คุณสมบัติปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ปริซึม

1. จำนวนขอบที่น้อยที่สุดมีจัตุรมุข - 6

2. ปริซึมไม่มีหน้า รูปหลายเหลี่ยมอะไรอยู่ที่ฐาน

(n - 2) - สี่เหลี่ยม

3. ปริซึมเป็นเส้นตรงหรือไม่ถ้าด้านที่อยู่ติดกันสองด้านตั้งฉากกับระนาบของฐาน

ใช่แล้ว.

4. ขอบด้านข้างขนานกับความสูงปริซึมใด

ในปริซึมตรง

5. ปริซึมปกติหรือไม่ถ้าขอบทั้งหมดเท่ากัน?

ไม่ มันอาจไม่ตรง

6. ความสูงของด้านใดด้านหนึ่งของปริซึมเอียงสามารถเป็นความสูงของปริซึมได้หรือไม่?

ใช่ ถ้าใบหน้านี้ตั้งฉากกับฐาน

7. มีปริซึมหรือไม่ ก) ขอบด้านข้างตั้งฉากกับขอบฐานเพียงด้านเดียว b) หน้าด้านเดียวเท่านั้นที่ตั้งฉากกับฐาน?

ก. ใช่. B: ไม่.

8. ปริซึมสามเหลี่ยมปกติหารด้วยระนาบผ่านเส้นกึ่งกลางของฐานออกเป็นสองปริซึม พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมเหล่านี้เป็นอย่างไร?

ตามทฤษฎีบทของข้อ 27 เราได้รับว่าพื้นผิวด้านข้างสัมพันธ์กันเป็น 5: 3

9. พีระมิดจะปกติหรือไม่ถ้าใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ?

10. พีระมิดสามารถมีใบหน้าตั้งฉากกับระนาบฐานได้กี่หน้า?

11. มีพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามตั้งฉากกับฐานหรือไม่?

ไม่ มิฉะนั้น เส้นตรงอย่างน้อยสองเส้นตั้งฉากกับฐานจะผ่านยอดพีระมิด

12. ใบหน้าของปิรามิดสามเหลี่ยมทั้งหมดสามารถเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้หรือไม่?

ใช่ (รูปที่ 183)

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" รวมหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จ 60-65 คะแนน งานทั้งหมด 1-13 ของ Profile USE ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการใช้งานพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ อยากสอบผ่าน 90-100 คะแนน ต้องแก้ภาค 1 ใน 30 นาที และไม่มีพลาด!

คอร์สเตรียมสอบ ป.10-11 รวมทั้งครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหาที่ 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่เป็นคะแนนมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียนร้อยคะแนนและนักมนุษยศาสตร์ไม่สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีแก้ปัญหา กับดัก และความลับของข้อสอบอย่างรวดเร็ว งานที่เกี่ยวข้องทั้งหมดของส่วนที่ 1 จากงาน Bank of FIPI ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ USE-2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรนี้มี 5 หัวข้อใหญ่ๆ ละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อมีให้ตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบนับร้อย ปัญหาข้อความและทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่ง่ายและจำง่าย เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งาน USE ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี กลเม็ดเคล็ดลับในการแก้, เอกสารโกงที่มีประโยชน์, การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้น - ถึงภารกิจที่ 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายภาพแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก ยกกำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ ฐานการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของข้อสอบส่วนที่ 2

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับปริซึมตรง

พื้นผิวด้านข้างของปริซึม (ให้ละเอียดกว่านั้นคือ พื้นที่ผิวด้านข้าง) เรียกว่า ผลรวมบริเวณใบหน้าด้านข้าง พื้นผิวทั้งหมดของปริซึมเท่ากับผลรวมของพื้นผิวด้านข้างและพื้นที่ฐาน

ทฤษฎีบท 19.1. พื้นผิวด้านข้างของปริซึมตรงเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและความสูงของปริซึม นั่นคือ ความยาวของขอบด้านข้าง

การพิสูจน์. ใบหน้าด้านข้างของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ฐานของสี่เหลี่ยมเหล่านี้คือด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ที่ฐานของปริซึม และความสูงเท่ากับความยาวของขอบด้านข้าง ตามด้วยพื้นผิวด้านข้างของปริซึมเท่ากับ

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

โดยที่ 1 และ n คือความยาวของซี่โครงของฐาน p คือปริมณฑลของฐานของปริซึม และฉัน คือความยาวของซี่โครงด้านข้าง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

งานปฏิบัติ

ภารกิจ (22) . ในปริซึมเอียง ส่วน, ตั้งฉากกับขอบด้านข้างและตัดขอบด้านข้างทั้งหมด หาพื้นผิวด้านข้างของปริซึมหากปริมณฑลของส่วนเป็น p และขอบด้านข้างเป็น l

สารละลาย. ระนาบของส่วนที่วาดแบ่งปริซึมออกเป็นสองส่วน (รูปที่ 411) ลองแปลแบบคู่ขนานกันที่รวมฐานของปริซึมเข้าด้วยกัน ในกรณีนี้ เราจะได้ปริซึมตรง ซึ่งส่วนของปริซึมดั้งเดิมทำหน้าที่เป็นฐาน และขอบด้านข้างจะเท่ากับ l ปริซึมนี้มีพื้นผิวด้านเดียวกับของเดิม ดังนั้นพื้นผิวด้านข้างของปริซึมเดิมจึงเท่ากับ pl

ลักษณะทั่วไปของหัวข้อ

และตอนนี้ เรามาลองสรุปหัวข้อของปริซึมกับคุณ และจำไว้ว่าปริซึมมีคุณสมบัติอะไรบ้าง

คุณสมบัติปริซึม

อย่างแรก สำหรับปริซึม ฐานทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน
ประการที่สอง สำหรับปริซึม ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ประการที่สาม ในรูปปริซึมที่มีหลายแง่มุม ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

นอกจากนี้ ควรจำไว้ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยม เช่น ปริซึม สามารถตั้งตรงและเอียงได้

ปริซึมตรงคืออะไร?

หากขอบด้านข้างของปริซึมตั้งฉากกับระนาบของฐาน ปริซึมดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรง

จะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะระลึกว่าใบหน้าด้านข้างของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ปริซึมเฉียงคืออะไร?

แต่ถ้าขอบด้านข้างของปริซึมไม่ได้ตั้งฉากกับระนาบของฐาน เราก็บอกได้เลยว่านี่คือปริซึมเอียง

ปริซึมที่ถูกต้องคืออะไร?

หากรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานของปริซึมตรง แสดงว่าปริซึมนั้นเป็นปกติ

ทีนี้ มาดูคุณสมบัติของปริซึมทั่วไปกัน

คุณสมบัติของปริซึมปกติ

อย่างแรก รูปหลายเหลี่ยมปกติทำหน้าที่เป็นฐานของปริซึมปกติเสมอ
ประการที่สอง หากเราพิจารณาด้านด้านข้างของปริซึมปกติ พวกมันจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากันเสมอ
ประการที่สาม ถ้าเราเปรียบเทียบขนาดของซี่โครงด้านข้าง ในปริซึมที่ถูกต้อง พวกมันจะเท่ากันเสมอ
ประการที่สี่ ปริซึมปกติจะตรงเสมอ
ประการที่ห้า หากใบหน้าด้านข้างอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในปริซึมปกติ ตัวเลขดังกล่าวมักจะเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ

ส่วนปริซึม

ทีนี้มาดูส่วนตัดขวางของปริซึม:

การบ้าน

และตอนนี้เรามาพยายามรวมหัวข้อที่ศึกษาด้วยการแก้ปัญหา

ลองวาดปริซึมสามเหลี่ยมเอียงซึ่งระยะห่างระหว่างขอบจะเท่ากับ 3 ซม. 4 ซม. และ 5 ซม. และพื้นผิวด้านข้างของปริซึมนี้จะเท่ากับ 60 ซม.2 ด้วยพารามิเตอร์เหล่านี้ ให้หาขอบด้านข้างของปริซึมที่กำหนด

คุณรู้หรือไม่ว่ารูปทรงเรขาคณิตรอบตัวเราอย่างต่อเนื่องไม่เพียงแต่ในบทเรียนเรขาคณิต แต่ในชีวิตประจำวันยังมีวัตถุที่คล้ายกับรูปทรงเรขาคณิตหนึ่งหรืออีกรูปหนึ่ง

บ้าน โรงเรียน หรือที่ทำงานทุกหลังมีคอมพิวเตอร์ ซึ่งหน่วยระบบจะอยู่ในรูปของปริซึมตรง

หากคุณหยิบดินสอธรรมดาขึ้นมา คุณจะเห็นว่าส่วนหลักของดินสอคือปริซึม

เมื่อเดินไปตามถนนสายหลักของเมือง จะเห็นได้ว่าใต้ฝ่าเท้าของเรามีแผ่นกระเบื้องที่มีรูปร่างเป็นปริซึมหกเหลี่ยม

A. V. Pogorelov, เรขาคณิตสำหรับเกรด 7-11, ตำราเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา

คำจำกัดความ 1. พื้นผิวปริซึม
ทฤษฎีบทที่ 1 ในส่วนขนานของพื้นผิวปริซึม
คำจำกัดความ 2 ส่วนตั้งฉากของพื้นผิวปริซึม
คำจำกัดความ 3 ปริซึม
คำจำกัดความ 4. ความสูงของปริซึม
คำจำกัดความ 5. ปริซึมตรง
ทฤษฎีบทที่ 2 พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม

ขนาน:
คำจำกัดความ 6. ขนานกัน
ทฤษฎีบทที่ 3 บนจุดตัดของเส้นทแยงมุมของ
คำจำกัดความ 7 ขนานขวา
คำจำกัดความ 8 สี่เหลี่ยมด้านขนาน
คำจำกัดความ 9 ขนาดของ parallelepiped
คำจำกัดความ 10. Cube
คำจำกัดความ 11. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
ทฤษฎีบทที่ 4 บนเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ทฤษฎีบท 5. ปริมาตรของปริซึม
ทฤษฎีบทที่ 6 ปริมาตรของปริซึมตรง
ทฤษฎีบทที่ 7 ปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ปริซึมเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งใบหน้าทั้งสอง (ฐาน) อยู่ในระนาบคู่ขนานและขอบที่ไม่อยู่ในใบหน้าเหล่านี้จะขนานกัน
ใบหน้าอื่นที่ไม่ใช่ฐานเรียกว่า ด้านข้าง.
ด้านข้างของใบหน้าและฐานด้านข้างเรียกว่า ขอบปริซึม, ปลายขอบเรียกว่า ส่วนบนของปริซึม ซี่โครงด้านข้างเรียกว่าขอบที่มิใช่ฐาน การรวมใบหน้าด้านข้างเรียกว่า พื้นผิวด้านข้างของปริซึมและเรียกรวมกันว่าทุกใบหน้า พื้นผิวทั้งหมดของปริซึม ความสูงของปริซึมเรียกว่าเส้นตั้งฉากหล่นจากจุดฐานบนถึงระนาบของฐานล่างหรือความยาวของเส้นตั้งฉากนี้ ปริซึมตรงเรียกว่าปริซึมซึ่งขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน ถูกต้องเรียกว่าปริซึมตรง (รูปที่ 3) ที่ฐานซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่

การกำหนด:
ล. - ซี่โครงด้านข้าง;
P - ปริมณฑลฐาน;
S o - พื้นที่ฐาน;
H - ความสูง;
P ^ - ปริมณฑลของส่วนตั้งฉาก;
S b - พื้นที่ผิวด้านข้าง
วี - ปริมาณ;
S p - พื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดของปริซึม

คำจำกัดความ 2 . ส่วนตั้งฉากของพื้นผิวปริซึมคือส่วนของพื้นผิวนี้โดยระนาบตั้งฉากกับขอบ ตามทฤษฎีบทก่อนหน้านี้ ส่วนตั้งฉากทั้งหมดของพื้นผิวแท่งปริซึมเดียวกันจะเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน

คำจำกัดความ 3 . ปริซึมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวปริซึมและมีระนาบสองระนาบขนานกัน (แต่ไม่ขนานกับขอบของพื้นผิวปริซึม)
ใบหน้าที่นอนอยู่ในระนาบสุดท้ายนี้เรียกว่า ฐานปริซึม; ใบหน้าที่เป็นของพื้นผิวปริซึม - ใบหน้าด้านข้าง; ขอบของพื้นผิวปริซึม - ขอบด้านข้างของปริซึม. โดยอาศัยทฤษฎีบทก่อนหน้า ฐานของปริซึมคือ รูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน. ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปริซึม สี่เหลี่ยมด้านขนาน; ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
เห็นได้ชัดว่าถ้าฐานของปริซึม ABCDE และหนึ่งในขอบ AA" กำหนดขนาดและทิศทาง ก็สามารถสร้างปริซึมได้โดยการวาดขอบ BB", CC", .., เท่ากันและขนานกับ ขอบเอเอ".

คำจำกัดความ 4 . ความสูงของปริซึมคือระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน (HH")

คำจำกัดความ 5 . ปริซึมเรียกว่าเส้นตรงถ้าฐานเป็นส่วนตั้งฉากของพื้นผิวปริซึม ในกรณีนี้ ความสูงของปริซึมก็คือ ซี่โครงข้าง; ขอบด้านข้างจะ สี่เหลี่ยม.
ปริซึมสามารถจำแนกตามจำนวนหน้าด้าน เท่ากับจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่ทำหน้าที่เป็นฐาน ดังนั้น ปริซึมอาจเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม เป็นต้น

ทฤษฎีบท 2 . พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมเท่ากับผลคูณของขอบด้านข้างและปริมณฑลของส่วนตั้งฉาก
ให้ ABCDEA"B"C"D"E" เป็นปริซึมที่กำหนดและ abcde เป็นส่วนตั้งฉากเพื่อให้ส่วน ab, bc, .. ตั้งฉากกับขอบด้านข้าง ใบหน้า ABA"B" เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่ของมัน เท่ากับผลคูณของฐาน AA " กับความสูงที่ตรงกับ ab; พื้นที่ของใบหน้า BCV "C" เท่ากับผลคูณของฐาน BB" โดยความสูง bc เป็นต้น ดังนั้นพื้นผิวด้านข้าง (กล่าวคือ ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง) คือ เท่ากับผลคูณของขอบด้านข้าง กล่าวคือ ความยาวรวมของกลุ่ม AA", BB", .. โดยผลรวม ab+bc+cd+de+ea

คำนิยาม. ปริซึม- นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งจุดยอดทั้งหมดนั้นอยู่ในระนาบคู่ขนานกันสองระนาบ และในระนาบเดียวกันนั้นมีสองหน้าของปริซึม ซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากันโดยมีด้านขนานกันตามลำดับ และขอบทั้งหมดที่ไม่อยู่ในสิ่งเหล่านี้ เครื่องบินขนานกัน

สองหน้าเท่ากันเรียกว่า ฐานปริซึม(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

หน้าอื่นของปริซึมเรียกว่า ใบหน้าด้านข้าง(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A)

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดรูปแบบ พื้นผิวด้านข้างของปริซึม .

ใบหน้าด้านข้างของปริซึมทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน .

ขอบที่ไม่ได้อยู่ที่ฐานเรียกว่าขอบด้านข้างของปริซึม ( AA 1, บี.บี.1, CC 1, DD 1, EE1).

ปริซึมเส้นทแยงมุม ส่วนที่เรียกว่าส่วนปลายซึ่งเป็นจุดยอดสองจุดของปริซึมที่ไม่อยู่บนใบหน้าด้านใดด้านหนึ่ง (AD 1)

ความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อฐานของปริซึมและตั้งฉากกับฐานทั้งสองในเวลาเดียวกันเรียกว่า ความสูงของปริซึม .

การกำหนด:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (ประการแรก ตามลำดับบายพาส จุดยอดของฐานหนึ่งจะถูกระบุ จากนั้นในลำดับเดียวกัน จุดยอดของอีกฐานหนึ่ง ปลายของขอบแต่ละด้านถูกกำหนดด้วยตัวอักษรเดียวกัน เฉพาะจุดยอดที่วางอยู่ในฐานเดียวเท่านั้น ถูกระบุด้วยตัวอักษรที่ไม่มีดัชนีและอื่น ๆ - พร้อมดัชนี)

ชื่อของปริซึมสัมพันธ์กับจำนวนมุมในรูปนอนอยู่ที่ฐาน เช่น ในรูปที่ 1 ฐานเป็นรูปห้าเหลี่ยมจึงเรียกปริซึม ปริซึมห้าเหลี่ยม. แต่ตั้งแต่ ปริซึมดังกล่าวมี 7 หน้า แล้วก็ ทรง heptahedron(2 หน้าเป็นฐานของปริซึม 5 หน้าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เป็นหน้าด้านข้าง)

ในบรรดาปริซึมตรง มีประเภทหนึ่งที่โดดเด่น: ปริซึมปกติ

ปริซึมตรงเรียกว่า ถูกต้อง,ถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ปริซึมปกติมีด้านทุกด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน กรณีพิเศษของปริซึมเป็นแบบขนาน

ขนานกัน

ขนานกัน- นี่คือปริซึมสี่เหลี่ยมที่ฐานซึ่งมีสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่ (ด้านขนานเฉียง) ขวาขนาน- รูปขนานที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน

ทรงลูกบาศก์- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวาซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คุณสมบัติและทฤษฎีบท:

คุณสมบัติบางอย่างของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นคล้ายกับคุณสมบัติที่รู้จักกันดีของสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่า ลูกบาศก์ . ลูกบาศก์มีทุกหน้า สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมจัตุรัส เท่ากับ ผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสามมิติ

,

โดยที่ d คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
เอ - ด้านของสี่เหลี่ยม

แนวคิดของปริซึมถูกกำหนดโดย:

• โครงสร้างทางสถาปัตยกรรมต่างๆ
• ของเล่นเด็ก;
• กล่องบรรจุ;
• รายการออกแบบ ฯลฯ

พื้นที่ผิวทั้งหมดและด้านข้างของปริซึม

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมคือผลรวมของพื้นที่ใบหน้าทั้งหมด พื้นที่ผิวด้านข้างเรียกว่า ผลรวมของพื้นที่หน้าด้านข้าง ฐานของปริซึมเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน จากนั้นพื้นที่ของปริซึมจะเท่ากัน ดังนั้น

S เต็ม \u003d S ด้าน + 2S หลัก,

ที่ไหน อิ่ม- พื้นที่ผิวทั้งหมด ด้านเอส- พื้นที่ผิวด้านข้าง S หลัก- พื้นที่ฐาน

พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรงเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงฐานและความสูงของปริซึม.

ด้านเอส\u003d P หลัก * h,

ที่ไหน ด้านเอสคือ พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรง

P main - ปริมณฑลของฐานของปริซึมตรง

h คือความสูงของปริซึมตรง เท่ากับขอบด้านข้าง

ปริมาณปริซึม

ปริมาตรของปริซึมเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง