ஒரு செயல்பாட்டின் சமநிலையை எவ்வாறு கண்டறிவது. சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகள்

ஒரு செயல்பாட்டின் சமநிலை மற்றும் ஒற்றைப்படை அதன் முக்கிய பண்புகளில் ஒன்றாகும், மேலும் சமத்துவம் பள்ளி கணித பாடத்தின் ஈர்க்கக்கூடிய பகுதியை எடுத்துக்கொள்கிறது. இது செயல்பாட்டின் நடத்தையை பெரிதும் தீர்மானிக்கிறது மற்றும் தொடர்புடைய வரைபடத்தை உருவாக்க பெரிதும் உதவுகிறது.

செயல்பாட்டின் சமநிலையை தீர்மானிப்போம். பொதுவாக, அதன் வரையறையின் களத்தில் அமைந்துள்ள சுயாதீன மாறியின் (x) எதிர் மதிப்புகளுக்கு, y (செயல்பாடு) தொடர்புடைய மதிப்புகள் சமமாக மாறினாலும், ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்பாடு கருதப்படுகிறது.

இன்னும் கடுமையான வரையறையை வழங்குவோம். சில செயல்பாடு f (x) ஐக் கவனியுங்கள், இது D டொமைனில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இது வரையறையின் டொமைனில் அமைந்துள்ள எந்தப் புள்ளி x க்கும் கூட இருக்கும்:

• -x (எதிர்ப்புள்ளி) இந்த நோக்கத்திலும் உள்ளது,

• f(-x) = f(x).

மேலே உள்ள வரையறையிலிருந்து, அத்தகைய செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்திற்குத் தேவையான நிபந்தனையைப் பின்பற்றுகிறது, அதாவது, ஆயத்தொகுப்புகளின் தோற்றம் புள்ளி O ஐப் பொறுத்தமட்டில் சமச்சீர்மை, ஏனெனில் சில புள்ளிகள் b ஆனது சமன் வரையறையின் களத்தில் இருந்தால். செயல்பாடு, பின்னர் தொடர்புடைய புள்ளி b இந்த டொமைனில் உள்ளது. எனவே, மேற்கூறியவற்றிலிருந்து, முடிவு பின்வருமாறு: சமச் சார்பு ஆர்டினேட் அச்சை (ஓய்) பொறுத்து சமச்சீர் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

நடைமுறையில் ஒரு செயல்பாட்டின் சமநிலையை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?

h(x)=11^x+11^(-x) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் குறிப்பிடலாம். வரையறையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றும் வழிமுறையைப் பின்பற்றி, முதலில் அதன் வரையறையின் களத்தை ஆராய்வோம். வெளிப்படையாக, இது வாதத்தின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது, முதல் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது.

அடுத்த படி, வாதத்திற்கு (x) எதிர் மதிப்பை (-x) மாற்ற வேண்டும்.
நாங்கள் பெறுகிறோம்:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
கூட்டல் பரிமாற்ற (மாற்ற) சட்டத்தை பூர்த்தி செய்வதால், h(-x) = h(x) மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டு சார்பு சமமாக உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது.

h(x)=11^x-11^(-x) செயல்பாட்டின் சமநிலையைச் சரிபார்ப்போம். அதே அல்காரிதத்தைப் பின்பற்றி, h(-x) = 11^(-x) -11^x என்று பெறுகிறோம். மைனஸை எடுத்துக் கொண்டால், இறுதியில் நம்மிடம் உள்ளது
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). எனவே, h(x) ஒற்றைப்படை.

மூலம், இந்த அளவுகோல்களின்படி வகைப்படுத்த முடியாத செயல்பாடுகள் உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்;

செயல்பாடுகள் கூட பல சுவாரஸ்யமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன:

• ஒத்த செயல்பாடுகளைச் சேர்ப்பதன் விளைவாக, அவை சமமான ஒன்றைப் பெறுகின்றன;
• அத்தகைய செயல்பாடுகளைக் கழிப்பதன் விளைவாக, சம ஒன்று பெறப்படுகிறது;
• கூட, கூட கூட;
• அத்தகைய இரண்டு செயல்பாடுகளைப் பெருக்குவதன் விளைவாக, சம ஒன்று பெறப்படுகிறது;
• ஒற்றைப்படை மற்றும் இரட்டைச் செயல்பாடுகளைப் பெருக்குவதன் விளைவாக, ஒற்றைப்படை ஒன்று பெறப்படுகிறது;
• ஒற்றைப்படை மற்றும் இரட்டைச் செயல்பாடுகளைப் பிரிப்பதன் விளைவாக, ஒற்றைப்படை ஒன்று பெறப்படுகிறது;
• அத்தகைய செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் ஒற்றைப்படை;
• நீங்கள் ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டைச் செய்தால், நீங்கள் ஒரு இரட்டையைப் பெறுவீர்கள்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க ஒரு செயல்பாட்டின் சமநிலையைப் பயன்படுத்தலாம்.

