அது குவிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய விமானத்தின் பொதுவான பகுதி மற்றும் ஒரு பாலிஹெட்ரானின் மேற்பரப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது விளிம்பு. குவிந்த பாலிஹெட்ரானின் முகங்கள் தட்டையான குவிந்த பலகோணங்களாகும். முகங்களின் பக்கங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன பாலிஹெட்ரானின் விளிம்புகள், மற்றும் செங்குத்துகள் உள்ளன பாலிஹெட்ரானின் முனைகள்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கனசதுரம் ஆறு சதுரங்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை அதன் முகங்களாகும். இதில் 12 விளிம்புகள் (சதுரங்களின் பக்கங்கள்) மற்றும் 8 செங்குத்துகள் (சதுரங்களின் மேல்) உள்ளன.

எளிமையான பாலிஹெட்ரா ப்ரிஸங்கள் மற்றும் பிரமிடுகள் ஆகும், அவை நாம் மேலும் படிப்போம்.

ப்ரிஸம்

ஒரு ப்ரிஸத்தின் வரையறை மற்றும் பண்புகள்

ப்ரிஸம்இணையான மொழிபெயர்ப்பால் இணைக்கப்பட்ட இணைத் தளங்களில் அமைந்துள்ள இரண்டு தட்டையான பலகோணங்களைக் கொண்ட ஒரு பாலிஹெட்ரான் ஆகும், மேலும் இந்த பலகோணங்களின் தொடர்புடைய புள்ளிகளை இணைக்கும் அனைத்து பிரிவுகளும். பலகோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன ப்ரிஸம் அடிப்படைகள், மற்றும் பலகோணங்களின் தொடர்புடைய செங்குத்துகளை இணைக்கும் பிரிவுகள் ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு விளிம்புகள்.

ப்ரிஸம் உயரம்அதன் தளங்களின் விமானங்களுக்கு இடையிலான தூரம் () என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரே முகத்திற்குச் சொந்தமில்லாத ஒரு ப்ரிஸத்தின் இரண்டு செங்குத்துகளை இணைக்கும் ஒரு பிரிவு அழைக்கப்படுகிறது ப்ரிஸம் மூலைவிட்டம்(). ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது n-கார்பன், அதன் அடிப்பகுதியில் n-gon இருந்தால்.

எந்த ப்ரிஸமும் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, இதன் விளைவாக ப்ரிஸத்தின் அடிப்படைகள் இணையான மொழிபெயர்ப்பால் இணைக்கப்படுகின்றன:

1. ப்ரிஸத்தின் அடிப்படைகள் சமம்.

2. ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் இணையாகவும் சமமாகவும் இருக்கும்.

ப்ரிஸத்தின் மேற்பரப்பு தளங்களைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு. ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு இணையான வரைபடங்களைக் கொண்டுள்ளது (இது ப்ரிஸத்தின் பண்புகளைப் பின்பற்றுகிறது). ஒரு ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு என்பது பக்கவாட்டு முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

நேரான ப்ரிஸம்

ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது நேராக, அதன் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் தளங்களுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால். இல்லையெனில் ப்ரிசம் என்று அழைக்கப்படுகிறது சாய்ந்திருக்கும்.

வலது ப்ரிஸத்தின் முகங்கள் செவ்வகங்களாகும். நேரான ப்ரிஸத்தின் உயரம் அதன் பக்க முகங்களுக்கு சமம்.

முழு ப்ரிஸம் மேற்பரப்புபக்கவாட்டு மேற்பரப்பு மற்றும் தளங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சரியான ப்ரிஸத்துடன்அதன் அடிப்பகுதியில் வழக்கமான பலகோணத்துடன் வலது ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் 13.1. நேரான ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு சுற்றளவு மற்றும் ப்ரிஸத்தின் உயரத்திற்கு சமம் (அல்லது, பக்கவாட்டு விளிம்பின் மூலம்).

ஆதாரம். வலது ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு முகங்கள் செவ்வகங்களாகும், அவற்றின் தளங்கள் ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் உள்ள பலகோணங்களின் பக்கங்களாகவும், உயரங்கள் ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு விளிம்புகளாகவும் இருக்கும். பின்னர், வரையறையின்படி, பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதி:

,

நேரான ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு எங்கே.

