บทความนี้ยังคงอยู่ภายใต้หัวข้อของสมการโดยตรงบนเครื่องบิน: พิจารณาสมการประเภทดังกล่าวเนื่องจากสมการทั่วไปเป็นแบบตรง เราถามทฤษฎีบทและให้หลักฐาน เราจะคิดออกว่าสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ดังกล่าวเป็นสิ่งที่ตรงไปตรงมาและวิธีการดำเนินการเปลี่ยนจากสมการทั่วไปกับสมการประเภทอื่น ๆ โดยตรง ทฤษฎีทั้งหมดจะถูกรวมเข้าด้วยกันด้วยภาพประกอบและการแก้ปัญหาการปฏิบัติ

Yandex.RTB R-A-A-339285-1

สมมติว่าบนระนาบระบบพิกัดสี่เหลี่ยม o x y จะได้รับ

ทฤษฎีบท 1

สมการใด ๆ ของระดับแรกที่มีการดู AX + โดย + C \u003d 0 ซึ่ง A, B, C - ตัวเลขที่ถูกต้องบางอย่าง (A และ B ไม่เท่ากับในเวลาเดียวกันศูนย์) กำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เครื่องบิน. ในทางกลับกัน, ใด ๆ โดยตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบจะถูกกำหนดโดยสมการที่มีมุมมอง x + b y + c \u003d 0 พร้อมค่าของค่า A, B, C

หลักฐาน

ทฤษฎีบทที่ระบุประกอบด้วยสองคะแนนเราจะพิสูจน์แต่ละคน

1. เราพิสูจน์ว่าสมการ A X + B Y + C \u003d 0 กำหนดระนาบโดยตรง

สมมติว่ามีบางจุด m 0 (x 0, y 0), พิกัดที่สอดคล้องกับสมการ a x + b y + c \u003d 0 ดังนั้น: x 0 + b y 0 + c \u003d 0 Submount จากชิ้นส่วนซ้ายและขวาของสมการ AX + โดย + c \u003d 0 ส่วนด้านซ้ายและขวาของสมการ A x 0 + โดย 0 + c \u003d 0, เราได้รับสมการใหม่ที่มีรูปแบบ a (x - x 0 ) + B (Y - Y 0) \u003d 0 มันเทียบเท่ากับ X + B Y + C \u003d 0

สมการที่เกิดขึ้น A (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากของเวกเตอร์ n → \u003d (a, b) และ m 0 m → \u003d (x - x 0) , y - y 0) ดังนั้นชุดของคะแนน M (x, y) ระบุในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเส้นตรงตั้งฉากกับทิศทางของเวกเตอร์ n → \u003d (a, b) เราสามารถสมมติว่านี่ไม่ใช่กรณี แต่จากนั้นเวกเตอร์ n → \u003d (a, b) และ m 0 m → \u003d (x - x 0, y - y 0) จะไม่ตั้งฉากและความเท่าเทียมกัน A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 มันคงไม่เป็นจริง

ดังนั้นสมการ A (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 กำหนดบางส่วนในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบและดังนั้นสมการเทียบเท่า A x + โดย + c \u003d 0 กำหนดโดยตรงโดยตรง . ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ส่วนแรกของทฤษฎีบท

1. เราให้หลักฐานว่าพิกัดใด ๆ โดยตรงในระบบสี่เหลี่ยมสามารถตั้งค่าเป็นสมการระดับแรก A X + B Y + C \u003d 0

ตั้งอยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนเครื่องบินโดยตรง Point M 0 (x 0, y 0) ซึ่งเส้นตรงนี้ผ่านไปเช่นเดียวกับเวกเตอร์ปกติของ direct n → \u003d (a, b)

สมมติว่ามีบางจุด m (x, y) - จุดลอยตัวตรง ในกรณีนี้เวกเตอร์ n → \u003d (a, b) และ m 0 m → \u003d (x - x 0, y - y 0) ตั้งฉากกับแต่ละอื่น ๆ และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกเขาเป็นศูนย์:

n →, m 0 m → \u003d a (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0

ฉันเขียนสมการ A X + B Y - a x 0 - b y 0 \u003d 0, เรากำหนด c: c \u003d - a x 0 - b y 0 และในผลลัพธ์สุดท้ายเราได้รับสมการ a x + b y + c \u003d 0

ดังนั้นเราได้พิสูจน์แล้วว่าเป็นส่วนที่สองของทฤษฎีบทและพิสูจน์ทฤษฎีบททั้งหมดโดยทั่วไป

คำนิยาม 1.

สมการ a x + b y + c \u003d 0 - นี่คือ สมการทั่วไปโดยตรง บนเครื่องบินในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม o x y

พึ่งพาทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วเราสามารถสรุปได้ว่าสายตรงและสมการทั่วไปที่ระบุบนเครื่องบินในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคงที่เชื่อมโยงกันอย่างแยกไม่ออก กล่าวอีกนัยหนึ่งบรรทัดแรกสอดคล้องกับสมการทั่วไป บรรทัดสมการทั่วไปสอดคล้องกับคำสั่งที่ระบุ

จากการพิสูจน์ทฤษฎีบทยังติดตามว่าค่าสัมประสิทธิ์ A และ B กับตัวแปร X และ Y เป็นพิกัดของสายเวกเตอร์ปกติซึ่งตั้งค่าโดยสมการโดยรวมของ Direct A X + B Y + C \u003d 0

พิจารณาตัวอย่างเฉพาะของสมการบรรทัดทั่วไป

ให้สมการ 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 ซึ่งสอดคล้องกับเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด เวกเตอร์ปกตินี้ตรง - นี่คือเวกเตอร์ n → \u003d (2, 3) รูปภาพเส้นตรงที่กำหนดในรูปวาด

