สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยม วิธีการคำนวณและติดฉลากพื้นที่

เริ่มตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 นักเรียนเริ่มทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องพื้นที่ของตัวเลขต่างๆ มีบทบาทพิเศษให้กับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเนื่องจากตัวเลขนี้เป็นหนึ่งในรูปแบบที่ง่ายที่สุดในการเรียนรู้

แนวคิดเกี่ยวกับพื้นที่

รูปใดๆ ก็ตามมีพื้นที่เป็นของตัวเอง และการคำนวณพื้นที่จะขึ้นอยู่กับหน่วยกำลังสอง นั่นคือ จากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 1 มม. หรือ 1 ซม. 1 dm เป็นต้น พื้นที่ของตัวเลขดังกล่าวเท่ากับ $1*1 = 1mm^2$ หรือ $1cm^2$ เป็นต้น พื้นที่ตามกฎจะแสดงด้วยตัวอักษร - S

พื้นที่แสดงขนาดของส่วนของเครื่องบินที่ถูกครอบครองโดยตัวเลขที่ระบุโดยส่วนต่างๆ

สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งทุกมุมมีหน่วยวัดองศาเท่ากันและเท่ากับ 90 องศา และด้านตรงข้ามขนานคู่ขนานกันและสม่ำเสมอ

ควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับหน่วยความยาวและความกว้าง พวกเขาจะต้องตรงกัน หากหน่วยไม่ตรงกัน จะถูกแปลง ตามกฎแล้ว หน่วยขนาดใหญ่จะถูกแปลงเป็นหน่วยที่เล็กกว่า ตัวอย่างเช่น หากกำหนดความยาวเป็น dm และความกว้างเป็น cm dm จะถูกแปลงเป็น cm และผลลัพธ์จะเป็น $cm^2$

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่มีสูตร คุณต้องนับจำนวนหน่วยของสี่เหลี่ยมที่จะแบ่งตัวเลขออกมา

ข้าว. 1. สี่เหลี่ยมผืนผ้าแบ่งออกเป็นหน่วยสี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมผืนผ้าแบ่งออกเป็น 15 สี่เหลี่ยมนั่นคือพื้นที่ของมันคือ 15 cm2 เป็นที่น่าสังเกตว่ารูปนั้นมีความกว้าง 3 ช่องและความยาว 5 ช่อง ดังนั้นในการคำนวณจำนวนหน่วยกำลังสองจึงจำเป็นต้องคูณความยาวด้วยความกว้าง ด้านที่เล็กกว่าของรูปสี่เหลี่ยมคือความกว้าง ยิ่งยาว ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

S = a b โดยที่ a, b คือความกว้างและความยาวของรูป

ตัวอย่างเช่น หากความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 5 ซม. และความกว้างคือ 4 ซม. พื้นที่จะเป็น 4 * 5 = 20 ซม. 2

การคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยใช้เส้นทแยงมุม

ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผ่านเส้นทแยงมุม คุณต้องใช้สูตร:

$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$

หากงานให้ค่ามุมระหว่างเส้นทแยงมุมและค่าของเส้นทแยงมุม คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยใช้สูตรทั่วไปสำหรับรูปสี่เหลี่ยมนูนตามอำเภอใจ

เส้นทแยงมุมคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดตรงข้ามของรูป เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีค่าเท่ากัน และจุดตัดแบ่งครึ่ง

ข้าว. 2. สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นทแยงมุมวาด

ตัวอย่าง

ในการรวมหัวข้อ ให้พิจารณาตัวอย่างงาน:

ลำดับที่ 1 หาพื้นที่แปลงสวนได้รูปทรงตามรูป

ข้าว. 3. การวาดภาพสำหรับงาน

สารละลาย:

ในการลบพื้นที่นั้น จำเป็นต้องแบ่งรูปออกเป็นสองสี่เหลี่ยม หนึ่งในนั้นจะมีขนาด 10 ม. และ 3 ม. อีก 5 ม. และ 7 ม. เราพบพื้นที่แยกกัน:

$S_1 =3*10=30 ม^2$;

นี่จะเป็นพื้นที่ของแปลงสวน $S = 65 m^2$

ลำดับที่ 2 ลบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วยเส้นทแยงมุม d=6 ซม. และมุมระหว่างเส้นทแยงมุม α=30 0 .