இணையான குழாய்

ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் இணையான வரைபடங்கள் இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது இணையான குழாய். இணையான பைப்பின் அனைத்து முகங்களும் இணையான வரைபடங்கள். இந்த வழக்கில், parallelepiped எதிர் முகங்கள் இணை மற்றும் சமமாக இருக்கும்.

தேற்றம் 13.2. இணையான குழாய்களின் மூலைவிட்டங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன மற்றும் வெட்டுப் புள்ளியால் பாதியாக பிரிக்கப்படுகின்றன.

ஆதாரம். இரண்டு தன்னிச்சையான மூலைவிட்டங்களைக் கவனியுங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் . ஏனெனில் ஒரு இணைக்குழாயின் முகங்கள் இணையான வரைபடங்கள், பின்னர் மற்றும் , அதாவது To இன் படி மூன்றிற்கு இணையாக இரண்டு நேர்கோடுகள் உள்ளன. கூடுதலாக, இதன் பொருள் நேர் கோடுகள் மற்றும் ஒரே விமானத்தில் (விமானம்) பொய். இந்த விமானம் இணை விமானங்கள் மற்றும் இணையான கோடுகளுடன் வெட்டுகிறது. எனவே, ஒரு நாற்கரமானது ஒரு இணையான வரைபடமாகும், மேலும் ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பண்புகளால், அதன் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டுகின்றன மற்றும் குறுக்குவெட்டு புள்ளியால் பாதியாக பிரிக்கப்படுகின்றன, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய ஒன்று.

ஒரு செவ்வகத்தின் அடிப்பாகம் இருக்கும் ஒரு வலது இணையான குழாய் அழைக்கப்படுகிறது செவ்வக இணை குழாய். ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய்களின் அனைத்து முகங்களும் செவ்வகங்களாகும். ஒரு செவ்வக இணையாக இல்லாத விளிம்புகளின் நீளம் அதன் நேரியல் பரிமாணங்கள் (பரிமாணங்கள்) எனப்படும். அத்தகைய மூன்று அளவுகள் உள்ளன (அகலம், உயரம், நீளம்).

தேற்றம் 13.3. ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயில், எந்த மூலைவிட்டத்தின் சதுரமும் அதன் முப்பரிமாணங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். (பித்தகோரியன் டி இருமுறை பயன்படுத்துவதன் மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது).

அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும் ஒரு செவ்வக இணையாக அழைக்கப்படுகிறது கன.

பணிகள்

13.1 இது எத்தனை மூலைவிட்டங்களைக் கொண்டுள்ளது? n- கார்பன் ப்ரிஸம்

13.2 சாய்ந்த முக்கோண ப்ரிஸத்தில், பக்க விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் 37, 13 மற்றும் 40. பெரிய பக்க விளிம்பிற்கும் எதிர் பக்க விளிம்பிற்கும் இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

13.3 ஒரு விமானம் ஒரு வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸத்தின் கீழ் அடித்தளத்தின் பக்கத்தின் வழியாக வரையப்படுகிறது, பக்க முகங்களை அவற்றுக்கிடையே ஒரு கோணத்துடன் பிரிவுகளுடன் வெட்டுகிறது. ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதிக்கு இந்த விமானத்தின் சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ப்ரிஸம். இணையான குழாய்

ப்ரிஸம்இரண்டு முகங்களும் சமமான n-gons ஆகும் பாலிஹெட்ரான் ஆகும் (அடிப்படைகள்) , இணையான விமானங்களில் கிடக்கிறது, மீதமுள்ள n முகங்கள் இணையான வரைபடங்கள் (பக்க முகங்கள்) . பக்கவாட்டு விலா எலும்பு ஒரு ப்ரிஸத்தின் பக்கம் அடிப்பாகத்தில் சேராதது ப்ரிஸத்தின் பக்கம் எனப்படும்.

பக்கவாட்டு விளிம்புகள் தளங்களின் விமானங்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது நேராக ப்ரிஸம் (படம் 1). பக்க விளிம்புகள் தளங்களின் விமானங்களுக்கு செங்குத்தாக இல்லாவிட்டால், ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சாய்ந்திருக்கும் . சரி ஒரு ப்ரிஸம் என்பது ஒரு வலது ப்ரிஸம், அதன் அடிப்படைகள் வழக்கமான பலகோணங்களாகும்.

உயரம்ப்ரிஸம் என்பது தளங்களின் விமானங்களுக்கு இடையிலான தூரம். மூலைவிட்டம் ஒரு ப்ரிஸம் என்பது ஒரே முகத்திற்குச் சொந்தமில்லாத இரண்டு செங்குத்துகளை இணைக்கும் ஒரு பிரிவு ஆகும். மூலைவிட்ட பிரிவு ஒரே முகத்திற்குச் சொந்தமில்லாத இரண்டு பக்கவாட்டு விளிம்புகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தால் ப்ரிஸத்தின் ஒரு பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. செங்குத்து பிரிவு ப்ரிஸத்தின் பக்க விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தால் ப்ரிஸத்தின் ஒரு பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு ஒரு ப்ரிஸம் என்பது அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். மொத்த பரப்பளவு ப்ரிஸத்தின் அனைத்து முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது (அதாவது பக்க முகங்களின் பகுதிகள் மற்றும் தளங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை).

ஒரு தன்னிச்சையான ப்ரிஸத்திற்கு பின்வரும் சூத்திரங்கள் உண்மையாக இருக்கும்::

எங்கே எல்- பக்க விலா எலும்பின் நீளம்;

எச்- உயரம்;

பி

கே

எஸ் பக்கம்

எஸ் முழு

எஸ் அடிப்படை- தளங்களின் பரப்பளவு;

வி- ப்ரிஸத்தின் அளவு.

நேரான ப்ரிஸத்திற்கு பின்வரும் சூத்திரங்கள் சரியானவை:

எங்கே ப- அடிப்படை சுற்றளவு;

எல்- பக்க விலா எலும்பின் நீளம்;

எச்- உயரம்.

இணையான குழாய்ஒரு ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் அடிப்படை ஒரு இணையான வரைபடம் ஆகும். பக்கவாட்டு விளிம்புகள் தளங்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு இணை குழாய் அழைக்கப்படுகிறது நேரடி (படம் 2). பக்க விளிம்புகள் தளங்களுக்கு செங்குத்தாக இல்லாவிட்டால், இணையாக அழைக்கப்படுகிறது சாய்ந்திருக்கும் . ஒரு செவ்வகத்தின் அடிப்பாகம் இருக்கும் ஒரு வலது இணையான குழாய் அழைக்கப்படுகிறது செவ்வக. அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும் ஒரு செவ்வக இணையாக அழைக்கப்படுகிறது கன

பொதுவான செங்குத்துகள் இல்லாத ஒரு இணை குழாய் முகங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன எதிர் . ஒரு உச்சியில் இருந்து வெளிப்படும் விளிம்புகளின் நீளம் எனப்படும் அளவீடுகள் இணையான குழாய். ஒரு இணையான ப்ரிஸம் என்பதால், அதன் முக்கிய கூறுகள் ப்ரிஸங்களுக்கு வரையறுக்கப்பட்டதைப் போலவே வரையறுக்கப்படுகின்றன.

தேற்றங்கள்.

1. ஒரு இணைக் குழாய்களின் மூலைவிட்டங்கள் ஒரு புள்ளியில் குறுக்கிட்டு அதை இரண்டாகப் பிரிக்கின்றன.

2. ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயில், மூலைவிட்டத்தின் நீளத்தின் சதுரம் அதன் முப்பரிமாணங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

3. ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய்களின் நான்கு மூலைவிட்டங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

ஒரு தன்னிச்சையான இணைக் குழாய்க்கு பின்வரும் சூத்திரங்கள் செல்லுபடியாகும்:

எங்கே எல்- பக்க விலா எலும்பின் நீளம்;

எச்- உயரம்;

பி- செங்குத்து பிரிவு சுற்றளவு;

கே- செங்குத்தாக குறுக்கு வெட்டு பகுதி;

எஸ் பக்கம்- பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு;

எஸ் முழு- மொத்த பரப்பளவு;

எஸ் அடிப்படை- தளங்களின் பரப்பளவு;

வி- ப்ரிஸத்தின் அளவு.

வலது இணையான குழாய்க்கு பின்வரும் சூத்திரங்கள் சரியானவை:

எங்கே ப- அடிப்படை சுற்றளவு;

எல்- பக்க விலா எலும்பின் நீளம்;

எச்- ஒரு வலது இணையான உயரம்.

ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய்க்கு பின்வரும் சூத்திரங்கள் சரியானவை:

(3)

எங்கே ப- அடிப்படை சுற்றளவு;

எச்- உயரம்;

ஈ- மூலைவிட்டம்;

a,b,c- ஒரு இணை குழாய் அளவீடுகள்.

ஒரு கனசதுரத்திற்கு பின்வரும் சூத்திரங்கள் சரியானவை:

எங்கே அ- விலா நீளம்;

ஈ- கனசதுரத்தின் மூலைவிட்டம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.செவ்வக இணைக் குழாய்களின் மூலைவிட்டமானது 33 dm ஆகும், அதன் பரிமாணங்கள் 2: 6: 9 என்ற விகிதத்தில் உள்ளன. இணையான பைப்பின் பரிமாணங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. parallelepiped பரிமாணங்களைக் கண்டறிய, நாம் சூத்திரம் (3) ஐப் பயன்படுத்துகிறோம், அதாவது. ஒரு கனசதுரத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம் அதன் பரிமாணங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருப்பதால். மூலம் குறிப்போம் கேவிகிதாசார காரணி. பின்னர் இணையான பைப்பின் பரிமாணங்கள் 2 க்கு சமமாக இருக்கும் கே, 6கேமற்றும் 9 கே. சிக்கல் தரவுக்கான சூத்திரத்தை (3) எழுதுவோம்:

இந்த சமன்பாட்டை தீர்ப்பது கே, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இதன் பொருள் இணைக் குழாய்களின் பரிமாணங்கள் 6 dm, 18 dm மற்றும் 27 dm ஆகும்.

பதில்: 6 டிஎம், 18 டிஎம், 27 டிஎம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.சாய்ந்த முக்கோண ப்ரிஸத்தின் அளவைக் கண்டறியவும், அதன் அடிப்பகுதியானது 8 செமீ பக்கத்துடன் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும், பக்க விளிம்பு அடித்தளத்தின் பக்கத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மற்றும் அடித்தளத்திற்கு 60º கோணத்தில் சாய்ந்திருந்தால்.

தீர்வு . ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 3).

சாய்ந்த ப்ரிஸத்தின் அளவைக் கண்டுபிடிக்க, அதன் அடிப்பகுதி மற்றும் உயரத்தின் பகுதியை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இந்த ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு 8 செமீ பக்கமுள்ள சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவாகும். அதைக் கணக்கிடுவோம்:

ஒரு ப்ரிஸத்தின் உயரம் அதன் தளங்களுக்கு இடையிலான தூரம். மேலிருந்து ஏமேல் தளத்தின் 1, கீழ் தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக குறைக்கவும் ஏ 1 டி. அதன் நீளம் ப்ரிஸத்தின் உயரமாக இருக்கும். டி கருதுக ஏ 1 கி.பி: இது பக்க விளிம்பின் சாய்வின் கோணம் என்பதால் ஏ 1 ஏஅடிப்படை விமானத்திற்கு, ஏ 1 ஏ= 8 செ.மீ.. இந்த முக்கோணத்திலிருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் ஏ 1 டி:

இப்போது சூத்திரம் (1) ஐப் பயன்படுத்தி அளவைக் கணக்கிடுகிறோம்:

பதில்: 192 செமீ 3.

எடுத்துக்காட்டு 3.வழக்கமான அறுகோண ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு விளிம்பு 14 செ.மீ. மிகப்பெரிய மூலைவிட்டப் பகுதியின் பரப்பளவு 168 செ.மீ. ப்ரிஸத்தின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.வரைவோம் (படம் 4)

மிகப்பெரிய மூலைவிட்ட பகுதி ஒரு செவ்வகமாகும் ஏ.ஏ. 1 DDமூலைவிட்டத்திலிருந்து 1 கி.பிவழக்கமான அறுகோணம் ABCDEFமிகப்பெரியது. ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பைக் கணக்கிட, அடித்தளத்தின் பக்கத்தையும் பக்க விளிம்பின் நீளத்தையும் அறிந்து கொள்வது அவசியம்.

மூலைவிட்டப் பிரிவின் (செவ்வகம்) பகுதியை அறிந்து, அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டத்தைக் காண்கிறோம்.

அன்றிலிருந்து

அன்றிலிருந்து ஏபி= 6 செ.மீ.

