ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สำหรับหุ่น ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์: ทฤษฎีและการแก้ปัญหา

เวกเตอร์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์

เรายังคงจัดการกับเวกเตอร์ต่อไป ในบทเรียนแรก เวกเตอร์สำหรับกาน้ำชา เรามองไปที่แนวคิดของเวกเตอร์การกระทำที่มีเวกเตอร์พิกัดเวกเตอร์และงานที่ง่ายที่สุดกับเวกเตอร์ หากคุณป้อนหน้านี้เป็นครั้งแรกจากเครื่องมือค้นหาฉันขอแนะนำให้อ่านบทความแนะนำข้างต้นเนื่องจากมีความจำเป็นต้องนำทางข้อกำหนดที่ฉันใช้โดยฉันเพื่อให้มีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์และสามารถ เพื่อแก้ปัญหาระดับประถมศึกษา บทเรียนนี้เป็นความต่อเนื่องเชิงตรรกะของหัวข้อและในนั้นฉันจะกำหนดงานทั่วไปที่ใช้ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ นี่เป็นอาชีพที่สำคัญมาก. พยายามอย่าพลาดตัวอย่างโบนัสที่มีประโยชน์จะแนบมากับพวกเขา - การฝึกฝนจะช่วยให้คุณแก้ไขวัสดุที่ส่งผ่านและ "เติมมือ" ในการแก้ปัญหาทั่วไปของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

นอกจากนี้ของเวกเตอร์การคูณเวกเตอร์ตามจำนวน .... มันจะไร้เดียงสาที่จะคิดว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้เกิดขึ้นกับสิ่งอื่นใด นอกเหนือจากการกระทำที่ตรวจสอบแล้วแล้วยังมีการดำเนินงานอื่น ๆ อีกมากมายที่มีเวกเตอร์กล่าวคือ: เวกเตอร์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์, เวกเตอร์เวกเตอร์เวกเตอร์ และ เวกเตอร์ผสม. ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์มีความคุ้นเคยกับเราจากโรงเรียนสองงานอื่น ๆ แบบดั้งเดิมอ้างถึงหลักสูตรของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ชุดรูปแบบเป็นเรื่องง่ายอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาสำคัญของลำต้นและเป็นที่เข้าใจได้ สิ่งเดียว. ข้อมูลมีความเหมาะสมดังนั้นจึงไม่พึงประสงค์ที่จะพยายามที่จะทำลายทุกอย่างและทันที นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งของกาน้ำชาเชื่อฉันผู้เขียนไม่ต้องการที่จะรู้สึก Chikatilo จากคณิตศาสตร์ ไม่ได้มาจากคณิตศาสตร์แน่นอนเช่นกัน \u003d) นักเรียนที่เตรียมไว้มากขึ้นสามารถใช้วัสดุที่เลือกในความรู้สึกที่แน่นอน "เพื่อรับ" ความรู้ที่หายไปสำหรับคุณฉันจะเป็นกราฟ Dracula ที่ไม่เป็นอันตราย \u003d)

เราจะเปิดในที่สุดประตูและความกระตือรือร้นดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อสองรุ่นพบกัน ....

นิยามของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ภารกิจทั่วไป

แนวคิดของงานสเกลาร์

โปรครั้งแรก มุมมองระหว่างเวกเตอร์. ฉันคิดว่าทุกคนใช้งานง่ายที่มุมระหว่างเวกเตอร์ แต่ในกรณีที่อีกเล็กน้อย พิจารณาฟรีเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์และ หากคุณเลื่อนเวกเตอร์เหล่านี้ออกจากจุดโดยพลการมันจะปรากฎภาพที่หลายคนนำเสนอทางจิตใจแล้ว:

ฉันสารภาพที่นี่ฉันเชื่อสถานการณ์เฉพาะในระดับความเข้าใจ หากคุณต้องการคำจำกัดความที่เข้มงวดของมุมระหว่างเวกเตอร์โปรดติดต่อตำราเรียนสำหรับงานที่ใช้งานได้จริงมันเป็นหลักประกัน นอกจากนี้ฉันจะอยู่ในสถานที่ที่จะเพิกเฉยต่อเวกเตอร์เป็นศูนย์เนื่องจากความสำคัญในทางปฏิบัติเล็ก ๆ ของพวกเขา การจองที่ทำขึ้นโดยเฉพาะสำหรับผู้เข้าชมเว็บไซต์ขั้นสูงที่สามารถตำหนิฉันในเชิงทฤษฎีที่ไม่สมบูรณ์ของข้อความที่ตามมา

สามารถใช้ค่าจาก 0 ถึง 180 องศา (จาก 0 ถึงเรเดียน) รวม การวิเคราะห์ข้อเท็จจริงนี้ถูกบันทึกในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันสองครั้ง:

หรือ

(ในเรเดียน)

ในวรรณคดีไอคอนมุมมักจะข้ามและเขียนเพียงแค่

คำนิยาม: ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของสองเวกเตอร์เรียกว่าจำนวนเท่ากับผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์เหล่านี้บนโคไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา:

ตอนนี้เป็นคำจำกัดความที่เข้มงวดค่อนข้างเข้มงวด

เรามุ่งเน้นที่ข้อมูลที่จำเป็น:

การกำหนด: ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ถูกแสดงโดยหรือเพียงแค่

ผลลัพธ์ของการดำเนินการคือตัวเลข: เวกเตอร์ถูกคูณด้วยเวกเตอร์และจำนวนที่ได้รับ แน่นอนถ้าความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวเลขโคไซน์ของมุม - ตัวเลขจากนั้นทำงานของพวกเขา นอกจากนี้ยังมีตัวเลขเช่นกัน