สารละลาย:

ค่าของ $sin 30 =(1\over(2)) $,

$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$

$S =(1\over(2)) * 6^2 * (1\over(2)) =9 cm^2$

ดังนั้น $S=9 ซม.^2$

เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็น 4 รูปร่าง - 4 สามเหลี่ยม ในกรณีนี้ สามเหลี่ยมจะเท่ากัน หากคุณวาดเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มันจะแบ่งรูปนั้นออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่เท่ากันคะแนนเฉลี่ย: 4.4. คะแนนที่ได้รับทั้งหมด: 214

ความรู้เกี่ยวกับวิธีการวัดโลกที่ปรากฏในสมัยโบราณและค่อยๆ เป็นรูปเป็นร่างขึ้นในศาสตร์แห่งเรขาคณิต จากภาษากรีกคำนี้แปลว่า "การสำรวจที่ดิน"

การวัดความยาวของพื้นที่ราบของโลกในความยาวและความกว้างคือพื้นที่ ในวิชาคณิตศาสตร์ มักเขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน S (จากภาษาอังกฤษ "square" - "area", "square") หรืออักษรกรีก σ (sigma) S หมายถึงพื้นที่ของรูปบนระนาบหรือพื้นที่ผิวของร่างกายและ σ คือพื้นที่หน้าตัดของเส้นลวดในวิชาฟิสิกส์ เหล่านี้เป็นสัญลักษณ์หลัก แม้ว่าอาจมีอื่น ๆ เช่นในด้านความแข็งแรงของวัสดุ A คือพื้นที่หน้าตัดของโปรไฟล์

สูตรคำนวณ

เมื่อทราบพื้นที่ของตัวเลขอย่างง่าย คุณจะพบพารามิเตอร์ของตัวเลขที่ซับซ้อนกว่าได้. นักคณิตศาสตร์โบราณได้พัฒนาสูตรโดยที่พวกเขาสามารถคำนวณได้ง่าย ตัวเลขดังกล่าวได้แก่ สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, รูปหลายเหลี่ยม, วงกลม

ในการหาพื้นที่ของรูปทรงแบนที่ซับซ้อน ให้แบ่งออกเป็นรูปทรงง่ายๆ หลายๆ แบบ เช่น สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู หรือสี่เหลี่ยม จากนั้นวิธีทางคณิตศาสตร์จะได้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปนี้ วิธีการที่คล้ายกันนี้ใช้ไม่เพียงแต่ในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังใช้ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เพื่อคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งด้วย

สามเหลี่ยม

เริ่มจากรูปร่างที่ง่ายที่สุด - สามเหลี่ยม เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หน้าจั่ว และด้านเท่า หาสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ที่มีด้าน AB=a, BC=b และ AC=c (∆ ABC) ในการหาพื้นที่ ลองนึกถึงทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์ที่รู้จักจากวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ปล่อยการคำนวณทั้งหมดเรามาถึงสูตรต่อไปนี้:

• S=√ - ทุกคนรู้สูตรของนกกระสา โดยที่ p=(a+b+c)/2 - ครึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยม
• S=a h/2 โดยที่ h คือความสูงที่ลดลงไปทางด้าน a;
• S=a b (บาป γ)/2 โดยที่ γ คือมุมระหว่างด้าน a และ b;
• S=a b/2 ถ้า ∆ ABC เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ในที่นี้ a และ b คือขา)
• S=b² (บาป (2 β))/2 ถ้า ∆ ABC เป็นหน้าจั่ว (ในที่นี้ b คือหนึ่งใน "สะโพก" β คือมุมระหว่าง "สะโพก" ของสามเหลี่ยม)
• S=a² √¾ ถ้า ∆ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (นี่คือด้านของรูปสามเหลี่ยม)

รูปสี่เหลี่ยม

กำหนดให้มีรูปสี่เหลี่ยม ABCD ที่มี AB=a, BC=b, CD=c, AD=d ในการหาพื้นที่ S ของ 4 เหลี่ยมตามอำเภอใจ จำเป็นต้องหารด้วยเส้นทแยงมุมเป็นสามเหลี่ยมสองรูปซึ่งพื้นที่ S1 และ S2 โดยทั่วไปไม่เท่ากัน