பின்னர் அடித்தளத்தின் சுற்றளவு:

ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பக்க 6 செமீ கொண்ட வழக்கமான அறுகோணத்தின் பரப்பளவு:

ப்ரிஸத்தின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறியவும்:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 4.வலப்புற இணைக் குழாய்களின் அடிப்பகுதி ஒரு ரோம்பஸ் ஆகும். மூலைவிட்ட குறுக்கு வெட்டு பகுதிகள் 300 செமீ2 மற்றும் 875 செமீ2 ஆகும். இணை குழாய்களின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 5).

ரோம்பஸின் பக்கத்தைக் குறிப்போம் ஏ, ஒரு ரோம்பஸின் மூலைவிட்டங்கள் ஈ 1 மற்றும் ஈ 2, இணையான உயரம் ம. வலதுபுற இணைக் குழாய்களின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டறிய, அடித்தளத்தின் சுற்றளவை உயரத்தால் பெருக்க வேண்டியது அவசியம்: (சூத்திரம் (2)). அடிப்படை சுற்றளவு p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, ஏனெனில் ஏ பி சி டி- ரோம்பஸ் எச் = ஏஏ 1 = ம. அந்த. கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஏமற்றும் ம.

மூலைவிட்ட பிரிவுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். ஏஏ 1 எஸ்.எஸ் 1 - ஒரு செவ்வகம், அதன் ஒரு பக்கம் ரோம்பஸின் மூலைவிட்டம் ஏசி = ஈ 1, இரண்டாவது - பக்க விளிம்பு ஏஏ 1 = ம, பிறகு

இதேபோல் பிரிவுக்கும் பிபி 1 DD 1 நாம் பெறுகிறோம்:

மூலைவிட்டங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை அதன் அனைத்து பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு இணையான வரைபடத்தின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வருவனவற்றைப் பெறும் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்.

வரையறை 1. பிரிஸ்மாடிக் மேற்பரப்பு
தேற்றம் 1. பிரிஸ்மாடிக் மேற்பரப்பின் இணையான பிரிவுகளில்
வரையறை 2. ப்ரிஸ்மாடிக் மேற்பரப்பின் செங்குத்து பகுதி
வரையறை 3. பிரிசம்
வரையறை 4. ப்ரிஸம் உயரம்
வரையறை 5. வலது ப்ரிஸம்
தேற்றம் 2. ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு

இணையான குழாய்:
வரையறை 6. Parallelepiped
தேற்றம் 3. ஒரு parallelepiped மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டில்
வரையறை 7. வலது இணையாக
வரையறை 8. செவ்வக இணைக் குழாய்
வரையறை 9. ஒரு இணையான குழாய் அளவீடுகள்
வரையறை 10. கன சதுரம்
வரையறை 11. ரோம்போஹெட்ரான்
தேற்றம் 4. ஒரு செவ்வக இணையான மூலைவிட்டத்தில்
தேற்றம் 5. ஒரு ப்ரிஸத்தின் தொகுதி
தேற்றம் 6. நேரான ப்ரிஸத்தின் தொகுதி
தேற்றம் 7. ஒரு செவ்வக இணையான வால்யூம்

ப்ரிஸம்ஒரு பாலிஹெட்ரான், அதன் இரண்டு முகங்கள் (அடிப்படைகள்) இணையான விமானங்களில் உள்ளன, மேலும் இந்த முகங்களில் இல்லாத விளிம்புகள் ஒருவருக்கொருவர் இணையாக இருக்கும்.
தளங்களைத் தவிர மற்ற முகங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன பக்கவாட்டு.
பக்க முகங்கள் மற்றும் தளங்களின் பக்கங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன ப்ரிஸம் விலா எலும்புகள், விளிம்புகளின் முனைகள் அழைக்கப்படுகின்றன ப்ரிஸத்தின் முனைகள். பக்கவாட்டு விலா எலும்புகள்தளங்களுக்குச் சொந்தமில்லாத விளிம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பக்கவாட்டு முகங்களின் ஒன்றியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு, மற்றும் அனைத்து முகங்களின் ஒன்றியம் அழைக்கப்படுகிறது ப்ரிஸத்தின் முழு மேற்பரப்பு. ப்ரிஸம் உயரம்மேல் தளத்தின் புள்ளியில் இருந்து கீழ் தளத்தின் விமானம் அல்லது இந்த செங்குத்தாக நீளம் வரை செங்குத்தாக கைவிடப்பட்டது. நேரடி ப்ரிஸம்ஒரு ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் பக்க விலா எலும்புகள் தளங்களின் விமானங்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும். சரிநேரான ப்ரிஸம் (படம் 3) என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் அடிப்பகுதியில் வழக்கமான பலகோணம் உள்ளது.