นอกจากนี้ยังสามารถโต้เถียงได้: โดยตรงซึ่งเราเห็นในรูปวาดจะถูกกำหนดโดยสมการโดยรวม 2 x + 3 Y - 2 \u003d 0 เนื่องจากพิกัดของจุดทั้งหมดของโดยตรงที่ระบุโดยตรงตรงกับสมการนี้

เราสามารถรับสมการλ· a x + λ· b y + λ· c \u003d 0, คูณทั้งสองส่วนของสมการทั้งหมดกับจำนวนλ, ไม่เท่ากับศูนย์ สมการที่เกิดขึ้นเทียบเท่ากับสมการทั่วไปเริ่มต้นดังนั้นจะอธิบายสิ่งเดียวกันโดยตรงบนเครื่องบิน

สมการทั่วไปทั่วไปโดยตรง - สมการทั่วไปดังกล่าวตรงกับ x + b y + c \u003d 0 ซึ่งตัวเลข A, B, ที่แตกต่างจากศูนย์ มิฉะนั้นสมการคือ ไม่สมบูรณ์.

เราจะวิเคราะห์ความแปรปรวนทั้งหมดของสมการสายทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์

1. เมื่อ A \u003d 0 ใน≠ 0, c ≠ 0, สมการทั่วไปใช้แบบฟอร์ม b y + c \u003d 0 สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ดังกล่าวระบุในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม o x y โดยตรงซึ่งขนานกับแกนวัวเนื่องจากมีค่าที่ถูกต้อง x, ตัวแปร y จะใช้ค่า - c b. กล่าวอีกนัยหนึ่งสมการทั่วไปคือ X + B Y + C \u003d 0 เมื่อ A \u003d 0 ใน≠ 0 ตั้งตำแหน่งทางเรขาคณิตของคะแนน (x, y), พิกัดที่เท่ากับหมายเลขเดียวกัน - c b.
2. ถ้า a \u003d 0, ใน≠ 0, c \u003d 0, สมการทั่วไปใช้แบบฟอร์ม y \u003d 0 สมการที่ไม่สมบูรณ์ดังกล่าวกำหนดแกน abscissa o x
3. เมื่อ a ≠ 0, b \u003d 0, c ≠ 0, เราได้รับสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ A x + c \u003d 0, ระบุแกนตรง, แกนขนานของการคาดการณ์
4. ให้ a ≤ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์จะใช้แบบฟอร์ม x \u003d 0 และนี่คือสมการของพิกัดโดยตรง o y
5. ในที่สุดที่≠ 0 ใน≠ 0, c \u003d 0, สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์จะใช้รูปแบบ a x + b y \u003d 0 และสมการนี้อธิบายเส้นตรงที่ผ่านไปจากที่มาของพิกัด ในความเป็นจริงคู่ของตัวเลข (0, 0) สอดคล้องกับความเสมอภาค a x + b y \u003d 0, ตั้งแต่ a · 0 + b · 0 \u003d 0

เราแสดงให้เห็นถึงสมการตามลำดับของสมการทั่วไปทั้งหมดที่ไม่สมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 1

เป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นตรงที่ระบุขนานกับแกนของการคาดการณ์และผ่านไปยังจุดที่ 2 7, - 11 จำเป็นต้องบันทึกสมการทั่วไปของ Direct ที่ระบุ

การตัดสินใจ

แกนตรง, ขนานของการบวชถูกกำหนดโดยสมการของรูปแบบ a x + c \u003d 0 ซึ่งเป็น≠ 0 นอกจากนี้เงื่อนไขจะได้รับจากพิกัดของจุดที่ตรงไปตรงมาและพิกัดของจุดนี้สอดคล้องกับเงื่อนไขของสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ A X + C \u003d 0, I.E. ความเสมอภาคขวา:

a · 2 7 + c \u003d 0

เป็นไปได้ที่จะกำหนด C หากให้ค่าที่ไม่ใช่ศูนย์เช่น A \u003d 7 ในกรณีนี้เราได้รับ: 7 · 2 7 + c \u003d 0 ⇔ c \u003d - 2 เรารู้ทั้งค่าสัมประสิทธิ์ A และ C เราแทนพวกเขาในสมการ A X + C \u003d 0 และเราได้รับสมการที่จำเป็นโดยตรง: 7 x - 2 \u003d 0

ตอบ: 7 x - 2 \u003d 0

ตัวอย่างที่ 2

รูปวาดแสดงเส้นตรงมีความจำเป็นต้องบันทึกสมการของมัน

การตัดสินใจ

ภาพวาดข้างต้นช่วยให้เราสามารถรับข้อมูลต้นทางเพื่อแก้ไขปัญหาได้อย่างง่ายดาย เราเห็นในรูปวาดว่าแกนคู่ขนานตรงที่ระบุ o x และผ่านไปยังจุด (0, 3)

โดยตรงซึ่งขนานกับดวงตาของ Abscissa กำหนดสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ B Y + C \u003d 0 ค้นหาค่า B และ C พิกัดของจุด (0, 3) เนื่องจากผ่านเส้นตรงที่กำหนดผ่านมันจะเป็นไปตามสมการโดยตรง B Y + C \u003d 0 จากนั้นความเท่าเทียมกันคือความเสมอภาค: B · 3 + C \u003d 0 ระบุค่าบางอย่างนอกเหนือจากศูนย์ สมมติว่าใน \u003d 1 ในกรณีนี้จากความเสมอภาคใน· 3 + c \u003d 0 เราสามารถค้นหา c: c \u003d - 3 ใช้ค่าที่รู้จักในและ C เราได้รับสมการโดยตรงที่ต้องการ: Y - 3 \u003d 0

