Logarithm ng isang fractional expression. Natural logarithm, function ln x

Patuloy kaming nag-aaral ng logarithms. Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin pagkalkula ng logarithms, ang prosesong ito ay tinatawag logarithm. Una ay mauunawaan natin ang pagkalkula ng logarithms sa pamamagitan ng kahulugan. Susunod, tingnan natin kung paano matatagpuan ang mga halaga ng logarithms gamit ang kanilang mga katangian. Pagkatapos nito, tututukan namin ang pagkalkula ng mga logarithms sa pamamagitan ng unang tinukoy na mga halaga ng iba pang mga logarithms. Sa wakas, alamin natin kung paano gamitin ang mga talahanayan ng logarithm. Ang buong teorya ay binibigyan ng mga halimbawa na may mga detalyadong solusyon.

Pag-navigate sa pahina.

Pagkalkula ng logarithms sa pamamagitan ng kahulugan

Sa pinakasimpleng mga kaso posible na gumanap nang mabilis at madali paghahanap ng logarithm sa pamamagitan ng kahulugan. Tingnan natin kung paano nangyayari ang prosesong ito.

Ang kakanyahan nito ay upang kumatawan sa bilang b sa anyong a c, kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm, ang numero c ay ang halaga ng logarithm. Iyon ay, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sumusunod na chain ng equalities ay tumutugma sa paghahanap ng logarithm: log a b=log a a c =c.

Kaya, ang pagkalkula ng logarithm sa pamamagitan ng kahulugan ay bumababa sa paghahanap ng isang numero c na ang isang c = b, at ang numero c mismo ay ang nais na halaga ng logarithm.

Isinasaalang-alang ang impormasyon sa mga nakaraang talata, kapag ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay ibinigay ng isang tiyak na kapangyarihan ng logarithm base, maaari mong agad na ipahiwatig kung ano ang katumbas ng logarithm - ito ay katumbas ng exponent. Ipakita natin ang mga solusyon sa mga halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang log 2 2 −3, at kalkulahin din ang natural na logarithm ng numerong e 5,3.

Solusyon.

Ang kahulugan ng logarithm ay nagpapahintulot sa atin na agad na sabihin na ang log 2 2 −3 =−3. Sa katunayan, ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay katumbas ng base 2 sa −3 na kapangyarihan.

Katulad nito, makikita natin ang pangalawang logarithm: lne 5.3 =5.3.

Sagot:

log 2 2 −3 =−3 at lne 5,3 =5,3.

Kung ang numero b sa ilalim ng logarithm sign ay hindi tinukoy bilang isang kapangyarihan ng base ng logarithm, pagkatapos ay kailangan mong maingat na tumingin upang makita kung ito ay posible na magkaroon ng isang representasyon ng numero b sa form a c . Kadalasan ang representasyong ito ay medyo halata, lalo na kapag ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay katumbas ng base sa kapangyarihan ng 1, o 2, o 3, ...

Halimbawa.

Kalkulahin ang logarithms log 5 25 , at .

Solusyon.

Madaling makita na 25=5 2, ito ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang unang logarithm: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Magpatuloy tayo sa pagkalkula ng pangalawang logarithm. Ang numero ay maaaring katawanin bilang isang kapangyarihan ng 7: (tingnan kung kinakailangan). Kaya naman, .

Isulat muli natin ang ikatlong logarithm sa sumusunod na anyo. Ngayon ay makikita mo na , kung saan napagpasyahan namin iyon . Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm .

Sa madaling sabi, ang solusyon ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: .

Sagot:

log 5 25=2 , At .

Kapag mayroong sapat na malaking natural na numero sa ilalim ng logarithm sign, hindi masasaktan na i-factor ito sa prime factors. Kadalasan ay nakakatulong na kumatawan sa naturang numero bilang ilang kapangyarihan ng base ng logarithm, at samakatuwid ay kalkulahin ang logarithm na ito sa pamamagitan ng kahulugan.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng logarithm.

Solusyon.

Ang ilang mga katangian ng logarithms ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na tukuyin ang halaga ng logarithms. Kasama sa mga katangiang ito ang pag-aari ng logarithm ng isa at ang pag-aari ng logarithm ng isang numero na katumbas ng base: log 1 1=log a a 0 =0 at log a a=log a a 1 =1. Iyon ay, kapag sa ilalim ng tanda ng logarithm mayroong isang numero 1 o isang numero na katumbas ng base ng logarithm, kung gayon sa mga kasong ito ang mga logarithm ay katumbas ng 0 at 1, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa.

Ano ang katumbas ng logarithms at log10?

Solusyon.

Dahil , pagkatapos ay mula sa kahulugan ng logarithm ito ay sumusunod .

Sa pangalawang halimbawa, ang numero 10 sa ilalim ng logarithm sign ay tumutugma sa base nito, kaya ang decimal logarithm ng sampu ay katumbas ng isa, iyon ay, lg10=lg10 1 =1.

Sagot:

AT lg10=1 .

Tandaan na ang pagkalkula ng logarithms ayon sa kahulugan (na tinalakay natin sa nakaraang talata) ay nagpapahiwatig ng paggamit ng equality log a a p =p, na isa sa mga katangian ng logarithms.

Sa pagsasagawa, kapag ang isang numero sa ilalim ng logarithm sign at ang base ng logarithm ay madaling kinakatawan bilang isang kapangyarihan ng isang tiyak na numero, napaka-maginhawang gamitin ang formula. , na tumutugma sa isa sa mga katangian ng logarithms. Tingnan natin ang isang halimbawa ng paghahanap ng logarithm na naglalarawan ng paggamit ng formula na ito.

Halimbawa.

Kalkulahin ang logarithm.

Solusyon.

Sagot:

.

Ang mga katangian ng logarithms na hindi nabanggit sa itaas ay ginagamit din sa mga kalkulasyon, ngunit pag-uusapan natin ito sa mga sumusunod na talata.

Paghahanap ng mga logarithm sa pamamagitan ng iba pang kilalang logarithms

Ang impormasyon sa talatang ito ay nagpapatuloy sa paksa ng paggamit ng mga katangian ng logarithms kapag kinakalkula ang mga ito. Ngunit dito ang pangunahing pagkakaiba ay ang mga katangian ng logarithm ay ginagamit upang ipahayag ang orihinal na logarithm sa mga tuntunin ng isa pang logarithm, ang halaga nito ay kilala. Magbigay tayo ng isang halimbawa para sa paglilinaw. Sabihin nating alam natin na log 2 3≈1.584963, pagkatapos ay mahahanap natin, halimbawa, log 2 6 sa pamamagitan ng paggawa ng kaunting pagbabago gamit ang mga katangian ng logarithm: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Sa halimbawa sa itaas, sapat na para sa amin na gamitin ang property ng logarithm ng isang produkto. Gayunpaman, mas madalas na kinakailangan na gumamit ng isang mas malawak na arsenal ng mga katangian ng logarithms upang makalkula ang orihinal na logarithm sa pamamagitan ng mga ibinigay.

Halimbawa.

Kalkulahin ang logarithm ng 27 hanggang base 60 kung alam mo na ang log 60 2=a at log 60 5=b.

Solusyon.

Kaya kailangan nating hanapin ang log 60 27 . Madaling makita na ang 27 = 3 3 , at ang orihinal na logarithm, dahil sa pag-aari ng logarithm ng kapangyarihan, ay maaaring muling isulat bilang 3·log 60 3 .

Ngayon tingnan natin kung paano ipahayag ang log 60 3 sa mga tuntunin ng mga kilalang logarithms. Ang pag-aari ng logarithm ng isang numero na katumbas ng base ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang equality log 60 60=1. Sa kabilang banda, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . kaya, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Kaya naman, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Sa wakas, kinakalkula namin ang orihinal na logarithm: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Sagot:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Hiwalay, ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng kahulugan ng formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ng form . Pinapayagan ka nitong lumipat mula sa logarithms na may anumang base patungo sa logarithms na may isang tiyak na base, ang mga halaga nito ay kilala o posible na mahanap ang mga ito. Karaniwan, mula sa orihinal na logarithm, gamit ang formula ng paglipat, lumipat sila sa logarithms sa isa sa mga base 2, e o 10, dahil para sa mga base na ito ay may mga talahanayan ng logarithms na nagpapahintulot sa kanilang mga halaga na kalkulahin na may isang tiyak na antas ng katumpakan. Sa susunod na talata ay ipapakita natin kung paano ito ginagawa.

Logarithm table at ang mga gamit nito

Para sa tinatayang pagkalkula ng mga halaga ng logarithm ay maaaring gamitin mga talahanayan ng logarithm. Ang pinakakaraniwang ginagamit na base 2 logarithm table, natural logarithm table, at decimal logarithm table. Kapag nagtatrabaho sa sistema ng decimal na numero, maginhawang gumamit ng talahanayan ng mga logarithms batay sa base ten. Sa tulong nito matututunan nating hanapin ang mga halaga ng logarithms.

Ang ipinakita na talahanayan ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang mga halaga ng decimal logarithms ng mga numero mula 1,000 hanggang 9,999 (na may tatlong decimal na lugar) na may katumpakan ng isang sampung libo. Susuriin namin ang prinsipyo ng paghahanap ng halaga ng logarithm gamit ang talahanayan ng mga decimal logarithm gamit ang isang partikular na halimbawa - mas malinaw ito sa ganitong paraan. Hanapin natin ang log1.256.

Sa kaliwang hanay ng talahanayan ng mga decimal logarithms makikita natin ang unang dalawang digit ng numerong 1.256, iyon ay, nakita natin ang 1.2 (ang numerong ito ay binilog sa asul para sa kalinawan). Ang ikatlong digit ng numerong 1.256 (digit 5) ay matatagpuan sa una o huling linya sa kaliwa ng dobleng linya (ang numerong ito ay binilog ng pula). Ang ikaapat na digit ng orihinal na numero 1.256 (digit 6) ay matatagpuan sa una o huling linya sa kanan ng dobleng linya (ang numerong ito ay binibigyang bilog ng berdeng linya). Ngayon nakita namin ang mga numero sa mga cell ng talahanayan ng logarithm sa intersection ng minarkahang hilera at minarkahang mga haligi (ang mga numerong ito ay naka-highlight sa orange). Ang kabuuan ng mga minarkahang numero ay nagbibigay ng nais na halaga ng decimal logarithm na tumpak sa ikaapat na decimal place, iyon ay, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Posible ba, gamit ang talahanayan sa itaas, upang mahanap ang mga halaga ng decimal logarithms ng mga numero na may higit sa tatlong digit pagkatapos ng decimal point, pati na rin ang mga lumalampas sa saklaw mula 1 hanggang 9.999? Oo kaya mo. Ipakita natin kung paano ito ginagawa gamit ang isang halimbawa.

Kalkulahin natin ang lg102.76332. Una kailangan mong isulat numero sa karaniwang anyo: 102.76332=1.0276332·10 2. Pagkatapos nito, ang mantissa ay dapat na bilugan sa ikatlong decimal na lugar, mayroon kami 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, habang ang orihinal na decimal logarithm ay humigit-kumulang katumbas ng logarithm ng resultang numero, ibig sabihin, kumukuha kami ng log102.76332≈lg1.028·10 2. Ngayon inilalapat namin ang mga katangian ng logarithm: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Sa wakas, nakita namin ang halaga ng logarithm lg1.028 mula sa talahanayan ng decimal logarithms lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Bilang resulta, ang buong proseso ng pagkalkula ng logarithm ay ganito: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sa konklusyon, ito ay nagkakahalaga ng noting na gamit ang isang talahanayan ng decimal logarithms maaari mong kalkulahin ang tinatayang halaga ng anumang logarithm. Upang gawin ito, sapat na gamitin ang formula ng paglipat upang pumunta sa decimal logarithms, hanapin ang kanilang mga halaga sa talahanayan, at isagawa ang natitirang mga kalkulasyon.

Halimbawa, kalkulahin natin ang log 2 3 . Ayon sa formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm, mayroon kaming . Mula sa talahanayan ng decimal logarithms makikita natin ang log3≈0.4771 at log2≈0.3010. kaya, .

Bibliograpiya.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra at ang simula ng pagsusuri: Teksbuk para sa mga baitang 10 - 11 ng mga institusyong pangkalahatang edukasyon.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan).

Logarithmic expression, paglutas ng mga halimbawa. Sa artikulong ito ay titingnan natin ang mga problemang nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtatanong sa paghahanap ng kahulugan ng isang pagpapahayag. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming mga gawain at ang pag-unawa sa kahulugan nito ay napakahalaga. Tulad ng para sa Unified State Exam, ang logarithm ay ginagamit kapag nilulutas ang mga equation, sa mga inilapat na problema, at gayundin sa mga gawain na may kaugnayan sa pag-aaral ng mga function.

Magbigay tayo ng mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

Mga katangian ng logarithms na dapat laging tandaan:

*Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm ng mga salik.

* * *

*Ang logarithm ng isang quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng mga salik.

* * *

*Ang logarithm ng isang exponent ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng base nito.

* * *

*Transition sa isang bagong pundasyon

* * *

Higit pang mga katangian:

* * *

Ang pagkalkula ng logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.

Ilista natin ang ilan sa mga ito:

Ang kakanyahan ng ari-arian na ito ay kapag ang numerator ay inilipat sa denominator at kabaligtaran, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:

Isang resulta mula sa property na ito:

* * *

Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.

* * *

Tulad ng nakita mo, ang konsepto ng logarithm mismo ay simple. Ang pangunahing bagay ay kailangan mo ng mahusay na kasanayan, na nagbibigay sa iyo ng isang tiyak na kasanayan. Siyempre, kailangan ang kaalaman sa mga formula. Kung ang kasanayan sa pag-convert ng elementarya na logarithms ay hindi nabuo, kung gayon kapag nilutas ang mga simpleng gawain madali kang magkamali.

Magsanay, lutasin muna ang mga pinakasimpleng halimbawa mula sa kursong matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikado. Sa hinaharap, tiyak kong ipapakita kung paano nalutas ang mga "nakakatakot" na logarithms; hindi sila lilitaw sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado, ngunit interesado sila, huwag palampasin ang mga ito!

Iyon lang! Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng pamahalaan sa Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

So, we have powers of two. Kung kukunin mo ang numero mula sa ilalim na linya, madali mong mahahanap ang kapangyarihan kung saan kailangan mong itaas ang dalawa upang makuha ang numerong ito. Halimbawa, upang makakuha ng 16, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaapat na kapangyarihan. At para makakuha ng 64, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaanim na kapangyarihan. Ito ay makikita mula sa talahanayan.

At ngayon - talaga, ang kahulugan ng logarithm:

Ang base ng logarithm ng x ay ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang isang upang makakuha ng x.

Pagtatalaga: log a x = b, kung saan ang a ay ang base, x ang argumento, b ay kung ano talaga ang katumbas ng logarithm.

Halimbawa, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ang base 2 logarithm ng 8 ay tatlo dahil 2 3 = 8). Sa parehong tagumpay log 2 64 = 6, dahil 2 6 = 64.

Ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero sa isang naibigay na base ay tinatawag na logarithmization. Kaya, magdagdag tayo ng bagong linya sa ating talahanayan:

Sa kasamaang palad, hindi lahat ng logarithms ay madaling kalkulahin. Halimbawa, subukang maghanap ng log 2 5 . Ang numero 5 ay wala sa talahanayan, ngunit ang lohika ay nagdidikta na ang logarithm ay nasa isang lugar sa segment. Dahil 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Ang mga naturang numero ay tinatawag na hindi makatwiran: ang mga numero pagkatapos ng decimal point ay maaaring isulat ng ad infinitum, at hindi na mauulit ang mga ito. Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, mas mabuting iwanan ito sa ganoong paraan: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Mahalagang maunawaan na ang logarithm ay isang expression na may dalawang variable (ang base at ang argumento). Sa una, maraming tao ang nalilito kung saan ang batayan at kung saan ang argumento. Upang maiwasan ang nakakainis na hindi pagkakaunawaan, tingnan lamang ang larawan:

Sa harap natin ay walang iba kundi ang kahulugan ng logarithm. Tandaan: Ang logarithm ay isang kapangyarihan, kung saan dapat itayo ang base upang makakuha ng argumento. Ito ay ang base na nakataas sa isang kapangyarihan - ito ay naka-highlight sa pula sa larawan. Palaging nasa ibaba ang base! Sinasabi ko sa aking mga mag-aaral ang napakagandang tuntuning ito sa pinakaunang aralin - at walang kalituhan na lumitaw.

Nalaman namin ang kahulugan - ang natitira na lang ay upang matutunan kung paano magbilang ng mga logarithms, i.e. tanggalin ang "log" sign. Upang magsimula, tandaan namin na ang dalawang mahahalagang katotohanan ay sumusunod mula sa kahulugan:

1. Ang argumento at ang base ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang degree sa pamamagitan ng isang rational exponent, kung saan ang kahulugan ng isang logarithm ay nabawasan.
2. Ang base ay dapat na iba sa isa, dahil ang isa sa anumang antas ay nananatiling isa. Dahil dito, ang tanong na "sa anong kapangyarihan dapat itaas ang isa upang makakuha ng dalawa" ay walang kahulugan. Walang ganyang degree!

Ang ganitong mga paghihigpit ay tinatawag hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga(ODZ). Ito ay lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay ganito ang hitsura: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Tandaan na walang mga paghihigpit sa numero b (ang halaga ng logarithm). Halimbawa, maaaring negatibo ang logarithm: log 2 0.5 = −1, dahil 0.5 = 2 −1.

Gayunpaman, ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin ang mga numerical na expression, kung saan hindi kinakailangang malaman ang VA ng logarithm. Ang lahat ng mga paghihigpit ay isinasaalang-alang na ng mga may-akda ng mga gawain. Ngunit kapag naganap ang mga logarithmic equation at inequalities, magiging mandatory ang mga kinakailangan sa DL. Pagkatapos ng lahat, ang batayan at argumento ay maaaring maglaman ng napakalakas na mga konstruksyon na hindi kinakailangang tumutugma sa mga paghihigpit sa itaas.

Ngayon tingnan natin ang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkalkula ng logarithms. Binubuo ito ng tatlong hakbang:

1. Ipahayag ang base a at ang argumentong x bilang isang kapangyarihan na may pinakamababang posibleng base na mas malaki kaysa sa isa. Sa daan, mas mainam na alisin ang mga decimal;
2. Lutasin ang equation para sa variable b: x = a b ;
3. Ang resultang numero b ang magiging sagot.

Iyon lang! Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, ito ay makikita na sa unang hakbang. Ang pangangailangan na ang base ay mas malaki kaysa sa isa ay napakahalaga: binabawasan nito ang posibilidad ng pagkakamali at lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Ito ay pareho sa mga decimal fraction: kung agad mong i-convert ang mga ito sa mga ordinaryo, magkakaroon ng mas kaunting mga error.

Tingnan natin kung paano gumagana ang scheme na ito gamit ang mga partikular na halimbawa:

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 5 25

1. Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Gumawa tayo at lutasin ang equation:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Natanggap namin ang sagot: 2.

Gawain. Kalkulahin ang logarithm:

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 4 64

1. Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Gumawa tayo at lutasin ang equation:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Natanggap namin ang sagot: 3.

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 16 1

1. Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Gumawa tayo at lutasin ang equation:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Natanggap namin ang sagot: 0.

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 7 14

1. Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng pito: 7 = 7 1 ; 14 ay hindi maaaring katawanin bilang kapangyarihan ng pito, dahil 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Mula sa nakaraang talata ito ay sumusunod na ang logarithm ay hindi binibilang;
3. Ang sagot ay walang pagbabago: log 7 14.

Isang maliit na tala sa huling halimbawa. Paano ka makatitiyak na ang isang numero ay hindi eksaktong kapangyarihan ng isa pang numero? Napakasimple nito - isama lang ito sa mga pangunahing kadahilanan. Kung ang pagpapalawak ay may hindi bababa sa dalawang magkaibang mga kadahilanan, ang numero ay hindi isang eksaktong kapangyarihan.

Gawain. Alamin kung ang mga numero ay eksaktong kapangyarihan: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - eksaktong antas, dahil mayroon lamang isang multiplier;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ay hindi eksaktong kapangyarihan, dahil may dalawang salik: 3 at 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - eksaktong antas;
35 = 7 · 5 - muli hindi isang eksaktong kapangyarihan;
14 = 7 · 2 - muli hindi isang eksaktong antas;

Tandaan din na ang mga prime number mismo ay palaging eksaktong kapangyarihan ng kanilang mga sarili.

Decimal logarithm

Ang ilang logarithms ay karaniwan na mayroon silang isang espesyal na pangalan at simbolo.

Ang decimal logarithm ng x ay ang logarithm sa base 10, i.e. Ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong 10 upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: lg x.

Halimbawa, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - atbp.

Mula ngayon, kapag lumitaw ang isang pariralang tulad ng "Hanapin ang lg 0.01" sa isang aklat-aralin, alamin na hindi ito isang typo. Ito ay isang decimal logarithm. Gayunpaman, kung hindi ka pamilyar sa notasyong ito, maaari mo itong muling isulat palagi:
log x = log 10 x

Lahat ng totoo para sa ordinaryong logarithms ay totoo rin para sa decimal logarithms.

Likas na logarithm

May isa pang logarithm na may sariling pagtatalaga. Sa ilang paraan, mas mahalaga pa ito kaysa decimal. Pinag-uusapan natin ang natural logarithm.

Ang natural na logarithm ng x ay ang logarithm sa base e, i.e. ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong e upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: ln x .

Marami ang magtatanong: ano ang numero e? Ito ay isang hindi makatwirang numero; ang eksaktong halaga nito ay hindi mahanap at maisulat. Ibibigay ko lamang ang mga unang numero:
e = 2.718281828459...

Hindi na namin idedetalye kung ano ang numerong ito at kung bakit ito kailangan. Tandaan lamang na ang e ay ang batayan ng natural na logarithm:
ln x = log e x

Kaya ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - atbp. Sa kabilang banda, ang ln 2 ay isang hindi makatwirang numero. Sa pangkalahatan, ang natural na logarithm ng anumang rational na numero ay hindi makatwiran. Maliban, siyempre, para sa isa: ln 1 = 0.

Para sa mga natural na logarithms, ang lahat ng mga patakaran na totoo para sa mga ordinaryong logarithms ay may bisa.

pangunahing katangian.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

magkatulad na batayan

Log6 4 + log6 9.

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain.

Mga halimbawa ng paglutas ng logarithms

Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Siyempre, lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x >

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tingnan din:

Mga pangunahing katangian ng logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay katumbas ng 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Nikolaevich Tolstoy.

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo ang eksaktong halaga ng exponent at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

Mga halimbawa para sa logarithms

Mga expression ng logarithm

Halimbawa 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Gamit ang mga katangian 3.5 kinakalkula namin

2.

3.

4. saan .

Halimbawa 2. Hanapin ang x kung

Halimbawa 3. Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Talagang kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - kung wala ang mga ito, hindi malulutas ang isang seryosong problema sa logarithmic. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!

Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang isang logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.

Pag-extract ng exponent mula sa logarithm

Madaling makita na ang huling tuntunin ay sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran , ibig sabihin. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator.

Mga formula ng logarithm. Mga halimbawa ng solusyon sa Logarithms.

Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong-kuwento" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log2 7. Dahil ang log2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang naging resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung itinakda namin ang c = x, makakakuha kami ng:

Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging ganap na anuman, dahil ito ay isang logarithm value lamang.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Yan ang tawag dito: .

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang bilang b ay itinaas sa gayong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng bilang na a? Iyan ay tama: ang resulta ay ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.

Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang log25 64 = log5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha namin:

Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.

1. logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a ng base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
2. ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.

Tingnan din:

Ang logarithm ng b sa base a ay nagsasaad ng expression. Upang kalkulahin ang logarithm ay nangangahulugan na makahanap ng isang kapangyarihan x () kung saan ang pagkakapantay-pantay ay nasiyahan

Mga pangunahing katangian ng logarithm

Kinakailangang malaman ang mga katangian sa itaas, dahil halos lahat ng mga problema at mga halimbawa na may kaugnayan sa logarithms ay nalutas sa kanilang batayan. Ang natitirang mga kakaibang katangian ay maaaring makuha sa pamamagitan ng matematikal na pagmamanipula gamit ang mga formula na ito

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kapag kinakalkula ang formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga logarithms (3.4) madalas kang nakakaharap. Ang natitira ay medyo kumplikado, ngunit sa isang bilang ng mga gawain sila ay kailangang-kailangan para sa pagpapasimple ng mga kumplikadong expression at pagkalkula ng kanilang mga halaga.

Mga karaniwang kaso ng logarithms

Ang ilan sa mga karaniwang logarithms ay ang mga kung saan ang base ay kahit sampu, exponential o dalawa.
Ang logarithm sa base ten ay karaniwang tinatawag na decimal logarithm at simpleng tinutukoy ng lg(x).

Malinaw sa recording na ang mga basic ay hindi nakasulat sa recording. Halimbawa

Ang natural na logarithm ay isang logarithm na ang base ay isang exponent (na tinutukoy ng ln(x)).

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay katumbas ng 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Nikolaevich Tolstoy. Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo ang eksaktong halaga ng exponent at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

At isa pang mahalagang logarithm sa base ng dalawa ay tinutukoy ng

Ang derivative ng logarithm ng isang function ay katumbas ng isang hinati sa variable

Ang integral o antiderivative logarithm ay tinutukoy ng relasyon

Ang ibinigay na materyal ay sapat para sa iyo upang malutas ang isang malawak na klase ng mga problema na may kaugnayan sa logarithms at logarithms. Upang matulungan kang maunawaan ang materyal, magbibigay lamang ako ng ilang karaniwang mga halimbawa mula sa kurikulum ng paaralan at mga unibersidad.

Mga halimbawa para sa logarithms

Mga expression ng logarithm

Halimbawa 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Gamit ang mga katangian 3.5 kinakalkula namin

2.
Sa pamamagitan ng pag-aari ng pagkakaiba ng logarithms mayroon tayo

3.
Gamit ang mga katangian 3.5 nahanap namin

4. saan .

Ang isang tila kumplikadong expression ay pinasimple upang mabuo gamit ang isang bilang ng mga panuntunan

Paghahanap ng mga halaga ng logarithm

Halimbawa 2. Hanapin ang x kung

Solusyon. Para sa pagkalkula, nalalapat kami sa huling termino 5 at 13 na mga katangian

Inilagay namin ito sa talaan at nagdadalamhati

Dahil ang mga base ay pantay, tinutumbasan namin ang mga expression

Logarithms. Unang antas.

Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Solusyon: Kumuha tayo ng logarithm ng variable upang isulat ang logarithm sa pamamagitan ng kabuuan ng mga termino nito

Ito ay simula pa lamang ng ating pagkakakilala sa logarithms at sa kanilang mga ari-arian. Magsanay ng mga kalkulasyon, pagyamanin ang iyong mga praktikal na kasanayan - malapit mo nang kailanganin ang kaalaman na makukuha mo upang malutas ang mga logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation, palawakin namin ang iyong kaalaman sa isa pang pantay na mahalagang paksa - logarithmic inequalities...

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Talagang kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - kung wala ang mga ito, hindi malulutas ang isang seryosong problema sa logarithmic. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!

Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang isang logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log6 4 + log6 9.

Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.

Pag-extract ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita na ang huling tuntunin ay sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran , ibig sabihin. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo.

Paano malutas ang mga logarithms

Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong-kuwento" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log2 7. Dahil ang log2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang naging resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung itinakda namin ang c = x, makakakuha kami ng:

Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging ganap na anuman, dahil ito ay isang logarithm value lamang.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Yan ang tawag dito: .

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang bilang b ay itinaas sa gayong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng bilang na a? Iyan ay tama: ang resulta ay ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.

Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang log25 64 = log5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha namin:

Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.

1. logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a ng base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
2. ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.