g(x) = 0 போன்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் ஒரு சமமான செயல்பாடாக இருக்கும், மாறியின் எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளுக்கு அதன் தீர்வுகளைக் கண்டறிவது போதுமானதாக இருக்கும். சமன்பாட்டின் விளைவாக வரும் வேர்கள் எதிர் எண்களுடன் இணைக்கப்பட வேண்டும். அவற்றில் ஒன்று சரிபார்ப்புக்கு உட்பட்டது.

ஒரு அளவுருவுடன் தரமற்ற சிக்கல்களைத் தீர்க்க இது வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, 2x^6-x^4-ax^2=1 என்ற சமன்பாடு மூன்று வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் அளவுருவின் மதிப்பு ஏதேனும் உள்ளதா?

மாறி சமன்பாட்டிற்குள் நுழைகிறது என்பதை நாம் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், x ஐ - x உடன் மாற்றுவது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை மாற்றாது என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட எண் அதன் மூலமாக இருந்தால், எதிர் எண்ணும் மூலமாகும். முடிவு வெளிப்படையானது: பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வேர்கள் அதன் தீர்வுகளின் தொகுப்பில் "ஜோடிகளாக" சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

எண் 0 அல்ல என்பது தெளிவாகிறது, அதாவது, அத்தகைய சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கை சமமாக மட்டுமே இருக்க முடியும், இயற்கையாகவே, அளவுருவின் எந்த மதிப்பிற்கும் அது மூன்று வேர்களைக் கொண்டிருக்க முடியாது.

ஆனால் 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 என்ற சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப்படையாகவும், அளவுருவின் எந்த மதிப்பிலும் இருக்கலாம். உண்மையில், இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களின் தொகுப்பில் "ஜோடிகளில்" தீர்வுகள் உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதானது. 0 என்பது ஒரு மூலமா என்று பார்க்கலாம். அதை சமன்பாட்டில் மாற்றினால், நமக்கு 2=2 கிடைக்கும். எனவே, "ஜோடி" தவிர, 0 என்பது ஒரு ரூட் ஆகும், இது அவற்றின் ஒற்றைப்படை எண்ணை நிரூபிக்கிறது.

எந்த ஒரு செயல்பாடு மற்றும் சமத்துவம் என்றால் இரட்டை (ஒற்றைப்படை) என்று அழைக்கப்படுகிறது

.

சமச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் அச்சைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது
.

ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றம் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 6.2. ஒரு செயல்பாடு சமமானதா அல்லது ஒற்றைப்படையா என்பதை ஆராயவும்

1)
; 2)
; 3)
.

தீர்வு.

1) செயல்பாடு எப்போது வரையறுக்கப்படுகிறது
. நாம் கண்டுபிடிப்போம்
.

அந்த.
. இதன் பொருள் இந்த செயல்பாடு சமமானது.

2) செயல்பாடு எப்போது வரையறுக்கப்படுகிறது

அந்த.
. எனவே, இந்த செயல்பாடு வித்தியாசமானது.

3) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது. க்கு

,
. எனவே செயல்பாடு இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல. பொது வடிவத்தின் செயல்பாடு என்று அழைக்கலாம்.

செயல்பாடு
இந்த இடைவெளியில் வாதத்தின் ஒவ்வொரு பெரிய மதிப்பும் செயல்பாட்டின் பெரிய (சிறிய) மதிப்புக்கு ஒத்திருந்தால், ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் அதிகரிப்பு (குறைத்தல்) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் அதிகரிக்கும் (குறைந்து) செயல்பாடுகள் மோனோடோனிக் எனப்படும்.

செயல்பாடு என்றால்
இடைவெளியில் வேறுபடலாம்
மற்றும் நேர்மறை (எதிர்மறை) வழித்தோன்றல் உள்ளது
, பின்னர் செயல்பாடு
இந்த இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது (குறைகிறது).

எடுத்துக்காட்டு 6.3. செயல்பாடுகளின் மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும்

1)
; 3)
.

தீர்வு.

1) இந்த செயல்பாடு முழு எண் வரியில் வரையறுக்கப்படுகிறது. வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.

வழித்தோன்றல் என்றால் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்
மற்றும்
. வரையறையின் களம் எண் அச்சு, புள்ளிகளால் வகுக்கப்படுகிறது
,
இடைவெளியில். ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை தீர்மானிப்போம்.