ตัวอย่างการอุ่นเครื่องสองครั้งทันที:

ตัวอย่างที่ 1

การตัดสินใจ: เราใช้สูตร . ในกรณีนี้:

ตอบ:

สามารถพบค่าโคไซน์ได้ใน ตารางตรีโกณมิติ. ฉันแนะนำให้พิมพ์ - มันจะจำเป็นในเกือบทุกส่วนของหอคอยและจะต้องมีหลายครั้ง

อย่างหมดจดจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์คือผลลัพธ์ในกรณีนี้เป็นเพียงจำนวนและนั่นคือ จากมุมมองของงานของฟิสิกส์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีความหมายทางกายภาพบางอย่างนั่นคือหลังจากที่ผลลัพธ์คุณต้องระบุหน่วยทางกายภาพที่เฉพาะเจาะจง ตัวอย่างที่บัญญัติของการคำนวณการทำงานของแรงสามารถพบได้ในหนังสือเรียนใด ๆ (สูตรแน่นอนคือผลิตภัณฑ์สเกลาร์) การทำงานของแรงมีการวัดในจูลดังนั้นคำตอบจะถูกบันทึกไว้โดยเฉพาะตัวอย่างเช่น

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาว่า และมุมระหว่างเวกเตอร์ก็เท่ากับ

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับการตัดสินใจอิสระคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

มุมระหว่างเวกเตอร์กับค่าของผลิตภัณฑ์สเกลาร์

ในตัวอย่างที่ 1 ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เป็นบวกและในตัวอย่างที่ 2 - ลบ ค้นหาว่าสัญญาณของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ขึ้นอยู่กับว่าอะไร เราดูสูตรของเรา: . ความยาวของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นบวกเสมอ: ดังนั้นสัญญาณอาจขึ้นอยู่กับค่าโคไซน์เท่านั้น

บันทึก: เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นของข้อมูลด้านล่างจะเป็นการดีกว่าที่จะสำรวจตารางโคไซน์ในวิธีการ แผนภูมิและคุณสมบัติของฟังก์ชั่น. ดูว่าโคไซน์ในกลุ่มมีพฤติกรรมอย่างไร

ตามที่ระบุไว้แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์อาจแตกต่างกันภายใน และกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้:

1) ถ้า มุม ระหว่างเวกเตอร์ เฉียบพลัน: (จาก 0 ถึง 90 องศา) จากนั้น , ผม. ผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะเป็นบวก ที่แล้วมุมระหว่างพวกเขาถือว่าเป็นศูนย์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะเป็นบวก ตั้งแต่สูตรนี้ง่ายขึ้น:.

2) ถ้า มุม ระหว่างเวกเตอร์ โง่: (จาก 90 ถึง 180 องศา) และตามลำดับ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ลบ. กรณีพิเศษ: ถ้าเวกเตอร์ กำกับตรงข้ามจากนั้นมุมระหว่างพวกเขาจะพิจารณา ซึ่งออกเดินทางแล้ว: (180 องศา) ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ยังเป็นลบเนื่องจาก

ข้อความที่เป็นธรรมและส่งคืน:

1) ถ้ามุมระหว่างข้อมูลของเวกเตอร์มีความคมชัด อีกวิธีหนึ่งเวกเตอร์เคลือบ

2) ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์ข้อมูลนั้นโง่ อีกวิธีหนึ่งเวกเตอร์ถูกกำกับตรงกันข้าม

แต่กรณีที่สามมีความสนใจเป็นพิเศษ:

3) ถ้า มุม ระหว่างเวกเตอร์ ตรง: (90 องศา) แล้ว ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เป็นศูนย์. ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้าแล้ว คำสั่งขนาดกะทัดรัดเป็นสูตรดังต่อไปนี้: ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของทั้งสองเวกเตอร์เป็นศูนย์ถ้าเฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์เหล่านี้เป็นมุมฉาก. การบันทึกทางคณิตศาสตร์สั้น:

! บันทึก : ทำซ้ำ พื้นฐานของตรรกะทางคณิตศาสตร์: ไอคอนผลลัพธ์เชิงตรรกะสองทางมักจะอ่าน "ถ้าและเท่านั้น", "ในนั้นและในกรณีนี้เท่านั้น" อย่างที่คุณเห็นลูกศรจะถูกส่งไปทั้งสองด้าน - "สิ่งนี้ตามมาจากนี้และกลับมา - จากนั้นมันดังต่อไปนี้" อะไรคือความแตกต่างจากไอคอนต่อไปนี้ข้างหนึ่ง? icon approves ว่ามีเพียงนั่น "สิ่งนี้ตามมาจากนี้" และไม่ใช่ความจริงที่ว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามนั้นถูกต้อง ตัวอย่างเช่น: แต่ไม่ใช่ทุกสัตว์ร้ายคือ Panther ดังนั้นในกรณีนี้มันเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้ไอคอน ในเวลาเดียวกันแทนที่จะเป็นไอคอน สามารถ ใช้ไอคอนเดียว ตัวอย่างเช่นการแก้ปัญหาเราพบว่าเราสรุปว่าเวกเตอร์เป็นมุมฉาก: - บันทึกดังกล่าวจะถูกต้องและมีความเกี่ยวข้องมากกว่า .

