เป็นพื้นที่สุ่ม? ลูกเต๋าออนไลน์ วิธีทำให้ลูกเต๋าหมุนสุ่มมากหรือน้อย

กฎแห่งการสุ่มสามข้อคืออะไร และเหตุใดความคาดเดาไม่ได้จึงทำให้เราสามารถคาดการณ์ได้อย่างน่าเชื่อถือที่สุด

จิตใจของเราต่อต้านความคิดเรื่องสุ่มด้วยสุดความสามารถ ในช่วงวิวัฒนาการของเราในฐานะสายพันธุ์ทางชีววิทยา เราได้พัฒนาความสามารถในการค้นหาความสัมพันธ์ของเหตุและผลในทุกสิ่ง นานมาแล้วก่อนการกำเนิดของวิทยาศาสตร์ เรารู้อยู่แล้วว่าพระอาทิตย์ตกดินสีแดงเข้มมีความหมายถึงพายุที่อันตราย และการที่ทารกหน้าแดงเป็นไข้หมายความว่าแม่ของเขาจะพบกับค่ำคืนที่ยากลำบาก จิตใจของเราจะพยายามที่จะจัดโครงสร้างข้อมูลที่ได้รับโดยอัตโนมัติในลักษณะที่ช่วยให้เราสามารถสรุปผลจากการสังเกตของเราและใช้ข้อสรุปเหล่านั้นเพื่อทำความเข้าใจและคาดการณ์เหตุการณ์ต่างๆ

แนวคิดเรื่องความบังเอิญเป็นเรื่องยากที่จะยอมรับ เพราะมันขัดกับสัญชาตญาณพื้นฐานที่ทำให้เรามองหารูปแบบที่มีเหตุผลในโลกรอบตัวเรา และอุบัติเหตุก็แสดงให้เราเห็นว่ารูปแบบดังกล่าวไม่มีอยู่จริง ซึ่งหมายความว่าการสุ่มโดยพื้นฐานจะจำกัดสัญชาตญาณของเรา เพราะมันพิสูจน์ว่ามีกระบวนการที่เราไม่สามารถคาดเดาได้อย่างเต็มที่ แนวคิดนี้ไม่ง่ายที่จะยอมรับ แม้ว่าจะเป็นส่วนสำคัญของกลไกของจักรวาลก็ตาม เมื่อไม่เข้าใจว่าการสุ่มคืออะไร เราพบว่าตัวเองอยู่ในจุดจบของโลกที่คาดเดาได้อย่างสมบูรณ์ซึ่งไม่ได้อยู่นอกเหนือจินตนาการของเรา

ฉันจะบอกว่าเมื่อเราเรียนรู้คำพังเพยสามคำเท่านั้น - กฎแห่งโอกาสทั้งสาม - เราสามารถปลดปล่อยตัวเองจากความปรารถนาดั้งเดิมของเราในการคาดเดาและยอมรับจักรวาลตามที่เป็นอยู่ ไม่ใช่อย่างที่เราอยากให้เป็น

สุ่มมีอยู่

เราใช้กลไกทางจิตเพื่อหลีกเลี่ยงการเผชิญหน้าแบบสุ่ม เราพูดถึงกรรม เกี่ยวกับอีควอไลเซอร์จักรวาลนี้ ที่เชื่อมโยงสิ่งที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกันอย่างเห็นได้ชัด เราเชื่อในลางดีและลางร้ายว่า "พระเจ้ารักตรีเอกานุภาพ" เราอ้างว่าเราได้รับอิทธิพลจากตำแหน่งของดวงดาว ระยะของดวงจันทร์ และการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ หากเราได้รับการวินิจฉัยว่าเป็นมะเร็ง เราจะพยายามตำหนิบางสิ่ง (หรือใครบางคน) โดยอัตโนมัติ

แต่หลายเหตุการณ์ไม่สามารถคาดเดาหรืออธิบายได้อย่างเต็มที่ โศกนาฏกรรมเกิดขึ้นอย่างคาดไม่ถึง ทั้งคนดีและคนชั่วต้องทนทุกข์ทรมาน รวมทั้งผู้ที่เกิด "ใต้ดวงดารา" หรือ "ใต้ดวงชะตา" บางครั้งเราสามารถคาดการณ์บางสิ่งได้ แต่โอกาสสามารถหักล้างการคาดการณ์ที่น่าเชื่อถือที่สุดได้อย่างง่ายดาย อย่าแปลกใจถ้าเพื่อนบ้านของคุณซึ่งเป็นคนอ้วน สูบบุหรี่จัด นักขี่จักรยานบ้าบิ่น มีอายุยืนยาวกว่าคุณ

นอกจากนี้ เหตุการณ์สุ่มสามารถแกล้งทำเป็นไม่สุ่มได้ แม้แต่นักวิทยาศาสตร์ที่ฉลาดหลักแหลมที่สุดก็ยังมีปัญหาในการแยกแยะระหว่างผลที่เกิดขึ้นจริงกับการผันผวนแบบสุ่ม การสุ่มตัวอย่างสามารถเปลี่ยนยาหลอกเป็นยาวิเศษ หรือสารที่ไม่เป็นอันตรายให้กลายเป็นยาพิษร้ายแรงได้ และสามารถสร้างอนุภาคย่อยจากสิ่งใดสิ่งหนึ่งได้

เหตุการณ์บางอย่างคาดเดาไม่ได้

หากคุณไปที่คาสิโนในลาสเวกัสและชมผู้เล่นที่โต๊ะเกม คุณอาจจะเห็นคนที่คิดว่าเขาโชคดีในวันนี้ เขาชนะหลายครั้งติดต่อกัน และสมองของเขารับรองกับเขาว่าเขาจะชนะต่อไป ดังนั้นผู้เล่นจึงเดิมพันต่อไป คุณยังจะเห็นคนที่เพิ่งสูญเสีย สมองของผู้แพ้ เช่นเดียวกับสมองของผู้ชนะ ยังแนะนำให้เขาเล่นเกมต่อไป เนื่องจากคุณแพ้หลายครั้งติดต่อกัน หมายความว่าตอนนี้คุณอาจจะเริ่มมีโชค มันเป็นเรื่องโง่ที่จะออกไปตอนนี้และพลาดโอกาสนี้

แต่ไม่ว่าสมองของเราจะบอกอะไรเราก็ตาม ไม่มีพลังลึกลับใดที่สามารถทำให้เรามี "สายธารแห่งโชค" หรือความยุติธรรมระดับสากลที่จะทำให้แน่ใจว่าในที่สุดผู้แพ้ก็เริ่มได้รับชัยชนะ จักรวาลไม่สนใจว่าคุณจะชนะหรือแพ้ สำหรับเธอ การทอยลูกเต๋าทั้งหมดเหมือนกัน

ไม่ว่าคุณจะพยายามมากแค่ไหนในการดูทอยลูกเต๋าอีกครั้ง และไม่ว่าคุณจะจ้องผู้เล่นที่คิดว่าพวกเขาโชคดีแค่ไหน คุณก็จะไม่ได้รับข้อมูลเกี่ยวกับการทอยลูกเต๋าในครั้งต่อไปอย่างแน่นอน ผลลัพธ์ของแต่ละม้วนนั้นไม่ขึ้นกับประวัติของการหมุนครั้งก่อนโดยสมบูรณ์ ดังนั้น การคำนวณใด ๆ ที่สามารถได้เปรียบจากการดูเกมจะถึงวาระที่จะล้มเหลว เหตุการณ์ดังกล่าว - โดยไม่ขึ้นกับสิ่งใดและเป็นการสุ่มโดยสิ้นเชิง - ท้าทายความพยายามใดๆ ในการค้นหารูปแบบ เพราะรูปแบบเหล่านี้ไม่มีอยู่จริง

ความสุ่มวางอุปสรรคในทางของความเฉลียวฉลาดของมนุษย์ เพราะมันแสดงให้เห็นว่าตรรกะทั้งหมดของเรา วิทยาศาสตร์และความสามารถในการให้เหตุผลทั้งหมดของเราไม่สามารถทำนายพฤติกรรมของจักรวาลได้อย่างเต็มที่ ไม่ว่าคุณจะใช้วิธีใด ทฤษฎีใดก็ตามที่คุณคิดค้น ตรรกะใดก็ตามที่คุณใช้ในการทำนายผลลัพธ์ของการทอยลูกเต๋า ห้าในหกครั้งที่คุณจะสูญเสีย ตลอดเวลา.

ชุดของเหตุการณ์สุ่มสามารถคาดเดาได้ แม้ว่าแต่ละเหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นก็ตาม

การสุ่มเสี่ยงเป็นสิ่งที่น่ากลัว มันจำกัดความน่าเชื่อถือของทฤษฎีที่ซับซ้อนที่สุด และซ่อนองค์ประกอบบางอย่างของธรรมชาติจากเรา ไม่ว่าเราจะพยายามเจาะลึกถึงแก่นแท้ของพวกมันอย่างต่อเนื่องเพียงใด อย่างไรก็ตาม ไม่อาจโต้แย้งได้ว่าการสุ่มเป็นคำพ้องความหมายสำหรับสิ่งที่ไม่รู้ นี้ไม่เป็นความจริงเลย

การสุ่มเป็นไปตามกฎของตัวเอง และกฎเหล่านี้ทำให้กระบวนการสุ่มเข้าใจและคาดเดาได้

กฎของตัวเลขจำนวนมากระบุว่าแม้ว่าเหตุการณ์สุ่มเดี่ยวจะคาดเดาไม่ได้อย่างสมบูรณ์ แต่ตัวอย่างเหตุการณ์เหล่านี้จำนวนมากเพียงพอสามารถคาดเดาได้ค่อนข้างมาก และยิ่งกลุ่มตัวอย่างมีขนาดใหญ่เท่าใด การทำนายก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังอีกอย่างหนึ่ง ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ยังแสดงให้เห็นว่าผลรวมของตัวแปรสุ่มจำนวนมากเพียงพอจะมีการแจกแจงที่ใกล้เคียงปกติ ด้วยเครื่องมือเหล่านี้ เราสามารถคาดการณ์เหตุการณ์ได้อย่างแม่นยำในระยะยาว ไม่ว่าเหตุการณ์จะวุ่นวาย แปลก และสุ่มอย่างไรในระยะสั้น

กฎแห่งโอกาสมีพลังมากจนเป็นพื้นฐานของกฎฟิสิกส์ที่ไม่สั่นคลอนและไม่เปลี่ยนแปลงมากที่สุด แม้ว่าอะตอมในถังบรรจุก๊าซจะเคลื่อนที่แบบสุ่ม พฤติกรรมทั่วไปของพวกมันก็อธิบายได้ด้วยชุดสมการง่ายๆ แม้แต่กฎของอุณหพลศาสตร์ก็มาจากการคาดการณ์เหตุการณ์สุ่มจำนวนมาก กฎเหล่านี้ไม่สั่นคลอนอย่างแน่นอนเพราะโอกาสมีมาก

ตรงกันข้าม มันเป็นความคาดเดาไม่ได้ของเหตุการณ์สุ่มที่ทำให้เราสามารถคาดการณ์ได้อย่างน่าเชื่อถือที่สุด

เขียนโดยนักออกแบบ Tyler Sigman เรื่อง "Gamasutra" ฉันเรียกมันอย่างเสน่หาว่าเป็นบทความ "ผมในรูจมูกของออร์ค" แต่ครอบคลุมพื้นฐานของความน่าจะเป็นในเกมได้ค่อนข้างดี

หัวข้อประจำสัปดาห์นี้

จนถึงวันนี้ เกือบทุกอย่างที่เราพูดถึงนั้นถูกกำหนดไว้แล้ว และเมื่อสัปดาห์ที่แล้วเราได้พิจารณากลไกสกรรมกริยาอย่างละเอียดถี่ถ้วนและแจกแจงรายละเอียดให้มากที่สุดเท่าที่ฉันจะอธิบายได้ แต่จนถึงตอนนี้ เรายังไม่ได้ให้ความสนใจกับแง่มุมใหญ่ๆ ของเกมหลายๆ เกม กล่าวคือ แง่มุมที่ไม่ได้กำหนดขึ้นเอง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ การสุ่ม การทำความเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มเป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักออกแบบเกม เนื่องจากเราสร้างระบบที่ส่งผลต่อประสบการณ์ของผู้เล่นในเกมนั้นๆ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องรู้ว่าระบบเหล่านี้ทำงานอย่างไร หากมีการสุ่มในระบบต้องเข้าใจ ธรรมชาติการสุ่มนี้และวิธีการเปลี่ยนเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ

ลูกเต๋า

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ ก่อน: ทอยลูกเต๋า เมื่อคนส่วนใหญ่นึกถึงลูกเต๋า พวกเขานึกถึงลูกเต๋าหกด้านที่เรียกว่า d6 แต่นักเล่นเกมส่วนใหญ่เคยเห็นลูกเต๋าอื่น ๆ มากมาย: สี่ด้าน (d4), แปดด้าน (d8), สิบสองด้าน (d12), ยี่สิบด้าน (d20) ... และถ้าคุณ จริงเกินบรรยาย คุณอาจมีลูกเต๋า 30 ด้านหรือ 100 ด้านอยู่ที่ไหนสักแห่ง หากคุณไม่คุ้นเคยกับคำศัพท์นี้ ตัว "d" หมายถึงลูกเต๋า และตัวเลขที่ตามมาคือจำนวนหน้าที่มี ถ้า ด้านหน้า“d” ย่อมาจากตัวเลข ย่อมาจาก ตัวเลขลูกเต๋าเมื่อโยน ตัวอย่างเช่น ในการผูกขาด คุณหมุน 2d6

ดังนั้น ในกรณีนี้ วลี "ลูกเต๋า" จึงเป็นชื่อทั่วไป มีเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มอื่นๆ จำนวนมากที่ไม่มีรูปร่างของบล็อกพลาสติก แต่ทำหน้าที่เดียวกันในการสร้างตัวเลขสุ่มตั้งแต่ 1 ถึง n เหรียญธรรมดาสามารถคิดได้ว่าเป็นไดเฮดรัล d2 ได ฉันเห็นแม่พิมพ์เจ็ดด้านสองแบบ หนึ่งในนั้นดูเหมือนลูกเต๋า และแบบที่สองดูเหมือนดินสอไม้เจ็ดด้านมากกว่า จัตุรมุข (หรือที่เรียกว่า titotum) เป็นอะนาล็อกของกระดูกจัตุรมุข สนามเด็กเล่นลูกศรหมุนในเกม "Chutes & Ladders" ซึ่งผลลัพธ์อาจอยู่ระหว่าง 1 ถึง 6 สอดคล้องกับการตายหกด้าน เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มในคอมพิวเตอร์สามารถสร้างตัวเลขใด ๆ จาก 1 ถึง 19 หากผู้ออกแบบให้คำสั่งดังกล่าวแม้ว่าคอมพิวเตอร์จะไม่มีลูกเต๋า 19 ด้าน (โดยทั่วไปฉันจะพูดถึงความน่าจะเป็นของตัวเลขที่ตกบน คอมพิวเตอร์ที่ ต่อไปสัปดาห์). แม้ว่ารายการเหล่านี้ทั้งหมดจะดูแตกต่างกัน แต่จริงๆ แล้วเทียบเท่ากัน: คุณมีโอกาสเท่ากันที่จะได้ผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งจากหลาย ๆ อย่าง

ลูกเต๋ามีคุณสมบัติที่น่าสนใจที่เราจำเป็นต้องรู้ อย่างแรก ความน่าจะเป็นที่หน้าใด ๆ โผล่ขึ้นมาก็เหมือนกัน (ฉันคิดว่าคุณกำลังทอยลูกเต๋าที่ถูกต้อง ไม่ใช่ผิดรูปทรง) ดังนั้นหากท่านต้องการทราบ หมายถึงม้วน (เรียกอีกอย่างว่าความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์) รวมค่าของขอบทั้งหมดแล้วหารผลรวมนี้ด้วย ตัวเลขใบหน้า ค่าเฉลี่ยของม้วนสำหรับแม่พิมพ์หกด้านมาตรฐานคือ 1+2+3+4+5+6 = 21 หารด้วยจำนวนหน้า (6) และเราได้ค่าเฉลี่ย 21/6 = 3.5 นี่เป็นกรณีพิเศษเพราะเราคิดว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่าเทียมกัน

เกิดอะไรขึ้นถ้าคุณมีลูกเต๋าพิเศษ? ตัวอย่างเช่น ผมเห็นเกมลูกเต๋า 6 เหลี่ยมที่มีสติกเกอร์พิเศษบนใบหน้า 1, 1, 1, 2, 2, 3 จึงมีลักษณะเป็นลูกเต๋าสามด้านแปลก ๆ ซึ่งมีโอกาสทอยเลข 1 มากกว่า มากกว่า 2 และ 2 มากกว่า 3 มูลค่าม้วนเฉลี่ยของแม่พิมพ์นี้คืออะไร? ดังนั้น 1+1+1+2+2+3 = 10 หารด้วย 6 เท่ากับ 5/3 หรือประมาณ 1.66 ดังนั้นหากคุณมีลูกเต๋านี้โดยเฉพาะและผู้เล่นทอยลูกเต๋าสามลูกแล้วบวกผลลัพธ์ คุณจะรู้ว่าผลรวมโดยประมาณของการทอยจะอยู่ที่ประมาณ 5 และคุณสามารถสร้างสมดุลของเกมตามสมมติฐานนั้น

ลูกเต๋าและความเป็นอิสระ

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว เราดำเนินการจากสมมติฐานที่ว่าการดรอปของแต่ละหน้าน่าจะเท่ากัน ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนลูกเต๋าที่คุณโยน ทุกทอยลูกเต๋า โดยไม่คำนึงถึงซึ่งหมายความว่าการม้วนครั้งก่อนไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการม้วนครั้งต่อๆ ไป ด้วยจำนวนการทดสอบที่เพียงพอ รับรองได้เลยว่าคุณจะ สังเกต"ชุดข้อมูล" ของตัวเลข เช่น การทอยค่าส่วนใหญ่ที่สูงขึ้นหรือต่ำลง หรือคุณลักษณะอื่นๆ และเราจะพูดถึงเรื่องนั้นในภายหลัง แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าลูกเต๋าจะ "ร้อน" หรือ "เย็น" หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านแบบมาตรฐานและเลข 6 ปรากฏขึ้นสองครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่จะทอยครั้งต่อไปจะส่งผลให้ได้เลข 6 เท่ากับ 1/6 ด้วย ความน่าจะเป็นไม่ได้เพิ่มขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าลูกบาศก์นั้น "อุ่นขึ้น" ความน่าจะเป็นไม่ลดลงเพราะเลข 6 หลุดออกมาสองครั้งติดต่อกันซึ่งหมายความว่าตอนนี้หน้าอื่นจะหลุดออกมา (แน่นอนว่าถ้าคุณทอยลูกเต๋ายี่สิบครั้งและเลข 6 ขึ้นมาทุกครั้งโอกาสที่เลข 6 จะมาเป็นครั้งที่ 21 ค่อนข้างสูง ... เพราะมันอาจหมายความว่าคุณเดาผิด !) แต่ถ้าคุณมีสิทธิ์ตาย ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากใบหน้าแต่ละหน้าจะเท่ากัน โดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของการทอยครั้งอื่นๆ คุณสามารถจินตนาการได้ว่าทุกครั้งที่เราเปลี่ยนลูกเต๋า ดังนั้นหากหมายเลข 6 ทอยสองครั้งติดต่อกัน ให้เอาลูกเต๋าที่ "ร้อน" ออกจากเกมและแทนที่ด้วยลูกเต๋าหกด้านใหม่ ขออภัยหากใครรู้เรื่องนี้แล้ว แต่จำเป็นต้องชี้แจงก่อนดำเนินการต่อ

วิธีทำให้ลูกเต๋าหมุนแบบสุ่มมากหรือน้อย

มาพูดถึงวิธีการรับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันในลูกเต๋าที่ต่างกัน หากคุณหมุนลูกเต๋าเพียงครั้งเดียวหรือหลายครั้ง เกมจะรู้สึกสุ่มมากขึ้นหากลูกเต๋ามีขอบมากกว่า ยิ่งคุณทอยลูกเต๋าหรือทอยลูกเต๋ามากเท่าไหร่ ผลลัพธ์ก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากคุณหมุน 1d6+4 (เช่น ลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานหนึ่งครั้งและเพิ่ม 4 ให้กับผลลัพธ์) ค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 ถึง 10 หากคุณทอย 5d2 ค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 และ 10 แต่เมื่อโยนลูกเต๋าหกด้าน ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5, 8 หรือ 10 เท่ากัน ผลลัพธ์ของการหมุน 5d2 ส่วนใหญ่จะเป็นตัวเลข 7 และ 8 ซึ่งมักจะน้อยกว่าตัวเลขอื่นๆ ชุดเดียวกัน ค่าเฉลี่ยเท่ากัน (7.5 ในทั้งสองกรณี) แต่ลักษณะของการสุ่มต่างกัน

รอสักครู่. ฉันไม่ได้บอกว่าลูกเต๋าไม่ร้อนขึ้นหรือเย็นลง? และตอนนี้ฉันกำลังบอกว่าถ้าคุณทอยลูกเต๋ามาก ผลของการทอยจะใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยหรือไม่? ทำไม?

ให้ฉันอธิบาย หากคุณกำลังขว้างปา หนึ่งลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากแต่ละหน้าจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมาก เมื่อเวลาผ่านไป แต่ละหน้าจะออกมาจำนวนเท่ากัน ยิ่งคุณทอยลูกเต๋ามากเท่าไหร่ ผลลัพธ์โดยรวมก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ไม่ใช่เพราะเลขทอย "ทำให้" อีกเลขหนึ่งหมุนที่ยังไม่ขึ้น เพราะการทอยลูกเต๋าเล็กๆ ที่ 6 วินาที (หรือ 20 วินาที หรืออะไรก็ตาม) จะไม่กลายเป็นเรื่องใหญ่หากคุณทอยลูกเต๋าอีกหมื่นครั้งและส่วนใหญ่ก็เป็นค่าเฉลี่ยที่ขึ้นมา... บางทีตอนนี้คุณอาจมีบ้างแล้ว ตัวเลขที่มีมูลค่าสูง แต่อาจจะต่อมาอีกสองสามตัวเลขที่มีค่าต่ำและเมื่อเวลาผ่านไปก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ย ไม่ใช่เพราะการทอยครั้งก่อนส่งผลต่อลูกเต๋า (จริงๆ แล้ว ลูกเต๋าทำจาก พลาสติกเธอไม่มีสมองที่จะคิด "โอ้ นานแล้วนะที่เลข 2 ขึ้นมา") แต่เพราะว่ามักจะเกิดขึ้นกับการทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมาก ตัวเลขที่ซ้ำกันจำนวนน้อยแทบจะมองไม่เห็นในผลลัพธ์จำนวนมาก

ดังนั้นจึงค่อนข้างง่ายที่จะคำนวณการสุ่มลูกเต๋าหนึ่งครั้ง อย่างน้อยก็เท่ากับการคำนวณค่าเฉลี่ยของการทอย นอกจากนี้ยังมีวิธีคำนวณว่า "สุ่ม" เป็นอย่างไร วิธีบอกว่าผลลัพธ์ของการหมุน 1d6+4 จะ "สุ่มมากกว่า" มากกว่า 5d2 สำหรับ 5d2 การกระจายผลการทอยจะมีความสม่ำเสมอมากขึ้น โดยปกติคุณจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับสิ่งนี้ และยิ่งมีค่ามาก ผลลัพธ์ก็จะยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้น แต่สิ่งนี้ต้องการการคำนวณมากกว่าที่ฉันต้องการให้ในวันนี้ (ฉันจะอธิบายหัวข้อนี้ในภายหลัง) สิ่งเดียวที่ฉันขอให้คุณรู้คือ ตามกฎทั่วไป ยิ่งทอยน้อยลง ยิ่งสุ่มมากขึ้น และอีกหนึ่งส่วนเพิ่มเติมในหัวข้อนี้: ยิ่งแม่พิมพ์มีด้านมากเท่าไหร่ ก็ยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้น เนื่องจากคุณมีตัวเลือกมากขึ้น

วิธีการคำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้การนับ

คุณอาจมีคำถาม: เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนของผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นได้อย่างไร นี่เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับเกมหลายๆ เกม เพราะหากคุณทอยลูกเต๋า ก็มีแนวโน้มว่าจะได้ผลดีที่สุดในตอนแรก คำตอบคือ: เราต้องคำนวณค่าสองค่า ขั้นแรก ให้คำนวณจำนวนผลลัพธ์สูงสุดเมื่อทำการขว้างลูกเต๋า (ไม่ว่าผลลัพธ์จะเป็นอย่างไร) จากนั้นนับจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ โดยการหารค่าที่สองด้วยค่าแรก คุณจะได้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ เพื่อให้ได้เปอร์เซ็นต์ ให้คูณผลลัพธ์ด้วย 100

ตัวอย่าง:

นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายมาก คุณต้องการทอย 4 หรือสูงกว่า และทอยลูกเต๋า 6 ด้านหนึ่งครั้ง จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) ในจำนวนนี้ 3 ผลลัพธ์ (4, 5, 6) เป็นที่น่าพอใจ ดังนั้น ในการคำนวณความน่าจะเป็น เราหาร 3 ด้วย 6 แล้วได้ 0.5 หรือ 50%

นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย คุณต้องการเลขคู่ในม้วน 2d6 จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 36 (6 สำหรับแต่ละลูกเต๋า และเนื่องจากลูกเต๋าหนึ่งไม่มีผลกับอีกลูกเต๋าหนึ่ง เราคูณผลลัพธ์ 6 ด้วย 6 และรับ 36) ความยากของคำถามประเภทนี้คือการนับสองครั้งได้ง่าย ตัวอย่างเช่น มีสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของ 3 ในการทอย 2d6: 1+2 และ 2+1 พวกมันดูเหมือนกัน แต่ความแตกต่างคือตัวเลขที่แสดงบนลูกเต๋าตัวแรกและตัวที่สองคืออะไร คุณสามารถจินตนาการได้ว่าลูกเต๋ามีสีต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้ ลูกเต๋าหนึ่งลูกเป็นสีแดงและอีกลูกหนึ่งเป็นสีน้ำเงิน จากนั้นนับจำนวนตัวเลือกเพื่อให้ได้เลขคู่: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). ปรากฎว่ามี 18 ตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ที่น่าพอใจจาก 36 อย่าง เช่นในกรณีก่อนหน้านี้ ความน่าจะเป็นจะเป็น 0.5 หรือ 50% อาจจะคาดไม่ถึงแต่ค่อนข้างแม่นยำ

การจำลองมอนติคาร์โล

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณมีลูกเต๋ามากเกินไปสำหรับการคำนวณนี้ ตัวอย่างเช่น คุณต้องการทราบความน่าจะเป็นที่จะทอยรวม 15 หรือมากกว่าในการทอย 8d6 เป็นเท่าใด มีคะแนนแตกต่างกันมากมายสำหรับลูกเต๋าแปดลูกและจะใช้เวลานานมากในการคำนวณด้วยมือ แม้ว่าเราจะพบวิธีแก้ปัญหาที่ดีในการจัดกลุ่มการทอยลูกเต๋าแบบต่างๆ แต่ก็ยังใช้เวลานานมากในการนับ ในกรณีนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณความน่าจะเป็นไม่ใช่การคำนวณด้วยตนเอง แต่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ มีสองวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นบนคอมพิวเตอร์

วิธีแรกสามารถรับคำตอบที่แน่นอนได้ แต่ต้องอาศัยการเขียนโปรแกรมหรือการเขียนสคริปต์เล็กน้อย โดยพื้นฐานแล้ว คอมพิวเตอร์จะผ่านแต่ละความเป็นไปได้ ประเมินและนับจำนวนการวนซ้ำทั้งหมด และจำนวนการวนซ้ำที่สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่ต้องการ จากนั้นให้คำตอบ รหัสของคุณอาจมีลักษณะดังนี้:

int wincount=0, totalcount=0;

สำหรับ (int i=1; i<=6; i++) {

สำหรับ (int j=1; j<=6; j++) {

สำหรับ (int k=1; k<=6; k++) {

… // แทรกลูปเพิ่มเติมที่นี่

ถ้า (i+j+k+… >= 15) (

ความน่าจะเป็นแบบลอยตัว = จำนวนชนะ/จำนวนรวม;

หากคุณไม่ได้รู้อะไรมากเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมและแค่ต้องการคำตอบที่ไม่ถูกต้องแต่เป็นค่าประมาณ คุณสามารถจำลองสถานการณ์นี้ใน Excel โดยที่คุณหมุน 8d6 สองสามพันครั้งแล้วได้คำตอบ ในการม้วน 1d6 ใน Excel ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

ชั้น(RAND()*6)+1

มีชื่อสถานการณ์เมื่อคุณไม่รู้คำตอบและพยายามหลาย ๆ ครั้ง - การจำลองมอนติคาร์โลและเป็นทางออกที่ดีในการถอยกลับเมื่อคุณพยายามคำนวณความน่าจะเป็นและมันซับซ้อนเกินไป สิ่งที่ยอดเยี่ยมก็คือ ในกรณีนี้ เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไร และเรารู้ว่าคำตอบจะ "ค่อนข้างดี" เพราะอย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่ายิ่งทอยมากเท่าไหร่ ผลลัพธ์ก็จะยิ่งเข้าใกล้ ค่าเฉลี่ย

วิธีรวมการทดลองใช้อิสระ

หากคุณถามเกี่ยวกับการทอยซ้ำหลายครั้งแต่เป็นอิสระ ผลของการทอยครั้งเดียวจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทอยครั้งอื่นๆ มีคำอธิบายที่ง่ายกว่าสำหรับสถานการณ์นี้

จะแยกความแตกต่างระหว่างสิ่งที่ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระได้อย่างไร? โดยหลักการแล้ว ถ้าคุณสามารถแยกแต่ละม้วนของแม่พิมพ์ (หรือชุดของม้วน) เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกัน มันก็จะเป็นอิสระ ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการทอยทั้งหมด 15 ครั้งโดยทอย 8d6 กรณีนี้ไม่สามารถแบ่งออกเป็นลูกเต๋าอิสระหลาย ๆ ลูกเต๋าได้ เนื่องจากคุณกำลังคำนวณผลรวมของค่าของลูกเต๋าทั้งหมดสำหรับผลลัพธ์ ผลลัพธ์ที่ทอยลูกเต๋าหนึ่งลูกจะส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ควรจะทอยบนลูกเต๋าอื่น เพราะคุณเพียงรวมค่าทั้งหมดเข้าด้วยกันเท่านั้น ผลลัพธ์ที่ต้องการ

นี่คือตัวอย่างของการทอยอย่างอิสระ: คุณกำลังเล่นเกมลูกเต๋า และคุณทอยลูกเต๋าหกด้านหลายครั้ง หากต้องการอยู่ในเกม คุณต้องทอย 2 หรือสูงกว่าในการทอยครั้งแรกของคุณ สำหรับม้วนที่สอง 3 หรือสูงกว่า สามต้องการ 4 หรือมากกว่า สี่ต้องการ 5 หรือมากกว่า ที่ห้าต้องการ 6 หากการทอยทั้งห้าครั้งสำเร็จคุณจะชนะ ในกรณีนี้ การโยนทั้งหมดเป็นอิสระ ใช่ ถ้าม้วนหนึ่งล้มเหลว มันจะส่งผลต่อผลลัพธ์ของทั้งเกม แต่การม้วนหนึ่งจะไม่ส่งผลต่อการทอยอีกอัน ตัวอย่างเช่น หากการทอยลูกเต๋าครั้งที่สองของคุณประสบความสำเร็จมาก จะไม่ส่งผลต่อโอกาสที่การทอยครั้งต่อไปจะประสบความสำเร็จเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาความน่าจะเป็นของแต่ละทอยลูกเต๋าแยกกัน

หากคุณมีความน่าจะเป็นที่แยกจากกันและต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ ทั้งหมดเหตุการณ์จะเกิดขึ้น คุณกำหนดความน่าจะเป็นของแต่ละคนและคูณมันอีกวิธีหนึ่ง: ถ้าคุณใช้คำเชื่อม "และ" เพื่ออธิบายเงื่อนไขต่างๆ (เช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มบางอย่างเกิดขึ้นเป็นเท่าใด และเหตุการณ์สุ่มอิสระอื่น ๆ หรือไม่) คำนวณความน่าจะเป็นแต่ละรายการแล้วคูณด้วย

ไม่สำคัญหรอกว่าคิดยังไง ไม่เคยอย่ารวมความน่าจะเป็นอิสระ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไป เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมสิ่งนี้ถึงผิด ลองนึกภาพสถานการณ์ที่คุณพลิกเหรียญ 50/50 และคุณต้องการรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกันเป็นเท่าใด แต่ละฝ่ายมีโอกาส 50% ที่จะขึ้น ดังนั้นหากคุณเพิ่มความน่าจะเป็นทั้งสอง คุณจะได้รับโอกาส 100% ที่จะขึ้นหัว แต่เรารู้ว่าไม่เป็นความจริงเพราะสองหางติดต่อกันอาจปรากฏขึ้น หากคุณคูณความน่าจะเป็นทั้งสองนี้ คุณจะได้ 50% * 50% = 25% ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกัน

ตัวอย่าง

กลับไปที่เกมลูกเต๋าหกด้านที่คุณต้องทอยตัวเลขที่สูงกว่า 2 ก่อนจากนั้นจึงสูงกว่า 3 ไปเรื่อยๆ มากถึง 6. โอกาสที่ในการโยน 5 ครั้งติดต่อกันผลลัพธ์ทั้งหมดจะเป็นที่น่าพอใจ?

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น การทดลองเหล่านี้เป็นการทดลองอิสระ ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละม้วนแล้วคูณด้วย ความน่าจะเป็นที่ผลของการโยนครั้งแรกจะเป็นที่น่าพอใจคือ 5/6 ที่สอง - 4/6 ที่สาม - 3/6 ที่สี่ - 2/6 ที่ห้า - 1/6 เมื่อคูณผลลัพธ์ทั้งหมดเหล่านี้ เราได้ประมาณ 1.5%... ดังนั้น การชนะเกมนี้ค่อนข้างหายาก ดังนั้น หากคุณเพิ่มองค์ประกอบนี้ในเกมของคุณ คุณจะต้องมีแจ็คพอตที่ค่อนข้างใหญ่

การปฏิเสธ

นี่เป็นคำแนะนำที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่ง: บางครั้งก็เป็นการยากที่จะคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น แต่จะง่ายกว่าในการพิจารณาว่าเหตุการณ์ใดจะมีโอกาสเกิดขึ้น จะไม่มา.

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีอีกเกมหนึ่งและคุณหมุน 6d6 และ if อย่างน้อยหนึ่งครั้งม้วน 6 คุณชนะ ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

ในกรณีนี้ มีหลายทางเลือกให้พิจารณา บางทีเลข 6 ตัวหนึ่งอาจจะหลุดออกมาเช่น ลูกเต๋าตัวใดตัวหนึ่งจะทอย 6 และตัวอื่นจะทอย 1 ถึง 5 และมี 6 ตัวเลือกที่ลูกเต๋าจะทอยได้ 6 จากนั้นคุณสามารถทอย 6 จากลูกเต๋าสองลูกหรือสามลูกหรือมากกว่านั้น และทุกครั้งที่เราต้องทำการคำนวณแยกกัน มันจึงง่ายที่จะสับสน

แต่มีอีกวิธีในการแก้ปัญหานี้ ลองดูจากอีกด้านหนึ่ง คุณ สูญเสียถ้า ไม่มีเลข 6 จะไม่หลุดออกจากลูกเต๋า ในกรณีนี้ เรามีการทดลองใช้อิสระ 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นของแต่ละรายการคือ 5/6 (ตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 6 สามารถตกบนลูกเต๋าได้) คูณพวกมันและคุณจะได้ประมาณ 33% ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือ 1 ถึง 3

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% (หรือ 2 ถึง 3)

จากตัวอย่างนี้จะเห็นได้ชัดว่า หากคุณกำลังคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น ให้ลบผลลัพธ์ออกจาก 100%หากความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% ความน่าจะเป็น สูญเสีย — 100% ลบ 67% หรือ 33% และในทางกลับกัน. หากเป็นการยากที่จะคำนวณความน่าจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ง่ายต่อการคำนวณด้านตรงข้าม ให้คำนวณด้านตรงข้ามแล้วลบออกจาก 100%

เงื่อนไขการเชื่อมต่อสำหรับการทดสอบอิสระหนึ่งรายการ

ฉันพูดไปก่อนหน้านี้เล็กน้อยว่าคุณไม่ควรรวมความน่าจะเป็นในการทดลองอิสระ มีกรณีใดบ้างที่ สามารถรวมความน่าจะเป็น? ใช่ในสถานการณ์หนึ่งโดยเฉพาะ

หากคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพอใจหลายรายการที่ไม่เกี่ยวข้องกันในการทดลองเดียวกัน ให้รวมความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพอใจแต่ละรายการ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นของการหมุน 4, 5 หรือ 6 ในวันที่ 1d6 คือ ผลรวมความน่าจะเป็นที่จะกลิ้ง 4 ความน่าจะเป็นที่จะหมุน 5 และความน่าจะเป็นที่จะหมุน 6 คุณสามารถนึกถึงสถานการณ์นี้ได้ดังนี้: ถ้าคุณใช้คำเชื่อม "หรือ" ในคำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็น (เช่นอะไร คือความน่าจะเป็นของ หรือผลลัพธ์ที่แตกต่างกันของเหตุการณ์สุ่มหนึ่งเหตุการณ์?) คำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละบุคคลและสรุปผล

โปรดทราบว่าเมื่อคุณรวม ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกมผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดต้องเท่ากับ 100% หากผลรวมไม่เท่ากับ 100% แสดงว่าการคำนวณของคุณไม่ถูกต้อง นี่เป็นวิธีที่ดีในการตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง ตัวอย่างเช่น คุณวิเคราะห์ความน่าจะเป็นที่จะได้ชุดค่าผสมทั้งหมดในโป๊กเกอร์ หากคุณรวมผลลัพธ์ทั้งหมด คุณควรได้ 100% พอดี (หรืออย่างน้อยค่าที่ใกล้เคียง 100% หากคุณใช้เครื่องคิดเลข คุณอาจมี ข้อผิดพลาดในการปัดเศษเล็กน้อย แต่ถ้าคุณบวกตัวเลขที่แน่นอนด้วยมือ ทุกอย่างควรรวมกัน) หากผลรวมไม่มาบรรจบกัน เป็นไปได้มากว่าคุณไม่ได้คำนึงถึงชุดค่าผสมบางชุด หรือคุณคำนวณความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมบางชุดอย่างไม่ถูกต้อง จากนั้นคุณต้องตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง

ความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน

จนถึงขณะนี้ เราได้สันนิษฐานว่าแต่ละหน้าของดายหลุดออกมาที่ความถี่เดียวกัน เพราะนี่คือวิธีการทำงานของดาย แต่บางครั้งคุณต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ต่างกันออกไป แตกต่างโอกาสตก ตัวอย่างเช่นในส่วนขยายของเกมไพ่ "สงครามนิวเคลียร์" มีสนามเด็กเล่นพร้อมลูกศรที่กำหนดผลลัพธ์ของการยิงขีปนาวุธ: โดยทั่วไปจะสร้างความเสียหายตามปกติสร้างความเสียหายมากหรือน้อย แต่บางครั้งความเสียหายก็เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า หรือเพิ่มขึ้นสามเท่า หรือจรวดระเบิดบนแท่นปล่อยและทำร้ายคุณ หรือมีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น ไม่เหมือนกับกระดานลูกศรใน "Chutes & Ladders" หรือ "A Game of Life" ผลลัพธ์ของกระดานใน "Nuclear War" นั้นไม่เท่ากัน บางส่วนของสนามเด็กเล่นมีขนาดใหญ่กว่าและลูกศรจะหยุดที่ส่วนนั้นบ่อยกว่ามาก ในขณะที่ส่วนอื่นๆ มีขนาดเล็กมากและลูกศรจะหยุดที่ส่วนนั้นน้อยมาก

เมื่อมองแวบแรก กระดูกจะมีลักษณะดังนี้: 1, 1, 1, 2, 2, 3; เราพูดไปแล้วว่ามันเหมือน 1d3 ถ่วงน้ำหนัก ดังนั้นเราต้องแบ่งส่วนเหล่านี้ออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน หาหน่วยวัดที่เล็กที่สุดซึ่งเป็นผลคูณของมัน แล้วแทนสถานการณ์ในรูปของ d522 (หรืออย่างอื่น ) โดยที่ชุดของหน้าลูกเต๋าจะแสดงสถานการณ์เดียวกัน แต่มีผลลัพธ์จำนวนมากขึ้น และนี่คือวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหา และเป็นไปได้ในทางเทคนิค แต่มีวิธีที่ง่ายกว่านั้น

กลับไปที่ลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานของเรา เราบอกว่าในการคำนวณค่าเฉลี่ยของการโยนสำหรับลูกเต๋าปกติคุณต้องรวมค่าบนใบหน้าทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนหน้า แต่อย่างไร อย่างแน่นอนการคำนวณเกิดขึ้น? คุณสามารถแสดงออกได้แตกต่างกัน สำหรับลูกเต๋าหกด้าน ความน่าจะเป็นของแต่ละหน้าขึ้นมาคือ 1/6 พอดี ตอนนี้เราทวีคูณ อพยพแต่ละขอบบน ความน่าจะเป็นผลลัพธ์นี้ (ในกรณีนี้คือ 1/6 สำหรับแต่ละหน้า) จากนั้นสรุปค่าผลลัพธ์ สรุป (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ), เราได้รับผลลัพธ์เดียวกัน (3.5) เช่นเดียวกับในการคำนวณด้านบน ที่จริงแล้ว เราคำนวณสิ่งนี้ทุกครั้ง: เราคูณผลลัพธ์แต่ละอย่างด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น

เราสามารถทำการคำนวณแบบเดียวกันสำหรับลูกศรบนสนามเด็กเล่นในเกม "Nuclear War" ได้หรือไม่? แน่นอนเราทำได้ และถ้าเรารวมผลลัพธ์ที่พบทั้งหมด เราจะได้ค่าเฉลี่ย สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์สำหรับลูกศรบนสนามเด็กเล่นและคูณด้วยผลลัพธ์

ตัวอย่างอื่น

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยโดยการคูณผลลัพธ์แต่ละผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็นของแต่ละรายการ ก็เหมาะสมเช่นกันหากผลลัพธ์มีแนวโน้มเท่ากัน แต่มีข้อได้เปรียบที่แตกต่างกัน เช่น หากคุณทอยลูกเต๋าและชนะในบางด้านมากกว่าวิธีอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ลองเล่นเกมที่เกิดขึ้นในคาสิโน: คุณเดิมพันและหมุน 2d6 หากตัวเลขที่มีมูลค่าต่ำสามตัว (2, 3, 4) หรือตัวเลขมูลค่าสูงสี่ตัว (9, 10, 11, 12) ปรากฏขึ้น คุณจะชนะเป็นจำนวนเงินเท่ากับเดิมพันของคุณ หมายเลขที่มีมูลค่าต่ำสุดและสูงสุดเป็นพิเศษ: ถ้าทอย 2 หรือ 12 คุณชนะ สองเท่ากว่าราคาเสนอของคุณ หากมีหมายเลขอื่นขึ้นมา (5, 6, 7, 8) คุณจะเสียเดิมพันของคุณ นี้เป็นเกมที่ค่อนข้างง่าย แต่ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

เริ่มต้นด้วยการนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถชนะ:

• จำนวนผลลัพธ์สูงสุดในการทอย 2d6 คือ 36 จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจคืออะไร?
• มี 1 ตัวเลือกที่สองตัวจะหลุดออกและ 1 ตัวเลือกที่สิบสองจะหลุดออกมา
• มี 2 ​​ตัวเลือกสำหรับการหมุนสามและสิบเอ็ด
• มี 3 ตัวเลือกสำหรับการกลิ้งสี่และ 3 ตัวเลือกสำหรับการกลิ้งสิบ
• มี 4 ตัวเลือกสำหรับเก้าที่จะเกิดขึ้น
• เมื่อรวมตัวเลือกทั้งหมดแล้ว เราจะได้ผลลัพธ์ที่น่าพอใจจำนวน 16 จาก 36

ดังนั้น ภายใต้สภาวะปกติ คุณจะชนะ 16 ครั้งจากทั้งหมด 36 ครั้ง... ความน่าจะเป็นที่จะชนะน้อยกว่า 50% เล็กน้อย

แต่ในสองกรณีจาก 16 คนนั้น คุณจะชนะเป็นสองเท่า กล่าวคือ มันเหมือนชนะสองครั้ง! หากคุณเล่นเกมนี้ 36 ครั้ง เดิมพันครั้งละ 1 ดอลลาร์ และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกิดขึ้นครั้งเดียว คุณจะชนะทั้งหมด 18 ดอลลาร์ (จริง ๆ แล้วคุณชนะ 16 ครั้ง แต่สองครั้งในนั้นจะถูกนับเป็นสองครั้ง) หากคุณเล่น 36 ครั้งและชนะ 18 ดอลลาร์ นั่นหมายความว่ามันเป็นโอกาสที่คู่ควรใช่หรือไม่

ไม่ต้องรีบ. หากคุณนับจำนวนครั้งที่สูญเสีย คุณจะได้ 20 ไม่ใช่ 18 หากคุณเล่น 36 ครั้ง เดิมพันครั้งละ 1 ดอลลาร์ คุณจะชนะรวม 18 ดอลลาร์ด้วยอัตราต่อรองทั้งหมด... แต่คุณจะแพ้ รวมเป็นจำนวนเงิน $20 สำหรับผลลัพธ์ที่ไม่ดีทั้งหมด 20 รายการ! ผลที่ได้คือ คุณจะล้าหลังเล็กน้อย: คุณเสียเงินสุทธิ $2 โดยเฉลี่ยต่อทุกๆ 36 เกม (คุณสามารถพูดได้ว่าคุณเสียเฉลี่ย $1/18 ต่อวัน) ตอนนี้คุณเห็นแล้วว่าความผิดพลาดในกรณีนี้ง่ายและคำนวณความน่าจะเป็นอย่างไม่ถูกต้อง!

การเปลี่ยนแปลง

จนถึงตอนนี้ เราได้สันนิษฐานว่าลำดับการโยนตัวเลขนั้นไม่สำคัญเมื่อทอยลูกเต๋า ม้วน 2+4 เท่ากับม้วน 4+2 ในกรณีส่วนใหญ่ เราคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจด้วยตนเอง แต่บางครั้งวิธีนี้ใช้ไม่ได้และควรใช้สูตรทางคณิตศาสตร์จะดีกว่า

ตัวอย่างสถานการณ์นี้มาจากเกมลูกเต๋า Farkle ในแต่ละรอบใหม่ คุณจะทอย 6d6 หากคุณโชคดีและผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ 1-2-3-4-5-6 (ตรง) ปรากฏขึ้น คุณจะได้รับโบนัสก้อนโต ความน่าจะเป็นที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นคืออะไร? ในกรณีนี้ มีตัวเลือกมากมายสำหรับการสูญเสียชุดค่าผสมนี้!

วิธีแก้ปัญหามีดังนี้ ลูกเต๋าตัวเดียว (และตัวเดียวเท่านั้น) ต้องทอยเลข 1! กี่วิธีที่จะได้หมายเลข 1 ในหนึ่งลูกเต๋า? หก เนื่องจากมีลูกเต๋า 6 ลูก และตัวใดตัวหนึ่งสามารถลงที่หมายเลข 1 ได้ ดังนั้น นำลูกเต๋าหนึ่งลูกแล้ววางทิ้งไว้ ตอนนี้หมายเลข 2 ควรตกบนลูกเต๋าที่เหลือตัวใดตัวหนึ่ง มี 5 ตัวเลือกสำหรับสิ่งนี้ นำลูกเต๋าอีกลูกแล้วพักไว้ จากนั้นลูกเต๋าสี่ลูกที่เหลืออาจหมุนได้ 3 ลูกเต๋าสามลูกที่เหลืออาจหมุนได้ 4 ลูกเต๋าสองลูกที่เหลืออาจหมุนได้ 5 และจบลงด้วยลูกเต๋าหนึ่งลูกที่ควรทอย 6 (ในช่วงหลัง กรณีมีลูกเต๋าเดียวเท่านั้นและไม่มีทางเลือก) ในการนับจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจสำหรับชุดค่าผสมแบบตรงที่จะเกิดขึ้น เราคูณตัวเลือกที่ต่างกันออกไปทั้งหมด: 6x5x4x3x2x1 = 720 - ดูเหมือนว่ามีตัวเลือกมากมายสำหรับชุดค่าผสมนี้ที่จะเกิดขึ้น

ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้ชุดค่าผสมแบบตรง เราต้องหาร 720 ด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการทอย 6d6 จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นเท่าใด แต่ละลูกเต๋าสามารถลงจอดได้ 6 หน้า ดังนั้นเราจึงคูณ 6x6x6x6x6x6 = 46656 (จำนวนที่สูงกว่ามาก!) เราหาร 720/46656 และเราได้รับความน่าจะเป็นเท่ากับประมาณ 1.5% หากคุณกำลังออกแบบเกมนี้ จะเป็นประโยชน์สำหรับคุณที่จะรู้สิ่งนี้ เพื่อสร้างระบบการให้คะแนนที่เหมาะสม ตอนนี้เราเข้าใจแล้วว่าทำไมในเกม "Farkle" ที่คุณได้รับโบนัสก้อนโตถ้าคุณได้รับ "ตรง" รวมกันเพราะสถานการณ์นี้ค่อนข้างหายาก!

ผลลัพธ์ก็น่าสนใจด้วยเหตุผลอื่น ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นจริง ๆ มักไม่ค่อยเกิดขึ้นในช่วงเวลาสั้น ๆ แน่นอนว่าถ้าเราทอยลูกเต๋าหลายพันลูก ลูกเต๋าด้านต่างๆ ก็มักจะโผล่มาค่อนข้างบ่อย แต่เมื่อเราทอยได้เพียงหกลูกเต๋าเกือบ ไม่เคยหน้าแต่ละคนก็ไม่ตก! จากนี้ไปก็เห็นชัดว่าโง่ที่คาดว่าตอนนี้หน้าอีกใบจะหลุดออกมาซึ่งยังไม่หลุดพ้น “เพราะเราไม่ได้ตกเลข 6 มาช้านาน แปลว่าเดี๋ยวจะหลุด ”

ฟังนะ เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย...

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความเข้าใจผิดทั่วไปเกี่ยวกับความน่าจะเป็น: การสันนิษฐานว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีความถี่เท่ากัน ในช่วงเวลาสั้นๆซึ่งอันที่จริงไม่เป็นเช่นนั้น หากเราทอยลูกเต๋าหลายๆ ครั้ง ความถี่ของหน้าแต่ละคนจะไม่เท่ากัน

หากคุณเคยทำงานในเกมออนไลน์ที่มีโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มมาก่อน คุณคงเคยเจอสถานการณ์ที่ผู้เล่นเขียนถึงฝ่ายสนับสนุนด้านเทคนิคเพื่อบอกว่าโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มของคุณเสียและไม่แสดงตัวเลขสุ่ม และเขา มาถึงข้อสรุปนี้เพราะเขาเพิ่งฆ่ามอนสเตอร์ 4 ตัวติดต่อกันและได้ 4 รางวัลเหมือนกันทุกประการ และรางวัลเหล่านี้ควรดรอปเพียง 10% ของเวลาเท่านั้น ดังนั้นนี่ แทบจะไม่เคยไม่ควร แทนที่ซึ่งหมายความว่ามัน อย่างชัดเจนว่าเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย

คุณกำลังทำคณิตศาสตร์ 1/10*1/10*1/10*1/10 เท่ากับ 1 ใน 10,000 ซึ่งหมายความว่าหายากมาก และนั่นคือสิ่งที่ผู้เล่นพยายามจะบอกคุณ มีปัญหาในกรณีนี้หรือไม่?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ตอนนี้มีผู้เล่นกี่คนบนเซิร์ฟเวอร์ของคุณ? สมมติว่าคุณมีเกมที่ได้รับความนิยมและมีผู้เล่น 100,000 คนทุกวัน มีผู้เล่นกี่คนที่จะฆ่ามอนสเตอร์สี่ตัวติดต่อกัน? อาจจะทุกอย่าง หลายครั้งต่อวัน แต่สมมติว่าครึ่งหนึ่งเป็นเพียงการแลกเปลี่ยนสิ่งของต่างๆ ในการประมูลหรือสนทนาบนเซิร์ฟเวอร์ RP หรือทำกิจกรรมเกมอื่น ๆ ดังนั้นมีเพียงครึ่งหนึ่งเท่านั้นที่ตามล่าสัตว์ประหลาดจริงๆ ความน่าจะเป็นที่ บางคนรางวัลเดียวกันจะหลุดออกมาหรือไม่? ในสถานการณ์เช่นนี้ คุณสามารถคาดหวังได้ว่ารางวัลเดียวกันสามารถดรอปได้หลายครั้งต่อวันเป็นอย่างน้อย!

ยังไงก็ตาม อย่างน้อยก็ดูเหมือนทุกๆ สองสามสัปดาห์เป็นอย่างน้อย บางคนถูกลอตเตอรีถึงแม้จะเป็นคนๆนั้น ไม่เคยคุณหรือเพื่อนของคุณไม่มา ถ้าคนเล่นเพียงพอในแต่ละสัปดาห์ โอกาสก็มีอย่างน้อย หนึ่งโชคดี...แต่ถ้า คุณคุณเล่นลอตเตอรี คุณมีโอกาสน้อยที่จะชนะงานที่ Infinity Ward

แผนที่และการเสพติด

เราได้พูดคุยถึงเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ เช่น การขว้างลูกเต๋า และตอนนี้เรารู้เครื่องมืออันทรงพลังมากมายสำหรับการวิเคราะห์การสุ่มในเกมต่างๆ มากมาย การคำนวณความน่าจะเป็นนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเมื่อพูดถึงการจั่วไพ่จากสำรับ เนื่องจากไพ่แต่ละใบที่เราจั่วจะส่งผลต่อไพ่ที่เหลืออยู่ในสำรับ ถ้าคุณมีสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบ และคุณจั่วหัวใจ 10 ใบ เป็นต้น และคุณต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบต่อไปจะเป็นชุดเดียวกัน ความน่าจะเป็นก็เปลี่ยนไปเพราะคุณได้นำการ์ดหัวใจหนึ่งใบออกจาก ดาดฟ้า การ์ดแต่ละใบที่คุณนำออกจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นของไพ่ใบถัดไปในสำรับ เนื่องจากในกรณีนี้ เหตุการณ์ก่อนหน้ามีผลกระทบต่อเหตุการณ์ถัดไป เราเรียกความน่าจะเป็นนี้ว่า ขึ้นอยู่กับ.

โปรดทราบว่าเมื่อฉันพูดว่า "ไพ่" ฉันหมายถึง ใด ๆกลไกของเกมที่มีชุดของวัตถุและคุณลบหนึ่งในวัตถุโดยไม่ต้องเปลี่ยน "สำรับไพ่" ในกรณีนี้คล้ายกับถุงชิปซึ่งคุณถอดชิปหนึ่งตัวและไม่ต้องเปลี่ยน หรือโกศที่คุณเอาลูกหินสีออก (อันที่จริงฉันไม่เคยเห็นเกมที่มีโกศที่มีลูกหินสีเอาออกมา แต่ดูเหมือนว่าครูทฤษฎีความน่าจะเป็นจะชอบตัวอย่างนี้ด้วยเหตุผลบางประการ)

คุณสมบัติการพึ่งพา

ฉันต้องการชี้แจงว่าเมื่อพูดถึงไพ่ ฉันถือว่าคุณจั่วไพ่ ดูมัน และนำออกจากสำรับ การกระทำแต่ละอย่างเหล่านี้เป็นทรัพย์สินที่สำคัญ

ถ้าฉันมีสำรับ เช่น ไพ่หกใบที่มีหมายเลข 1 ถึง 6 และฉันสับมันและจั่วไพ่หนึ่งใบแล้วสับไพ่ทั้งหกใบอีกครั้ง นั่นก็จะเหมือนกับการทอยลูกเต๋าหกด้าน ผลลัพธ์หนึ่งจะไม่มีผลกับผลลัพธ์ถัดไป เฉพาะในกรณีที่ฉันจั่วไพ่และไม่แทนที่ผลลัพธ์ของการจั่วไพ่ที่มีหมายเลข 1 จะเพิ่มโอกาสที่ครั้งต่อไปที่ฉันจั่วไพ่ที่มีหมายเลข 6 (ความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นจนกว่าฉันจะจั่วการ์ดใบนี้ในที่สุดหรือจนกว่า ฉันสับไพ่)

ความจริงที่ว่าเรา พวกเรามองบนการ์ดก็มีความสำคัญเช่นกัน ถ้าฉันเอาไพ่ออกจากสำรับแล้วไม่ดู ฉันไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมและความน่าจะเป็นก็ไม่เปลี่ยนแปลงจริงๆ นี่อาจฟังดูไร้เหตุผล เพียงแค่พลิกไพ่อย่างน่าอัศจรรย์จะเปลี่ยนโอกาสได้อย่างไร? แต่เป็นไปได้เพราะคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของรายการที่ไม่รู้จักได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าคุณ คุณรู้. ตัวอย่างเช่น หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐาน เปิดไพ่ 51 ใบ และไม่มีไพ่ใบใดที่เป็นราชินีแห่งไม้กอล์ฟเลย คุณจะรู้ได้อย่างมั่นใจ 100% ว่าไพ่ที่เหลือเป็นราชินีแห่งไม้กอล์ฟ หากคุณสับไพ่มาตรฐานและจั่วไพ่ 51 ใบ ถึงอย่างไรก็ตามกับพวกเขา ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่เหลืออยู่จะเป็นราชินีแห่งไม้กระบองจะยังคงเป็น 1/52 เมื่อคุณเปิดการ์ดแต่ละใบ คุณจะได้รับข้อมูลเพิ่มเติม

การคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ไม่ขึ้นต่อกันนั้นใช้หลักการเดียวกันกับเหตุการณ์อิสระ ยกเว้นว่ามันซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เนื่องจากความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปเมื่อคุณเปิดเผยไพ่ ดังนั้น คุณต้องคูณค่าต่าง ๆ มากมาย แทนที่จะคูณค่าเดียวกัน อันที่จริง นี่หมายความว่าเราจำเป็นต้องรวมการคำนวณทั้งหมดที่เราทำเป็นชุดเดียว

ตัวอย่าง

คุณสับไพ่มาตรฐาน 52 ใบและจั่วไพ่สองใบ ความน่าจะเป็นที่คุณจะออกคู่เป็นเท่าไหร่? มีหลายวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นนี้ แต่บางทีวิธีที่ง่ายที่สุดอาจเป็นดังนี้: ความน่าจะเป็นที่ถ้าคุณจั่วไพ่หนึ่งใบ คุณจะไม่สามารถจั่วไพ่คู่ได้? ความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์ ดังนั้นมันไม่สำคัญหรอกว่าคุณจะจั่วไพ่ใบแรกใบไหน ตราบใดที่มันตรงกับไพ่ใบที่สอง ไม่ว่าไพ่ใบไหนที่เราจั่วก่อน เรายังมีโอกาสจั่วไพ่คู่ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เราจะจั่วไพ่คู่หลังจากจั่วไพ่ใบแรกได้ 100%

ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับไพ่ใบแรกเป็นเท่าใด มีไพ่เหลืออยู่ในสำรับ 51 ใบ และ 3 ใบตรงกับไพ่ใบแรก (จริงๆ แล้วน่าจะเป็น 4 จาก 52 ใบ แต่คุณได้นำไพ่ที่ตรงกันออกหนึ่งใบเมื่อคุณจั่วไพ่ใบแรก!) ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 1 /17. (ดังนั้นครั้งต่อไปที่ผู้ชายที่อยู่บนโต๊ะที่เล่น Texas Hold'em พูดว่า "เจ๋งไปอีกคู่ ฉันโชคดีวันนี้" คุณจะรู้ว่ามีโอกาสค่อนข้างสูงที่เขาจะบลัฟ)

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเพิ่มโจ๊กเกอร์สองคนและตอนนี้เรามีไพ่ 54 ใบในสำรับ และเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่คู่หนึ่งเป็นเท่าใด ไพ่ใบแรกอาจเป็นโจ๊กเกอร์ จากนั้นสำรับจะมีเพียง หนึ่งการ์ดไม่ใช่สามซึ่งจะตรงกัน จะหาความน่าจะเป็นในกรณีนี้ได้อย่างไร? เราแบ่งความน่าจะเป็นและคูณความเป็นไปได้แต่ละอย่าง

ไพ่ใบแรกของเราอาจเป็นโจ๊กเกอร์หรือไพ่อื่นๆ ความน่าจะเป็นที่จะจั่วโจ๊กเกอร์คือ 2/54 ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ใบอื่นคือ 52/54

หากไพ่ใบแรกเป็นโจ๊กเกอร์ (2/54) ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับไพ่ใบแรกคือ 1/53 การคูณค่า (เราสามารถคูณได้เพราะเป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันและเราต้องการที่จะ ทั้งสองเหตุการณ์เกิดขึ้น) และเราได้ 1/1431 - น้อยกว่าหนึ่งในสิบของเปอร์เซ็นต์

หากคุณจั่วไพ่ใบอื่นก่อน (52/54) ความน่าจะเป็นที่จะจับคู่ไพ่ใบที่สองคือ 3/53 เราคูณค่าและรับ 78/1431 (มากกว่า 5.5%) เล็กน้อย

เราจะทำอย่างไรกับผลลัพธ์ทั้งสองนี้ พวกมันไม่ตัดกันและเราอยากรู้ความน่าจะเป็น ทุกคนเลยสรุปค่า! เราได้ผลลัพธ์สุดท้าย 79/1431 (ยังคงประมาณ 5.5%)

หากเราต้องการให้แน่ใจว่าคำตอบถูกต้อง เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้อื่นๆ ทั้งหมด: จั่วโจ๊กเกอร์และไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง หรือจั่วไพ่ใบอื่นแต่ไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง แล้วรวมทั้งหมดเข้าด้วยกัน ด้วยความน่าจะเป็นที่จะชนะ เราจะได้รับ 100% อย่างแน่นอน ฉันจะไม่ให้คณิตศาสตร์ที่นี่ แต่คุณสามารถลองคณิตศาสตร์เพื่อตรวจสอบอีกครั้ง

The Monty Hall Paradox

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่ค่อนข้างมีชื่อเสียงซึ่งมักจะสร้างความสับสนให้กับหลาย ๆ คน ความขัดแย้งของมอนตี้ ฮอลล์ ความขัดแย้งนี้ตั้งชื่อตามมอนตี้ ฮอลล์ พิธีกรรายการโทรทัศน์ Let's Make a Deal หากคุณไม่เคยดูรายการนี้ มันจะเป็นตรงกันข้ามกับรายการทีวี "The Price Is Right" ในรายการ “The Price Is Right” ผู้ดำเนินรายการ (เดิมคือ Bob Barker ตอนนี้คือ…Drew Carey? อย่างไรก็ตาม…) คือเพื่อนของคุณ เขา ต้องการเพื่อให้คุณได้เงินหรือของรางวัลเจ๋งๆ มันพยายามให้ทุกโอกาสแก่คุณในการชนะ ตราบใดที่คุณสามารถเดาได้ว่าสิ่งของที่ได้รับการสนับสนุนนั้นมีมูลค่าเท่าใด

มอนตี้ ฮอลล์ทำตัวแตกต่างออกไป เขาเป็นเหมือนฝาแฝดที่ชั่วร้ายของ Bob Barker เป้าหมายของเขาคือการทำให้คุณดูเหมือนคนงี่เง่าในโทรทัศน์แห่งชาติ หากคุณอยู่ในรายการ เขาเป็นคู่ต่อสู้ของคุณ คุณเล่นกับเขาและโอกาสอยู่ในความโปรดปรานของเขา บางทีฉันอาจพูดแรง แต่เมื่อโอกาสที่จะถูกเลือกเป็นคู่ต่อสู้ดูเหมือนจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการที่คุณสวมชุดที่ดูตลกหรือไม่ ฉันก็ได้ข้อสรุปที่คล้ายกัน

แต่มีมที่โด่งดังที่สุดของรายการคือ มีสามประตูอยู่ข้างหน้าคุณ และถูกเรียกว่าประตูหมายเลข 1 ประตู 2 และประตูหมายเลข 3 คุณสามารถเลือกประตูใดก็ได้... ฟรี! ข้างหลังประตูบานหนึ่งมีรางวัลวิเศษ เช่น รถยนต์ใหม่ ประตูอื่นไม่มีรางวัล ประตูสองบานนี้ไม่มีค่า เป้าหมายของพวกเขาคือการทำให้คุณอับอาย และไม่เหมือนกับว่าไม่มีอะไรอยู่เบื้องหลังเลย มีบางอย่างที่อยู่ข้างหลังพวกเขาที่ดูงี่เง่า อย่างเช่น แพะที่อยู่ข้างหลังพวกเขา ยาสีฟันหลอดใหญ่ หรืออะไรบางอย่าง ... อะไรกันแน่ที่เป็นอยู่ ไม่รถใหม่.

คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง และมอนตี้กำลังจะเปิดประตูเพื่อแจ้งให้คุณทราบว่าคุณชนะหรือไม่... แต่เดี๋ยวก่อน ก่อนที่เราจะรู้ว่าลองดูที่หนึ่งใน เหล่านั้นประตูคุณ ไม่ได้เลือก. เนื่องจากมอนตี้รู้ว่ารางวัลอยู่หลังประตูไหน และมีเพียงรางวัลเดียวและ สองประตูที่คุณไม่ได้เลือกไม่ว่าอย่างไรก็ตามเขาสามารถเปิดประตูที่ไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลังได้เสมอ “คุณเลือกประตูหมายเลข 3 หรือไม่? แล้วมาเปิดประตูที่ 1 เพื่อแสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง" และตอนนี้ ด้วยความเอื้ออาทร เขาได้เสนอโอกาสให้คุณแลกเปลี่ยนประตู #3 ที่คุณเลือกกับประตู #2 นี่คือสิ่งที่คำถามของความน่าจะเป็นเข้ามาเกี่ยวข้อง: ความสามารถในการเลือกประตูอื่นเพิ่มหรือลดโอกาสของคุณ ของการชนะหรือว่ามันยังคงเหมือนเดิม? คุณคิดอย่างไร?

คำตอบที่ถูกต้อง: ความสามารถในการเลือกประตูอื่น เพิ่มขึ้นความน่าจะเป็นที่จะชนะจาก 1/3 ถึง 2/3 สิ่งนี้ไม่สมเหตุสมผล หากคุณไม่เคยพบกับความขัดแย้งนี้มาก่อน คุณกำลังคิดว่า: เดี๋ยวก่อน เราเปลี่ยนความน่าจะเป็นอย่างอัศจรรย์ด้วยการเปิดประตูบานเดียวใช่หรือไม่ แต่ดังที่เราเห็นในตัวอย่างแผนที่ด้านบน นี่คือ อย่างแน่นอนจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราได้รับข้อมูลเพิ่มเติม เห็นได้ชัดว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะในครั้งแรกที่คุณเลือกคือ 1/3 และฉันเดาว่าทุกคนคงจะเห็นด้วย เมื่อประตูบานหนึ่งเปิดออก จะไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นที่จะชนะสำหรับตัวเลือกแรกเลย ความน่าจะเป็นยังคงเป็น 1/3 แต่นี่หมายความว่าความน่าจะเป็นที่ อื่นประตูที่ถูกต้องตอนนี้คือ 2/3

ลองดูตัวอย่างนี้จากอีกด้านหนึ่ง คุณเลือกประตู ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 แนะนำให้เปลี่ยน สองประตูอื่นๆ ซึ่ง Monty Hall เสนอให้ทำจริงๆ แน่นอน เขาเปิดประตูบานหนึ่งเพื่อแสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง แต่เขา เสมอสามารถทำได้ ดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรจริงๆ แน่นอน คุณจะต้องเลือกประตูอื่น!

หากคุณไม่ค่อยเข้าใจปัญหานี้และต้องการคำอธิบายที่น่าเชื่อถือมากขึ้น ให้คลิกที่ลิงก์นี้เพื่อไปยังแอปพลิเคชัน Flash ขนาดเล็กที่จะช่วยให้คุณสำรวจความขัดแย้งนี้ในรายละเอียดเพิ่มเติม คุณสามารถเริ่มต้นด้วยประตูประมาณ 10 ประตู แล้วค่อยๆ เลื่อนขึ้นไปยังเกมที่มีสามประตู นอกจากนี้ยังมีโปรแกรมจำลองที่คุณสามารถเลือกประตูจำนวนเท่าใดก็ได้ตั้งแต่ 3 ถึง 50 และเล่นหรือเรียกใช้การจำลองหลายพันครั้ง และดูว่าคุณชนะกี่ครั้งหากคุณเล่น

ข้อสังเกตจากครูคณิตศาสตร์ชั้นสูงและผู้เชี่ยวชาญด้านความสมดุลของเกม Maxim Soldatov ซึ่งแน่นอนว่า Schreiber ไม่มี แต่ถ้าไม่มีก็ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจการเปลี่ยนแปลงเวทย์มนตร์นี้:

เลือกประตู หนึ่งในสาม ความน่าจะเป็นที่จะ "ชนะ" 1/3 ตอนนี้คุณมี 2 กลยุทธ์: เปลี่ยนทางเลือกหลังจากเปิดประตูผิดหรือไม่ หากคุณไม่เปลี่ยนตัวเลือก ความน่าจะเป็นจะยังคงอยู่ที่ 1/3 เนื่องจากตัวเลือกนั้นอยู่ในขั้นแรกเท่านั้น และคุณต้องเดาทันที แต่ถ้าคุณเปลี่ยน คุณจะชนะได้หากคุณเลือกประตูผิดก่อน ( แล้วเค้าเปิดผิดอีกอันจะเป็นจริงอยู่เปลี่ยนการตัดสินใจเอาไปเลย)
ความน่าจะเป็นในการเลือกประตูผิดในตอนเริ่มต้นคือ 2/3 ปรากฎว่าการเปลี่ยนการตัดสินใจทำให้คุณมีโอกาสชนะเพิ่มขึ้น 2 เท่า

ทบทวน Monty Hall Paradox

สำหรับการแสดงนั้น มอนตี้ ฮอลล์ รู้เรื่องนี้ดี เพราะถึงแม้คู่ต่อสู้ของเขาจะไม่เก่งคณิตศาสตร์ เขาเข้าใจเธอดี นี่คือสิ่งที่เขาทำเพื่อเปลี่ยนเกมเล็กน้อย หากคุณเลือกประตูหลังที่เป็นของรางวัล ความน่าจะเป็นคือ 1/3 นั้น เสมอเสนอทางเลือกให้คุณเลือกประตูอื่น เพราะคุณเลือกรถแล้วเปลี่ยนเป็นแพะ และคุณดูงี่เง่ามาก ซึ่งเป็นสิ่งที่เขาต้องการจริงๆ เพราะเขาเป็นคนชั่ว แต่ถ้าคุณเลือกประตูข้างหลังซึ่ง จะไม่มีรางวัล, เท่านั้น ครึ่งในกรณีเช่นนี้ เขาจะแจ้งให้คุณเลือกประตูอื่น และในกรณีอื่นๆ เขาจะแสดงแพะตัวใหม่ให้คุณดู และคุณจะออกจากที่เกิดเหตุ มาวิเคราะห์เกมใหม่ที่มอนตี้ ฮอลล์ ทำได้ เลือกให้คุณมีโอกาสเลือกประตูอื่นหรือไม่

สมมติว่าเขาทำตามอัลกอริทึมนี้ หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัล เขาจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นเสมอ มิฉะนั้น ความน่าจะเป็นที่เขาจะเสนอประตูอื่นให้คุณหรือให้แพะกับคุณคือ 50/50 ความน่าจะเป็นในการชนะของคุณเป็นเท่าไหร่?

ในหนึ่งในสามตัวเลือก คุณจะเลือกประตูที่อยู่ด้านหลังของรางวัลทันที และโฮสต์จะเชิญให้คุณเลือกประตูอื่น

จากสองตัวเลือกที่เหลือจากทั้งหมดสามประตู (ในตอนแรกคุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัล) ครึ่งเวลาที่เจ้าบ้านจะขอให้คุณเลือกประตูอื่น และอีกครึ่งหนึ่งจะไม่ทำ ครึ่งหนึ่งของ 2/3 เท่ากับ 1/3 นั่นคือ ในกรณีหนึ่งในสามคุณจะได้แพะ ในกรณีหนึ่งในสามคุณจะเลือกประตูผิดและเจ้าบ้านจะขอให้คุณเลือกอีกตัวหนึ่ง และในกรณีหนึ่งจากสามคุณจะเลือก ประตูขวาและเขาจะแจ้งให้คุณเลือกประตูอื่น

ถ้าเจ้าบ้านแนะนำให้เลือกประตูอื่น เราก็รู้อยู่แล้วว่าหนึ่งในสามกรณีที่เขาให้แพะกับเราแล้วเราออกไปนั้นไม่เกิดขึ้น นี่เป็นข้อมูลที่เป็นประโยชน์เพราะหมายความว่าโอกาสในการชนะของเราเปลี่ยนไป สองในสามครั้งที่เรามีทางเลือก ในกรณีหนึ่งหมายความว่าเราเดาถูก และอีกกรณีหนึ่งหมายความว่าเราเดาผิด ดังนั้นหากเราเสนอทางเลือกเลย หมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะของเราคือ 50 /50 และไม่มี คณิตศาสตร์ผลประโยชน์อยู่กับทางเลือกของคุณหรือเลือกประตูอื่น

เช่นเดียวกับโป๊กเกอร์ ตอนนี้มันเป็นเกมทางจิตวิทยา ไม่ใช่เกมทางคณิตศาสตร์ มอนตี้เสนอทางเลือกให้คุณเพราะเขาคิดว่าคุณเป็นคนธรรมดาที่ไม่รู้ว่าการเลือกประตูอื่นเป็นการตัดสินใจที่ "ถูกต้อง" และคุณจะยึดมั่นในสิ่งที่คุณเลือกอย่างดื้อรั้น เพราะในทางจิตวิทยา สถานการณ์เมื่อคุณเลือก รถแล้วเสียหนักกว่า? หรือเขาคิดว่าคุณฉลาดและเลือกประตูอื่น และเขาเสนอโอกาสนั้นให้คุณเพราะเขารู้ว่าคุณเดาถูกในครั้งแรกและคุณจะติดและติดกับดัก? หรือบางทีเขาอาจจะใจดีกับตัวเองอย่างไม่เคยมีมาก่อนและผลักดันให้คุณทำอะไรบางอย่างเพื่อผลประโยชน์ส่วนตัวของคุณเพราะเขาไม่ได้บริจาครถมาเป็นเวลานานและผู้ผลิตของเขาบอกเขาว่าผู้ชมเริ่มเบื่อและจะดีกว่าถ้าเขาให้ รางวัลใหญ่เร็วๆนี้ เรตติ้งไม่ตก ?

ดังนั้น มอนตี้จึงสามารถเสนอทางเลือกได้ (บางครั้ง) และความน่าจะเป็นโดยรวมในการชนะยังคงเป็น 1/3 จำไว้ว่าความน่าจะเป็นที่คุณจะเสียทันทีคือ 1/3 มีโอกาส 1/3 ที่คุณจะเดาได้ทันที และ 50% ของครั้งนั้นคุณจะชนะ (1/3 x 1/2 = 1/6) ความน่าจะเป็นที่คุณเดาผิดในตอนแรก แต่จากนั้นมีโอกาสเลือกประตูอื่นคือ 1/3 และใน 50% ของกรณีเหล่านี้ คุณจะชนะ (เช่นกัน 1/6) เพิ่มความเป็นไปได้ในการชนะอิสระสองแบบและคุณจะได้รับความน่าจะเป็น 1/3 ดังนั้นไม่ว่าคุณจะอยู่ในตัวเลือกของคุณหรือเลือกประตูอื่น ความน่าจะเป็นรวมของการชนะของคุณตลอดทั้งเกมคือ 1/3... ความน่าจะเป็นไม่ได้มากขึ้น มากกว่าในสถานการณ์ที่คุณจะเดาได้ว่าประตูและเจ้าบ้านจะแสดงให้คุณเห็นสิ่งที่อยู่หลังประตูนี้ โดยไม่มีความสามารถในการเลือกประตูอื่น! ดังนั้นประเด็นของการเสนอตัวเลือกในการเลือกประตูอื่นไม่ใช่เพื่อเปลี่ยนความน่าจะเป็น แต่เพื่อให้กระบวนการตัดสินใจดูทางทีวีสนุกยิ่งขึ้น

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้โป๊กเกอร์มีความน่าสนใจ: ในรูปแบบส่วนใหญ่ระหว่างรอบ เมื่อมีการวางเดิมพัน (เช่น ฟล็อป เทิร์น และริเวอร์ในเท็กซัส โฮลเด็ม) ไพ่จะค่อยๆ เปิดเผย และหากในตอนเริ่มเกมคุณมีความเป็นไปได้ที่จะชนะหนึ่งครั้ง หลังจากการเดิมพันแต่ละรอบ เมื่อเปิดไพ่มากขึ้น ความน่าจะเป็นนี้จะเปลี่ยนไป

เด็กชายและเด็กหญิง Paradox

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่เป็นที่รู้จักกันดีอีกประการหนึ่งซึ่งมักจะไขปริศนาให้ทุกคน สิ่งเดียวที่ฉันกำลังเขียนเกี่ยวกับวันนี้ซึ่งไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับเกม (แม้ว่าฉันเดาว่ามันหมายความว่าฉันควรผลักดันให้คุณสร้างกลไกของเกมที่เกี่ยวข้อง) นี่เป็นปริศนามากกว่า แต่เป็นเรื่องที่น่าสนใจ และเพื่อที่จะแก้ปัญหานั้น คุณต้องเข้าใจความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เราพูดถึงข้างต้น

งาน: ฉันมีเพื่อนที่มีลูกสองคน อย่างน้อยหนึ่งเด็กเป็นเด็กผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สอง ด้วยสาว? สมมุติว่าในครอบครัวใด ๆ โอกาสที่จะมีผู้หญิงหรือผู้ชายคือ 50/50 และนี่เป็นเรื่องจริงสำหรับเด็กทุกคน (อันที่จริงผู้ชายบางคนมีสเปิร์มมากกว่าในตัวอสุจิที่มีโครโมโซม X หรือโครโมโซม Y ดังนั้นความน่าจะเป็น เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยถ้าคุณรู้ว่าเด็กคนหนึ่งเป็นเด็กผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้หญิงนั้นสูงขึ้นเล็กน้อย นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขอื่นๆ เช่น การกระเทย แต่สำหรับการแก้ปัญหานี้ เราจะไม่พิจารณาเรื่องนี้และถือว่า การเกิดของเด็กเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระและความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายหรือเด็กหญิงเหมือนกัน)

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงโอกาส 1/2 เราคาดว่าคำตอบน่าจะเป็น 1/2 หรือ 1/4 หรือตัวเลขปัดเศษอื่น ๆ ที่เป็นผลคูณของ 2 แต่คำตอบคือ: 1/3 . รอทำไม?

ความยากในกรณีนี้คือข้อมูลที่เรามีลดจำนวนความเป็นไปได้ สมมติว่าพ่อแม่เป็นแฟนของ Sesame Street และไม่ว่าเด็กจะเกิดมาเป็นเด็กชายหรือเด็กหญิงก็ตาม ตั้งชื่อลูกว่า A และ B ภายใต้สถานการณ์ปกติ มีความเป็นไปได้สี่อย่างเท่าเทียมกัน: A และ B เป็นเด็กชายสองคน A และ B เป็น ผู้หญิงสองคน A คือเด็กผู้ชาย และ B คือผู้หญิง A คือผู้หญิง และ B คือเด็กผู้ชาย เพราะเรารู้ว่า อย่างน้อยหนึ่งเด็กเป็นเด็กผู้หญิง เราสามารถแยกแยะความเป็นไปได้ที่ A และ B เป็นเด็กชายสองคน ปล่อยให้เรามีความเป็นไปได้สามอย่าง (ยังมีโอกาสเท่าเทียมกัน) หากความเป็นไปได้ทั้งหมดมีโอกาสเท่ากันและมีสามทาง เรารู้ว่าความน่าจะเป็นของแต่ละโอกาสคือ 1/3 มีเพียงหนึ่งในสามตัวเลือกนี้เท่านั้นที่มีลูกสองคน เด็กผู้หญิง ดังนั้นคำตอบคือ 1/3

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

การแก้ปัญหาจะยิ่งไร้เหตุผลมากขึ้นไปอีก ลองนึกภาพที่ฉันบอกคุณว่าเพื่อนของฉันมีลูกสองคนและลูกหนึ่งคน - สาวที่เกิดวันอังคาร. สมมติว่าภายใต้สภาวะปกติ ความน่าจะเป็นที่จะมีบุตรในวันใดวันหนึ่งในเจ็ดวันของสัปดาห์จะเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองเป็นผู้หญิงด้วยเป็นเท่าใด คุณอาจคิดว่าคำตอบยังคงเป็น 1/3; วันอังคารมีความสำคัญอย่างไร? แต่ในกรณีนี้ สัญชาตญาณทำให้เราล้มเหลว ตอบ: 13/27 ซึ่งไม่ได้เป็นเพียงสัญชาตญาณเท่านั้น มันแปลกมาก เกิดอะไรขึ้น ในกรณีนี้?

อันที่จริง วันอังคารเปลี่ยนความน่าจะเป็นเพราะเราไม่รู้ ที่ลูกเกิดวันอังคารหรืออาจจะ ลูกสองคนเกิดวันอังคาร ในกรณีนี้ เราใช้ตรรกะเดียวกันกับข้างต้น เรานับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อมีเด็กอย่างน้อยหนึ่งคนเกิดในวันอังคาร ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ สมมติว่าเด็กชื่อ A และ B ชุดค่าผสมมีดังนี้:

• A คือเด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร B เป็นเด็กผู้ชาย (ในสถานการณ์นี้มีความเป็นไปได้ 7 อย่าง หนึ่งวันในสัปดาห์ที่เด็กผู้ชายสามารถเกิดได้)
• B เป็นเด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร, A เป็นเด็กผู้ชาย (มีความเป็นไปได้ 7 อย่างเช่นกัน)
• A คือผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร B คือผู้หญิงที่เกิดเมื่อวันที่ อื่นวันในสัปดาห์ (6 ความเป็นไปได้)
• B คือผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร A คือผู้หญิงที่ไม่เกิดในวันอังคาร (มีโอกาส 6 เช่นกัน)
• A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคนที่เกิดในวันอังคาร (1 เป็นไปได้ คุณต้องใส่ใจกับสิ่งนี้เพื่อไม่ให้นับสองครั้ง)

เราสรุปและรับ 27 ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้เท่า ๆ กันของการเกิดของเด็กและวันที่ โดยมีความเป็นไปได้ที่เด็กผู้หญิงจะเกิดในวันอังคารอย่างน้อยหนึ่งอย่าง ในจำนวนนี้ มีความเป็นไปได้ 13 อย่างเกิดขึ้นเมื่อเด็กผู้หญิงสองคนเกิดมา มันยังดูไร้เหตุผลโดยสิ้นเชิง และดูเหมือนว่างานนี้ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อทำให้ปวดหัวเท่านั้น หากคุณยังงงกับตัวอย่างนี้ Jesper Juhl นักทฤษฎีเกมมีคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับเรื่องนี้ในเว็บไซต์ของเขา

หากคุณกำลังทำงานเกี่ยวกับเกม...

หากมีการสุ่มในเกมที่คุณกำลังออกแบบ นี่เป็นโอกาสที่ดีในการวิเคราะห์ เลือกองค์ประกอบที่คุณต้องการวิเคราะห์ ก่อนอื่น ให้ถามตัวเองว่าความน่าจะเป็นสำหรับองค์ประกอบนี้ตามความคาดหวังของคุณคืออะไร ในความเห็นของคุณ ควรเป็นอย่างไรในบริบทของเกม ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังสร้างเกมสวมบทบาทและกำลังคิดว่าควรจะเป็นไปได้แค่ไหนที่ผู้เล่นจะสามารถเอาชนะสัตว์ประหลาดในการต่อสู้ได้ ให้ถามตัวเองว่าเปอร์เซ็นต์ของการชนะที่คุณคิดว่าใช่สำหรับคุณคือกี่เปอร์เซ็นต์ โดยปกติเมื่อเล่น console RPGs ผู้เล่นจะหงุดหงิดมากเมื่อแพ้ ดังนั้นจึงดีกว่าที่พวกเขาจะไม่แพ้บ่อยๆ... อาจจะ 10% ของเวลาหรือน้อยกว่านั้น? หากคุณเป็นนักออกแบบ RPG คุณอาจรู้ดีกว่าฉัน แต่คุณต้องมีแนวคิดพื้นฐานว่าความน่าจะเป็นควรเป็นอย่างไร

แล้วถามตัวเองว่านี่คืออะไร ขึ้นอยู่กับ(เช่นการ์ด) หรือ เป็นอิสระ(เหมือนลูกเต๋า). อภิปรายผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น ตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดเป็น 100% สุดท้าย เปรียบเทียบผลลัพธ์ของคุณกับความคาดหวังของคุณ ไม่ว่าลูกเต๋าจะถูกทอยหรือไพ่ถูกจั่วในแบบที่คุณต้องการ หรือคุณเห็นว่าคุณจำเป็นต้องปรับค่า และแน่นอนถ้าคุณ หาอะไรที่ต้องปรับเปลี่ยน คุณสามารถใช้การคำนวณแบบเดียวกันเพื่อกำหนดว่าต้องปรับอะไรมากน้อยแค่ไหน!

การบ้าน

“การบ้าน” ของคุณในสัปดาห์นี้จะช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะความน่าจะเป็นของคุณ ต่อไปนี้คือเกมลูกเต๋าสองเกมและเกมไพ่ 1 เกมที่คุณจะวิเคราะห์โดยใช้ความน่าจะเป็น รวมถึงกลไกเกมแปลก ๆ ที่ฉันเคยพัฒนามาซึ่งคุณจะทดสอบวิธีมอนติคาร์โล

เกม #1 - กระดูกมังกร

เกมนี้เป็นเกมลูกเต๋าที่เพื่อนร่วมงานของฉันและฉันเคยคิดมาก่อน (ขอบคุณ Jeb Havens และ Jesse King!) และเกมดังกล่าวได้ทำให้จิตใจของผู้คนผิดหวังด้วยความน่าจะเป็น เกมนี้เป็นเกมคาสิโนธรรมดาที่เรียกว่า "Dragon Bones" และเป็นการแข่งขันลูกเต๋าการพนันระหว่างผู้เล่นกับสถานประกอบการ คุณได้รับ 1d6 ปกติ เป้าหมายของเกมคือการทอยตัวเลขให้สูงกว่าเจ้าบ้าน ทอมได้รับ 1d6 ที่ไม่ได้มาตรฐาน - เหมือนกับของคุณ แต่แทนที่จะเป็นด้านเดียว - ภาพของมังกร (ดังนั้นคาสิโนจึงมี Dragon-2-3-4-5-6 ตาย) หากสถาบันได้มังกร มันจะชนะโดยอัตโนมัติและคุณจะแพ้ หากคุณทั้งคู่ได้เลขเท่ากัน ถือว่าเสมอกัน และคุณทอยลูกเต๋าอีกครั้ง ผู้ที่หมุนหมายเลขสูงสุดจะเป็นผู้ชนะ

แน่นอนว่าทุกอย่างไม่ได้กลายเป็นที่ชื่นชอบของผู้เล่นเพราะคาสิโนมีความได้เปรียบในรูปแบบของหน้ามังกร แต่มันเป็นเช่นนั้นจริงหรือ? คุณต้องคำนวณมัน แต่ก่อนหน้านั้น ให้ตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณ สมมุติว่าการชนะคือ 2 ต่อ 1 ดังนั้นหากคุณชนะ คุณคงเงินเดิมพันไว้และรับเงินเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเดิมพัน 1 ดอลลาร์และชนะ คุณจะเก็บดอลลาร์นั้นไว้และรับเพิ่มอีก 2 ดอลลาร์รวมเป็น 3 ดอลลาร์ หากคุณแพ้ คุณจะเสียเดิมพันของคุณเท่านั้น คุณจะเล่นไหม คุณรู้สึกโดยสัญชาตญาณหรือไม่ว่าความน่าจะเป็นมากกว่า 2 ต่อ 1 หรือคุณยังคิดว่ามันน้อยกว่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดยเฉลี่ยแล้วมากกว่า 3 เกม คุณคาดหวังว่าจะชนะมากกว่าหนึ่งครั้งหรือน้อยกว่า หรือหนึ่งครั้งหรือไม่?

เมื่อคุณจัดการกับสัญชาตญาณของคุณแล้ว ให้ใช้คณิตศาสตร์ ลูกเต๋าทั้งสองมีตำแหน่งที่เป็นไปได้เพียง 36 ตำแหน่ง ดังนั้นคุณจึงสามารถนับทั้งหมดได้อย่างง่ายดาย หากคุณไม่แน่ใจเกี่ยวกับข้อเสนอ 2 ต่อ 1 นี้ ให้พิจารณาสิ่งนี้: สมมติว่าคุณเล่นเกม 36 ครั้ง (เดิมพัน $1 ในแต่ละครั้ง) ทุกครั้งที่ชนะ คุณจะได้รับ $2 ทุกครั้งที่แพ้ คุณจะเสีย $1 และเสมอจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไร นับการชนะและการสูญเสียที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคุณและตัดสินใจว่าคุณจะเสียเงินหรือได้รับหรือไม่ จากนั้นถามตัวเองว่าสัญชาตญาณของคุณถูกต้องแค่ไหน และจากนั้น - ตระหนักว่าฉันเป็นคนร้าย

และใช่ ถ้าคุณคิดเกี่ยวกับคำถามนี้แล้ว - ฉันจงใจสร้างความสับสนให้คุณโดยบิดเบือนกลไกที่แท้จริงของเกมลูกเต๋า แต่ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถเอาชนะอุปสรรคนี้ได้ด้วยความคิดที่ดี พยายามแก้ปัญหานี้ด้วยตัวเอง ฉันจะโพสต์คำตอบทั้งหมดที่นี่ในสัปดาห์หน้า

เกม #2 - ม้วนของโชค

นี่คือเกมลูกเต๋าที่เรียกว่า Lucky Roll (เรียกอีกอย่างว่า Birdcage เพราะบางครั้งลูกเต๋าจะไม่ถูกทอย แต่วางไว้ในกรงลวดขนาดใหญ่ คล้ายกับกรง Bingo) เป็นเกมง่ายๆ ที่มีลักษณะดังนี้: เดิมพัน พูดว่า $1 กับตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 6 จากนั้นคุณหมุน 3d6 สำหรับแต่ละลูกเต๋าที่ตีหมายเลขของคุณ คุณจะได้รับ 1 ดอลลาร์ (และเก็บเดิมพันเดิมของคุณ) หากหมายเลขของคุณไม่ติดบนลูกเต๋าใดๆ คาสิโนจะได้รับเงินดอลลาร์ของคุณและคุณจะไม่ได้รับอะไรเลย ดังนั้น หากคุณเดิมพันที่ 1 และได้ 1 ต่อหน้าสามครั้ง คุณจะได้ $3

ตามสัญชาตญาณ ดูเหมือนว่าในเกมนี้มีโอกาสเท่ากัน ลูกเต๋าแต่ละลูกเป็นรายบุคคล โอกาสชนะ 1 ใน 6 ดังนั้นผลรวมของทั้งสามคือ 3 ใน 6 อย่างไรก็ตาม จำไว้ว่า คุณกำลังเพิ่มลูกเต๋าสามลูกแยกกัน และคุณจะเพิ่มได้ก็ต่อเมื่อเราเป็น พูดถึงชุดค่าผสมที่ชนะแยกกันของลูกเต๋าเดียวกัน สิ่งที่คุณจะต้องทวีคูณ

เมื่อคุณคำนวณผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว (อาจทำได้ง่ายกว่าใน Excel มากกว่าการใช้มือ มี 216 รายการ) เกมยังคงดูแปลกแม้ในครั้งแรกที่มองแวบแรก แต่ในความเป็นจริง คาสิโนยังคงมีแนวโน้มที่จะชนะ - มากกว่านั้นแค่ไหน? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณคาดว่าจะสูญเสียเงินโดยเฉลี่ยเท่าไหร่ต่อรอบเกม? สิ่งที่คุณต้องทำคือรวมการชนะและการสูญเสียของผลลัพธ์ทั้งหมด 216 รายการแล้วหารด้วย 216 ซึ่งน่าจะง่ายทีเดียว... แต่อย่างที่คุณเห็น มีกับดักสองสามอย่างที่คุณสามารถตกได้ นั่นคือเหตุผลที่ฉันบอกคุณ : ถ้าคุณคิดว่าเกมนี้มีโอกาสชนะเท่ากัน แสดงว่าคุณคิดผิดทั้งหมด

เกม #3 - 5 การ์ดสตั๊ด

หากคุณอุ่นเครื่องกับเกมก่อนหน้านี้แล้ว มาลองดูว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขโดยใช้เกมไพ่ใบนี้เป็นตัวอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลองนึกภาพโป๊กเกอร์ที่มีไพ่ 52 ใบ ลองนึกภาพสตั๊ดไพ่ 5 ใบ โดยที่ผู้เล่นแต่ละคนจะได้รับไพ่ 5 ใบเท่านั้น คุณไม่สามารถทิ้งไพ่ได้ จั่วใหม่ไม่ได้ ไม่มีสำรับทั่วไป คุณได้รับเพียง 5 ใบเท่านั้น

รอยัลฟลัชคือ 10-J-Q-K-A ในชุดเดียว รวมเป็นสี่ ดังนั้นจึงมีสี่วิธีที่เป็นไปได้ที่จะได้รับรอยัลฟลัช คำนวณความน่าจะเป็นที่คุณจะได้รับหนึ่งในชุดค่าผสมเหล่านี้

ฉันมีสิ่งหนึ่งที่จะเตือนคุณ: จำไว้ว่าคุณสามารถจั่วไพ่ห้าใบนี้ในลำดับใดก็ได้ นั่นคือในตอนแรกคุณสามารถวาดเอซหรือสิบก็ไม่สำคัญ ดังนั้นเมื่อคำนวณสิ่งนี้ โปรดจำไว้ว่าจริงๆ แล้วมีมากกว่าสี่วิธีในการรับรอยัลฟลัช สมมติว่าไพ่ถูกแจกตามลำดับ!

เกม #4 - ลอตเตอรี IMF

งานที่สี่จะแก้ได้ไม่ง่ายนักโดยใช้วิธีที่เราพูดถึงในวันนี้ แต่คุณสามารถจำลองสถานการณ์โดยใช้โปรแกรมหรือ Excel ได้อย่างง่ายดาย เป็นตัวอย่างของปัญหานี้ที่คุณสามารถใช้วิธีมอนติคาร์โลได้

ฉันพูดถึงเกม "Chron X" ก่อนหน้านี้ซึ่งฉันเคยทำมาก่อนและมีการ์ดที่น่าสนใจมากใบหนึ่ง - ลอตเตอรี IMF นี่คือวิธีการ: คุณใช้ในเกม หลังจากจบรอบ ไพ่จะถูกแจกจ่ายซ้ำและมีโอกาส 10% ที่การ์ดจะหมดและผู้เล่นสุ่มจะได้รับทรัพยากร 5 ประเภทจากแต่ละประเภทที่มีโทเค็นบนการ์ดนั้น ไพ่ถูกนำไปเล่นโดยไม่มีโทเค็นเดียว แต่ทุกครั้งที่มันยังคงอยู่ในการเล่นที่จุดเริ่มต้นของรอบถัดไป การ์ดนั้นจะได้รับหนึ่งโทเค็น ดังนั้นจึงมีโอกาส 10% ที่คุณจะวางมันลงเล่น รอบจะจบลง การ์ดจะออกจากเกม และไม่มีใครได้อะไรเลย หากไม่เป็นเช่นนั้น (ด้วยโอกาส 90%) มีโอกาส 10% (จริง ๆ แล้ว 9% เนื่องจากเป็น 10% ของ 90%) ที่เธอจะออกจากเกมในรอบถัดไปและบางคนจะได้รับทรัพยากร 5 อย่าง หากการ์ดออกจากเกมหลังจากรอบหนึ่ง (10% ของ 81% ที่พร้อมใช้งาน ดังนั้นโอกาส 8.1%) ใครบางคนจะได้รับ 10 ยูนิต อีกรอบคือ 15 อีก 20 ต่อไปเรื่อยๆ คำถาม: มูลค่าที่คาดหวังจากจำนวนทรัพยากรที่คุณจะได้รับจากการ์ดใบนี้เมื่อออกจากเกมในที่สุดจะเป็นเท่าใด?

โดยปกติเราจะพยายามแก้ปัญหานี้โดยค้นหาความเป็นไปได้ของแต่ละผลลัพธ์และคูณด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด มีโอกาส 10% ที่จะได้ 0 (0.1*0 = 0) 9% ที่คุณจะได้รับ 5 ทรัพยากร (9%*5 = 0.45 ทรัพยากร) 8.1% ของสิ่งที่คุณได้รับคือ 10 (8.1%*10 = 0.81 ทรัพยากรทั้งหมด มูลค่าที่คาดไว้) เป็นต้น แล้วเราจะสรุปทั้งหมด

และตอนนี้ปัญหาก็ชัดเจนสำหรับคุณ: การ์ดมีโอกาสเสมอ ไม่ออกจากเกมเพื่อที่เธอจะได้อยู่ในเกม ตลอดไป, สำหรับจำนวนรอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดเพื่อให้โอกาสในการคำนวณ เป็นไปได้ไม่ได้อยู่. วิธีการที่เราได้เรียนรู้ในวันนี้ไม่อนุญาตให้เราคำนวณการเรียกซ้ำที่ไม่สิ้นสุด ดังนั้นเราจะต้องสร้างมันขึ้นมาเทียม

หากคุณเก่งในการเขียนโปรแกรม ให้เขียนโปรแกรมที่จะจำลองการ์ดใบนี้ คุณควรมีไทม์ลูปที่นำตัวแปรไปยังตำแหน่งเริ่มต้นที่ศูนย์ แสดงตัวเลขสุ่ม และมีโอกาส 10% ที่ตัวแปรจะออกจากลูป มิฉะนั้นจะเพิ่ม 5 ให้กับตัวแปรและวนซ้ำ เมื่อออกจากลูปในที่สุด ให้เพิ่มจำนวนการทดสอบทั้งหมดขึ้น 1 ครั้ง และจำนวนทรัพยากรทั้งหมด (ขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรหยุดอยู่ที่ใด) จากนั้นรีเซ็ตตัวแปรและเริ่มต้นใหม่ รันโปรแกรมหลายพันครั้ง สุดท้าย หารทรัพยากรทั้งหมดด้วยจำนวนการวิ่งทั้งหมด และนี่คือมูลค่า Monte Carlo ที่คุณคาดหวัง เรียกใช้โปรแกรมสองสามครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นใกล้เคียงกัน หากสเปรดยังคงมีขนาดใหญ่ ให้เพิ่มจำนวนการทำซ้ำในลูปด้านนอกจนกว่าคุณจะเริ่มจับคู่ คุณสามารถมั่นใจได้ว่าตัวเลขใด ๆ ที่คุณลงเอยจะถูกต้องโดยประมาณ

หากคุณเพิ่งเริ่มเขียนโปรแกรม (หรือแม้ว่าคุณจะเป็น) ให้ลองทำแบบฝึกหัดต่อไปนี้เล็กน้อยเพื่อวอร์มทักษะ Excel ของคุณ หากคุณเป็นนักออกแบบเกม ทักษะของ Excel จะไม่ฟุ่มเฟือย

ตอนนี้ฟังก์ชัน IF และ RAND จะมีประโยชน์มากสำหรับคุณ RAND ไม่ต้องการค่า มันแค่สร้างตัวเลขทศนิยมสุ่มระหว่าง 0 ถึง 1 เรามักจะรวมกับ FLOOR และ pluses และ minuses เพื่อจำลองม้วนของแม่พิมพ์ ซึ่งฉันได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราเหลือโอกาสเพียง 10% ที่การ์ดจะออกจากเกม ดังนั้นเราสามารถตรวจสอบว่าค่า RAND น้อยกว่า 0.1 หรือไม่ และไม่ต้องกังวลกับมันอีกต่อไป

IF มีสามความหมาย ตามลำดับ เงื่อนไขที่เป็นจริงหรือไม่ จากนั้นค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นจริง และค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นเท็จ ดังนั้นฟังก์ชันต่อไปนี้จะคืนค่า 5% ของเวลา และ 0 ที่เหลืออีก 90% ของเวลา:
=IF(RAND()<0.1,5,0)

มีหลายวิธีในการตั้งค่าคำสั่งนี้ แต่ฉันจะใช้สูตรนี้สำหรับเซลล์ที่แสดงรอบแรก สมมติว่าเป็นเซลล์ A1:

IF(RAND()<0.1,0,-1)

ฉันกำลังใช้ตัวแปรเชิงลบซึ่งหมายถึง "การ์ดใบนี้ยังไม่ออกจากเกมและยังไม่ได้ให้ทรัพยากรใดๆ" ดังนั้นถ้ารอบแรกจบลงและไพ่หมด A1 จะเป็น 0; มิฉะนั้นจะเป็น -1

สำหรับเซลล์ถัดไปที่แสดงถึงรอบที่สอง:

IF(A1>-1, A1, IF(RAND())<0.1,5,-1))

ดังนั้นหากรอบแรกสิ้นสุดลงและการ์ดออกจากเกมทันที A1 จะเป็น 0 (จำนวนทรัพยากร) และเซลล์นี้ก็จะคัดลอกค่านั้น มิฉะนั้น A1 คือ -1 (การ์ดยังไม่ออกจากเกม) และเซลล์นี้ยังคงสุ่มย้ายต่อไป: 10% ของเวลาที่การ์ดจะส่งคืนทรัพยากร 5 หน่วย เวลาที่เหลือจะยังคงมีมูลค่า - 1. หากเราใช้สูตรนี้กับเซลล์เพิ่มเติม เราจะได้รอบเพิ่มเติม และไม่ว่าคุณจะลงเอยด้วยเซลล์ใดก็ตาม คุณจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย (หรือ -1 หากการ์ดไม่ออกจากเกมหลังจากเล่นครบทุกรอบ)

นำแถวของเซลล์นี้ ซึ่งเป็นรอบเดียวที่มีการ์ดใบนี้ แล้วคัดลอกและวางแถวสองสามร้อย (หรือหลายพัน) แถว เราอาจทำไม่ได้ ไม่มีที่สิ้นสุดทดสอบ Excel (มีจำนวนเซลล์ในตารางที่จำกัด) แต่อย่างน้อย เราก็สามารถครอบคลุมกรณีส่วนใหญ่ได้ จากนั้นเลือกหนึ่งเซลล์ที่คุณจะใส่ค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ของทุกรอบ (Excel กรุณาให้ฟังก์ชัน AVERAGE() สำหรับสิ่งนี้)

บน Windows อย่างน้อยคุณสามารถกด F9 เพื่อคำนวณตัวเลขสุ่มทั้งหมดใหม่ เช่นเคย ทำเช่นนี้สองสามครั้งและดูว่าค่าที่คุณได้รับเหมือนกันหรือไม่ หากสเปรดมากเกินไป ให้เพิ่มจำนวนรันเป็นสองเท่าแล้วลองอีกครั้ง

ปัญหาที่แก้ไม่ตก

หากคุณจบปริญญาด้านความน่าจะเป็นและปัญหาข้างต้นดูง่ายเกินไปสำหรับคุณ นี่คือปัญหาสองข้อที่ฉันสงสัยมาหลายปีแล้ว แต่อนิจจา ฉันไม่เก่งคณิตศาสตร์ที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้ หากคุณรู้วิธีแก้ปัญหาโดยฉับพลันโปรดโพสต์ที่นี่ในความคิดเห็นฉันจะอ่านด้วยความยินดี

ปัญหาที่แก้ไม่ตก #1: ลอตเตอรี่กองทุนการเงินระหว่างประเทศ

ปัญหาแรกที่แก้ไม่ได้คือการบ้านครั้งก่อน ฉันสามารถใช้วิธี Monte Carlo ได้อย่างง่ายดาย (โดยใช้ C ++ หรือ Excel) และต้องแน่ใจว่าคำตอบของคำถาม "ผู้เล่นจะได้รับทรัพยากรจำนวนเท่าใด" แต่ฉันไม่รู้ว่าจะให้คำตอบที่พิสูจน์ได้ในทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร (นี่ เป็นอนุกรมอนันต์ ) ถ้าคุณรู้คำตอบ โพสต์ไว้ที่นี่... หลังจากคุณ Monte Carlo ตรวจสอบแล้ว แน่นอน

ปัญหาที่แก้ไขไม่ได้ #2: ลำดับรูปร่าง

งานนี้ (และอีกครั้งที่นอกเหนือไปจากงานที่แก้ไขในบล็อกนี้) นักเล่นเกมที่คุ้นเคยส่งถึงฉันเมื่อกว่า 10 ปีที่แล้ว เขาสังเกตเห็นคุณลักษณะหนึ่งที่น่าสนใจขณะเล่นแบล็คแจ็คในเวกัส: เมื่อเขาหยิบไพ่จากรองเท้า 8 สำรับ เขาเห็น สิบตัวเลขในแถว (ฟิกเกอร์หรือการ์ดฟิกเกอร์ - 10, Joker, King หรือ Queen ดังนั้นจึงมี 16 ตัวในสำรับมาตรฐาน 52 ใบ ดังนั้นจึงมี 128 ในจำนวนทั้งหมด 416 ใบ) ความน่าจะเป็นที่รองเท้าคู่นี้ อย่างน้อยหนึ่งลำดับของ ten หรือมากกว่าตัวเลข? สมมุติว่าพวกเขาสับเปลี่ยนกันอย่างตรงไปตรงมาในลำดับแบบสุ่ม (หรือถ้าชอบ ความน่าจะเป็นที่ ไม่พบที่ไหนเลยลำดับตั้งแต่สิบร่างขึ้นไป?)

เราสามารถลดความซับซ้อนของงาน นี่คือลำดับของ 416 ส่วน แต่ละส่วนคือ 0 หรือ 1 มี 128 ตัวและศูนย์ 288 ตัวที่สุ่มกระจัดกระจายไปทั่วลำดับ มีกี่วิธีในการสุ่มแทรกระหว่าง 128 1s กับ 288 0s และจะมีอย่างน้อย 1 กลุ่มที่มี 1s อย่างน้อย 10 กลุ่มในลักษณะเหล่านี้

ทุกครั้งที่ฉันทำงานนี้ ดูเหมือนง่ายและชัดเจนสำหรับฉัน แต่ทันทีที่ฉันเจาะลึกรายละเอียด มันก็พังทลายลงทันทีและดูเหมือนเป็นไปไม่ได้สำหรับฉัน ดังนั้นอย่ารีบเร่งที่จะโพล่งคำตอบ: นั่งลง คิดให้รอบคอบ ศึกษาเงื่อนไขของปัญหา ลองแทนตัวเลขจริง เพราะทุกคนที่ผมคุยด้วยเกี่ยวกับปัญหานี้ (รวมถึงนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาหลายคนที่ทำงานด้านนี้ด้วย) มีปฏิกิริยาในลักษณะเดียวกันมาก : "มันค่อนข้างชัดเจน... โอ้ ไม่ เดี๋ยวก่อน ไม่ชัดเจนเลย" นี่เป็นกรณีที่ฉันไม่มีวิธีคำนวณตัวเลือกทั้งหมด แน่นอนฉันสามารถบังคับปัญหาโดยใช้อัลกอริธึมของคอมพิวเตอร์ได้ แต่การรู้วิธีทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหานี้น่าจะน่าสนใจกว่ามาก

การแปล - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

คำกล่าวของไอน์สไตน์ที่ว่าพระเจ้าไม่เล่นลูกเต๋ากับจักรวาลถูกตีความผิด

วลีติดปากของไอน์สไตน์ไม่กี่คำได้รับการยกมาอย่างกว้างขวางพอๆ กับคำพูดของเขาที่ว่าพระเจ้าไม่ได้เล่นลูกเต๋าชนิดหนึ่งกับจักรวาล ผู้คนมักใช้ความคิดเห็นที่เฉียบแหลมของเขานี้เป็นข้อพิสูจน์ว่าเขาต่อต้านกลศาสตร์ควอนตัมอย่างดื้อรั้น ซึ่งถือว่าการสุ่มเป็นคุณลักษณะของโลกทางกายภาพ เมื่อนิวเคลียสของธาตุกัมมันตภาพรังสีสลายตัว มันเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติ ไม่มีกฎเกณฑ์ใดที่จะบอกคุณได้แน่ชัดว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อใดหรือเพราะเหตุใด เมื่ออนุภาคของแสงตกกระทบกระจกโปร่งแสง มันสะท้อนจากกระจกหรือทะลุผ่าน ผลลัพธ์สามารถเป็นอะไรก็ได้จนถึงเวลาที่เหตุการณ์นี้เกิดขึ้น และคุณไม่จำเป็นต้องไปที่ห้องปฏิบัติการเพื่อดูกระบวนการประเภทนี้ เว็บไซต์อินเทอร์เน็ตหลายแห่งสาธิตสตรีมของตัวเลขสุ่มที่สร้างโดยตัวนับ Geiger หรืออุปกรณ์ควอนตัมออปติก โดยหลักการแล้วไม่สามารถคาดเดาได้ ตัวเลขดังกล่าวจึงเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการเข้ารหัส สถิติ และการแข่งขันโป๊กเกอร์ออนไลน์

ไอน์สไตน์ ตามตำนานเล่าขาน ปฏิเสธที่จะยอมรับความจริงที่ว่าเหตุการณ์บางอย่างไม่แน่นอนเนื่องจากธรรมชาติของพวกเขา - พวกเขาเพิ่งเกิดขึ้นและไม่มีอะไรสามารถทำได้เพื่อหาสาเหตุ เหลือเพียงความโดดเดี่ยวอันวิจิตรงดงาม ล้อมรอบด้วยความเท่าเทียม เขาจับมือทั้งสองข้างไว้กับจักรวาลแห่งกลไกของฟิสิกส์คลาสสิก โดยใช้กลไกวัดวินาที ซึ่งแต่ละช่วงเวลากำหนดล่วงหน้าว่าจะเกิดอะไรขึ้นในครั้งต่อไป เส้นลูกเต๋าบ่งบอกถึงอีกด้านของชีวิตของเขา: โศกนาฏกรรมของนักปฏิวัติที่กลายเป็นปฏิกิริยาที่ปฏิวัติฟิสิกส์ด้วยทฤษฎีสัมพัทธภาพของเขา แต่ตามที่ Niels Bohr กล่าวในเชิงการฑูต - ต้องเผชิญกับทฤษฎีควอนตัม "ออกไปทานอาหารเย็น"

อย่างไรก็ตาม ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา นักประวัติศาสตร์ นักปรัชญา และนักฟิสิกส์หลายคนตั้งคำถามกับการตีความเรื่องนี้ การดำดิ่งลงสู่ทะเลของทุกสิ่งที่ไอน์สไตน์พูดจริง ๆ พวกเขาพบว่าการตัดสินของเขาเกี่ยวกับความคาดเดาไม่ได้นั้นรุนแรงกว่าและมีความแตกต่างหลากหลายกว่าที่เคยเป็นมา “การพยายามขุดค้นเรื่องจริงกลายเป็นเรื่องของมิชชันนารี” ดอน ฮาวเวิร์ด (ดอน เอ. ฮาวเวิร์ด) นักประวัติศาสตร์จากมหาวิทยาลัยนอเทรอดามกล่าว “มันน่าทึ่งมากเมื่อคุณเจาะลึกเอกสารสำคัญและเห็นความแตกต่างกับส่วนรวม ยอมรับความคิด" ตามที่เขาและนักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ได้แสดงให้เห็น Einstein ได้ตระหนักถึงธรรมชาติที่ไม่ถูกกำหนดของกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งไม่น่าแปลกใจเลย เนื่องจากเขาเป็นผู้ค้นพบความไม่แน่นอนของกลไกดังกล่าว สิ่งที่เขาไม่เคยยอมรับก็คือความไม่แน่นอนเป็นพื้นฐานในธรรมชาติ ทั้งหมดนี้บ่งชี้ว่าปัญหาเกิดขึ้นในระดับความจริงที่ลึกกว่าซึ่งทฤษฎีไม่ได้สะท้อน คำวิจารณ์ของเขาไม่ใช่เรื่องลึกลับ แต่มุ่งเน้นไปที่ปัญหาทางวิทยาศาสตร์บางอย่างที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขมาจนถึงทุกวันนี้

คำถามที่ว่าจักรวาลเป็นเครื่องจักรหรือโต๊ะลูกเต๋าบ่อนทำลายรากฐานของสิ่งที่เราคิดว่าฟิสิกส์คือ: การค้นหากฎง่ายๆ ที่รองรับความหลากหลายอันน่าทึ่งของธรรมชาติ หากมีอะไรเกิดขึ้นโดยไม่มีเหตุผล ก็จะเป็นการยุติการไต่สวนอย่างมีเหตุผล แอนดรูว์ เอส. ฟรีดแมน นักจักรวาลวิทยาจากสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ กล่าวว่า "ความไม่แน่นอนพื้นฐานจะหมายถึงจุดจบของวิทยาศาสตร์ นักปรัชญาตลอดประวัติศาสตร์เชื่อว่าความไม่แน่นอนเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเจตจำนงเสรีของมนุษย์ ไม่ว่าเราจะเป็นกลไกของเครื่องจักร ดังนั้นทุกสิ่งที่เราทำจึงถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า หรือเราเป็นตัวแทนของโชคชะตาของเราเอง ซึ่งในกรณีนี้จักรวาลก็ไม่ควรถูกกำหนด

การแบ่งขั้วนี้มีผลกระทบอย่างแท้จริงต่อวิธีที่สังคมกำหนดให้ผู้คนรับผิดชอบต่อการกระทำของพวกเขา ระบบกฎหมายของเราตั้งอยู่บนพื้นฐานของเจตจำนงเสรี เพื่อให้จำเลยมีความผิดต้องกระทำโดยเจตนา ศาลมักจะไขปริศนาในคำถามต่อไปว่า จะเกิดอะไรขึ้นหากบุคคลผู้บริสุทธิ์ด้วยเหตุผลของความวิกลจริต ความหุนหันพลันแล่นในวัยเยาว์ หรือสภาพแวดล้อมทางสังคมที่เน่าเฟะ

อย่างไรก็ตาม เมื่อใดก็ตามที่ผู้คนพูดถึงการแบ่งขั้ว พวกเขามักจะพยายามเปิดโปงว่าเป็นความเข้าใจผิด อันที่จริง นักปรัชญาหลายคนเชื่อว่ามันไม่มีความหมายที่จะพูดถึงว่าเอกภพเป็นตัวกำหนดหรือไม่กำหนด อาจเป็นได้ทั้งสองแบบ ขึ้นอยู่กับว่าหัวข้อของการศึกษามีขนาดใหญ่หรือซับซ้อนเพียงใด: อนุภาค อะตอม โมเลกุล เซลล์ สิ่งมีชีวิต จิตใจ ชุมชน Christian List นักปรัชญาจาก London School of Economics and Political Science กล่าวว่า "ความแตกต่างระหว่างการกำหนดและความไม่แน่นอนนั้นแตกต่างกันขึ้นอยู่กับระดับของการศึกษาปัญหา" ค่อนข้างสอดคล้องกับความไม่แน่นอนทั้งในระดับที่สูงขึ้นและระดับล่าง" อะตอมในสมองของเราสามารถทำงานในลักษณะที่กำหนดได้อย่างสมบูรณ์ ในขณะที่ยังคงปล่อยให้เรามีอิสระที่จะทำหน้าที่เป็นอะตอมและอวัยวะต่างๆ ที่ทำงานในระดับต่างๆ

ในทำนองเดียวกัน Einstein กำลังมองหาระดับ subquantum ที่กำหนดขึ้นเองได้ ในขณะเดียวกันก็ไม่ปฏิเสธว่าระดับควอนตัมนั้นน่าจะเป็นไปได้

Einstein คัดค้านอะไร

วิธีที่ไอน์สไตน์ได้รับฉลากของทฤษฎีต่อต้านควอนตัมนั้นยังคงเป็นปริศนาที่เกือบจะใหญ่เท่ากับกลศาสตร์ควอนตัมเอง แนวคิดของควอนตัมซึ่งเป็นหน่วยพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องเป็นผลจากการสะท้อนของเขาในปี ค.ศ. 1905 และเกือบครึ่งทศวรรษที่เขาเกือบจะปกป้องมันเพียงลำพัง ไอน์สไตน์แนะนำว่า สิ่งที่นักฟิสิกส์ในปัจจุบันมองว่าเป็นคุณสมบัติหลักของฟิสิกส์ควอนตัม เช่น ความสามารถแปลก ๆ ของแสงในการทำหน้าที่เป็นอนุภาคและเป็นคลื่น และจากการสะท้อนของเขาในฟิสิกส์ของคลื่น เออร์วิน ชโรดิงเงอร์ ได้พัฒนาสูตรควอนตัมที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางที่สุด ทฤษฎีในปี ค.ศ. 1920 ไอน์สไตน์ไม่ใช่ศัตรูของโอกาสเช่นกัน ในปี 1916 เขาแสดงให้เห็นว่าเมื่ออะตอมปล่อยโฟตอน เวลาและทิศทางของการปล่อยก๊าซจะเป็นตัวแปรสุ่ม

Jan von Plato แห่งมหาวิทยาลัยเฮลซิงกิกล่าวว่า "สิ่งนี้ขัดต่อภาพลักษณ์ของ Einstein ที่ได้รับความนิยมเมื่อเทียบกับแนวทางความน่าจะเป็น" แต่ไอน์สไตน์และผู้ร่วมสมัยของเขาประสบปัญหาร้ายแรง ปรากฏการณ์ควอนตัมเป็นแบบสุ่ม แต่ทฤษฎีควอนตัมเองไม่ใช่ สมการชโรดิงเงอร์นั้นกำหนดได้ 100% อธิบายอนุภาคหรือระบบของอนุภาคโดยใช้ฟังก์ชันที่เรียกว่าคลื่น ซึ่งใช้ลักษณะคลื่นของอนุภาคและอธิบายรูปแบบคล้ายคลื่นที่กลุ่มอนุภาคก่อตัวขึ้น สมการทำนายว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับฟังก์ชันคลื่น ณ เวลาใดเวลาหนึ่งด้วยความแน่นอน ในหลาย ๆ ด้าน สมการนี้มีการกำหนดมากกว่ากฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน: มันไม่ได้นำไปสู่ความสับสนเช่นภาวะเอกฐาน (ซึ่งปริมาณกลายเป็นอนันต์และไม่สามารถอธิบายได้) หรือความโกลาหล (ซึ่งการเคลื่อนที่กลายเป็นสิ่งที่คาดเดาไม่ได้)

สิ่งที่จับได้ก็คือ การกำหนดระดับของสมการชโรดิงเงอร์คือการกำหนดระดับของฟังก์ชันคลื่น และไม่สามารถสังเกตฟังก์ชันคลื่นได้โดยตรง ต่างจากตำแหน่งและความเร็วของอนุภาค แต่ฟังก์ชันคลื่นจะกำหนดขนาดที่สามารถสังเกตได้และความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละรายการแทน ทฤษฎีนี้เปิดประเด็นคำถามว่าฟังก์ชั่นของคลื่นคืออะไรและควรถูกมองว่าเป็นคลื่นจริงในโลกวัตถุของเราหรือไม่ ดังนั้น คำถามต่อไปนี้ยังคงเปิดอยู่: การสุ่มสังเกตที่สังเกตได้นั้นเป็นคุณสมบัติที่แท้จริงโดยธรรมชาติของธรรมชาติหรือเป็นเพียงส่วนหน้าของมันเท่านั้น Christian Wuthrich นักปรัชญาจากมหาวิทยาลัยเจนีวาในสวิตเซอร์แลนด์กล่าวว่า "มีการกล่าวอ้างว่ากลศาสตร์ควอนตัมไม่สามารถกำหนดได้ แต่นี่เป็นข้อสรุปที่รีบร้อนเกินไป

เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก ผู้บุกเบิกอีกรายหนึ่งที่วางรากฐานสำหรับทฤษฎีควอนตัม ได้คิดค้นฟังก์ชันคลื่นในลักษณะหมอกควันของการดำรงอยู่ที่อาจเกิดขึ้น หากไม่สามารถระบุตำแหน่งของอนุภาคได้อย่างชัดเจนและไม่น่าสงสัย อาจเป็นเพราะว่าจริงๆ แล้วอนุภาคนั้นไม่ได้อยู่ที่ใดในที่ใดที่หนึ่งโดยเฉพาะ เฉพาะเมื่อคุณสังเกตอนุภาคเท่านั้นที่จะเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่งในอวกาศ ฟังก์ชันคลื่นสามารถทาได้ทั่วพื้นที่กว้างใหญ่ แต่ทันทีที่มีการสังเกตการณ์ มันจะพังทลายลงในทันที หดตัวลงสู่จุดแคบๆ ที่ตั้งอยู่ในที่ใดที่หนึ่งโดยเฉพาะ และจู่ๆ ก็มีอนุภาคปรากฏขึ้นที่นั่น แต่ถึงจะดูอนุภาคก็ปัง! - จู่ๆ ก็หยุดประพฤติชั่วช้าและกระโจนเข้าสู่สภาวะสุดท้าย ราวกับเด็กคว้าเก้าอี้ในเกม "เก้าอี้ดนตรี" (เกมประกอบด้วยการที่เด็ก ๆ เดินไปรอบ ๆ เก้าอี้ในการเต้นรำเป็นวงกลมซึ่งมีจำนวนน้อยกว่าจำนวนผู้เล่นและพยายามนั่งบนที่นั่งว่างทันทีที่เพลงหยุดลง) .

ไม่มีกฎหมายที่จะควบคุมการล่มสลายนี้ ไม่มีสมการสำหรับมัน มันเพิ่งเกิดขึ้น - นั่นคือทั้งหมด! การล่มสลายกลายเป็นองค์ประกอบสำคัญของการตีความในโคเปนเฮเกน: มุมมองของกลศาสตร์ควอนตัมที่ตั้งชื่อตามเมืองที่บอร์และสถาบันของเขา ร่วมกับไฮเซนเบิร์ก ทำงานส่วนใหญ่ (แดกดัน บอร์เองไม่เคยจำการล่มสลายของฟังก์ชันคลื่น) โรงเรียนในโคเปนเฮเกนถือว่าการสุ่มสังเกตของฟิสิกส์ควอนตัมเป็นลักษณะเฉพาะของโรงเรียน ซึ่งไม่สามารถคล้อยตามคำอธิบายเพิ่มเติมได้ นักฟิสิกส์ส่วนใหญ่เห็นด้วยกับสิ่งนี้ หนึ่งในเหตุผลของสิ่งนี้คือสิ่งที่เรียกว่าเอฟเฟกต์สมอซึ่งเป็นที่รู้จักจากจิตวิทยาหรือเอฟเฟกต์การยึด: นี่เป็นคำอธิบายที่น่าพอใจอย่างยิ่งและปรากฏเป็นอันดับแรก แม้ว่าไอน์สไตน์จะไม่ใช่ศัตรูของกลศาสตร์ควอนตัม แต่เขาก็เป็นศัตรูกับการตีความของโคเปนเฮเกนอย่างแน่นอน เขาเริ่มต้นจากแนวคิดที่ว่าการวัดผลทำให้เกิดการหยุดชะงักของการวิวัฒนาการอย่างต่อเนื่องของระบบทางกายภาพ และในบริบทนี้เองที่เขาเริ่มแสดงการต่อต้านการโยนลูกเต๋าจากพระเจ้า “ตรงจุดนี้เองที่ไอน์สไตน์โศกเศร้าในปี 1926 และไม่ได้กล่าวถึงการเรียกร้องอภิปรัชญาที่ครอบคลุมทุกอย่างว่าเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นอย่างยิ่ง” ฮาวเวิร์ดแย้ง "

ความเป็นจริงมากมายแล้วโลกมันถูกกำหนดหรือไม่? คำตอบสำหรับคำถามนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับกฎการเคลื่อนที่ขั้นพื้นฐานเท่านั้น แต่ยังขึ้นกับระดับที่เราอธิบายเกี่ยวกับระบบด้วย พิจารณาอะตอมห้าอะตอมในก๊าซที่เคลื่อนที่ตามที่กำหนด (แผนภาพบน) เริ่มจากตำแหน่งเดียวกันและค่อย ๆ แยกจากกัน อย่างไรก็ตาม ในระดับมหภาค (แผนภาพด้านล่าง) ไม่ใช่อะตอมเดี่ยวที่มองเห็นได้ แต่เป็นการไหลแบบอสัณฐานในแก๊ส เมื่อเวลาผ่านไป ก๊าซจะถูกสุ่มกระจายไปยังลำธารหลายสาย การสุ่มในระดับมหภาคนี้เป็นผลพลอยได้จากการเพิกเฉยต่อกฎระดับจุลภาคของผู้สังเกต ซึ่งเป็นคุณสมบัติเชิงวัตถุของธรรมชาติที่สะท้อนถึงวิธีที่อะตอมมารวมกัน ในทำนองเดียวกัน ไอน์สไตน์สันนิษฐานว่าโครงสร้างภายในที่กำหนดขึ้นของจักรวาลนำไปสู่ธรรมชาติความน่าจะเป็นของอาณาจักรควอนตัม

Einstein แย้งว่าการล่มสลายไม่น่าจะเป็นกระบวนการที่แท้จริง สิ่งนี้จะต้องดำเนินการในทันทีจากระยะไกล ซึ่งเป็นกลไกลึกลับที่กล่าวได้ว่าทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของฟังก์ชันคลื่นยุบลงเป็นจุดเล็กๆ เดียวกัน แม้ว่าจะไม่มีแรงใดๆ มาประสานพฤติกรรมของพวกมันก็ตาม ไม่เพียงแต่ไอน์สไตน์ แต่นักฟิสิกส์ทุกคนในสมัยของเขาเชื่อว่ากระบวนการดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ มันจะต้องเกิดขึ้นเร็วกว่าความเร็วของแสง ซึ่งขัดแย้งอย่างเห็นได้ชัดกับทฤษฎีสัมพัทธภาพอย่างเห็นได้ชัด อันที่จริง กลศาสตร์ควอนตัมไม่เพียงแต่ให้ลูกเต๋าแก่คุณ แต่ยังให้ลูกเต๋าคู่หนึ่งที่มีหน้าเดียวกันเสมอ แม้ว่าคุณจะทอยลูกเต๋าในเวกัสและอีกอันในเวก้า สำหรับไอน์สไตน์ เห็นได้ชัดว่าต้องโหลดลูกเต๋า ช่วยให้คุณมีอิทธิพลต่อผลลัพธ์ของการทอยในลักษณะที่ซ่อนไว้ล่วงหน้า แต่โรงเรียนในโคเปนเฮเกนปฏิเสธความเป็นไปได้ดังกล่าว โดยบอกว่าข้อนิ้วมีอิทธิพลซึ่งกันและกันในทันทีทั่วทั้งพื้นที่อันกว้างใหญ่ นอกจากนี้ ไอน์สไตน์ยังกังวลเกี่ยวกับพลังที่ชาวโคเปนเฮเกนมาจากการวัดผล การวัดคืออะไร? บางทีมันอาจจะเป็นสิ่งที่สัตว์มีความรู้สึกเท่านั้นที่สามารถทำได้ หรือแม้แต่อาจารย์ประจำตำแหน่ง? ไฮเซนเบิร์กและตัวแทนคนอื่นๆ ของโรงเรียนโคเปนเฮเกนไม่เคยระบุแนวคิดนี้ บางคนแนะนำว่าเราสร้างความเป็นจริงโดยรอบในจิตใจของเราโดยการสังเกต ซึ่งเป็นแนวคิดที่ฟังดูเป็นกวี หรือบางทีก็ดูเป็นกวีเกินไป ไอน์สไตน์ยังคิดว่ามันเป็นจุดสูงสุดของความเย่อหยิ่งของโคเปนเฮเกนที่จะกล่าวว่ากลศาสตร์ควอนตัมนั้นสมบูรณ์แล้ว นั่นคือทฤษฎีขั้นสูงสุดที่จะไม่มีใครมาแทนที่อีก เขาถือว่าทฤษฎีทั้งหมดรวมถึงทฤษฎีของเขาเองเป็นสะพานเชื่อมไปสู่บางสิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่า

จริงๆแล้ว. Howard โต้แย้งว่า Einstein ยินดีที่จะยอมรับความไม่แน่นอน ถ้าเขาสามารถหาคำตอบสำหรับปัญหาทั้งหมดของเขาที่ต้องแก้ไขได้ ตัวอย่างเช่น ถ้ามีคนระบุได้ชัดเจนว่าการวัดคืออะไร และอนุภาคสามารถซิงโครไนซ์ได้อย่างไรโดยไม่ต้องดำเนินการในระยะยาว ข้อบ่งชี้ที่ไอน์สไตน์มองว่าความไม่แน่นอนเป็นปัญหารองคือเขาทำข้อเรียกร้องแบบเดียวกันเกี่ยวกับทางเลือกที่กำหนดไว้ในโรงเรียนโคเปนเฮเกนและปฏิเสธพวกเขาด้วย นักประวัติศาสตร์อีกคนหนึ่งคือ Arthur Fine จากมหาวิทยาลัย Washington เชื่อ ฮาวเวิร์ดกล่าวเกินจริงถึงความอ่อนไหวต่อความไม่ชัดเจนของไอน์สไตน์ แต่เห็นด้วยว่าการตัดสินของเขามีพื้นฐานมาจากรากฐานที่แข็งแกร่งกว่าที่นักฟิสิกส์หลายชั่วอายุคนเคยเชื่อ โดยอิงจากเศษของข้อความเกี่ยวกับเกมลูกเต๋า

ความคิดสุ่ม

หากคุณชักเย่อที่ด้านข้างของโรงเรียนโคเปนเฮเกน Einstein เชื่อว่าคุณจะพบว่าความผิดปกติของควอนตัมนั้นเหมือนกับความผิดปกติประเภทอื่น ๆ ในวิชาฟิสิกส์: มันเป็นผลิตภัณฑ์ของความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ไอน์สไตน์เชื่อว่าการเต้นของอนุภาคฝุ่นขนาดเล็กในลำแสงเป็นการหักล้างการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนของโมเลกุล และการปล่อยโฟตอนหรือการสลายกัมมันตภาพรังสีของนิวเคลียสก็เป็นกระบวนการที่คล้ายคลึงกัน ในความเห็นของเขา กลศาสตร์ควอนตัมเป็นทฤษฎีการประเมินที่แสดงถึงพฤติกรรมทั่วไปขององค์ประกอบพื้นฐานของธรรมชาติ แต่ไม่มีความละเอียดเพียงพอที่จะรวบรวมรายละเอียดแต่ละรายการ

ทฤษฎีที่ลึกและสมบูรณ์ยิ่งขึ้นจะอธิบายการเคลื่อนไหวได้อย่างเต็มที่โดยไม่ต้องกระโดดอย่างลึกลับ จากมุมมองนี้ ฟังก์ชันคลื่นเป็นคำอธิบายโดยรวม โดยเป็นคำสั่งว่าลูกเต๋าปกติ หากถูกโยนหลายครั้ง จะตกลงมาในจำนวนเท่ากันในแต่ละด้าน การล่มสลายของฟังก์ชันคลื่นไม่ใช่กระบวนการทางกายภาพ แต่เป็นการได้มาซึ่งความรู้ หากคุณทอยลูกเต๋าแบบหกด้านแล้วเกิด อย่างเช่น สี่ ช่วงของตัวเลือกตั้งแต่หนึ่งถึงหกจะย่อลง หรือคุณอาจพูดได้ว่า ยุบลงไปที่ค่าจริงของ "สี่" ปีศาจที่เหมือนพระเจ้าซึ่งสามารถติดตามรายละเอียดของโครงสร้างอะตอมที่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการตาย (เช่น วัดว่ามือของคุณผลักและหมุนตัวตายก่อนที่มันจะชนโต๊ะ) จะไม่พูดถึงการล่มสลาย

สัญชาตญาณของไอน์สไตน์ได้รับการเสริมแรงด้วยงานแรกๆ ของเขาเกี่ยวกับผลรวมของการเคลื่อนที่ของโมเลกุล ศึกษาในสาขาฟิสิกส์ที่เรียกว่ากลศาสตร์สถิติ ซึ่งเขาแสดงให้เห็นว่าฟิสิกส์มีความน่าจะเป็นแม้ว่าปรากฏการณ์จะอิงจากความเป็นจริงที่กำหนดขึ้นได้ ในปี 1935 Einstein เขียนถึงนักปรัชญา Karl Popper: "ฉันไม่คิดว่าคุณพูดถูกในการยืนยันว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสรุปผลทางสถิติตามทฤษฎีที่กำหนดขึ้น ตัวอย่างเช่น กลศาสตร์สถิติแบบคลาสสิก (ทฤษฎีของก๊าซหรือ ทฤษฎีการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน)" ความน่าจะเป็นในความเข้าใจของไอน์สไตน์นั้นเป็นจริงเช่นเดียวกับการตีความของโรงเรียนในโคเปนเฮเกน ซึ่งแสดงให้เห็นในกฎการเคลื่อนที่ขั้นพื้นฐาน ซึ่งสะท้อนถึงคุณสมบัติอื่นๆ ของโลกรอบข้าง สิ่งเหล่านี้ไม่ได้เป็นเพียงสิ่งประดิษฐ์ของความไม่รู้ของมนุษย์ Einstein แนะนำให้ Popper เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาอนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วคงที่ ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคในส่วนที่กำหนดของส่วนโค้งวงกลมสะท้อนถึงความสมมาตรของวิถีของมัน ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่จะตายบนหน้าที่กำหนดคือหนึ่งในหกเพราะมีหน้าเท่ากันหกหน้า "เขาเข้าใจดีกว่าคนส่วนใหญ่ในตอนนั้นว่าแก่นแท้ทางกายภาพที่สำคัญอยู่ในรายละเอียดของความน่าจะเป็นทางสถิติและทางกล" ฮาวเวิร์ดกล่าว

บทเรียนอีกประการหนึ่งของกลศาสตร์ทางสถิติคือปริมาณที่เราสังเกตไม่จำเป็นต้องมีอยู่ในระดับที่ลึกกว่า ตัวอย่างเช่น แก๊สมีอุณหภูมิ แต่ไม่ควรพูดถึงอุณหภูมิของโมเลกุลของแก๊สเดี่ยวๆ โดยการเปรียบเทียบ Einstein เชื่อว่าจำเป็นต้องมีทฤษฎี subquantum เพื่อแสดงถึงการแตกหักจากกลศาสตร์ควอนตัม ในปี 1936 เขาเขียนว่า: "ไม่ต้องสงสัยเลยว่ากลศาสตร์ควอนตัมได้จับองค์ประกอบที่สวยงามของความจริง<...>อย่างไรก็ตาม ฉันไม่เชื่อว่ากลศาสตร์ควอนตัมจะเป็นจุดเริ่มต้นในการค้นหารากฐานนี้ หรือในทางกลับกัน เราไม่สามารถเปลี่ยนจากอุณหพลศาสตร์ (ตามลำดับ กลศาสตร์สถิติ) ไปเป็นรากฐานของกลศาสตร์ได้ "เพื่อเติมเต็มระดับที่ลึกกว่านี้ ไอน์สไตน์ ได้นำการค้นหาไปในทิศทางของทฤษฎีเอกภาพ ซึ่งเป็นสนามที่อนุภาคเป็นอนุพันธ์ของโครงสร้างที่ไม่เหมือนอนุภาคเลย กล่าวโดยย่อ ปัญญาตามแบบแผนที่ไอน์สไตน์ปฏิเสธที่จะยอมรับธรรมชาติความน่าจะเป็นของฟิสิกส์ควอนตัมนั้นผิดพลาด เขาพยายามจะ อธิบายความบังเอิญ ไม่ให้ปรากฏว่าไม่มีอยู่จริงเลย

ทำให้ระดับของคุณดีที่สุด

แม้ว่าโครงการทฤษฎีเอกภาพของไอน์สไตน์จะล้มเหลว แต่หลักการพื้นฐานของวิธีการสุ่มแบบสัญชาตญาณของเขายังคงเป็นจริง: ความไม่แน่นอนสามารถเกิดขึ้นได้จากการกำหนด ระดับควอนตัมและซับควอนตัม - หรือระดับคู่อื่นใดในลำดับชั้นของธรรมชาติ - ประกอบด้วยโครงสร้างประเภทต่างๆ ดังนั้นจึงปฏิบัติตามกฎหมายประเภทต่างๆ กฎหมายที่ใช้บังคับระดับหนึ่งอาจอนุญาตให้มีองค์ประกอบของโอกาสแม้ว่ากฎหมายระดับล่างจะได้รับการควบคุมอย่างเต็มที่ เจเรมี บัตเตอร์ฟิลด์ นักปรัชญาจากมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ กล่าวว่า "จุลฟิสิกส์เชิงกำหนดไม่ได้ก่อให้เกิดมาโครฟิสิกส์ที่กำหนดขึ้นได้

ลองนึกภาพลูกเต๋าในระดับอะตอม ลูกบาศก์สามารถประกอบขึ้นจากโครงสร้างอะตอมจำนวนมากที่ไม่สามารถจินตนาการได้ ซึ่งไม่สามารถแยกแยะออกจากกันโดยสิ้นเชิงด้วยตาเปล่า หากคุณปฏิบัติตามการกำหนดค่าใดๆ เหล่านี้ในขณะที่ดายกำลังหมุน มันจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่เฉพาะเจาะจง - ถูกกำหนดอย่างเข้มงวด ในการกำหนดค่าบางอย่าง แม่พิมพ์จะหยุดด้วยจุดหนึ่งจุดที่ด้านบนของหน้า ในส่วนอื่นๆ จะหยุดด้วยจุดสองจุด ฯลฯ ดังนั้น สภาพมหภาคเดียว (หากคุณหมุนลูกบาศก์) สามารถนำไปสู่ผลลัพธ์ระดับมหภาคที่เป็นไปได้หลายประการ (หนึ่งในหกใบหน้าจะอยู่ที่ด้านบนสุด) Liszt ผู้ซึ่งศึกษาการผันคำกริยาระดับกับ Marcus Pivato นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัย Cergy-Pontoise ในฝรั่งเศสกล่าวว่า "ถ้าเราอธิบายการตายในระดับมหภาค เราสามารถคิดได้ว่าเป็นระบบสุ่มที่ช่วยให้เกิดการสุ่มตามวัตถุประสงค์"

แม้ว่าระดับที่สูงขึ้นจะสร้างในระดับที่ต่ำกว่า แต่ก็เป็นอิสระ ในการอธิบายเกี่ยวกับลูกเต๋า เราจะต้องทำงานในระดับที่ลูกเต๋ามีอยู่นั้น และเมื่อคุณทำเช่นนั้น คุณไม่สามารถช่วยได้ แต่ละเลยอะตอมและไดนามิกของลูกเต๋า หากคุณผสมข้ามพันธุ์ในระดับหนึ่งกับอีกระดับหนึ่ง แสดงว่าคุณกำลังใช้เคล็ดลับการแทนที่หมวดหมู่: มันเหมือนกับการถามเกี่ยวกับความสัมพันธ์ทางการเมืองของแซนวิชปลาแซลมอน (เพื่อใช้ตัวอย่างของนักปรัชญา David Albert จากมหาวิทยาลัยโคลัมเบีย) "เมื่อเรามีปรากฏการณ์ที่สามารถอธิบายได้ในระดับต่างๆ เราต้องใช้แนวความคิดอย่างระมัดระวังไม่ให้มีระดับผสมกัน" List กล่าว ด้วยเหตุผลนี้ ผลลัพธ์ของการทอยลูกเต๋าไม่ได้ดูสุ่ม มันสุ่มจริงๆ อสูรที่เหมือนพระเจ้าอาจอวดว่าเขารู้ดีว่าอะไรจะเกิดขึ้น แต่เขารู้แค่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับอะตอม เขาไม่สงสัยด้วยซ้ำว่าลูกเต๋าคืออะไร เนื่องจากเป็นข้อมูลในระดับที่สูงกว่า ปีศาจไม่เคยเห็นป่า มีแต่ต้นไม้ เขาเป็นเหมือนตัวเอกของเรื่องราวของนักเขียนชาวอาร์เจนตินา Jorge Luis Borges "Funes the memoryful" - ผู้ชายที่จำทุกอย่าง แต่ไม่เข้าใจอะไรเลย "การคิดคือการลืมความแตกต่าง การสรุปเป็นนามธรรม" Borges เขียน เพื่อให้ปีศาจรู้ว่าลูกเต๋าจะตกด้านไหน จำเป็นต้องอธิบายว่าต้องมองหาอะไร "วิธีเดียวที่ปีศาจสามารถเข้าไปในสิ่งที่เกิดขึ้นที่ระดับบนสุดได้ก็คือถ้าได้รับคำอธิบายโดยละเอียดว่าเรากำหนดขอบเขตระหว่างระดับอย่างไร" List กล่าว อันที่จริง หลังจากนี้ มารคงจะอิจฉาว่าเราเป็นมนุษย์ปุถุชน

ตรรกะของระดับยังทำงานในทิศทางตรงกันข้าม จุลฟิสิกส์ที่ไม่กำหนดแบบกำหนดสามารถนำไปสู่มหภาคฟิสิกส์ที่กำหนดได้ ลูกเบสบอลสามารถสร้างขึ้นจากอนุภาคที่มีพฤติกรรมวุ่นวาย แต่สามารถคาดการณ์การบินได้อย่างสมบูรณ์ การสุ่มควอนตัม การหาค่าเฉลี่ย หายไป ในทำนองเดียวกัน ก๊าซประกอบด้วยโมเลกุลที่เคลื่อนที่ในลักษณะที่ซับซ้อนอย่างยิ่ง และแน่นอนไม่ได้กำหนดไว้ล่วงหน้า แต่อุณหภูมิและคุณสมบัติอื่นๆ ของก๊าซนั้นเป็นไปตามกฎง่ายๆ เพียงสองและสอง นักฟิสิกส์บางคนเช่น Robert Laughlin แห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ดแนะนำว่าระดับล่างสุดไม่สำคัญเลย การสร้างบล็อคสามารถเป็นอะไรก็ได้และพฤติกรรมส่วนรวมของพวกเขาจะเหมือนเดิม ท้ายที่สุด ระบบต่างๆ ที่มีความหลากหลายเท่ากับโมเลกุลของน้ำ ดาวในดาราจักร และรถยนต์บนทางด่วนเป็นไปตามกฎของการไหลของของไหลเดียวกัน

สุดท้ายฟรี

เมื่อคุณคิดในแง่ของระดับ ความกังวลที่ความไม่แน่นอนอาจเป็นจุดจบของวิทยาศาสตร์ก็หายไป ไม่มีกำแพงสูงอยู่รอบตัวเรา ปกป้องชิ้นส่วนจักรวาลที่ปฏิบัติตามกฎหมายของเราจากส่วนที่เหลือของจักรวาลที่มีแนวโน้มว่าจะเป็นอนาธิปไตยและเข้าใจยาก อันที่จริง โลกเป็นเลเยอร์เค้กของการกำหนดระดับและความไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่น สภาพภูมิอากาศของโลกอยู่ภายใต้กฎการเคลื่อนที่ที่กำหนดขึ้นของนิวตัน แต่การพยากรณ์อากาศมีความน่าจะเป็น ในขณะที่แนวโน้มภูมิอากาศตามฤดูกาลและระยะยาวสามารถคาดการณ์ได้อีกครั้ง ชีววิทยาตามมาด้วยฟิสิกส์ที่กำหนดขึ้นเอง แต่สิ่งมีชีวิตและระบบนิเวศต้องการวิธีการอธิบายแบบอื่น เช่น วิวัฒนาการของดาร์วิน Daniel Dennett นักปรัชญาจากมหาวิทยาลัย Tufts กล่าวว่า "การตัดสินกันไม่ได้อธิบายทุกอย่างได้อย่างสมบูรณ์" "ทำไมยีราฟถึงปรากฎตัวขึ้น

ผู้คนกระจัดกระจายอยู่ภายในเค้กชั้นนี้ เรามีเจตจำนงเสรีที่ทรงพลัง เรามักจะทำการตัดสินใจที่คาดเดาไม่ได้และสำคัญมาก เราเข้าใจดีว่าเราสามารถทำอย่างอื่นได้ (และมักจะเสียใจที่ไม่ได้ทำ) เป็นเวลานับพันปีที่เรียกว่าเสรีนิยม ผู้เสนอหลักคำสอนทางปรัชญาของเจตจำนงเสรี (เพื่อไม่ให้สับสนกับขบวนการทางการเมือง!) ได้โต้แย้งว่าเสรีภาพของแต่ละบุคคลต้องการเสรีภาพของอนุภาค บางสิ่งจะต้องทำลายเส้นทางที่กำหนดของเหตุการณ์ เช่น การสุ่มควอนตัมหรือ "การเบี่ยงเบน" ซึ่งตามที่นักปรัชญาโบราณบางคนเชื่อว่า อะตอมสามารถสัมผัสได้ระหว่างการเคลื่อนที่ของพวกมัน (แนวคิดของการเบี่ยงเบนแบบสุ่มที่คาดเดาไม่ได้ของอะตอมจากวิถีโคจรดั้งเดิมถูกนำมาใช้ ปรัชญาโบราณโดย Lucretius เพื่อปกป้องหลักคำสอนปรมาณูของ Epicurus)

ปัญหาหลักของการใช้เหตุผลนี้คือมันปลดปล่อยอนุภาค แต่ปล่อยให้เราเป็นทาส ไม่สำคัญหรอกว่าการตัดสินใจของคุณถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าในช่วงเวลาของบิ๊กแบงหรือโดยอนุภาคเล็กๆ ก็ยังไม่ใช่การตัดสินใจของคุณ เพื่อให้เป็นอิสระ เราต้องการความไม่แน่นอน ไม่ใช่ในระดับอนุภาค แต่ในระดับมนุษย์ และนี่เป็นไปได้เพราะระดับมนุษย์และระดับอนุภาคนั้นเป็นอิสระจากกัน แม้ว่าทุกสิ่งที่คุณทำสามารถสืบย้อนไปถึงขั้นแรกได้ แต่คุณคือผู้ควบคุมการกระทำของคุณ เพราะทั้งคุณและการกระทำของคุณไม่มีอยู่ที่ระดับของสสาร แต่อยู่ที่ระดับจิตสำนึกระดับมหภาคเท่านั้น บัตเตอร์ฟิลด์กล่าวว่า "การกำหนดระดับมหภาคนี้โดยอิงจากไมโครดีเทอร์มินิซึมอาจเป็นสิ่งที่รับประกันเจตจำนงเสรี" Macroindeterminism ไม่ใช่เหตุผลสำหรับการตัดสินใจของคุณ นี่คือการตัดสินใจของคุณ

บางคนอาจคัดค้านและบอกคุณว่าคุณยังเป็นหุ่นเชิด และกฎของธรรมชาติทำหน้าที่เป็นผู้เชิดหุ่น และเสรีภาพของคุณเป็นเพียงภาพลวงตา แต่คำว่า "มายา" ทำให้นึกถึงภาพลวงตาในทะเลทรายและผู้หญิงถูกผ่าครึ่ง ทั้งหมดนี้ไม่มีอยู่จริง Macroindeterminism ไม่เหมือนกัน มันค่อนข้างจริงไม่ใช่พื้นฐาน เปรียบได้กับชีวิต อะตอมส่วนบุคคลเป็นสสารที่ไม่มีชีวิต แต่มวลมหาศาลของพวกมันสามารถมีชีวิตอยู่และหายใจได้ "ทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแทน สถานะของความตั้งใจ การตัดสินใจและทางเลือกของพวกเขา - ไม่มีสิ่งใดที่เกี่ยวข้องกับชุดเครื่องมือเชิงแนวคิดของฟิสิกส์พื้นฐาน แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าปรากฏการณ์เหล่านี้ไม่มีจริง" รายการบันทึก . หมายความว่าพวกมันล้วนเป็นปรากฏการณ์ในระดับที่สูงกว่ามาก"

มันจะเป็นความผิดพลาดประเภท ถ้าไม่ใช่ความไม่รู้ทั้งหมด ในการอธิบายการตัดสินใจของมนุษย์ในแง่ของกลไกการเคลื่อนที่ของอะตอมในหัวของคุณ จำเป็นต้องใช้แนวคิดทั้งหมดของจิตวิทยาแทน: ความปรารถนา, ความเป็นไปได้, ความตั้งใจ ทำไมฉันดื่มน้ำไม่ดื่มไวน์? เพราะผมต้องการที่จะ. ความปรารถนาของฉันอธิบายการกระทำของฉัน ในกรณีส่วนใหญ่ เมื่อเราถามคำถาม "ทำไม" เรากำลังมองหาแรงจูงใจของแต่ละบุคคล ไม่ใช่ภูมิหลังทางกายภาพของเขา คำอธิบายทางจิตวิทยาทำให้เกิดความไม่แน่นอนตามที่ List พูดถึง ตัวอย่างเช่น นักทฤษฎีเกมจำลองการตัดสินใจของมนุษย์โดยจัดวางตัวเลือกต่างๆ และอธิบายว่าคุณจะเลือกตัวเลือกใดหากคุณแสดงอย่างมีเหตุผล อิสระของคุณในการเลือกตัวเลือกใดตัวเลือกหนึ่งจะควบคุมการเลือกของคุณ แม้ว่าคุณจะไม่เคยเลือกตัวเลือกนั้นเลย

เพื่อความแน่ใจ ข้อโต้แย้งของ List ไม่ได้อธิบายเจตจำนงเสรีอย่างเต็มที่ ลำดับชั้นของระดับเปิดพื้นที่สำหรับเจตจำนงเสรี โดยแยกจิตวิทยาออกจากฟิสิกส์และทำให้เราสามารถทำสิ่งไม่คาดคิดได้ แต่เราต้องคว้าโอกาสนี้ไว้ ตัวอย่างเช่น หากเราตัดสินใจทั้งหมดโดยการโยนเหรียญ สิ่งนี้จะยังถือว่าเป็นการกำหนดระดับมหภาค แต่จะถือว่าแทบจะไม่มีคุณสมบัติเป็นเจตจำนงเสรีในแง่ที่มีความหมายเลย ในทางกลับกัน การตัดสินใจของบางคนอาจทำให้เหนื่อยจนพูดไม่ได้ว่าพวกเขาทำอย่างอิสระ

แนวทางแก้ไขปัญหาการกำหนดนิยามดังกล่าวให้ความหมายแก่การตีความทฤษฎีควอนตัม ซึ่งเสนอขึ้นเมื่อไม่กี่ปีหลังจากไอน์สไตน์เสียชีวิตในปี 2498 เรียกว่าการตีความหลายโลก หรือการตีความของเอเวอเร็ตต์ ผู้เสนอให้โต้แย้งว่ากลศาสตร์ควอนตัมอธิบายชุดของจักรวาลคู่ขนาน ซึ่งเป็นพหุภพที่โดยทั่วไปมีพฤติกรรมกำหนดไว้ แต่ดูเหมือนไม่ได้กำหนดไว้สำหรับเราเพราะเรามองเห็นได้เพียงจักรวาลเดียว ตัวอย่างเช่น อะตอมสามารถปล่อยโฟตอนไปทางขวาหรือทางซ้าย ทฤษฎีควอนตัมปล่อยให้ผลลัพธ์ของเหตุการณ์นี้เปิดขึ้น ตามการตีความของหลายโลก ภาพดังกล่าวถูกสังเกตเนื่องจากสถานการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นในจักรวาลคู่ขนานนับไม่ถ้วน: ในบางส่วนของพวกเขา โฟตอนจะบินไปทางซ้ายอย่างเป็นเอกเทศและที่เหลือไปทางขวา เราไม่สามารถบอกได้ชัดเจนว่าเราอยู่ในจักรวาลใด เราไม่สามารถคาดเดาว่าจะเกิดอะไรขึ้น ดังนั้นสถานการณ์นี้จึงดูอธิบายไม่ได้จากภายใน Max Tegmark นักจักรวาลวิทยาแห่งสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ซึ่งเป็นผู้เสนอแนวคิดที่รู้จักกันดีในมุมมองนี้กล่าวว่า "ไม่มีการสุ่มที่แท้จริงในอวกาศ แต่เหตุการณ์ต่างๆ อาจปรากฏขึ้นแบบสุ่มต่อสายตาของผู้สังเกต คุณคือ."

มันเหมือนกับการพูดว่า ลูกเต๋าหรือสมองสามารถสร้างขึ้นจากโครงสร้างอะตอมใดๆ ก็ได้ การกำหนดค่านี้อาจกำหนดได้เอง แต่เนื่องจากเราไม่สามารถรู้ได้ว่าอันไหนตรงกับลูกเต๋าหรือสมองของเรา เราจึงถูกบังคับให้คิดว่าผลลัพธ์นั้นไม่ได้กำหนดไว้ ดังนั้น จักรวาลคู่ขนานจึงไม่ใช่แนวคิดแปลกใหม่ที่ลอยอยู่ในจินตนาการที่ป่วย ร่างกายและสมองของเราเป็นพหุภาคีเล็ก ๆ มันเป็นความหลากหลายของความเป็นไปได้ที่ให้อิสระแก่เรา

มนุษย์ใช้ลูกเต๋ามาหลายพันปีแล้ว

ในศตวรรษที่ 21 เทคโนโลยีใหม่ทำให้คุณสามารถม้วนแม่พิมพ์ได้ทุกเวลาที่สะดวก และถ้าคุณมีอินเทอร์เน็ต ในสถานที่ที่สะดวก ลูกเต๋าอยู่กับคุณที่บ้านหรือบนท้องถนนเสมอ

เครื่องกำเนิดลูกเต๋าช่วยให้คุณหมุนออนไลน์ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 4 ลูกเต๋า

ม้วนตายออนไลน์อย่างตรงไปตรงมา

เมื่อใช้ลูกเต๋าจริง สามารถใช้มือที่คล่องแคล่วหรือลูกเต๋าที่ทำขึ้นเป็นพิเศษได้เปรียบจากด้านใดด้านหนึ่ง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหมุนลูกบาศก์ไปตามแกนใดแกนหนึ่ง จากนั้นการกระจายความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไป คุณลักษณะของคิวบ์เสมือนของเราคือการใช้ซอฟต์แวร์สร้างตัวเลขสุ่มหลอก สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถจัดเตรียมตัวแปรสุ่มอย่างแท้จริงของผลลัพธ์นี้หรือผลลัพธ์นั้น

และหากคุณคั่นหน้านี้ ลูกเต๋าออนไลน์ของคุณจะไม่หายไปไหนและจะอยู่ในมือในเวลาที่เหมาะสมเสมอ!

บางคนได้ประยุกต์ใช้ลูกเต๋าออนไลน์ในการทำนายหรือทำนายดวงชะตา

อารมณ์ร่าเริงเป็นวันที่ดีและโชคดี!

ประเภทที่พบมากที่สุดอยู่ในรูปของลูกบาศก์ซึ่งแต่ละด้านจะมีการแสดงตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงหก ผู้เล่นโยนมันลงบนพื้นราบเห็นผลที่ใบหน้าด้านบน กระดูกเป็นกระบอกเสียงของโอกาส โชคดีหรือโชคร้าย

อุบัติเหตุ.
ก้อน (กระดูก) มีมาเป็นเวลานาน แต่รูปทรงหกด้านที่กลายเป็นแบบดั้งเดิมนั้นได้มาประมาณ 2,600 ปีก่อนคริสตกาล อี ชาวกรีกโบราณชอบเล่นลูกเต๋า และในตำนานของพวกเขา วีรบุรุษ Palamedes ซึ่งถูกกล่าวหาว่าทรยศโดย Odysseus อย่างไม่ยุติธรรมถูกกล่าวถึงว่าเป็นผู้ประดิษฐ์ของพวกเขา ตามตำนานเล่าขาน เขาคิดค้นเกมนี้เพื่อสร้างความบันเทิงให้กับทหารที่กำลังล้อมเมืองทรอย ถูกจับได้ด้วยม้าไม้ขนาดใหญ่ ชาวโรมันในสมัยของ Julius Caesar ยังสนุกสนานกับเกมลูกเต๋าที่หลากหลาย ในภาษาละติน ลูกบาศก์เรียกว่า datum ซึ่งแปลว่า "ให้"

ข้อห้าม
ในยุคกลาง ราวศตวรรษที่ 12 ลูกเต๋าได้รับความนิยมอย่างมากในยุโรป: ลูกเต๋า ซึ่งคุณสามารถนำติดตัวไปได้ทุกที่ เป็นที่ชื่นชอบของนักรบและชาวนา ว่ากันว่ามีมากกว่าหกร้อยเกมที่แตกต่างกัน! การผลิตลูกเต๋ากลายเป็นอาชีพที่แยกจากกัน พระเจ้าหลุยส์ที่ 9 (ค.ศ. 1214-1270) ซึ่งกลับมาจากสงครามครูเสดไม่เห็นด้วยกับการพนันและสั่งห้ามการผลิตลูกเต๋าทั่วราชอาณาจักร มากกว่าตัวเกมเอง ทางการไม่พอใจกับเหตุการณ์ความไม่สงบที่เกี่ยวข้อง จากนั้นพวกเขาเล่นกันเป็นส่วนใหญ่ในโรงเตี๊ยมและงานปาร์ตี้มักจะจบลงด้วยการต่อสู้และการแทง แต่ไม่มีข้อห้ามใดที่ขัดขวางไม่ให้ลูกเต๋ารอดตายมาได้จนถึงทุกวันนี้

กระดูกที่มี "ประจุ"!
ผลลัพธ์ของไดทอยมักจะถูกกำหนดโดยบังเอิญ แต่คนขี้โกงบางคนพยายามที่จะเปลี่ยนสิ่งนั้น การเจาะรูในดายและเทตะกั่วหรือปรอทลงไป ทำให้มั่นใจได้ว่าม้วนจะให้ผลลัพธ์เหมือนเดิมทุกครั้ง ลูกบาศก์ดังกล่าวเรียกว่า "มีประจุ" ที่ทำจากวัสดุต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น ทอง หิน คริสตัล กระดูก ลูกเต๋า สามารถมีรูปร่างต่างกันได้ ลูกเต๋าขนาดเล็กที่มีรูปร่างเป็นปิรามิด (จัตุรมุข) ถูกพบในสุสานของฟาโรห์อียิปต์ที่สร้างปิรามิดขนาดใหญ่! หลายครั้ง กระดูกถูกสร้างขึ้นด้วย 8, 10, 12, 20 และ 100 ด้าน โดยปกติแล้วจะใช้ตัวเลขกับพวกเขา แต่ตัวอักษรหรือรูปภาพสามารถปรากฏขึ้นแทนได้ ทำให้มีที่ว่างสำหรับจินตนาการ

วิธีการทอยลูกเต๋า.
ลูกเต๋าไม่เพียงแต่มีรูปร่างที่แตกต่างกัน แต่ยังมีวิธีการเล่นที่แตกต่างกันด้วย กฎของเกมบางเกมกำหนดให้การทอยต้องถูกทอยด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง โดยปกติแล้วเพื่อหลีกเลี่ยงการทอยที่คำนวณได้ หรือเพื่อป้องกันไม่ให้ไดย์หยุดนิ่งในตำแหน่งเอียง บางครั้งมีกระจกพิเศษติดอยู่เพื่อหลีกเลี่ยงการโกงหรือตกจากโต๊ะเล่นเกม ในเกมเครปภาษาอังกฤษ ลูกเต๋าทั้งสามลูกต้องตีโต๊ะเกมหรือกำแพง เพื่อไม่ให้คนขี้โกงหลอกทอยโดยเพียงแค่ขยับลูกเต๋า แต่ไม่หมุน

ความสุ่มและความน่าจะเป็น
ลูกเต๋าให้ผลสุ่มที่ไม่สามารถคาดเดาได้เสมอ ด้วยการตายเพียงครั้งเดียว ผู้เล่นมีโอกาสที่จะทอย 1 มากเท่ากับที่มี 6 - ทุกอย่างถูกกำหนดโดยบังเอิญ ในทางกลับกัน ด้วยลูกเต๋าสองลูก ระดับของการสุ่มจะลดลง เนื่องจากผู้เล่นมีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลลัพธ์: ตัวอย่างเช่น ด้วยลูกเต๋าสองลูก สามารถรับหมายเลข 7 ได้หลายวิธี - โดยการทอย 1 และ 6, 5 และ 2 หรือ 4 และ 3 ... แต่ความเป็นไปได้ที่จะได้หมายเลข 2 มีเพียงหนึ่งเท่านั้น: โยน 1 สองครั้ง ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ 7 นั้นสูงกว่าการได้ 2! เรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็น หลายเกมเกี่ยวข้องกับหลักการนี้ โดยเฉพาะเกมเงินสด

เกี่ยวกับการใช้ลูกเต๋า
ลูกเต๋าสามารถเป็นเกมแบบสแตนด์อโลนโดยไม่มีองค์ประกอบอื่น สิ่งเดียวที่แทบไม่มีอยู่จริงคือเกมสำหรับคิวบ์เดียว กฎเกณฑ์ต้องมีอย่างน้อยสองข้อ (เช่น เครป) ในการเล่นลูกเต๋าโป๊กเกอร์ คุณต้องมีลูกเต๋าห้าลูก ปากกา และกระดาษ เป้าหมายคือการเติมชุดค่าผสมที่คล้ายกับการรวมกันของเกมไพ่ที่มีชื่อเดียวกัน การบันทึกคะแนนสำหรับพวกเขาในตารางพิเศษ นอกจากนี้ คิวบ์ยังเป็นส่วนยอดนิยมสำหรับเกมกระดาน ซึ่งช่วยให้คุณย้ายชิปหรือตัดสินผลลัพธ์ของการต่อสู้ในเกมได้

หล่อตาย.
ใน 49 ปีก่อนคริสตกาล อี Julius Caesar อายุน้อยเอาชนะกอลและกลับมาที่ปอมเปอี แต่วุฒิสมาชิกหวาดกลัวอำนาจของเขา ซึ่งตัดสินใจยุบกองทัพก่อนที่เขาจะกลับมา จักรพรรดิในอนาคตเมื่อมาถึงชายแดนของสาธารณรัฐตัดสินใจที่จะฝ่าฝืนคำสั่งโดยข้ามกับกองทัพ ก่อนข้ามแม่น้ำ Rubicon (แม่น้ำที่เป็นพรมแดน) พระองค์ตรัสกับเหล่าพยุหเสนาว่า "Alea jacta est" ("ผู้ตายถูกหล่อ") คำพูดนี้กลายเป็นวลีติดปาก ความหมายก็คือ เหมือนกับในเกม หลังจากตัดสินใจบางอย่างไปแล้ว จะไม่สามารถย้อนกลับได้อีกต่อไป