Paghahanap ng lugar ng isang paralelogram gamit ang mga diagonal. Paralelogram at mga katangian nito
Paralelogram ay isang may apat na gilid na ang mga gilid ay magkapareho sa mga pares.
Sa figure na ito, ang magkabilang panig at anggulo ay pantay sa bawat isa. Ang mga diagonal ng isang paralelogram ay nagsalubong sa isang punto at hinahati ito. Ang mga formula para sa lugar ng isang paralelogram ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang halaga gamit ang mga gilid, taas at diagonal. Ang isang paralelogram ay maaari ding iharap sa mga espesyal na kaso. Ang mga ito ay itinuturing na isang parihaba, parisukat at rhombus.
Una, tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang paralelogram sa pamamagitan ng taas at sa gilid kung saan ito ibinaba.
Ang kasong ito ay itinuturing na klasiko at hindi nangangailangan ng karagdagang pagsisiyasat. Mas mainam na isaalang-alang ang formula para sa pagkalkula ng lugar sa pamamagitan ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Ang parehong paraan ay ginagamit sa mga kalkulasyon. Kung ang mga panig at anggulo sa pagitan ng mga ito ay ibinigay, kung gayon ang lugar ay kinakalkula bilang mga sumusunod: 
Ipagpalagay na binigyan tayo ng paralelogram na may mga gilid a = 4 cm, b = 6 cm. Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay α = 30°. Hanapin natin ang lugar: 
Lugar ng isang paralelogram sa pamamagitan ng mga diagonal
Ang formula para sa lugar ng isang paralelogram gamit ang mga diagonal ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na mahanap ang halaga.
Para sa mga kalkulasyon, kakailanganin mo ang laki ng anggulo na matatagpuan sa pagitan ng mga diagonal.
Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang paralelogram gamit ang mga diagonal. Hayaang magbigay ng paralelogram na may mga dayagonal D = 7 cm, d = 5 cm. Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay α = 30°. I-substitute natin ang data sa formula: 
Ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang paralelogram sa pamamagitan ng dayagonal ay nagbigay sa amin ng isang mahusay na resulta - 8.75.
Alam ang formula para sa lugar ng isang paralelogram sa pamamagitan ng dayagonal, maaari mong malutas ang maraming mga kagiliw-giliw na problema. Tingnan natin ang isa sa kanila.
Gawain: Binigyan ng paralelogram na may lawak na 92 metro kuwadrado. tingnan ang Point F ay matatagpuan sa gitna ng gilid nito BC. Hanapin natin ang lugar ng trapezoid ADFB, na makikita sa ating parallelogram. Una, iguhit natin ang lahat ng natanggap natin ayon sa mga kondisyon.
Pumunta tayo sa solusyon: 
Ayon sa aming mga kondisyon, ah = 92, at naaayon, ang lugar ng aming trapezoid ay magiging katumbas ng 
Tandaan. Ito ay bahagi ng isang aralin na may mga problema sa geometry (seksyon ng parallelogram). Kung kailangan mong lutasin ang isang problema sa geometry na wala dito, isulat ang tungkol dito sa forum. Upang ipahiwatig ang aksyon ng pagkuha ng square root sa mga solusyon sa problema, ang simbolo √ o sqrt() ay ginagamit, na may radikal na expression na ipinahiwatig sa mga panaklong.
Teoretikal na materyal
Mga paliwanag para sa mga formula para sa paghahanap ng lugar ng isang paralelogram:
- Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng haba ng isa sa mga gilid nito at ang taas ng panig na iyon
- Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng dalawang katabing panig nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila
- Ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga diagonal nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila
Mga problema sa paghahanap ng lugar ng isang paralelogram
Gawain.Sa isang paralelogram, ang mas maiksing taas at mas maiksing gilid ay 9 cm at ang ugat ng 82, ayon sa pagkakabanggit. Ang mas malaking dayagonal ay 15 cm. Hanapin ang lugar ng parallelogram.
Solusyon.
Tukuyin natin ang mas maliit na taas ng parallelogram ABCD na ibinaba mula sa punto B hanggang sa mas malaking base AD bilang BK.
Hanapin natin ang halaga ng binti ng isang right triangle ABK na nabuo ng isang mas maliit na taas, isang mas maliit na gilid at bahagi ng isang mas malaking base. Ayon sa Pythagorean theorem:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
Palawakin natin ang itaas na base ng parallelogram BC at ibaba ang taas AN dito mula sa ibabang base nito. AN = BK bilang mga gilid ng parihaba ANBK. Hanapin natin ang leg NC ng resultang right triangle ANC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12
Ngayon hanapin natin ang mas malaking base BC ng paralelogram ABCD.
BC = NC - NB
Isaalang-alang natin na ang NB = AK bilang mga gilid ng parihaba, kung gayon
BC = 12 - 1 = 11
Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng base at ang taas sa base na ito.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Sagot: 99 cm 2 .
Gawain
Sa parallelogram ABCD, ang perpendicular BO ay ibinaba sa dayagonal AC. Hanapin ang lugar ng parallelogram kung AO=8, OC=6 at BO=4.
Solusyon.
Ihulog natin ang isa pang patayong DK sa dayagonal na AC.
Alinsunod dito, ang mga tatsulok na AOB at DKC, COB at AKD ay magkaparehong magkapares. Ang isa sa mga gilid ay ang kabaligtaran na bahagi ng parallelogram, ang isa sa mga anggulo ay isang tuwid na linya, dahil ito ay patayo sa dayagonal, at ang isa sa natitirang mga anggulo ay isang panloob na krus na nakahiga para sa magkatulad na panig ng parallelogram at ang secant. dayagonal.
Kaya, ang lugar ng parallelogram ay katumbas ng lugar ng ipinahiwatig na mga tatsulok. Yan ay
Sparallel = 2S AOB +2S BOC
Ang lugar ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga binti. saan
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Sagot: 56 cm 2 .
Kapag nilulutas ang mga problema sa paksang ito, maliban pangunahing katangian paralelogram at ang kaukulang mga formula, maaari mong tandaan at ilapat ang mga sumusunod:
- Ang bisector ng isang panloob na anggulo ng isang paralelogram ay pinuputol ang isang isosceles triangle mula dito
- Ang mga bisector ng mga panloob na anggulo na katabi ng isa sa mga gilid ng isang paralelogram ay magkaparehong patayo
- Ang mga bisector na nagmumula sa magkasalungat na sulok sa loob ng isang parallelogram ay parallel sa isa't isa o nakahiga sa parehong tuwid na linya
- Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal ng isang paralelogram ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga panig nito
- Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga diagonal at ang sine ng anggulo sa pagitan nila
Isaalang-alang natin ang mga problema kung saan ginagamit ang mga katangiang ito.
Gawain 1.
Ang bisector ng angle C ng parallelogram ABCD ay nag-intersect sa side AD sa point M at ang continuation ng side AB na lampas sa point A sa point E. Hanapin ang perimeter ng parallelogram kung AE = 4, DM = 3.
Solusyon.
1. Ang Triangle CMD ay isosceles. (Property 1). Samakatuwid, CD = MD = 3 cm.
2. Ang Triangle EAM ay isosceles.
Samakatuwid, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perimeter ABCD = 20 cm.
Sagot. 20 cm.
Gawain 2.
Ang mga dayagonal ay iginuhit sa isang matambok na may apat na gilid na ABCD. Ito ay kilala na ang mga lugar ng triangles ABD, ACD, BCD ay pantay. Patunayan na ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.
Solusyon.
1. Hayaan ang BE ang taas ng tatsulok na ABD, CF ang taas ng tatsulok na ACD. Dahil, ayon sa mga kondisyon ng problema, ang mga lugar ng mga tatsulok ay pantay at mayroon silang isang karaniwang base AD, kung gayon ang taas ng mga tatsulok na ito ay pantay. BE = CF.
2. BE, CF ay patayo sa AD. Ang mga punto B at C ay matatagpuan sa parehong gilid na may kaugnayan sa tuwid na linya AD. BE = CF. Samakatuwid, tuwid na linya BC || AD. (*)
3. Hayaang AL ang altitude ng triangle ACD, BK ang altitude ng triangle BCD. Dahil, ayon sa mga kondisyon ng problema, ang mga lugar ng mga tatsulok ay pantay at mayroon silang isang karaniwang base CD, kung gayon ang taas ng mga tatsulok na ito ay pantay. AL = BK.
4. Ang AL at BK ay patayo sa CD. Ang mga puntong B at A ay matatagpuan sa magkabilang panig na may kaugnayan sa tuwid na linyang CD. AL = BK. Samakatuwid, tuwid na linya AB || CD (**)
5. Mula sa mga kondisyon (*), (**) sumusunod na ang ABCD ay isang paralelogram.
Sagot. Napatunayan. Ang ABCD ay isang paralelogram.
Gawain 3.
Sa mga gilid ng BC at CD ng parallelogram ABCD, ang mga puntos na M at H ay minarkahan, ayon sa pagkakabanggit, upang ang mga segment na BM at HD ay magsalubong sa punto O;<ВМD = 95 о,
Solusyon.
1. Sa tatsulok na DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Sa isang kanang tatsulok na DHC Pagkatapos<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ngunit ang CD = AB. Pagkatapos AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Sagot: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Gawain 4. Ang isa sa mga diagonal ng isang parallelogram na may haba na 4√6 ay gumagawa ng isang anggulo na 60° sa base, at ang pangalawang diagonal ay gumagawa ng isang anggulo na 45° na may parehong base. Hanapin ang pangalawang dayagonal. Solusyon.
1. AO = 2√6. 2. Inilapat namin ang sine theorem sa tatsulok na AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Sagot: 12.
Gawain 5. Para sa isang paralelogram na may mga gilid na 5√2 at 7√2, ang mas maliit na anggulo sa pagitan ng mga diagonal ay katumbas ng mas maliit na anggulo ng paralelogram. Hanapin ang kabuuan ng mga haba ng mga diagonal. Solusyon.
Hayaang ang d 1, d 2 ay ang mga diagonal ng parallelogram, at ang anggulo sa pagitan ng mga diagonal at ang mas maliit na anggulo ng parallelogram ay katumbas ng φ. 1. Magbilang tayo ng dalawang magkaibang S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay na 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f o 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Gamit ang ugnayan sa pagitan ng mga gilid at diagonal ng paralelogram, isinusulat namin ang pagkakapantay-pantay (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Gumawa tayo ng system: (d 1 2 + d 2 2 = 296, I-multiply natin ang pangalawang equation ng system sa 2 at idagdag ito sa una. Nakukuha natin ang (d 1 + d 2) 2 = 576. Samakatuwid Id 1 + d 2 I = 24. Dahil ang d 1, ang d 2 ay ang mga haba ng mga diagonal ng parallelogram, kung gayon ang d 1 + d 2 = 24. Sagot: 24.
Gawain 6. Ang mga gilid ng paralelogram ay 4 at 6. Ang matinding anggulo sa pagitan ng mga diagonal ay 45 degrees. Hanapin ang lugar ng paralelogram. Solusyon.
1. Mula sa tatsulok na AOB, gamit ang cosine theorem, isinusulat namin ang relasyon sa pagitan ng gilid ng parallelogram at ng mga diagonal. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Katulad nito, isinusulat namin ang kaugnayan para sa tatsulok na AOD. Isaalang-alang natin iyon<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Nakukuha natin ang equation d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. May sistema tayo Ang pagbabawas ng una mula sa pangalawang equation, makakakuha tayo ng 2d 1 · d 2 √2 = 80 o d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Tandaan: Sa ito at sa nakaraang problema ay hindi na kailangang ganap na malutas ang sistema, inaasahan na sa problemang ito kailangan namin ang produkto ng mga diagonal upang makalkula ang lugar. Sagot: 10. Gawain 7. Ang lugar ng parallelogram ay 96 at ang mga gilid nito ay 8 at 15. Hanapin ang parisukat ng mas maliit na dayagonal. Solusyon.
1. S ABCD = AB · AD · kasalanan ВAD. Gumawa tayo ng substitution sa formula. Nakukuha natin ang 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Kaya sin ВAD = 4/5. 2. Hanapin natin cos VAD. kasalanan 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. Ayon sa mga kondisyon ng problema, nakita namin ang haba ng mas maliit na dayagonal. Ang dayagonal ВD ay magiging mas maliit kung ang anggulo ВАD ay talamak. Pagkatapos cos VAD = 3 / 5. 3. Mula sa tatsulok na ABD, gamit ang cosine theorem, nakita natin ang parisukat ng dayagonal na BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Sagot: 145.
May mga tanong pa ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang isang problema sa geometry? website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan. Lugar ng isang paralelogram. Sa maraming mga problema sa geometry na may kaugnayan sa pagkalkula ng mga lugar, kabilang ang mga gawain sa Unified State Exam, ginagamit ang mga formula para sa lugar ng isang paralelogram at isang tatsulok. Mayroong ilan sa kanila, titingnan natin sila dito. Masyadong simple kung ilista ang mga formula na ito; sapat na ang mga bagay na ito sa mga reference na libro at sa iba't ibang website. Nais kong ihatid ang kakanyahan - upang hindi mo sila isiksik, ngunit maunawaan ang mga ito at madaling matandaan ang mga ito anumang oras. Matapos pag-aralan ang materyal sa artikulo, mauunawaan mo na hindi na kailangang matutunan ang mga formula na ito. Sa Objectively pagsasalita, ang mga ito ay madalas na nangyayari sa mga desisyon na nananatili sila sa memorya sa loob ng mahabang panahon. 1.
Kaya tingnan natin ang isang paralelogram. Ang kahulugan ay nagbabasa: Bakit ganon? Ito ay simple! Upang malinaw na ipakita kung ano ang kahulugan ng formula, gawin natin ang ilang karagdagang mga konstruksyon, ibig sabihin, bumuo ng mga taas: Ang lugar ng tatsulok (2) ay katumbas ng lugar ng tatsulok (1) - ang pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok "sa kahabaan ng binti at hypotenuse". Ngayon ay "putulin" natin sa isip ang pangalawa at ilipat ito sa pag-overlay nito sa una - nakakakuha tayo ng isang parihaba, ang lugar kung saan ay magiging katumbas ng lugar ng orihinal na paralelogram: Ang lugar ng isang rektanggulo ay kilala na katumbas ng produkto ng mga katabing gilid nito. Tulad ng makikita mula sa sketch, ang isang gilid ng resultang parihaba ay katumbas ng gilid ng parallelogram, at ang isa ay katumbas ng taas ng parallelogram. Samakatuwid, nakuha namin ang formula para sa lugar ng isang paralelogram S = a∙h a 2. Ipagpatuloy natin, isa pang formula para sa lugar nito. Meron kami: Tukuyin natin ang mga panig bilang a at b, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay γ "gamma", ang taas ay h a. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok:
(
(Dahil sa isang kanang tatsulok ang binti na nasa tapat ng anggulo ng 30° ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse).
paraan ng lugar nito.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!
Lugar ng isang paralelogram na formula
