อวกาศเป็นเรื่องบังเอิญ? ชุดของเหตุการณ์สุ่มสามารถคาดเดาได้แม้ว่าแต่ละเหตุการณ์จะไม่ใช่

ข้อได้เปรียบของเครื่องกำเนิดลูกเต๋าออนไลน์เหนือลูกเต๋าธรรมดานั้นชัดเจน - มันจะไม่หลงทาง! ลูกบาศก์เสมือนจริงจะรับมือกับการทำงานของมันได้ดีกว่าของจริงมาก - การจัดการผลลัพธ์จะถูกแยกออกโดยสิ้นเชิงและเราได้ แต่หวังว่าจะได้รับโอกาสจากพระองค์ ไฮโลออนไลน์เป็นความบันเทิงที่ยอดเยี่ยมในเวลาว่าง การสร้างผลลัพธ์ใช้เวลาสามวินาทีทำให้ความตื่นเต้นและความสนใจของผู้เล่นร้อนขึ้น ในการจำลองการทอยลูกเต๋าคุณเพียงแค่กดปุ่ม "1" บนแป้นพิมพ์ซึ่งจะช่วยให้คุณไม่เสียสมาธิตัวอย่างเช่นจากเกมกระดานที่น่าตื่นเต้น

จำนวนลูกเต๋า:

โปรดช่วยบริการได้ด้วยคลิกเดียว: บอกเพื่อนของคุณเกี่ยวกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า!

เมื่อเราได้ยินวลีเช่น "ลูกเต๋า" ความสัมพันธ์ของคาสิโนก็มาถึงทันทีที่พวกเขาไม่สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา เริ่มต้นด้วยการจำไว้เล็กน้อยว่าวัตถุนี้คืออะไร

ลูกเต๋าคือลูกบาศก์บนแต่ละหน้าซึ่งตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 จะแสดงด้วยจุดเมื่อเราโยนมันเรามักจะหวังว่าจำนวนที่เราวางแผนไว้และต้องการจะหลุดออกไป แต่มีหลายครั้งที่ลูกบาศก์ตกลงบนขอบไม่แสดงจำนวน นั่นหมายความว่าคนที่ขว้างนั้นสามารถเลือกใครก็ได้

นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นที่ลูกบาศก์สามารถม้วนอยู่ใต้เตียงหรือตู้เสื้อผ้าและเมื่อนำออกจากที่นั่นจำนวนก็จะเปลี่ยนไปตามนั้น ในกรณีนี้กระดูกจะถูกโยนลงไปอีกครั้งเพื่อให้ทุกคนสามารถมองเห็นจำนวนได้อย่างชัดเจน

ทอยลูกเต๋าออนไลน์ใน 1 คลิก

ในเกมที่มีลูกเต๋าธรรมดาจะโกงได้ง่ายมาก เพื่อให้ได้ตัวเลขที่ต้องการคุณต้องวางด้านนี้ของลูกบาศก์ไว้ด้านบนแล้วบิดเพื่อให้มันยังคงเหมือนเดิม (เฉพาะส่วนด้านข้างเท่านั้นที่หมุนได้) นี่ไม่ใช่การรับประกันที่สมบูรณ์ แต่เปอร์เซ็นต์การชนะจะเท่ากับเจ็ดสิบห้าเปอร์เซ็นต์

หากคุณใช้ลูกเต๋าสองลูกโอกาสจะลดลงเหลือสามสิบ แต่นี่ไม่ใช่เปอร์เซ็นต์เล็กน้อย เนื่องจากการฉ้อโกงแคมเปญของผู้เล่นจำนวนมากไม่ชอบใช้ลูกเต๋า

บริการที่ยอดเยี่ยมของเราทำงานอย่างแม่นยำเพื่อหลีกเลี่ยงสถานการณ์ดังกล่าว จะโกงกับเราไม่ได้เนื่องจากทอยลูกเต๋าออนไลน์ไม่สามารถปลอมแปลงได้ ตัวเลข 1 ถึง 6 จะปรากฏบนหน้าในลักษณะสุ่มและไม่สามารถควบคุมได้

เครื่องกำเนิดลูกเต๋าที่สะดวก

ข้อได้เปรียบที่ยิ่งใหญ่มากคือเครื่องสร้างลูกเต๋าออนไลน์ไม่สามารถสูญหายได้ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากสามารถบุ๊กมาร์กได้) และลูกเต๋าขนาดเล็กธรรมดาสามารถหายไปที่ไหนสักแห่งได้อย่างง่ายดาย นอกจากนี้ข้อดีอย่างมากก็คือความจริงที่ว่าการจัดการผลลัพธ์จะถูกแยกออกโดยสิ้นเชิง เครื่องกำเนิดไฟฟ้ามีฟังก์ชั่นที่ให้คุณเลือกลูกเต๋าหนึ่งถึงสามลูกเพื่อทอยในเวลาเดียวกัน

เครื่องกำเนิดลูกเต๋าออนไลน์เป็นความบันเทิงที่น่าสนใจวิธีหนึ่งในการพัฒนาสัญชาตญาณ ใช้บริการของเราและรับผลลัพธ์ที่รวดเร็วและเชื่อถือได้

รูปแบบที่พบมากที่สุดอยู่ในรูปของลูกบาศก์ซึ่งแต่ละด้านจะแสดงตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงหก ผู้เล่นที่ขว้างมันบนพื้นผิวเรียบจะเห็นผลลัพธ์ที่ขอบด้านบน กระดูกเป็นเครื่องช่วยหายใจที่แท้จริงสำหรับโอกาสโชคดีหรือโชคร้าย

สุ่ม
ก้อน (กระดูก) มีมานานแล้ว แต่มีลักษณะแบบดั้งเดิมโดยมีหกด้านประมาณ 2600 ปีก่อนคริสตกาล จ. ชาวกรีกโบราณชอบเล่นลูกเต๋าและในตำนานของพวกเขาฮีโร่ Palamed ซึ่งถูกกล่าวหาอย่างไม่เป็นธรรมว่าเป็นกบฏโดย Odysseus เรียกว่านักประดิษฐ์ของพวกเขา ตามตำนานเขาคิดค้นเกมนี้เพื่อสร้างความบันเทิงให้กับทหารที่ปิดล้อมเมืองทรอยซึ่งถูกจับโดยม้าไม้ตัวใหญ่ ชาวโรมันในช่วงเวลาของจูเลียสซีซาร์ยังสนุกสนานกับเกมลูกเต๋าที่หลากหลาย ในภาษาละตินคิวบ์เรียกว่า datum ซึ่งแปลว่า "กำหนด"

ข้อห้าม
ในยุคกลางประมาณศตวรรษที่ 12 เกมลูกเต๋าได้รับความนิยมอย่างมากในยุโรป: ลูกบาศก์ที่คุณสามารถนำติดตัวไปได้ทุกที่เป็นที่นิยมทั้งในหมู่นักรบและชาวนา ว่ากันว่ามีเกมมากกว่าหกร้อยเกม! การผลิตลูกเต๋ากลายเป็นอาชีพที่แยกจากกัน พระเจ้าหลุยส์ที่ 9 (ค.ศ. 1214-1270) กลับจากสงครามครูเสดไม่เห็นชอบการพนันและสั่งห้ามผลิตลูกเต๋าทั่วราชอาณาจักร มากกว่าตัวเกมเจ้าหน้าที่ไม่พอใจกับการจลาจลที่เกี่ยวข้อง - จากนั้นพวกเขาเล่นในร้านเหล้าและปาร์ตี้ส่วนใหญ่มักจบลงด้วยการต่อสู้และการแทง แต่ไม่มีข้อห้ามใดที่ป้องกันไม่ให้ลูกเต๋ามีเวลาอยู่รอดและมีชีวิตอยู่จนถึงทุกวันนี้

กระดูกกับ "ข้อหา"!
ผลของการม้วนตายเป็นแบบสุ่มเสมอ แต่คนขี้โกงบางคนพยายามเปลี่ยนสิ่งนั้น การเจาะรูในลูกบาศก์และเทตะกั่วหรือปรอทลงไปคุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกันทุกครั้งที่โยน ลูกบาศก์ดังกล่าวเรียกว่า "ประจุ" ทำจากวัสดุที่แตกต่างกันไม่ว่าจะเป็นทองหินคริสตัลกระดูกลูกเต๋าอาจมีรูปร่างที่แตกต่างกัน ลูกเต๋าขนาดเล็กรูปปิรามิด (จัตุรมุข) ถูกพบในสุสานของฟาโรห์อียิปต์ที่สร้างปิรามิดขนาดใหญ่! ในช่วงเวลาต่างๆกระดูกถูกสร้างขึ้นด้วย 8, 10, 12, 20 และแม้แต่ 100 ด้าน โดยปกติจะใช้ตัวเลขกับตัวเลข แต่ตัวอักษรหรือรูปภาพอาจปรากฏในตำแหน่งของมันทำให้มีที่ว่างสำหรับจินตนาการ

วิธีทอยลูกเต๋า
ลูกเต๋าไม่เพียง แต่มีรูปร่างที่แตกต่างกัน แต่ยังมีวิธีการเล่นที่แตกต่างกันอีกด้วย เกมบางเกมจำเป็นต้องหมุนด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งโดยปกติเพื่อหลีกเลี่ยงการหมุนที่คำนวณแล้วหรือเพื่อป้องกันไม่ให้การตายหยุดอยู่ในตำแหน่งที่เอียง บางครั้งจะมีการติดกระจกพิเศษไว้เพื่อหลีกเลี่ยงการถูกโกงหรือล้มโต๊ะเล่น ในเกมเครปภาษาอังกฤษลูกเต๋าทั้งสามลูกจะต้องตีเข้าที่โต๊ะเกมหรือกำแพงเพื่อป้องกันไม่ให้คนขี้โกงแกล้งโยนโดยเพียงแค่ขยับลูกเต๋า แต่ไม่หมุน

การสุ่มและความน่าจะเป็น
การตายมักให้ผลลัพธ์แบบสุ่มที่ไม่สามารถคาดเดาได้ ด้วยการตายหนึ่งครั้งผู้เล่นมีโอกาสที่จะหมุน 1 ได้มากเท่าที่เขามี 6 - ทุกอย่างถูกกำหนดโดยบังเอิญ ในทางตรงกันข้ามเมื่อมีลูกเต๋าสองลูกระดับของการสุ่มจะลดลงเนื่องจากผู้เล่นมีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลลัพธ์เช่นลูกเต๋าสองลูกหมายเลข 7 สามารถรับได้หลายวิธี - โดยการหมุน 1 และ 6, 5 และ 2 หรือ 4 และ 3 ... แต่โอกาสที่จะได้รับหมายเลข 2 มีเพียง หนึ่ง: กลิ้งสองครั้ง 1. ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ 7 นั้นสูงกว่าการได้ 2! สิ่งนี้เรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็น หลายเกมเกี่ยวข้องกับหลักการนี้โดยเฉพาะเกมเงินสด

เกี่ยวกับการใช้ลูกเต๋า
ลูกเต๋าสามารถเป็นเกมอิสระโดยไม่มีองค์ประกอบอื่น ๆ สิ่งเดียวที่ไม่มีอยู่จริงคือเกมสำหรับลูกบาศก์เดียว กฎต้องมีอย่างน้อยสองข้อ (เช่นเครป) ในการเล่นลูกเต๋าคุณต้องมีลูกเต๋าห้าลูกปากกาและกระดาษ เป้าหมายคือการเติมชุดค่าผสมที่คล้ายกับการรวมกันของเกมไพ่ที่มีชื่อเดียวกันโดยการจดแต้มลงในตารางพิเศษ นอกจากนี้คิวบ์ยังเป็นส่วนที่ได้รับความนิยมอย่างมากสำหรับเกมกระดานทำให้คุณสามารถย้ายชิปหรือตัดสินผลการต่อสู้ในเกมได้

Die ถูกโยน
ใน 49 ปีก่อนคริสตกาล จ. จูเลียสซีซาร์ในวัยเยาว์พิชิตกอลและกลับไปปอมเปอี แต่อำนาจของเขาทำให้เกิดความกังวลในหมู่วุฒิสมาชิกซึ่งตัดสินใจปลดกองทัพของเขาก่อนที่เขาจะกลับมา จักรพรรดิในอนาคตเมื่อมาถึงพรมแดนของสาธารณรัฐตัดสินใจที่จะละเมิดคำสั่งโดยการข้ามไปพร้อมกับกองทัพ ก่อนข้าม Rubicon (แม่น้ำที่เป็นพรมแดน) เขาออกเสียงว่า“ Alea jacta est” (“ ล็อตถูกเหวี่ยง”) ต่อหน้ากองทหารของเขา คำสั่งนี้ได้กลายเป็นวลีที่ติดปากซึ่งความหมายก็คือเช่นเดียวกับในเกมหลังจากที่มีการตัดสินใจบางอย่างแล้วจะไม่สามารถถอยกลับได้อีกต่อไป

เขียนโดยนักออกแบบ Tyler Sigman บน Gamasutra ฉันชอบเรียกมันว่าบทความ "ขนในรูจมูกของออร์ค" แต่มันก็ทำได้ดีในการวางพื้นฐานของความน่าจะเป็นในเกม

หัวข้อของสัปดาห์นี้

จนถึงวันนี้เกือบทุกสิ่งที่เราพูดถึงได้รับการกำหนดไว้แล้วและเมื่อสัปดาห์ที่แล้วเราได้พิจารณากลไกเชิงสกรรมกริยาอย่างใกล้ชิดและแยกแยะออกเป็นรายละเอียดมากที่สุดเท่าที่จะอธิบายได้ แต่จนถึงตอนนี้เรายังไม่ได้ให้ความสนใจกับแง่มุมที่ยิ่งใหญ่ของเกมจำนวนมากนั่นคือแง่มุมที่ไม่ได้กำหนดหรืออีกนัยหนึ่งคือการสุ่ม การทำความเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มเป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักออกแบบเกมเนื่องจากเราสร้างระบบที่ส่งผลต่อประสบการณ์ของผู้เล่นในเกมหนึ่ง ๆ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องรู้ว่าระบบเหล่านี้ทำงานอย่างไร หากมีการสุ่มในระบบคุณต้องเข้าใจ ธรรมชาติการสุ่มนี้และวิธีเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ

ลูกเต๋า

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ: ทอยลูกเต๋า เมื่อคนส่วนใหญ่นึกถึงลูกเต๋าพวกเขาจะนึกถึงแม่พิมพ์ 6 ด้านที่เรียกว่า d6 แต่นักเล่นเกมส่วนใหญ่เคยเห็นลูกเต๋าอื่น ๆ มากมาย: tetrahedral (d4), octahedral (d8), สิบสอง (d12), ยี่สิบ (d20) ... และถ้าคุณ ปัจจุบันเกินบรรยายคุณอาจมีกระดูก 30 ด้านหรือ 100 ด้าน หากคุณไม่คุ้นเคยกับคำศัพท์นี้“ d” ย่อมาจากคำว่าตายและตัวเลขตามหลังมีกี่หน้า ถ้าก ด้านหน้า“ D” ย่อมาจากตัวเลขแล้วหมายความว่า ปริมาณ ลูกเต๋าเมื่อโยน ตัวอย่างเช่นใน Monopoly คุณม้วน 2d6

ดังนั้นในกรณีนี้วลี "ลูกเต๋า" จึงเป็นการกำหนดแบบธรรมดา มีเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มอื่น ๆ อีกมากมายที่ไม่ได้อยู่ในรูปร่างของก้อนพลาสติก แต่ทำหน้าที่เดียวกันในการสร้างตัวเลขสุ่มจาก 1 ถึง n เหรียญธรรมดาสามารถคิดเป็น d2 dihedral ได้ ฉันเห็นการออกแบบของลูกเต๋าเจ็ดด้านสองแบบ: หนึ่งในนั้นดูเหมือนลูกเต๋าและอีกอันดูเหมือนดินสอไม้เจ็ดด้านมากกว่า tetrahedral dreidel (หรือที่เรียกว่า titotum) นั้นคล้ายคลึงกับกระดูกเตตระฮีดอล สนามแข่งขันที่มีลูกศรหมุนในเกม“ Chutes & Ladders” ซึ่งผลลัพธ์อาจเป็น 1 ถึง 6 จะสอดคล้องกับลูกเต๋าหกเหลี่ยม เครื่องสร้างตัวเลขสุ่มในคอมพิวเตอร์สามารถสร้างตัวเลขใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 19 หากผู้ออกแบบถามคำสั่งดังกล่าวแม้ว่าจะไม่มีลูกเต๋า 19 ด้านในคอมพิวเตอร์ (โดยทั่วไปฉันจะพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่จะได้รับตัวเลขบนคอมพิวเตอร์ที่ ต่อไปสัปดาห์). แม้ว่ารายการเหล่านี้จะดูแตกต่างกัน แต่ก็เหมือนกันจริง ๆ : คุณมีโอกาสเท่ากันที่จะได้รับหนึ่งในหลาย ๆ ผลลัพธ์

ลูกเต๋ามีคุณสมบัติที่น่าสนใจที่เราต้องรู้ ประการแรกความน่าจะเป็นของใบหน้าใด ๆ ที่หลุดออกมาจะเหมือนกัน (ฉันสมมติว่าคุณกำลังหมุนแม่พิมพ์ที่ถูกต้องไม่ใช่รูปทรงเรขาคณิตที่ผิดปกติ) ดังนั้นหากคุณต้องการทราบ ค่าเฉลี่ย โยน (หรือที่รู้จักกันในหมู่ผู้ที่ชื่นชอบหัวข้อความน่าจะเป็นว่า "คาดว่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์") รวมค่าของขอบทั้งหมดแล้วหารผลรวมนี้ ปริมาณใบหน้า ม้วนเฉลี่ยสำหรับแม่พิมพ์หกด้านมาตรฐานคือ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \u003d 21 หารด้วยจำนวนขอบ (6) เพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ย 21/6 \u003d 3.5 นี่เป็นกรณีพิเศษเนื่องจากเราคิดว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่ากัน

ถ้าคุณมีลูกเต๋าพิเศษล่ะ? ตัวอย่างเช่นฉันเห็นเกมที่มีลูกเต๋าหกเหลี่ยมที่มีสติกเกอร์พิเศษที่ขอบ: 1, 1, 1, 2, 2, 3 ดังนั้นมันจึงมีพฤติกรรมเหมือนลูกเต๋าสามเหลี่ยมแปลก ๆ ซึ่งมีโอกาสที่จะได้หมายเลข 1 มากกว่า 2 และ 2 มากกว่า 3 ค่าม้วนเฉลี่ยของแม่พิมพ์นี้คือเท่าไร? ดังนั้น 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 \u003d 10 หารด้วย 6 เท่ากับ 5/3 หรือประมาณ 1.66 ดังนั้นหากคุณมีท่าไม้ตายพิเศษเช่นนี้และผู้เล่นจะทอยลูกเต๋าสามลูกจากนั้นเพิ่มผลลัพธ์คุณจะรู้ว่ายอดรวมโดยประมาณของพวกเขาจะอยู่ที่ประมาณ 5 และคุณสามารถปรับสมดุลของเกมตามสมมติฐานนี้

ลูกเต๋าและความเป็นอิสระ

ดังที่ได้กล่าวไปแล้วเราดำเนินการต่อจากสมมติฐานที่ว่าใบหน้าแต่ละส่วนมีแนวโน้มที่จะหลุดออกไปเท่า ๆ กัน ไม่สำคัญว่าคุณจะทอยลูกเต๋ากี่ลูก ทุกทอยลูกเต๋า อะไรก็ได้ซึ่งหมายความว่าการโยนครั้งก่อนไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการขว้างครั้งต่อไป ด้วยการทดลองที่เพียงพอคุณต้อง แจ้งให้ทราบล่วงหน้า "ชุด" ของตัวเลขเช่นค่าที่ใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าเป็นส่วนใหญ่หรือคุณลักษณะอื่น ๆ แล้วเราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง แต่ไม่ได้หมายความว่าลูกเต๋าเป็น "ร้อน" หรือ "เย็น" หากคุณหมุนแม่พิมพ์หกด้านมาตรฐานและหมายเลข 6 เกิดขึ้นสองครั้งติดต่อกันความน่าจะเป็นที่การหมุนครั้งต่อไปจะทำให้เกิด 6 ก็เท่ากับ 1/6 เช่นกัน ความน่าจะเป็นไม่ได้เพิ่มขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าคิวบ์ "อุ่นเครื่อง" ความน่าจะเป็นไม่ได้ลดลงเพราะเลข 6 หลุดออกไปสองครั้งติดต่อกันซึ่งหมายความว่าตอนนี้อีกหน้าจะหลุดออกไป (แน่นอนว่าถ้าคุณทอยลูกเต๋ายี่สิบครั้งและทุกครั้งที่เลข 6 ขึ้นมาโอกาสที่ยี่สิบเอ็ดครั้งจะได้หมายเลข 6 นั้นค่อนข้างสูง ... เพราะนั่นอาจหมายความว่าคุณมีลูกเต๋าผิด!) แต่ถ้าคุณมีถูก ตายความน่าจะเป็นที่จะได้แต่ละใบหน้านั้นเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของม้วนอื่น ๆ นอกจากนี้คุณยังสามารถจินตนาการได้ว่าทุกครั้งที่เราเปลี่ยนแม่พิมพ์ดังนั้นหากหมายเลข 6 เกิดขึ้นสองครั้งติดต่อกันให้ถอดแม่พิมพ์ที่ "ร้อน" ออกจากเกมและแทนที่ด้วยแม่พิมพ์หกด้านใหม่ ขออภัยหากมีผู้ใดทราบเกี่ยวกับเรื่องนี้แล้ว แต่ต้องชี้แจงก่อนดำเนินการต่อ

วิธีทำให้ลูกเต๋าตกแบบสุ่มมากขึ้นหรือน้อยลง

มาพูดถึงวิธีการได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันในลูกเต๋าที่แตกต่างกัน หากคุณทอยลูกเต๋าเพียงครั้งเดียวหรือหลาย ๆ ครั้งเกมจะสุ่มขึ้นหากลูกเต๋ามีขอบมากขึ้น ยิ่งคุณทอยลูกเต๋ามากขึ้นหรือทอยลูกเต๋ามากเท่าไหร่ผลลัพธ์ก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่นหากคุณทอย 1d6 + 4 (นั่นคือลูกเต๋าฐานสิบหกหนึ่งครั้งและเพิ่ม 4 ในผลลัพธ์) ค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 ถึง 10 หากคุณหมุน 5d2 ค่าเฉลี่ยจะอยู่ระหว่าง 5 ถึง 10 ด้วย แต่เมื่อทอยลูกเต๋า 6 ด้านความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลข 5, 8 หรือ 10 จะเท่ากัน ผลลัพธ์ของการขว้าง 5d2 ส่วนใหญ่จะเป็นตัวเลข 7 และ 8 ซึ่งมักจะน้อยกว่าค่าอื่น ๆ อนุกรมเดียวกันแม้ค่าเฉลี่ยเท่ากัน (7.5 ในทั้งสองกรณี) แต่ลักษณะของการสุ่มต่างกัน

เดี๋ยวก่อน. ฉันไม่ได้บอกว่าลูกเต๋าไม่ร้อนหรือเย็น? ตอนนี้ฉันกำลังบอกว่าถ้าคุณทอยลูกเต๋ามาก ๆ ทอยจะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยหรือไม่? ทำไม?

ให้ฉันอธิบาย ถ้าคุณโยน หนึ่งลูกเต๋าความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากแต่ละหน้าจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณทอยลูกเต๋าหลาย ๆ หน้าแต่ละหน้าจะหลุดออกในจำนวนครั้งเท่ากันโดยประมาณในช่วงเวลาหนึ่ง ยิ่งคุณทอยลูกเต๋ามากเท่าไหร่ผลการสะสมก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น นี่ไม่ใช่เพราะหมายเลขที่หลุดออกมา "ทำให้" เป็นหมายเลขอื่นซึ่งยังไม่หลุดออก แต่เนื่องจากชุดเล็ก ๆ 6 (หรือ 20 หรือตัวเลขอื่น ๆ ) จะไม่สำคัญมากในท้ายที่สุดหากคุณทอยลูกเต๋าอีกหมื่นครั้งและค่าเฉลี่ยส่วนใหญ่จะหลุดออกไป ... บางทีตอนนี้คุณอาจมีตัวเลขไม่กี่ตัว มูลค่าสูง แต่ในภายหลังอาจมีตัวเลขบางตัวที่มีมูลค่าต่ำและเมื่อเวลาผ่านไปพวกเขาจะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ย ไม่ใช่เพราะการทอยลูกเต๋าก่อนหน้านี้มีผลต่อลูกเต๋า (อย่างจริงจังลูกเต๋าทำจาก พลาสติกเธอไม่มีสมองที่จะคิด:“ โอ้ไม่ได้หมุนมานานแล้ว”) แต่เพราะนี่คือสิ่งที่มักเกิดขึ้นกับการทอยลูกเต๋าจำนวนมาก ตัวเลขการทำซ้ำชุดเล็ก ๆ แทบจะมองไม่เห็นในผลลัพธ์จำนวนมาก

ดังนั้นการคำนวณสำหรับการม้วนแบบสุ่มหนึ่งม้วนจึงค่อนข้างตรงไปตรงมาอย่างน้อยที่สุดเท่าที่การคำนวณค่าม้วนเฉลี่ยนั้นเกี่ยวข้อง นอกจากนี้ยังมีวิธีคำนวณบางสิ่งที่“ สุ่มอย่างไร” วิธีที่บอกว่าผลลัพธ์ของการหมุน 1d6 + 4 จะ“ สุ่มมากกว่า” 5d2 สำหรับ 5d2 การกระจายของผลลัพธ์จะยิ่งเท่ากันโดยปกติแล้วคุณจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและยิ่ง ค่าก็จะยิ่งสุ่มได้ผลลัพธ์มากขึ้น แต่ต้องใช้การคำนวณมากกว่าที่ฉันต้องการจะให้ในวันนี้ (ฉันจะอธิบายหัวข้อนี้ในภายหลัง) สิ่งเดียวที่ฉันขอให้คุณรู้ก็คือตามกฎทั่วไปยิ่งทอยลูกเต๋าน้อยเท่าไหร่การสุ่มก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น และอีกหนึ่งส่วนเพิ่มเติมในหัวข้อนี้: ยิ่งลูกเต๋ามีขอบมากเท่าไหร่ก็ยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้นเนื่องจากคุณมีตัวเลือกมากขึ้น

วิธีคำนวณความน่าจะเป็นโดยการนับ

คุณอาจสงสัยว่า: เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนที่จะได้ผลลัพธ์ที่แน่นอนได้อย่างไร? นี่เป็นสิ่งที่สำคัญมากสำหรับเกมหลาย ๆ เกมเพราะหากคุณทอยลูกเต๋ามีแนวโน้มว่าจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดในตอนแรก คำตอบคือเราต้องนับสองค่า ขั้นแรกให้นับจำนวนผลลัพธ์สูงสุดในการทอยลูกเต๋า (ไม่ว่าผลลัพธ์จะเป็นอย่างไร) จากนั้นนับจำนวนผลลัพธ์ที่ดี การหารค่าที่สองด้วยค่าแรกคุณจะได้รับความน่าจะเป็นที่คุณต้องการ หากต้องการรับเปอร์เซ็นต์ให้คูณผลลัพธ์ของคุณด้วย 100

ตัวอย่าง:

นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ คุณต้องการ 4 หรือสูงกว่าในการหมุนและทอยลูกเต๋าหกเหลี่ยมหนึ่งครั้ง จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) ในจำนวนนี้ 3 ผลลัพธ์ (4, 5, 6) เป็นผลดี ดังนั้นในการคำนวณความน่าจะเป็นให้หาร 3 ด้วย 6 และได้ 0.5 หรือ 50%

นี่คือตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย คุณต้องการรับเลขคู่ในม้วน 2d6 จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 36 (6 สำหรับการตายแต่ละครั้งและเนื่องจากการตายหนึ่งครั้งไม่ส่งผลต่ออีกครั้งเราจึงคูณ 6 ผลลัพธ์ด้วย 6 เพื่อให้ได้ 36) ความยากของคำถามประเภทนี้คือง่ายต่อการนับสองครั้ง ตัวอย่างเช่นมีสองตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ของ 3 ในม้วน 2d6: 1 + 2 และ 2 + 1 มีลักษณะเหมือนกัน แต่ความแตกต่างคือหมายเลขใดที่แสดงบนแม่พิมพ์ตัวแรกและหมายเลขที่สอง คุณยังสามารถจินตนาการได้ว่าลูกเต๋ามีสีที่แตกต่างกันเช่นในกรณีนี้ลูกเต๋าหนึ่งลูกเป็นสีแดงและอีกลูกเป็นสีน้ำเงิน จากนั้นนับจำนวนตัวเลือกสำหรับเลขคู่: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6) ปรากฎว่ามี 18 ตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ที่ดีจาก 36 เช่นในกรณีก่อนหน้านี้ความน่าจะเป็นจะเป็น 0.5 หรือ 50% อาจคาดไม่ถึง แต่ก็ค่อนข้างแม่นยำ

การจำลองมอนติคาร์โล

จะเป็นอย่างไรถ้าคุณมีลูกเต๋ามากเกินไปที่จะนับ? ตัวอย่างเช่นคุณต้องการทราบความน่าจะเป็นที่จำนวนทั้งหมด 15 หรือมากกว่าจะถูกรีดในม้วน 8d6 สำหรับลูกเต๋าแปดลูกมีผลลัพธ์ที่แตกต่างกันมากมายและการนับด้วยตนเองจะใช้เวลานานมาก แม้ว่าเราจะพบทางออกที่ดีในการจัดกลุ่มทอยลูกเต๋าที่แตกต่างกัน แต่ก็ยังต้องใช้เวลานานมากในการนับ ในกรณีนี้วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณความน่าจะเป็นไม่ใช่การนับด้วยตนเอง แต่ให้ใช้คอมพิวเตอร์ มีสองวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นบนคอมพิวเตอร์

วิธีแรกสามารถใช้เพื่อให้ได้คำตอบที่แน่นอน แต่เกี่ยวข้องกับการเขียนโปรแกรมหรือสคริปต์เล็กน้อย โดยทั่วไปคอมพิวเตอร์จะดูแต่ละโอกาสประเมินและนับจำนวนการทำซ้ำทั้งหมดและจำนวนการทำซ้ำที่ตรงกับผลลัพธ์ที่ต้องการจากนั้นให้คำตอบ รหัสของคุณอาจมีลักษณะดังนี้:

int wincount \u003d 0, totalcount \u003d 0;

สำหรับ (int i \u003d 1; i<=6; i++) {

สำหรับ (int j \u003d 1; j<=6; j++) {

สำหรับ (int k \u003d 1; k<=6; k++) {

… // แทรกลูปเพิ่มเติมที่นี่

ถ้า (i + j + k + …\u003e \u003d 15) (

ความน่าจะเป็นลอย \u003d wincount / totalcount;

หากคุณไม่คุ้นเคยกับการเขียนโปรแกรมและคุณต้องการเพียงแค่คำตอบที่ไม่ชัดเจน แต่โดยประมาณคุณสามารถจำลองสถานการณ์นี้ใน Excel โดยที่คุณโยน 8d6 หลายพันครั้งและรับคำตอบ ในการส่ง 1d6 ใน Excel ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

พื้น (RAND () * 6) +1

มีชื่อสำหรับสถานการณ์ที่คุณไม่รู้คำตอบและลองหลาย ๆ ครั้ง - การจำลองมอนติคาร์โลและนี่เป็นทางออกที่ดีที่จะใช้เมื่อคุณพยายามคำนวณความน่าจะเป็นและมันยากเกินไป สิ่งที่ดีก็คือในกรณีนี้เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไรและเรารู้ว่าคำตอบนั้น“ ค่อนข้างดี” เพราะอย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่ายิ่งจำนวนการโยนมากเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น

วิธีรวมการทดสอบอิสระ

หากคุณถามเกี่ยวกับความท้าทายที่ซ้ำซาก แต่เป็นอิสระผลลัพธ์ของหนึ่งม้วนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของอีกม้วน มีอีกหนึ่งคำอธิบายที่ง่ายกว่าสำหรับสถานการณ์นี้

จะแยกแยะระหว่างสิ่งที่ขึ้นอยู่กับอิสระได้อย่างไร? โดยพื้นฐานแล้วหากคุณสามารถแยกแยะการทอยลูกเต๋าแต่ละครั้ง (หรือชุดของม้วน) เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันแสดงว่าเป็นอิสระ ตัวอย่างเช่นหากเราต้องการให้ทอยลูกเต๋าทั้งหมด 15 ลูกใน 8d6 กรณีนี้ไม่สามารถแบ่งเป็นลูกเต๋าอิสระหลาย ๆ ทอยได้ เนื่องจากคุณจะนับผลรวมของมูลค่าของลูกเต๋าทั้งหมดผลลัพธ์ที่ตกลงบนลูกเต๋าหนึ่งลูกจะส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ควรจะตกบนลูกเต๋าอีกลูกเพราะคุณจะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการเท่านั้น

นี่คือตัวอย่างของการโยนแบบอิสระ: คุณกำลังเล่นกับลูกเต๋าและคุณกำลังทอยลูกเต๋าหกเหลี่ยมหลายครั้ง เพื่อให้อยู่ในเกมม้วนแรกของคุณต้องมี 2 ขึ้นไป สำหรับม้วนที่สอง 3 หรือสูงกว่า ครั้งที่สามต้องการ 4 หรือสูงกว่าครั้งที่สี่ต้องการ 5 ขึ้นไปและครั้งที่ห้าต้องการ 6 หากทั้งห้าม้วนสำเร็จคุณจะชนะ ในกรณีนี้ม้วนทั้งหมดเป็นอิสระ ใช่หากการโยนหนึ่งครั้งไม่สำเร็จจะมีผลต่อผลลัพธ์ของเกมทั้งหมด แต่การโยนหนึ่งครั้งจะไม่มีผลต่อการโยนอีกครั้ง ตัวอย่างเช่นหากทอยลูกเต๋าครั้งที่สองของคุณประสบความสำเร็จอย่างมากการทำเช่นนี้จะไม่ส่งผลต่อโอกาสที่การทอยครั้งต่อไปจะประสบความสำเร็จ ดังนั้นเราสามารถพิจารณาความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าแต่ละครั้งแยกกัน

หากคุณมีความน่าจะเป็นที่แยกจากกันและต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นคืออะไร ทุกอย่าง เหตุการณ์จะมาคุณกำหนดความน่าจะเป็นของแต่ละคนแล้วคูณมัน อีกวิธีหนึ่ง: หากคุณใช้การรวม“ และ” เพื่ออธิบายเงื่อนไขต่างๆ (ตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มที่เกิดขึ้นคืออะไร และ เหตุการณ์สุ่มอิสระอื่น ๆ ?) นับความน่าจะเป็นของแต่ละบุคคลและคูณพวกเขา

ไม่สำคัญว่าคุณจะคิดอย่างไร ไม่เคยอย่าเพิ่มความน่าจะเป็นอิสระ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไป หากต้องการทำความเข้าใจว่าเหตุใดจึงผิดลองนึกภาพสถานการณ์ที่คุณพลิกเหรียญ 50/50 คุณต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่ 2 ครั้งติดกันคืออะไร ความน่าจะเป็นของการกดปุ่มแต่ละด้านคือ 50% ดังนั้นหากคุณเพิ่มความน่าจะเป็นทั้งสองนี้คุณมีโอกาส 100% ที่จะตีหัว แต่เรารู้ว่านี่ไม่เป็นความจริงเพราะมันอาจทำให้ได้หัวสองครั้ง หากคุณคูณความน่าจะเป็นทั้งสองนี้แทนคุณจะได้ 50% * 50% \u003d 25% ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นของการตีหัวสองครั้งติดต่อกัน

ตัวอย่าง

กลับไปที่เกมด้วยลูกเต๋าหกด้านโดยคุณต้องได้ตัวเลขที่สูงกว่า 2 ก่อนจากนั้นสูงกว่า 3 เป็นต้น มากถึง 6 มีโอกาสใดบ้างที่ในซีรีส์ 5 ครั้งที่มีการโยนผลลัพธ์ทั้งหมดจะเป็นที่ชื่นชอบ?

ตามที่ระบุไว้ข้างต้นนี่คือการทดสอบอิสระดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละม้วนแล้วคูณด้วย ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของม้วนแรกจะดีคือ 5/6 ที่สองคือ 4/6 ที่สามคือ 3/6 ที่สี่ - 2/6, ห้า - 1/6 เราคูณผลลัพธ์ทั้งหมดนี้และเราได้รับประมาณ 1.5% ... ดังนั้นการชนะในเกมนี้จึงค่อนข้างหายากดังนั้นหากคุณเพิ่มองค์ประกอบนี้ในเกมของคุณคุณจะต้องมีแจ็คพอตที่ค่อนข้างใหญ่

การปฏิเสธ

นี่คือเคล็ดลับที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง: บางครั้งการคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นเป็นเรื่องยาก แต่ง่ายกว่าที่จะระบุว่าโอกาสที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นจะเป็นอย่างไร จะไม่มา.

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเรามีเกมอื่นและคุณหมุน 6d6 และถ้า อย่างน้อยหนึ่งครั้ง 6 ถูกรีดคุณชนะ ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

ในกรณีนี้มีตัวเลือกมากมายในการคำนวณ มีความเป็นไปได้ที่หมายเลข 6 จะหลุดออกไปเช่น ในหนึ่งในลูกเต๋าหมายเลข 6 จะถูกทอยและหมายเลขอื่น ๆ จาก 1 ถึง 5 และมี 6 ตัวเลือกซึ่งลูกเต๋าจะเป็นหมายเลข 6 จากนั้นคุณอาจได้หมายเลข 6 จากลูกเต๋าสองลูกหรือสามหรือบน มากยิ่งขึ้นและทุกครั้งที่เราต้องทำการนับแยกกันจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะสับสนเกี่ยวกับเรื่องนี้

แต่มีอีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหานี้มาดูจากอีกด้านหนึ่ง คุณ แพ้ถ้าก ไม่มี หมายเลข 6 จะไม่หลุดออกจากลูกเต๋าในกรณีนี้เรามีการทดลองอิสระหกครั้งความน่าจะเป็นของแต่ละครั้งคือ 5/6 (หมายเลขอื่น ๆ ยกเว้น 6 อาจปรากฏบนลูกเต๋า) คูณมันแล้วคุณจะได้รับประมาณ 33% ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือ 1 ใน 3

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% (หรือ 2 ถึง 3)

เห็นได้ชัดจากตัวอย่างนี้ว่า หากคุณพิจารณาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นคุณจะต้องลบผลลัพธ์ออกจาก 100% หากความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% ความน่าจะเป็น ที่จะสูญเสีย — 100% ลบ 67% หรือ 33% และในทางกลับกัน. หากยากที่จะคำนวณความน่าจะเป็นหนึ่ง แต่คำนวณสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ง่ายให้คำนวณตรงกันข้ามจากนั้นลบออกจาก 100%

การรวมเงื่อนไขสำหรับการทดสอบอิสระหนึ่งรายการ

ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นแล้วว่าคุณไม่ควรสรุปความน่าจะเป็นในการทดลองอิสระ มีกรณีใดบ้างที่ สามารถรวมความน่าจะเป็น? - ใช่ในสถานการณ์พิเศษอย่างหนึ่ง

หากคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ดีที่ไม่เกี่ยวข้องหลาย ๆ อย่างในการทดลองเดียวกันให้เพิ่มความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ดีแต่ละรายการ ตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลข 4, 5 หรือ 6 ใน 1d6 คือ ผลรวม ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 4 ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5 และความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 6 คุณยังสามารถจินตนาการถึงสถานการณ์นี้ได้ดังนี้ถ้าคุณใช้การรวม“ หรือ” ในคำถามของความน่าจะเป็น (ตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นที่ หรือ ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันของเหตุการณ์สุ่มหนึ่งเหตุการณ์) คำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละบุคคลและสรุปออกมา

โปรดทราบว่าเมื่อคุณเพิ่ม ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เกมผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดต้องเท่ากับ 100% หากจำนวนเงินไม่ใช่ 100% แสดงว่าการคำนวณของคุณผิด นี่เป็นวิธีที่ดีในการตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง ตัวอย่างเช่นหากคุณวิเคราะห์ความน่าจะเป็นในการจับมือทั้งหมดในโป๊กเกอร์หากคุณรวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่คุณได้รับคุณควรจะได้รับ 100% (หรืออย่างน้อยก็มีค่าใกล้เคียง 100% หากคุณใช้เครื่องคิดเลขคุณอาจมีข้อผิดพลาดในการปัดเศษเล็กน้อย แต่ถ้าคุณเพิ่มตัวเลขที่แน่นอนด้วยตัวเองก็น่าจะได้ผล) หากผลรวมไม่รวมกันแสดงว่าคุณไม่ได้คำนึงถึงชุดค่าผสมบางอย่างหรือคำนวณความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมบางชุดไม่ถูกต้องจากนั้นคุณต้องตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง

ความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน

จนถึงตอนนี้เราได้สันนิษฐานว่าแต่ละหน้าของลูกเต๋าตกลงมาที่ความถี่เดียวกันเพราะนี่คือวิธีการทำงานของลูกเต๋า แต่บางครั้งคุณต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่ผลลัพธ์ต่างออกไป ต่างๆ โอกาสที่จะหลุดออกไป ตัวอย่างเช่นในหนึ่งในส่วนเสริมของการ์ดเกม "สงครามนิวเคลียร์" มีสนามแข่งขันที่มีลูกศรซึ่งผลของการยิงจรวดขึ้นอยู่กับ: โดยพื้นฐานแล้วจะสร้างความเสียหายตามปกติแข็งแกร่งหรืออ่อนแอกว่า แต่บางครั้งความเสียหายจะเพิ่มขึ้นสองหรือสามเท่าหรือ จรวดระเบิดที่แท่นยิงและทำร้ายคุณหรือมีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น ไม่เหมือนกับสนามเด็กเล่นที่มีลูกศรใน "Chutes & Ladders" หรือ "A Game of Life" ผลของสนามแข่งขันใน "สงครามนิวเคลียร์" จะไม่สม่ำเสมอ บางส่วนของสนามแข่งขันมีขนาดใหญ่กว่าและลูกศรจะหยุดที่สนามบ่อยกว่าในขณะที่ส่วนอื่น ๆ มีขนาดเล็กมากและแทบจะไม่หยุดลูกศรเลย

ดังนั้นเมื่อมองแวบแรกกระดูกจะมีลักษณะดังนี้: 1, 1, 1, 2, 2, 3; เราได้พูดถึงมันไปแล้วมันก็เหมือนกับ 1d3 ที่ถ่วงน้ำหนักดังนั้นเราจำเป็นต้องแบ่งส่วนเหล่านี้ทั้งหมดออกเป็นส่วนเท่า ๆ กันค้นหาหน่วยวัดที่เล็กที่สุดซึ่งเป็นผลคูณของทุกสิ่งจากนั้นแสดงสถานการณ์ในรูปแบบของ d522 (หรืออื่น ๆ ) โดยที่ลูกเต๋าหลายหน้าจะแสดงถึงสถานการณ์เดียวกัน แต่มีผลลัพธ์มากกว่า และนี่เป็นวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาและเป็นไปได้ในทางเทคนิค แต่มีวิธีที่ง่ายกว่า

กลับไปที่ลูกเต๋าฐานสิบหกมาตรฐานของเรา เรากล่าวว่าในการคำนวณค่าม้วนเฉลี่ยสำหรับแม่พิมพ์ธรรมดาคุณต้องรวมค่าบนขอบทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนขอบ แต่อย่างไร เป๊ะข้อตกลงอยู่ระหว่างดำเนินการ? คุณสามารถใส่ได้แตกต่างกัน สำหรับการตายแบบหกเหลี่ยมความน่าจะเป็นของแต่ละใบหน้าที่หลุดออกมานั้นเท่ากับ 1/6 ตอนนี้เราคูณ อพยพทุกหน้า ความน่าจะเป็น ผลลัพธ์นี้ (ในกรณีนี้คือ 1/6 สำหรับแต่ละใบหน้า) จากนั้นเราจะสรุปค่าที่ได้รับ ดังนั้นการสรุป (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ) เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกัน (3.5) เช่นเดียวกับในการคำนวณด้านบน ในความเป็นจริงเรานับสิ่งนี้ทุกครั้ง: เราคูณผลลัพธ์แต่ละรายการด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น

เราสามารถคำนวณแบบเดียวกันสำหรับนักกีฬาในสนามแข่งขันในสงครามนิวเคลียร์ได้หรือไม่? แน่นอนเราทำได้ และถ้าเรารวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่พบเราจะได้ค่าเฉลี่ย สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์สำหรับลูกศรบนกระดานและคูณด้วยผลลัพธ์

ตัวอย่างอื่น

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยโดยการคูณผลลัพธ์แต่ละรายการด้วยความน่าจะเป็นของแต่ละตัวก็เหมาะเช่นกันหากผลลัพธ์มีความเป็นไปได้เท่า ๆ กัน แต่มีข้อดีต่างกันเช่นหากคุณหมุนดายและชนะในขอบบางด้านมากกว่าส่วนอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นเล่นเกมคาสิโน: คุณเดิมพันและหมุน 2d6 หากตัวเลขสามตัวที่มีมูลค่าต่ำสุด (2, 3, 4) หรือตัวเลขสี่ตัวที่มีมูลค่าสูงสุด (9, 10, 11, 12) เกิดขึ้นคุณจะได้รับเงินเท่ากับเงินเดิมพันของคุณ ตัวเลขที่มีค่าต่ำสุดและสูงสุดเป็นตัวเลขพิเศษ: ถ้า 2 หรือ 12 ปรากฏขึ้นคุณจะชนะ สองเท่ากว่าอัตราของคุณ หากหมายเลขอื่นหลุดออกไป (5, 6, 7, 8) คุณจะเสียเงินเดิมพัน มันเป็นเกมที่ค่อนข้างง่าย แต่ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

เริ่มต้นด้วยการนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถชนะ:

• จำนวนผลลัพธ์สูงสุดในม้วน 2d6 คือ 36 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจมีกี่แบบ?
• มี 1 ตัวเลือกสำหรับสองและ 1 ตัวเลือกสำหรับสิบสอง
• มี 2 \u200b\u200bตัวเลือกสำหรับสิ่งที่ออกมาสามและสิบเอ็ด
• มี 3 ตัวเลือกสำหรับสี่และ 3 ตัวเลือกสำหรับสิบ
• มี 4 ตัวเลือกสำหรับเก้า
• เมื่อสรุปตัวเลือกทั้งหมดเราได้จำนวนผลลัพธ์ที่ดี 16 จาก 36

ดังนั้นภายใต้เงื่อนไขปกติคุณจะชนะ 16 ครั้งจาก 36 ครั้งที่เป็นไปได้ ... ความน่าจะเป็นที่จะชนะน้อยกว่า 50% เล็กน้อย

แต่ในสองกรณีจาก 16 รายการนี้คุณจะชนะเป็นสองเท่านั่นคือ เหมือนชนะสองครั้ง! หากคุณเล่นเกมนี้ 36 ครั้งเดิมพัน $ 1 ต่อครั้งและผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวคุณจะชนะ $ 18 (อันที่จริงคุณจะชนะ 16 ครั้ง แต่สองครั้งจะนับเป็นสอง เงินรางวัล) หากคุณเล่น 36 ครั้งและชนะ $ 18 นั่นไม่ได้หมายความว่ามันมีโอกาสเท่ากันหรือ?

ไม่ต้องรีบ. หากคุณนับจำนวนครั้งที่คุณแพ้คุณจะได้รับ 20 ไม่ใช่ 18 หากคุณเล่น 36 ครั้งเดิมพันครั้งละ 1 ดอลลาร์คุณจะชนะทั้งหมด 18 ดอลลาร์จากผลการแข่งขันที่ดีทั้งหมด ... แต่คุณจะเสียเงินทั้งหมด จำนวน $ 20 พร้อมผลลัพธ์ที่ไม่พึงประสงค์ทั้งหมด 20 รายการ! ด้วยเหตุนี้คุณจะเสียเปรียบเล็กน้อย: คุณเสียเงินโดยเฉลี่ย $ 2 สุทธิสำหรับทุก ๆ 36 เกม (คุณสามารถพูดได้ว่าคุณเสียโดยเฉลี่ย $ 1/18 ต่อวัน) ตอนนี้คุณจะเห็นว่ามันง่ายแค่ไหนในกรณีนี้ที่จะทำผิดพลาดและคำนวณความน่าจะเป็นไม่ถูกต้อง!

การเรียงสับเปลี่ยน

จนถึงขณะนี้เราได้สันนิษฐานว่าลำดับของตัวเลขเมื่อทอยลูกเต๋าไม่สำคัญ ม้วน 2 + 4 เหมือนกับม้วน 4 + 2 ในกรณีส่วนใหญ่เราคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่ดีด้วยตนเอง แต่บางครั้งวิธีนี้ก็ใช้ไม่ได้จริงและควรใช้สูตรทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างของสถานการณ์นี้มาจากเกมที่มีลูกเต๋า“ Farkle” สำหรับแต่ละรอบใหม่คุณจะหมุน 6d6 หากคุณโชคดีและทุกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ 1-2-3-4-5-6 (“ ตรง”) คุณจะได้รับโบนัสก้อนโต ความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นคืออะไร? ในกรณีนี้มีหลายทางเลือกสำหรับชุดค่าผสมนี้!

วิธีแก้ปัญหามีลักษณะดังนี้: หนึ่งในลูกเต๋า (และมีเพียงลูกเดียว) ควรมีหมายเลข 1! มีกี่สายพันธุ์ของการล้มตายจากหมายเลข 1 ในหนึ่งเดียว? หกเนื่องจากมีลูกเต๋า 6 ลูกและลูกเต๋าใดก็ได้หมายเลข 1 ดังนั้นให้นำลูกเต๋าหนึ่งลูกมาวางไว้ข้างๆ ตอนนี้หนึ่งในลูกเต๋าที่เหลือควรมีหมายเลข 2 มีห้าตัวเลือกสำหรับสิ่งนี้ ใช้ลูกเต๋าอีกลูกแล้วพักไว้ จากนั้นในสี่ลูกเต๋าที่เหลือหมายเลข 3 สามารถหลุดออกได้ในสามของลูกเต๋าที่เหลือหมายเลข 4 สามารถหลุดออกได้ในสอง - หมายเลข 5 และเป็นผลให้คุณมีหนึ่งลูกเต๋าซึ่งหมายเลข 6 ควรจะตก (ในกรณีหลัง ความตายเป็นหนึ่งเดียวและไม่มีทางเลือก) ในการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่ดีสำหรับชุดค่าผสม "ตรง" เราจะคูณตัวเลือกอิสระที่แตกต่างกันทั้งหมด: 6x5x4x3x2x1 \u003d 720 ดูเหมือนว่าจะมีตัวเลือกมากมายสำหรับชุดค่าผสมนี้

ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้ผลตรงเราต้องหาร 720 ด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับม้วน 6d6 จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคืออะไร? การตายแต่ละครั้งมี 6 หน้าดังนั้นเราจึงคูณ 6x6x6x6x6x6 \u003d 46656 (จำนวนมากกว่ามาก!) เราหาร 720/46656 และเราได้ความน่าจะเป็นประมาณ 1.5% หากคุณกำลังออกแบบเกมนี้มันจะเป็นประโยชน์สำหรับคุณที่จะรู้เพื่อที่คุณจะได้สร้างระบบการให้คะแนนที่เหมาะสม ตอนนี้เราเข้าใจแล้วว่าทำไมในเกม "Farkle" คุณจะได้รับโบนัสก้อนโตเช่นนี้หากคุณได้รับชุดค่าผสม "ตรง" เพราะสถานการณ์นี้ค่อนข้างหายาก!

ผลลัพธ์ก็น่าสนใจด้วยเหตุผลอื่น ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าในช่วงสั้น ๆ ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นเกิดขึ้นน้อยเพียงใด แน่นอนว่าถ้าเราทอยลูกเต๋าหลายพันลูกเต๋าหน้าต่างๆของลูกเต๋าจะหลุดบ่อย แต่เมื่อเราทอยลูกเต๋าเพียงหกลูกเท่านั้น ไม่เคยมันไม่ได้เกิดขึ้นทุกใบหน้า! จากนี้จะเห็นได้ชัดว่ามันเป็นเรื่องโง่เขลาที่จะคาดหวังว่าใบหน้าของอีกคนจะหลุดออกมาในตอนนี้ซึ่งยังไม่หลุดออกไป“ เพราะเราไม่ได้เลข 6 มานานแล้วซึ่งหมายความว่าตอนนี้จะร่วงแล้ว”

ฟังนะตัวสร้างตัวเลขสุ่มของคุณเสีย ...

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความเข้าใจผิดทั่วไปเกี่ยวกับความน่าจะเป็น: สมมติฐานที่ว่าผลลัพธ์ทั้งหมดเกิดขึ้นด้วยความถี่เดียวกัน ในช่วงเวลาสั้น ๆซึ่งจริงๆแล้วไม่ใช่อย่างนั้น หากเราทอยลูกเต๋าหลาย ๆ ครั้งความถี่ของแต่ละหน้าจะไม่เท่ากัน

หากคุณเคยเล่นเกมออนไลน์ที่มีตัวสร้างตัวเลขสุ่มมาก่อนคุณมักจะเจอสถานการณ์ที่ผู้เล่นเขียนถึงฝ่ายสนับสนุนด้านเทคนิคเพื่อบอกว่าตัวสร้างตัวเลขสุ่มของคุณเสียและไม่แสดงตัวเลขสุ่ม และเขาก็ได้ข้อสรุปนี้เพราะเขาเพิ่งฆ่ามอนสเตอร์ 4 ตัวติดต่อกันและได้รับ 4 รางวัลเท่ากันทุกประการและรางวัลเหล่านี้ควรจะลดลงใน 10% ของกรณีเท่านั้น แทบจะไม่เคย ไม่ควร แทนที่ซึ่งหมายความว่า เห็นได้ชัดเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย

คุณกำลังทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 เท่ากับ 1 ใน 10,000 ซึ่งหมายความว่าเป็นกรณีที่ค่อนข้างหายาก และนั่นคือสิ่งที่ผู้เล่นพยายามจะบอกคุณ มีปัญหาในกรณีนี้หรือไม่?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ตอนนี้มีผู้เล่นกี่คนบนเซิร์ฟเวอร์ของคุณ? สมมติว่าคุณมีเกมที่ได้รับความนิยมพอสมควรและมีคนเล่น 100,000 คนทุกวัน ผู้เล่นจะฆ่ามอนสเตอร์สี่ตัวติดต่อกันกี่คน? ทุกอย่างเป็นไปได้วันละหลายครั้ง แต่สมมติว่าครึ่งหนึ่งเป็นเพียงการแลกเปลี่ยนไอเท็มต่าง ๆ ในการประมูลหรือเขียนใหม่บนเซิร์ฟเวอร์ RP หรือดำเนินการในเกมอื่น ๆ ดังนั้นในความเป็นจริงมีเพียงครึ่งเดียวเท่านั้นที่ล่าสัตว์ประหลาด ความน่าจะเป็นที่ ถึงบางคน รางวัลเดียวกันจะหลุดหรือไม่? ในสถานการณ์เช่นนี้คุณสามารถคาดหวังได้ว่ารางวัลเดียวกันสามารถออกได้หลายครั้งต่อวันเป็นอย่างน้อย!

อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าทุก ๆ สองสามสัปดาห์เป็นอย่างน้อย ใครบางคน ชนะลอตเตอรีแม้ว่าใครบางคน ไม่เคยไม่ใช่คุณหรือเพื่อนของคุณ ถ้ามีคนเล่นมากพอทุกสัปดาห์โอกาสจะมีเป็นอย่างน้อย หนึ่งโชคดี ... แต่ถ้า คุณการเล่นลอตเตอรีคุณมีโอกาสน้อยที่จะชนะงานที่ Infinity Ward

แผนที่และการเสพติด

เราได้พูดถึงเหตุการณ์ที่เป็นอิสระเช่นการทอยลูกเต๋าและตอนนี้เรารู้จักเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพมากมายสำหรับการวิเคราะห์การสุ่มในหลาย ๆ เกม การคำนวณความน่าจะเป็นจะยุ่งยากกว่าเล็กน้อยเมื่อพูดถึงการจั่วไพ่จากสำรับเพราะไพ่ทุกใบที่เราจั่วมีผลต่อไพ่ที่เหลืออยู่ในสำรับ หากคุณมีสำรับไพ่ 52 ใบมาตรฐานและจั่วให้พูดว่า 10 หัวใจและต้องการทราบความเป็นไปได้ที่ไพ่ใบต่อไปจะเป็นไพ่ชุดเดียวกันความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปเพราะคุณได้นำไพ่ชุดหัวใจหนึ่งใบออกจากสำรับแล้ว การ์ดแต่ละใบที่คุณนำออกจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นของการ์ดใบถัดไปในเด็ค เนื่องจากในกรณีนี้เหตุการณ์ก่อนหน้านี้ส่งผลต่อเหตุการณ์ถัดไปเราจึงเรียกสิ่งนี้ว่าความน่าจะเป็น ขึ้นอยู่กับ.

โปรดทราบว่าเมื่อฉันพูดว่า "ไพ่" ฉันหมายถึง ใด ๆ กลไกของเกมซึ่งมีชุดของวัตถุและคุณนำวัตถุชิ้นหนึ่งออกโดยไม่ได้เปลี่ยน "สำรับไพ่" ในกรณีนี้จะคล้ายกับโทเค็นถุงหนึ่งซึ่งคุณจะนำโทเค็นออกหนึ่งใบและไม่แทนที่หรือโกศที่คุณนำวัตถุที่มีสีออก ลูกบอล (อันที่จริงฉันไม่เคยเห็นเกมที่มีโกศที่จะเอาลูกบอลหลากสีออกมา แต่ดูเหมือนว่าครูของทฤษฎีความน่าจะเป็นจะชอบตัวอย่างนี้ด้วยเหตุผลบางประการ)

คุณสมบัติการพึ่งพา

ฉันอยากจะชี้แจงว่าเมื่อพูดถึงไพ่ฉันคิดว่าคุณจั่วไพ่ดูและนำออกจากสำรับ แต่ละการกระทำเหล่านี้เป็นคุณสมบัติที่สำคัญ

ถ้าฉันมีสำรับไพ่หกใบที่มีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 และฉันสับไพ่แล้วหยิบไพ่ออกมาหนึ่งใบจากนั้นสับไพ่ทั้งหกใบอีกครั้งมันก็เหมือนกับการโยนไม้หกด้าน ผลลัพธ์เดียวไม่มีผลต่อสิ่งต่อไปนี้ เฉพาะในกรณีที่ฉันจั่วไพ่และไม่ได้แทนที่มันผลของการหยิบการ์ดที่มีหมายเลข 1 ออกมาจะเพิ่มความเป็นไปได้ที่ครั้งต่อไปที่ฉันจะจั่วไพ่ด้วยหมายเลข 6 (ความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นจนกว่าฉันจะหยิบการ์ดนี้ออกมาในที่สุดหรือ จนกว่าฉันจะสับไพ่)

ความจริงที่ว่าเรา ดูบนการ์ดก็สำคัญเช่นกัน หากฉันนำการ์ดออกจากสำรับและไม่ได้ดูฉันก็ไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมและในความเป็นจริงความน่าจะเป็นไม่เปลี่ยนแปลง นี่อาจฟังดูขัดกัน การพลิกไพ่แบบธรรมดาสามารถเปลี่ยนความน่าจะเป็นอย่างน่าอัศจรรย์ได้อย่างไร? แต่เป็นไปได้เพราะคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของวัตถุที่ไม่รู้จักตามความจริงที่ว่าคุณเท่านั้น คุณรู้... ตัวอย่างเช่นหากคุณสลับสำรับไพ่มาตรฐานให้เปิดเผยไพ่ 51 ใบและไม่มีไพ่ใดเป็นไพ่ราชินีคุณจะรู้ได้อย่างมั่นใจ 100% ว่าไพ่ที่เหลือเป็นไพ่ราชินี หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐานและจั่วไพ่ 51 ใบ อย่างไรก็ตามสำหรับพวกเขาความน่าจะเป็นที่การ์ดที่เหลือเป็นราชินีแห่งดอกจิกจะยังคงเป็น 1/52 เมื่อเปิดการ์ดแต่ละใบคุณจะได้รับข้อมูลเพิ่มเติม

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่อ้างอิงจะเป็นไปตามหลักการเดียวกันกับเหตุการณ์ที่เป็นอิสระยกเว้นว่าจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเนื่องจากความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไปเมื่อคุณเปิดไพ่ ดังนั้นคุณต้องคูณค่าต่างๆจำนวนมากแทนที่จะคูณค่าเดียวกัน สิ่งนี้หมายความว่าเราต้องรวมการคำนวณทั้งหมดที่เราทำเข้าด้วยกัน

ตัวอย่าง

คุณสลับสำรับไพ่ 52 ใบมาตรฐานและจั่วไพ่สองใบ ความเป็นไปได้ที่คุณจะออกคู่คืออะไร? มีหลายวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นนี้ แต่วิธีที่ง่ายที่สุดมีดังนี้: อะไรคือความน่าจะเป็นที่เมื่อคุณหยิบไพ่หนึ่งใบออกมาคุณจะไม่สามารถจับคู่ออกมาได้? ความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์ดังนั้นจึงไม่สำคัญว่าคุณจะจั่วไพ่ใบแรกใดตราบเท่าที่มันตรงกับไพ่ใบที่สอง ไม่สำคัญว่าเราจะหยิบไพ่ใบไหนออกมาก่อนเรายังมีโอกาสที่จะหยิบออกมาเป็นคู่ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เราจะได้ไพ่คู่หนึ่งหลังจากหยิบไพ่ใบแรกออกมาคือ 100%

ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับใบแรกคืออะไร? มีไพ่ 51 ใบที่เหลืออยู่ในสำรับและ 3 ใบนั้นตรงกับไพ่ใบแรก (จริงๆแล้วจะมี 4 ใบจาก 52 ใบ แต่คุณได้นำไพ่ที่ตรงกันออกไปแล้วหนึ่งใบเมื่อคุณหยิบไพ่ใบแรกออกมา!) ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 1/17 (ครั้งต่อไปผู้ชายที่อยู่ตรงข้ามโต๊ะจากคุณที่เล่น Texas Hold'em พูดว่า "เจ๋งอีกคู่วันนี้ฉันโชคดี" คุณจะรู้ว่ามีโอกาสสูงทีเดียวที่เขาจะบลัฟ)

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเพิ่มโจ๊กเกอร์สองใบและตอนนี้เรามีไพ่ 54 ใบในสำรับและเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะออกคู่คืออะไร? ไพ่ใบแรกอาจเป็นโจ๊กเกอร์จากนั้นสำรับจะมีเพียง คนเดียวการ์ดไม่ใช่สามใบซึ่งจะตรงกัน คุณจะหาความน่าจะเป็นในกรณีนี้ได้อย่างไร? เราจะแยกความน่าจะเป็นและคูณความเป็นไปได้แต่ละอย่าง

ไพ่ใบแรกของเราอาจเป็นไพ่โจ๊กเกอร์หรือไพ่อื่น ๆ ความน่าจะเป็นของการวาดโจ๊กเกอร์คือ 2/54 ความน่าจะเป็นของการจั่วไพ่ใบอื่นคือ 52/54

หากไพ่ใบแรกเป็นโจ๊กเกอร์ (2/54) ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับไพ่ใบแรกคือ 1/53 คูณค่า (เราสามารถคูณค่าได้เนื่องจากเป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันและเราต้องการ ทั้งสองอย่างเหตุการณ์เกิดขึ้น) และเราได้ 1/1431 - น้อยกว่าหนึ่งในสิบของเปอร์เซ็นต์

หากคุณจั่วไพ่ใบอื่นก่อน (52/54) ความน่าจะเป็นของไพ่ใบที่สองคือ 3/53 คูณค่าและรับ 78/1431 (มากกว่า 5.5% เล็กน้อย)

เราจะทำอย่างไรกับผลลัพธ์ทั้งสองนี้ พวกมันไม่ทับซ้อนกันและเราต้องการทราบความน่าจะเป็น แต่ละของพวกเขาดังนั้นเราจึงเพิ่มค่า! เราได้ผลลัพธ์สุดท้าย 79/1431 (ยังคงประมาณ 5.5%)

หากเราต้องการแน่ใจในความถูกต้องของคำตอบเราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้อื่น ๆ ทั้งหมด: นำโจ๊กเกอร์ออกมาและจับคู่ไพ่ใบที่สองไม่ตรงกันหรือนำไพ่ใบอื่นออกมาและจับไพ่ใบที่สองไม่ตรงกันและสรุปทั้งหมดด้วยความน่าจะเป็นที่จะชนะเราจะ ได้แน่นอน 100% ฉันจะไม่คำนวณทางคณิตศาสตร์ที่นี่ แต่คุณสามารถลองคำนวณเพื่อตรวจสอบอีกครั้งได้

Monty Hall Paradox

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่เป็นที่รู้จักกันดีซึ่งมักจะสร้างความสับสนให้กับหลาย ๆ คนนั่นคือ Monty Hall paradox ความขัดแย้งนี้ได้รับการตั้งชื่อตามโฮสต์ของ "Let’s Make a Deal" Monty Hall ถ้าคุณไม่เคยดูรายการนี้แสดงว่าตรงข้ามกับรายการทีวี The Price Is Right ใน“ The Price Is Right” โฮสต์ (เดิมชื่อ Bob Barker ตอนนี้… Drew Carey หรือเปล่า…) เป็นเพื่อนของคุณ เขาคือ ต้องการเพื่อให้คุณได้รับเงินหรือรางวัลใหญ่ เขาพยายามเปิดโอกาสให้คุณชนะทุกครั้งหากคุณสามารถเดาได้ว่าสินค้าที่ผู้สนับสนุนซื้อมานั้นมีราคาเท่าใด

มอนตี้ฮอลล์ทำตัวไม่เหมือนเดิม เขาเหมือนแฝดชั่วร้ายของบ็อบบาร์เกอร์ เป้าหมายของเขาคือทำให้คุณดูเหมือนคนงี่เง่าในโทรทัศน์แห่งชาติ หากคุณอยู่ในรายการแสดงว่าเขาเป็นคู่ต่อสู้ของคุณคุณกำลังเล่นกับเขาและโอกาสในการชนะอยู่ในความโปรดปรานของเขา ฉันอาจจะรุนแรงเกินไป แต่เมื่อโอกาสในการถูกเลือกให้เป็นฝ่ายตรงข้ามดูเหมือนว่าคุณจะสวมสูทที่ไร้สาระหรือไม่ฉันก็ได้ข้อสรุปเช่นนั้น

แต่หนึ่งในมส์ที่โด่งดังที่สุดของการแสดงคือมีสามประตูอยู่ข้างหน้าคุณและพวกเขาเรียกว่าประตู 1 ประตู 2 และประตู 3 คุณสามารถเลือกประตูเดียว ... ฟรี! ด้านหลังประตูบานนี้เป็นรางวัลใหญ่เช่นรถยนต์นั่งคันใหม่ ไม่มีรางวัลหลังประตูอื่นประตูทั้งสองนี้ไม่มีค่า จุดประสงค์ของพวกเขาคือการทำให้คุณอับอายดังนั้นจึงไม่ใช่ว่าไม่มีอะไรอยู่ข้างหลังพวกเขามีบางอย่างที่ดูโง่อยู่เบื้องหลังเช่นข้างหลังพวกเขาคือแพะหรือยาสีฟันหลอดใหญ่หรืออะไรสักอย่าง ... คืออะไรกันแน่ ไม่ รถยนต์นั่งใหม่

คุณเลือกประตูบานหนึ่งและมอนตี้กำลังจะเปิดประตูเพื่อที่คุณจะได้รู้ว่าคุณชนะหรือไม่ ... แต่เดี๋ยวก่อน ก่อนที่เราจะรู้ลองมาดูหนึ่งใน เหล่านั้น ประตูคุณ ไม่ได้เลือก... เนื่องจากมอนตี้รู้ว่าประตูไหนอยู่ด้านหลังและมีเพียงรางวัลเดียวและ สอง ประตูที่คุณไม่ได้เลือกไม่ว่าจะยังไงก็ตามเขาสามารถเปิดประตูที่ไม่มีรางวัลได้เสมอ “ คุณเลือกประตูหมายเลข 3 ไหม จากนั้นมาเปิดประตู 1 เพื่อดูว่าไม่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง” และตอนนี้ด้วยความเอื้ออาทรเขาเสนอโอกาสให้คุณแลกเปลี่ยนประตูหมายเลข 3 ที่เลือกไว้สำหรับประตูหลังหมายเลข 2 ในขณะนี้คำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับความน่าจะเป็น: ความเป็นไปได้ที่จะเลือกประตูอื่นจะเพิ่มโอกาสในการชนะหรือลดประตูหรือยังคงเหมือนเดิมหรือไม่? คุณคิดอย่างไร?

คำตอบที่ถูกต้อง: ความสามารถในการเลือกประตูอื่น เพิ่มขึ้นความน่าจะเป็นที่จะชนะจาก 1/3 ถึง 2/3 นี่คือเหตุผล หากคุณไม่เคยพบกับความขัดแย้งนี้มาก่อนเป็นไปได้มากว่าคุณกำลังคิด: รอโดยการเปิดประตูเดียวเราเปลี่ยนความน่าจะเป็นอย่างน่าอัศจรรย์? แต่อย่างที่เราได้เห็นไปแล้วในตัวอย่างพร้อมการ์ดด้านบนนี้คือ เป๊ะจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราได้รับข้อมูลเพิ่มเติม เห็นได้ชัดว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะในครั้งแรกที่คุณเลือกคือ 1/3 และฉันคิดว่าทุกคนจะเห็นด้วยกับสิ่งนั้น เมื่อประตูหนึ่งเปิดขึ้นจะไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นที่จะชนะสำหรับตัวเลือกแรกเลย แต่ก็ยังคงเป็นความน่าจะเป็น 1/3 แต่หมายความว่าความน่าจะเป็นที่ อื่น ๆประตูที่ถูกต้องตอนนี้คือ 2/3

ลองดูตัวอย่างนี้จากมุมมองที่แตกต่างกัน คุณเลือกประตู ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 ฉันขอแนะนำให้คุณเปลี่ยน สองประตูอื่น ๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่ Monty Hall แนะนำจริงๆ แน่นอนเขาเปิดประตูบานหนึ่งเพื่อแสดงให้เห็นว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง แต่เขา เสมอสามารถทำได้ดังนั้นจึงไม่ได้เปลี่ยนแปลงอะไรเลย แน่นอนว่าคุณจะต้องเลือกประตูที่แตกต่างออกไป!

หากคุณยังไม่ชัดเจนในคำถามนี้และคุณต้องการคำอธิบายที่น่าเชื่อถือมากกว่านี้ให้คลิกที่ลิงค์นี้เพื่อไปยังแอปพลิเคชั่น Flash ตัวเล็ก ๆ ที่ยอดเยี่ยมที่จะช่วยให้คุณสำรวจความขัดแย้งนี้โดยละเอียด คุณสามารถเล่นได้โดยเริ่มจากประตูประมาณ 10 ประตูจากนั้นค่อยๆย้ายไปยังเกมที่มีสามประตู นอกจากนี้ยังมีเครื่องจำลองที่คุณสามารถเลือกประตูใดก็ได้ตั้งแต่ 3 ถึง 50 และเล่นหรือเรียกใช้การจำลองหลายพันครั้งและดูว่าคุณชนะกี่ครั้งหากคุณเล่น

คำพูดจากอาจารย์สอนคณิตศาสตร์ระดับสูงและผู้เชี่ยวชาญด้านสมดุลของเกม Maxim Soldatov ซึ่งแน่นอนว่า Schreiber ไม่มี แต่ถ้าไม่มีก็ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจการเปลี่ยนแปลงที่มีมนต์ขลังนี้:

เลือกประตูหนึ่งในสามความน่าจะเป็น "ชนะ" คือ 1/3 ตอนนี้คุณมี 2 กลยุทธ์: เปลี่ยนหลังจากเปิดประตูผิดหรือไม่ หากคุณไม่เปลี่ยนทางเลือกความน่าจะเป็นจะยังคงอยู่ที่ 1/3 เนื่องจากตัวเลือกอยู่ในขั้นตอนแรกเท่านั้นและคุณต้องเดาทันทีหากคุณเปลี่ยนคุณจะชนะได้หากคุณเลือกประตูผิดก่อน (จากนั้นพวกเขาจะเปิดประตูอื่นผิด จะยังคงซื่อสัตย์คุณกำลังเปลี่ยนการตัดสินใจของคุณและรับมันไว้)
ความน่าจะเป็นของการเลือกประตูผิดในตอนเริ่มต้นคือ 2/3 ดังนั้นการเปลี่ยนการตัดสินใจของคุณจะทำให้โอกาสในการชนะสูงขึ้น 2 เท่า

และอีกครั้งเกี่ยวกับ Monty Hall paradox

สำหรับการแสดงเองมอนตี้ฮอลล์รู้เรื่องนี้เพราะแม้ว่าคู่แข่งของเขาจะไม่เก่งคณิตศาสตร์ มัน เข้าใจดี นี่คือสิ่งที่เขาทำเพื่อเปลี่ยนแปลงเกมเล็กน้อย หากคุณเลือกประตูที่อยู่ด้านหลังของรางวัลความน่าจะเป็นคือ 1/3 ประตู เสมอเปิดโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่น ท้ายที่สุดคุณเลือกรถยนต์นั่งแล้วเปลี่ยนเป็นแพะและคุณจะดูโง่มากซึ่งเป็นสิ่งที่เขาต้องการเพราะเขาเป็นคนชั่ว แต่ถ้าคุณเลือกประตูที่อยู่ด้านหลัง จะไม่มีรางวัล, เท่านั้น ครึ่งหนึ่ง ในกรณีเช่นนี้เขาจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่นและในกรณีอื่น ๆ เขาจะแสดงแพะตัวใหม่ของคุณและคุณจะออกจากเวที มาวิเคราะห์เกมใหม่ที่ Monty Hall ทำได้ เลือกเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นหรือไม่

สมมติว่าเขาทำตามอัลกอริทึมนี้: หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัลเขามักจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นมิฉะนั้นความเป็นไปได้ที่เขาจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่นหรือให้แพะคือ 50/50 ความน่าจะเป็นที่คุณจะชนะคืออะไร?

ในหนึ่งในสามตัวเลือกให้คุณเลือกประตูที่อยู่ด้านหลังของรางวัลทันทีและเจ้าภาพจะเชิญให้คุณเลือกประตูอื่น

จากสองตัวเลือกที่เหลือจากสามตัวเลือก (ตอนแรกคุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัล) ในครึ่งกรณีเจ้าภาพจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่นและในอีกครึ่งหนึ่งของกรณีไม่ใช่ ครึ่งหนึ่งของ 2/3 คือ 1/3 นั่นคือ ในหนึ่งกรณีจากสามคุณจะได้แพะในกรณีหนึ่งในสามคุณเลือกประตูผิดและโฮสต์จะเสนอให้คุณเลือกอีกประตูหนึ่งและในหนึ่งกรณีจากสามคุณจะเลือก ประตูด้านขวา และเขาจะขอให้คุณเลือกประตูอื่น

หากผู้นำเสนอให้เลือกประตูอื่นเรารู้อยู่แล้วว่ากรณีหนึ่งในสามกรณีที่เขาให้แพะกับเราและเราจากไปก็ไม่ได้เกิดขึ้น นี่เป็นข้อมูลที่มีประโยชน์เพราะหมายความว่าโอกาสในการชนะของเราเปลี่ยนไป ในสองกรณีจากสามกรณีเมื่อเรามีโอกาสเลือกในกรณีหนึ่งหมายความว่าเราเดาถูกและอีกกรณีหนึ่งที่เราเดาถูกดังนั้นหากเราได้รับโอกาสให้เลือกทั้งหมดหมายความว่าความน่าจะเป็นที่เราจะชนะคือ 50 / 50 และไม่มี ทางคณิตศาสตร์ สิทธิประโยชน์อยู่กับทางเลือกของคุณหรือเลือกประตูอื่น

เช่นเดียวกับโป๊กเกอร์ตอนนี้เป็นเกมทางจิตวิทยาไม่ใช่เกมทางคณิตศาสตร์ Monty เสนอทางเลือกให้คุณเพราะเขาคิดว่าคุณเป็นคนธรรมดาที่ไม่รู้ว่าการเลือกประตูแบบอื่นเป็นการตัดสินใจที่“ ถูกต้อง” และคุณจะยึดมั่นในการเลือกของคุณอย่างดื้อรั้นเพราะในทางจิตวิทยาสถานการณ์เมื่อคุณเลือกรถและ แล้วหายยากขึ้น? หรือเขาคิดว่าคุณฉลาดและเลือกประตูอื่นและเขาเสนอโอกาสนี้ให้คุณเพราะเขารู้ว่าคุณเดาถูกในตอนแรกและคุณจะติดและติดกับดัก? หรือบางทีเขาอาจจะผิดปกติกับตัวเองและผลักดันให้คุณทำอะไรบางอย่างเพื่อประโยชน์ส่วนตัวของคุณเพราะเขาไม่ได้ให้รถมาเป็นเวลานานและโปรดิวเซอร์ของเขาบอกเขาว่าผู้ชมเริ่มเบื่อและจะดีกว่าถ้าเขาให้รางวัลใหญ่เร็ว ๆ นี้ เพื่อไม่ให้เรตติ้งตก?

ดังนั้น Monty จึงสามารถเสนอทางเลือก (บางครั้ง) และความน่าจะเป็นโดยรวมที่จะชนะยังคงอยู่ที่ 1/3 จำไว้ว่าความน่าจะเป็นที่คุณจะแพ้ทันทีคือ 1/3 ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้รับทันทีคือ 1/3 และ 50% ของจำนวนครั้งที่คุณชนะ (1/3 x 1/2 \u003d 1/6) ความน่าจะเป็นที่คุณจะเดาผิดในตอนแรก แต่จากนั้นคุณจะมีโอกาสเลือกประตูอื่นคือ 1/3 และใน 50% ของกรณีเหล่านี้คุณจะชนะ (1/6 เช่นกัน) เพิ่มโอกาสในการชนะสองครั้งโดยอิสระและคุณจะได้รับความน่าจะเป็นเท่ากับ 1/3 ดังนั้นจึงไม่สำคัญว่าคุณจะอยู่กับทางเลือกของคุณหรือเลือกประตูอื่นความน่าจะเป็นโดยรวมที่คุณจะชนะตลอดทั้งเกมจะเท่ากับ 1/3 ... ความน่าจะเป็นจะไม่มากกว่า ในสถานการณ์ที่คุณเดาประตูได้และผู้นำเสนอจะแสดงให้คุณเห็นว่ามีอะไรอยู่หลังประตูนี้โดยไม่ต้องเลือกประตูอื่น! ดังนั้นประเด็นในการเสนอโอกาสในการเลือกประตูอื่นจึงไม่ใช่การเปลี่ยนความเป็นไปได้ แต่เพื่อให้กระบวนการตัดสินใจสนุกขึ้นสำหรับการดูโทรทัศน์

อย่างไรก็ตามนี่เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้โป๊กเกอร์น่าสนใจมาก: ในรูปแบบส่วนใหญ่ระหว่างรอบเมื่อมีการเดิมพัน (เช่นฟลอปเทิร์นและริเวอร์ในเท็กซัสโฮลด์) ไพ่จะค่อยๆเผยออกมาและหากในตอนต้นของเกมคุณมี ความน่าจะเป็นที่จะชนะหลังจากนั้นในแต่ละรอบของการเดิมพันเมื่อมีการเปิดไพ่มากขึ้นความน่าจะเป็นนี้จะเปลี่ยนไป

เด็กชายและเด็กหญิง Paradox

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่เป็นที่รู้จักกันดีอีกอย่างหนึ่งซึ่งตามกฎแล้วจะทำให้ทุกคนไขปริศนา - ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง สิ่งเดียวที่ฉันเขียนเกี่ยวกับวันนี้ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับเกมโดยตรง (แม้ว่าฉันจะคิดว่านั่นหมายความว่าฉันควรจะเขยิบให้คุณสร้างกลไกของเกมที่เหมาะสม) มันเป็นปริศนามากกว่า แต่น่าสนใจและเพื่อที่จะแก้ปัญหาคุณต้องเข้าใจความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขซึ่งเราได้พูดถึงข้างต้น

ความท้าทาย: ฉันมีเพื่อนมีลูกสองคน อย่างน้อยหนึ่ง เด็กเป็นผู้หญิง ความเป็นไปได้ที่ลูกคนที่สองคืออะไร ด้วยสาว? สมมติว่าในครอบครัวใด ๆ โอกาสที่จะมีเด็กผู้หญิงหรือผู้ชายคือ 50/50 และนี่เป็นเรื่องจริงสำหรับเด็กทุกคน (ในความเป็นจริงผู้ชายบางคนมีสเปิร์มที่มีโครโมโซม X หรือโครโมโซม Y มากกว่าดังนั้นความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไปเล็กน้อยหากคุณรู้ว่า เด็กคนหนึ่งเป็นเด็กผู้หญิงความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กผู้หญิงนั้นสูงกว่าเล็กน้อยนอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขอื่น ๆ เช่นกระเทย แต่สำหรับการแก้ปัญหานี้เราจะไม่คำนึงถึงสิ่งนี้และถือว่าการเกิดของเด็กเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระและความน่าจะเป็นที่เด็กผู้ชายจะเกิดหรือ ผู้หญิงก็เหมือนกัน)

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงโอกาส 1/2 โดยสังหรณ์ใจเราคาดหวังว่าคำตอบน่าจะเป็น 1/2 หรือ 1/4 หรือรอบอื่น ๆ ผลคูณสอง แต่คำตอบคือ: 1/3 ... รอทำไม?

ความยากในกรณีนี้คือข้อมูลที่เรามีลดจำนวนความเป็นไปได้ สมมติว่าพ่อแม่เป็นแฟนของ Sesame Street และไม่ว่าเด็กผู้ชายหรือผู้หญิงจะเกิดมาก็ตามพวกเขาตั้งชื่อลูกของพวกเขาว่า A และ B ภายใต้สภาวะปกติมีความเป็นไปได้ที่จะเท่าเทียมกันสี่ประการ: A และ B เป็นเด็กผู้ชายสองคน A และ B เป็นเด็กหญิงสองคน A เป็นเด็กผู้ชายและ B เป็นผู้หญิง A เป็นผู้หญิงและ B เป็นเด็กผู้ชาย เนื่องจากเราทราบดีว่า อย่างน้อยหนึ่ง เด็กเป็นเด็กผู้หญิงเราสามารถกำจัดความเป็นไปได้ที่ A และ B เป็นเด็กชายสองคนดังนั้นเราจึงเหลือความเป็นไปได้สามอย่าง (ยังคงมีความเป็นไปได้เท่ากัน) หากความเป็นไปได้ทั้งหมดมีความเป็นไปได้เท่า ๆ กันและมีสามอย่างเราก็รู้ว่าความน่าจะเป็นของแต่ละความน่าจะเป็นคือ 1/3 เพียงหนึ่งในสามตัวเลือกนี้เด็กทั้งสองเป็นเด็กผู้หญิงสองคนดังนั้นคำตอบคือ 1/3

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

การแก้ปัญหาจะยิ่งไร้เหตุผลมากขึ้น ลองนึกดูว่าถ้าฉันบอกคุณว่าเพื่อนของฉันมีลูกสองคนและลูกคนหนึ่ง - เด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร... สมมติว่าภายใต้สภาวะปกติความน่าจะเป็นของการมีลูกในหนึ่งในเจ็ดวันของสัปดาห์จะเท่ากัน อะไรคือความเป็นไปได้ที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้หญิง? คุณอาจคิดว่าคำตอบจะยังคงเป็น 1/3 วันอังคารหมายถึงอะไร? แต่แม้ในกรณีนี้สัญชาตญาณก็ทำให้เราล้มเหลว ตอบ: 13/27 ซึ่งไม่เพียง แต่ไม่ใช้งานง่าย แต่เป็นเรื่องแปลกมาก เกิดอะไรขึ้น ในกรณีนี้?