இடைவெளியில்
வழித்தோன்றல் எதிர்மறையானது, இந்த இடைவெளியில் செயல்பாடு குறைகிறது.

இடைவெளியில்
வழித்தோன்றல் நேர்மறையானது, எனவே, இந்த இடைவெளியில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.

2) இந்த செயல்பாடு என்றால் வரையறுக்கப்படுகிறது
அல்லது

.

ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் இருபடி முக்கோணத்தின் அடையாளத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்.

இவ்வாறு, செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம்

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்
,
, என்றால்
, அதாவது
, ஆனாலும்
. வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை இடைவெளிகளில் தீர்மானிப்போம்
.

இடைவெளியில்
வழித்தோன்றல் எதிர்மறையானது, எனவே, இடைவெளியில் செயல்பாடு குறைகிறது
. இடைவெளியில்
வழித்தோன்றல் நேர்மறை, செயல்பாடு இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது
.

புள்ளி
செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச (குறைந்தபட்ச) புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது
, புள்ளியின் அத்தகைய அக்கம் இருந்தால் அது அனைவருக்கும்
இந்த சுற்றுப்புறத்தில் இருந்து சமத்துவமின்மை உள்ளது

.

செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் தீவிர புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

செயல்பாடு என்றால்
புள்ளியில் ஒரு முனை உள்ளது, பின்னர் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லை (ஒரு தீவிரத்தின் இருப்புக்கு தேவையான நிபந்தனை).

வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத புள்ளிகள் முக்கியமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

விதி 1. மாற்றத்தின் போது (இடமிருந்து வலமாக) முக்கியமான புள்ளி வழியாக இருந்தால் வழித்தோன்றல்
குறியை "+" இலிருந்து "-" ஆக மாற்றுகிறது, பின்னர் புள்ளியில் செயல்பாடு
அதிகபட்சம் உள்ளது; “–” இலிருந்து “+” ஆக இருந்தால், குறைந்தபட்சம்; என்றால்
அடையாளத்தை மாற்றாது, பின்னர் உச்சநிலை இல்லை.

விதி 2. புள்ளியில் விடுங்கள்
ஒரு செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல்
பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்
, மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் உள்ளது மற்றும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. என்றால்
, அந்த - அதிகபட்ச புள்ளி, என்றால்
, அந்த - செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி.

எடுத்துக்காட்டு 6.4. அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச செயல்பாடுகளை ஆராயுங்கள்:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

தீர்வு.

1) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்
.

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்
மற்றும் சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
, அதாவது
.இங்கிருந்து
- முக்கியமான புள்ளிகள்.

வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை இடைவெளிகளில் தீர்மானிப்போம்,
.

புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் போது
மற்றும்
வழித்தோன்றல் குறியீடு "-" இலிருந்து "+" ஆக மாறுகிறது, எனவே விதி 1 இன் படி
- குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்.

ஒரு புள்ளியைக் கடக்கும்போது
வழித்தோன்றல் குறியை "+" இலிருந்து "-" ஆக மாற்றுகிறது, எனவே
- அதிகபட்ச புள்ளி.

,
.

2) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு இடைவெளியில் தொடர்கிறது
. வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்
.

சமன்பாட்டை தீர்த்து வைத்தது
, கண்டுபிடிப்போம்
மற்றும்
- முக்கியமான புள்ளிகள். வகுத்தால்
, அதாவது
, பின்னர் வழித்தோன்றல் இல்லை. அதனால்,
- மூன்றாவது முக்கியமான புள்ளி. வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை இடைவெளியில் தீர்மானிப்போம்.

எனவே, செயல்பாடு புள்ளியில் குறைந்தபட்சம் உள்ளது
, புள்ளிகளில் அதிகபட்சம்
மற்றும்
.

3) ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு தொடர்ந்து இருந்தால்
, அதாவது மணிக்கு
.

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்

.

முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

புள்ளிகளின் சுற்றுப்புறங்கள்
வரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்தவை அல்ல, எனவே அவை உச்சநிலைகள் அல்ல. எனவே, முக்கியமான புள்ளிகளை ஆராய்வோம்
மற்றும்
.

4) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு இடைவெளியில் தொடர்கிறது
. விதி 2 ஐப் பயன்படுத்துவோம். வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
.

முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்
மற்றும் புள்ளிகளில் அதன் அடையாளத்தை தீர்மானிக்கவும்

புள்ளிகளில்
செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் உள்ளது.

புள்ளிகளில்
செயல்பாடு அதிகபட்சமாக உள்ளது.

