มุมจารึก ทฤษฎีปัญหา เพื่อน! ในบทความนี้เราจะพูดถึงงานสำหรับการแก้ปัญหาซึ่งจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติของมุมที่จารึกไว้ นี่เป็นงานทั้งกลุ่มซึ่งรวมอยู่ในการสอบ ส่วนใหญ่จะแก้ไขได้ง่ายๆ ในขั้นตอนเดียว

มีงานที่ยากกว่านี้ แต่จะไม่ทำให้คุณลำบากมากนัก คุณจำเป็นต้องรู้คุณสมบัติของมุมที่จารึกไว้ เราจะค่อยๆวิเคราะห์งานต้นแบบทั้งหมดฉันขอเชิญคุณเข้าสู่บล็อก!

ตอนนี้ทฤษฎีที่จำเป็น จำได้ว่ามุมตรงกลางและจารึก, คอร์ด, ส่วนโค้งซึ่งมุมเหล่านี้พึ่งพา:

มุมศูนย์กลางในวงกลมเรียกว่ามุมแบนด้วยจุดสุดยอดที่จุดศูนย์กลาง.

ส่วนของวงกลมที่อยู่ในมุมแบนเรียกว่าส่วนโค้งของวงกลม

การวัดองศาของส่วนโค้งของวงกลมคือการวัดองศามุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

มุมเรียกว่าจารึกในวงกลมถ้าจุดยอดของมุมอยู่บนวงกลม และด้านของมุมตัดกับวงกลมนี้

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่าคอร์ด. คอร์ดที่ยาวที่สุดผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม เรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง

เพื่อแก้ปัญหามุมที่จารึกเป็นวงกลมคุณจำเป็นต้องรู้คุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. มุมที่จารึกไว้มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมกลางตามส่วนโค้งเดียวกัน

2. มุมที่จารึกไว้ทั้งหมดตามส่วนโค้งเดียวกันนั้นเท่ากัน

3. มุมที่จารึกไว้ทั้งหมดบนคอร์ดเดียวกัน จุดยอดที่อยู่ด้านเดียวกันของคอร์ดนี้ เท่ากัน

4. มุมคู่ใดๆ ที่อยู่บนคอร์ดเดียวกัน จุดยอดที่อยู่ด้านตรงข้ามของคอร์ดรวมกันได้ 180°

ข้อพิสูจน์: มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมรวมกันได้ 180 องศา

5. มุมที่จารึกไว้ทั้งหมดตามเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นเส้นตรง

โดยทั่วไปแล้ว คุณสมบัตินี้เป็นผลมาจากทรัพย์สิน (1) ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะ ดู - มุมศูนย์กลางเท่ากับ 180 องศา (และมุมที่พัฒนาแล้วนี้ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง) ซึ่งหมายความว่าตามคุณสมบัติแรก มุม C ที่จารึกไว้จะเท่ากับครึ่งหนึ่ง นั่นคือ 90 องศา

ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัตินี้ช่วยในการแก้ปัญหาต่างๆ และมักจะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงการคำนวณที่ไม่จำเป็น เมื่อเชี่ยวชาญแล้ว คุณจะสามารถแก้ปัญหาประเภทนี้ได้มากกว่าครึ่งด้วยวาจา ผลที่ตามมาสองประการที่สามารถทำได้:

ข้อพิสูจน์ 1: ถ้ารูปสามเหลี่ยมถูกจารึกไว้ในวงกลมและด้านใดด้านหนึ่งตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นมุมฉาก (จุดยอดของมุมฉากอยู่บนวงกลม)

ข้อพิสูจน์ 2: จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมฉากตรงกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ต้นแบบของปัญหาสเตอริโอเมทริกซ์จำนวนมากได้รับการแก้ไขโดยใช้คุณสมบัตินี้และผลสืบเนื่องเหล่านี้ จำข้อเท็จจริงนั้นไว้: หากเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเป็นด้านของสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ สามเหลี่ยมนี้จะเป็นมุมฉาก (มุมตรงข้ามกับเส้นผ่านศูนย์กลางคือ 90 องศา) คุณสามารถสรุปข้อสรุปและผลที่ตามมาทั้งหมดได้ด้วยตัวเอง คุณไม่จำเป็นต้องสอนพวกเขา

ตามกฎแล้ว ครึ่งหนึ่งของปัญหาสำหรับมุมที่จารึกไว้นั้นจะมีภาพสเก็ตช์ แต่ไม่มีสัญกรณ์ เพื่อทำความเข้าใจกระบวนการให้เหตุผลในการแก้ปัญหา (ด้านล่างในบทความ) จะมีการแนะนำการกำหนดจุดยอด (มุม) ในการสอบคุณไม่สามารถทำได้พิจารณางาน:

มุมแหลมคมที่ตัดคอร์ดเท่ากับรัศมีของวงกลมคืออะไร? ให้คำตอบเป็นองศา

มาสร้างมุมศูนย์กลางสำหรับมุมที่จารึกไว้ แทนจุดยอด:

ตามคุณสมบัติของมุมที่จารึกไว้ในวงกลม:

มุม AOB เท่ากับ 60 0 เนื่องจากสามเหลี่ยม AOB เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และในสามเหลี่ยมด้านเท่า มุมทั้งหมดจะเท่ากับ 60 0 . ด้านของสามเหลี่ยมเท่ากัน เนื่องจากเงื่อนไขบอกว่าคอร์ดเท่ากับรัศมี

ดังนั้นมุมที่จารึกไว้ DIA คือ 30 0 .

คำตอบ: 30

หาคอร์ดที่มุม 30 0 พัก จารึกไว้ในวงกลมรัศมี 3

นี่เป็นปัญหาผกผัน (ของปัญหาก่อนหน้า) มาสร้างมุมกลางกัน

มีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของค่าที่จารึกไว้ นั่นคือมุม AOB คือ 60 0 . จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าสามเหลี่ยม AOB นั้นมีด้านเท่ากันหมด ดังนั้นคอร์ดจึงเท่ากับรัศมี นั่นคือ สาม

คำตอบ: 3

รัศมีของวงกลมคือ 1 จงหาค่าของมุมป้านที่จารึกตามคอร์ดที่เท่ากับรากของสอง ให้คำตอบเป็นองศา

มาสร้างมุมตรงกลางกัน:

เมื่อทราบรัศมีและคอร์ด เราจะสามารถหามุมศูนย์กลาง DIA ได้ สามารถทำได้โดยใช้กฎของโคไซน์ เมื่อทราบมุมศูนย์กลางแล้ว เราจะสามารถหามุม ACB ที่จารึกไว้ได้อย่างง่ายดาย

ทฤษฎีบทโคไซน์: สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม เท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ โดยไม่ได้คูณผลคูณของด้านเหล่านั้นคูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

ดังนั้นมุมศูนย์กลางที่สองคือ 360 0 – 90 0 = 270 0 .

ตามคุณสมบัติของมุมที่จารึกไว้ มุม DIA เท่ากับครึ่งหนึ่งของมุม นั่นคือ 135 องศา

คำตอบ: 135

ค้นหาคอร์ดที่มุม 120 องศาซึ่งเป็นรากของสามถูกจารึกไว้ในวงกลมรัศมี

เชื่อมต่อจุด A และ B กับจุดศูนย์กลางของวงกลม เรียกมันว่าโอ:

เราทราบรัศมีและมุมที่จารึกไว้ DIA เราสามารถหามุม AOB ตรงกลาง (มากกว่า 180 องศา) แล้วหามุม AOB ในรูปสามเหลี่ยม AOB แล้วใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ คำนวณ AB

จากคุณสมบัติของมุมที่จารึกไว้ มุมตรงกลาง AOB (ซึ่งมากกว่า 180 องศา) จะเท่ากับสองเท่าของมุมที่จารึกไว้ นั่นคือ 240 องศา ซึ่งหมายความว่ามุม AOB ในสามเหลี่ยม AOB คือ 360 0 - 240 0 = 120 0

ตามกฎของโคไซน์:

คำตอบ:3

ค้นหามุมที่จารึกไว้ตามส่วนโค้งที่เป็น 20% ของวงกลม ให้คำตอบเป็นองศา

ด้วยคุณสมบัติของมุมที่จารึกไว้ มันมีขนาดครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลางโดยอิงจากส่วนโค้งเดียวกัน ในกรณีนี้ เรากำลังพูดถึงส่วนโค้ง AB

ว่ากันว่าส่วนโค้ง AB เท่ากับ 20 เปอร์เซ็นต์ของเส้นรอบวง ซึ่งหมายความว่ามุมศูนย์กลาง AOB ก็เท่ากับ 20 เปอร์เซ็นต์ของ 360 0 ด้วย* วงกลมคือมุม 360 องศา วิธี,

ดังนั้นมุม ACB ที่จารึกไว้คือ 36 องศา

คำตอบ: 36

ส่วนโค้งของวงกลม AC, ไม่มีคะแนน บี, คือ 200 องศา และส่วนโค้งของวงกลม BC ซึ่งไม่มีจุด อา, คือ 80 องศา หามุม ACB ที่จารึกไว้ ให้คำตอบเป็นองศา

ให้เราแสดงส่วนโค้งที่มีการวัดเชิงมุมเพื่อความชัดเจน ส่วนโค้งที่สัมพันธ์กับ 200 องศาจะเป็นสีน้ำเงิน ส่วนโค้งที่สอดคล้องกับ 80 องศาจะเป็นสีแดง ส่วนวงกลมที่เหลือจะเป็นสีเหลือง

ดังนั้น การวัดองศาของส่วนโค้ง AB (สีเหลือง) และด้วยเหตุนี้มุมศูนย์กลาง AOB คือ: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

มุม DAB ที่จารึกไว้คือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลาง AOB นั่นคือเท่ากับ 40 องศา

คำตอบ: 40

มุมที่จารึกตามเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมคือเท่าไร? ให้คำตอบเป็นองศา