กรณีที่สามมีความสำคัญในทางปฏิบัติที่ดีเพราะช่วยให้คุณตรวจสอบเวกเตอร์มุมฉากหรือไม่ เราแก้ปัญหานี้ในส่วนที่สองของบทเรียน

คุณสมบัติของชิ้นส่วนของสเกลาร์

มากลับสู่สถานการณ์กันเถอะสองรุ่น ที่แล้ว. ในกรณีนี้มุมระหว่างพวกเขาเป็นศูนย์และสูตรของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ใช้แบบฟอร์ม:

และจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์ถูกคูณกับตัวเอง? เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์เคลือบด้วยตัวเองดังนั้นเราจึงใช้สูตรที่เรียบง่ายข้างต้น:

หมายเลขเรียกว่า สเกลาร์สแควร์ เวกเตอร์และเรียกว่า

ทางนี้, Vector Scalar Square เท่ากับจัตุรัสของความยาวของเวกเตอร์นี้:

จากความเท่าเทียมนี้คุณสามารถรับสูตรในการคำนวณความยาวของเวกเตอร์:

ในขณะที่ดูเหมือนจะไม่ขาดตอน แต่งานของบทเรียนจะหายไปทั้งหมด เพื่อแก้ปัญหาเรายังต้องการ คุณสมบัติของชิ้นส่วนของสเกลาร์.

สำหรับเวกเตอร์โดยพลการและหมายเลขใด ๆ คุณสมบัติต่อไปนี้ถูกต้อง:

1) - การเคลื่อนไหวหรือ เกี่ยวกับการสับเปลี่ยน กฎหมายของงานสเกลาร์

2) - การกระจายหรือ เกี่ยวกับการจัดจำหน่าย กฎหมายของงานสเกลาร์ เพียงแค่คุณสามารถเปิดเผยวงเล็บ

3) - ระบายอากาศหรือ ซึ่งเชื่อมโยงกัน กฎหมายของงานสเกลาร์ ค่าคงที่สามารถนำออกจากผลิตภัณฑ์สเกลาร์

บ่อยครั้งที่คุณสมบัติทุกประเภท (ซึ่งยังต้องการ!) การรับรู้ของนักเรียนว่าเป็นถังขยะที่ไม่จำเป็นซึ่งต้องส่งและทันทีหลังจากการสอบถูกลืมอย่างปลอดภัย ดูเหมือนว่ามีความสำคัญที่นี่ทุกอย่างจากชั้นหนึ่งรู้ว่างานไม่เปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนแปลงของตัวคูณ:. ต้องเตือนในคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นด้วยวิธีการที่คล้ายกันมันเป็นเรื่องง่ายที่จะบล็อกฟืน ตัวอย่างเช่นคุณสมบัติการเปลี่ยนแปลงไม่ยุติธรรมสำหรับ เมทริกซ์พีชคณิต. มันผิดสำหรับ เวกเตอร์เวกเตอร์ศิลปะ. ดังนั้นในคุณสมบัติใด ๆ ที่คุณจะได้พบกันในหลักสูตรคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นอย่างน้อยก็จะดีกว่าที่จะเข้าใจเพื่อทำความเข้าใจกับสิ่งที่คุณสามารถทำได้ แต่ทำไมมันเป็นไปไม่ได้

ตัวอย่างที่ 3

การตัดสินใจ:ก่อนอื่นให้ชี้แจงสถานการณ์ด้วยเวกเตอร์ มันคืออะไร ผลรวมของเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่กำหนดไว้อย่างสมบูรณ์ซึ่งมีการระบุผ่าน การตีความทางเรขาคณิตของการกระทำที่มีเวกเตอร์สามารถพบได้ในบทความ เวกเตอร์สำหรับกาน้ำชา. ผักชีฝรั่งเดียวกันกับเวกเตอร์คือผลรวมของเวกเตอร์และ

ดังนั้นตามเงื่อนไขจึงจำเป็นต้องค้นหาผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ในทางทฤษฎีคุณต้องใช้สูตรการทำงาน แต่ปัญหาคือเราไม่รู้จักด้วยความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกเขา แต่ในสภาพที่กำหนดพารามิเตอร์ที่คล้ายกันสำหรับเวกเตอร์ดังนั้นเราจะไปวิธีที่แตกต่าง:

(1) เราแทนที่การแสดงออกของเวกเตอร์

(2) เปิดเผยวงเล็บตามกฎของการคูณพหุนามคุณสามารถหาคาถาในบทความ ตัวเลขที่ซับซ้อน หรือ การรวมฟังก์ชั่นเหตุผลที่เป็นเศษส่วน. ฉันจะไม่ทำซ้ำ \u003d) โดยวิธีการเปิดเผยวงเล็บให้เราทั้งหมดการกระจายทรัพย์สินของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เรามีสิทธิ์

(3) ในระยะแรกและระยะสุดท้ายสี่เหลี่ยมสเกลาร์ของเวกเตอร์มีขนาดกะทัดรัด: . ในครั้งที่สองเราใช้การจัดเรียงใหม่ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์:.

(4) เราให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน:.

(5) ในภาคเรียนแรกเราใช้สูตรของจัตุรัสสเกลาร์ซึ่งกล่าวถึงไม่นานมานี้ ในคำสุดท้ายดังนั้นสิ่งเดียวกันนี้ทำงาน:. คำที่สองกำลังขยายตัวตามสูตรมาตรฐาน .

(6) เราแทนเงื่อนไขเหล่านี้ และดำเนินการคำนวณขั้นสุดท้ายอย่างรอบคอบ

ตอบ:

ค่าลบของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ระบุความจริงที่ว่ามุมระหว่างเวกเตอร์คือทื่อ

ภารกิจทั่วไปนี่เป็นตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และถ้าคุณรู้ว่า .