பதவிகள்:
l - பக்க விலா;
பி - அடிப்படை சுற்றளவு;
S o - அடிப்படை பகுதி;
எச் - உயரம்;
பி ^ - செங்குத்து பிரிவு சுற்றளவு;
S b - பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதி;
வி - தொகுதி;
Sp என்பது ப்ரிஸத்தின் மொத்த மேற்பரப்பின் பரப்பளவு.

வரையறை 2 . ஒரு ப்ரிஸ்மாடிக் மேற்பரப்பின் செங்குத்துப் பகுதி என்பது அதன் விளிம்புகளுக்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தால் இந்த மேற்பரப்பின் ஒரு பகுதியாகும். முந்தைய தேற்றத்தின் அடிப்படையில், ஒரே பிரிஸ்மாடிக் மேற்பரப்பின் அனைத்து செங்குத்து பிரிவுகளும் சம பலகோணங்களாக இருக்கும்.

வரையறை 3 . ஒரு ப்ரிஸம் என்பது ஒரு ப்ரிஸ்மாடிக் மேற்பரப்பு மற்றும் இரண்டு விமானங்கள் ஒன்றோடொன்று இணையாக (ஆனால் பிரிஸ்மாடிக் மேற்பரப்பின் விளிம்புகளுக்கு இணையாக இல்லை)
இந்த கடைசி விமானங்களில் கிடக்கும் முகங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன ப்ரிஸம் அடிப்படைகள்; பிரிஸ்மாடிக் மேற்பரப்பைச் சேர்ந்த முகங்கள் - பக்க முகங்கள்; பிரிஸ்மாடிக் மேற்பரப்பின் விளிம்புகள் - ப்ரிஸத்தின் பக்க விலா எலும்புகள். முந்தைய தேற்றத்தின் அடிப்படையில், ப்ரிஸத்தின் அடிப்படை சம பலகோணங்கள். ப்ரிஸத்தின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களும் - இணையான வரைபடங்கள்; அனைத்து பக்க விலா எலும்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமம்.
வெளிப்படையாக, ABCDE ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதி மற்றும் AA" அளவு மற்றும் திசையில் விளிம்புகளில் ஒன்று கொடுக்கப்பட்டால், BB", CC", ... விளிம்பு AA க்கு சமமான மற்றும் இணையான விளிம்புகளை வரைவதன் மூலம் ஒரு ப்ரிஸத்தை உருவாக்க முடியும். .

வரையறை 4 . ஒரு ப்ரிஸத்தின் உயரம் அதன் தளங்களின் விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் (HH").

வரையறை 5 . ஒரு ப்ரிஸம் அதன் தளங்கள் பிரிஸ்மாடிக் மேற்பரப்பின் செங்குத்தாக இருந்தால் அது நேராக அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், ப்ரிஸத்தின் உயரம், நிச்சயமாக, அதன் பக்க விலா எலும்பு; பக்க விளிம்புகள் இருக்கும் செவ்வகங்கள்.
பலகோணத்தின் அடிப்படையாக செயல்படும் பக்கங்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான பக்கவாட்டு முகங்களின் எண்ணிக்கையின்படி ப்ரிஸங்களை வகைப்படுத்தலாம். எனவே, ப்ரிஸங்கள் முக்கோண, நாற்கர, ஐங்கோண, முதலியனவாக இருக்கலாம்.

தேற்றம் 2 . ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு பக்கவாட்டு விளிம்பின் தயாரிப்பு மற்றும் செங்குத்து பிரிவின் சுற்றளவுக்கு சமம்.
ABCDEA"B"C"D"E" என்பது கொடுக்கப்பட்ட ப்ரிஸமாக இருக்கட்டும் மற்றும் அதன் செங்குத்துப் பகுதியைக் குறைக்கட்டும், அதனால் ab, bc, .. பிரிவுகள் அதன் பக்கவாட்டு விளிம்புகளுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும். முகம் ABA"B" என்பது ஒரு இணையான வரைபடம்; அதன் பரப்பளவு AB உடன் ஒத்துப்போகும் உயரத்திற்கு அடிப்படை AA "இன் பெருக்கத்திற்கு சமம்; முகத்தின் பரப்பளவு ВСВ "С" உயரம் பிசி, முதலியவற்றின் அடிப்படையில் ВВ" இன் தயாரிப்புக்கு சமம். இதன் விளைவாக, பக்க மேற்பரப்பு (அதாவது பக்க முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை) தயாரிப்புக்கு சமம் பக்க விளிம்பின், வேறுவிதமாகக் கூறினால், AB+bc+cd+de+ea தொகைக்கு AA", ВВ", .., பிரிவுகளின் மொத்த நீளம்.

