Upang matukoy ang lugar ng isang tatsulok, maaari kang gumamit ng iba't ibang mga formula. Sa lahat ng mga pamamaraan, ang pinakamadali at madalas na ginagamit ay ang pagpaparami ng taas sa haba ng base, na sinusundan ng paghahati ng resulta sa dalawa. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay malayo sa isa lamang. Sa ibaba maaari mong basahin kung paano hanapin ang lugar ng isang tatsulok gamit ang iba't ibang mga formula.

Hiwalay, isasaalang-alang namin ang mga pamamaraan para sa pagkalkula ng lugar ng mga tiyak na uri ng tatsulok - hugis-parihaba, isosceles at equilateral. Sinamahan namin ang bawat formula na may maikling paliwanag na makakatulong sa iyong maunawaan ang kakanyahan nito.

Mga unibersal na paraan upang mahanap ang lugar ng isang tatsulok

Ang mga formula sa ibaba ay gumagamit ng espesyal na notasyon. Tatalakayin natin ang bawat isa sa kanila:

• a, b, c ay ang mga haba ng tatlong panig ng figure na aming isinasaalang-alang;
• r ay ang radius ng isang bilog na maaaring nakasulat sa ating tatsulok;
• R ay ang radius ng bilog na maaaring ilarawan sa paligid nito;
• α - ang halaga ng anggulo na nabuo ng mga panig b at c;
• Ang β ay ang anggulo sa pagitan ng a at c;
• γ - ang halaga ng anggulo na nabuo ng mga panig a at b;
• h ang taas ng ating tatsulok, na ibinaba mula sa anggulo α hanggang sa gilid a;
• Ang p ay kalahati ng kabuuan ng mga panig a, b at c.

Ito ay lohikal na malinaw kung bakit maaari mong mahanap ang lugar ng isang tatsulok sa ganitong paraan. Ang tatsulok ay madaling makumpleto sa isang paralelogram, kung saan ang isang gilid ng tatsulok ay magsisilbing dayagonal. Ang lugar ng isang paralelogram ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpaparami ng haba ng isa sa mga gilid nito sa halaga ng taas na iginuhit dito. Hinahati ng dayagonal ang conditional parallelogram na ito sa 2 magkaparehong tatsulok. Samakatuwid, medyo halata na ang lugar ng aming orihinal na tatsulok ay dapat na katumbas ng kalahati ng lugar ng auxiliary parallelogram na ito.

S=½ a b sin γ

Ayon sa formula na ito, ang lugar ng isang tatsulok ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga haba ng dalawang panig nito, iyon ay, a at b, sa pamamagitan ng sine ng anggulo na kanilang nabuo. Ang formula na ito ay lohikal na hinango mula sa nauna. Kung ibababa natin ang taas mula sa anggulo β hanggang sa gilid b, kung gayon, ayon sa mga katangian ng isang tamang tatsulok, kapag pinarami ang haba ng gilid a ng sine ng anggulo γ, nakukuha natin ang taas ng tatsulok, iyon ay, h.

Ang lugar ng figure na isinasaalang-alang ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpaparami ng kalahati ng radius ng bilog, na maaaring nakasulat dito, sa pamamagitan ng perimeter nito. Sa madaling salita, nakita natin ang produkto ng semiperimeter at ang radius ng nabanggit na bilog.

S= a b c/4R

Ayon sa formula na ito, ang halaga na kailangan natin ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng produkto ng mga gilid ng figure sa pamamagitan ng 4 na radii ng bilog na nakapaligid sa paligid nito.

Ang mga formula na ito ay unibersal, dahil ginagawang posible upang matukoy ang lugar ng anumang tatsulok (scalene, isosceles, equilateral, right-angled). Magagawa ito sa tulong ng mas kumplikadong mga kalkulasyon, na hindi natin tatalakayin nang detalyado.

Mga lugar ng mga tatsulok na may mga tiyak na katangian

Paano mahahanap ang lugar ng isang tamang tatsulok? Ang isang tampok ng figure na ito ay ang dalawang gilid nito ay sabay-sabay ang taas nito. Kung ang a at b ay mga binti, at ang c ay nagiging hypotenuse, kung gayon ang lugar ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Paano mahahanap ang lugar ng isang isosceles triangle? Ito ay may dalawang panig na may haba a at isang panig na may haba b. Samakatuwid, ang lugar nito ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng paghahati sa pamamagitan ng 2 ang produkto ng parisukat ng gilid a sa pamamagitan ng sine ng anggulo γ.

Paano mahahanap ang lugar ng isang equilateral triangle? Sa loob nito, ang haba ng lahat ng panig ay a, at ang halaga ng lahat ng mga anggulo ay α. Ang taas nito ay kalahati ng produkto ng haba ng gilid isang beses ang square root ng 3. Upang mahanap ang lugar ng isang regular na tatsulok, kailangan mo ang parisukat ng gilid na pinarami ng square root ng 3 at hinati sa 4.

Ang tatsulok ay isang kilalang pigura. At ito, sa kabila ng mayamang pagkakaiba-iba ng mga anyo nito. Parihabang, equilateral, acute, isosceles, obtuse. Ang bawat isa sa kanila ay medyo naiiba. Ngunit para sa anumang kinakailangan na malaman ang lugar ng tatsulok.

Mga karaniwang formula para sa lahat ng tatsulok na gumagamit ng mga haba ng mga gilid o taas

Ang mga pagtatalaga na pinagtibay sa kanila: panig - a, b, c; taas sa kaukulang panig sa a, n in, n s.

1. Ang lugar ng isang tatsulok ay kinakalkula bilang produkto ng ½, ang gilid at ang taas na ibinaba dito. S = ½ * a * n a. Katulad nito, dapat magsulat ng mga formula para sa iba pang dalawang panig.

2. Ang formula ng Heron, kung saan lumilitaw ang semi-perimeter (karaniwan itong tukuyin ng isang maliit na titik p, sa kaibahan sa buong perimeter). Ang semi-perimeter ay dapat kalkulahin tulad ng sumusunod: idagdag ang lahat ng mga gilid at hatiin ang mga ito sa 2. Ang formula para sa semi-perimeter: p \u003d (a + b + c) / 2. Pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay para sa lugar ng ​​\u200b\u200bang pigura ay ganito ang hitsura: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Kung hindi mo nais na gumamit ng isang semi-perimeter, kung gayon ang gayong pormula ay magagamit, kung saan ang mga haba lamang ng mga gilid ay naroroon: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Medyo mas mahaba ito kaysa sa nauna, ngunit makakatulong ito kung nakalimutan mo kung paano hanapin ang semi-perimeter.

Mga pangkalahatang formula kung saan lumilitaw ang mga anggulo ng isang tatsulok

Ang notasyon na kinakailangan upang mabasa ang mga formula: α, β, γ - mga anggulo. Nakahiga sila sa magkabilang panig a, b, c, ayon sa pagkakabanggit.

1. Ayon dito, ang kalahati ng produkto ng dalawang panig at ang sine ng anggulo sa pagitan nila ay katumbas ng lugar ng tatsulok. Iyon ay: S = ½ a * b * sin γ. Ang mga formula para sa iba pang dalawang kaso ay dapat na nakasulat sa katulad na paraan.

2. Ang lugar ng isang tatsulok ay maaaring kalkulahin mula sa isang gilid at tatlong kilalang anggulo. S \u003d (isang 2 * kasalanan β * kasalanan γ) / (2 kasalanan α).

3. Mayroon ding formula na may isang kilalang panig at dalawang anggulo na katabi nito. Mukhang ganito: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Ang huling dalawang formula ay hindi ang pinakasimpleng. Medyo mahirap tandaan ang mga ito.

Mga pangkalahatang formula para sa sitwasyon kung kailan alam ang radii ng mga naka-inscribe o circumscribed na bilog

Mga karagdagang pagtatalaga: r, R - radii. Ang una ay ginagamit para sa radius ng inscribed na bilog. Ang pangalawa ay para sa inilarawan.

1. Ang unang formula kung saan kinakalkula ang lugar ng isang tatsulok ay nauugnay sa semi-perimeter. S = r * r. Sa ibang paraan, maaari itong isulat bilang mga sumusunod: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Sa pangalawang kaso, kakailanganin mong i-multiply ang lahat ng panig ng tatsulok at hatiin ang mga ito sa quadruple radius ng circumscribed circle. Sa literal na mga termino, ganito ang hitsura nito: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Ang ikatlong sitwasyon ay nagpapahintulot sa iyo na gawin nang hindi nalalaman ang mga panig, ngunit kailangan mo ang mga halaga ng lahat ng tatlong anggulo. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Espesyal na kaso: kanang tatsulok

Ito ang pinakasimpleng sitwasyon, dahil kailangan lamang ang haba ng magkabilang binti. Ang mga ito ay tinutukoy ng mga letrang Latin na a at b. Ang lugar ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng lugar ng rektanggulo na idinagdag dito.

Sa matematika, ganito ang hitsura: S = ½ a * b. Siya ang pinakamadaling tandaan. Dahil mukhang ang formula para sa lugar ng isang parihaba, isang fraction lamang ang lilitaw, na tumutukoy sa kalahati.

Espesyal na kaso: isosceles triangle

Dahil ang dalawang panig nito ay pantay, ang ilang mga formula para sa lugar nito ay mukhang medyo pinasimple. Halimbawa, ang formula ng Heron, na kinakalkula ang lugar ng isang isosceles triangle, ay tumatagal ng sumusunod na anyo:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Kung iko-convert mo ito, ito ay magiging mas maikli. Sa kasong ito, ang formula ni Heron para sa isang isosceles triangle ay nakasulat bilang mga sumusunod:

S = ¼ sa √(4 * a 2 - b 2).

Ang formula ng lugar ay mukhang medyo mas simple kaysa sa isang arbitrary na tatsulok kung ang mga gilid at anggulo sa pagitan ng mga ito ay kilala. S \u003d ½ a 2 * kasalanan β.

Espesyal na kaso: equilateral triangle

Kadalasan, sa mga problema tungkol sa kanya, ang panig ay kilala o kahit papaano ay makikilala. Kung gayon ang pormula para sa paghahanap ng lugar ng naturang tatsulok ay ang mga sumusunod:

S = (a 2 √3) / 4.

Mga gawain para sa paghahanap ng lugar kung ang tatsulok ay inilalarawan sa checkered na papel

Ang pinakasimpleng sitwasyon ay kapag ang isang right-angled na tatsulok ay iguguhit upang ang mga binti nito ay tumutugma sa mga linya ng papel. Pagkatapos ay kailangan mo lamang bilangin ang bilang ng mga cell na magkasya sa mga binti. Pagkatapos ay i-multiply ang mga ito at hatiin ng dalawa.

Kapag ang tatsulok ay acute o obtuse, dapat itong iguhit sa isang parihaba. Pagkatapos sa resultang figure magkakaroon ng 3 triangles. Ang isa ay ang ibinigay sa gawain. At ang dalawa pa ay auxiliary at rectangular. Ang mga lugar ng huling dalawa ay dapat matukoy ng pamamaraang inilarawan sa itaas. Pagkatapos ay kalkulahin ang lugar ng rektanggulo at ibawas mula dito ang mga kinakalkula para sa mga pantulong. Ang lugar ng tatsulok ay tinutukoy.

Ang mas mahirap ay ang sitwasyon kung saan wala sa mga gilid ng tatsulok ang tumutugma sa mga linya ng papel. Pagkatapos ay dapat itong nakasulat sa isang rektanggulo upang ang mga vertices ng orihinal na pigura ay nasa gilid nito. Sa kasong ito, magkakaroon ng tatlong auxiliary right triangles.

Isang halimbawa ng problema sa formula ni Heron

kundisyon. May mga gilid ang ilang tatsulok. Ang mga ito ay katumbas ng 3, 5 at 6 cm. Kailangan mong malaman ang lugar nito.

Ngayon ay maaari mong kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok gamit ang formula sa itaas. Sa ilalim ng square root ay ang produkto ng apat na numero: 7, 4, 2 at 1. Ibig sabihin, ang lugar ay √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Kung hindi mo kailangan ng higit pang katumpakan, maaari mong kunin ang square root na 14. Ito ay 3.74. Pagkatapos ang lugar ay magiging katumbas ng 7.48.

Sagot. S \u003d 2 √14 cm 2 o 7.48 cm 2.

Isang halimbawa ng problema sa tamang tatsulok

kundisyon. Ang isang paa ng isang right-angled triangle ay 31 cm na mas mahaba kaysa sa pangalawa. Kinakailangang malaman ang kanilang mga haba kung ang area ng triangle ay 180 cm 2.
Solusyon. Kailangan mong lutasin ang isang sistema ng dalawang equation. Ang una ay may kinalaman sa lugar. Ang pangalawa ay sa ratio ng mga binti, na ibinigay sa problema.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Una, ang halaga ng "a" ay dapat na palitan sa unang equation. Ito ay lumiliko: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Mayroon lamang itong hindi kilalang dami, kaya madaling malutas. Pagkatapos buksan ang mga bracket, ang isang quadratic equation ay nakuha: sa 2 + 31 sa - 360 \u003d 0. Nagbibigay ito ng dalawang halaga para sa "in": 9 at - 40. Ang pangalawang numero ay hindi angkop bilang isang sagot , dahil hindi maaaring negatibong halaga ang haba ng gilid ng tatsulok.

Ito ay nananatiling kalkulahin ang pangalawang leg: magdagdag ng 31 sa resultang numero. Ito ay lumalabas na 40. Ito ang mga dami na hinahanap sa problema.

Sagot. Ang mga binti ng tatsulok ay 9 at 40 cm.

Ang gawain ng paghahanap ng gilid sa pamamagitan ng lugar, gilid at anggulo ng isang tatsulok

kundisyon. Ang lugar ng ilang tatsulok ay 60 cm2. Kinakailangang kalkulahin ang isa sa mga panig nito kung ang pangalawang panig ay 15 cm, at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 30º.

Solusyon. Batay sa tinanggap na mga pagtatalaga, ang nais na bahagi ay "a", ang kilalang "b", ang ibinigay na anggulo ay "γ". Pagkatapos ang formula ng lugar ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

60 \u003d ½ a * 15 * kasalanan 30º. Dito ang sine ng 30 degrees ay 0.5.

Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, ang "a" ay lumalabas na katumbas ng 60 / (0.5 * 0.5 * 15). Iyon ay 16.

Sagot. Ang nais na bahagi ay 16 cm.

Ang problema ng isang parisukat na nakasulat sa isang tamang tatsulok

kundisyon. Ang vertex ng isang parisukat na may gilid na 24 cm ay tumutugma sa tamang anggulo ng tatsulok. Ang dalawa pa ay nakahiga sa mga binti. Ang pangatlo ay kabilang sa hypotenuse. Ang haba ng isa sa mga binti ay 42 cm Ano ang lugar ng isang tamang tatsulok?

Solusyon. Isaalang-alang ang dalawang tamang tatsulok. Ang una ay tinukoy sa gawain. Ang pangalawa ay batay sa kilalang binti ng orihinal na tatsulok. Ang mga ito ay magkatulad dahil mayroon silang isang karaniwang anggulo at nabuo sa pamamagitan ng mga parallel na linya.

Pagkatapos ang mga ratios ng kanilang mga binti ay pantay. Ang mga binti ng mas maliit na tatsulok ay 24 cm (gilid ng parisukat) at 18 cm (ibinigay na binti 42 cm minus ang gilid ng parisukat na 24 cm). Ang kaukulang mga binti ng malaking tatsulok ay 42 cm at x cm. Ito ang "x" na kailangan upang makalkula ang lugar ng tatsulok.

18/42 \u003d 24 / x, iyon ay, x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Pagkatapos ang lugar ay katumbas ng produkto ng 56 at 42, na hinati sa dalawa, iyon ay, 1176 cm 2.

Sagot. Ang gustong lugar ay 1176 cm 2.

Ang tatsulok ay isa sa mga pinakakaraniwang geometric na hugis, na pamilyar na tayo sa elementarya. Ang tanong kung paano hanapin ang lugar ng isang tatsulok ay kinakaharap ng bawat mag-aaral sa mga aralin sa geometry. Kaya, ano ang mga tampok ng paghahanap ng lugar ng isang ibinigay na figure ay maaaring makilala? Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin ang mga pangunahing formula na kinakailangan upang makumpleto ang naturang gawain, at pag-aralan din ang mga uri ng mga tatsulok.

Mga uri ng tatsulok

Maaari mong mahanap ang lugar ng isang tatsulok sa ganap na magkakaibang mga paraan, dahil sa geometry mayroong higit sa isang uri ng figure na naglalaman ng tatlong anggulo. Kabilang sa mga uri na ito ang:

• mahina ang ulo.
• Equilateral (tama).
• Kanang tatsulok.
• Isosceles.

Tingnan natin ang bawat isa sa mga umiiral na uri ng mga tatsulok.

Ang nasabing geometric figure ay itinuturing na pinakakaraniwan sa paglutas ng mga problemang geometriko. Kapag naging kinakailangan upang gumuhit ng isang di-makatwirang tatsulok, ang pagpipiliang ito ay darating upang iligtas.

Sa isang talamak na tatsulok, gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang lahat ng mga anggulo ay talamak at nagdaragdag ng hanggang 180°.

Ang gayong tatsulok ay karaniwan din, ngunit medyo hindi gaanong karaniwan kaysa sa isang talamak na anggulo. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga tatsulok (iyon ay, alam mo ang ilan sa mga gilid at anggulo nito at kailangan mong hanapin ang natitirang mga elemento), minsan kailangan mong matukoy kung ang anggulo ay mahina o hindi. Ang Cosine ay isang negatibong numero.

Sa halaga ng isa sa mga anggulo ay lumampas sa 90°, kaya ang natitirang dalawang anggulo ay maaaring tumagal ng maliliit na halaga (halimbawa, 15° o kahit 3°).

Upang mahanap ang lugar ng isang tatsulok ng ganitong uri, kailangan mong malaman ang ilan sa mga nuances, na pag-uusapan natin sa susunod.

Regular at isosceles triangles

Ang isang regular na polygon ay isang pigura na kinabibilangan ng n anggulo, kung saan ang lahat ng panig at anggulo ay pantay. Ito ang tamang tatsulok. Dahil ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180°, ang bawat isa sa tatlong anggulo ay 60°.

Ang tamang tatsulok, dahil sa ari-arian nito, ay tinatawag ding equilateral figure.

Kapansin-pansin din na isang bilog lamang ang maaaring ma-inscribe sa isang regular na tatsulok at isang bilog lamang ang maaaring ma-circumscribe sa paligid nito, at ang kanilang mga sentro ay matatagpuan sa isang punto.

Bilang karagdagan sa uri ng equilateral, maaari ding makilala ng isa ang isang isosceles triangle, na bahagyang naiiba mula dito. Sa gayong tatsulok, ang dalawang panig at dalawang anggulo ay pantay-pantay sa isa't isa, at ang ikatlong panig (kung saan magkadugtong ang magkaparehong mga anggulo) ay ang base.

Ang figure ay nagpapakita ng isosceles triangle DEF, ang mga anggulo D at F na kung saan ay pantay, at DF ang base.

Kanang tatsulok

Ang tamang tatsulok ay pinangalanan dahil ang isa sa mga anggulo nito ay isang tamang anggulo, ibig sabihin, katumbas ng 90°. Ang iba pang dalawang anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 90°.

Ang pinakamalaking bahagi ng naturang tatsulok, na nakahiga sa tapat ng isang anggulo ng 90 °, ay ang hypotenuse, habang ang iba pang dalawang panig nito ay ang mga binti. Para sa ganitong uri ng mga tatsulok, ang Pythagorean theorem ay naaangkop:

Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng haba ng hypotenuse.

Ang figure ay nagpapakita ng isang right triangle BAC na may hypotenuse AC at mga binti AB at BC.

Upang mahanap ang lugar ng isang tatsulok na may tamang anggulo, kailangan mong malaman ang mga numerical na halaga ng mga binti nito.

Lumipat tayo sa mga formula para sa paghahanap ng lugar ng isang ibinigay na pigura.

Mga pangunahing formula para sa paghahanap ng lugar

Sa geometry, ang dalawang mga formula ay maaaring makilala na angkop para sa paghahanap ng lugar ng karamihan sa mga uri ng mga tatsulok, lalo na para sa acute-angled, obtuse-angled, regular at isosceles triangles. Suriin natin ang bawat isa sa kanila.

Sa gilid at taas

Ang formula na ito ay unibersal para sa paghahanap ng lugar ng figure na aming isinasaalang-alang. Upang gawin ito, sapat na malaman ang haba ng gilid at ang haba ng taas na iginuhit dito. Ang formula mismo (kalahati ng produkto ng base at taas) ay ang mga sumusunod:

kung saan ang A ay ang gilid ng ibinigay na tatsulok at ang H ay ang taas ng tatsulok.

Halimbawa, upang mahanap ang lugar ng isang acute-angled triangle ACB, kailangan mong i-multiply ang side AB nito sa taas na CD at hatiin ang resultang halaga sa dalawa.

Gayunpaman, hindi laging madaling mahanap ang lugar ng isang tatsulok sa ganitong paraan. Halimbawa, upang magamit ang formula na ito para sa isang obtuse-angled triangle, kailangan mong ipagpatuloy ang isa sa mga gilid nito at pagkatapos ay gumuhit ng taas dito.

Sa pagsasagawa, ang formula na ito ay ginagamit nang mas madalas kaysa sa iba.

Dalawang gilid at isang sulok

Ang formula na ito, tulad ng nauna, ay angkop para sa karamihan ng mga tatsulok at sa kahulugan nito ay isang kinahinatnan ng formula para sa paghahanap ng lugar sa gilid at taas ng isang tatsulok. Iyon ay, ang formula na isinasaalang-alang ay madaling mahihinuha mula sa nauna. Ang mga salita nito ay ganito:

S = ½*sinO*A*B,

kung saan ang A at B ay ang mga gilid ng tatsulok at ang O ay ang anggulo sa pagitan ng panig A at B.

Alalahanin na ang sine ng isang anggulo ay maaaring matingnan sa isang espesyal na talahanayan na pinangalanang pagkatapos ng natitirang Soviet mathematician na si V. M. Bradis.

At ngayon ay lumipat tayo sa iba pang mga formula na angkop lamang para sa mga pambihirang uri ng mga tatsulok.

Lugar ng isang tamang tatsulok

Bilang karagdagan sa unibersal na formula, na kinabibilangan ng pangangailangan na gumuhit ng taas sa isang tatsulok, ang lugar ng isang tatsulok na naglalaman ng isang tamang anggulo ay matatagpuan mula sa mga binti nito.

Kaya, ang lugar ng isang tatsulok na naglalaman ng isang tamang anggulo ay kalahati ng produkto ng mga binti nito, o:

kung saan ang a at b ay ang mga binti ng isang tamang tatsulok.

kanang tatsulok

Ang ganitong uri ng mga geometric na figure ay naiiba dahil ang lugar nito ay matatagpuan na may tinukoy na halaga ng isa lamang sa mga gilid nito (dahil ang lahat ng panig ng isang regular na tatsulok ay pantay). Kaya, na natugunan ang gawain ng "hanapin ang lugar ng isang tatsulok kapag ang mga gilid ay pantay", kailangan mong gamitin ang sumusunod na formula:

S = A 2 *√3 / 4,

kung saan ang A ay ang gilid ng isang equilateral triangle.

Formula ni Heron

Ang huling pagpipilian para sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok ay ang formula ng Heron. Upang magamit ito, kailangan mong malaman ang mga haba ng tatlong panig ng pigura. Ang formula ng Heron ay ganito:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

kung saan ang a, b at c ay ang mga gilid ng ibinigay na tatsulok.

Minsan ang gawain ay ibinigay: "ang lugar ng isang regular na tatsulok ay upang mahanap ang haba ng gilid nito." Sa kasong ito, kailangan mong gamitin ang formula na kilala na sa amin para sa paghahanap ng lugar ng isang regular na tatsulok at makuha mula dito ang halaga ng gilid (o parisukat nito):

Isang 2 \u003d 4S / √3.

Mga problema sa pagsusulit

Maraming mga formula sa mga gawain ng GIA sa matematika. Bilang karagdagan, madalas na kinakailangan upang mahanap ang lugar ng isang tatsulok sa checkered na papel.

Sa kasong ito, ito ay pinaka-maginhawa upang iguhit ang taas sa isa sa mga gilid ng figure, matukoy ang haba nito sa pamamagitan ng mga cell at gamitin ang unibersal na formula para sa paghahanap ng lugar:

Kaya, pagkatapos pag-aralan ang mga formula na ipinakita sa artikulo, hindi ka magkakaroon ng mga problema sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok ng anumang uri.

Lugar ng isang tatsulok - mga formula at mga halimbawa ng paglutas ng problema

Nasa ibaba ang mga mga formula para sa paghahanap ng lugar ng isang di-makatwirang tatsulok na angkop para sa paghahanap ng lugar ng anumang tatsulok, anuman ang mga katangian, anggulo o sukat nito. Ang mga formula ay ipinakita sa anyo ng isang larawan, narito ang mga paliwanag para sa aplikasyon o pagbibigay-katwiran ng kanilang kawastuhan. Gayundin, ang isang hiwalay na figure ay nagpapakita ng mga sulat ng mga simbolo ng titik sa mga formula at ang mga graphic na simbolo sa pagguhit.

Tandaan . Kung ang tatsulok ay may mga espesyal na katangian (isosceles, rectangular, equilateral), maaari mong gamitin ang mga formula sa ibaba, pati na rin ang mga espesyal na formula na totoo lamang para sa mga triangles na may ganitong mga katangian:

• "Mga formula para sa lugar ng isang equilateral triangle"

Mga formula ng lugar ng tatsulok

Mga paliwanag para sa mga formula:
a, b, c- ang mga haba ng mga gilid ng tatsulok na ang lugar ay gusto nating hanapin
r- ang radius ng bilog na nakasulat sa tatsulok
R- ang radius ng circumscribed na bilog sa paligid ng tatsulok
h- ang taas ng tatsulok, ibinaba sa gilid
p- semiperimeter ng isang tatsulok, 1/2 ang kabuuan ng mga gilid nito (perimeter)
α - ang anggulo sa tapat ng gilid a ng tatsulok
β - ang anggulo sa tapat ng gilid b ng tatsulok
γ - ang anggulo sa tapat ng gilid c ng tatsulok
h a, h b , h c- ang taas ng tatsulok, ibinaba sa gilid a, b, c

Mangyaring tandaan na ang ibinigay na notasyon ay tumutugma sa figure sa itaas, upang kapag nilutas ang isang tunay na problema sa geometry, magiging mas madali para sa iyo na biswal na palitan ang mga tamang halaga sa mga tamang lugar sa formula.

• Ang lugar ng tatsulok ay kalahati ng produkto ng taas ng isang tatsulok at ang haba ng gilid kung saan ibinababa ang taas na ito(Formula 1). Ang kawastuhan ng formula na ito ay maaaring maunawaan nang lohikal. Ang taas na ibinaba sa base ay hahatiin ang isang arbitrary na tatsulok sa dalawang hugis-parihaba. Kung kumpletuhin natin ang bawat isa sa kanila sa isang rektanggulo na may mga sukat b at h, kung gayon, malinaw naman, ang lugar ng mga tatsulok na ito ay magiging eksaktong kalahati ng lugar ng rektanggulo (Spr = bh)
• Ang lugar ng tatsulok ay kalahati ng produkto ng dalawang panig nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila(Formula 2) (tingnan ang isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang formula na ito sa ibaba). Sa kabila ng katotohanan na ito ay tila naiiba mula sa nauna, madali itong ma-transform dito. Kung ibababa natin ang taas mula sa anggulo B hanggang sa gilid b, lumalabas na ang produkto ng gilid a at ang sine ng anggulo γ, ayon sa mga katangian ng sine sa isang tamang tatsulok, ay katumbas ng taas ng tatsulok na iginuhit ng sa amin, na magbibigay sa amin ng nakaraang formula
• Ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay matatagpuan sa kabila trabaho kalahati ng radius ng isang bilog na nakasulat dito sa pamamagitan ng kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig nito(Formula 3), sa madaling salita, kailangan mong i-multiply ang kalahating perimeter ng tatsulok sa radius ng inscribed na bilog (mas madaling matandaan sa ganitong paraan)
• Ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng produkto ng lahat ng panig nito sa 4 na radii ng bilog na nakapaligid sa paligid nito (Formula 4)
• Ang Formula 5 ay naghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa mga tuntunin ng haba ng mga gilid nito at ang semi-perimeter nito (kalahati ng kabuuan ng lahat ng panig nito)
• Formula ni Heron(6) ay isang representasyon ng parehong formula nang hindi gumagamit ng konsepto ng isang semiperimeter, sa pamamagitan lamang ng mga haba ng mga gilid
• Ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay katumbas ng produkto ng parisukat ng gilid ng tatsulok at ang mga sine ng mga anggulo na katabi ng panig na ito na hinati ng dobleng sine ng anggulo sa tapat ng panig na ito (Formula 7)
• Ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay matatagpuan bilang produkto ng dalawang parisukat ng isang bilog na nakapaligid sa paligid nito at ang mga sine ng bawat anggulo nito. (Formula 8)
• Kung ang haba ng isang gilid at ang magnitude ng dalawang anggulo na katabi nito ay kilala, kung gayon ang lugar ng tatsulok ay matatagpuan bilang parisukat ng panig na ito, na hinati sa dobleng kabuuan ng mga cotangent ng mga ito. anggulo (Formula 9)
• Kung ang haba lamang ng bawat taas ng isang tatsulok ay kilala (Formula 10), kung gayon ang lugar ng naturang tatsulok ay inversely proportional sa mga haba ng mga taas na ito, tulad ng sa Formula ng Heron.
• Binibigyang-daan ka ng Formula 11 na kalkulahin lugar ng isang tatsulok ayon sa mga coordinate ng mga vertices nito, na ibinibigay bilang (x;y) na mga halaga para sa bawat isa sa mga vertex. Mangyaring tandaan na ang resultang halaga ay dapat kunin modulo, dahil ang mga coordinate ng mga indibidwal (o kahit na lahat) na mga vertex ay maaaring nasa lugar ng mga negatibong halaga

Tandaan. Ang mga sumusunod ay mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa geometry upang mahanap ang lugar ng isang tatsulok. Kung kailangan mong malutas ang isang problema sa geometry, katulad ng kung saan ay wala dito - isulat ang tungkol dito sa forum. Sa mga solusyon, ang sqrt() function ay maaaring gamitin sa halip na ang "square root" na simbolo, kung saan ang sqrt ay ang square root na simbolo, at ang radical expression ay ipinahiwatig sa mga bracket.Minsan ang simbolo ay maaaring gamitin para sa mga simpleng radical expression √

Gawain. Hanapin ang lugar na ibinigay ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila

Ang mga gilid ng tatsulok ay 5 at 6 cm. Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 60 degrees. Hanapin ang lugar ng isang tatsulok.

Solusyon.

Upang malutas ang problemang ito, ginagamit namin ang formula bilang dalawang mula sa teoretikal na bahagi ng aralin.
Ang lugar ng isang tatsulok ay matatagpuan sa mga haba ng dalawang panig at ang sine ng anggulo sa pagitan nila at magiging katumbas ng
S=1/2 ab sin γ

Dahil mayroon kaming lahat ng kinakailangang data para sa solusyon (ayon sa formula), maaari lamang nating palitan ang mga halaga mula sa pahayag ng problema sa formula:
S=1/2*5*6*sin60

Sa talahanayan ng mga halaga ng mga pag-andar ng trigonometriko, nakita namin at pinapalitan sa expression ang halaga ng sine 60 degrees. Ito ay magiging katumbas ng ugat ng tatlo sa dalawa.
S = 15 √3 / 2

Sagot: 7.5 √3 (depende sa mga kinakailangan ng guro, posibleng umalis sa 15 √3/2)

Gawain. Hanapin ang lugar ng isang equilateral triangle

Hanapin ang lugar ng isang equilateral triangle na may gilid na 3cm.

Solusyon .

Ang lugar ng isang tatsulok ay matatagpuan gamit ang formula ng Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Dahil ang isang \u003d b \u003d c, ang formula para sa lugar ng isang equilateral triangle ay kukuha ng form:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Sagot: 9 √3 / 4.

Gawain. Baguhin ang lugar kapag binabago ang haba ng mga gilid

Ilang beses tataas ang lugar ng isang tatsulok kung ang mga gilid ay apat na beses?

Solusyon.

Dahil hindi natin alam ang mga sukat ng mga gilid ng tatsulok, upang malutas ang problema ay ipagpalagay natin na ang mga haba ng mga gilid ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng mga di-makatwirang numero a, b, c. Pagkatapos, upang masagot ang tanong ng problema, hinahanap namin ang lugar ng tatsulok na ito, at pagkatapos ay nakita namin ang lugar ng isang tatsulok na ang mga panig ay apat na beses na mas malaki. Ang ratio ng mga lugar ng mga tatsulok na ito ay magbibigay sa atin ng sagot sa problema.

Susunod, nagbibigay kami ng isang tekstong paliwanag ng solusyon ng problema sa mga hakbang. Gayunpaman, sa pinakadulo, ang parehong solusyon ay ipinakita sa isang graphical na anyo na mas maginhawa para sa pang-unawa. Ang mga nagnanais ay maaaring agad na ihulog ang solusyon.

Upang malutas, ginagamit namin ang Heron formula (tingnan sa itaas sa teoretikal na bahagi ng aralin). Mukhang ganito:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(tingnan ang unang linya ng larawan sa ibaba)

Ang mga haba ng mga gilid ng isang arbitrary na tatsulok ay ibinibigay ng mga variable na a, b, c.
Kung ang mga panig ay nadagdagan ng 4 na beses, kung gayon ang lugar ng bagong tatsulok c ay magiging:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(tingnan ang pangalawang linya sa larawan sa ibaba)

Gaya ng nakikita mo, ang 4 ay isang karaniwang salik na maaaring i-bracket sa lahat ng apat na expression ayon sa pangkalahatang tuntunin ng matematika.
Pagkatapos

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - sa ikatlong linya ng larawan
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ikaapat na linya

Mula sa numerong 256, ang square root ay perpektong nakuha, kaya't aalisin namin ito mula sa ilalim ng ugat
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(tingnan ang ikalimang linya ng figure sa ibaba)

Upang masagot ang tanong na iniharap sa problema, sapat na para sa amin na hatiin ang lugar ng nagresultang tatsulok sa lugar ng orihinal.
Tinutukoy namin ang mga ratio ng lugar sa pamamagitan ng paghahati ng mga expression sa isa't isa at pagbabawas ng resultang fraction.