ตอบ: Y - 3 \u003d 0

สมการทั่วไปส่งผ่านจุดที่ระบุของเครื่องบิน

ปล่อยให้ส่งผ่านโดยตรงผ่านจุด m 0 (x 0, y 0) จากนั้นพิกัดสอดคล้องกับสมการทั่วไปกับบรรทัด, I.e. ความเสมอภาคขวา: a x 0 + b y 0 + c \u003d 0 เรานำชิ้นส่วนด้านซ้ายและขวาของสมการนี้ออกจากส่วนซ้ายและขวาของสมการเต็มโดยรวม เราได้รับ: a (x - x 0) + b (y - y 0) + c \u003d 0 สมการนี้เทียบเท่ากับยอดรวมเริ่มต้นผ่านจุด m 0 (x 0, y 0) และมีเวกเตอร์ปกติ n → \u003d (a, b)

ผลลัพธ์ที่เราได้รับทำให้เป็นไปได้ที่จะบันทึกสมการทั่วไปของ Direct กับพิกัดที่รู้จักกันดีของเวกเตอร์ปกติของโดยตรงและพิกัดของบางจุดตรงนี้

ตัวอย่างที่ 3

Point M 0 (- 3, 4) ซึ่งผ่านสายตรงและเวกเตอร์ปกติของนี้ตรงนี้ n → \u003d (1, - 2) จำเป็นต้องบันทึกสมการที่ได้รับโดยตรง

การตัดสินใจ

เงื่อนไขเริ่มต้นช่วยให้เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นสำหรับการเตรียมสมการ: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4 จากนั้น:

A (x - x 0) + B (Y - Y 0) \u003d 0 ⇔ 1 · (x - (- 3)) - 2 · Y (Y - 4) \u003d 0 ⇔⇔ x - 2 y + 22 \u003d 0

งานสามารถแก้ไขได้เป็นอย่างอื่น สมการทั่วไปโดยตรงมีรูปแบบ A X + B Y + C \u003d 0 เวกเตอร์ปกติที่ระบุช่วยให้คุณได้รับค่าของสัมประสิทธิ์ A และ B จากนั้น:

A X + B Y + C \u003d 0 ⇔ 1 · X - 2 · Y + C \u003d 0 ⇔ X - 2 · Y + C \u003d 0

ตอนนี้เราจะพบค่า C โดยใช้เงื่อนไขที่ระบุของงาน Point M 0 (- 3, 4) ซึ่งเป็นโดยตรง พิกัดของจุดนี้สอดคล้องกับสมการ X - 2 · Y + C \u003d 0, I.e. - 3 - 2 · 4 + c \u003d 0 ดังนั้น c \u003d 11 สมการที่จำเป็นต้องใช้แบบฟอร์ม: X - 2 · Y + 11 \u003d 0

ตอบ: X - 2 · Y + 11 \u003d 0

ตัวอย่างที่ 4

ได้รับโดยตรง 2 3 x - Y - 1 2 \u003d 0 และจุด M 0 นอนอยู่บนเส้นตรงนี้ เฉพาะ abscissa ของจุดนี้เป็นที่รู้จักกันและเท่ากับ 3 มีความจำเป็นต้องกำหนดลำดับของจุดที่ระบุ

การตัดสินใจ

ระบุการกำหนดของพิกัดของจุด m 0 เป็น x 0 และ y 0 ในข้อมูลต้นฉบับที่ระบุว่า x 0 \u003d - 3 เนื่องจากจุดเป็นของโดยตรงที่กำหนดซึ่งหมายความว่าพิกัดของมันเป็นไปตามสมการทั้งหมดของบรรทัดนี้ จากนั้นความเท่าเทียมจะเป็นจริง:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

ตรวจสอบ Y 0: 2 3 · (- 3) - Y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2

ตอบ: - 5 2

การเปลี่ยนแปลงจากสมการทั่วไปจะตรงไปยังสมการประเภทอื่น ๆ โดยตรงและกลับ

อย่างที่เรารู้มีสมการหลายประเภทของเดียวกันและตรงบนเครื่องบินเดียวกัน การเลือกมุมมองของสมการขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหา เป็นไปได้ที่จะเลือกสิ่งที่สะดวกกว่าสำหรับการแก้ปัญหา ที่นี่มีประโยชน์มากในการแปลงสมการหนึ่งสายพันธุ์ต่อสมการของสายพันธุ์อื่น

เพื่อเริ่มต้นด้วยเราพิจารณาการเปลี่ยนแปลงจากสมการทั่วไปของรูปแบบ A x + B Y + C \u003d 0 ถึงสมการ Canonical X - x 1 a x \u003d y - y 1 a y

หาก A และ≠ 0 เราจะถ่ายโอนคำว่า b y ไปยังส่วนขวาของสมการทั่วไป ในส่วนด้านซ้ายเราทนต่อวงเล็บ เป็นผลให้เราได้รับ: a x + c a \u003d - b y

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนตามสัดส่วน: x + c a - b \u003d y a

ในกรณีที่ใน≠ 0 เราปล่อยให้ส่วนซ้ายของสมการเพียงคำที่ A x, อื่น ๆ ถูกถ่ายโอนไปทางด้านขวาเราได้รับ: a x \u003d - b y - c. เราทนต่อ - ในวงเล็บจากนั้น: a x \u003d - b y + c b.