มุม ABC เป็นมุมที่จารึกไว้ วางอยู่บนส่วนโค้ง AC ซึ่งอยู่ระหว่างด้านข้าง (รูปที่ 330)

ทฤษฎีบท. มุมที่จารึกไว้นั้นวัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่มันตัดกัน

สิ่งนี้ควรเข้าใจดังนี้: มุมที่จารึกไว้ประกอบด้วยองศาเชิงมุม นาที และวินาทีเท่ากับองศาของส่วนโค้ง นาที และวินาทีที่อยู่ภายในครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่วางอยู่

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เราต้องพิจารณาสามกรณี

กรณีแรก. ศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ด้านข้างของมุมที่จารึกไว้ (รูปที่ 331)

ให้ ∠ABC เป็นมุมที่จารึกไว้ และจุดศูนย์กลางของวงกลม O อยู่ที่ด้าน BC จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าวัดได้ครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง AC

เชื่อมต่อจุด A เข้ากับจุดศูนย์กลางของวงกลม เราได้หน้าจั่ว \(\Delta\)AOB ซึ่ง AO = OB เป็นรัศมีของวงกลมเดียวกัน ดังนั้น ∠A = ∠B

∠AOC อยู่นอกรูปสามเหลี่ยม AOB ดังนั้น ∠AOC = ∠A + ∠B และเนื่องจากมุม A และ B เท่ากัน ∠B คือ 1/2 ∠AOC

แต่ ∠AOC ถูกวัดโดยส่วนโค้ง AC ดังนั้น ∠B จึงวัดด้วยส่วนโค้ง AC ครึ่งหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น ถ้า \(\breve(AC)\) มี 60°18' ดังนั้น ∠B จะมี 30°9'

กรณีที่สอง ศูนย์กลางของวงกลมอยู่ระหว่างด้านข้างของมุมที่จารึกไว้ (รูปที่ 332)

ให้ ∠ABD เป็นมุมที่จารึกไว้ จุดศูนย์กลางของวงกลม O อยู่ระหว่างด้านข้าง จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ∠ABD ถูกวัดโดยครึ่งหนึ่งของ arc AD

เพื่อพิสูจน์ ลองวาดเส้นผ่านศูนย์กลาง BC มุม ABD แบ่งออกเป็นสองมุม: ∠1 และ ∠2

∠1 ถูกวัดโดยครึ่งหนึ่งของ arc AC และ ∠2 ถูกวัดโดยครึ่งหนึ่งของ arc CD ดังนั้น ∠ABD ทั้งหมดจะถูกวัดโดย 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\) เช่น ครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง AD

ตัวอย่างเช่น ถ้า \(\breve(AD)\) มี 124° ดังนั้น ∠B จะมี 62°

กรณีที่สาม. ศูนย์กลางของวงกลมอยู่นอกมุมที่จารึกไว้ (รูปที่ 333)

ให้ ∠MAD เป็นมุมที่จารึกไว้ ศูนย์กลางของวงกลม O อยู่นอกมุม จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ∠MAD วัดโดยครึ่งหนึ่งของ arc MD

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เราวาดเส้นผ่านศูนย์กลาง AB ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. แต่ ∠MAB วัด 1/2 \(\breve(MB)\) และ ∠DAB วัด 1/2 \(\breve(DB)\)

ดังนั้น ∠MAD วัด 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), เช่น 1 / 2 \(\breve(MD)\)

ตัวอย่างเช่น ถ้า \(\breve(MD)\) มี 48° 38" ดังนั้น ∠MAD จะมี 24° 19' 8"

ผลที่ตามมา
1. มุมที่จารึกไว้ทั้งหมดตามส่วนโค้งเดียวกันมีค่าเท่ากันเนื่องจากวัดจากส่วนโค้งเดียวกันครึ่งหนึ่ง (รูปที่ 334, ก).

2. มุมที่จารึกตามเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นเป็นมุมฉากเพราะเป็นมุมครึ่งวงกลม ครึ่งหนึ่งของวงกลมมี 180 องศาอาร์ค ซึ่งหมายความว่ามุมตามเส้นผ่านศูนย์กลางมี 90 องศาเชิงมุม (รูปที่ 334, b)

นี่คือมุมที่เกิดจากสอง คอร์ดเกิดขึ้นที่จุดหนึ่งของวงกลม มุมที่จารึกไว้ว่าเป็น พึ่งบนส่วนโค้งที่อยู่ระหว่างด้านข้าง

มุมจารึกเท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่วางอยู่

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มุมจารึกรวมองศา นาที และวินาทีได้มากเท่ากับ องศาอาร์ค, นาทีและวินาทีอยู่ในครึ่งของส่วนโค้งที่มันอาศัย สำหรับเหตุผล เราจะวิเคราะห์สามกรณี:

กรณีแรก:

Center O ตั้งอยู่ด้านข้าง มุมจารึกเอบีเอส เมื่อวาดรัศมี AO เราจะได้ ΔABO โดยที่ OA = OB (เป็นรัศมี) และตามนั้น ∠ABO = ∠BAO เกี่ยวกับเรื่องนี้ สามเหลี่ยม, มุม AOC อยู่ภายนอก มันจึงเท่ากับผลรวมของมุม ABO กับ BAO หรือเท่ากับ ABO มุมสองเท่า ดังนั้น ∠ABO จึงเป็นครึ่งหนึ่ง มุมกลางอบจ. แต่มุมนี้วัดโดยส่วนโค้ง AC นั่นคือมุมที่จารึกไว้ ABC วัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง AC

กรณีที่สอง:

ศูนย์กลาง O ตั้งอยู่ระหว่างด้าน มุมจารึก ABC เมื่อวาดเส้นผ่านศูนย์กลาง BD เราจะแบ่งมุม ABC ออกเป็นสองมุมซึ่งตามที่กำหนดไว้ในกรณีแรกหนึ่งจะถูกวัดครึ่งหนึ่ง โค้ง AD และอีกครึ่งหนึ่งของอาร์คซีดี ดังนั้นมุม ABC จึงวัดโดย (AD + DC) / 2 นั่นคือ 1/2 เอซี

กรณีที่สาม:

เซ็นเตอร์โอตั้งอยู่ด้านนอก มุมจารึกเอบีเอส เมื่อวาดเส้นผ่านศูนย์กลาง BD แล้วเราจะได้: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . แต่วัดมุม ABD และ CBD โดยอิงจากครึ่งที่พิสูจน์ได้ก่อนหน้านี้ โค้งโฆษณาและซีดี และเนื่องจาก ∠ABС ถูกวัดโดย (AD-CD)/2 นั่นคือครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง AC

ผลที่ 1ใด ๆ ตามส่วนโค้งเดียวกันนั้นเหมือนกันนั่นคือพวกมันเท่ากัน เนื่องจากแต่ละอันวัดกันครึ่งหนึ่ง โค้ง .

ผลที่ 2 มุมจารึก, ขึ้นอยู่กับเส้นผ่านศูนย์กลาง - มุมฉาก. เนื่องจากแต่ละมุมนั้นวัดด้วยครึ่งวงกลมครึ่งวงกลมและดังนั้นจึงมี 90 °

ในบทความนี้ ผมจะบอกคุณถึงวิธีแก้ปัญหาที่ใช้ .

อย่างแรก ตามปกติ เราจะจำคำจำกัดความและทฤษฎีบทที่คุณจำเป็นต้องรู้เพื่อแก้ปัญหาใน .

1.มุมจารึกคือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกับวงกลม:

2.มุมกลางคือมุมที่จุดยอดตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลม:

องศาของส่วนโค้งของวงกลมวัดจากค่ามุมศูนย์กลางที่วางอยู่

ในกรณีนี้ ค่าองศาของส่วนโค้ง AC จะเท่ากับค่าของมุม AOC

3. หากมุมที่จารึกและศูนย์กลางอยู่บนพื้นฐานของส่วนโค้งเดียวกันแล้ว มุมที่จารึกไว้เป็นสองเท่าของมุมศูนย์กลาง:

4. มุมที่จารึกไว้ทั้งหมดที่พิงส่วนโค้งหนึ่งมีค่าเท่ากัน:

5. มุมจารึกตามเส้นผ่านศูนย์กลางคือ 90°:

เราจะแก้ปัญหาหลายอย่าง

หนึ่ง . งาน B7 (#27887)

มาหาค่าของมุมศูนย์กลางซึ่งอาศัยส่วนโค้งเดียวกัน:

แน่นอน ค่าของมุม AOC เท่ากับ 90° ดังนั้น มุม ABC เท่ากับ 45°

คำตอบ: 45°

2. งาน B7 (หมายเลข 27888)

หามุม ABC ให้คำตอบเป็นองศา

เห็นได้ชัดว่ามุม AOC คือ 270 ° จากนั้นมุม ABC จะเท่ากับ 135 °

คำตอบ: 135°

3 . งาน B7 (#27890)

จงหาค่าองศาของส่วนโค้ง AC ของวงกลมที่มุม ABC อยู่ ให้คำตอบเป็นองศา

มาหาค่าของมุมศูนย์กลางซึ่งขึ้นอยู่กับส่วนโค้ง AC:

ค่าของมุม AOC คือ 45 ° ดังนั้น ค่าขององศาของส่วนโค้ง AC เท่ากับ 45 °

คำตอบ: 45 °

สี่. งาน B7 (# 27885)

ค้นหามุม ACB หากมุมที่จารึกไว้ ADB และ DAE อิงจากส่วนโค้งของวงกลม ค่าองศาคือตามลำดับ และ . ให้คำตอบเป็นองศา

มุม ADB วางอยู่บนส่วนโค้ง AB ดังนั้น ค่าของมุมตรงกลาง AOB คือ 118° ดังนั้น มุม BDA คือ 59° และ ADC มุมที่อยู่ติดกันคือ 180°-59°=121°

ในทำนองเดียวกัน มุม DOE คือ 38° และมุม DAE ที่จารึกที่สอดคล้องกันคือ 19°

พิจารณาสามเหลี่ยม ADC:

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°

ค่าของมุม ASV คือ 180°- (121°+19°)=40°

คำตอบ: 40°

5 . งาน B7 (#27872)

ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยม ABCD AB, BC, CD และ AD ย่อยส่วนโค้งของวงกลมที่ล้อมรอบ ค่าดีกรีคือ , , และ ตามลำดับ หามุม B ของรูปสี่เหลี่ยมนี้ ให้คำตอบเป็นองศา

มุม B วางอยู่บนส่วนโค้ง ADC ซึ่งมีค่าเท่ากับผลรวมของค่าส่วนโค้ง AD และ CD นั่นคือ 71°+145°=216°

มุมที่จารึกไว้ B มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าอาร์ก ADC นั่นคือ 108°

คำตอบ: 108°

6. งาน B7 (#27873)

จุด A, B, C, D ที่อยู่บนวงกลม แบ่งวงกลมนี้ออกเป็นสี่ส่วนโค้ง AB, BC, CD และ AD ซึ่งค่าระดับที่เกี่ยวข้องกันตามลำดับเป็น 4:2:3:6 หามุม A ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ให้คำตอบเป็นองศา

(ดูภาพวาดของงานก่อนหน้า)

เนื่องจากเราได้กำหนดอัตราส่วนของขนาดของส่วนโค้งแล้ว เราจึงแนะนำองค์ประกอบหน่วย x จากนั้นขนาดของแต่ละส่วนโค้งจะแสดงดังนี้:

AB=4x, BC=2x, ซีดี=3x, AD=6x ส่วนโค้งทั้งหมดเป็นวงกลมนั่นคือผลรวมของมันคือ 360 °

4x+2x+3x+6x=360° ดังนั้น x=24°

มุม A วางอยู่บนส่วนโค้ง BC และ CD ซึ่งรวมแล้วมีค่าเท่ากับ 5x=120°

ดังนั้น มุม A เท่ากับ 60°

คำตอบ: 60°

7. งาน B7 (#27874)

รูปสี่เหลี่ยม เอบีซีดีจารึกไว้ในวงกลม มุม ABCเท่ากับ , มุม CAD

ระดับเฉลี่ย

วงกลมและมุมจารึก คู่มือภาพ (2019)

เงื่อนไขพื้นฐาน

คุณจำชื่อทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับแวดวงได้ดีแค่ไหน? ในกรณีที่เราจำได้ - ดูภาพ - รีเฟรชความรู้ของคุณ

ประการแรก - จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่ทุกจุดในวงกลมมีระยะห่างเท่ากัน

ประการที่สอง - รัศมี - ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดศูนย์กลางกับจุดบนวงกลม

มีรัศมีมาก (มากเท่าที่มีจุดบนวงกลม) แต่ รัศมีทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน

บางครั้งก็สั้น รัศมีพวกเขาเรียกมันว่า ความยาวส่วน"จุดศูนย์กลางคือจุดบนวงกลม" ไม่ใช่ส่วนนั้นเอง

และนี่คือสิ่งที่จะเกิดขึ้น ถ้าคุณเชื่อมจุดสองจุดบนวงกลม? ตัดยัง?

ดังนั้นส่วนนี้จึงเรียกว่า "คอร์ด".

เช่นเดียวกับในกรณีของรัศมี เส้นผ่านศูนย์กลางมักเรียกว่าความยาวของส่วนที่เชื่อมจุดสองจุดบนวงกลมและผ่านจุดศูนย์กลาง อย่างไรก็ตาม เส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีสัมพันธ์กันอย่างไร? มองดูดีๆ. แน่นอน, รัศมีมีเส้นผ่านศูนย์กลางครึ่งหนึ่ง

นอกจากคอร์ดแล้วยังมี ซีแคนท์

คุณจำง่ายที่สุด?

มุมศูนย์กลางคือมุมระหว่างรัศมีสองรัศมี

และตอนนี้มุมจารึก

มุมที่จารึกไว้คือมุมระหว่างสองคอร์ดที่ตัดกันที่จุดบนวงกลม.

ในกรณีนี้พวกเขาบอกว่ามุมที่จารึกนั้นอาศัยส่วนโค้ง (หรือบนคอร์ด)

ดูรูปนั่นสิ:

การวัดส่วนโค้งและมุม

เส้นรอบวง. ส่วนโค้งและมุมวัดเป็นองศาและเรเดียน ประการแรกเกี่ยวกับองศา ไม่มีปัญหาสำหรับมุม - คุณต้องเรียนรู้วิธีวัดส่วนโค้งเป็นองศา

การวัดองศา (ค่าอาร์ค) คือค่า (เป็นองศา) ของมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

คำว่า "สอดคล้อง" ในที่นี้หมายความว่าอย่างไร ลองดูอย่างระมัดระวัง:

เห็นส่วนโค้งทั้งสองและมุมตรงกลางสองมุมหรือไม่? ส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าจะสัมพันธ์กับมุมที่ใหญ่กว่า (และไม่เป็นไรที่ส่วนโค้งนั้นใหญ่กว่า) และส่วนโค้งที่เล็กกว่าจะสัมพันธ์กับมุมที่เล็กกว่า

ดังนั้นเราจึงตกลงกัน: ส่วนโค้งมีจำนวนองศาเท่ากับมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

และตอนนี้เกี่ยวกับความน่ากลัว - เกี่ยวกับเรเดียน!

"เรเดียน" นี้เป็นสัตว์ชนิดใด?

ลองนึกภาพสิ่งนี้: เรเดียนเป็นวิธีการวัดมุม...ในรัศมี!

มุมเรเดียนคือมุมศูนย์กลางที่ความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีของวงกลม

แล้วคำถามก็เกิดขึ้น - มีเรเดียนกี่ตัวในมุมที่ยืดตรง?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: รัศมี "พอดี" ในครึ่งวงกลมมีกี่วง? หรือในอีกทางหนึ่ง ความยาวของครึ่งวงกลมมากกว่ารัศมีกี่เท่า?

คำถามนี้ถูกถามโดยนักวิทยาศาสตร์ในกรีกโบราณ

ดังนั้นหลังจากการค้นหาเป็นเวลานาน พวกเขาพบว่าอัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อรัศมีไม่ต้องการแสดงเป็นตัวเลข "มนุษย์" เช่น ฯลฯ

และเป็นไปไม่ได้เลยที่จะแสดงทัศนคตินี้ผ่านรากเหง้า นั่นคือปรากฎว่าไม่มีใครสามารถพูดได้ว่าครึ่งหนึ่งของวงกลมนั้นมีรัศมีสองเท่าหรือสองเท่า! คุณลองนึกภาพออกไหมว่าการค้นพบผู้คนครั้งแรกช่างน่าอัศจรรย์เพียงใด! สำหรับอัตราส่วนของความยาวของครึ่งวงกลมต่อรัศมี ตัวเลข "ปกติ" ก็เพียงพอแล้ว ฉันต้องป้อนจดหมาย

เป็นตัวเลขที่แสดงอัตราส่วนของความยาวของครึ่งวงกลมต่อรัศมี

ตอนนี้เราสามารถตอบคำถาม: มีกี่เรเดียนที่อยู่ในมุมตรง? มันมีเรเดียน แม่นยำเพราะครึ่งหนึ่งของวงกลมมีรัศมีเป็นสองเท่า

คนโบราณ (และไม่ใช่เช่นนั้น) ผ่านยุคสมัย (!) พวกเขาพยายามคำนวณตัวเลขลึกลับนี้ให้แม่นยำยิ่งขึ้น เพื่อแสดงให้ดีขึ้น (อย่างน้อยก็ประมาณ) ผ่านตัวเลข "ธรรมดา" และตอนนี้เราขี้เกียจอย่างไม่น่าเชื่อ - สองสัญญาณหลังจากยุ่งก็เพียงพอสำหรับเราแล้วเราเคยชิน

ลองคิดดู นี่หมายความว่า ตัวอย่างเช่น y ของวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่งจะมีความยาวเท่ากันโดยประมาณ และเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเขียนความยาวนี้ด้วยตัวเลข "มนุษย์" - คุณต้องมีตัวอักษร แล้วเส้นรอบวงนี้จะเท่ากัน และแน่นอน เส้นรอบวงของรัศมีนั้นเท่ากัน

กลับมาที่เรเดียนกัน

เราพบแล้วว่ามุมตรงมีเรเดียน

สิ่งที่เรามี:

ดีใจจัง ดีใจด้วย ในทำนองเดียวกันจะได้จานที่มีมุมที่นิยมมากที่สุด

อัตราส่วนระหว่างค่าของมุมจารึกและมุมศูนย์กลาง

มีข้อเท็จจริงที่น่าอัศจรรย์คือ

ค่าของมุมที่จารึกไว้คือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

ดูว่าข้อความนี้มีลักษณะอย่างไรในภาพ มุมศูนย์กลาง "ที่สอดคล้องกัน" คือมุมที่ปลายตรงกับปลายมุมที่จารึกไว้ และจุดยอดอยู่ตรงกลาง และในขณะเดียวกัน มุมศูนย์กลาง "ที่สอดคล้องกัน" จะต้อง "ดู" ที่คอร์ด () เดียวกันกับมุมที่จารึกไว้

ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? มาดูกรณีง่าย ๆ กันก่อน ให้คอร์ดหนึ่งผ่านตรงกลาง ท้ายที่สุดมันก็เกิดขึ้นใช่ไหม?