நேரான ப்ரிஸம் பற்றிய பொதுவான தகவல்கள்

ஒரு ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு (இன்னும் துல்லியமாக, பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதி) அழைக்கப்படுகிறது தொகைபக்க முகங்களின் பகுதிகள். ப்ரிஸத்தின் மொத்த மேற்பரப்பு பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு மற்றும் தளங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

தேற்றம் 19.1. நேரான ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு அடித்தளத்தின் சுற்றளவு மற்றும் ப்ரிஸத்தின் உயரத்தின் தயாரிப்புக்கு சமம், அதாவது, பக்க விளிம்பின் நீளம்.

ஆதாரம். நேரான ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு முகங்கள் செவ்வகங்களாகும். இந்த செவ்வகங்களின் தளங்கள் ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் அமைந்துள்ள பலகோணத்தின் பக்கங்களாகும், மேலும் உயரங்கள் பக்க விளிம்புகளின் நீளத்திற்கு சமமாக இருக்கும். ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு சமமாக இருப்பதைப் பின்தொடர்கிறது

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

இதில் a 1 மற்றும் n என்பது அடிப்படை விளிம்புகளின் நீளம், p என்பது ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு, மற்றும் I என்பது பக்க விளிம்புகளின் நீளம். தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

நடைமுறை பணி

சிக்கல் (22) . ஒரு சாய்ந்த ப்ரிஸத்தில் அது மேற்கொள்ளப்படுகிறது பிரிவு, பக்க விலா எலும்புகளுக்கு செங்குத்தாக மற்றும் அனைத்து பக்க விலா எலும்புகளையும் வெட்டும். குறுக்குவெட்டு சுற்றளவு p க்கு சமமாகவும் பக்க விளிம்புகள் l க்கு சமமாகவும் இருந்தால் ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. வரையப்பட்ட பிரிவின் விமானம் ப்ரிஸத்தை இரண்டு பகுதிகளாக பிரிக்கிறது (படம் 411). ப்ரிஸத்தின் அடிப்படைகளை இணைத்து, அவற்றில் ஒன்றை இணை மொழிபெயர்ப்புக்கு உட்படுத்துவோம். இந்த வழக்கில், நாம் ஒரு நேரான ப்ரிஸத்தைப் பெறுகிறோம், அதன் அடிப்படையானது அசல் ப்ரிஸத்தின் குறுக்குவெட்டு ஆகும், மேலும் பக்க விளிம்புகள் l க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த ப்ரிஸம் அசல் ஒன்றின் அதே பக்கவாட்டு மேற்பரப்பைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, அசல் ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு pl க்கு சமம்.

மூடப்பட்ட தலைப்பின் சுருக்கம்

இப்போது நாம் ப்ரிஸங்களைப் பற்றி உள்ளடக்கிய தலைப்பைச் சுருக்கி, ஒரு ப்ரிஸம் என்ன பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்வோம்.

ப்ரிஸம் பண்புகள்

முதலாவதாக, ஒரு ப்ரிஸம் அதன் அனைத்து அடிப்படைகளையும் சம பலகோணங்களாகக் கொண்டுள்ளது;
இரண்டாவதாக, ஒரு ப்ரிஸத்தில் அதன் பக்கவாட்டு முகங்கள் அனைத்தும் இணையான வரைபடங்கள்;
மூன்றாவதாக, ப்ரிஸம் போன்ற பன்முக உருவத்தில், அனைத்து பக்கவாட்டு விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும்;

மேலும், ப்ரிஸம் போன்ற பாலிஹெட்ரா நேராகவோ அல்லது சாய்வாகவோ இருக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

எந்த ப்ரிஸம் நேரான ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது?

ஒரு ப்ரிஸத்தின் பக்க விளிம்பு அதன் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக அமைந்திருந்தால், அத்தகைய ப்ரிஸம் நேராக அழைக்கப்படுகிறது.

நேரான ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு முகங்கள் செவ்வகங்கள் என்பதை நினைவுபடுத்துவது மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது.

எந்த வகையான ப்ரிஸம் சாய்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

ஆனால் ஒரு ப்ரிஸத்தின் பக்க விளிம்பு அதன் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக அமைந்திருக்கவில்லை என்றால், அது ஒரு சாய்ந்த ப்ரிஸம் என்று நாம் பாதுகாப்பாக சொல்லலாம்.

எந்த ப்ரிஸம் சரியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது?

ஒரு வழக்கமான பலகோணம் நேரான ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் இருந்தால், அத்தகைய ப்ரிஸம் வழக்கமானது.

இப்போது வழக்கமான ப்ரிஸம் கொண்டிருக்கும் பண்புகளை நினைவில் கொள்வோம்.

வழக்கமான ப்ரிஸத்தின் பண்புகள்

முதலாவதாக, வழக்கமான பலகோணங்கள் எப்போதும் ஒரு வழக்கமான ப்ரிஸத்தின் அடிப்படைகளாக செயல்படுகின்றன;
இரண்டாவதாக, வழக்கமான ப்ரிஸத்தின் பக்க முகங்களைக் கருத்தில் கொண்டால், அவை எப்போதும் சமமான செவ்வகங்களாக இருக்கும்;
மூன்றாவதாக, நீங்கள் பக்க விலா எலும்புகளின் அளவை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், வழக்கமான ப்ரிஸத்தில் அவை எப்போதும் சமமாக இருக்கும்.
நான்காவதாக, சரியான ப்ரிஸம் எப்போதும் நேராக இருக்கும்;
ஐந்தாவது, வழக்கமான ப்ரிஸத்தில் பக்கவாட்டு முகங்கள் சதுர வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால், அத்தகைய உருவம் பொதுவாக அரை-வழக்கமான பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ப்ரிஸம் குறுக்குவெட்டு

இப்போது ப்ரிஸத்தின் குறுக்குவெட்டைப் பார்ப்போம்:

வீட்டு பாடம்

இப்போது சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் நாம் கற்றுக்கொண்ட தலைப்பை ஒருங்கிணைக்க முயற்சிப்போம்.

ஒரு சாய்ந்த முக்கோண ப்ரிஸத்தை வரைவோம், அதன் விளிம்புகளுக்கு இடையில் உள்ள தூரம் சமமாக இருக்கும்: 3 செ.மீ., 4 செ.மீ மற்றும் 5 செ.மீ., இந்த ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு 60 செ.மீ 2 க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த அளவுருக்கள் இருந்தால், இந்த ப்ரிஸத்தின் பக்க விளிம்பைக் கண்டறியவும்.

வடிவியல் பாடங்களில் மட்டுமல்ல, அன்றாட வாழ்க்கையிலும் ஒன்று அல்லது மற்றொரு வடிவியல் உருவத்தை ஒத்த பொருள்கள் உள்ளன, வடிவியல் புள்ளிவிவரங்கள் தொடர்ந்து நம்மைச் சூழ்ந்துள்ளன என்பது உங்களுக்குத் தெரியுமா?

ஒவ்வொரு வீட்டிலும், பள்ளியிலும் அல்லது பணியிலும் ஒரு கணினி உள்ளது, அதன் கணினி அலகு நேரான ப்ரிஸம் போல வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

நீங்கள் ஒரு எளிய பென்சிலை எடுத்தால், பென்சிலின் முக்கிய பகுதி ஒரு ப்ரிஸமாக இருப்பதைக் காண்பீர்கள்.

நகரின் மையத் தெருவில் நடந்து செல்லும்போது, ​​​​எங்கள் காலடியில் ஒரு அறுகோண ப்ரிஸத்தின் வடிவத்தைக் கொண்ட ஒரு ஓடு இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

A. V. Pogorelov, 7-11 ஆம் வகுப்புகளுக்கான வடிவியல், கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பாடநூல்

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், மின்னஞ்சல் முகவரி போன்ற பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம்.

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவல்கள், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகளுடன் உங்களைத் தொடர்புகொள்ள அனுமதிக்கிறது.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் உள்ள அரசாங்க அதிகாரிகளிடமிருந்து பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன மட்டத்தில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.