இணையதளத்தில் கணித சூத்திரங்களை எவ்வாறு செருகுவது?

நீங்கள் எப்போதாவது ஒரு வலைப்பக்கத்தில் ஒன்று அல்லது இரண்டு கணித சூத்திரங்களைச் சேர்க்க வேண்டும் என்றால், கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி இதைச் செய்வதற்கான எளிதான வழி: வொல்ஃப்ராம் ஆல்பாவால் தானாக உருவாக்கப்படும் படங்களின் வடிவத்தில் கணித சூத்திரங்கள் தளத்தில் எளிதாகச் செருகப்படுகின்றன. . எளிமைக்கு கூடுதலாக, இந்த உலகளாவிய முறை தேடுபொறிகளில் தளத்தின் தெரிவுநிலையை மேம்படுத்த உதவும். இது நீண்ட காலமாக வேலை செய்கிறது (மற்றும், எப்போதும் வேலை செய்யும் என்று நான் நினைக்கிறேன்), ஆனால் ஏற்கனவே தார்மீக ரீதியாக காலாவதியானது.

உங்கள் தளத்தில் கணித சூத்திரங்களை நீங்கள் தொடர்ந்து பயன்படுத்தினால், MathML, LaTeX அல்லது ASCIIMathML மார்க்அப்பைப் பயன்படுத்தி இணைய உலாவிகளில் கணிதக் குறியீட்டைக் காண்பிக்கும் சிறப்பு ஜாவாஸ்கிரிப்ட் நூலகமான MathJax ஐப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறேன்.

MathJax ஐப் பயன்படுத்தத் தொடங்குவதற்கு இரண்டு வழிகள் உள்ளன: (1) எளிய குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, உங்கள் வலைத்தளத்துடன் MathJax ஸ்கிரிப்டை விரைவாக இணைக்கலாம், இது சரியான நேரத்தில் தொலை சேவையகத்திலிருந்து தானாகவே ஏற்றப்படும் (சேவையகங்களின் பட்டியல்); (2) MathJax ஸ்கிரிப்டை ரிமோட் சர்வரில் இருந்து உங்கள் சர்வரில் பதிவிறக்கம் செய்து உங்கள் தளத்தின் அனைத்து பக்கங்களிலும் இணைக்கவும். இரண்டாவது முறை - மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் நேரத்தைச் செலவழிக்கும் - உங்கள் தளத்தின் பக்கங்களை ஏற்றுவதை விரைவுபடுத்தும், மேலும் சில காரணங்களால் பெற்றோர் MathJax சேவையகம் தற்காலிகமாக கிடைக்காமல் போனால், இது உங்கள் சொந்த தளத்தை எந்த வகையிலும் பாதிக்காது. இந்த நன்மைகள் இருந்தபோதிலும், நான் முதல் முறையைத் தேர்ந்தெடுத்தேன், ஏனெனில் இது எளிமையானது, வேகமானது மற்றும் தொழில்நுட்ப திறன்கள் தேவையில்லை. எனது உதாரணத்தைப் பின்பற்றவும், மேலும் 5 நிமிடங்களில் உங்கள் தளத்தில் MathJax இன் அனைத்து அம்சங்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்த முடியும்.

பிரதான MathJax இணையதளம் அல்லது ஆவணப் பக்கத்தில் எடுக்கப்பட்ட இரண்டு குறியீடு விருப்பங்களைப் பயன்படுத்தி தொலை சேவையகத்திலிருந்து MathJax நூலக ஸ்கிரிப்டை இணைக்கலாம்:

இந்த குறியீடு விருப்பங்களில் ஒன்றை நகலெடுத்து உங்கள் வலைப்பக்கத்தின் குறியீட்டில் ஒட்ட வேண்டும், முன்னுரிமை குறிச்சொற்களுக்கு இடையில் அல்லது குறிச்சொல்லுக்குப் பிறகு உடனடியாக. முதல் விருப்பத்தின்படி, MathJax வேகமாக ஏற்றுகிறது மற்றும் பக்கத்தின் வேகத்தை குறைக்கிறது. ஆனால் இரண்டாவது விருப்பம் MathJax இன் சமீபத்திய பதிப்புகளை தானாகவே கண்காணித்து ஏற்றுகிறது. நீங்கள் முதல் குறியீட்டைச் செருகினால், அது அவ்வப்போது புதுப்பிக்கப்பட வேண்டும். நீங்கள் இரண்டாவது குறியீட்டைச் செருகினால், பக்கங்கள் மெதுவாக ஏற்றப்படும், ஆனால் நீங்கள் தொடர்ந்து MathJax புதுப்பிப்புகளை கண்காணிக்க வேண்டியதில்லை.