เราเขียนความเสมอภาคในรูปแบบของสัดส่วน: x - b \u003d y + c b a

แน่นอนเพื่อจดจำสูตรที่เกิดขึ้นไม่จำเป็น มันก็เพียงพอที่จะรู้ว่าอัลกอริทึมการกระทำในการเปลี่ยนแปลงจากสมการทั่วไปไปยัง Canonical

ตัวอย่างที่ 5

สมการทั่วไปตั้งอยู่ที่ 3 Y - 4 \u003d 0 มีความจำเป็นต้องแปลงเป็นสมการตามบัญญัติ

การตัดสินใจ

เราเขียนสมการเริ่มต้นเป็น 3 y - 4 \u003d 0 ต่อไปเราทำหน้าที่ตามอัลกอริทึม: คำที่ 0 x เหลืออยู่ในส่วนซ้าย; และในส่วนที่เหมาะสมเราอดทน - 3 สำหรับวงเล็บ; เราได้รับ: 0 x \u003d - 3 y - 4 3

เราเขียนความเท่าเทียมกันที่ได้รับตามสัดส่วน: X - 3 \u003d Y - 4 3 0 ดังนั้นเราจึงได้สมการของสายพันธุ์บัญญัติ

คำตอบ: X - 3 \u003d Y - 4 3 0.

เพื่อที่จะเปลี่ยนสมการทั่วไปโดยตรงไปยัง Parametric เป็นครั้งแรกดำเนินการเปลี่ยนเป็นแบบฟอร์ม Canonical จากนั้นการเปลี่ยนจากสมการตามบัญญัติโดยตรงไปยังสมการพารามิเตอร์

ตัวอย่างที่ 6

โดยตรงถูกกำหนดโดยสมการ 2 x - 5 y - 1 \u003d 0 บันทึกสมการพารามิเตอร์ของเส้นตรงนี้

การตัดสินใจ

เราดำเนินการเปลี่ยนจากสมการทั่วไปเป็น Canonical:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 Y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 Y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d Y + 1 5 2

ตอนนี้เราจะนำทั้งสองส่วนของสมการยอมรับที่ได้รับเท่ากับλแล้ว:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ⇔ x \u003d 5 ·λ y \u003d - 1 5 + 2 ·λ, λ∈ r

ตอบ: x \u003d 5 ·λ y \u003d - 1 5 + 2 ·λ, λ∈ r

สมการทั่วไปสามารถแปลงเป็นสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม Y \u003d k · x + B แต่เมื่ออยู่ใน≠ 0 เท่านั้น ในการเปลี่ยนไปสู่ส่วนด้านซ้ายเราปล่อยให้คำ B Y ส่วนที่เหลือถูกถ่ายโอนไปทางขวา เราได้รับ: b y \u003d - a x - c เราแยกทั้งสองส่วนของความเสมอภาคที่ได้รับบน b แตกต่างจากศูนย์: y \u003d - a b x - c b

ตัวอย่างที่ 7

ชุดสมการทั่วไป: 2 x + 7 y \u003d 0 มีความจำเป็นต้องแปลงสมการเป็นสมการด้วยสัมประสิทธิ์เชิงมุม

การตัดสินใจ

เราจะสร้างการกระทำที่จำเป็นในอัลกอริทึม:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 Y - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

ตอบ: y \u003d - 2 7 x

จากสมการทั่วไปโดยตรงเพียงพอที่จะได้รับสมการในส่วนของแบบฟอร์ม x a + y b \u003d 1 ในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเราถ่ายโอนหมายเลข C ไปยังส่วนขวาของความเท่าเทียมกันเราแบ่งทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันที่ได้รับใน - C และในที่สุดเราถ่ายโอนสัมประสิทธิ์ด้วยตัวแปร x และ y:

A X + B Y + C \u003d 0 ⇔ a x + b y \u003d - c ⇔⇔ a - c x + b - c y \u003d 1 ⇔ x - c a + y - c b \u003d 1

ตัวอย่างที่ 8

จำเป็นต้องเปลี่ยนสมการทั่วไปโดยตรง X - 7 Y + 1 2 \u003d 0 ถึงสมการโดยตรงในกลุ่ม

การตัดสินใจ

เราถ่ายโอน 1 2 ไปทางด้านขวา: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2

เราแบ่งออกเป็น -1/2 ทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกัน: x - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1

ตอบ: X - 1 2 + Y 1 14 \u003d 1

โดยทั่วไปแล้วการเปลี่ยนแปลงผลตอบแทนยังอยู่: จากสมการประเภทอื่น ๆ ไปยังทั่วไป

สมการเป็นส่วนโดยตรงในกลุ่มและสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่จะเปลี่ยนเป็นทั่วไปได้ง่ายเพียงแค่รวบรวมเงื่อนไขทั้งหมดในส่วนซ้ายของความเท่าเทียมกัน:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0 ⇔ a x + b y + c \u003d 0 y \u003d k x + b ⇔ y - k x - b \u003d 0 ⇔ a x + b y + c \u003d 0

สมการบัญญัติถูกแปลงเป็นโครงการดังต่อไปนี้:

x - X 1 AX \u003d Y - Y 1 AY ⇔ AY · (x - x 1) \u003d AX (Y - Y 1) ⇔⇔ AYX - AXY - AYX 1 + AXY 1 \u003d 0 ⇔ A X + B Y + C \u003d 0

หากต้องการย้ายจากพารามิเตอร์การเปลี่ยนเป็น Canonical และจากนั้นรวม:

x \u003d x 1 + a x ·λ y \u003d y 1 + a y ·λ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ a x + b y + c \u003d 0

ตัวอย่างที่ 9

สมการ Parametric ถูกตั้งค่าเป็น Direct X \u003d - 1 + 2 ·λ y \u003d 4 มีความจำเป็นต้องบันทึกสมการทั่วไปของสิ่งนี้โดยตรง

การตัดสินใจ

เราดำเนินการเปลี่ยนจากสมการพารามิเตอร์เป็นบัญญัติ:

x \u003d - 1 + 2 ·λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 ·λ y \u003d 4 + 0 ·λ⇔⇔ \u003d x + 1 2 λ \u003d Y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d Y - 4 0

ไปจาก Canonical เป็นทั้งหมด:

x + 1 2 \u003d Y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) \u003d 2 (Y - 4) ⇔ Y - 4 \u003d 0

ตอบ: Y - 4 \u003d 0

ตัวอย่างที่ 10

สมการถูกตั้งค่าเป็นบรรทัดในเซ็กเมนต์ x 3 + Y 1 2 \u003d 1 จำเป็นต้องดำเนินการเปลี่ยนเป็นสมการประเภททั้งหมด

การตัดสินใจ:

เพียงเขียนสมการใหม่ในรูปแบบที่ต้องการ:

x 3 + Y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 Y - 1 \u003d 0

ตอบ: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

วาดสมการโดยตรงทั่วไป

ข้างต้นเราได้พูดคุยเกี่ยวกับความจริงที่ว่าสมการทั่วไปสามารถเขียนได้กับพิกัดที่รู้จักกันดีของเวกเตอร์ปกติและพิกัดของจุดที่เส้นตรงผ่าน โดยตรงดังกล่าวถูกกำหนดโดยสมการ A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 เรายังถอดแยกชิ้นส่วนตัวอย่างที่เหมาะสม

ตอนนี้พิจารณาตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นสำหรับการเริ่มต้นที่จำเป็นในการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติ

ตัวอย่างที่ 11

เส้นตรง, ขนานโดยตรง 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 จุด M 0 (4, 1) เป็นที่รู้จักกันแล้วซึ่งผ่านสายตรงที่ระบุ จำเป็นต้องบันทึกสมการที่ได้รับโดยตรง

การตัดสินใจ

เงื่อนไขการเริ่มต้นบอกให้เราทราบว่ามีความคล้ายคลึงกันในขณะที่เวกเตอร์ปกติเป็นแบบตรงสมการที่จำเป็นในการเขียนใช้แนวทางเวกเตอร์โดยตรง N → \u003d (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 . ตอนนี้เรารู้ข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อวาดสมการทั่วไป:

A (x - x 0) + B (Y - Y 0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (Y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 Y - 5 \u003d 0

ตอบ: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

ตัวอย่างที่ 12

การส่งผ่านโดยตรงผ่านที่มาของพิกัดตั้งฉากกับเส้นตรง X - 2 3 \u003d Y + 4 5 จำเป็นต้องทำให้สมการทั่วไปของเส้นตรงที่กำหนด

การตัดสินใจ

เวกเตอร์ปกติของตรงที่ระบุจะเป็นเวกเตอร์โดยตรงโดยตรง x - 2 3 \u003d Y + 4 5

จากนั้น n → \u003d (3, 5) ส่งผ่านไปยังต้นกำเนิดของพิกัด, I.e. ผ่านจุด O (0, 0) มาทำสมการทั่วไปกันโดยตรง:

A (X - X 0) + B (Y - Y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (Y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

ตอบ: 3 x + 5 y \u003d 0

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความโปรดเลือกและกด CTRL + ENTER

โดยตรงผ่านจุด k (x 0; y 0) และตรงขนาน y \u003d kx + a อยู่ตามสูตร:

y - Y 0 \u003d K (x - x 0) (1)

ที่ K เป็นค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของ Direct

สูตรทางเลือก:
โดยตรงส่งผ่านจุด m 1 (x 1; y 1) และ AX แบบขนานโดยตรง + โดย + c \u003d 0 แสดงโดยสมการ

a (x - x 1) + b (y-y 1) \u003d 0 (2)

ตัวอย่างหมายเลข 2 เขียนสมการของเส้นตรง, คู่ขนาน 2x + 5y \u003d 0 และสร้างพิกัดสามเหลี่ยมพร้อมกับแกนพิกัดพื้นที่ซึ่งเป็น 5
การตัดสินใจ . ตั้งแต่ขนานกันตรงสมการเป็นที่ต้องการโดยตรง 2x + 5y + c \u003d 0 พื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมซึ่ง A และ B ของ Kartets ของมัน ค้นหาจุดตัดของที่ต้องการโดยตรงกับแกนของพิกัด:
;
.
ดังนั้น A (-c / 2.0), B (0, -c / 5) ทดแทนสูตรสำหรับตาราง: . เราได้รับสองวิธีแก้ปัญหา: 2x + 5y + 10 \u003d 0 และ 2x + 5y - 10 \u003d 0

ตัวอย่างหมายเลข 3 ทำให้สมการของเส้นตรงผ่านจุด (-2; 5) และขนานโดยตรง 5x-7y-4 \u003d 0
การตัดสินใจ โดยตรงนี้สามารถแสดงได้โดยสมการ Y \u003d 5/7 x - 4/7 (นี่คือ \u003d 5/7) สมการของ Desired Direct คือ Y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)), I.e. 7 (Y-5) \u003d 5 (x + 2) หรือ 5x-7y + 45 \u003d 0

ตัวอย่างหมายเลข 4 การตัดสินใจตัวอย่าง 3 (A \u003d 5, B \u003d -7) ตามสูตร (2) เราค้นหา 5 (x + 2) -7 (Y-5) \u003d 0

ตัวอย่างหมายเลข 5 ทำให้สมการของการส่งผ่านโดยตรงผ่านจุด (-2; 5) และคู่ขนาน 7x + 10 \u003d 0
การตัดสินใจ นี่คือ \u003d 7, b \u003d 0 สูตร (2) ให้ 7 (x + 2) \u003d 0, i.e. x + 2 \u003d 0 Formula (1) ไม่สามารถใช้งานได้เนื่องจากสมการนี้ไม่สามารถแก้ไขได้เมื่อเทียบกับ Y (เส้นขนานนี้ตรงไปยังแกน ordinate)

บทเรียนจากชุด "อัลกอริทึมทางเรขาคณิต"

สวัสดีผู้อ่านที่รัก!