จากนั้นใช้สูตรคำนวณและบวกกัน เช่น S=S1+S2 อย่างไรก็ตาม หากรูปสี่เหลี่ยมอยู่ในคลาสใดคลาสหนึ่ง พื้นที่ของสี่เหลี่ยมนั้นสามารถพบได้โดยใช้สูตรที่รู้จักก่อนหน้านี้:

• S=(a+c) h/2=eh ถ้ารูปสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู (ในที่นี้ a และ c เป็นฐาน e คือเส้นกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู h คือความสูงที่ลดเหลือฐานใดฐานหนึ่งของสี่เหลี่ยมคางหมู ;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2 ถ้า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ในที่นี้ φ คือมุมระหว่างด้าน a และ b h คือความสูงจากด้าน a d1 และ d2 เป็นเส้นทแยงมุม)
• S=a b=d²/2 ถ้า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (d คือเส้นทแยงมุม);
• S=a² บาป φ=P² (บาป φ)/16=d1 d2/2 ถ้า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (a คือด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน φ คือมุมหนึ่ง P คือปริมณฑล);
• S=a²=P²/16=d²/2 ถ้า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปหลายเหลี่ยม

ในการหาพื้นที่ของ n-gon นักคณิตศาสตร์จะแบ่งมันออกเป็นสามเหลี่ยมเท่าๆ กันที่ง่ายที่สุด หาพื้นที่ของแต่ละอัน แล้วบวกมันเข้าด้วยกัน แต่ถ้ารูปหลายเหลี่ยมอยู่ในคลาสของรูปปกติ จะใช้สูตร:

S=anh/2=a² n/=P²/ โดยที่ n คือจำนวนจุดยอด (หรือด้าน) ของรูปหลายเหลี่ยม a คือด้านของ n-gon P คือปริมณฑล h คือเส้นตั้งฉาก กล่าวคือ ส่วนที่ลากจากจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมไปยังด้านใดด้านหนึ่งที่มุม 90°

วงกลม

วงกลมคือรูปหลายเหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบซึ่งมีด้านเป็นอนันต์. เราจำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัดของนิพจน์ทางด้านขวาในสูตรพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้าน n มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ในกรณีนี้ เส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมจะเปลี่ยนเป็นความยาวของวงกลมรัศมี R ซึ่งจะเป็นขอบเขตของวงกลม และจะเท่ากับ P=2 π R แทนนิพจน์นี้ลงในสูตรข้างต้น เราจะได้รับ:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n บาป (180°/n)).

ลองหาขีดจำกัดของนิพจน์นี้เป็น n→∞ ในการทำเช่นนี้ เราพิจารณาว่า lim (cos (180°/n)) สำหรับ n→∞ เท่ากับ cos 0°=1 (lim คือเครื่องหมายของลิมิต) และ lim = lim สำหรับ n→∞ คือ เท่ากับ 1/π (เราได้แปลหน่วยวัดดีกรีเป็นเรเดียน โดยใช้อัตราส่วน π rad=180° และใช้ลิมิตลิมิตที่น่าทึ่งอันแรก (sin x)/x=1 ที่ x→∞) แทนที่ค่าที่ได้รับลงในนิพจน์สุดท้ายสำหรับ S เรามาถึงสูตรที่รู้จักกันดี:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

หน่วย

ใช้หน่วยวัดระบบและไม่ใช่ระบบ. หน่วยระบบเรียกว่า SI (System International) นี่คือตารางเมตร (ตารางเมตร, m²) และหน่วยที่ได้มาจาก: mm², cm², km²

ตัวอย่างเช่นในตารางมิลลิเมตร (mm²) พวกเขาวัดพื้นที่หน้าตัดของสายไฟในวิศวกรรมไฟฟ้าในหน่วยตารางเซนติเมตร (cm²) - ส่วนตัดขวางของลำแสงในกลศาสตร์โครงสร้างเป็นตารางเมตร (m²) ) - อพาร์ตเมนต์หรือบ้านในตารางกิโลเมตร (km²) - อาณาเขตในภูมิศาสตร์ .

อย่างไรก็ตาม บางครั้งมีการใช้หน่วยการวัดที่ไม่เป็นระบบ เช่น การทอผ้า ar (a) เฮกตาร์ (ฮ่า) และเอเคอร์ (ac) เราให้อัตราส่วนต่อไปนี้:

• 1 สาน \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0.01 ฮ่า;
• 1 เฮกตาร์ = 100 a = 100 เอเคอร์ = 10000 m² = 0.01 km² = 2.471 เป็น;
• 1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 เอเคอร์ = 0.405 เฮกตาร์

พื้นที่เรขาคณิต- ลักษณะเชิงตัวเลขของรูปทรงเรขาคณิตที่แสดงขนาดของรูปนี้ (ส่วนหนึ่งของพื้นผิวล้อมรอบด้วยเส้นขอบปิดของรูปนี้) ขนาดของพื้นที่แสดงด้วยจำนวนตารางหน่วยที่บรรจุอยู่ในนั้น

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

1. สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านและส่วนสูง
   พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านของสามเหลี่ยมและความยาวของความสูงที่ลากมาด้านนี้
   
2. สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมที่กำหนดสามด้านและรัศมีของวงกลมล้อมรอบ
   
3. สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่กำหนดสามด้านและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
   พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของครึ่งวงกลมของสามเหลี่ยมและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
   
โดยที่ S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม
- ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม
- ความสูงของสามเหลี่ยม
- มุมระหว่างด้านข้างและ
- รัศมีของวงกลมจารึก
R - รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยม

1. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกำหนดความยาวของด้าน
   พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับกำลังสองของความยาวด้าน
2. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกำหนดความยาวของเส้นทแยงมุม
   พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของเส้นทแยงมุม
   

   ส=	1	2
   	2

โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
คือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
คือความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านประชิดทั้งสองข้าง

โดยที่ S คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
คือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยม

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานสำหรับความยาวด้านและความสูง
   พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน
2. สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา
   พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
   

   เอ บี ซินα

โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
คือ ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
คือความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
คือมุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สูตรสำหรับพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

1. สูตรพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน กำหนดด้านยาวและสูง
   พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านและความยาวของความสูงที่ลดลงมาทางด้านนี้
2. สูตรพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกำหนดความยาวของด้านและมุม
   พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของความยาวของด้านกับไซน์ของมุมระหว่างด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
3. สูตรหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจากความยาวของเส้นทแยงมุม
   พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุม
โดยที่ S คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
- ความยาวของด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
- ความยาวของความสูงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
- มุมระหว่างด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
1, 2 - ความยาวของเส้นทแยงมุม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

1. สูตรของนกกระสาสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู

   โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู
   - ความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
   - ความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู
   

พื้นที่คืออะไรและอะไรคือสี่เหลี่ยม

พื้นที่คือปริมาณเรขาคณิตที่คุณสามารถกำหนดขนาดของพื้นผิวใดๆ ของรูปทรงเรขาคณิตได้

เป็นเวลาหลายศตวรรษมาแล้วที่การคำนวณพื้นที่เรียกว่าการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือเพื่อค้นหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตอย่างง่ายก็เพียงพอที่จะนับจำนวนหน่วยสี่เหลี่ยมที่มีตัวเลขครอบคลุมตามเงื่อนไข และร่างที่มีพื้นที่เรียกว่ากำลังสอง

ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่นั้นเป็นค่าที่แสดงขนาดของระนาบที่เชื่อมต่อด้วยส่วนต่างๆ

สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากทั้งหมด นั่นคือ รูปสี่ด้านที่มีมุมฉากสี่มุมและด้านตรงข้ามเท่ากันเรียกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้า

วิธีหาพื้นที่สี่เหลี่ยม

วิธีที่ง่ายที่สุดในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือเอากระดาษโปร่งใส เช่น กระดาษลอกลายหรือผ้าน้ำมัน แล้ววาดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 ซม. แล้วแนบไปกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จำนวนช่องสี่เหลี่ยมที่เติมจะเป็นพื้นที่เป็นตารางเซนติเมตร ตัวอย่างเช่น รูปแสดงให้เห็นว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ใน 12 สี่เหลี่ยม ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของมันคือ 12 ตารางเมตร ซม.

แต่หากต้องการหาพื้นที่ของวัตถุขนาดใหญ่ เช่น อพาร์ทเมนท์ จำเป็นต้องใช้วิธีการที่เป็นสากลมากขึ้น สูตรนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสามารถหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้โดยการคูณความยาวด้วยความกว้าง

ทีนี้ลองเขียนกฎการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมในรูปของสูตรกัน เรามาแทนพื้นที่ของร่างของเราด้วยตัวอักษร S ตัวอักษร a จะแสดงความยาวของมัน และตัวอักษร b จะแสดงความกว้างของมัน

เป็นผลให้เราได้รับสูตรต่อไปนี้:

S = a * b.

หากเรากำหนดสูตรนี้บนสี่เหลี่ยมที่วาดด้านบน เราจะได้ 12 ตารางเซนติเมตรเท่ากันเพราะ a \u003d 4 ซม., b \u003d 3 ซม. และ S \u003d 4 * 3 \u003d 12 ตร. ซม.

หากคุณนำตัวเลขที่เหมือนกันสองรูปมาวางบนอีกอันหนึ่ง พวกมันจะตรงกันและจะถูกเรียกว่าเท่ากัน ตัวเลขที่เท่ากันดังกล่าวจะมีพื้นที่และปริมณฑลเท่ากัน

ทำไมถึงสามารถหาพื้นที่ได้

ประการแรก ถ้าคุณรู้วิธีหาพื้นที่ของรูป ด้วยความช่วยเหลือของสูตร คุณสามารถแก้ปัญหาใด ๆ ในเรขาคณิตและตรีโกณมิติได้อย่างง่ายดาย
ประการที่สอง เมื่อเรียนรู้การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแล้ว คุณจะสามารถแก้ปัญหาง่ายๆ ในตอนแรก และเมื่อเวลาผ่านไป คุณจะไปยังการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น และเรียนรู้วิธีหาพื้นที่ของตัวเลขที่จารึกไว้ ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือใกล้เคียง
ประการที่สาม เมื่อรู้สูตรง่ายๆ เช่น S \u003d a * b คุณจะได้รับโอกาสในการแก้ไขงานง่ายๆ ในชีวิตประจำวันโดยไม่มีปัญหา (เช่น ค้นหาอพาร์ตเมนต์หรือบ้านของ S) และเมื่อเวลาผ่านไป คุณจะสามารถนำไปใช้กับการแก้ปัญหาได้ โครงการสถาปัตยกรรมที่ซับซ้อน

นั่นคือถ้าเราลดความซับซ้อนของสูตรสำหรับการค้นหาพื้นที่อย่างสมบูรณ์ มันจะมีลักษณะดังนี้:

P \u003d ยาว x กว้าง

P หมายถึงพื้นที่ที่ต้องการ, D คือความยาว, W หมายถึงความกว้าง, และ x คือเครื่องหมายคูณ

คุณรู้หรือไม่ว่าพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแบ่งตามเงื่อนไขเป็นบล็อกสี่เหลี่ยมจำนวนหนึ่งที่อยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมนี้ได้ อะไรคือความแตกต่างระหว่างพื้นที่และปริมณฑล

ลองใช้ตัวอย่างเพื่อพยายามทำความเข้าใจความแตกต่างระหว่างปริมณฑลและพื้นที่ ตัวอย่างเช่น โรงเรียนของเราตั้งอยู่บนพื้นที่ที่มีรั้วล้อมรอบ ความยาวทั้งหมดของรั้วนี้จะเป็นปริมณฑล และพื้นที่ภายในรั้วคือพื้นที่

หน่วยพื้นที่

หากวัดปริมณฑลหนึ่งมิติในหน่วยเชิงเส้น ซึ่งก็คือนิ้ว ฟุต และเมตร ดังนั้น S หมายถึงการคำนวณแบบสองมิติและมีความยาวและความกว้างเป็นของตัวเอง

และ S มีหน่วยเป็นตารางหน่วย เช่น

หนึ่งตารางมิลลิเมตร โดยที่ S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านเท่ากับหนึ่งมิลลิเมตร
ตารางเซนติเมตรมี S สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านหนึ่งเซนติเมตร
เดซิเมตรกำลังสองเท่ากับ S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้โดยด้านหนึ่งเดซิเมตร
ตารางเมตรมี S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านหนึ่งเมตร
สุดท้าย ตารางกิโลเมตรมีสี่เหลี่ยม S ด้านหนึ่งกิโลเมตร