MathJax ஐ இணைப்பது Blogger அல்லது WordPress இல் உள்ளது. டெம்ப்ளேட்டின் தொடக்கத்திற்கு (மேத்ஜாக்ஸ் ஸ்கிரிப்ட் ஒத்திசைவற்ற முறையில் ஏற்றப்பட்டதால், இது அவசியமில்லை). அவ்வளவுதான். இப்போது MathML, LaTeX மற்றும் ASCIIMathML ஆகியவற்றின் மார்க்அப் தொடரியல் கற்றுக்கொள்ளுங்கள், மேலும் உங்கள் தளத்தின் இணையப் பக்கங்களில் கணித சூத்திரங்களைச் செருக நீங்கள் தயாராக உள்ளீர்கள்.

எந்தவொரு பின்னமும் ஒரு குறிப்பிட்ட விதியின்படி கட்டமைக்கப்படுகிறது, இது தொடர்ந்து வரம்பற்ற முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. அத்தகைய ஒவ்வொரு நேரமும் மறு செய்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மெங்கர் கடற்பாசியை உருவாக்குவதற்கான செயல்பாட்டு வழிமுறை மிகவும் எளிமையானது: பக்க 1 கொண்ட அசல் கனசதுரம் அதன் முகங்களுக்கு இணையான விமானங்களால் 27 சம கனசதுரங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு மைய கனசதுரமும், முகங்களுடன் ஒட்டிய 6 க்யூப்களும் அதிலிருந்து அகற்றப்படுகின்றன. இதன் விளைவாக மீதமுள்ள 20 சிறிய க்யூப்ஸ் கொண்ட ஒரு தொகுப்பு ஆகும். இந்த க்யூப்ஸ் ஒவ்வொன்றிலும் இதைச் செய்தால், 400 சிறிய கனசதுரங்களைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பைப் பெறுகிறோம். இந்த செயல்முறையை முடிவில்லாமல் தொடர்ந்தால், நாம் ஒரு மெங்கர் கடற்பாசியைப் பெறுகிறோம்.

செயல்பாடு என்பது மிக முக்கியமான கணிதக் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். ஒரு சார்பு என்பது x இன் ஒவ்வொரு மதிப்பும் y இன் ஒற்றை மதிப்புடன் ஒத்துப் போனால், x மாறியின் மீது y மாறியின் சார்பு ஆகும். மாறி x என்பது சார்பு மாறி அல்லது வாதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. y என்ற மாறி சார்பு மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது. சுயாதீன மாறியின் (மாறி x) அனைத்து மதிப்புகளும் செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தை உருவாக்குகின்றன. சார்பு மாறி (மாறி y) செயல்பாட்டின் வரம்பை உருவாக்கும் அனைத்து மதிப்புகளும்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் என்பது ஆயத் தளத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அவற்றின் அப்சிசாஸ்கள் வாதத்தின் மதிப்புகளுக்கு சமம், மேலும் ஆர்டினேட்டுகள் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய மதிப்புகளுக்கு சமம், அதாவது மாறி x இன் மதிப்புகள் abscissa அச்சில் வரையப்பட்டுள்ளன, மேலும் y மாறியின் மதிப்புகள் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன. ஒரு செயல்பாட்டை வரைபடமாக்க, நீங்கள் செயல்பாட்டின் பண்புகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். செயல்பாட்டின் முக்கிய பண்புகள் கீழே விவாதிக்கப்படும்!

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்க, எங்கள் நிரலைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறோம் - கிராஃபிங் செயல்பாடுகள் ஆன்லைனில். இந்தப் பக்கத்தில் உள்ள விஷயங்களைப் படிக்கும்போது உங்களுக்கு ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால், அவற்றை எப்போதும் எங்கள் மன்றத்தில் கேட்கலாம். மேலும் மன்றத்தில் அவை கணிதம், வேதியியல், வடிவியல், நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் பல பாடங்களில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவும்!

செயல்பாடுகளின் அடிப்படை பண்புகள்.

1) செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் மற்றும் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு.

ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைன் என்பது y = f(x) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட வாதம் x (மாறி x) இன் அனைத்து செல்லுபடியாகும் உண்மையான மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும்.
ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு என்பது செயல்பாடு ஏற்றுக்கொள்ளும் அனைத்து உண்மையான y மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும்.

ஆரம்ப கணிதத்தில், செயல்பாடுகள் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் மட்டுமே ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன.

2) செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள்.

x இன் மதிப்புகள் y=0 என அழைக்கப்படுகின்றன செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்கள். இவை ஆக்ஸ் அச்சுடன் செயல்பாட்டு வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிசாஸ் ஆகும்.

3) ஒரு செயல்பாட்டின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் நிலையான குறியின் இடைவெளிகள் - y செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை மட்டுமே என்று அழைக்கப்படும் மதிப்புகளின் அத்தகைய இடைவெளிகள் x செயல்பாட்டின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகள்.

4) செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி.

அதிகரிக்கும் செயல்பாடு (ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில்) என்பது இந்த இடைவெளியில் இருந்து வாதத்தின் பெரிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் பெரிய மதிப்புடன் தொடர்புடைய ஒரு செயல்பாடு ஆகும்.

குறையும் செயல்பாடு (குறிப்பிட்ட இடைவெளியில்) என்பது இந்த இடைவெளியில் இருந்து வாதத்தின் பெரிய மதிப்பானது செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்புடன் தொடர்புடைய ஒரு செயல்பாடு ஆகும்.

5) செயல்பாட்டின் சமநிலை (ஒற்றின்மை).

சமச் சார்பு என்பது ஒரு செயல்பாடாகும், அதன் வரையறையின் களமானது தோற்றம் மற்றும் எந்த x f(-x) = f(x)க்கும் சமச்சீராக இருக்கும். சமச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஆர்டினேட்டைப் பற்றிய சமச்சீராக இருக்கும்.

ஒற்றைப்படைச் சார்பு என்பது ஒரு செயல்பாடாகும், அதன் வரையறையின் டொமைன் தோற்றம் தொடர்பான சமச்சீர் மற்றும் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து எந்த x க்கும் சமத்துவம் f(-x) = - f(x) உண்மை. ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றம் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது.

செயல்பாடு கூட
1) வரையறையின் களமானது புள்ளியை (0; 0) பொறுத்து சமச்சீராக உள்ளது, அதாவது, புள்ளி a வரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்தது என்றால், புள்ளி -a என்பதும் வரையறையின் களத்திற்குச் சொந்தமானது.
2) எந்த மதிப்புக்கும் x f(-x)=f(x)
3) சமச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் Oy அச்சைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது.

ஒற்றைப்படை செயல்பாடு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:
1) வரையறையின் டொமைன் புள்ளியைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது (0; 0).
2) வரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்த எந்த மதிப்பு x க்கும், சமத்துவம் f(-x)=-f(x) திருப்தி அளிக்கிறது
3) ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றம் (0; 0) தொடர்பாக சமச்சீராக இருக்கும்.

ஒவ்வொரு செயல்பாடும் இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல. செயல்பாடுகள் பொதுவான பார்வைஇரட்டைப்படையோ அல்லது ஒற்றைப்படையோ இல்லை.

6) வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் வரம்பற்ற செயல்பாடுகள்.

|f(x)| போன்ற நேர்மறை எண் M இருந்தால் ஒரு சார்பு வரம்பிற்குட்பட்டது எனப்படும் x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ≤ M. அத்தகைய எண் இல்லை என்றால், செயல்பாடு வரம்பற்றது.

7) செயல்பாட்டின் காலம்.

ஒரு செயல்பாடு f(x) என்பது பூஜ்ஜியமற்ற எண் T இருந்தால், செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து எந்த x க்கும் பின்வருபவை வைத்திருக்கும்: f(x+T) = f(x). இந்த சிறிய எண் செயல்பாட்டின் காலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் கால இடைவெளியில் உள்ளன. (முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள்).

f(x)=f(x-T)=f(x+T) சமத்துவம் இருக்கும் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து எந்த x க்கும் ஒரு எண் இருந்தால், f சார்பு காலநிலை எனப்படும். T என்பது செயல்பாட்டின் காலம்.

ஒவ்வொரு காலச் செயல்பாடும் எண்ணற்ற காலங்களைக் கொண்டுள்ளது. நடைமுறையில், சிறிய நேர்மறை காலம் பொதுவாக கருதப்படுகிறது.

காலச் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் காலத்திற்குச் சமமான இடைவெளிக்குப் பிறகு மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன. வரைபடங்களை உருவாக்கும்போது இது பயன்படுத்தப்படுகிறது.

செயல்பாட்டு ஆய்வு.

1) D(y) – வரையறை டொமைன்: x என்ற மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளின் தொகுப்பு. இதற்கு இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் f(x) மற்றும் g(x) அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்.

ஒரு செயல்பாடு ஒரு சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்டால், வரையறையின் டொமைன் சூத்திரம் அர்த்தமுள்ள சுயாதீன மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கொண்டுள்ளது.

2) செயல்பாட்டின் பண்புகள்: சம/ஒற்றைப்படை, கால இடைவெளி:

வாதத்தின் அடையாளத்தில் ஏற்படும் மாற்றங்களைப் பொறுத்து வரைபடங்கள் சமச்சீராக இருக்கும் செயல்பாடுகள் ஒற்றைப்படை மற்றும் இரட்டை என அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒற்றைப்படை சார்பு என்பது சார்பற்ற மாறியின் அடையாளம் மாறும்போது அதன் மதிப்பை எதிர்மாறாக மாற்றும் ஒரு சார்பு (ஆயங்களின் மையத்துடன் தொடர்புடைய சமச்சீர்).

சமச் சார்பு என்பது சார்பற்ற மாறியின் அடையாளம் மாறும்போது அதன் மதிப்பை மாற்றாது (ஆர்டினேட்டைப் பற்றிய சமச்சீர்).

சமச்சீர் அல்லது ஒற்றைப்படை செயல்பாடு (பொது வடிவத்தின் செயல்பாடு) என்பது சமச்சீர் இல்லாத ஒரு சார்பு. இந்த பிரிவில் முந்தைய 2 வகைகளின் கீழ் வராத செயல்பாடுகள் அடங்கும்.

மேலே உள்ள எந்த வகையிலும் சேராத செயல்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன இரட்டை அல்லது இரட்டை இல்லை(அல்லது பொதுவான செயல்பாடுகள்).

ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகள்

தன்னிச்சையான முழு எண் இருக்கும் ஒற்றைப்படை சக்தி.

செயல்பாடுகளும் கூட

தன்னிச்சையான முழு எண் இருக்கும் இடத்தில் கூட சக்தி.

காலச் செயல்பாடு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கமான வாத இடைவெளிக்குப் பிறகு அதன் மதிப்புகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் ஒரு செயல்பாடாகும், அதாவது முழு டொமைன் முழுவதும் சில நிலையான பூஜ்ஜியமற்ற எண்களை (செயல்பாட்டின் காலம்) வாதத்தில் சேர்க்கும்போது அதன் மதிப்பை மாற்றாது. வரையறை.

3) ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் (வேர்கள்) அது பூஜ்ஜியமாக மாறும் புள்ளிகள்.

வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை அச்சுடன் கண்டறிதல் ஓ. இதைச் செய்ய, நீங்கள் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும் f(0) வரைபடத்தின் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளையும் கண்டறியவும் எருது, சமன்பாட்டின் வேர்களை ஏன் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் f(எக்ஸ்) = 0 (அல்லது வேர்கள் இல்லை என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்).

வரைபடமானது அச்சை வெட்டும் புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் எனப்படும். ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும், அதாவது, செயல்பாடு பூஜ்ஜியமாக மாறும் “x” இன் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்.

4) அறிகுறிகளின் நிலைத்தன்மையின் இடைவெளிகள், அவற்றில் உள்ள அறிகுறிகள்.

f(x) சார்பு அடையாளத்தை பராமரிக்கும் இடைவெளிகள்.

நிலையான குறியின் இடைவெளி என்பது ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் செயல்பாடு நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாக இருக்கும் இடைவெளியாகும்.

x அச்சுக்கு மேலே.

அச்சுக்கு கீழே.

5) தொடர்ச்சி (இடைநிலையின் புள்ளிகள், இடைநிறுத்தத்தின் தன்மை, அறிகுறிகள்).

தொடர்ச்சியான செயல்பாடு என்பது "ஜம்ப்ஸ்" இல்லாத ஒரு செயல்பாடாகும், அதாவது வாதத்தில் சிறிய மாற்றங்கள் செயல்பாட்டின் மதிப்பில் சிறிய மாற்றங்களுக்கு வழிவகுக்கும்.

செயல்பாட்டின் வரம்பு என்றால் உள்ளது, ஆனால் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை அல்லது வரம்பு இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புடன் ஒத்துப்போவதில்லை:

,

பின்னர் புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது நீக்கக்கூடிய முறிவு புள்ளிசெயல்பாடுகள் (சிக்கலான பகுப்பாய்வில், ஒரு நீக்கக்கூடிய ஒற்றை புள்ளி).

அகற்றக்கூடிய இடைநிறுத்தத்தின் கட்டத்தில் செயல்பாட்டை "சரிசெய்து" வைத்தால் , ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம். ஒரு செயல்பாட்டில் இத்தகைய செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டை தொடர்ச்சியாக நீட்டிக்கிறதுஅல்லது தொடர்ச்சியின் மூலம் செயல்பாட்டின் மறுவரையறை, இது புள்ளியின் பெயரை ஒரு புள்ளியாக நியாயப்படுத்துகிறது நீக்கக்கூடியதுமுறிவு.

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வகையின் தொடர்ச்சியற்ற புள்ளிகள்

ஒரு செயல்பாட்டிற்கு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் இடைநிறுத்தம் இருந்தால் (அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரம்பு இல்லை அல்லது கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்புடன் ஒத்துப்போகவில்லை), பின்னர் எண்சார் செயல்பாடுகளுக்கு இரண்டு சாத்தியமான விருப்பங்கள் உள்ளன. எண் செயல்பாடுகளின் இருப்புடன் தொடர்புடையது ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகள்:

இரண்டும் ஒருபக்க வரம்புகள் இருந்தால் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், அத்தகைய புள்ளி முதல் வகையின் தொடர்ச்சியற்ற புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. நீக்கக்கூடிய இடைநிறுத்தப் புள்ளிகள் முதல் வகையான இடைநிறுத்தப் புள்ளிகள்;

ஒரு பக்க வரம்புகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இல்லை அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பு இல்லை என்றால், அத்தகைய புள்ளி இரண்டாவது வகையின் தொடர்ச்சியற்ற புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அறிகுறி - நேராக, வளைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியில் இருந்து இதற்கு தூரம் என்று சொத்து உள்ளது நேராகபுள்ளி முடிவிலிக்கு கிளையுடன் விலகிச் செல்லும்போது பூஜ்ஜியமாக மாறும்.

செங்குத்து

செங்குத்து அசிம்டோட் - வரம்புக் கோடு .

ஒரு விதியாக, செங்குத்து அறிகுறியை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​அவர்கள் ஒரு வரம்பை அல்ல, ஆனால் இரண்டு ஒரு பக்க (இடது மற்றும் வலது) பார்க்கிறார்கள். வெவ்வேறு திசைகளில் இருந்து செங்குத்து அறிகுறியை அணுகும்போது செயல்பாடு எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை தீர்மானிக்க இது செய்யப்படுகிறது. உதாரணத்திற்கு:

கிடைமட்ட அறிகுறி - நேராகஇனங்கள், இருப்புக்கு உட்பட்டது அளவு

.

சாய்ந்த அறிகுறி - நேராகஇனங்கள், இருப்புக்கு உட்பட்டது வரம்புகள்

குறிப்பு: ஒரு செயல்பாட்டில் இரண்டு சாய்ந்த (கிடைமட்ட) அறிகுறிகளுக்கு மேல் இருக்க முடியாது.

குறிப்பு: மேலே குறிப்பிட்டுள்ள இரண்டு வரம்புகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இல்லை என்றால் (அல்லது சமமாக இருந்தால்), பின்னர் (அல்லது ) இல் உள்ள சாய்ந்த அறிகுறி இல்லை.

உருப்படி 2 இல் இருந்தால்.), பின்னர் , மற்றும் வரம்பு கிடைமட்ட அசிம்ப்டோட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது, .

6) மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறிதல். ஒரு செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும் f(எக்ஸ்)(அதாவது, அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் இடைவெளிகள்). வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை ஆராய்வதன் மூலம் இது செய்யப்படுகிறது f(எக்ஸ்) இதைச் செய்ய, வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் f(எக்ஸ்) மற்றும் சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் f(எக்ஸ்)0. இந்த சமத்துவமின்மை இருக்கும் இடைவெளியில், செயல்பாடு f(எக்ஸ்) அதிகரிக்கிறது. தலைகீழ் சமத்துவமின்மை எங்கு உள்ளது f(எக்ஸ்)0, செயல்பாடு f(எக்ஸ்) குறைந்து வருகிறது.

உள்ளூர் உச்சநிலையைக் கண்டறிதல். மோனோடோனிசிட்டியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறிந்த பிறகு, அதிகரிப்பு குறைவால் மாற்றப்படும் உள்ளூர் உச்சநிலை புள்ளிகளை உடனடியாக தீர்மானிக்க முடியும், உள்ளூர் அதிகபட்சம் அமைந்துள்ளது, மேலும் குறைப்பு அதிகரிப்பால் மாற்றப்படும் இடத்தில், உள்ளூர் மினிமா அமைந்துள்ளது. இந்த புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள். ஒரு செயல்பாட்டிற்கு லோக்கல் எக்ஸ்ட்ரம் புள்ளிகள் இல்லாத முக்கியமான புள்ளிகள் இருந்தால், இந்த புள்ளிகளிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவது பயனுள்ளது.

ஒரு பிரிவில் y = f(x) செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிதல் (தொடரும்)