วันนี้เราจะเริ่มเรียนอัลกอริทึมที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิต ความจริงก็คืองานโอลิมปิกของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตคอมพิวเตอร์ค่อนข้างมากและการแก้ปัญหาของงานดังกล่าวมักทำให้เกิดปัญหา

สำหรับบทเรียนหลายบทเรียนเราพิจารณาจำนวนขั้นต้นจำนวนหนึ่งซึ่งต้องอาศัยการแก้ปัญหาของการคำนวณเรขาคณิตส่วนใหญ่

ในบทเรียนนี้เราจะสร้างโปรแกรมสำหรับ สมการเค้าโครงโดยตรงผ่านไปตามที่ระบุ สองคะแนน. ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเราจะต้องมีความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงคำนวณ ส่วนหนึ่งของบทเรียนที่เราจะอุทิศเพื่อพบพวกเขา

ข้อมูลจากการคำนวณเรขาคณิต

เรขาคณิตเชิงคำนวณเป็นส่วนของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ที่ศึกษาอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

ข้อมูลต้นทางสำหรับงานดังกล่าวอาจเป็นจุดที่หลากหลายบนเครื่องบินชุดของกลุ่มรูปหลายเหลี่ยม (ระบุตัวอย่างเช่นรายการของจุดยอดในลำดับของการเคลื่อนไหวตามเข็มนาฬิกา) ฯลฯ

ผลลัพธ์อาจเป็นคำตอบสำหรับคำถามบางอย่าง (เช่นจุดเป็นของกลุ่มไม่ว่าสองส่วนจะตัดกัน ... ) หรือวัตถุทางเรขาคณิตบางอย่าง (ตัวอย่างเช่นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่เล็กที่สุดที่เชื่อมต่อจุดที่ระบุรูปหลายเหลี่ยม พื้นที่ ฯลฯ )

เราจะพิจารณาภารกิจของเรขาคณิตเชิงคำนวณบนเครื่องบินเท่านั้นและเฉพาะในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

เวกเตอร์และพิกัด

ในการใช้วิธีการคำนวณเรขาคณิตคอมพิวเตอร์จำเป็นต้องแปลภาพเรขาคณิตเป็นตัวเลข เราคิดว่าระบบพิกัดของ Decartian ได้รับบนเครื่องบินซึ่งทิศทางของการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเรียกว่าเป็นบวก

ตอนนี้วัตถุทางเรขาคณิตได้รับการแสดงออกการวิเคราะห์ ดังนั้นในการกำหนดจุดมันก็เพียงพอที่จะระบุพิกัด: ตัวเลขสองสามตัว (x; y) ส่วนสามารถระบุได้โดยการระบุพิกัดของปลายทางคุณสามารถระบุพิกัดโดยตรงของคู่ของคะแนนของมัน

แต่เครื่องมือหลักเมื่อแก้ภารกิจเราจะมีเวกเตอร์ ให้ฉันเตือนให้คุณทราบถึงข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับพวกเขา

มาตรา ฿ใครมีจุด แต่ ถือว่าเป็นจุดเริ่มต้น (จุดของแอปพลิเคชัน) และจุด ใน - สิ้นสุดเรียกว่าเวกเตอร์ ฿ และแสดงถึงตัวอักษรตัวพิมพ์เล็กหรือตัวพิมพ์เล็ก แต่ .

เพื่อกำหนดความยาวเวกเตอร์ (นั่นคือความยาวของส่วนที่สอดคล้องกัน) จะใช้สัญลักษณ์โมดูล (ตัวอย่างเช่น)

เวกเตอร์โดยพลการจะมีพิกัดเท่ากับความแตกต่างในพิกัดที่สอดคล้องกันของการสิ้นสุดและเริ่มต้น:

,

จุดที่นี่ ก. และ B. มีพิกัด ตามลำดับ

สำหรับการคำนวณเราจะใช้แนวคิด มุมที่มุ่งเน้นนั่นคือมุมที่คำนึงถึงญาติของเวกเตอร์

มุมมองระหว่างเวกเตอร์ ก. และ b. บวกถ้าการหมุนจากเวกเตอร์ ก. ไปที่เวกเตอร์ b. ดำเนินการในทิศทางบวก (ทวนเข็มนาฬิกา) และลบ - ในกรณีอื่น ดูรูปที่ 1A รูปที่ 1b พวกเขายังบอกว่าคู่ของเวกเตอร์ ก. และ b. เชิงบวก (เชิงลบ) เชิงบวก

ดังนั้นขนาดของมุมที่มุ่งเน้นขึ้นอยู่กับลำดับของการส่งของเวกเตอร์และสามารถใช้ค่าในช่วงเวลา

ภารกิจการคำนวณจำนวนมากใช้แนวคิดของเวกเตอร์ (เฉียงหรือ pseudoscale) ผลงานของเวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ A และ B จะเรียกผลิตภัณฑ์ของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ในมุมไซน์ระหว่างพวกเขา:

.

งานศิลปะเวกเตอร์ของเวกเตอร์ในพิกัด:

นิพจน์ทางด้านขวาเป็นตัวกำหนดลำดับที่สอง:

ตรงกันข้ามกับคำจำกัดความซึ่งได้รับในรูปทรงเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์นี่คือสเกลาร์

เครื่องหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กำหนดตำแหน่งของเวกเตอร์สัมพันธ์กับแต่ละอื่น ๆ :

ก. และ b. เชิงบวกที่มุ่งเน้น

ถ้าปริมาณแล้วคู่เวกเตอร์ ก. และ b. เชิงลบเชิงลบ

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นศูนย์ถ้าหากพวกเขาเป็น collinear ( . ซึ่งหมายความว่าพวกเขานอนบนเส้นตรงหนึ่งเส้นหรือเส้นตรงแบบขนาน

พิจารณางานง่าย ๆ หลายอย่างที่จำเป็นเมื่อการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น

เรากำหนดสมการโดยตรงตามพิกัดของสองจุด

สมการนั้นส่งผ่านโดยตรงผ่านสองจุดที่กำหนดโดยพิกัด

ให้สองไม่ตรงกับพิกัด: ด้วยพิกัด (x1; y1) และพิกัด (x2; y2) ดังนั้นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้น ณ จุดและจุดสิ้นสุดที่จุดมีพิกัด (x2-x1, y2-y1) ถ้า p (x, y) เป็นจุดโดยพลการที่ตรงไปตรงมาของเราพิกัดเวกเตอร์เท่ากับ (x - x1, y - y1)

ด้วยความช่วยเหลือของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สภาพของการสร้างคอลลิเน็ตของเวกเตอร์และสามารถเขียนได้ดังนี้:

ที่. (x - x1) (Y2-Y1) - (Y-Y1) (x2-x1) \u003d 0

(Y2-Y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) \u003d 0

สมการสุดท้ายจะเขียนดังนี้:

aX + โดย + c \u003d 0, (1)

c \u003d x1 (Y1-Y2) + Y1 (x2-x1)

ดังนั้นโดยตรงสามารถระบุได้โดยสมการของแบบฟอร์ม (1)

งาน 1. มีการระบุพิกัดของสองจุด ค้นหาการเป็นตัวแทนของเธอในรูปแบบของ AX + โดย + C \u003d 0

ในบทเรียนนี้เราทำความคุ้นเคยกับข้อมูลบางอย่างจากเรขาคณิตเชิงคำนวณ เราแก้ปัญหาเพื่อค้นหาสมการสายตามพิกัดของสองคะแนน

ในบทเรียนต่อไปเราจะสร้างโปรแกรมเพื่อค้นหาจุดตัดของสองบรรทัดที่ระบุโดยสมการของคุณ

ให้สองคะแนนได้รับ เอ็ม(เอช.1 ,ว.1) I. น.(เอช.2, Y.2) เราพบสมการของการส่งผ่านโดยตรงผ่านจุดเหล่านี้

ตั้งแต่นี้ตรงไปถึงจุด เอ็มตามสูตร (1.13) สมการของมันมีรูปแบบ

ว. – Y.1 = เค.(X - X1),

ที่ไหน เค. - ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ไม่รู้จัก

ค่าสัมประสิทธิ์นี้จะถูกกำหนดจากเงื่อนไขนั้นที่ส่งผ่านโดยตรงผ่านจุด น.ดังนั้นพิกัดพิกัดสมการ (1.13)

Y.2 – Y.1 = เค.(เอ็กซ์2 – เอ็กซ์1),

จากที่นี่คุณสามารถค้นหาสัมประสิทธิ์เชิงมุมของสิ่งนี้ตรงนี้:

,

หรือหลังการแปลง

(1.14)

สูตร 1.14 กำหนด สมการนั้นผ่านไปโดยตรงผ่านสองจุด เอ็ม(เอ็กซ์1, Y.1) I. น.(เอ็กซ์2, Y.2).

ในกรณีพิเศษเมื่อคะแนน เอ็ม(ก., 0), น.(0, B.), แต่ ¹ 0, B. ¹ 0 นอนบนแกนของพิกัดสมการ (1.14) จะใช้มุมมองที่ง่ายกว่า

สมการ (1.15) เรียกว่า สมการตรงในกลุ่มที่นี่ แต่ และ B. แสดงถึงกลุ่มที่ถูกตัดตรงบนแกน (รูปที่ 1.6)

รูปที่ 1.6

ตัวอย่าง 1.10 ทำให้สมการโดยตรงผ่านคะแนน เอ็ม(1, 2) และ B.(3, –1).

. ตาม (1.14) สมการของโดยตรงที่ต้องการมีแบบฟอร์ม

2(Y. – 2) = -3(เอ็กซ์ – 1).

การถ่ายโอนสมาชิกทุกคนไปทางซ้ายในที่สุดก็ได้รับสมการที่ต้องการ

3เอ็กซ์ + 2Y. – 7 = 0.

ตัวอย่าง 1.11 ทำให้สมการของเส้นตรงผ่านจุด เอ็ม(2, 1) และจุดตัดของโดยตรง เอ็กซ์+ y -1 = 0, X - W.+ 2 = 0.

. พิกัดของจุดตัดของโดยตรงที่พบโดยการตัดสินใจร่วมกันสมการเหล่านี้

หากคุณเพิ่มสมการเหล่านี้เราจะได้ 2 เอ็กซ์ + 1 \u003d 0 จากที่ใด การแทนที่ค่าในสมการใด ๆ เราจะพบมูลค่าของสามัญ ว.:

ตอนนี้เขียนสมการโดยตรงผ่านคะแนน (2, 1) และ:

หรือ .

ดังนั้นหรือ -5 ( Y. – 1) = เอ็กซ์ – 2.

ในที่สุดเราก็ได้รับสมการของแบบตรงที่ต้องการในแบบฟอร์ม เอช. + 5Y. – 7 = 0.

ตัวอย่าง 1.12 ค้นหาสมการโดยตรงผ่านคะแนน เอ็ม(2,1) และ น.(2,3).