ในการวัดพื้นที่ของพื้นที่ขนาดใหญ่บนพื้นผิวโลก หน่วยต่างๆ เช่น:

One ar หรือ weave - ถ้า S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาวสิบเมตร
หนึ่งเฮกตาร์เท่ากับ S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวหนึ่งร้อยเมตร

งานและแบบฝึกหัด

ทีนี้มาดูตัวอย่างกัน

ในรูปที่ 62 วาดรูปที่มีแปดสี่เหลี่ยมและแต่ละด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหล่านี้มีค่าเท่ากับหนึ่งเซนติเมตร ดังนั้น S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าวจะเป็นตารางเซนติเมตร

ถ้าเขียนจะได้ดังนี้

1 ซม.2 และ S ของตัวเลขทั้งหมดนี้ ซึ่งประกอบด้วยแปดสี่เหลี่ยม จะเท่ากับ 8 ตารางเซนติเมตร

หากเรานำตัวเลขมาหารด้วย "p" สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 เซนติเมตร พื้นที่ของมันจะเท่ากับ:

อาร์ ซม2.

มาดูสี่เหลี่ยมกัน รูปภาพในภาพที่ 63 สี่เหลี่ยมนี้ประกอบด้วยสามแถบ และแต่ละแถบดังกล่าวแบ่งออกเป็นห้าสี่เหลี่ยมเท่า ๆ กัน มีด้าน 1 ซม.

ลองหาพื้นที่ของมันกัน ดังนั้นเราจึงเอาห้าสี่เหลี่ยมแล้วคูณด้วยสามแถบแล้วได้พื้นที่เท่ากับ 15 ตารางเซนติเมตร:

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ สี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD แสดงในรูปที่ 64 โดยแบ่งออกเป็นสองส่วนโดยเส้นหัก KLMN ส่วนแรกเท่ากับพื้นที่ 12 ซม. และส่วนที่สองมีพื้นที่ 9 ซม. ทีนี้ลองหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมทั้งหมดกัน:

ดังนั้นเราจึงเอาสามคูณด้วยเจ็ดแล้วได้ 21 ตารางเซนติเมตร:

3 7 \u003d 21 ตร. ซม. ในกรณีนี้ 21 \u003d 12 + 9

และเราก็ได้ข้อสรุปว่าพื้นที่ของรูปทั้งหมดของเราเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของแต่ละส่วน

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ดังรูปที่ 65 รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแสดงขึ้น ซึ่งโดยใช้ส่วน AC แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากัน ABC และ ADC

และเนื่องจากเรารู้แล้วว่าสี่เหลี่ยมจตุรัสเป็นสี่เหลี่ยมเดียวกัน มีเพียงด้านเท่ากัน พื้นที่ของสามเหลี่ยมชายหาดจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมทั้งหมด

ลองนึกภาพว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ a แล้ว:

S = a = a2.

เราสรุปได้ว่าสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเป็นดังนี้:

และเร็กคอร์ด a2 เรียกว่ากำลังสองของจำนวน a

ดังนั้น ถ้าด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของเรายาว 4 เซนติเมตร พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเป็น:

4 4 คือ 4 * 2 = 16 ตร.ซม.

คำถามและภารกิจ

หาพื้นที่ของรูปที่แบ่งออกเป็นสิบหกสี่เหลี่ยมโดยด้านที่มีขนาดเท่ากับหนึ่งเซนติเมตร
จำสูตรของสี่เหลี่ยมแล้วจดลงไป
คุณต้องใช้การวัดใดเพื่อหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า
กำหนดตัวเลขที่เท่ากัน
พื้นที่ต่าง ๆ สามารถมีตัวเลขเท่ากันได้หรือไม่? แล้วปริมณฑลล่ะ?
หากคุณทราบพื้นที่ของส่วนต่างๆ ของรูป คุณจะหาพื้นที่ทั้งหมดได้อย่างไร
กำหนดและเขียนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ประวัติอ้างอิง

คุณรู้หรือไม่ว่าคนโบราณในบาบิโลนสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ นอกจากนี้ ชาวอียิปต์โบราณยังทำการคำนวณตัวเลขต่างๆ แต่เนื่องจากพวกเขาไม่ทราบสูตรที่แน่นอน การคำนวณจึงมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย

ในหนังสือ "จุดเริ่มต้น" นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณที่มีชื่อเสียง Euclid ได้อธิบายถึงวิธีการต่างๆ ในการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ

คำนิยาม.