เกิดอะไรขึ้นที่นี่? พิจารณา. มันเป็นหน้าจั่ว - หลังจากทั้งหมดและเป็นรัศมี ดังนั้น (หมายถึงพวกเขา)

ตอนนี้เรามาดูกัน นี่คือมุมด้านนอก! เราจำได้ว่ามุมภายนอกเท่ากับผลรวมของมุมภายในสองมุมที่ไม่อยู่ติดกับมุมนั้น และเขียนว่า:

นั่นคือ! ผลกระทบที่ไม่คาดคิด แต่ก็มีมุมตรงกลางสำหรับสลักไว้ด้วย

ดังนั้น สำหรับกรณีนี้ เราพิสูจน์แล้วว่ามุมศูนย์กลางเป็นมุมสองเท่าของมุมที่จารึกไว้ แต่เป็นกรณีพิเศษที่เจ็บปวด: จริงหรือไม่ที่คอร์ดไม่ผ่านตรงกลางเสมอไป? แต่ไม่มีอะไร ตอนนี้กรณีพิเศษนี้จะช่วยเราได้มาก ดู: กรณีที่สอง: ปล่อยให้ตรงกลางนอนอยู่ข้างใน

ลองทำสิ่งนี้: วาดเส้นผ่านศูนย์กลาง แล้ว ... เราเห็นภาพสองภาพที่วิเคราะห์ไปแล้วในกรณีแรก ดังนั้นเราจึงมี

ดังนั้น (ในรูปวาด a)

กรณีสุดท้ายยังคงอยู่: ศูนย์กลางอยู่นอกมุม

เราทำเช่นเดียวกัน: วาดเส้นผ่านศูนย์กลางผ่านจุด ทุกอย่างเหมือนกัน แต่แทนที่จะเป็นผลรวม - ความแตกต่าง

นั่นคือทั้งหมด!

ตอนนี้ขอสร้างผลลัพธ์หลักสองประการและสำคัญมากของข้อความที่ว่ามุมที่จารึกไว้คือครึ่งหนึ่งของจุดศูนย์กลาง

ข้อพิสูจน์ 1

มุมที่จารึกไว้ทั้งหมดที่ตัดกับส่วนโค้งเดียวกันนั้นเท่ากัน

เราแสดงให้เห็น:

มีมุมที่ถูกจารึกไว้นับไม่ถ้วนโดยอิงจากส่วนโค้งเดียวกัน (เรามีส่วนโค้งนี้) พวกมันอาจดูแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง แต่พวกมันทั้งหมดมีมุมศูนย์กลางเหมือนกัน () ซึ่งหมายความว่ามุมที่จารึกไว้ทั้งหมดเหล่านี้มีค่าเท่ากันระหว่างกัน

ผลที่ตามมา2

มุมตามเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นมุมฉาก

ดู: มุมไหนเป็นศูนย์กลางของ?

แน่นอน, . แต่เขาเท่าเทียมกัน! นั่นเป็นเหตุผล (เช่นเดียวกับมุมที่จารึกไว้มากมายตาม) และมีค่าเท่ากับ

มุมระหว่างสองคอร์ดกับเซแคนต์

แต่ถ้ามุมที่เราสนใจไม่ได้ถูกจารึกไว้และไม่ได้อยู่ตรงกลาง แต่ตัวอย่างเช่น:

หรือแบบนี้?

เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงออกผ่านมุมตรงกลางบางมุม? ปรากฎว่าคุณทำได้ ดูสิ เราสนใจ

ก) (ตามมุมภายนอกสำหรับ) แต่ - จารึกไว้ตามส่วนโค้ง - . - จารึกตามส่วนโค้ง - .

เพื่อความงามพวกเขาพูดว่า:

มุมระหว่างคอร์ดมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่รวมอยู่ในมุมนี้

อันนี้เขียนให้กระชับ แต่แน่นอนว่าเมื่อใช้สูตรนี้ต้องจำมุมที่ตรงกลางไว้

b) และตอนนี้ - "ข้างนอก"! จะเป็นอย่างไร? ใช่เกือบจะเหมือนกัน! ตอนนี้เท่านั้น (ใช้คุณสมบัติของมุมด้านนอกอีกครั้ง) นั่นคือตอนนี้

และนั่นก็หมายความว่า มานำความสวยงามและความกระชับมาไว้ในบันทึกและสูตรกันเถอะ:

มุมระหว่างซีแคนต์เท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่อยู่ในมุมนี้

ตอนนี้คุณมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับมุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลมแล้ว ไปข้างหน้าเพื่อโจมตีงาน!

วงกลมและมุมรวม ระดับเฉลี่ย

วงกลมคืออะไร แม้แต่เด็กอายุ 5 ขวบก็รู้ จริงไหม? นักคณิตศาสตร์มักมีคำจำกัดความที่ชัดเจนในเรื่องนี้ แต่เราจะไม่ให้คำจำกัดความ (ดู) แต่ให้จำไว้ว่าจุด เส้น และมุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลมเรียกว่าอะไร

ข้อกำหนดที่สำคัญ

ประการแรก:

ประการที่สอง:

มีนิพจน์อื่นที่ยอมรับที่นี่: "คอร์ดทำสัญญาส่วนโค้ง" ในที่นี้ ในรูป เช่น คอร์ดทำสัญญากับส่วนโค้ง และถ้าคอร์ดผ่านจุดศูนย์กลางอย่างกะทันหัน มันก็จะมีชื่อพิเศษว่า "เส้นผ่านศูนย์กลาง"

อย่างไรก็ตาม เส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีสัมพันธ์กันอย่างไร? มองดูดีๆ. แน่นอน,

และตอนนี้ - ชื่อของมุม

โดยธรรมชาติแล้วใช่หรือไม่? ด้านข้างของมุมออกมาจากจุดศูนย์กลาง ซึ่งหมายความว่ามุมนั้นอยู่ตรงกลาง

นี่คือจุดที่บางครั้งความยากลำบากเกิดขึ้น ใส่ใจ - ไม่มีมุมใดในวงกลมที่จารึกไว้แต่มีจุดยอด "นั่ง" บนวงกลมเท่านั้น

ลองดูความแตกต่างในภาพ:

พวกเขายังพูดแตกต่างกัน:

มีจุดยุ่งยากอยู่จุดหนึ่งที่นี่ มุมศูนย์กลาง "ที่สอดคล้องกัน" หรือ "ของตัวเอง" คืออะไร? แค่มุมที่มีจุดยอดที่ศูนย์กลางของวงกลมและสิ้นสุดที่ปลายของส่วนโค้ง? ไม่ใช่อย่างนั้นอย่างแน่นอน ดูรูปนั่นสิ.

อย่างไรก็ตามหนึ่งในนั้นดูไม่เหมือนมุมเลย - มันใหญ่กว่า แต่ในรูปสามเหลี่ยมจะไม่มีมุมมากกว่านี้ แต่ในวงกลม - ก็น่าจะใช่! ดังนั้น: ส่วนโค้งที่เล็กกว่า AB จะสัมพันธ์กับมุมที่เล็กกว่า (สีส้ม) และมุมที่ใหญ่กว่าไปหามุมที่ใหญ่กว่า เหมือนกันไม่ใช่เหรอ?

ความสัมพันธ์ระหว่างมุมจารึกและมุมตรงกลาง

จำคำกล่าวที่สำคัญมาก:

ในหนังสือเรียน พวกเขาชอบเขียนข้อเท็จจริงแบบเดียวกันดังนี้:

จริงอยู่ที่มีมุมตรงกลาง สูตรจะง่ายกว่าไหม

แต่เรามาหาความสอดคล้องกันระหว่างสูตรทั้งสองนี้ และในขณะเดียวกันก็เรียนรู้วิธีหามุมศูนย์กลางที่ "สอดคล้องกัน" และส่วนโค้งที่มุมที่จารึกไว้ "เอน" บนร่าง

ดูสิ นี่คือวงกลมและมุมที่จารึกไว้:

มุมศูนย์กลาง "ที่สอดคล้องกัน" อยู่ที่ไหน

ลองดูอีกครั้ง:

กฎคืออะไร?

แต่! ในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือมุมที่สลักไว้และตรงกลาง "ดู" ที่ด้านเดียวกันของส่วนโค้ง ตัวอย่างเช่น:

ผิดปกติพอสีฟ้า! เพราะส่วนโค้งนั้นยาวกว่าครึ่งวงกลม! ดังนั้นอย่าสับสน!

ผลอะไรที่สามารถอนุมานได้จาก "ครึ่ง" ของมุมที่จารึกไว้?

และที่นี่ ตัวอย่างเช่น:

มุมขึ้นอยู่กับเส้นผ่านศูนย์กลาง

คุณเคยสังเกตหรือไม่ว่านักคณิตศาสตร์ชอบพูดถึงสิ่งเดียวกันด้วยคำพูดที่ต่างกันมาก? ทำไมสำหรับพวกเขา? คุณเห็นไหมว่าแม้ว่าภาษาของคณิตศาสตร์จะเป็นทางการ แต่ก็มีชีวิตอยู่ ดังนั้น ในภาษาธรรมดา ทุกครั้งที่คุณต้องการพูดในลักษณะที่สะดวกกว่า เราได้เห็นแล้วว่า "มุมที่วางอยู่บนส่วนโค้ง" คืออะไร และลองนึกภาพว่าภาพเดียวกันนั้นเรียกว่า "มุมวางบนคอร์ด" เกี่ยวกับอะไร? ใช่ แน่นอน กับอันที่ดึงส่วนโค้งนี้!

เมื่อไหร่จะสะดวกกว่าที่จะพึ่งพาคอร์ดมากกว่าอาร์ค?

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคอร์ดนี้มีเส้นผ่านศูนย์กลาง

มีข้อความที่เรียบง่าย สวยงาม และมีประโยชน์อย่างน่าอัศจรรย์สำหรับสถานการณ์เช่นนี้!

ดู: นี่คือวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง และมุมที่วางอยู่บนนั้น

วงกลมและมุมรวม สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

1. แนวคิดพื้นฐาน

3. การวัดส่วนโค้งและมุม

มุมเรเดียนคือมุมศูนย์กลางที่ความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีของวงกลม

นี่คือตัวเลขที่แสดงอัตราส่วนของความยาวของครึ่งวงกลมต่อรัศมี

เส้นรอบวงของรัศมีเท่ากับ

4. อัตราส่วนระหว่างค่าของมุมจารึกและมุมศูนย์กลาง