การใช้สูตร (1.14) เราได้รับสมการ

มันไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากตัวส่วนที่สองเป็นศูนย์ จากสภาพของปัญหาเป็นที่ชัดเจนว่าการผิดเพี้ยนของทั้งสองจุดมีความหมายเหมือนกัน ดังนั้นที่ต้องการขนานตรงกับแกน oy. และสมการของมันคือ: เอ็กซ์ = 2.

แสดงความคิดเห็น . หากเมื่อบันทึกสมการสูตร Direct (1.14) เท่ากับศูนย์ดังนั้นสมการที่ต้องการสามารถรับได้โดยใช้ตัวเศษที่เกี่ยวข้องเป็นศูนย์

พิจารณาวิธีอื่น ๆ ในการตั้งค่าโดยตรงบนเครื่องบิน

1. ปล่อยให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตั้งฉากกับสิ่งนี้โดยตรง L.และจุด เอ็ม0(เอ็กซ์0, Y.0) อยู่ที่เส้นตรงนี้ (รูปที่ 1.7)

รูปที่ 1.7

แสดง เอ็ม(เอ็กซ์, Y.) จุดโดยพลการตรง L.. เวกเตอร์ไอ orthogonal การใช้เงื่อนไขของมุมฉากของเวกเตอร์เหล่านี้เราได้รับหรือ แต่(เอ็กซ์ – เอ็กซ์0) + B.(Y. – Y.0) = 0.

เราได้สมการโดยตรงผ่านจุด เอ็ม0 ตั้งฉากกับเวกเตอร์ เวกเตอร์นี้เรียกว่า เวกเตอร์ปกติ เพื่อโดยตรง L.. สมการที่เกิดขึ้นสามารถเขียนใหม่เป็น

โอ้ + วู + จาก \u003d 0 ที่ไหน จาก = –(แต่เอ็กซ์0 + โดย0), (1.16),

ที่ไหน แต่ และ ใน- พิกัดของเวกเตอร์ของปกติ

เราได้สมการทั่วไปโดยตรงในรูปแบบพารามิเตอร์

2. โดยตรงบนเครื่องบินสามารถตั้งค่าดังต่อไปนี้: ให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ขนานกับสิ่งนี้โดยตรง L. และจุด เอ็ม0(เอ็กซ์0, Y.0) อยู่ที่เส้นตรงนี้ ทำจุดโดยพลการอีกครั้ง เอ็ม(เอช., Y) เป็นเส้นตรง (รูปที่ 1.8)

รูปที่ 1.8

เวกเตอร์ไอ collinear

เราเขียนเงื่อนไขของการสร้างคอลลิเน็ตของเวกเตอร์เหล่านี้: ที่ไหน ต. - หมายเลขที่เรียกว่าพารามิเตอร์ พูดความเสมอภาคนี้ในพิกัด:

สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการพารามิเตอร์ ตรง. กำจัดจากสมการเหล่านี้พารามิเตอร์ ต.:

สมการเหล่านี้สามารถเขียนในรูปแบบของ

. (1.18)

สมการที่เกิดขึ้นเรียกว่า สมการบัญญัติโดยตรง. เวกเตอร์เรียกว่า เวกเตอร์โดยตรงโดยตรง .

แสดงความคิดเห็น . มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้า - ปกติปกติเป็นเส้นตรง L.จากนั้นเวกเตอร์แนวทางของมันสามารถเป็นเวกเตอร์ได้ตั้งแต่ฉัน ..

ตัวอย่าง 1.13 เขียนสมการโดยตรงผ่านจุด เอ็ม0 (1, 1) ตรงตามขนาน 3 เอช. + 2ว.– 8 = 0.

การตัดสินใจ . เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ของปกติกับโดยตรงและต้องการโดยตรง เราใช้สมการของการส่งผ่านโดยตรงผ่านจุด เอ็ม0 ด้วย vector ปกติที่กำหนดไว้ล่วงหน้า 3 ( เอช. –1) + 2(ว. - 1) \u003d 0 หรือ 3 เอช. + 2 - 5 \u003d 0 ได้รับสมการที่ต้องการโดยตรง

สมการจะส่งผ่านจุดนี้โดยตรงในทิศทางนี้ สมการจะส่งผ่านข้อมูลสองคะแนนโดยตรง มุมระหว่างสองตรง สภาพของความขนานและแนวตั้งฉากของสองเส้นตรง การกำหนดจุดตัดของสองโดยตรง

1. สมการของการส่งผ่านโดยตรงผ่านจุดนี้ ก.(เอ็กซ์ 1 , y. 1) ในทิศทางนี้กำหนดโดยค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม เค.,

y. - y. 1 = เค.(เอ็กซ์ - เอ็กซ์ 1). (1)

สมการนี้กำหนดลำแสงของการส่งผ่านโดยตรงผ่านจุด ก.(เอ็กซ์ 1 , y. 1) ซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางของลำแสง

2. สมการของการส่งผ่านโดยตรงในสองจุด: ก.(เอ็กซ์ 1 , y. 1) I. B.(เอ็กซ์ 2 , y. 2) เขียนเช่นนี้:

สัมประสิทธิ์เชิงมุมของการส่งผ่านโดยตรงผ่านจุดสองจุดถูกกำหนดโดยสูตร

3. มุมระหว่างตรง ก. และ B. เรียกว่ามุมที่คุณต้องเปลี่ยนเป็นครั้งแรก ก. รอบจุดตัดของเหล่านี้โดยตรงกับการเคลื่อนไหวของตามเข็มนาฬิกาจนเกิดขึ้นพร้อมกับที่สองโดยตรง B.. หากสองเส้นตรงได้รับจากสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม

y. = เค. 1 เอ็กซ์ + B. 1 ,