ตอนนี้อีกงานทั่วไปเป็นเพียงสูตรความยาวเวกเตอร์ใหม่ การกำหนดที่นี่จะค่อนข้างตรงเล็กน้อยดังนั้นสำหรับความชัดเจนฉันจะเขียนด้วยตัวอักษรอื่น:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ถ้า .

การตัดสินใจ มันจะเป็นดังนี้:

(1) เราจัดหาการแสดงออกของเวกเตอร์

(2) การใช้สูตรความยาว:, ในขณะที่เป็นเวกเตอร์ "VE" เรามีนิพจน์จำนวนเต็ม

(3) เราใช้สูตรสรุปสรุปช่วงฤดูร้อน โปรดทราบว่ามันทำงานอย่างไรอยากรู้อยากเห็นที่นี่: "ในความเป็นจริงนี่เป็นสแควร์ของความแตกต่างและในความเป็นจริงมันเป็น" ผู้ที่ต้องการสามารถจัดเรียงเวกเตอร์ในสถานที่: - มันกลับกลายเป็นสิ่งเดียวกันกับความแม่นยำของอัลคาลิส

(4) นอกจากนี้ยังคุ้นเคยกับงานก่อนหน้าสองครั้งแล้ว

ตอบ:

หากคุณกำลังพูดถึงความยาวอย่าลืมระบุมิติ - "หน่วย"

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ถ้า .

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ โซลูชันที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

เรายังคงบีบสิ่งที่มีประโยชน์จากผลิตภัณฑ์สเกลาร์ต่อไป ลองดูสูตรของเราอีกครั้ง . ตามกฎของสัดส่วนที่จะรีเซ็ตความยาวของเวกเตอร์ในส่วนซ้ายของด้านซ้าย:

และชิ้นส่วนจะเปลี่ยนสถานที่:

สูตรนี้มีความหมายอะไร? หากมีความยาวของเวกเตอร์สองตัวและผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกเขาเป็นที่รู้จักกันแล้วโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ข้อมูลสามารถคำนวณได้และดังนั้นมุมนั้นเอง

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เป็นตัวเลขหรือไม่ จำนวน. เวกเตอร์ความยาว - ตัวเลข? ตัวเลข ดังนั้นเศษส่วนจึงเป็นจำนวนหนึ่ง และถ้าโคไซน์ของมุมเป็นที่รู้จัก: มันง่ายที่จะหามุมตัวเองโดยใช้ฟังก์ชั่นย้อนกลับ: .

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์และถ้าเป็นที่รู้จักกันว่า

การตัดสินใจ: เราใช้สูตร:

ในขั้นตอนสุดท้ายของการคำนวณการรับทางเทคนิคถูกนำมาใช้ - การกำจัดความไร้เหตุผลในตัวหาร เพื่อที่จะขจัดความไร้เหตุผลฉันดำรงตำแหน่ง nizer และตัวหาร

ดังนั้นถ้า แล้ว:

ค่าของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผันสามารถพบได้โดย ตารางตรีโกณมิติ. แม้ว่ามันจะเกิดขึ้นบ่อยครั้ง ในภารกิจของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์หมีที่คลุมเครือบางชนิดดูเหมือนจะปรากฏขึ้นบ่อยครั้งมากขึ้นและค่ามุมต้องค้นหาประมาณการใช้เครื่องคิดเลข ที่จริงแล้วเราจะยังคงทำซ้ำภาพดังกล่าว

ตอบ:

อีกครั้งอย่าลืมระบุมิติ - เรเดียนและองศา โดยส่วนตัวแล้วฉันจะแน่ใจว่า "ลบคำถามทั้งหมด" ฉันต้องการระบุทั้งแบบนั้น (ถ้าโดยเงื่อนไขแน่นอนมันไม่จำเป็นต้องนำเสนอคำตอบเฉพาะในเรเดียนหรือในองศาเท่านั้น)

ตอนนี้คุณสามารถรับมือกับงานที่ซับซ้อนมากขึ้น:

ตัวอย่างที่ 7 *

Danies - ความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกเขา ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์

งานไม่ซับซ้อนมากนัก
เราจะวิเคราะห์อัลกอริทึมการแก้ปัญหา:

1) ภายใต้เงื่อนไขที่จำเป็นในการค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์และดังนั้นคุณต้องใช้สูตร .

2) ค้นหาผลิตภัณฑ์สเกลาร์ (ดูตัวอย่างหมายเลข 3, 4)

3) เราพบความยาวของเวกเตอร์และความยาวของเวกเตอร์ (ดูตัวอย่างหมายเลข 5, 6)

4) การสิ้นสุดการตัดสินใจเกิดขึ้นพร้อมกับตัวอย่างหมายเลข 7 - เรารู้ตัวเลขดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะหามุมตัวเอง:

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ส่วนที่สองของบทเรียนจะอุทิศให้กับผลิตภัณฑ์สเกลาร์เดียวกัน พิกัด. มันจะง่ายกว่าในส่วนแรก

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์
พิกัดที่ถามในพื้นฐานการ orthonormal

ตอบ:

สิ่งที่จะพูดเพื่อจัดการกับพิกัดมีความสุขมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 14

ค้นหาผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และถ้า

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ ที่นี่คุณสามารถใช้การเชื่อมโยงของการดำเนินการนั่นคืออย่านับ แต่นำสามอันดับแรกของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ทันทีและอัปเกรดเป็นครั้งสุดท้าย วิธีแก้ปัญหาและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ในบทสรุปของวรรคตัวอย่างยั่วยุในการคำนวณความยาวของเวกเตอร์:

ตัวอย่างที่ 15

ค้นหาเวกเตอร์ความยาว ถ้าเป็น

การตัดสินใจ:วิธีการของส่วนก่อนหน้าจะปรากฏขึ้นอีกครั้ง: แต่มีถนนสายอื่น:

ค้นหาเวกเตอร์:

และความยาวของมันในสูตรเล็กน้อย :

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ไม่ได้อยู่ที่นี่เลย

ไม่เหมือนที่มันไม่ได้เมื่อคำนวณความยาวของเวกเตอร์:
หยุด. อย่าใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่ชัดเจนของความยาวเวกเตอร์? สิ่งที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับความยาวของเวกเตอร์? เวกเตอร์นี้เป็นเวกเตอร์อีกต่อไป 5 ครั้ง ทิศทางที่ตรงกันข้าม แต่มันไม่ได้มีบทบาทเพราะพูดถึงความยาว เห็นได้ชัดว่าความยาวของเวกเตอร์มีค่าเท่ากับการทำงาน โมดูล ตัวเลขสำหรับความยาวของเวกเตอร์:
- สัญลักษณ์ของโมดูล "กิน" จำนวนลบที่เป็นไปได้

ทางนี้:

ตอบ:

สูตร cosine ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัด

ตอนนี้เรามีข้อมูลที่สมบูรณ์ไปยังสูตรโคไซน์ที่ได้มาก่อนหน้านี้ระหว่างเวกเตอร์ แสดงถึงพิกัดของเวกเตอร์:

มุม cosine ระหว่างเวกเตอร์เครื่องบิน และระบุไว้ในพื้นฐานการ orthonormal แสดงสูตร:
.

มุม cosine ระหว่างเวกเตอร์อวกาศ กำหนดไว้ในพื้นฐานของ orthonormal แสดงสูตร:

ตัวอย่างที่ 16

สามจุดยอดของสามเหลี่ยมจะได้รับ ค้นหา (มุมที่ด้านบน)

การตัดสินใจ:ตามเงื่อนไขการวาดไม่จำเป็นต้องใช้ แต่ยังคง:

มุมที่ต้องการถูกทำเครื่องหมายด้วย Arc สีเขียว จำตำแหน่งโรงเรียนทันที: - ความสนใจเป็นพิเศษกับ กลาง ตัวอักษรคือด้านบนของมุมที่คุณต้องการ สำหรับความกะทัดรัดมันเป็นไปได้ที่จะบันทึกเพียงอย่างเดียว

มันชัดเจนจากภาพวาดที่มุมสามเหลี่ยมเกิดขึ้นพร้อมกับมุมระหว่างเวกเตอร์และในคำอื่น ๆ : .

การวิเคราะห์เป็นการเรียนรู้ที่จะดำเนินการทางจิตใจ

ค้นหาเวกเตอร์:

เราคำนวณผลิตภัณฑ์สเกลาร์:

และความยาวของเวกเตอร์:

โคไซน์มุม:

มันเป็นขั้นตอนนี้สำหรับการปฏิบัติงานที่แนะนำกาน้ำชา ผู้อ่านที่เตรียมไว้มากขึ้นสามารถบันทึกการคำนวณของ "หนึ่งบรรทัด":

นี่คือตัวอย่างของค่าโคไซน์ "ไม่ดี" ค่าที่ได้รับไม่ได้เป็นที่สิ้นสุดดังนั้นจึงไม่มีความหมายใด ๆ ที่จะกำจัดความไร้เหตุผลในตัวหาร

ค้นหามุมของตัวเอง:

หากคุณดูที่รูปวาดผลลัพธ์จะเชื่อได้ค่อนข้างมาก ในการตรวจสอบมุมที่สามารถวัดได้และการขนส่ง อย่าทำลายการเคลือบจอภาพ \u003d)

ตอบ:

ในการตอบสนองอย่าลืมว่า ถามเกี่ยวกับมุมของสามเหลี่ยม (และไม่เกี่ยวกับมุมระหว่างเวกเตอร์) อย่าลืมระบุคำตอบที่แน่นอน: และมูลค่าโดยประมาณของมุม: พบว่าใช้เครื่องคิดเลข

ผู้ที่มีความสุขกับกระบวนการสามารถคำนวณมุมและทำให้แน่ใจว่าความยุติธรรมของความเท่าเทียมกันของหวาน

ตัวอย่างที่ 17

พื้นที่ได้รับจากพิกัดสามเหลี่ยมของจุดยอดของพวกเขา ค้นหามุมระหว่างฝ่ายต่างๆและ

ส่วนสุดท้ายขนาดเล็กจะทุ่มเทให้กับการคาดการณ์ซึ่งผลิตภัณฑ์สเกลาร์ยัง "เกี่ยวข้อง":

การฉายเวกเตอร์บนเวกเตอร์ การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนพิกัด
คู่มือคอสไลท์เวกเตอร์

พิจารณาเวกเตอร์และ:

Sprogit Vector on Vector, สำหรับสิ่งนี้, ออกจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของ Vector Omit ที่ตั้งฉาก บนเวกเตอร์ (เส้นประสีเขียว) ลองนึกภาพว่าแสงสว่างของแสงในแนวตั้งฉากตกอยู่ในเวกเตอร์ จากนั้นส่วน (เส้นสีแดง) จะเป็น "เงา" ของเวกเตอร์ ในกรณีนี้การฉายภาพเวกเตอร์บนเวกเตอร์คือความยาวของส่วน นั่นคือการฉายเป็นตัวเลข

หมายเลขนี้ระบุดังนี้:, "เวกเตอร์ขนาดใหญ่" บ่งบอกถึงเวกเตอร์ ซึ่ง การฉายภาพ "เวกเตอร์สารตั้งต้นขนาดเล็ก" ระบุเวกเตอร์ บน ซึ่งคาดการณ์ไว้

บันทึกตัวเองถูกอ่านแบบนี้: "การฉายภาพของเวกเตอร์" A "บนเวกเตอร์"

เกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์เป็น "สั้นเกินไป"? เราดำเนินการเส้นตรงที่มีเวกเตอร์เป็นเส้นตรง และเวกเตอร์ "A" จะถูกฉายแล้ว ในทิศทางของเวกเตอร์ "เป็น"ง่ายๆ - บนเส้นตรงที่มีเวกเตอร์เป็น สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นหากเวกเตอร์ "A" ถูกเลื่อนออกไปในสามสิบของราชอาณาจักร - มันยังคงถูกบุกรุกเป็นเส้นตรงที่มีเวกเตอร์เป็นเส้นตรงได้ง่าย

ถ้ามุม ระหว่างเวกเตอร์ เฉียบพลัน (เช่นในรูป) แล้ว

ถ้าเวกเตอร์ เกี่ยวกับมุมฉากจากนั้น (การฉายภาพเป็นจุดมิติที่ถือว่าเป็นศูนย์)

ถ้ามุม ระหว่างเวกเตอร์ โง่(ในรูปที่มีจิตใจจัดลูกศรของเวกเตอร์) จากนั้น (ความยาวเท่ากัน แต่ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ)

ฉันจะเลื่อนเวกเตอร์เหล่านี้ออกจากจุดหนึ่ง:

เห็นได้ชัดว่าเมื่อย้ายเวกเตอร์การฉายภาพของเขาไม่เปลี่ยนแปลง

I. ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ถูกดึงไปที่ศูนย์ในนั้นและเฉพาะในกรณีที่มีอย่างน้อยหนึ่งในเวกเตอร์เป็นศูนย์หรือถ้าเวกเตอร์ตั้งฉาก ในความเป็นจริงถ้าอย่างใดอย่างหนึ่งหรือว่า

กลับมาหากเวกเตอร์ตัวแปรไม่เป็นศูนย์จากนั้นเป็นเพราะเงื่อนไข

เมื่อมีดังนี้:

เนื่องจากทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ไม่แน่นอนเวกเตอร์ศูนย์สามารถพิจารณาตั้งฉากกับเวกเตอร์ใด ๆ ดังนั้นคุณสมบัติที่ระบุของผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามารถกำหนดได้ในระยะสั้น: ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ถูกดึงไปเป็นศูนย์ในนั้นและเฉพาะกรณีเมื่อเวกเตอร์ตั้งฉาก

ครั้งที่สอง ผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีคุณสมบัติของการย้าย:

คุณสมบัตินี้มีดังนี้จากคำจำกัดความ:

เพราะการกำหนดที่หลากหลายของมุมเดียวกัน

สาม. กฎหมายวิจสารภัยมีความสำคัญอย่างยิ่ง การใช้งานมีขนาดใหญ่เท่ากับในคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตปกติซึ่งเป็นที่กำหนดไว้เป็น: เพื่อคูณจำนวนเงินคุณต้องคูณแต่ละอย่างดีและพับงานที่ได้รับ I.

เห็นได้ชัดว่าการคูณของตัวเลขที่หลากหลายในเลขคณิตหรือพหุนามในพีชคณิตขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณนี้

กฎหมายฉบับนี้มีความสำคัญที่สำคัญเช่นเดียวกับพีชคณิตเวกเตอร์เนื่องจากบนพื้นฐานของมันเราสามารถนำไปใช้กับเวกเตอร์กฎการคูณตามปกติของพหุนาม

เราพิสูจน์ว่าสำหรับทั้งสามเวกเตอร์ A, B, ด้วยความเสมอภาค

ตามคำนิยามที่สองของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่แสดงออกโดยสูตรเราได้รับ:

การสมัครตอนนี้คุณสมบัติของ 2 ประมาณการจาก§ 5 เราพบว่า:

q.E.D.

IV ผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีความแม่นยำของการรวมกันเมื่อเทียบกับปัจจัยเชิงตัวเลข คุณสมบัตินี้แสดงเป็นดังนี้:

i.e. เพื่อคูณผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ตามจำนวนก็เพียงพอที่จะคูณด้วยปัจจัยที่หนึ่งนี้

จะมีงานสำหรับการแก้ปัญหาอิสระที่คุณสามารถดูคำตอบได้

หากอยู่ในภารกิจและความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกเขาถูกนำเสนอ "บนจานรองที่มีไดรฟ์สีน้ำเงิน" จากนั้นสภาพของปัญหาและวิธีการแก้ปัญหาลักษณะนี้:

ตัวอย่างที่ 1เวกเตอร์กว้างใหญ่ ค้นหาผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์หากมีความยาวและมุมระหว่างพวกเขาถูกนำเสนอในความหมายต่อไปนี้:

นิยามอื่นยังถูกกำหนดไว้อย่างเต็มที่เทียบเท่ากับคำจำกัดความ 1

นิยาม 2.. ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เรียกว่าจำนวน (สเกลาร์) เท่ากับความยาวของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ในการฉายภาพของเวกเตอร์อื่นบนแกนที่กำหนดโดยตัวแรกของเวกเตอร์ที่ระบุ สูตรตามคำจำกัดความที่ 2:

งานที่มีการใช้สูตรนี้ได้รับการแก้ไขหลังจากจุดทางทฤษฎีที่สำคัญถัดไป

การกำหนดผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ผ่านพิกัด

สามารถรับหมายเลขเดียวกันได้หากเวกเตอร์ตัวแปรถูกกำหนดโดยพิกัดของพวกเขา

นิยาม 3. ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เป็นตัวเลขเท่ากับผลรวมของผลงานคู่ของพิกัดที่เกี่ยวข้อง

บนพื้นผิว

ถ้าสองรุ่นและบนระนาบถูกกำหนดโดยทั้งสอง พิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับผลรวมของงานคู่ของพิกัดที่เกี่ยวข้อง:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาขนาดตัวเลขของการฉายเวกเตอร์บนแกนขนานกับเวกเตอร์

การตัดสินใจ เราพบว่าผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์พับงานคู่ของพิกัดของพวกเขา:

ตอนนี้เราต้องถือเอาผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่เกิดขึ้นของเวกเตอร์ความยาวเวกเตอร์ในการฉายเวกเตอร์บนแกนขนานกับเวกเตอร์ (ตามสูตร)

เราพบความยาวของเวกเตอร์เป็นรากสี่เหลี่ยมจากผลรวมของกำลังสองของพิกัดของมัน:

เรารวบรวมสมการและแก้ปัญหา:

ตอบ. ค่าตัวเลขที่ต้องการคือลบ 8

ในที่ว่าง

หากมีการกำหนดสองรุ่นและอวกาศโดยพิกัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสของพวกเขา

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้ยังเท่ากับผลรวมของการจับคู่ของพิกัดที่เกี่ยวข้องเฉพาะผู้ประสานงานมีเพียงสาม:

ภารกิจในการค้นหาผลิตภัณฑ์สเกลาร์ด้วยวิธีการพิจารณา - หลังจากแยกวิเคราะห์คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เพราะงานจะต้องพิจารณาว่ามุมตัวแปรรูปแบบตัวแปรแบบใด

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์

คุณสมบัติพีชคณิต

1. (ย้ายคุณสมบัติ: จากการเปลี่ยนแปลงในสถานที่ของเวกเตอร์ตัวแปรขนาดของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกเขาจะไม่เปลี่ยนแปลง)

2. (การต่อสู้หมายเลขโทรศัพท์ PROPORT: ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คูณด้วยตัวคูณบางตัวและเวกเตอร์อื่นเท่ากับผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้คูณด้วยปัจจัยเดียวกัน)

3. (การกระจายสัมพันธ์กับผลรวมของคุณสมบัติเวกเตอร์: ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของผลรวมของเวกเตอร์สองตัวในเวกเตอร์ที่สามเท่ากับผลรวมของงานสเกลาร์ของเวกเตอร์แรกบนเวกเตอร์ที่สามและเวกเตอร์ที่สองในเวกเตอร์ที่สาม)

4. (scalar Square Vector มากกว่าศูนย์) ถ้าเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์และถ้า - ศูนย์เวกเตอร์

คุณสมบัติทางเรขาคณิต

ในคำจำกัดความของการดำเนินงานที่ชานเราเกี่ยวข้องกับแนวคิดของมุมระหว่างสองเวกเตอร์ ถึงเวลาที่จะชี้แจงแนวคิดนี้แล้ว

รูปด้านบนแสดงเวกเตอร์สองตัวซึ่งแสดงให้เห็นถึงการเริ่มต้นทั่วไป และสิ่งแรกที่ต้องใส่ใจกับ: มีสองมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ - φ 1 และ φ 2 . มุมไหนที่ปรากฏในนิยามและคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์? จำนวนมุมที่ถือว่าเท่ากับ 2 π ดังนั้นโคไซน์ของมุมเหล่านี้จึงเท่าเทียมกัน คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์รวมถึงโคไซน์ของมุมเท่านั้นและไม่ใช่ความหมายของการแสดงออกของมัน แต่มีเพียงมุมเดียวเท่านั้นที่ได้รับการพิจารณาในคุณสมบัติ และนี่คือหนึ่งในสองมุมที่ไม่เกิน π นั่นคือ 180 องศา ในภาพมุมนี้ถูกระบุว่าเป็น φ 1 .

1. สองเวกเตอร์โทร เกี่ยวกับมุมฉาก และ มุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ - โดยตรง (90 องศาหรือ π / 2) ถ้า ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นศูนย์ :

Orthodalism ใน Algebra เวกเตอร์เป็นฉากตั้งฉากของสองเวกเตอร์

2. สองเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ประกอบขึ้น มุมคม (จาก 0 ถึง 90 องศาหรือซึ่งเหมือนกัน - น้อยกว่า π ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ในเชิงบวก .

3. สองเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ประกอบด้วย มุมป้าน (จาก 90 ถึง 180 องศาหรือสิ่งเดียวกันมากขึ้น π / 2) ถ้าและเฉพาะเมื่อพวกเขา ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ลบ .

ตัวอย่างที่ 3 Vectors จะได้รับในพิกัด:

คำนวณผลงานสเกลาร์ของทุกคู่ของเวกเตอร์เหล่านี้ มุมไหน (ชาร์ปตรงงี่เง่า) สร้างเวกเตอร์คู่เหล่านี้?

