คำนิยาม. ใบหน้าด้านข้าง- นี่คือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งอยู่ที่ด้านบนของปิรามิด และด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยมนั้นตรงกับด้านข้างของฐาน (รูปหลายเหลี่ยม)

คำนิยาม. ซี่โครงข้างเป็นด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง ปิรามิดมีขอบมากเท่ากับที่มีมุมในรูปหลายเหลี่ยม

คำนิยาม. ความสูงของปิรามิดเป็นแนวดิ่งจากบนลงสู่ฐานของปิรามิด

คำนิยาม. อโพเทม- นี่คือแนวตั้งฉากของใบหน้าด้านข้างของปิรามิด โดยลดระดับจากด้านบนของปิรามิดไปที่ด้านข้างของฐาน

คำนิยาม. ส่วนทแยงมุม- นี่คือส่วนหนึ่งของปิรามิดโดยเครื่องบินผ่านยอดปิรามิดและแนวทแยงของฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดที่ถูกต้อง- นี่คือปิรามิดที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และความสูงลงไปที่ศูนย์กลางของฐาน

ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปิรามิด

สูตร. ปริมาตรปิรามิดผ่านพื้นที่ฐานและความสูง:

คุณสมบัติของปิรามิด

หากขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน วงกลมสามารถล้อมรอบฐานของพีระมิดได้ และศูนย์กลางของฐานจะตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลม นอกจากนี้ ฉากตั้งฉากที่ตกลงมาจากด้านบนจะทะลุผ่านจุดศูนย์กลางของฐาน (วงกลม)

หากซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน ก็จะเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมเดียวกัน

ซี่โครงด้านข้างจะเท่ากันเมื่อมีมุมเท่ากันกับระนาบฐาน หรือถ้าสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของปิรามิดได้

หากใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบของฐานเป็นมุมเดียว วงกลมสามารถถูกจารึกไว้ในฐานของปิรามิด และฉายส่วนบนของปิรามิดที่จุดศูนย์กลาง

หากผิวหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมหนึ่ง มุมตั้งฉากของใบหน้าด้านข้างจะเท่ากัน

คุณสมบัติของปิรามิดปกติ

1. ส่วนบนของพีระมิดอยู่ห่างจากฐานทุกมุมเท่ากัน

2. ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

3. ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงทำมุมเดียวกันกับฐาน

4. มุมตั้งฉากของใบหน้าทุกด้านเท่ากัน

5. พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

6. ใบหน้าทั้งหมดมีมุมไดฮีดรัล (แบน) เท่ากัน

7. ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบพีระมิด จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่อธิบายจะเป็นจุดตัดของเส้นตั้งฉากที่ผ่านตรงกลางขอบ

8. ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในปิรามิดได้ ศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้จะเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งที่เล็ดลอดออกมาจากมุมระหว่างขอบกับฐาน

9. หากจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้ตรงกับจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบ ผลรวมของมุมแบนที่ปลายยอดจะเท่ากับ π หรือในทางกลับกัน มุมหนึ่งเท่ากับ π / n โดยที่ n คือตัวเลข ของมุมที่ฐานปิรามิด

การเชื่อมต่อของปิรามิดกับทรงกลม

ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิดเมื่ออยู่ที่ฐานของปิรามิดมีรูปทรงหลายเหลี่ยมอยู่รอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้ (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดศูนย์กลางของทรงกลมจะเป็นจุดตัดของระนาบที่ตัดผ่านจุดกึ่งกลางของขอบด้านข้างของพีระมิดในแนวตั้งฉาก

ทรงกลมสามารถอธิบายรอบพีระมิดสามเหลี่ยมหรือปกติได้เสมอ

ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในพีระมิดได้หากระนาบแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลภายในของพีระมิดตัดกันที่จุดหนึ่ง (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดนี้จะเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม

การเชื่อมต่อของปิรามิดกับกรวย

รูปทรงกรวยเรียกว่าปิรามิดหากจุดยอดตรงกันและฐานของกรวยถูกจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด

รูปกรวยสามารถจารึกไว้ในพีระมิดได้หากมุมตั้งฉากของพีระมิดเท่ากัน

กล่าวกันว่ารูปกรวยจะถูกล้อมรอบปิรามิดหากจุดยอดตรงกันและฐานของกรวยถูกล้อมรอบรอบฐานของปิรามิด

รูปทรงกรวยสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิด หากขอบด้านทั้งหมดของปิรามิดเท่ากัน

การเชื่อมต่อของปิรามิดกับทรงกระบอก

กล่าวกันว่าปิรามิดจะถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก ถ้ายอดของปิรามิดอยู่บนฐานหนึ่งของทรงกระบอก และฐานของปิรามิดนั้นถูกจารึกไว้ในฐานอื่นของทรงกระบอก

ทรงกระบอกสามารถล้อมรอบพีระมิดถ้าวงกลมสามารถล้อมรอบฐานของปิรามิด

จัตุรมุขมีสี่หน้าและสี่จุดยอดและหกขอบ โดยที่ขอบทั้งสองข้างไม่มีจุดยอดทั่วไปแต่อย่าสัมผัสกัน

จุดยอดแต่ละอันประกอบด้วยสามด้านและขอบที่ประกอบเป็น มุมสามเหลี่ยม.

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของจัตุรมุขกับศูนย์กลางของใบหน้าตรงข้ามเรียกว่า ค่ามัธยฐานของจัตุรมุข(จีเอ็ม).

ไบมีเดียนเรียกว่า ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบตรงข้ามที่ไม่สัมผัส (KL)

bimedian และค่ามัธยฐานของจัตุรมุขทั้งหมดตัดกันที่จุดหนึ่ง (S) ในกรณีนี้ ค่าบีมีเดียนจะถูกแบ่งออกครึ่งหนึ่ง และค่ามัธยฐานในอัตราส่วน 3: 1 โดยเริ่มจากด้านบน

คำนิยาม. พีระมิดมุมแหลมเป็นปิรามิดที่เส้นตั้งฉากยาวเกินครึ่งหนึ่งของด้านฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดป้านเป็นปิรามิดที่เส้นตั้งฉากมีความยาวน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของด้านฐาน

คำนิยาม. จัตุรมุขปกติจัตุรมุขที่มีสี่หน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มันเป็นหนึ่งในห้ารูปหลายเหลี่ยมปกติ ในจัตุรมุขปกติ มุมไดฮีดรัลทั้งหมด (ระหว่างใบหน้า) และมุมสามส่วน (ที่จุดยอด) จะเท่ากัน

คำนิยาม. จัตุรมุขสี่เหลี่ยมจัตุรมุขเรียกว่าซึ่งมีมุมฉากระหว่างสามขอบที่จุดยอด (ขอบตั้งฉาก) แบบสามหน้า มุมสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมและใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ มุมตั้งฉากของใบหน้าใดๆ เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านฐานที่ด้านตั้งฉากตกลงมา

คำนิยาม. จัตุรมุขไอโซเฮดรอนจัตุรมุขเรียกว่าซึ่งใบหน้าด้านข้างเท่ากันและฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ใบหน้าของจัตุรมุขดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

คำนิยาม. Orthocentric จัตุรมุขจัตุรมุขเรียกว่าซึ่งความสูงทั้งหมด (ตั้งฉาก) ที่ลดลงจากด้านบนไปยังใบหน้าตรงข้ามที่จุดหนึ่ง

คำนิยาม. ปิรามิดดาวรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นดาวเรียกว่า

นี่คือข้อมูลที่รวบรวมพื้นฐานเกี่ยวกับปิรามิดและสูตรและแนวคิดที่เกี่ยวข้อง ทุกคนเรียนพร้อมติวเตอร์วิชาคณิตศาสตร์เพื่อเตรียมสอบ

พิจารณาระนาบ รูปหลายเหลี่ยม นอนอยู่ในนั้นและจุด S ไม่นอนอยู่ในนั้น เชื่อมต่อ S กับจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่าปิรามิด ส่วนที่เรียกว่าขอบด้านข้าง รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าฐาน และจุด S เรียกว่ายอดปิรามิด ขึ้นอยู่กับจำนวน n ปิรามิดเรียกว่ารูปสามเหลี่ยม (n=3), สี่เหลี่ยม (n=4), ห้าเหลี่ยม (n=5) เป็นต้น ชื่ออื่นสำหรับปิรามิดสามเหลี่ยม - จัตุรมุข. ความสูงของปิรามิดคือการตั้งฉากจากยอดถึงระนาบฐาน

ปิรามิดเรียกว่าถูกต้องถ้า รูปหลายเหลี่ยมปกติ และฐานความสูงของปิรามิด (ฐานตั้งฉาก) เป็นจุดศูนย์กลาง

ความคิดเห็นของติวเตอร์:
อย่าสับสนแนวคิดของ "ปิรามิดปกติ" และ "จัตุรมุขปกติ" ในปิรามิดปกติ ขอบด้านข้างไม่จำเป็นต้องเท่ากับขอบของฐาน แต่ในจัตุรมุขปกติ ขอบทั้ง 6 ของขอบจะเท่ากัน นี่คือคำจำกัดความของเขา มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันบอกเป็นนัยว่าจุดศูนย์กลาง P ของรูปหลายเหลี่ยม ด้วยฐานสูง จัตุรมุขปกติจึงเป็นปิรามิดปกติ

ระยะตั้งฉากคืออะไร?
มุมตั้งฉากของพีระมิดคือความสูงของใบหน้าด้านข้าง ถ้าพีระมิดเป็นพีระมิดปกติ ระยะตั้งฉากของพีระมิดทั้งหมดจะเท่ากัน กลับไม่เป็นความจริง

ครูสอนคณิตศาสตร์เกี่ยวกับคำศัพท์ของเขา: ทำงานกับปิรามิด 80% สร้างขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมสองประเภท:
1) มีเส้นตั้งฉาก SK และความสูง SP
2) ประกอบด้วย SA ขอบด้านข้างและการฉายภาพ PA

เพื่อให้การอ้างอิงสามเหลี่ยมเหล่านี้ง่ายขึ้น จะสะดวกกว่าสำหรับผู้สอนคณิตศาสตร์ในการตั้งชื่อรูปแรก เภสัชและวินาที costal. ขออภัย คุณจะไม่พบคำศัพท์นี้ในหนังสือเรียนใดๆ และครูต้องแนะนำเพียงฝ่ายเดียว

สูตรปริมาตรพีระมิด:
1) , พื้นที่ฐานพีระมิดอยู่ที่ไหน และ ความสูงของปิรามิดอยู่ที่ไหน
2) รัศมีของทรงกลมที่จารึกอยู่ที่ไหนและเป็นพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด
3) โดยที่ MN คือระยะห่างของขอบตัดสองอันใดๆ และเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากจุดกึ่งกลางของขอบทั้งสี่ที่เหลือ

คุณสมบัติฐานความสูงของพีระมิด:

จุด P (ดูรูป) เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด หากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
1) เส้นตั้งฉากเท่ากันทั้งหมด
2) ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเอียงเข้าหาฐานเท่ากัน
3) เส้นตั้งฉากทั้งหมดเอียงเท่ากับความสูงของปิรามิดเท่ากัน
4) ความสูงของปิรามิดเอียงเท่ากันทุกด้าน

ความเห็นติวเตอร์คณิต: โปรดทราบว่าคะแนนทั้งหมดรวมกันเป็นหนึ่งคุณสมบัติ: ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ใบหน้าด้านข้างมีส่วนร่วมทุกที่ (apothems เป็นองค์ประกอบ) ดังนั้นผู้สอนสามารถเสนอสูตรที่แม่นยำน้อยกว่า แต่สะดวกกว่าสำหรับการท่องจำ: จุด P เกิดขึ้นพร้อมกับศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ ซึ่งเป็นฐานของปิรามิด หากมีข้อมูลที่เท่ากันเกี่ยวกับใบหน้าด้านข้าง เพื่อพิสูจน์ แค่แสดงว่าสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดเท่ากันก็เพียงพอแล้ว

จุด P เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบบริเวณฐานของพีระมิด หากเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง:
1) ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
2) ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงเข้าหาฐานเท่ากัน
3) ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดมีความลาดเอียงเท่ากัน

คำนิยาม

พีระมิดเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\) และ \(n\) สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน \(P\) (ไม่อยู่ในระนาบของรูปหลายเหลี่ยม) และด้านตรงข้ามประชิดกับด้านข้างของ รูปหลายเหลี่ยม
การกำหนด: \(PA_1A_2...A_n\)
ตัวอย่าง: พีระมิดห้าเหลี่ยม \(PA_1A_2A_3A_4A_5\)

สามเหลี่ยม \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) เป็นต้น เรียกว่า ใบหน้าด้านข้างปิรามิด ส่วน \(PA_1, PA_2\) เป็นต้น - ซี่โครงข้าง, รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – พื้นฐาน, จุด \(P\) – ประชุมสุดยอด.

ส่วนสูงพีระมิดเป็นฉากตั้งฉากที่หล่นจากด้านบนของปิรามิดไปยังระนาบของฐาน

ปิรามิดที่มีรูปสามเหลี่ยมที่ฐานเรียกว่า จัตุรมุข.

ปิรามิดเรียกว่า ถูกต้องหากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

\((a)\) ขอบด้านข้างของปิรามิดเท่ากัน

\((b)\) ความสูงของปิรามิดผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานใกล้กับฐาน

\((c)\) ซี่โครงด้านข้างเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมเดียวกัน

\((d)\) ใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมเดียวกัน

จัตุรมุขปกติเป็นปิรามิดรูปสามเหลี่ยม ทุกหน้ามีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน

ทฤษฎีบท

เงื่อนไข \((a), (b), (c), (d)\) มีค่าเท่ากัน

การพิสูจน์

วาดความสูงของปิรามิด \(PH\) . ให้ \(\alpha\) เป็นระนาบของฐานปิรามิด

1) ให้เราพิสูจน์ว่า \(((a)\) หมายถึง \((b)\) ให้ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\)

เพราะ \(PH\perp \alpha\) จากนั้น \(PH\) จะตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้ ดังนั้นสามเหลี่ยมจึงมีมุมฉาก ดังนั้นสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงเท่ากันในขาธรรมดา \(PH\) และด้านตรงข้ามมุมฉาก \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ดังนั้น \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) ซึ่งหมายความว่าจุด \(A_1, A_2, ..., A_n\) อยู่ในระยะเดียวกันจากจุด \(H\) ดังนั้น พวกเขาอยู่ในวงกลมเดียวกันกับรัศมี \(A_1H\) ตามคำจำกัดความ วงกลมนี้ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\)

2) ให้เราพิสูจน์ว่า \(((b)\) หมายถึง \((c)\)

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)สี่เหลี่ยมและเท่ากันในสองขา ดังนั้นมุมของพวกมันจึงเท่ากัน ดังนั้น \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) ให้เราพิสูจน์ว่า \((c)\) หมายถึง \((a)\)

คล้ายกับจุดแรก สามเหลี่ยม \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)สี่เหลี่ยมและตามขาและมุมแหลม ซึ่งหมายความว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของพวกมันเท่ากัน นั่นคือ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\)

4) ให้เราพิสูจน์ว่า \(((b)\) หมายถึง \((d)\)

เพราะ ในรูปหลายเหลี่ยมปกติ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและที่จารึกไว้จะตรงกัน (โดยทั่วไป จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติ) จากนั้น \(H\) จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ ลองวาดเส้นตั้งฉากจากจุด \(H\) ไปยังด้านข้างของฐาน: \(HK_1, HK_2\) เป็นต้น นี่คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ (ตามคำจำกัดความ) จากนั้น ตาม TTP (\(PH\) จะตั้งฉากกับระนาบ \(HK_1, HK_2\) ฯลฯ เป็นเส้นโครงตั้งฉากกับด้านข้าง) เฉียง \(PK_1, PK_2\) เป็นต้น ตั้งฉากกับด้านข้าง \(A_1A_2, A_2A_3\) เป็นต้น ตามลำดับ ดังนั้น ตามคำนิยาม \(\มุม PK_1H, \มุม PK_2H\)เท่ากับมุมระหว่างด้านกับฐาน เพราะ สามเหลี่ยม \(PK_1H, PK_2H, ...\) เท่ากัน (เป็นมุมฉากบนสองขา) จากนั้นเป็นมุม \(\มุม PK_1H, \มุม PK_2H, ...\)มีค่าเท่ากัน

5) ให้เราพิสูจน์ว่า \((d)\) หมายถึง \((b)\)

ในทำนองเดียวกันกับจุดที่สี่ สามเหลี่ยม \(PK_1H, PK_2H, ...\) เท่ากัน (เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามขาและมุมแหลม) ซึ่งหมายความว่าส่วน \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) มีค่าเท่ากัน ดังนั้น ตามคำจำกัดความ \(H\) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน แต่ตั้งแต่ สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกและล้อมรอบจะตรงกัน จากนั้น \(H\) จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ Chtd.

ผลที่ตามมา

ใบหน้าด้านข้างของพีระมิดปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

คำนิยาม

ความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากด้านบนเรียกว่า เภสัช.
เส้นตั้งฉากของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดปกติมีค่าเท่ากันและเป็นค่ามัธยฐานและส่วนแบ่งครึ่งด้วย

หมายเหตุสำคัญ

1. ความสูงของพีระมิดสามเหลี่ยมปกติตกลงมาที่จุดตัดของความสูง (หรือครึ่งวงกลม หรือค่ามัธยฐาน) ของฐาน (ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ)

2. ความสูงของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติตกลงมาถึงจุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

3. ความสูงของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติตกลงมาจนถึงจุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ)

4. ความสูงของปิรามิดตั้งฉากกับเส้นตรงที่วางอยู่บนฐาน

คำนิยาม

ปิรามิดเรียกว่า สี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับระนาบของฐาน

หมายเหตุสำคัญ

1. สำหรับพีระมิดสี่เหลี่ยม ขอบตั้งฉากกับฐานคือความสูงของปิรามิด นั่นคือ \(SR\) คือความสูง

2. เพราะ \(SR\) ตั้งฉากกับเส้นใด ๆ จากฐาน แล้ว \(\สามเหลี่ยม SRM, \สามเหลี่ยม SRP\)เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

3. สามเหลี่ยม \(\สามเหลี่ยม SRN, \สามเหลี่ยม SRK\)เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย
นั่นคือ สามเหลี่ยมใดๆ ที่เกิดขึ้นจากขอบนี้และเส้นทแยงมุมที่ออกมาจากจุดยอดของขอบนี้ ซึ่งอยู่ที่ฐาน จะเป็นมุมฉาก

\[(\Large(\text(ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปิรามิด))))\]

ทฤษฎีบท

ปริมาตรของปิรามิดเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของปิรามิด: \

ผลที่ตามมา

ให้ \(a\) เป็นด้านข้างของฐาน \(h\) เป็นความสูงของปิรามิด

1. ปริมาตรของพีระมิดสามเหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(สามเหลี่ยมมุมฉาก pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. ปริมาตรของพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. ปริมาตรของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. ปริมาตรของจัตุรมุขปกติคือ \(V_(\text(ขวา tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

ทฤษฎีบท

พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉาก

\[(\Large(\text(พีระมิดที่ถูกตัดทอน)))\]

คำนิยาม

พิจารณาพีระมิดตามอำเภอใจ \(PA_1A_2A_3...A_n\) ให้เราวาดระนาบขนานกับฐานของปิรามิดผ่านจุดหนึ่งซึ่งอยู่บนขอบด้านข้างของปิรามิด ระนาบนี้จะแบ่งพีระมิดออกเป็นสองรูปทรงหลายเหลี่ยม อันหนึ่งเป็นพีระมิด (\(PB_1B_2...B_n\) ) และอีกอันเรียกว่า ปิรามิดที่ถูกตัดทอน(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) )

พีระมิดที่ถูกตัดทอนมีสองฐาน - รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\) และ \(B_1B_2...B_n\) ซึ่งคล้ายกัน

ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งของฐานบนถึงระนาบของฐานล่าง

หมายเหตุสำคัญ

1. ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

2. ส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ (นั่นคือปิรามิดที่ได้จากส่วนของปิรามิดปกติ) คือความสูง

ระดับแรก

พีระมิด. คู่มือภาพ (2019)

ปิรามิดคืออะไร?

เธอดูเป็นอย่างไร?

คุณเห็น: ที่ปิรามิดด้านล่าง (พวกเขาพูดว่า " ที่ฐาน”) รูปหลายเหลี่ยมบางส่วนและจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนี้เชื่อมต่อกับบางจุดในอวกาศ (จุดนี้เรียกว่า “ จุดยอด»).

โครงสร้างทั้งหมดนี้มี ใบหน้าด้านข้าง, ซี่โครงข้างและ ซี่โครงฐาน. อีกครั้ง ลองวาดปิรามิดพร้อมกับชื่อเหล่านี้ทั้งหมด:

ปิรามิดบางตัวอาจดูแปลกมาก แต่ก็ยังเป็นปิรามิด

ตัวอย่างเช่น ค่อนข้าง "เฉียง" ปิรามิด.

และอีกเล็กน้อยเกี่ยวกับชื่อ: หากมีรูปสามเหลี่ยมที่ฐานของปิรามิดแล้วปิรามิดจะเรียกว่าสามเหลี่ยม

ในขณะเดียวกันจุดที่มันตกลงมา ความสูง, ถูกเรียก ฐานความสูง. โปรดทราบว่าในปิรามิดที่ "คดเคี้ยว" ความสูงอาจจะอยู่นอกพีระมิดก็ได้ แบบนี้:

และไม่มีอะไรน่ากลัวในเรื่องนี้ ดูเหมือนสามเหลี่ยมป้าน

ปิรามิดที่ถูกต้อง

คำยากมากมาย? มาถอดรหัสกัน: " ที่ฐาน - ถูกต้อง"- นี่เป็นที่เข้าใจได้ และตอนนี้ จำไว้ว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติมีจุดศูนย์กลาง - จุดที่เป็นจุดศูนย์กลางของ และ และ และ

คำว่า "ส่วนบนถูกฉายไปที่กึ่งกลางของฐาน" หมายความว่าฐานของความสูงตกลงตรงกลางฐานพอดี ดูเรียบเนียนน่ารัก ปิรามิดที่ถูกต้อง.

หกเหลี่ยม: ที่ฐาน - รูปหกเหลี่ยมปกติ จุดยอดจะถูกฉายเข้าตรงกลางฐาน

รูปสี่เหลี่ยม: ที่ฐาน - สี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านบนถูกฉายไปยังจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้

สามเหลี่ยม: ที่ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ จุดยอดจะถูกฉายไปยังจุดตัดของความสูง (เป็นค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งด้วย) ของสามเหลี่ยมนี้

มาก คุณสมบัติที่สำคัญของปิรามิดปกติ:

ในปิรามิดที่ถูกต้อง

• ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
• ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและสามเหลี่ยมทั้งหมดนี้เท่ากัน

ปริมาณพีระมิด

สูตรหลักสำหรับปริมาตรของปิรามิด:

มันมาจากไหนกันแน่? สิ่งนี้ไม่ง่ายนัก และในตอนแรก คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่าปิรามิดและกรวยมีปริมาตรอยู่ในสูตร แต่ทรงกระบอกไม่มี

ทีนี้มาคำนวณปริมาตรของปิรามิดยอดนิยมกัน

ให้ด้านฐานเท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน ต้องหาและ.

นี่คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เรามาจำวิธีการค้นหาพื้นที่นี้กัน เราใช้สูตรพื้นที่:

เรามี "" - นี่ และ "" - นี่ด้วย เอ๊ะ

ตอนนี้เรามาหากัน

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ

มันสำคัญอะไร? นี่คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบเพราะ ปิรามิดถูกต้องและด้วยเหตุนี้ศูนย์

เนื่องจาก - จุดตัดกับค่ามัธยฐานด้วย

(ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ)

แทนที่ในสูตรสำหรับ

ลองเสียบทุกอย่างลงในสูตรปริมาตร:

ความสนใจ:หากคุณมีจัตุรมุขปกติ (เช่น) สูตรคือ:

ให้ด้านฐานเท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน

ไม่จำเป็นต้องค้นหาที่นี่ เพราะที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัสและด้วยเหตุนี้

มาหากัน ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ

เรารู้หรือไม่? เกือบ. ดู:

(เราเห็นสิ่งนี้จากการทบทวน)

แทนที่ในสูตรสำหรับ:

และตอนนี้เราแทนและลงในสูตรปริมาตร

ให้ด้านฐานเท่ากันและขอบด้านข้าง

จะหาได้อย่างไร? ดูสิ รูปหกเหลี่ยมประกอบด้วยสามเหลี่ยมธรรมดาที่เหมือนกันทุกประการหกรูป เราได้ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติเมื่อคำนวณปริมาตรของพีระมิดสามเหลี่ยมปกติแล้วที่นี่เราใช้สูตรที่พบ

ทีนี้มาหา (นี่) กัน

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ

แต่มันสำคัญอะไร? ง่ายเพราะ (และทุกคนก็เช่นกัน) ถูกต้อง

เราแทนที่:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

พีระมิด. สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

พีระมิดเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนใดๆ () จุดที่ไม่อยู่ในระนาบของฐาน (ด้านบนของปิรามิด) และทุกส่วนที่เชื่อมต่อส่วนบนของพีระมิดกับจุดฐาน (ขอบด้านข้าง) ).

ฉากตั้งฉากตกลงมาจากยอดปิรามิดไปยังระนาบของฐาน

ปิรามิดที่ถูกต้อง- ปิรามิดซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐาน และส่วนบนของปิรามิดถูกฉายเข้าตรงกลางฐาน

คุณสมบัติของปิรามิดปกติ:

• ในปิรามิดทั่วไป ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
• ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและสามเหลี่ยมทั้งหมดนี้เท่ากัน