ในความเป็นจริงวันอังคารเปลี่ยนความน่าจะเป็นเพราะเราไม่รู้ อะไรเด็กเกิดในวันอังคารหรืออาจจะ เด็กสองคน เกิดวันอังคาร ในกรณีนี้เราใช้ตรรกะเดียวกันกับข้างต้นเราจะนับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อมีเด็กอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร ดังตัวอย่างก่อนหน้านี้สมมติว่าเด็ก ๆ มีชื่อว่า A และ B ชุดค่าผสมจะเป็นดังนี้:

• A - เด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร B - เด็กผู้ชาย (ในสถานการณ์นี้มีความเป็นไปได้ 7 ข้อโดยหนึ่งในแต่ละวันของสัปดาห์ที่เด็กชายจะเกิด)
• B - เด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร A - เด็กผู้ชาย (เป็นไปได้ 7 อย่าง)
• A - เด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร B - ผู้หญิงที่เกิดวันที่ อื่น ๆ วันในสัปดาห์ (6 ความเป็นไปได้)
• B - เด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร A - เด็กผู้หญิงที่ไม่ได้เกิดในวันอังคาร (มีความน่าจะเป็น 6)
• A และ B - เด็กหญิงสองคนที่เกิดในวันอังคาร (มีความเป็นไปได้ 1 ข้อคุณต้องใส่ใจกับสิ่งนี้เพื่อไม่ให้นับสองครั้ง)

เราสรุปและรวบรวม 27 ชุดการเกิดของเด็กและวันที่เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกันโดยมีความเป็นไปได้อย่างน้อยหนึ่งอย่างในการมีผู้หญิงในวันอังคาร 13 ในจำนวนนี้เป็นโอกาสที่เด็กผู้หญิงสองคนจะเกิด นอกจากนี้ยังดูไร้เหตุผลโดยสิ้นเชิงและดูเหมือนว่างานนี้สร้างขึ้นเพื่อทำให้ปวดหัวเท่านั้น หากคุณยังคงงงงวยกับตัวอย่างนี้ Jesper Yule นักทฤษฎีเกมมีคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับเรื่องนี้ในเว็บไซต์ของเขา

หากคุณกำลังทำงานกับเกม ...

หากมีการสุ่มในเกมที่คุณกำลังออกแบบนี่เป็นโอกาสที่ดีในการวิเคราะห์ เลือกองค์ประกอบบางอย่างที่คุณต้องการวิเคราะห์ ขั้นแรกให้ถามตัวเองว่าคุณคาดหวังว่าความน่าจะเป็นขององค์ประกอบที่กำหนดจะเป็นอย่างไรคุณคิดว่ามันควรจะเป็นอย่างไรในบริบทของเกม ตัวอย่างเช่นหากคุณกำลังสร้างเกม RPG และคุณสงสัยว่าโอกาสที่ผู้เล่นจะสามารถเอาชนะสัตว์ประหลาดในการต่อสู้ได้ควรเป็นอย่างไรให้ถามตัวเองว่าเปอร์เซ็นต์ของชัยชนะที่เหมาะสมสำหรับคุณนั้นเป็นอย่างไร โดยปกติแล้วเมื่อเล่นเกม RPG แบบคอนโซลผู้เล่นจะหงุดหงิดมากเมื่อพวกเขาแพ้ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่พวกเขาจะไม่แพ้บ่อยๆ ... อาจจะ 10% ของเวลาหรือน้อยกว่านั้น? หากคุณเป็นนักออกแบบ RPG คุณอาจจะรู้ดีกว่าฉัน แต่คุณต้องมีความคิดพื้นฐานว่าความน่าจะเป็นคืออะไร

จากนั้นถามตัวเองว่านี่คือสิ่ง ติดยา(เช่นการ์ด) หรือ อิสระ(เหมือนลูกเต๋า) ตรวจสอบผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น ตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ 100% สุดท้ายแน่นอนเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่คุณได้รับกับความคาดหวังของคุณ ไม่ว่าคุณจะทอยลูกเต๋าหรือจั่วไพ่ตามที่คุณต้องการหรือคุณเห็นว่าคุณจำเป็นต้องปรับค่าต่างๆ และแน่นอนถ้าคุณ หาสิ่งที่ต้องปรับคุณสามารถใช้การคำนวณเดียวกันเพื่อกำหนดว่าคุณต้องปรับอะไรมากแค่ไหน!

การบ้าน

“ การบ้าน” ของคุณในสัปดาห์นี้จะช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะการทำงานที่เป็นไปได้ นี่คือเกมลูกเต๋าสองเกมและเกมไพ่ที่คุณจะวิเคราะห์โดยใช้ความน่าจะเป็นรวมถึงกลไกเกมแปลก ๆ ที่ฉันเคยพัฒนาขึ้นซึ่งคุณสามารถใช้เพื่อทดสอบวิธีมอนติคาร์โลได้

เกมหมายเลข 1 - กระดูกมังกร

เกมนี้เป็นเกมลูกเต๋าที่เราเคยคิดค้นร่วมกับเพื่อนร่วมงาน (ขอบคุณ Jeb Havens และ Jesse King!) ซึ่งจงใจใช้สมองของผู้คนด้วยความน่าจะเป็น นี่คือเกมคาสิโนง่ายๆที่เรียกว่า "Dragon Bones" และเป็นการพนันการแข่งขันไฮโลระหว่างผู้เล่นและบ้าน คุณจะได้รับการตาย 1d6 ตามปกติ เป้าหมายของเกมคือการโยนตัวเลขที่สูงกว่าบ้าน ทอมจะได้รับ 1d6 ที่ไม่ได้มาตรฐาน - เหมือนกับของคุณ แต่แทนที่จะเป็นด้านเดียว - รูปมังกร (ดังนั้นคาสิโนจึงมีลูกบาศก์ Dragon-2-3-4-5-6) หากบ้านได้รับมังกรมันจะชนะโดยอัตโนมัติและคุณจะแพ้ หากคุณทั้งคู่ได้หมายเลขเดียวกันนั่นคือเสมอและคุณทอยลูกเต๋าอีกครั้ง ผู้ที่มีจำนวนสูงสุดจะชนะ

แน่นอนว่าทุกอย่างไม่เป็นที่ชื่นชอบของผู้เล่นเนื่องจากคาสิโนมีข้อได้เปรียบในรูปแบบของ Dragon's Edge แต่มันเป็นเช่นนั้นจริงเหรอ? คุณต้องคิดออก แต่ก่อนหน้านั้นตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณ สมมติว่าชนะคือ 2 ต่อ 1 ดังนั้นหากคุณชนะคุณจะเก็บเงินเดิมพันไว้และได้รับเพิ่มเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่นหากคุณเดิมพัน 1 ดอลลาร์และชนะคุณจะเก็บเงินดอลลาร์นั้นไว้และได้รับอีก 2 อันดับสูงสุดรวมเป็น 3 ดอลลาร์ หากคุณแพ้คุณจะเสียเงินเดิมพันเท่านั้น คุณจะเล่นไหม คุณรู้สึกสังหรณ์ใจว่าความน่าจะเป็นมากกว่า 2 ต่อ 1 หรือคุณยังคิดว่ามันน้อยกว่า? กล่าวอีกนัยหนึ่งโดยเฉลี่ยใน 3 เกมคุณคาดว่าจะชนะมากกว่าหนึ่งครั้งหรือน้อยกว่าหรือหนึ่งครั้ง?

เมื่อสัญชาตญาณของคุณถูกแยกออกแล้วให้ใช้คณิตศาสตร์ มีเพียง 36 ตำแหน่งที่เป็นไปได้สำหรับลูกเต๋าทั้งสองลูกดังนั้นคุณสามารถคำนวณทั้งหมดได้โดยไม่มีปัญหาใด ๆ หากคุณไม่แน่ใจเกี่ยวกับประโยค 2 ต่อ 1 ลองนึกถึงสิ่งนี้สมมติว่าคุณเล่นเกม 36 ครั้ง (เดิมพัน 1 เหรียญต่อครั้ง) สำหรับการชนะแต่ละครั้งคุณจะได้รับ $ 2 สำหรับการสูญเสียแต่ละครั้งคุณจะเสีย $ 1 และการจับรางวัลไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง คำนวณการชนะและการสูญเสียที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคุณและตัดสินใจว่าคุณจะเสียดอลลาร์หรือกำไรจำนวนหนึ่ง จากนั้นถามตัวเองว่าสัญชาตญาณของคุณถูกต้องแค่ไหน แล้ว - รู้ว่าฉันเป็นคนร้าย

และใช่ถ้าคุณคิดเกี่ยวกับคำถามนั้นแล้ว - ฉันจงใจทำให้คุณสับสนโดยบิดเบือนกลไกที่แท้จริงของเกมลูกเต๋า แต่ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถเอาชนะอุปสรรคนี้ได้ด้วยความคิดที่ดี ลองแก้ปัญหานี้ด้วยตัวเอง ฉันจะโพสต์คำตอบทั้งหมดที่นี่ในสัปดาห์หน้า

เกม # 2 - เสี่ยงโชค

มันเป็นเกมลูกเต๋าแห่งโอกาสที่เรียกว่า Luck Roll (เช่น Birdcage เพราะบางครั้งลูกเต๋าไม่ได้โยน แต่วางไว้ในกรงลวดขนาดใหญ่ซึ่งชวนให้นึกถึงกรง Bingo) มันเป็นเกมง่ายๆที่เล่นเกมแบบนี้: ใส่พูด $ 1 บนตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 6 จากนั้นคุณหมุน 3d6 สำหรับการตายแต่ละครั้งที่ถึงหมายเลขของคุณคุณจะได้รับ $ 1 (และรักษาเงินเดิมพันเดิมของคุณ) หากหมายเลขของคุณไม่ปรากฏบนลูกเต๋าใด ๆ คาสิโนจะได้รับเงินของคุณและคุณจะไม่มีอะไรเลย ดังนั้นหากคุณเดิมพัน 1 และคุณได้ 1 ที่ขอบสามครั้งคุณจะได้รับ $ 3

โดยสัญชาตญาณเกมนี้ดูเหมือนจะมีโอกาสเท่ากัน การตายแต่ละครั้งมีโอกาสชนะ 1 ใน 6 ดังนั้นผลรวมของทั้งสามโอกาสในการชนะของคุณคือ 3 ถึง 6 อย่างไรก็ตามโปรดจำไว้ว่าคุณกำลังแบ่งลูกเต๋าสามลูกแยกกันและคุณจะได้รับอนุญาตให้เพิ่มได้ก็ต่อเมื่อเรา เรากำลังพูดถึงชุดค่าผสมที่ชนะแยกกันของการดายเดียวกัน คุณจะต้องคูณบางสิ่งบางอย่าง

เมื่อคุณพบผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว (อาจจะง่ายกว่าที่จะทำใน Excel ด้วยมือเนื่องจากมีทั้งหมด 216 รายการ) เกมยังคงดูแปลกและแม้จะมองแวบแรก แต่แท้จริงแล้วคาสิโนยังมีโอกาสที่จะชนะมากกว่า - มากแค่ไหน? โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณคาดว่าจะเสียเงินโดยเฉลี่ยเท่าไหร่สำหรับแต่ละรอบของเกม? สิ่งที่คุณต้องทำคือรวมผลชนะและแพ้จากทั้งหมด 216 ผลลัพธ์แล้วหารด้วย 216 ซึ่งน่าจะง่ายมาก ... แต่อย่างที่คุณเห็นมีข้อผิดพลาดบางประการที่คุณสามารถทำได้ซึ่งเป็นสาเหตุที่ฉันบอกคุณ: หากคุณคิดว่าโอกาสในการชนะเท่ากันในเกมนี้คุณคิดผิดทั้งหมด

เกม # 3-5 Card Stud Poker

หากคุณเคยอุ่นเครื่องในเกมก่อนหน้านี้มาดูสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขกับเกมไพ่นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งลองนึกภาพโป๊กเกอร์ที่มีสำรับไพ่ 52 ใบ ลองนึกภาพสตั๊ดการ์ด 5 ใบที่ผู้เล่นแต่ละคนได้รับไพ่ 5 ใบเท่านั้น คุณไม่สามารถทิ้งการ์ดคุณไม่สามารถจั่วการ์ดใหม่ไม่มีเด็คทั่วไปคุณได้รับการ์ดเพียง 5 ใบ

Royal Flush คือ 10-J-Q-K-A ในมือเดียวมีทั้งหมดสี่แบบดังนั้นจึงมีสี่วิธีที่เป็นไปได้ในการรับ Royal Flush คำนวณความน่าจะเป็นที่คุณจะได้ชุดค่าผสมดังกล่าว

ฉันต้องเตือนคุณสิ่งหนึ่ง: จำไว้ว่าคุณสามารถจั่วไพ่ห้าใบนี้ในลำดับใดก็ได้ นั่นคือในตอนแรกคุณสามารถวาดเอซหรือสิบได้ก็ไม่สำคัญ ดังนั้นในขณะที่คำนวณสิ่งนี้โปรดจำไว้ว่ามีมากกว่าสี่วิธีในการรับ Royal Flush โดยสมมติว่าไพ่ได้รับการจัดการตามลำดับ!

เกม # 4 - IMF Lottery

ปัญหาที่สี่ไม่สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายด้วยวิธีการที่เราพูดถึงในวันนี้ แต่คุณสามารถจำลองสถานการณ์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้การเขียนโปรแกรมหรือ Excel ในตัวอย่างของปัญหานี้คุณสามารถหาวิธีมอนติคาร์โลได้

ฉันพูดถึงเกม "Chron X" ก่อนหน้านี้ซึ่งฉันทำงานอยู่และมีไพ่ใบหนึ่งที่น่าสนใจมากนั่นคือลอตเตอรีของ IMF นี่คือวิธีการทำงาน: คุณใช้ในเกม หลังจากจบรอบนั้นการ์ดจะถูกแจกจ่ายใหม่และมีความเป็นไปได้ 10% ที่การ์ดจะออกจากเกมและผู้เล่นแบบสุ่มจะได้รับ 5 หน่วยของทรัพยากรแต่ละประเภทซึ่งมีโทเค็นอยู่ในการ์ดใบนี้ การ์ดถูกนำไปเล่นโดยไม่มีโทเค็นเดียว แต่ทุกครั้งที่ยังคงเล่นอยู่ในตอนเริ่มต้นของรอบถัดไปจะได้รับโทเค็นหนึ่งใบ ดังนั้นจึงมีโอกาส 10% ที่คุณจะนำมันเข้าสู่การเล่นรอบจะจบลงการ์ดจะออกจากเกมและไม่มีใครได้รับอะไรเลย หากสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น (ด้วยความน่าจะเป็น 90%) มีโอกาส 10% (จริงๆแล้ว 9% เนื่องจากนี่คือ 10% จาก 90%) ที่เธอจะออกจากเกมในรอบถัดไปและจะมีคนได้รับทรัพยากร 5 หน่วย หากการ์ดออกจากเกมหลังจากหนึ่งรอบ (10% ของ 81% ที่มีอยู่ดังนั้นความน่าจะเป็น 8.1%) จะมีคนได้รับ 10 หน่วยหลังจากรอบอื่น - 15 อีก 20 และอื่น ๆ ถาม: มูลค่าที่คาดหวังโดยทั่วไปของจำนวนทรัพยากรที่คุณจะได้รับจากการ์ดใบนี้เมื่อออกจากเกมในที่สุดคืออะไร?

โดยปกติเราจะพยายามแก้ปัญหานี้โดยค้นหาความเป็นไปได้ของแต่ละผลลัพธ์แล้วคูณด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด ดังนั้นมีโอกาส 10% ที่คุณจะได้ 0 (0.1 * 0 \u003d 0) 9% ที่คุณจะได้รับ 5 หน่วยทรัพยากร (9% * 5 \u003d 0.45 ทรัพยากร) 8.1% ของสิ่งที่คุณได้รับ 10 (8.1% * 10 \u003d 0.81 ทรัพยากรทั้งหมดมูลค่าที่คาดหวัง) และอื่น ๆ จากนั้นเราจะเพิ่มมันทั้งหมด

ตอนนี้ปัญหาชัดเจนสำหรับคุณ: มีโอกาสเสมอที่การ์ด ไม่ จะออกจากเกมเพื่อให้เธออยู่ในเกมได้ ตลอดไปและตลอดไปสำหรับจำนวนรอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดเพื่อให้ความเป็นไปได้ในการคำนวณ ทุกโอกาส ไม่ได้อยู่. วิธีการที่เราเรียนรู้ในวันนี้ไม่ได้ทำให้เราสามารถคำนวณการวนซ้ำได้ไม่สิ้นสุดดังนั้นเราจะต้องสร้างมันขึ้นมาเอง

หากคุณเก่งพอกับการเขียนโปรแกรมให้เขียนโปรแกรมที่จำลองการ์ดใบนี้ คุณควรมีวงเวลาที่นำตัวแปรกลับไปที่ตำแหน่งศูนย์เดิมแสดงตัวเลขสุ่มและด้วยความน่าจะเป็น 10% ตัวแปรจะออกจากลูป มิฉะนั้นจะเพิ่ม 5 ให้กับตัวแปรและวนซ้ำ เมื่อมันหลุดออกจากลูปในที่สุดให้เพิ่มจำนวนการทดลองทั้งหมดขึ้น 1 และจำนวนทรัพยากรทั้งหมด (ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่ตัวแปรหยุดอยู่ที่) จากนั้นรีเซ็ตตัวแปรและเริ่มต้นใหม่ รันโปรแกรมหลายพันครั้ง สุดท้ายหารทรัพยากรทั้งหมดด้วยการวิ่งทั้งหมด - นี่คือมูลค่ามอนติคาร์โลที่คุณคาดหวัง รันโปรแกรมหลาย ๆ ครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นใกล้เคียงกัน หากการแพร่กระจายยังคงมีขนาดใหญ่ให้เพิ่มจำนวนการทำซ้ำในวงนอกจนกว่าคุณจะเริ่มจับคู่ คุณสามารถมั่นใจได้ว่าตัวเลขที่คุณลงท้ายจะถูกต้องโดยประมาณ

หากคุณไม่คุ้นเคยกับการเขียนโปรแกรม (หรือแม้ว่าคุณจะคุ้นเคย) นี่คือแบบฝึกหัดเล็ก ๆ น้อย ๆ สำหรับคุณในการอุ่นเครื่องทักษะ Excel ของคุณ หากคุณเป็นนักออกแบบเกมทักษะ Excel จะไม่ฟุ่มเฟือย

ฟังก์ชัน IF และ RAND จะมีประโยชน์มากในตอนนี้ RAND ไม่ต้องการค่าใด ๆ เพียงแค่แสดงตัวเลขทศนิยมแบบสุ่มระหว่าง 0 ถึง 1 โดยปกติเราจะรวมกับ FLOOR และข้อดีข้อเสียเพื่อจำลองการหมุนของแม่พิมพ์ซึ่งฉันได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตามในกรณีนี้เรามีโอกาสเพียง 10% ที่การ์ดจะออกจากเกมดังนั้นเราสามารถตรวจสอบได้ว่าค่า RAND น้อยกว่า 0.1 หรือไม่และไม่ต้องกังวลกับมันอีกต่อไป

IF มีสามความหมาย ตามลำดับเงื่อนไขที่เป็นจริงหรือไม่จากนั้นค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นจริงและค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขไม่เป็นจริง ดังนั้นฟังก์ชันต่อไปนี้จะคืนค่า 5% ของเวลาและ 0 อีก 90% ของเวลา:
\u003d IF (RAND ()<0.1,5,0)

มีหลายวิธีในการตั้งค่าคำสั่งนี้ แต่ฉันจะใช้สูตรเช่นนี้สำหรับเซลล์ที่แสดงรอบแรกสมมติว่าเป็นเซลล์ A1:

IF (RAND ()<0.1,0,-1)

ที่นี่ฉันใช้ตัวแปรเชิงลบเพื่อหมายความว่า“ การ์ดใบนี้ยังไม่ออกจากเกมและยังไม่ได้ให้ทรัพยากรใด ๆ ” ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและการ์ดไม่อยู่ในการเล่น A1 คือ 0 มิฉะนั้นจะเป็น -1

สำหรับเซลล์ถัดไปที่เป็นตัวแทนของรอบที่สอง:

IF (A1\u003e -1, A1, IF (RAND ()<0.1,5,-1))

ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและการ์ดออกจากเกมทันที A1 คือ 0 (จำนวนทรัพยากร) และเซลล์นี้ก็จะคัดลอกค่านั้น ในกรณีตรงข้าม A1 คือ -1 (การ์ดยังไม่ออกจากเกม) และเซลล์นี้ยังคงเคลื่อนที่แบบสุ่ม: 10% ของเวลาที่มันจะส่งคืนทรัพยากร 5 หน่วยเวลาที่เหลือมูลค่าของมันจะยังคงเป็น -1 หากเราใช้สูตรนี้กับเซลล์เพิ่มเติมเราจะได้รอบเพิ่มเติมและเซลล์ใดที่ตกลงมาหาคุณในตอนท้ายคุณจะได้รับผลลัพธ์สุดท้าย (หรือ -1 หากการ์ดไม่ออกจากเกมหลังจากรอบที่คุณเล่นทั้งหมด)

ใช้แถวนี้ของเซลล์ซึ่งเป็นรอบเดียวที่มีการ์ดนี้แล้วคัดลอกและวางแถวหลายร้อย (หรือหลายพัน) เราอาจจะทำไม่ได้ ไม่มีที่สิ้นสุดทดสอบ Excel (ในตารางมีเซลล์จำนวน จำกัด ) แต่อย่างน้อยเราก็สามารถครอบคลุมกรณีส่วนใหญ่ได้ จากนั้นเลือกเซลล์หนึ่งเซลล์ที่คุณจะวางค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ของรอบทั้งหมด (Excel ขอให้ฟังก์ชัน AVERAGE () สำหรับสิ่งนี้)

ใน Windows อย่างน้อยคุณสามารถกด F9 เพื่อนับตัวเลขสุ่มทั้งหมดใหม่ได้ ก่อนหน้านี้ให้ทำหลาย ๆ ครั้งและดูว่าค่าที่คุณได้รับเหมือนกันหรือไม่ หากการแพร่กระจายกว้างเกินไปให้เพิ่มจำนวนการวิ่งเป็นสองเท่าแล้วลองอีกครั้ง

งานที่ยังไม่ได้แก้ไข

หากคุณมีปริญญาเอกสาขาความน่าจะเป็นและปัญหาข้างต้นดูเหมือนง่ายเกินไปสำหรับคุณนี่เป็นปัญหาสองประการที่ฉันงงงวยมาหลายปีแล้ว แต่อนิจจาฉันไม่เก่งคณิตศาสตร์ที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้ หากคุณรู้วิธีแก้ปัญหาในทันทีโปรดโพสต์ไว้ที่นี่ในความคิดเห็นฉันจะอ่านด้วยความยินดี

ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไขหมายเลข 1: ลอตเตอรีIMF

ปัญหาแรกที่ยังไม่ได้แก้ไขคือการบ้านก่อนหน้านี้ ฉันสามารถใช้วิธีมอนติคาร์โลได้อย่างง่ายดาย (โดยใช้ C ++ หรือ Excel) และฉันจะมั่นใจในคำตอบของคำถาม "ทรัพยากรที่ผู้เล่นจะได้รับมากแค่ไหน" แต่ฉันไม่รู้ว่าจะให้คำตอบที่แน่นอนในเชิงคณิตศาสตร์ได้อย่างไร (นี่คืออนุกรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด ). หากคุณรู้คำตอบโพสต์ไว้ที่นี่ ... หลังจากตรวจสอบด้วยวิธีมอนติคาร์โลแน่นอน

ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไข # 2: ลำดับของรูปร่าง

ปัญหานี้ (และอีกครั้งที่มันเกินกว่างานที่แก้ไขได้ในบล็อกนี้) ถูกนักเล่นเกมคุ้นเคยเมื่อ 10 ปีก่อน เขาสังเกตเห็นคุณสมบัติที่น่าสนใจอย่างหนึ่งเมื่อเล่นแบล็คแจ็คในเวกัส: เมื่อเขาหยิบไพ่ออกมาจากรองเท้า 8 สำรับเขาก็เห็น สิบ ชิ้นในแถว (ชิ้นส่วนหรือการ์ดชิ้น - 10, โจ๊กเกอร์, คิงหรือควีนดังนั้นจึงมี 16 ชิ้นในสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบดังนั้นจึงมี 128 ชิ้นในรองเท้าการ์ด 416 ใบ) ความน่าจะเป็นในรองเท้ารุ่นนี้ อย่างน้อย หนึ่งลำดับสิบ หรือมากกว่าตัวเลข? สมมติว่าพวกเขาถูกสับอย่างตรงไปตรงมาตามลำดับแบบสุ่ม (หรือถ้าชอบดีกว่านั้นความน่าจะเป็นเท่าไหร่ ไม่เกิดขึ้นที่ใดก็ได้ ลำดับของรูปร่างตั้งแต่ 10 รูปขึ้นไป?)

เราสามารถทำให้งานง่ายขึ้น นี่คือลำดับ 416 ส่วน แต่ละชิ้นเป็น 0 หรือ 1 มี 128 ตัวและ 288 ศูนย์กระจายแบบสุ่มทั่วทั้งลำดับ มีวิธีการสุ่มสลับ 128 รายการที่มี 288 ศูนย์กี่วิธีและวิธีการเหล่านี้มีอย่างน้อยหนึ่งกลุ่มจากสิบหรือมากกว่านั้นกี่ครั้ง?

ทุกครั้งที่ฉันเริ่มแก้ปัญหานี้มันดูเหมือนง่ายและชัดเจนสำหรับฉัน แต่ทันทีที่ฉันลงรายละเอียดมันก็แตกสลายทันทีและดูเหมือนฉันจะเป็นไปไม่ได้เลย ดังนั้นอย่ารีบเร่งที่จะเบลอคำตอบ: นั่งลงคิดอย่างรอบคอบศึกษาเงื่อนไขของปัญหาพยายามแทนที่จำนวนจริงเพราะทุกคนที่ฉันพูดถึงปัญหานี้ด้วย (รวมถึงนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาหลายคนที่ทำงานในสาขานี้) มีปฏิกิริยาในเรื่องเดียวกัน "มันชัดเจนมาก ... โอ้ไม่เดี๋ยวก่อนมันไม่ชัดเจนเลย" นี่เป็นกรณีที่ฉันไม่มีวิธีคำนวณตัวเลือกทั้งหมด ฉันสามารถบังคับให้เกิดปัญหาผ่านอัลกอริธึมคอมพิวเตอร์ได้อย่างแน่นอน แต่คงจะอยากรู้วิธีทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหานี้มากกว่า

การแปล - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

ลูกเต๋าถูกใช้โดยมนุษย์มานานหลายพันปี

ในศตวรรษที่ 21 เทคโนโลยีใหม่ช่วยให้คุณทอยลูกเต๋าได้ทุกเวลาที่สะดวกและหากคุณมีอินเทอร์เน็ตก็อยู่ในที่ที่สะดวก ลูกเต๋ามักจะอยู่กับคุณที่บ้านหรือบนท้องถนน

เครื่องกำเนิดลูกเต๋าช่วยให้คุณสามารถทอยลูกเต๋าแบบออนไลน์ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 4 ลูกเต๋า

ม้วนตายออนไลน์อย่างยุติธรรม

เมื่อใช้ลูกเต๋าจริงสามารถใช้ความชำนาญหรือลูกเต๋าที่ทำขึ้นเป็นพิเศษที่มีน้ำหนักเกินด้านใดด้านหนึ่งได้ ตัวอย่างเช่นคุณสามารถหมุนลูกบาศก์ตามแกนใดแกนหนึ่งจากนั้นการแจกแจงความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไป คุณลักษณะของคิวบ์เสมือนของเราคือการใช้ซอฟต์แวร์ตัวสร้างตัวเลขสุ่มหลอก สิ่งนี้ช่วยให้คุณสามารถระบุตัวเลือกแบบสุ่มสำหรับสิ่งนี้หรือผลลัพธ์นั้นได้

และหากคุณเพิ่มหน้านี้ในบุ๊กมาร์กของคุณลูกเต๋าออนไลน์ของคุณจะไม่สูญหายไปไหนและจะพร้อมเสมอในเวลาที่เหมาะสม!

บางคนปรับตัวมาใช้ไฮโลออนไลน์เพื่อการทำนายดวงหรือทำนายดวงและดูดวง

มีความสุขวันที่ดีและโชคดี!