ความหมายของแทนเจนต์ของมุม ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์: มันคืออะไร? จะหาไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ได้อย่างไร ไซน์ในตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

อาร์กิวเมนต์และมูลค่า

โคไซน์ของมุมแหลม

โคไซน์ของมุมแหลมสามารถกำหนดได้โดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉาก - เท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ตัวอย่าง :

1) ให้มุมหนึ่งและคุณต้องกำหนดโคไซน์ของมุมนี้

2) เติมสามเหลี่ยมมุมฉากที่มุมนี้ให้สมบูรณ์

3) เมื่อวัดด้านที่จำเป็นแล้ว เราสามารถคำนวณโคไซน์ได้

โคไซน์ของมุมแหลมมีค่ามากกว่า \(0\) และน้อยกว่า \(1\)

ถ้าเมื่อแก้ปัญหา โคไซน์ของมุมแหลมกลายเป็นค่ามากกว่า 1 หรือค่าลบ แสดงว่ามีข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา

โคไซน์ของจำนวน

วงกลมตัวเลขช่วยให้คุณกำหนดโคไซน์ของจำนวนใดก็ได้ แต่มักจะพบโคไซน์ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับ : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข \(\frac(π)(6)\) - โคไซน์จะเท่ากับ \(\frac(\sqrt(3))(2)\) และสำหรับตัวเลข \(-\)\(\frac(3π)(4)\) จะเท่ากับ \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (โดยประมาณ \ (-0,71\)).

โคไซน์สำหรับตัวเลขอื่น ๆ ที่มักพบในทางปฏิบัติ ดู

ค่าโคไซน์อยู่ระหว่าง \(-1\) และ \(1\) เสมอ ในกรณีนี้ สามารถคำนวณโคไซน์สำหรับมุมและจำนวนใดๆ ก็ได้

โคไซน์ของทุกมุม

ด้วยวงกลมตัวเลขทำให้สามารถกำหนดโคไซน์ของมุมแหลมได้ไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงมุมป้าน ค่าลบ และค่ามากกว่า \ (360 ° \) (เลี้ยวเต็ม) ทำอย่างไร - ดูครั้งเดียวง่ายกว่าได้ยิน \(100\) ครั้งดังนั้นให้ดูภาพ

ตอนนี้คำอธิบาย: จำเป็นต้องกำหนดโคไซน์ของมุม KOAด้วยการวัดองศาใน \(150 °\) เรารวมจุด โอโดยมีจุดศูนย์กลางของวงกลมและด้านข้าง ตกลง- ด้วยแกน \(x\) หลังจากนั้น พัก \ (150 ° \) ทวนเข็มนาฬิกา แล้วพิกัดของจุด แต่จะแสดงโคไซน์ของมุมนี้ให้เราเห็น

ถ้าเราสนใจมุมที่มีหน่วยวัดองศา เช่น ใน \ (-60 ° \) (angle KOV) เราทำเช่นเดียวกัน แต่ \(60°\) กันตามเข็มนาฬิกา

และสุดท้าย มุมก็มากกว่า \(360°\) (มุม KOS) - ทุกอย่างคล้ายกับทื่อหลังจากหมุนตามเข็มนาฬิกาเต็มเท่านั้นเราไปรอบที่สองและ "รับการขาดองศา" โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในกรณีของเรา มุม \(405 °\) ถูกพล็อตเป็น \(360° + 45°\)

เดาได้ง่ายว่าการกันมุม ตัวอย่างเช่น ใน \ (960 ° \) คุณต้องหมุนสองครั้ง (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) และสำหรับมุมใน \ (2640 ° \) - ทั้งเจ็ด

เป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การจดจำว่า:

โคไซน์ของมุมฉากเป็นศูนย์ โคไซน์ของมุมป้านเป็นลบ

ป้ายโคไซน์ในไตรมาส

การใช้แกนโคไซน์ (ซึ่งก็คือแกน abscissa ที่เน้นด้วยสีแดงในรูป) ทำให้ง่ายต่อการกำหนดเครื่องหมายของโคไซน์ตามวงกลมตัวเลข (ตรีโกณมิติ):

โดยที่ค่าบนแกนมีตั้งแต่ \(0\) ถึง \(1\) โคไซน์จะมีเครื่องหมายบวก (ไตรมาส I และ IV เป็นพื้นที่สีเขียว)
- โดยที่ค่าบนแกนมีตั้งแต่ \(0\) ถึง \(-1\) โคไซน์จะมีเครื่องหมายลบ (ไตรมาสที่ II และ III - พื้นที่สีม่วง)

ตัวอย่าง. กำหนดเครื่องหมาย \(\cos 1\)
วิธีการแก้: มาหา \(1\) บนวงกลมตรีโกณมิติกันเถอะ เราจะเริ่มจากความจริงที่ว่า \ (π \u003d 3,14 \) ซึ่งหมายความว่าหนึ่งอยู่ใกล้ศูนย์ประมาณสามเท่า (จุด "เริ่มต้น")

หากเราวาดเส้นตั้งฉากกับแกนโคไซน์ จะเห็นได้ชัดว่า \(\cos⁡1\) เป็นค่าบวก
ตอบ: เป็นบวก.

ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ:

ฟังก์ชัน \(y=\cos(x)\)

หากเราพล็อตมุมเป็นเรเดียนตามแกน \(x\) และค่าโคไซน์ที่สัมพันธ์กับมุมเหล่านี้ตามแกน \(y\) เราจะได้กราฟต่อไปนี้:

กราฟนี้เรียกว่าและมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

โดเมนของคำจำกัดความคือค่าใดๆ ของ x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- ช่วงของค่า - จาก \(-1\) ถึง \(1\) รวม: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- คู่: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- เป็นระยะโดยมีจุด \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- จุดตัดกับแกนพิกัด:
abscissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), โดยที่ \(n ϵ Z\)
แกน y: \((0;1)\)
- ช่วงอักขระ:
ฟังก์ชันเป็นค่าบวกในช่วงเวลา: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \) โดยที่ \(n ϵ Z\)
ฟังก์ชันเป็นค่าลบในช่วงเวลา: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ) โดยที่ \(n ϵ Z\)
- ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง:
ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา: \((π+2πn;2π+2πn)\), โดยที่ \(n ϵ Z\)
ฟังก์ชั่นลดลงในช่วงเวลา: \((2πn;π+2πn)\), โดยที่ \(n ϵ Z\)
- maxima และ minima ของฟังก์ชัน:
ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด \(y=1\) ที่จุด \(x=2πn\) โดยที่ \(n ϵ Z\)
ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุด \(y=-1\) ที่จุด \(x=π+2πn\) โดยที่ \(n ϵ Z\)

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร จะช่วยให้คุณเข้าใจสามเหลี่ยมมุมฉาก

ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอะไร? ใช่แล้ว ด้านตรงข้ามมุมฉากและขา: ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก (ในตัวอย่าง นี่คือด้าน \ (AC \) ); ขาคือสองข้างที่เหลือ \ (AB \) และ \ (BC \) (ที่อยู่ติดกับมุมขวา) นอกจากนี้หากเราพิจารณาขาเทียบกับมุม \ (BC \) แล้วขา \ (AB \) คือขาที่อยู่ติดกัน และขา \ (BC \) อยู่ตรงข้าม ทีนี้ มาตอบคำถามกัน ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร?

ไซน์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

โคไซน์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ใกล้) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

มุมแทนเจนต์- นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) กับข้างเคียง (ใกล้)

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

โคแทนเจนต์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ใกล้) กับด้านตรงข้าม (ไกล)

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

คำจำกัดความเหล่านี้จำเป็น จดจำ! เพื่อให้จำง่ายขึ้นว่าหารด้วยอะไร คุณต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าใน แทนเจนต์และ โคแทนเจนต์มีเพียงขานั่งและด้านตรงข้ามมุมฉากจะปรากฏเฉพาะใน ไซนัสและ โคไซน์. จากนั้นคุณสามารถสร้างห่วงโซ่ของความสัมพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่นอันนี้:

โคไซน์→สัมผัส→สัมผัส→ที่อยู่ติดกัน;

โคแทนเจนต์→สัมผัส→สัมผัส→ที่อยู่ติดกัน

ประการแรก จำเป็นต้องจำไว้ว่า ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ในฐานะอัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านเหล่านี้ (ที่มุมเดียว) ไม่ไว้วางใจ? จากนั้นตรวจสอบให้แน่ใจโดยดูภาพ:

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาโคไซน์ของมุม \(\beta \) ตามคำจำกัดความจากรูปสามเหลี่ยม \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)แต่เราสามารถคำนวณโคไซน์ของมุม \(\beta \) จากสามเหลี่ยม \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). คุณเห็นไหม ความยาวของด้านต่างกัน แต่ค่าโคไซน์ของมุมหนึ่งเท่ากัน ดังนั้นค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์จึงขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น

หากคุณเข้าใจคำจำกัดความแล้ว ให้แก้ไขมันซะ!

สำหรับสามเหลี่ยม \(ABC \) แสดงในรูปด้านล่างเราพบ \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

อืม เข้าใจแล้ว? จากนั้นลองด้วยตัวคุณเอง: คำนวณมุมเดียวกัน \(\beta \)

คำตอบ: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

วงกลมหน่วย (ตรีโกณมิติ)

เมื่อเข้าใจแนวคิดของดีกรีและเรเดียน เราถือว่าวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ \ (1 \) . วงกลมดังกล่าวเรียกว่า เดี่ยว. มีประโยชน์มากในการศึกษาตรีโกณมิติ ดังนั้นเราจึงอาศัยรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อย

อย่างที่คุณเห็น วงกลมนี้สร้างขึ้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน รัศมีของวงกลมเท่ากับ 1 ในขณะที่จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกำเนิด ตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีจะคงที่ตามทิศทางบวกของแกน \(x \) (ในตัวอย่างของเรา นี่คือ รัศมี \(AB \) )

แต่ละจุดบนวงกลมสอดคล้องกับตัวเลขสองตัว: พิกัดตามแกน \(x \) และพิกัดตามแกน \(y \) พิกัดเหล่านี้คืออะไร? และโดยทั่วไปแล้ว พวกเขาจะทำอย่างไรกับหัวข้อที่มีอยู่? ในการทำเช่นนี้ ให้นึกถึงสามเหลี่ยมมุมฉากที่พิจารณาแล้ว ในรูปด้านบน คุณจะเห็นสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดสองรูป พิจารณาสามเหลี่ยม \(ACG \) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพราะ \(CG \) ตั้งฉากกับแกน \(x \)

\(\cos \ \alpha \) จากสามเหลี่ยมคืออะไร \(ACG \) ? ถูกตัอง \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). นอกจากนี้ เรารู้ว่า \(AC \) เป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย ดังนั้น \(AC=1 \) แทนค่านี้ลงในสูตรโคไซน์ของเรา นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

และอะไรคือ \(\sin \ \alpha \) จากสามเหลี่ยม \(ACG \) ? แน่นอนว่า \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! แทนค่าของรัศมี \ (AC \) ในสูตรนี้และรับ:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

ดังนั้นช่วยบอกหน่อยได้ไหมว่าพิกัดของจุดคืออะไร \(C \) ซึ่งเป็นของวงกลม? ไม่มีทาง? แต่ถ้าคุณรู้ว่า \(\cos \ \alpha \) และ \(\sin \alpha \) เป็นเพียงตัวเลขล่ะ \(\cos \alpha \) ตรงกับพิกัดใด แน่นอนว่าพิกัด \(x \) ! และ \(\sin \alpha \) ตรงกับพิกัดใด ถูกต้อง \(y \) พิกัด! ดังนั้นประเด็น \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

แล้วอะไรคือ \(tg \alpha \) และ \(ctg \alpha \) ? ใช่แล้ว ลองใช้คำจำกัดความที่เหมาะสมของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แล้วได้สิ่งนั้น \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), แ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

เกิดอะไรขึ้นถ้ามุมมีขนาดใหญ่ขึ้น? ตัวอย่างเช่นในภาพนี้:

มีอะไรเปลี่ยนแปลงในตัวอย่างนี้ ลองคิดออก ในการทำเช่นนี้ เราหันไปหาสามเหลี่ยมมุมฉากอีกครั้ง พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : มุม (อยู่ติดกับมุม \(\beta \) ) ค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุมมีค่าเท่าใด \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? ถูกต้อง เราปฏิบัติตามคำจำกัดความที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

อย่างที่คุณเห็น ค่าของไซน์ของมุมยังคงสอดคล้องกับพิกัด \ (y \) ; ค่าของโคไซน์ของมุม - พิกัด \ (x \) ; และค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในอัตราส่วนที่สอดคล้องกัน ดังนั้น ความสัมพันธ์เหล่านี้จึงใช้ได้กับการหมุนของเวกเตอร์รัศมี

มีการกล่าวไว้แล้วว่าตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีอยู่ในทิศทางบวกของแกน \(x \) จนถึงตอนนี้ เราหมุนเวกเตอร์นี้ทวนเข็มนาฬิกาแล้ว แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราหมุนมันตามเข็มนาฬิกา? ไม่มีอะไรพิเศษ คุณจะได้มุมที่มีขนาดที่แน่นอน แต่มันจะเป็นลบเท่านั้น ดังนั้น เมื่อหมุนเวกเตอร์รัศมีทวนเข็มนาฬิกา เราจะได้ มุมบวกและเมื่อหมุนตามเข็มนาฬิกา - เชิงลบ.

ดังนั้น เรารู้ว่าการปฏิวัติทั้งหมดของเวกเตอร์รัศมีรอบวงกลมคือ \(360()^\circ \) หรือ \(2\pi \) เป็นไปได้ไหมที่จะหมุนเวกเตอร์รัศมีโดย \(390()^\circ \) หรือโดย \(-1140()^\circ \) ? แน่นอนคุณทำได้! ในกรณีแรก \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)ดังนั้นเวกเตอร์รัศมีจะทำการหมุนเต็มหนึ่งครั้งและหยุดที่ \(30()^\circ \) หรือ \(\dfrac(\pi )(6) \)

ในกรณีที่สอง \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)นั่นคือเวกเตอร์รัศมีจะทำการหมุนครบสามครั้งและหยุดที่ตำแหน่ง \(-60()^\circ \) หรือ \(-\dfrac(\pi )(3) \)

ดังนั้น จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่ามุมที่แตกต่างกันโดย \(360()^\circ \cdot m \) หรือ \(2\pi \cdot m \) (โดยที่ \(m \) เป็นจำนวนเต็มใดๆ ) สอดคล้องกับตำแหน่งเดียวกันของเวกเตอร์รัศมี

รูปด้านล่างแสดงมุม \(\beta =-60()^\circ \) ภาพเดียวกันตรงกับมุม \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)เป็นต้น รายการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่มีกำหนด มุมทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ด้วยสูตรทั่วไป \(\beta +360()^\circ \cdot m\)หรือ \(\beta +2\pi \cdot m \) (โดยที่ \(m \) เป็นจำนวนเต็มใดๆ)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

ตอนนี้เมื่อทราบคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานและการใช้วงกลมหน่วยแล้ว ให้ลองตอบคำถามว่าค่าใดเท่ากับ:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

นี่คือวงกลมหน่วยที่จะช่วยคุณ:

ความยากลำบากใด ๆ ? แล้วมาคิดกัน ดังนั้นเราจึงรู้ว่า:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(อาร์เรย์) \)

จากที่นี่ เราจะกำหนดพิกัดของจุดที่สอดคล้องกับการวัดมุมบางอย่าง มาเริ่มกันตามลำดับ: มุมใน \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด \(\left(0;1 \right) \) ดังนั้น:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ไม่ได้อยู่;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

นอกจากนี้ ตามตรรกะเดียวกัน เราจะพบว่ามุมใน \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )ตรงกับจุดที่มีพิกัด \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \)ตามลำดับ เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว ก็สามารถกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จุดที่เกี่ยวข้องได้ง่าย ลองด้วยตัวคุณเองก่อนแล้วจึงตรวจสอบคำตอบ

คำตอบ:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ไม่ได้อยู่

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ไม่ได้อยู่

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ไม่ได้อยู่

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ไม่ได้อยู่

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างตารางต่อไปนี้:

ไม่จำเป็นต้องจำค่าเหล่านี้ทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะจำความสอดคล้องระหว่างพิกัดของจุดบนวงกลมหน่วยและค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(จำเป็นต้องจำหรือสามารถส่งออกได้!! \) !}

และนี่คือค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในและ \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)ในตารางด้านล่าง คุณต้องจำไว้ว่า:

ไม่ต้องกลัว ตอนนี้เราจะแสดงตัวอย่างหนึ่งของการท่องจำค่าที่สอดคล้องกันอย่างง่าย:

ในการใช้วิธีนี้ จำเป็นต้องจำค่าไซน์สำหรับการวัดมุมทั้งสาม ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)) เช่นเดียวกับค่าของแทนเจนต์ของมุมใน \(30()^\circ \) เมื่อทราบค่า \(4\) เหล่านี้แล้ว มันค่อนข้างง่ายที่จะกู้คืนทั้งตาราง - ค่าโคไซน์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศร นั่นคือ:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(อาร์เรย์) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)รู้อย่างนี้แล้วสามารถเรียกคืนค่าสำหรับ \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). ตัวเศษ “\(1 \) ” จะจับคู่ \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) และตัวส่วน “\(\sqrt(\text(3)) \) ” จะจับคู่ \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) ค่าโคแทนเจนต์จะถูกโอนตามลูกศรที่แสดงในรูป หากคุณเข้าใจสิ่งนี้และจำรูปแบบที่มีลูกศรก็เพียงพอที่จะจำค่า \(4 \) จากตารางเท่านั้น

พิกัดของจุดบนวงกลม

เป็นไปได้ไหมที่จะหาจุด (พิกัดของมัน) บนวงกลม โดยรู้พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมี และมุมของการหมุน แน่นอนคุณทำได้! มาหาสูตรทั่วไปเพื่อหาพิกัดของจุดกัน ตัวอย่างเช่น เรามีวงกลมดังกล่าว:

เราได้รับจุดนั้น \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมคือ \(1,5 \) จำเป็นต้องหาพิกัดของจุด \(P \) ที่ได้จากการหมุนจุด \(O \) โดย \(\delta \) องศา

ดังที่เห็นได้จากรูป พิกัด \ (x \) ของจุด \ (P \) สอดคล้องกับความยาวของส่วน \ (TP=UQ=UK+KQ \) ความยาวของส่วน \ (UK \) สอดคล้องกับพิกัด \ (x \) ของจุดศูนย์กลางของวงกลมนั่นคือเท่ากับ \ (3 \) . ความยาวของเซ็กเมนต์ \(KQ \) สามารถแสดงได้โดยใช้คำจำกัดความของโคไซน์:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

จากนั้นเราก็มีจุด \(P \) พิกัด \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

ด้วยเหตุผลเดียวกัน เราจะพบค่าของพิกัด y สำหรับจุด \(P \) ทางนี้,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

ดังนั้น โดยทั่วไปแล้ว พิกัดของจุดจะถูกกำหนดโดยสูตร:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \เดลต้า \end(อาร์เรย์) \), ที่ไหน

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม

\(r\) - รัศมีวงกลม

\(\delta \) - มุมการหมุนของรัศมีเวกเตอร์

อย่างที่คุณเห็น สำหรับวงกลมหนึ่งหน่วยที่เรากำลังพิจารณา สูตรเหล่านี้จะลดลงอย่างมาก เนื่องจากพิกัดของจุดศูนย์กลางเป็นศูนย์ และรัศมีเท่ากับหนึ่ง:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

โคไซน์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รู้จักกันดี ซึ่งเป็นหนึ่งในหน้าที่หลักของตรีโกณมิติ โคไซน์ของมุมในสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ส่วนใหญ่แล้ว คำจำกัดความของโคไซน์จะสัมพันธ์กับรูปสามเหลี่ยมที่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพอดี แต่มันก็เกิดขึ้นเช่นกันว่ามุมที่จำเป็นในการคำนวณโคไซน์ในรูปสามเหลี่ยมของประเภทสี่เหลี่ยมนั้นไม่ได้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมประเภทสี่เหลี่ยมนี้ แล้วจะทำอย่างไร? จะหาโคไซน์ของมุมของสามเหลี่ยมได้อย่างไร?

หากคุณต้องการคำนวณโคไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทุกอย่างก็ง่ายมาก คุณแค่ต้องจำคำจำกัดความของโคไซน์ ซึ่งก็คือคำตอบของปัญหานี้ คุณแค่ต้องหาอัตราส่วนที่เท่ากันระหว่างขาที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ที่จริงแล้ว มันไม่ยากที่จะแสดงโคไซน์ของมุมในที่นี้ สูตรมีลักษณะดังนี้: - cosα = a/c โดยที่ "a" คือความยาวของขา และด้าน "c" ตามลำดับ คือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ตัวอย่างเช่น สามารถหาโคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากได้โดยใช้สูตรนี้

หากคุณสนใจว่าโคไซน์ของมุมในสามเหลี่ยมใดๆ มีค่าเท่ากับเท่าใด ทฤษฎีบทโคไซน์ก็เข้ามาช่วยเหลือ ซึ่งควรใช้ในกรณีดังกล่าว ทฤษฎีบทโคไซน์ระบุว่ากำลังสองของด้านของสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านอื่นๆ ของสามเหลี่ยมเดียวกัน แต่ไม่มีผลคูณของด้านเหล่านี้สองเท่าด้วยโคไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่าง พวกเขา.

1. หากคุณต้องการหาโคไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยม คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab)
2. หากจำเป็นต้องหาโคไซน์ของมุมป้านในรูปสามเหลี่ยม คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab) การกำหนดในสูตร - a และ b - คือความยาวของด้านที่อยู่ติดกับมุมที่ต้องการ c คือความยาวของด้านที่ตรงข้ามกับมุมที่ต้องการ

นอกจากนี้ โคไซน์ของมุมสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทไซน์ มันบอกว่าทุกด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมที่อยู่ตรงข้าม เมื่อใช้ทฤษฎีบทไซน์ คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบที่เหลือของสามเหลี่ยม โดยรู้เพียงสองด้านและมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านหนึ่งหรือสองมุมและด้านเดียว ขอ​พิจารณา​ตัว​อย่าง. เงื่อนไขปัญหา: a=1; ข=2; ค=3 มุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้าน "A" เราแสดงว่า - α จากนั้นตามสูตร เราได้: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. คำตอบ: 1.

หากไม่จำเป็นต้องคำนวณโคไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยม แต่ในรูปเรขาคณิตตามอำเภอใจอื่น ๆ ทุกอย่างจะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย ค่าของมุมจะต้องกำหนดเป็นเรเดียนหรือองศาก่อน จากนั้นจึงคำนวณโคไซน์จากค่านี้เท่านั้น โคไซน์ด้วยค่าตัวเลขถูกกำหนดโดยใช้ตาราง Bradis เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมหรือแอปพลิเคชันทางคณิตศาสตร์พิเศษ

แอปพลิเคชันทางคณิตศาสตร์พิเศษอาจมีฟังก์ชันต่างๆ เช่น การคำนวณโคไซน์ของมุมในรูปที่กำหนดโดยอัตโนมัติ ความงามของแอปพลิเคชันดังกล่าวคือให้คำตอบที่ถูกต้องและผู้ใช้ไม่ใช้เวลาในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนในบางครั้ง ในทางกลับกัน ด้วยการใช้แอปพลิเคชันเฉพาะในการแก้ปัญหาอย่างต่อเนื่อง ทักษะทั้งหมดในการทำงานกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในการค้นหาโคไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมตลอดจนตัวเลขตามอำเภอใจอื่นๆ จะหายไป

หนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เด็กนักเรียนสามารถรับมือกับปัญหาที่ใหญ่ที่สุดคือตรีโกณมิติ ไม่น่าแปลกใจ: เพื่อที่จะเชี่ยวชาญด้านความรู้นี้อย่างอิสระ คุณต้องมีความคิดเชิงพื้นที่ ความสามารถในการค้นหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์โดยใช้สูตร ลดความซับซ้อนของนิพจน์ และสามารถใช้ตัวเลข pi ในการคำนวณได้ นอกจากนี้ คุณต้องสามารถใช้ตรีโกณมิติในการพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ และต้องใช้หน่วยความจำทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาแล้วหรือความสามารถในการอนุมานโซ่ตรวนเชิงตรรกะที่ซับซ้อน

ที่มาของตรีโกณมิติ

ความคุ้นเคยกับวิทยาศาสตร์นี้ควรเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม แต่ก่อนอื่น คุณต้องคิดก่อนว่าตรีโกณมิติทำอะไรโดยทั่วไป

ในอดีต สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นเป้าหมายหลักของการศึกษาในสาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้ การมีมุม 90 องศาทำให้สามารถดำเนินการต่างๆ ที่อนุญาตให้กำหนดค่าของพารามิเตอร์ทั้งหมดของรูปที่พิจารณาโดยใช้สองด้านและหนึ่งมุมหรือสองมุมและด้านเดียว ในอดีต ผู้คนสังเกตเห็นรูปแบบนี้และเริ่มใช้มันอย่างแข็งขันในการก่อสร้างอาคาร การนำทาง ดาราศาสตร์ และแม้แต่งานศิลปะ

ระยะแรก

ในขั้นต้น ผู้คนพูดถึงความสัมพันธ์ของมุมและด้านโดยเฉพาะในตัวอย่างของสามเหลี่ยมมุมฉาก จากนั้นจึงค้นพบสูตรพิเศษที่ทำให้สามารถขยายขอบเขตการใช้งานในชีวิตประจำวันของคณิตศาสตร์หมวดนี้

การศึกษาตรีโกณมิติที่โรงเรียนในวันนี้เริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หลังจากนั้นนักเรียนจะใช้ความรู้ที่ได้รับในวิชาฟิสิกส์และการแก้สมการตรีโกณมิตินามธรรม ซึ่งเริ่มทำงานในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย

ตรีโกณมิติทรงกลม

ต่อมา เมื่อวิทยาศาสตร์ไปถึงการพัฒนาในระดับต่อไป สูตรที่มีไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์เริ่มถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตทรงกลม ซึ่งใช้กฎอื่น และผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมมักจะมากกว่า 180 องศาเสมอ ส่วนนี้ไม่มีการศึกษาที่โรงเรียน แต่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของมัน อย่างน้อยก็เพราะพื้นผิวโลกและพื้นผิวของดาวเคราะห์ดวงอื่นมีลักษณะนูน ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายพื้นผิวใดๆ จะ "มีรูปทรงโค้ง" ใน พื้นที่สามมิติ

ใช้โลกและด้าย ติดด้ายกับจุดสองจุดใดๆ ในโลกเพื่อให้ตึง ให้ความสนใจ - ได้รับรูปร่างของส่วนโค้ง ด้วยรูปแบบดังกล่าวที่เรขาคณิตทรงกลมซึ่งใช้ใน geodesy ดาราศาสตร์และสาขาทฤษฎีและประยุกต์อื่น ๆ ข้อตกลง

สามเหลี่ยมมุมฉาก

เมื่อได้เรียนรู้เล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการใช้ตรีโกณมิติแล้ว ให้กลับไปที่ตรีโกณมิติพื้นฐานเพื่อทำความเข้าใจเพิ่มเติมว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์คืออะไร การคำนวณใดที่สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ และต้องใช้สูตรใด

ขั้นตอนแรกคือการทำความเข้าใจแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉาก อย่างแรก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุม 90 องศา เธอเป็นคนที่ยาวที่สุด เราจำได้ว่า ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ค่าตัวเลขของมันเท่ากับรากของผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น ถ้าสองด้านเป็น 3 และ 4 เซนติเมตรตามลำดับ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็น 5 เซนติเมตร อย่างไรก็ตาม ชาวอียิปต์โบราณรู้เรื่องนี้เมื่อสี่พันห้าพันปีก่อน

อีกสองด้านที่เหลือที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา นอกจากนี้ เราต้องจำไว้ว่าผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคือ 180 องศา

คำนิยาม

สุดท้าย ด้วยความเข้าใจอย่างถ่องแท้ของฐานเรขาคณิต เราสามารถเปลี่ยนนิยามของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมได้

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (กล่าวคือ ด้านตรงข้ามมุมที่ต้องการ) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

จำไว้ว่าทั้งไซน์และโคไซน์ไม่สามารถมากกว่าหนึ่งได้! ทำไม เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวที่สุดโดยปริยาย ไม่ว่าขาจะยาวแค่ไหน ขาจะสั้นกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากจะน้อยกว่าหนึ่งเสมอ ดังนั้น หากคุณได้ไซน์หรือโคไซน์ที่มีค่ามากกว่า 1 ในคำตอบของปัญหา ให้มองหาข้อผิดพลาดในการคำนวณหรือการใช้เหตุผล คำตอบนี้ผิดอย่างชัดเจน

สุดท้าย แทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด ผลลัพธ์เดียวกันจะให้การหารไซน์ด้วยโคไซน์ ดู: ตามสูตร เราหารความยาวของด้านด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก หลังจากนั้นเราหารด้วยความยาวของด้านที่สองแล้วคูณด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นเราจึงได้อัตราส่วนเดียวกับในนิยามแทนเจนต์

โคแทนเจนต์ตามลำดับคืออัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกับมุมกับด้านตรงข้าม เราได้ผลลัพธ์เดียวกันโดยหารหน่วยด้วยแทนเจนต์

ดังนั้น เราได้พิจารณาคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ และเราสามารถจัดการกับสูตรได้

สูตรที่ง่ายที่สุด

ในตรีโกณมิติเราไม่สามารถทำโดยไม่มีสูตรได้ - จะหาไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ได้อย่างไรหากไม่มีพวกมัน? และนี่คือสิ่งที่จำเป็นในการแก้ปัญหา

สูตรแรกที่คุณต้องรู้เมื่อเริ่มศึกษาตรีโกณมิติกล่าวว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งมีค่าเท่ากับหนึ่ง สูตรนี้เป็นผลโดยตรงของทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่จะช่วยประหยัดเวลาหากคุณต้องการทราบค่าของมุม ไม่ใช่ด้าน

นักเรียนหลายคนจำสูตรที่สองไม่ได้ ซึ่งเป็นที่นิยมอย่างมากในการแก้ปัญหาของโรงเรียน: ผลรวมของหนึ่งกับกำลังสองของแทนเจนต์ของมุมหนึ่งเท่ากับหนึ่งหารด้วยกำลังสองของโคไซน์ของมุม พิจารณาให้ละเอียดยิ่งขึ้น: ท้ายที่สุด นี่เป็นข้อความเดียวกับในสูตรแรก เฉพาะทั้งสองด้านของเอกลักษณ์เท่านั้นที่ถูกหารด้วยกำลังสองของโคไซน์ ปรากฎว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายทำให้ไม่สามารถจดจำสูตรตรีโกณมิติได้อย่างสมบูรณ์ ข้อควรจำ: การรู้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์คืออะไร กฎการแปลงและสูตรพื้นฐานสองสามสูตร คุณสามารถรับสูตรที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งจำเป็นบนกระดาษแผ่นหนึ่งได้อย่างอิสระ

สูตรมุมคู่และการเพิ่มอาร์กิวเมนต์

อีกสองสูตรที่คุณต้องเรียนรู้เกี่ยวข้องกับค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับผลรวมและความแตกต่างของมุม จะแสดงในรูปด้านล่าง โปรดทราบว่าในกรณีแรก ไซน์และโคไซน์จะถูกคูณทั้งสองครั้ง และในกรณีที่สอง ผลคูณคู่ของไซน์และโคไซน์จะถูกเพิ่มเข้าไป

นอกจากนี้ยังมีสูตรที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์แบบมุมคู่ พวกมันได้มาจากอันที่แล้วทั้งหมด - ในทางปฏิบัติ พยายามหามันด้วยตัวเอง โดยหามุมของอัลฟ่าเท่ากับมุมของเบตา

สุดท้าย โปรดทราบว่าสูตรมุมคู่สามารถแปลงเพื่อลดระดับของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์อัลฟา

ทฤษฎีบท

สองทฤษฎีบทหลักในตรีโกณมิติพื้นฐานคือทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทโคไซน์ ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบทเหล่านี้ คุณสามารถเข้าใจวิธีการหาไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ และดังนั้น พื้นที่ของรูปและขนาดของแต่ละด้าน เป็นต้น

ทฤษฎีบทไซน์ระบุว่าจากการหารความยาวของแต่ละด้านของสามเหลี่ยมด้วยค่าของมุมตรงข้าม เราได้จำนวนเท่ากัน ยิ่งกว่านั้น ตัวเลขนี้จะเท่ากับรัศมีสองรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ นั่นคือ วงกลมที่มีจุดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมที่ให้มา

ทฤษฎีบทโคไซน์สรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยฉายลงบนสามเหลี่ยมใดๆ ปรากฎว่าจากผลรวมของกำลังสองของทั้งสองข้าง ลบผลคูณของมันคูณด้วยโคไซน์คู่ของมุมที่อยู่ติดกับพวกมัน - ค่าที่ได้จะเท่ากับกำลังสองของด้านที่สาม ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงกลายเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทโคไซน์

ผิดพลาดเพราะไม่ตั้งใจ

แม้จะรู้ว่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์คืออะไร ก็ยังง่ายที่จะทำผิดพลาดเนื่องจากขาดสมาธิหรือข้อผิดพลาดในการคำนวณที่ง่ายที่สุด เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดลองทำความคุ้นเคยกับสิ่งที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

อันดับแรก คุณไม่ควรแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยมจนกว่าจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย - คุณสามารถปล่อยให้คำตอบเป็นเศษส่วนธรรมดา เว้นแต่เงื่อนไขจะระบุไว้เป็นอย่างอื่น การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่สามารถเรียกได้ว่าเป็นความผิดพลาด แต่ควรจำไว้ว่าในแต่ละขั้นตอนของปัญหาอาจมีรากใหม่ปรากฏขึ้นซึ่งตามความคิดของผู้เขียนควรลดลง ในกรณีนี้ คุณจะเสียเวลากับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ไม่จำเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าต่างๆ เช่น รากของสามหรือสอง เพราะมันเกิดขึ้นในงานทุกขั้นตอน เช่นเดียวกับการปัดเศษตัวเลข "น่าเกลียด"

นอกจากนี้ โปรดทราบว่าทฤษฎีบทโคไซน์ใช้กับสามเหลี่ยมใดๆ แต่ไม่ใช่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส! หากคุณลืมลบผลคูณของด้านคูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างกันโดยไม่ได้ตั้งใจ คุณจะไม่เพียงแค่ได้ผลลัพธ์ที่ผิดทั้งหมด แต่ยังแสดงให้เห็นถึงความเข้าใจผิดทั้งหมดเกี่ยวกับตัวแบบด้วย นี้เลวร้ายยิ่งกว่าความผิดพลาดประมาท

ประการที่สาม อย่าสับสนค่าของมุม 30 และ 60 องศาสำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ จำค่าเหล่านี้ไว้ เพราะไซน์ของ 30 องศา เท่ากับโคไซน์ของ 60 และในทางกลับกัน มันง่ายที่จะผสมเข้าด้วยกันซึ่งเป็นผลมาจากการที่คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ผิดพลาดอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

แอปพลิเคชัน

นักเรียนหลายคนไม่รีบร้อนที่จะเริ่มเรียนตรีโกณมิติเพราะพวกเขาไม่เข้าใจความหมายที่ประยุกต์ใช้ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์สำหรับวิศวกรหรือนักดาราศาสตร์คืออะไร? สิ่งเหล่านี้เป็นแนวคิดที่ทำให้คุณสามารถคำนวณระยะทางไปยังดาวฤกษ์ที่อยู่ห่างไกล ทำนายการตกของอุกกาบาต ส่งยานสำรวจไปยังดาวเคราะห์ดวงอื่นได้ หากไม่มีสิ่งเหล่านี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างอาคาร ออกแบบรถยนต์ คำนวณน้ำหนักบนพื้นผิวหรือวิถีของวัตถุ และนี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุด! ท้ายที่สุดแล้วตรีโกณมิติในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งถูกใช้ทุกที่ตั้งแต่ดนตรีไปจนถึงการแพทย์

ในที่สุด

คุณก็คือไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ คุณสามารถใช้มันในการคำนวณและแก้ปัญหาของโรงเรียนได้สำเร็จ

สาระสำคัญทั้งหมดของตรีโกณมิติทำให้ต้องคำนวณพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักจากพารามิเตอร์ที่รู้จักของรูปสามเหลี่ยม มีพารามิเตอร์ทั้งหมดหกตัว: ความยาวของสามด้านและขนาดของสามมุม ความแตกต่างทั้งหมดในงานอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่ามีการให้ข้อมูลอินพุตที่แตกต่างกัน

วิธีหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์จากความยาวของขาหรือด้านตรงข้ามมุมฉากที่ทราบ ตอนนี้คุณรู้แล้ว เนื่องจากคำศัพท์เหล่านี้ไม่ได้มีความหมายอะไรมากไปกว่าอัตราส่วน และอัตราส่วนก็คือเศษส่วน เป้าหมายหลักของปัญหาตรีโกณมิติคือการหารากของสมการธรรมดาหรือระบบสมการ และที่นี่คุณจะได้รับความช่วยเหลือจากคณิตศาสตร์ของโรงเรียนทั่วไป

แนวคิดของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นหมวดหมู่หลักของตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ และมีการเชื่อมโยงอย่างแยกไม่ออกกับคำจำกัดความของมุม การครอบครองวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์นี้จำเป็นต้องมีการท่องจำและความเข้าใจในสูตรและทฤษฎีบทตลอดจนการพัฒนาการคิดเชิงพื้นที่ นั่นคือเหตุผลที่การคำนวณตรีโกณมิติมักสร้างปัญหาให้กับเด็กนักเรียนและนักเรียน เพื่อเอาชนะสิ่งเหล่านี้ คุณควรทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและสูตรมากขึ้น

แนวคิดในวิชาตรีโกณมิติ

เพื่อให้เข้าใจแนวคิดพื้นฐานของตรีโกณมิติ ก่อนอื่นคุณต้องตัดสินใจว่าสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมในวงกลมคืออะไร และเหตุใดการคำนวณตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดจึงเกี่ยวข้องกับสิ่งเหล่านี้ สามเหลี่ยมที่มุมใดมุมหนึ่งเท่ากับ 90 องศา เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในอดีต บุคคลนี้มักใช้ตัวเลขนี้ในด้านสถาปัตยกรรม การนำทาง ศิลปะ ดาราศาสตร์ ดังนั้นการศึกษาและวิเคราะห์คุณสมบัติของตัวเลขนี้ผู้คนจึงมาคำนวณอัตราส่วนที่สอดคล้องกันของพารามิเตอร์

หมวดหมู่หลักที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉากและขา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก ขาตามลำดับคืออีกสองข้าง ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ จะเท่ากับ 180 องศาเสมอ

ตรีโกณมิติทรงกลมเป็นส่วนหนึ่งของตรีโกณมิติที่ไม่ได้เรียนที่โรงเรียน แต่ในวิทยาศาสตร์ประยุกต์เช่นดาราศาสตร์และมาตร นักวิทยาศาสตร์ใช้ตรีโกณมิติ คุณลักษณะของสามเหลี่ยมในตรีโกณมิติทรงกลมคือมันมีผลรวมของมุมที่มากกว่า 180 องศาเสมอ

มุมของสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามมุมที่ต้องการกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ดังนั้น โคไซน์คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค่าทั้งสองนี้มีค่าน้อยกว่าหนึ่งเสมอ เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากยาวกว่าขาเสมอ

แทนเจนต์ของมุมคือค่าเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกันของมุมที่ต้องการ หรือไซน์ต่อโคไซน์ ในทางกลับกัน โคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันของมุมที่ต้องการกับกระบองเพชรตรงข้าม โคแทนเจนต์ของมุมสามารถหาได้จากการหารหน่วยด้วยค่าของแทนเจนต์

วงกลมหน่วย

วงกลมหนึ่งหน่วยในเรขาคณิตคือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่ง วงกลมดังกล่าวถูกสร้างขึ้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดยมีจุดศูนย์กลางของวงกลมประจวบกับจุดกำเนิด และตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีถูกกำหนดโดยทิศทางบวกของแกน X (แกน abscissa) แต่ละจุดของวงกลมมีสองพิกัด: XX และ YY นั่นคือพิกัดของ abscissa และพิกัด การเลือกจุดใดก็ได้บนวงกลมในระนาบ XX และวางแนวตั้งฉากจากจุดนั้นไปยังแกน abscissa เราจะได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากรัศมีถึงจุดที่เลือก (ให้เราแทนด้วยตัวอักษร C) ซึ่งตั้งฉากกับ แกน X (จุดตัดแสดงด้วยตัวอักษร G) และส่วนของแกน abscissa ระหว่างจุดกำเนิด (จุดแสดงด้วยตัวอักษร A) และจุดตัด G สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่จารึกไว้ วงกลม โดยที่ AG คือด้านตรงข้ามมุมฉาก และ AC และ GC คือขา มุมระหว่างรัศมีของวงกลม AC และส่วนของแกน abscissa ด้วยการกำหนด AG เรากำหนดเป็น α (อัลฟา) ดังนั้น cos α = AG/AC เนื่องจาก AC เป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย และเท่ากับหนึ่ง จึงกลายเป็นว่า cos α=AG ในทำนองเดียวกัน บาป α=CG

นอกจากนี้ เมื่อทราบข้อมูลเหล่านี้แล้ว ก็สามารถกำหนดพิกัดของจุด C บนวงกลมได้ เนื่องจาก cos α=AG และ sin α=CG ซึ่งหมายความว่าจุด C มีพิกัดที่กำหนด (cos α; sin α) เมื่อรู้ว่าแทนเจนต์เท่ากับอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ เราสามารถระบุได้ว่า tg α \u003d y / x และ ctg α \u003d x / y เมื่อพิจารณามุมในระบบพิกัดเชิงลบ เราสามารถคำนวณได้ว่าค่าไซน์และโคไซน์ของบางมุมสามารถเป็นค่าลบได้

การคำนวณและสูตรพื้นฐาน

ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เมื่อพิจารณาถึงแก่นแท้ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผ่านวงกลมหน่วย เราสามารถหาค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ในบางมุมได้ ค่าต่างๆ แสดงอยู่ในตารางด้านล่าง

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

สมการที่มีค่าไม่ทราบค่าภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติเรียกว่าตรีโกณมิติ อัตลักษณ์ที่มีค่า sin x = α, k เป็นจำนวนเต็มใดๆ:

1. บาป x = 0, x = πk
2. 2. บาป x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk
3. บาป x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk
4. บาป x = a, |a| > 1 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
5. บาป x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk

เอกลักษณ์ที่มีค่า cos x = a โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk
4. cos x = a, |a| > 1 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk

อัตลักษณ์ที่มีค่า tg x = a โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk

เอกลักษณ์ที่มีค่า ctg x = a โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk

สูตรหล่อ

สูตรคงที่ในหมวดหมู่นี้แสดงถึงวิธีการที่คุณสามารถเปลี่ยนจากฟังก์ชันตรีโกณมิติของแบบฟอร์มไปเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ นั่นคือ แปลงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมของค่าใดๆ ให้เป็นตัวบ่งชี้ที่สอดคล้องกันของมุมของ ช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศาเพื่อความสะดวกในการคำนวณ

สูตรการลดฟังก์ชันสำหรับไซน์ของมุมมีลักษณะดังนี้:

• บาป(900 - α) = α;
• บาป(900 + α) = cos α;
• บาป(1800 - α) = บาป α;
• บาป(1800 + α) = -บาป α;
• บาป(2700 - α) = -cos α;
• บาป(2700 + α) = -cos α;
• บาป(3600 - α) = -บาป α;
• บาป (3600 + α) = บาป α

สำหรับโคไซน์ของมุม:

• cos(900 - α) = บาป α;
• cos(900 + α) = -บาป α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -บาป α;
• cos(2700 + α) = บาป α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α

การใช้สูตรข้างต้นเป็นไปได้ภายใต้กฎสองข้อ อย่างแรก หากสามารถแสดงมุมเป็นค่า (π/2 ± a) หรือ (3π/2 ± a) ได้ ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป:

• จากบาปเป็นคอส;
• จากคอสถึงบาป
• จาก tg ถึง ctg;
• จาก ctg ถึง tg

ค่าของฟังก์ชันยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหากมุมสามารถแสดงเป็น (π ± a) หรือ (2π ± a)

ประการที่สอง เครื่องหมายของฟังก์ชันรีดิวซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง: หากเป็นค่าบวกในตอนแรก ค่าจะยังคงเป็นเช่นนั้น เช่นเดียวกับฟังก์ชันเชิงลบ

สูตรเสริม

สูตรเหล่านี้แสดงค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของผลรวมและผลต่างของมุมการหมุนสองมุมในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ มุมมักจะแสดงเป็น α และ β

สูตรมีลักษณะดังนี้:

1. บาป(α ± β) = บาป α * cos β ± cos α * บาป
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ บาป α * บาป
3. ตาล(α ± β) = (แทน α ± tan β) / (1 ∓ แทน α * แทน β)
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β)

สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับมุม α และ β ใดๆ

สูตรมุมคู่และสามเท่า

สูตรตรีโกณมิติของมุมคู่และสามมุมเป็นสูตรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของมุม 2α และ 3α ตามลำดับ กับฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม α มาจากสูตรบวก:

1. sin2α = 2sinα*cosα
2. cos2α = 1 - 2sin^2α
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α)
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α)

เปลี่ยนจากผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์

เมื่อพิจารณาว่า 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) ทำให้สูตรนี้ง่ายขึ้น เราจะได้เอกลักษณ์ sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 ในทำนองเดียวกัน sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * บาป(α − β)/2; tgα + tgβ = บาป(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = บาป(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α)

การเปลี่ยนจากผลิตภัณฑ์เป็นผลรวม

สูตรเหล่านี้ติดตามจากข้อมูลเฉพาะสำหรับการเปลี่ยนผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์:

• บาปα * บาปβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• บาปα * cosβ = 1/2*

สูตรลด

ในอัตลักษณ์เหล่านี้ กำลังสองและกำลังสองของไซน์และโคไซน์สามารถแสดงในรูปของไซน์และโคไซน์ของกำลังแรกของหลายมุม:

• บาป^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• บาป^3 α = (3 * บาปα - บาป3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• บาป^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8

การทดแทนสากล

สูตรการแทนที่ตรีโกณมิติสากลแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของแทนเจนต์ของครึ่งมุม

• บาป x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2) ในขณะที่ x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2) โดยที่ x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2) โดยที่ x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2) ในขณะที่ x \u003d π + 2πn

กรณีพิเศษ

กรณีเฉพาะของสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดแสดงไว้ด้านล่าง (k คือจำนวนเต็มใดๆ)

ส่วนตัวสำหรับไซน์:

ผลหารโคไซน์:

ส่วนตัวสำหรับแทนเจนต์:

ผลหารโคแทนเจนต์:

ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทไซน์

ทฤษฎีบทมีสองเวอร์ชัน - แบบง่ายและขยาย ทฤษฎีบทไซน์อย่างง่าย: a/sin α = b/sin β = c/sin γ ในกรณีนี้ a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม และ α, β, γ เป็นมุมตรงข้ามตามลำดับ

ทฤษฎีบทไซน์ขยายสำหรับสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R ในอัตลักษณ์นี้ R หมายถึงรัศมีของวงกลมที่รูปสามเหลี่ยมที่ระบุถูกจารึกไว้

ทฤษฎีบทโคไซน์

ข้อมูลประจำตัวจะแสดงในลักษณะนี้: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α ในสูตร a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม และ α คือมุมตรงข้ามกับด้าน a

ทฤษฎีบทแทนเจนต์

สูตรนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์ของมุมสองมุมกับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านข้างมีป้ายกำกับว่า a, b, c และมุมตรงข้ามกันคือ α, β, γ สูตรของทฤษฎีบทแทนเจนต์: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2)

ทฤษฎีบทโคแทนเจนต์

เชื่อมโยงรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมกับความยาวของด้าน ถ้า a, b, c เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยม และ A, B, C เป็นมุมตรงข้ามกันตามลำดับ r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ และ p คือครึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม ข้อมูลประจำตัวต่อไปนี้ ถือ:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (pb)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

แอปพลิเคชั่น

ตรีโกณมิติไม่ได้เป็นเพียงศาสตร์เชิงทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับสูตรทางคณิตศาสตร์เท่านั้น คุณสมบัติ ทฤษฎีและกฎของมันถูกใช้ในทางปฏิบัติโดยกิจกรรมของมนุษย์ในสาขาต่างๆ - ดาราศาสตร์ การเดินเรือทางอากาศและทางทะเล ทฤษฎีดนตรี มาตร เคมี อะคูสติก ทัศนศาสตร์ อิเล็กทรอนิกส์ สถาปัตยกรรม เศรษฐศาสตร์ วิศวกรรมเครื่องกล งานวัด คอมพิวเตอร์กราฟิก การทำแผนที่สมุทรศาสตร์และอื่น ๆ อีกมากมาย

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นแนวคิดพื้นฐานของตรีโกณมิติ ซึ่งคุณสามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างมุมและความยาวของด้านในสามเหลี่ยมทางคณิตศาสตร์ และค้นหาปริมาณที่ต้องการผ่านอัตลักษณ์ ทฤษฎีบท และกฎเกณฑ์