สี่เหลี่ยมผืนผ้าต่างกันเฉพาะในอัตราส่วนของด้านยาวกับด้านสั้น แต่ทั้งสี่อันนั้นถูกต้องนั่นคือแต่ละอัน 90 องศา

ด้านยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่า ความยาวสี่เหลี่ยมผืนผ้า, และตัวย่อ ความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า.

ด้านข้างของสี่เหลี่ยมก็มีความสูงเช่นกัน

คุณสมบัติพื้นฐานของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

1. ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาวเท่ากัน กล่าวคือ เท่ากัน:

AB=ซีดี, BC=AD

2. ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน:

3. ด้านที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะตั้งฉากเสมอ:

AB ┴ BC, BC ┴ ซีดี, ซีดี ┴ โฆษณา, AD ┴ AB

4. มุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าตรง:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. ผลรวมของมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 360 องศา:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาวเท่ากัน:

7. ผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวทแยงของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านข้าง:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นของสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นสองรูปที่เหมือนกัน นั่นคือ สามเหลี่ยมมุมฉาก

9. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าตัดกันและแบ่งครึ่งที่จุดตัด:

10. จุดตัดของเส้นทแยงมุมเรียกว่าจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ

11. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ

12. วงกลมสามารถอธิบายรอบๆ สี่เหลี่ยมผืนผ้าได้เสมอ เนื่องจากผลรวมของมุมตรงข้ามคือ 180 องศา:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. ไม่สามารถเขียนวงกลมลงในสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวไม่เท่ากับความกว้างได้ เนื่องจากผลรวมของด้านตรงข้ามไม่เท่ากัน (วงกลมสามารถจารึกได้ในกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมผืนผ้า - สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่านั้น)

ด้านของสี่เหลี่ยม

คำนิยาม.

สูตรหาความยาวด้านของสี่เหลี่ยม

1. สูตรด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ความยาวและความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า) ในรูปของเส้นทแยงมุมและอีกด้านหนึ่ง:

ก = √ d 2 - ข 2

ข = √ d 2 - a 2

2. สูตรด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ด้านยาวและความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า) ในแง่ของพื้นที่และด้านอื่นๆ:

สี่เหลี่ยมผืนผ้า เส้นทแยงมุม

คำนิยาม.

สูตรกำหนดความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

1. สูตรสำหรับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของสองด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส):

d = √ a 2 + b 2

2. สูตรสำหรับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของพื้นที่และด้านใด ๆ :

4. สูตรสำหรับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ:

d=2R

5. สูตรสำหรับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ:

d = D o

6. สูตรของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของไซน์ของมุมที่อยู่ติดกับเส้นทแยงมุมและความยาวของด้านตรงข้ามกับมุมนี้:

8. สูตรของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของไซน์ของมุมแหลมระหว่างเส้นทแยงมุมกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

d = √2S: บาป

ปริมณฑลของสี่เหลี่ยม

คำนิยาม.

สูตรหาความยาวของเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

1. สูตรสำหรับเส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของสองด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. สูตรสำหรับปริมณฑลของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของพื้นที่และด้านใด ๆ :

3. สูตรปริมณฑลของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของเส้นทแยงมุมและด้านใด ๆ :

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - ข 2)

4. สูตรสำหรับเส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบและด้านใด ๆ :

P = 2(a + √4R 2 - 2) = 2(b + √4R 2 - ข2)

5. สูตรสำหรับเส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและด้านใด ๆ :

P = 2(a + √D o 2 - 2) = 2(b + √D o 2 - ข2)

พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

คำนิยาม.

สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยม

1. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากสองด้าน:

S = ข

2. สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านปริมณฑลและด้านใด ๆ :

5. สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของรัศมีของวงกลมล้อมรอบและด้านใด ๆ :

S = √4R 2 - 2= ข √4R 2 - ข2

6. สูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบและด้านใด ๆ :

S \u003d a √ D o 2 - 2= b √ D o 2 - ข2

วงกลมล้อมรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คำนิยาม.

สูตรหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้า

1. สูตรรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านสองด้าน: