1 derivative ng isang function sa isang punto. Derivative ng isang function

Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function na \(y = f(x)\) sa isang tiyak na pagitan na naglalaman ng puntong \(x_0\). Bigyan natin ang argumento ng pagtaas \(\Delta x \) upang hindi ito umalis sa agwat na ito. Hanapin natin ang katumbas na pagtaas ng function na \(\Delta y \) (kapag lumilipat mula sa puntong \(x_0 \) patungo sa puntong \(x_0 + \Delta x \)) at buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Kung mayroong limitasyon sa ratio na ito sa \(\Delta x \rightarrow 0\), kung gayon ang tinukoy na limitasyon ay tinatawag derivative ng isang function\(y=f(x) \) sa puntong \(x_0 \) at tukuyin ang \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Ang simbolo na y ay kadalasang ginagamit upang tukuyin ang derivative. Tandaan na ang y" = f(x) ay isang bagong function, ngunit natural na nauugnay sa function na y = f(x), na tinukoy sa lahat ng mga puntong x kung saan umiiral ang limitasyon sa itaas . Ang function na ito ay tinatawag na ganito: derivative ng function na y = f(x).

Geometric na kahulugan ng derivative ay ang mga sumusunod. Kung posibleng gumuhit ng tangent sa graph ng function na y = f(x) sa puntong may abscissa x=a, na hindi parallel sa y-axis, kung gayon ang f(a) ay nagpapahayag ng slope ng tangent. :
\(k = f"(a)\)

Dahil \(k = tg(a) \), ang pagkakapantay-pantay \(f"(a) = tan(a) \) ay totoo.

Ngayon bigyang-kahulugan natin ang kahulugan ng derivative mula sa punto ng view ng mga tinatayang pagkakapantay-pantay. Hayaang magkaroon ng derivative ang function na \(y = f(x)\) sa isang partikular na punto \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Nangangahulugan ito na malapit sa puntong x ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), i.e. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Ang makabuluhang kahulugan ng nagresultang tinatayang pagkakapantay-pantay ay ang mga sumusunod: ang pagtaas ng function ay "halos proporsyonal" sa pagtaas ng argumento, at ang koepisyent ng proporsyonalidad ay ang halaga ng derivative sa isang naibigay na punto x. Halimbawa, para sa function na \(y = x^2\) ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) ay wasto. Kung maingat nating susuriin ang kahulugan ng isang derivative, makikita natin na naglalaman ito ng algorithm para sa paghahanap nito.

Buuin natin ito.

Paano mahahanap ang derivative ng function na y = f(x)?

1. Ayusin ang halaga ng \(x\), hanapin ang \(f(x)\)
2. Bigyan ang argumento \(x\) ng pagtaas \(\Delta x\), pumunta sa isang bagong punto \(x+ \Delta x \), hanapin ang \(f(x+ \Delta x) \)
3. Hanapin ang increment ng function: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Lumikha ng kaugnayan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kalkulahin ang $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ang limitasyong ito ay ang derivative ng function sa point x.

Kung ang isang function na y = f(x) ay may derivative sa isang point x, kung gayon ito ay tinatawag na differentiable sa isang point x. Ang pamamaraan para sa paghahanap ng derivative ng function na y = f(x) ay tinatawag pagkakaiba-iba mga function y = f(x).

Talakayin natin ang sumusunod na tanong: paano nauugnay ang pagpapatuloy at pagkakaiba-iba ng isang function sa isang punto sa isa't isa?

Hayaan ang function na y = f(x) na maging differentiable sa puntong x. Pagkatapos ay maaaring iguhit ang isang tangent sa graph ng function sa point M(x; f(x)), at, alalahanin, ang angular coefficient ng tangent ay katumbas ng f "(x). Ang ganitong graph ay hindi maaaring "masira" sa puntong M, ibig sabihin, ang function ay dapat na tuluy-tuloy sa punto x.

Ang mga ito ay "hands-on" na mga argumento. Magbigay tayo ng mas mahigpit na pangangatwiran. Kung ang function na y = f(x) ay naiba-iba sa puntong x, kung gayon ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ay hawak. Kung sa pagkakapantay-pantay na ito \(\Delta x Ang \) ay may posibilidad na zero, pagkatapos ay ang \(\Delta y \) ay magiging zero, at ito ang kundisyon para sa pagpapatuloy ng function sa isang punto.

Kaya, kung ang isang function ay naiba-iba sa isang puntong x, ito ay tuloy-tuloy sa puntong iyon.

Ang baligtad na pahayag ay hindi totoo. Halimbawa: function y = |x| ay tuloy-tuloy sa lahat ng dako, partikular sa puntong x = 0, ngunit ang padaplis sa graph ng function sa “junction point” (0; 0) ay hindi umiiral. Kung sa isang punto ang isang tangent ay hindi maaaring iguhit sa graph ng isang function, kung gayon ang derivative ay hindi umiiral sa puntong iyon.

Isa pang halimbawa. Ang function na \(y=\sqrt(x)\) ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, kabilang ang sa puntong x = 0. At ang tangent sa graph ng function ay umiiral sa anumang punto, kabilang ang sa puntong x = 0 Ngunit sa puntong ito ang tangent ay tumutugma sa y-axis, ibig sabihin, ito ay patayo sa abscissa axis, ang equation nito ay may anyo na x = 0. Ang nasabing tuwid na linya ay walang angle coefficient, na nangangahulugan na \(f "(0)\) ay wala.

Kaya, nakilala namin ang isang bagong pag-aari ng isang function - ang pagkakaiba-iba. Paano mahihinuha mula sa graph ng isang function na ito ay naiba?

Ang sagot ay talagang ibinigay sa itaas. Kung sa ilang mga punto posible na gumuhit ng isang tangent sa graph ng isang function na hindi patayo sa abscissa axis, kung gayon sa puntong ito ang function ay naiba. Kung sa ilang mga punto ang tangent sa graph ng isang function ay hindi umiiral o ito ay patayo sa abscissa axis, pagkatapos ay sa puntong ito ang function ay hindi differentiable.

Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan

Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag pagkakaiba-iba. Kapag nagsasagawa ng operasyong ito, madalas kang kailangang magtrabaho kasama ang mga quotient, kabuuan, mga produkto ng mga pag-andar, pati na rin ang "mga pag-andar ng mga pag-andar," iyon ay, mga kumplikadong pag-andar. Batay sa kahulugan ng derivative, maaari tayong kumuha ng mga panuntunan sa pagkakaiba-iba na nagpapadali sa gawaing ito. Kung ang C ay isang pare-parehong numero at f=f(x), g=g(x) ay ilang mga naiba-iba na function, kung gayon ang mga sumusunod ay totoo mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:

Talaan ng mga derivatives ng ilang function

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema ng geometry, mechanics, physics at iba pang sangay ng kaalaman, ang pangangailangan ay lumitaw gamit ang parehong proseso ng analytical mula sa function na ito. y=f(x) kumuha ng bagong function na tinatawag derivative function(o simple lang derivative) ng isang ibinigay na function f(x) at itinalaga ng simbolo

Ang proseso kung saan mula sa isang ibinigay na function f(x) kumuha ng bagong feature f" (x), tinawag pagkakaiba-iba at ito ay binubuo ng sumusunod na tatlong hakbang: 1) ibigay ang argumento x pagtaas  x at tukuyin ang kaukulang pagtaas ng function  y = f(x+ x) -f(x); 2) bumuo ng isang relasyon

3) pagbibilang x pare-pareho at  x0, nakita namin
, na tinutukoy namin ng f" (x), na parang binibigyang-diin na ang resultang function ay nakasalalay lamang sa halaga x, kung saan pupunta tayo sa limitasyon. Kahulugan: Derivative y " =f " (x) ibinigay na function y=f(x) para sa isang naibigay na x ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng isang function sa pagtaas ng argument, sa kondisyon na ang pagtaas ng argumento ay may posibilidad na zero, kung, siyempre, umiiral ang limitasyong ito, i.e. may hangganan. kaya,
, o

Tandaan na kung para sa ilang halaga x, halimbawa kapag x=a, ugali
sa  x Ang 0 ay hindi hilig sa finite limit, pagkatapos ay sa kasong ito sinasabi nila na ang function f(x) sa x=a(o sa punto x=a) ay walang derivative o hindi naiba sa punto x=a.

2. Geometric na kahulugan ng derivative.

Isaalang-alang ang graph ng function na y = f (x), differentiable sa paligid ng point x 0

f(x)

Isaalang-alang natin ang isang arbitrary na tuwid na linya na dumadaan sa isang punto sa graph ng isang function - point A(x 0, f (x 0)) at intersecting ang graph sa ilang punto B(x;f(x)). Ang nasabing linya (AB) ay tinatawag na secant. Mula sa ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Dahil AC || Ox, pagkatapos ay ALO = BAC = β (bilang katumbas ng parallel). Ngunit ang ALO ay ang anggulo ng pagkahilig ng secant AB sa positibong direksyon ng axis ng Ox. Nangangahulugan ito na ang tanβ = k ay ang slope ng tuwid na linya AB.

Ngayon ay babawasan natin ang ∆x, i.e. ∆х→ 0. Sa kasong ito, lalapit ang point B sa point A ayon sa graph, at iikot ang secant AB. Ang paglilimita sa posisyon ng secant AB sa ∆x→ 0 ay magiging isang tuwid na linya (a), na tinatawag na tangent sa graph ng function na y = f (x) sa punto A.

Kung pupunta tayo sa limitasyon bilang ∆x → 0 sa equality tgβ =∆y/∆x, nakukuha natin
ortg =f "(x 0), since
-anggulo ng inclination ng tangent sa positibong direksyon ng Ox axis
, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang derivative. Ngunit ang tg = k ay ang angular coefficient ng tangent, na nangangahulugang k = tg = f "(x 0).

Kaya, ang geometric na kahulugan ng derivative ay ang mga sumusunod:

Derivative ng isang function sa point x 0 katumbas ng slope ng tangent sa graph ng function na iginuhit sa puntong may abscissa x 0 .

3. Pisikal na kahulugan ng derivative.

Isaalang-alang ang paggalaw ng isang punto sa isang tuwid na linya. Hayaang maibigay ang coordinate ng isang punto sa anumang oras x(t). Ito ay kilala (mula sa isang kurso sa pisika) na ang average na bilis sa isang yugto ng panahon ay katumbas ng ratio ng distansya na nilakbay sa panahong ito hanggang sa oras, i.e.

Vav = ∆x/∆t. Pumunta tayo sa limitasyon sa huling pagkakapantay-pantay bilang ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - agarang bilis sa oras t 0, ∆t → 0.

at lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative).

Kaya, (t) =x"(t).

Ang pisikal na kahulugan ng derivative ay ang mga sumusunod: derivative ng functiony = f(x) sa puntox 0 ay ang rate ng pagbabago ng functionf(x) sa puntox 0

Ang derivative ay ginagamit sa physics upang mahanap ang velocity mula sa isang kilalang function ng mga coordinate versus time, acceleration mula sa isang kilalang function ng velocity versus time.

(t) = x"(t) - bilis,

a(f) = "(t) - acceleration, o

Kung ang batas ng paggalaw ng isang materyal na punto sa isang bilog ay kilala, kung gayon ang isa ay mahahanap ang angular na bilis at angular na acceleration sa panahon ng rotational motion:

φ = φ(t) - pagbabago sa anggulo sa paglipas ng panahon,

ω = φ"(t) - angular velocity,

ε = φ"(t) - angular acceleration, o ε = φ"(t).

Kung ang batas ng mass distribution ng isang inhomogeneous rod ay kilala, kung gayon ang linear density ng inhomogeneous rod ay matatagpuan:

m = m(x) - masa,

x  , l - haba ng pamalo,

p = m"(x) - linear density.

Gamit ang derivative, malulutas ang mga problema mula sa teorya ng elasticity at harmonic vibrations. Kaya, ayon sa batas ni Hooke

F = -kx, x – variable coordinate, k – spring elasticity coefficient. Paglalagay ng ω 2 =k/m, nakukuha natin ang differential equation ng spring pendulum x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

kung saan ω = √k/√m oscillation frequency (l/c), k - spring stiffness (H/m).

Ang isang equation ng form na y" + ω 2 y = 0 ay tinatawag na equation ng harmonic oscillations (mechanical, electrical, electromagnetic). Ang solusyon sa mga naturang equation ay ang function

y = Asin(ωt + φ 0) o y = Acos(ωt + φ 0), kung saan

A - amplitude ng mga oscillations, ω - cyclic frequency,

φ 0 - paunang yugto.

Ang paglutas ng mga pisikal na problema o mga halimbawa sa matematika ay ganap na imposible nang walang kaalaman sa derivative at mga pamamaraan para sa pagkalkula nito. Ang derivative ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa mathematical analysis. Nagpasya kaming italaga ang artikulo ngayon sa pangunahing paksang ito. Ano ang derivative, ano ang pisikal at geometric na kahulugan nito, kung paano kalkulahin ang derivative ng isang function? Ang lahat ng mga tanong na ito ay maaaring pagsamahin sa isa: kung paano maunawaan ang hinalaw?

Geometric at pisikal na kahulugan ng derivative

Magkaroon ng function f(x) , na tinukoy sa isang tiyak na agwat (a, b) . Ang mga puntos na x at x0 ay kabilang sa pagitan na ito. Kapag nagbago ang x, nagbabago ang function mismo. Pagbabago ng argumento - ang pagkakaiba sa mga halaga nito x-x0 . Ang pagkakaibang ito ay nakasulat bilang delta x at tinatawag na argument increment. Ang pagbabago o pagtaas ng isang function ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng isang function sa dalawang punto. Kahulugan ng derivative:

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa isang partikular na punto sa pagtaas ng argument kapag ang huli ay may posibilidad na zero.

Kung hindi, maaari itong isulat tulad nito:

Ano ang silbi ng paghahanap ng gayong limitasyon? At narito kung ano ito:

ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng OX axis at ang tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto.

Pisikal na kahulugan ng derivative: ang derivative ng landas na may paggalang sa oras ay katumbas ng bilis ng rectilinear motion.

Sa katunayan, mula noong mga araw ng paaralan alam ng lahat na ang bilis ay isang partikular na landas x=f(t) at oras t . Average na bilis sa isang tiyak na tagal ng panahon:

Upang malaman ang bilis ng paggalaw sa isang sandali sa oras t0 kailangan mong kalkulahin ang limitasyon:

Unang panuntunan: magtakda ng pare-pareho

Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa derivative sign. Bukod dito, dapat itong gawin. Kapag nilulutas ang mga halimbawa sa matematika, kunin ito bilang panuntunan - Kung maaari mong gawing simple ang isang expression, siguraduhing pasimplehin ito .

Halimbawa. Kalkulahin natin ang derivative:

Rule two: derivative ng kabuuan ng mga function

Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng sum ng derivatives ng mga function na ito. Ang parehong ay totoo para sa derivative ng pagkakaiba ng mga function.

Hindi kami magbibigay ng patunay ng teorama na ito, ngunit sa halip ay isaalang-alang ang isang praktikal na halimbawa.

Hanapin ang derivative ng function:

Tatlong panuntunan: derivative ng produkto ng mga function

Ang derivative ng produkto ng dalawang differentiable function ay kinakalkula ng formula:

Halimbawa: hanapin ang derivative ng isang function:

Solusyon:

Mahalagang pag-usapan ang tungkol sa pagkalkula ng mga derivatives ng mga kumplikadong function dito. Ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng function na ito na may paggalang sa intermediate argument at ang derivative ng intermediate argument na may kinalaman sa independent variable.

Sa halimbawa sa itaas nakita natin ang expression:

Sa kasong ito, ang intermediate argument ay 8x hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Upang makalkula ang derivative ng naturang expression, kalkulahin muna natin ang derivative ng external function na may paggalang sa intermediate argument, at pagkatapos ay i-multiply sa derivative ng intermediate argument mismo na may paggalang sa independent variable.

Ikaapat na panuntunan: derivative ng quotient ng dalawang function

Formula para sa pagtukoy ng derivative ng quotient ng dalawang function:

Sinubukan naming pag-usapan ang tungkol sa mga derivatives para sa mga dummies mula sa simula. Ang paksang ito ay hindi kasing simple ng tila, kaya't bigyan ng babala: madalas na may mga pitfalls sa mga halimbawa, kaya maging maingat sa pagkalkula ng mga derivatives.

Sa anumang mga katanungan tungkol dito at sa iba pang mga paksa, maaari kang makipag-ugnayan sa serbisyo ng mag-aaral. Sa maikling panahon, tutulungan ka naming malutas ang pinakamahirap na pagsubok at maunawaan ang mga gawain, kahit na hindi ka pa nakagawa ng mga derivative na kalkulasyon dati.

Kapag ang isang tao ay gumawa ng mga unang independiyenteng hakbang sa pag-aaral ng mathematical analysis at nagsimulang magtanong ng hindi komportable na mga tanong, hindi na madaling makawala sa parirala na "nahanap ang pagkakaiba-iba ng calculus sa repolyo." Samakatuwid, ang oras ay dumating upang matukoy at ibunyag ang lihim ng kapanganakan mga talahanayan ng mga derivatives at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba. Nagsimula sa artikulo tungkol sa kahulugan ng derivative, na lubos kong inirerekomenda ang pag-aaral, dahil doon lang namin tiningnan ang konsepto ng isang derivative at nagsimulang mag-click sa mga problema sa paksa. Ang parehong araling ito ay may malinaw na praktikal na oryentasyon, bukod pa rito,

ang mga halimbawang tinalakay sa ibaba ay maaaring, sa prinsipyo, ay ganap na pinagkadalubhasaan (halimbawa, kapag walang oras/pagnanais na bungkalin ang kakanyahan ng derivative). Lubhang kanais-nais din (ngunit hindi kinakailangan muli) na makahanap ng mga derivatives gamit ang "ordinaryong" paraan - hindi bababa sa antas ng dalawang pangunahing aralin: Paano mahahanap ang derivative? at Derivative ng isang kumplikadong function.

Ngunit may isang bagay na tiyak na hindi natin magagawa kung wala ngayon, ito ay mga limitasyon sa pag-andar. Dapat mong MAUNAWAAN kung ano ang limitasyon at kayang lutasin ang mga ito kahit man lang sa average na antas. At lahat dahil ang derivative

Ang function sa isang punto ay tinutukoy ng formula:

Hayaan akong ipaalala sa iyo ang mga pagtatalaga at termino: tinatawag nila pagtaas ng argumento;

- pagtaas ng function;

– ito ay mga ISANG simbolo (“ang delta” ay hindi maaaring “punit” mula sa “X” o “Y”).

Malinaw, kung ano ang isang "dynamic" na variable ay isang pare-pareho at ang resulta ng pagkalkula ng limitasyon – numero (minsan - "plus" o "minus" infinity).

Bilang isang punto, maaari mong isaalang-alang ang ANUMANG halaga na kabilang sa domain ng kahulugan function kung saan mayroong isang derivative.

Tandaan: ang sugnay na "kung saan umiiral ang derivative" ay sa pangkalahatan ito ay makabuluhan! Kaya, halimbawa, kahit na ang isang punto ay kasama sa domain ng kahulugan ng isang function, ang hinango nito

wala doon. Samakatuwid ang formula

hindi naaangkop sa punto

at ang pinaikling formulation na walang reserbasyon ay magiging mali. Ang mga katulad na katotohanan ay totoo para sa iba pang mga function na may "mga break" sa graph, lalo na, para sa arcsine at arccosine.

Kaya, pagkatapos palitan ang , nakukuha namin ang pangalawang formula sa pagtatrabaho:

Bigyang-pansin ang isang mapanlinlang na pangyayari na maaaring malito ang tsarera: sa limitasyong ito, ang "x", bilang isang independent variable, ay gumaganap ng papel ng isang istatistika, at ang "dynamics" ay muling itinakda ng pagtaas. Ang resulta ng pagkalkula ng limitasyon

ay ang derivative function.

Batay sa itaas, bumalangkas kami ng mga kondisyon ng dalawang tipikal na problema:

- Hanapin derivative sa isang punto, gamit ang kahulugan ng derivative.

- Hanapin derivative function, gamit ang kahulugan ng derivative. Ang bersyon na ito, ayon sa aking mga obserbasyon, ay mas karaniwan at bibigyan ng pangunahing pansin.

Ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga gawain ay na sa unang kaso kailangan mong hanapin ang numero (opsyonal, infinity), at sa pangalawa –

function Bilang karagdagan, ang derivative ay maaaring wala sa lahat.

paano ?

Lumikha ng ratio at kalkulahin ang limitasyon.

Saan ito nanggaling? talahanayan ng mga derivatives at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba ? Salamat sa tanging limitasyon

Parang magic, pero

sa katotohanan - tuso ng kamay at walang pandaraya. Sa aralin Ano ang derivative? Nagsimula akong tumingin sa mga partikular na halimbawa kung saan, gamit ang kahulugan, nakita ko ang mga derivatives ng isang linear at quadratic function. Para sa layunin ng cognitive warm-up, patuloy kaming mang-istorbo talahanayan ng mga derivatives, hinahasa ang algorithm at mga teknikal na solusyon:

Mahalaga, kailangan mong patunayan ang isang espesyal na kaso ng derivative ng isang power function, na kadalasang lumilitaw sa talahanayan: .

Ang solusyon ay teknikal na pormal sa dalawang paraan. Magsimula tayo sa una, pamilyar nang diskarte: ang hagdan ay nagsisimula sa isang tabla, at ang derivative function ay nagsisimula sa derivative sa isang punto.

Isaalang-alang ang ilang (tiyak) na puntong kabilang sa domain ng kahulugan function kung saan mayroong derivative. Itakda natin ang pagtaas sa puntong ito (siyempre, sa loob ng saklaw o/o -ya) at buuin ang kaukulang pagtaas ng function:

Kalkulahin natin ang limitasyon:

Ang kawalan ng katiyakan 0:0 ay inalis sa pamamagitan ng isang karaniwang pamamaraan, na isinasaalang-alang noong unang siglo BC. Paramihin natin

numerator at denominator para sa conjugate expression :

Ang pamamaraan para sa paglutas ng naturang limitasyon ay tinalakay nang detalyado sa panimulang aralin. tungkol sa mga limitasyon ng mga pag-andar.

Dahil maaari kang pumili ng ANUMANG punto ng pagitan bilang

Pagkatapos, nang magawa ang kapalit, nakukuha namin:

Muli tayong magalak sa logarithms:

Hanapin ang derivative ng isang function gamit ang kahulugan ng derivative

Solusyon: Isaalang-alang natin ang ibang paraan sa pagtataguyod ng parehong gawain. Ito ay eksaktong pareho, ngunit mas makatwiran sa mga tuntunin ng disenyo. Ang ideya ay upang mapupuksa

subscript at gumamit ng liham sa halip na liham.

Isaalang-alang ang isang arbitrary na puntong kabilang sa domain ng kahulugan function (interval), at itakda ang increment dito. Ngunit dito, sa pamamagitan ng paraan, tulad ng sa karamihan ng mga kaso, maaari mong gawin nang walang anumang reserbasyon, dahil ang logarithmic function ay naiiba sa anumang punto sa domain ng kahulugan.

Pagkatapos ang kaukulang pagtaas ng function ay:

Hanapin natin ang derivative:

Ang pagiging simple ng disenyo ay balanse ng pagkalito na maaari

mangyari sa mga nagsisimula (at hindi lamang). Pagkatapos ng lahat, sanay na tayo sa katotohanan na ang titik na "X" ay nagbabago sa limitasyon! Ngunit narito ang lahat ay naiiba: - isang antigong estatwa, at - isang buhay na bisita, mabilis na naglalakad sa kahabaan ng koridor ng museo. Ibig sabihin, ang "x" ay "parang isang pare-pareho."

Magkokomento ako sa pag-aalis ng kawalan ng katiyakan hakbang-hakbang:

(1) Gamit ang logarithm property.

(2) Sa panaklong, hatiin ang numerator sa termino ng denominator ayon sa termino.

(3) Sa denominator, artipisyal tayong nagpaparami at hinahati sa "x" upang iyon

samantalahin ang kahanga-hangang limitasyon , habang bilang infinitesimal kilos.

Sagot: sa pamamagitan ng kahulugan ng isang derivative:

O sa madaling salita:

Iminumungkahi kong bumuo ng dalawa pang mga formula ng talahanayan sa iyong sarili:

Maghanap ng derivative ayon sa kahulugan

Sa kasong ito, ito ay maginhawa upang agad na bawasan ang pinagsama-samang pagtaas sa isang karaniwang denominator. Isang tinatayang sample ng takdang-aralin sa pagtatapos ng aralin (unang pamamaraan).

Maghanap ng derivative ayon sa kahulugan

At dito ang lahat ay dapat bawasan sa isang kapansin-pansing limitasyon. Ang solusyon ay pormal sa pangalawang paraan.

Ang isang bilang ng iba pa tabular derivatives. Ang kumpletong listahan ay matatagpuan sa aklat-aralin ng paaralan, o, halimbawa, ang 1st volume ng Fichtenholtz. Wala akong nakikitang punto sa pagkopya ng mga patunay ng mga panuntunan sa pagkakaiba-iba mula sa mga aklat - nabuo din ang mga ito

pormula

Lumipat tayo sa aktwal na nakatagpo na mga gawain: Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function , gamit ang kahulugan ng derivative

Solusyon: gamitin ang unang istilo ng disenyo. Isaalang-alang natin ang ilang punto na kabilang sa at itakda ang pagtaas ng argumento dito. Pagkatapos ang kaukulang pagtaas ng function ay:

Marahil ang ilang mga mambabasa ay hindi pa ganap na nauunawaan ang prinsipyo kung saan kailangang gawin ang mga pagdaragdag. Kumuha ng isang punto (numero) at hanapin ang halaga ng function sa loob nito: , iyon ay, sa function

sa halip na "X" ay dapat mong palitan. Ngayon kunin natin

Compiled function increment Maaari itong maging kapaki-pakinabang upang agad na gawing simple. Para saan? Padaliin at paikliin ang solusyon sa isang karagdagang limitasyon.

Gumagamit kami ng mga formula, buksan ang mga bracket at bawasan ang lahat ng maaaring bawasan:

Ang pabo ay gutted, walang problema sa inihaw:

Sa kalaunan:

Dahil maaari kaming pumili ng anumang tunay na numero bilang isang halaga, ginagawa namin ang kapalit at makuha .

Sagot: a-prioryo.

Para sa mga layunin ng pag-verify, hanapin natin ang derivative gamit ang mga panuntunan

pagkakaiba-iba at mga talahanayan:

Palaging kapaki-pakinabang at kaaya-aya na malaman ang tamang sagot nang maaga, kaya mas mahusay na pag-iba-ibahin ang iminungkahing function sa isang "mabilis" na paraan, alinman sa pag-iisip o sa isang draft, sa pinakadulo simula ng solusyon.

Hanapin ang derivative ng isang function sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang resulta ay halata:

Bumalik tayo sa istilo #2: Halimbawa 7

Alamin natin agad kung ano ang dapat mangyari. Sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga kumplikadong function:

Solusyon: isaalang-alang ang isang di-makatwirang punto na kabilang sa, itakda ang pagtaas ng argumento dito at gawin ang pagtaas

Hanapin natin ang derivative:

(1) Ginagamit namin ang trigonometric formula

(2) Sa ilalim ng sine binubuksan namin ang mga bracket, sa ilalim ng cosine ipinakita namin ang mga katulad na termino.

(3) Sa ilalim ng sine kinakansela natin ang mga termino, sa ilalim ng cosine hinahati natin ang numerator sa termino ng denominator ayon sa termino.

(4) Dahil sa kakaiba ng sine, inilalabas namin ang "minus". Sa ilalim ng cosine

ipinapahiwatig namin na ang terminong .

(5) Nagsasagawa kami ng artipisyal na pagpaparami sa denominator upang magamit unang kahanga-hangang limitasyon. Kaya, ang kawalan ng katiyakan ay tinanggal, ayusin natin ang resulta.

Sagot: sa pamamagitan ng kahulugan Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahirapan ng problemang isinasaalang-alang ay nakasalalay

pagiging kumplikado ng mismong limitasyon + bahagyang pagka-orihinal ng packaging. Sa pagsasagawa, ang parehong mga pamamaraan ng disenyo ay nangyayari, kaya inilalarawan ko ang parehong mga diskarte sa mas maraming detalye hangga't maaari. Ang mga ito ay katumbas, ngunit gayon pa man, sa aking pansariling impresyon, mas ipinapayong para sa mga dummies na manatili sa opsyon 1 na may "X-zero".

Gamit ang kahulugan, hanapin ang derivative ng function

Ito ay isang gawain para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang sample ay idinisenyo sa parehong espiritu tulad ng nakaraang halimbawa.

Tingnan natin ang isang mas bihirang bersyon ng problema:

Hanapin ang derivative ng isang function sa isang punto gamit ang kahulugan ng derivative.

Una, ano ang dapat na nasa ilalim na linya? Bilang Kalkulahin natin ang sagot sa karaniwang paraan:

Solusyon: mula sa isang malinaw na pananaw, ang gawaing ito ay mas simple, dahil sa formula, sa halip na

ang isang tiyak na halaga ay isinasaalang-alang.

Itakda natin ang increment sa punto at buuin ang kaukulang pagtaas ng function:

Kalkulahin natin ang derivative sa punto:

Gumagamit kami ng isang napakabihirang formula ng pagkakaiba-iba ng tangent at muli binabawasan namin ang solusyon sa una

kapansin-pansing limitasyon:

Sagot: sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative sa isang punto.

Ang problema ay hindi napakahirap malutas "sa pangkalahatan" - sapat na upang palitan ang kuko, o depende lamang sa paraan ng disenyo. Sa kasong ito, malinaw na ang resulta ay hindi isang numero, ngunit isang nagmula na function.

Halimbawa 10 Gamit ang kahulugan, hanapin ang derivative ng function sa punto

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Ang pangwakas na gawain ng bonus ay pangunahing inilaan para sa mga mag-aaral na may malalim na pag-aaral ng mathematical analysis, ngunit hindi rin ito makakasakit sa sinuman:

Magiging differentiable ba ang function? sa punto?

Solusyon: Ito ay malinaw na ang isang piecewise na ibinigay na function ay tuloy-tuloy sa isang punto, ngunit ito ba ay naiba-iba doon?

Ang algorithm ng solusyon, at hindi lamang para sa mga piecewise function, ay ang mga sumusunod:

1) Hanapin ang left-hand derivative sa isang naibigay na punto: .

2) Hanapin ang right-hand derivative sa isang naibigay na punto: .

3) Kung ang mga one-sided derivatives ay may hangganan at nag-tutugma:

, kung gayon ang function ay naiba sa punto

sa geometriko, mayroong isang karaniwang tangent dito (tingnan ang teoretikal na bahagi ng aralin Kahulugan at kahulugan ng derivative).

Kung dalawang magkaibang halaga ang natanggap: (Ang isa sa mga ito ay maaaring maging walang katapusan), kung gayon ang function ay hindi naiiba sa punto.

Kung ang parehong one-sided derivatives ay katumbas ng infinity

(kahit na magkaiba sila ng mga palatandaan), kung gayon ang pag-andar ay hindi

ay naiba-iba sa punto, ngunit mayroong isang walang katapusang derivative at isang karaniwang patayong padaplis sa graph (tingnan ang halimbawa ng aralin 5Normal na equation) .

Sa araling ito matututunan natin ang paglalapat ng mga pormula at tuntunin ng pagkakaiba.

Mga halimbawa. Maghanap ng mga derivatives ng mga function.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Paglalapat ng panuntunan ako, mga formula 4, 2 at 1. Nakukuha namin:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Pareho kaming nalulutas, gamit ang parehong mga formula at formula 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Paglalapat ng panuntunan ako, mga formula 3, 5 At 6 At 1.

Paglalapat ng panuntunan IV, mga formula 5 At 1 .

Sa ikalimang halimbawa, ayon sa tuntunin ako ang derivative ng sum ay katumbas ng sum ng derivatives, at nakita lang namin ang derivative ng 1st term (halimbawa 4 ), samakatuwid, makakahanap tayo ng mga derivatives ika-2 At ika-3 mga tuntunin, at para sa 1st summand maaari naming agad na isulat ang resulta.

Magkaiba tayo ika-2 At ika-3 mga tuntunin ayon sa pormula 4 . Upang gawin ito, binabago natin ang mga ugat ng ikatlo at ikaapat na kapangyarihan sa mga denominador sa mga kapangyarihan na may negatibong exponents, at pagkatapos, ayon sa 4 formula, nakakahanap tayo ng mga derivatives ng mga kapangyarihan.

Tingnan ang halimbawang ito at ang resulta. Nahuli mo ba ang pattern? ayos lang. Nangangahulugan ito na mayroon kaming bagong formula at maaari itong idagdag sa aming talahanayan ng mga derivatives.

Lutasin natin ang ika-anim na halimbawa at kumuha ng isa pang formula.

Gamitin natin ang panuntunan IV at pormula 4 . Bawasan natin ang mga resultang fraction.

Tingnan natin ang function na ito at ang derivative nito. Siyempre, naiintindihan mo ang pattern at handa ka nang pangalanan ang formula:

Pag-aaral ng mga bagong formula!

Mga halimbawa.

1. Hanapin ang increment ng argument at ang increment ng function na y= x 2, kung ang paunang halaga ng argumento ay katumbas ng 4 , at bago - 4,01 .

Solusyon.

Bagong halaga ng argumento x=x 0 +Δx. Palitan natin ang data: 4.01=4+Δх, kaya ang pagtaas ng argumento Δх=4.01-4=0.01. Ang pagtaas ng isang function, sa pamamagitan ng kahulugan, ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng bago at nakaraang mga halaga ng function, i.e. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Since may function kami y=x2, Iyon Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Sagot: pagtaas ng argumento Δх=0.01; pagtaas ng function Δу=0,0801.

Ang pagtaas ng function ay maaaring matagpuan sa ibang paraan: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Hanapin ang anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng function y=f(x) sa punto x 0, Kung f "(x 0) = 1.

Solusyon.

Ang halaga ng derivative sa punto ng tangency x 0 at ang halaga ng tangent ng tangent angle (ang geometric na kahulugan ng derivative). Meron kami: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, kasi tg45°=1.

Sagot: ang tangent sa graph ng function na ito ay bumubuo ng isang anggulo na may positibong direksyon ng Ox axis na katumbas ng 45°.

3. Kunin ang formula para sa derivative ng function y=xn.

Differentiation ay ang aksyon ng paghahanap ng derivative ng isang function.

Kapag naghahanap ng mga derivative, gumamit ng mga formula na hinango batay sa kahulugan ng isang derivative, sa parehong paraan kung paano namin nakuha ang formula para sa derivative degree: (x n)" = nx n-1.

Ito ang mga formula.

Talaan ng mga derivatives Magiging mas madaling kabisaduhin sa pamamagitan ng pagbigkas ng mga verbal formulations:

1. Ang derivative ng isang pare-parehong dami ay zero.

2. Ang X prime ay katumbas ng isa.

3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative.

4. Ang derivative ng isang degree ay katumbas ng produkto ng exponent ng degree na ito sa isang degree na may parehong base, ngunit ang exponent ay mas mababa ng isa.

5. Ang derivative ng isang ugat ay katumbas ng isa na hinati ng dalawang pantay na ugat.

6. Ang derivative ng isang hinati sa x ay katumbas ng minus one na hinati ng x squared.

7. Ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine.

8. Ang derivative ng cosine ay katumbas ng minus sine.

9. Ang derivative ng tangent ay katumbas ng isang hinati sa parisukat ng cosine.

10. Ang derivative ng cotangent ay katumbas ng minus one na hinati sa square ng sine.

Nagtuturo kami mga panuntunan sa pagkakaiba-iba.

1. Ang derivative ng isang algebraic sum ay katumbas ng algebraic sum ng mga derivatives ng mga termino.

2. Ang derivative ng isang produkto ay katumbas ng produkto ng derivative ng unang factor at ang pangalawa kasama ang produkto ng unang factor at ang derivative ng pangalawa.

3. Ang derivative ng "y" na hinati sa "ve" ay katumbas ng isang fraction kung saan ang numerator ay "y prime na pinarami ng "ve" minus "y multiplied sa ve prime", at ang denominator ay "ve squared".

4. Isang espesyal na kaso ng formula 3.

Sama-sama tayong matuto!

Pahina 1 ng 1 1