การตัดสินใจ การคำนวณจะเป็นการเพิ่มผลงานของพิกัดที่เกี่ยวข้อง

ได้รับจำนวนลบดังนั้นเวกเตอร์จะเป็นมุมที่โง่

ได้รับจำนวนบวกดังนั้นเวกเตอร์จะเป็นมุมที่คมชัด

ได้รับศูนย์ดังนั้นเวกเตอร์จะมีมุมตรง

ได้รับจำนวนบวกดังนั้นเวกเตอร์จะเป็นมุมที่คมชัด

สำหรับการทดสอบตัวเองที่คุณสามารถใช้ได้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และมุมโคไซน์ระหว่างพวกเขา .

ตัวอย่างที่ 4 ความยาวของเวกเตอร์ทั้งสองและมุมระหว่างพวกเขาจะได้รับ:

กำหนดด้วยมูลค่าของจำนวนเวกเตอร์และมุมฉาก (ตั้งฉาก)

การตัดสินใจ ย้ายเวกเตอร์ตามกฎของการคูณของพหุนาม:

ตอนนี้เราคำนวณแต่ละคำ:

ทำสมการ (ความเท่าเทียมกันของการทำงานของศูนย์) เรานำเสนอสมาชิกที่คล้ายกันและการแก้สมการ:

คำตอบ: เรามีค่า λ \u003d 1.8 ซึ่งเวกเตอร์เป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 5พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ เวกเตอร์ orthogonal (ตั้งฉาก)

การตัดสินใจ ในการตรวจสอบมุมฉากเวกเตอร์ตัวแปรและเป็นพหุนามแทนที่จะแทนที่จะเป็นนิพจน์ที่กำหนดในสภาพของ Terk:

เมื่อต้องการทำเช่นนี้สมาชิกแต่ละคน (คำ) ของพหุนามตัวแรกคูณกับสมาชิกแต่ละคนที่สองและงานที่ได้รับจะถูกพับ:

ในผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นเศษส่วนจะลดลงที่ค่าใช้จ่าย ได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้:

สรุป: อันเป็นผลมาจากการคูณศูนย์ดังนั้นการตั้งค่ามุมฉาก (ตั้งฉาก) ของเวกเตอร์ได้รับการพิสูจน์แล้ว

แก้ปัญหาตัวเองแล้วดูการตัดสินใจ

ตัวอย่างที่ 6 ความยาวของเวกเตอร์จะได้รับและและมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากัน π / สี่. กำหนดด้วยค่าอะไร μ เวกเตอร์และตั้งฉากกัน

การแสดงเมทริกซ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ N-Dimensional

บางครั้งการชนะสำหรับความชัดเจนคือการเป็นตัวแทนของเวกเตอร์ตัวแปรสองตัวในรูปแบบของเมทริกซ์ จากนั้นเวกเตอร์แรกจะแสดงเป็นสตริงเมทริกซ์และที่สอง - ในรูปแบบของคอลัมน์เมทริกซ์:

จากนั้นผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์จะเป็น ผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์เหล่านี้ :

ผลที่ได้เช่นเดียวกับวิธีการที่ได้รับซึ่งเราได้พิจารณาแล้ว เราได้รับหนึ่งหมายเลขเดียวและผลิตภัณฑ์ของสตริงเมทริกซ์บนคอลัมน์เมทริกซ์ยังเป็นหนึ่งหมายเลขเดียว

ในรูปแบบเมทริกซ์มันสะดวกที่จะเป็นตัวแทนของผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ n-dimensional นามธรรม ดังนั้นผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์สี่มิติสองมิติจะเป็นผลิตภัณฑ์ของสตริงเมทริกซ์ที่มีสี่องค์ประกอบบนเมทริกซ์คอลัมน์ยังมีสี่องค์ประกอบผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ห้ามิติสองมิติ - ผลิตภัณฑ์ของสตริงเมทริกซ์ที่มีห้าองค์ประกอบ เมทริกซ์คอลัมน์ยังมีห้าองค์ประกอบและอื่น ๆ

ตัวอย่างที่ 7 ค้นหางานสเกลาร์ของเวกเตอร์ไอน้ำ

ใช้การแสดงเมทริกซ์

การตัดสินใจ คู่แรกของเวกเตอร์ เรานำเสนอเวกเตอร์แรกในรูปแบบของสตริงเมทริกซ์และที่สอง - ในรูปแบบของเมทริกซ์คอลัมน์ เราพบว่าผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นผลิตภัณฑ์ของสตริงเมทริกซ์บนเมทริกซ์คอลัมน์:

ในทำนองเดียวกันเรานำเสนอคู่ที่สองและค้นหา:

อย่างที่เราสามารถดูได้ผลลัพธ์ที่ปรากฏเหมือนกับคู่เดียวกันจากตัวอย่างที่ 2

มุมระหว่างสองเวกเตอร์

ผลผลิตของสูตรโคไซน์ของมุมระหว่างสองเวกเตอร์มีความสวยงามและสั้นมาก

เพื่อแสดงผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์

(1)

ในรูปแบบพิกัดเราจะพบผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของ ORT ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์บนตัวเองตามคำจำกัดความ:

สิ่งที่บันทึกไว้ในสูตรข้างต้นหมายถึง: ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์บนตัวเองเท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาว. โคไซน์ของศูนย์เท่ากับหนึ่งดังนั้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสของแต่ละกิโลเมตรจะเท่ากับหนึ่ง: