Pag-factor ng isang numero. Prime at composite na mga numero Pagfactor ng numero 6 sa mga salik

Ano ang ibig sabihin ng factorize? Paano ito gagawin? Ano ang matututuhan mo sa pag-factor ng isang numero sa prime factor? Ang mga sagot sa mga tanong na ito ay inilalarawan ng mga tiyak na halimbawa.

Mga Kahulugan:

Ang isang numero na may eksaktong dalawang magkaibang divisors ay tinatawag na prime.

Ang isang numero na mayroong higit sa dalawang divisors ay tinatawag na composite.

Ang ibig sabihin ng pag-factor ng natural na numero ay kinakatawan ito bilang produkto ng mga natural na numero.

Ang pagsasaalang-alang ng isang natural na numero sa mga pangunahing kadahilanan ay nangangahulugan na kinakatawan ito bilang isang produkto ng mga pangunahing numero.

Mga Tala:

• Sa decomposition ng isang prime number, ang isa sa mga salik ay katumbas ng isa, at ang isa ay katumbas ng numero mismo.
• Walang saysay na pag-usapan ang factoring unity.
• Ang isang pinagsama-samang numero ay maaaring isaalang-alang sa mga kadahilanan, na ang bawat isa ay naiiba sa 1.

Kapag isinasali ang malalaking numero sa mga pangunahing salik, gamitin ang notasyon ng hanay:

	Ang pinakamaliit na prime number na nahahati sa 216 ay 2. Hatiin ang 216 sa 2. Nakukuha natin ang 108.
	Ang resultang numero 108 ay nahahati sa 2. Gawin natin ang paghahati. Ang resulta ay 54.
	Ayon sa pagsubok ng divisibility ng 2, ang bilang na 54 ay nahahati ng 2. Pagkatapos hatiin, nakakuha tayo ng 27.
	Ang numero 27 ay nagtatapos sa kakaibang digit na 7. Ito Hindi nahahati ng 2. Ang susunod na prime number ay 3. Hatiin ang 27 sa 3. Nakukuha namin ang 9. Pinakamababang prime Ang bilang na ang 9 ay nahahati sa pamamagitan ng ay 3. Ang tatlo mismo ay isang prime number, ito ay nahahati sa sarili at isa. Hatiin natin ang 3 sa ating sarili. Sa huli nakakuha kami ng 1.

• Ang isang numero ay nahahati lamang sa mga prime number na bahagi ng pagkabulok nito.
• Ang isang numero ay nahahati lamang sa mga pinagsama-samang numero na ang agnas sa mga pangunahing kadahilanan ay ganap na nakapaloob dito.

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Hanapin ang quotient ng paghahati ng numero a sa bilang b, kung ang mga numerong ito ay nabubulok sa prime factor gaya ng sumusunod: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Bibliograpiya

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematics ika-6 na baitang. - Gymnasium. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Sa likod ng mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika. - M.: Edukasyon, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Mga takdang-aralin para sa kursong matematika para sa mga baitang 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Isang manwal para sa mga mag-aaral sa ika-6 na baitang sa MEPhI correspondence school. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Mathematics: Textbook-interlocutor para sa 5-6 na baitang ng sekondaryang paaralan. - M.: Edukasyon, Aklatan ng Guro sa Matematika, 1989.

1. Internet portal Matematika-na.ru ().
2. Internet portal Math-portal.ru ().

Takdang aralin

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematics 6. - M.: Mnemosyne, 2012. No. 127, No. 129, No. 141.
2. Iba pang mga gawain: No. 133, No. 144.

Nagsisimula ang lahat sa geometric progression. Sa unang panayam sa mga hilera (tingnan ang seksyon 18.1. Mga pangunahing kahulugan) napatunayan namin na ang function na ito ay ang kabuuan ng serye , at ang serye ay nagtatagpo sa function sa
. Kaya,

.

Ilista natin ang ilang uri ng seryeng ito. Pinapalitan X sa - X , nakukuha namin

kapag pinapalitan X sa
nakukuha namin

atbp.; Ang rehiyon ng convergence ng lahat ng seryeng ito ay pareho:
.

2.
.

Lahat ng derivatives ng function na ito sa punto X =0 ay katumbas
, kaya parang ang serye

.

Ang lugar ng convergence ng seryeng ito ay ang buong numerical axis (halimbawa 6 ng seksyon 18.2.4.3. Radius ng convergence, interval ng convergence at rehiyon ng convergence ng isang power series), Kaya naman
sa
. Bilang resulta, ang natitirang termino ng Taylor formula
. Samakatuwid ang serye ay nagtatagpo sa
sa anumang punto X .

3.
.

Ang seryeng ito ay ganap na nagtatagpo sa

, at talagang pantay ang kabuuan nito
. Ang natitirang termino ng Taylor formula ay may anyo
, Saan
o
- limitadong pag-andar, at
(ito ang pangkalahatang termino ng nakaraang pagpapalawak).

4.
.

Ang pagpapalawak na ito ay maaaring makuha, tulad ng mga nauna, sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng mga derivative, ngunit magpapatuloy tayo sa ibang paraan. Ibahin natin ang naunang serye ng termino ayon sa termino:

Ang convergence sa isang function sa buong axis ay sumusunod mula sa theorem sa term-by-term differentiation ng isang power series.

5. Patunayan nang nakapag-iisa na sa buong numerical axis, .

6.
.

Ang serye para sa function na ito ay tinatawag binomial na serye. Dito namin kalkulahin ang mga derivatives.

...Ang serye ng Maclaurin ay may anyo

Hinahanap namin ang pagitan ng convergence: samakatuwid, ang interval ng convergence ay
. Hindi namin pag-aaralan ang natitirang termino at ang pag-uugali ng serye sa mga dulo ng pagitan ng convergence; ito pala kapag
Ang serye ay ganap na nagtatagpo sa parehong mga punto
, sa
ang serye ay may kondisyong nagtatagpo sa isang punto
at nag-iiba sa isang punto
, sa
nag-iiba sa magkabilang punto.

7.
.

Dito natin gagamitin ang katotohanang iyon
. Mula noon, pagkatapos ng termino-by-term na pagsasama,

Ang lugar ng convergence ng seryeng ito ay ang kalahating pagitan
, ang convergence sa isang function sa panloob na mga punto ay sumusunod mula sa theorem sa term-by-term na pagsasama ng isang power series, sa punto X =1 - mula sa pagpapatuloy ng parehong pag-andar at ang kabuuan ng serye ng kapangyarihan sa lahat ng mga punto, arbitraryong malapit sa X =1 sa kaliwa. Tandaan na ang pagkuha X =1, makikita natin ang kabuuan ng serye .

8. Ang pagsasama ng serye ng termino sa pamamagitan ng termino, nakakakuha kami ng pagpapalawak para sa function
. Gawin ang lahat ng mga kalkulasyon sa iyong sarili, isulat ang rehiyon ng convergence.

9. Isulat natin ang pagpapalawak ng function
ayon sa binomial series formula na may
: . Denominator
kinakatawan bilang , double factorial
nangangahulugang ang produkto ng lahat ng natural na numero ng parehong parity bilang , hindi hihigit . Ang pagpapalawak ay nagtatagpo sa function sa
. Pagsasama nito ng termino sa pamamagitan ng termino mula 0 hanggang X , matatanggap natin . Ito ay lumiliko na ang seryeng ito ay nagtatagpo sa pag-andar sa buong pagitan
; sa X =1 nakakakuha tayo ng isa pang magandang representasyon ng numero :
.

18.2.6.2. Paglutas ng mga problema na kinasasangkutan ng serye ng pagpapalawak ng mga function. Karamihan sa mga problema kung saan kailangan mong palawakin ang isang elementary function sa isang serye ng kapangyarihan
, ay nalulutas sa pamamagitan ng paggamit ng mga karaniwang pagpapalawak. Sa kabutihang palad, ang bawat pangunahing pag-andar ng elementarya ay may isang pag-aari na nagpapahintulot sa iyo na gawin ito. Tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

1. Palawakin ang function
sa pamamagitan ng grado
.

Solusyon. . Ang serye ay nagtatagpo sa
.

2. Palawakin ang function
sa pamamagitan ng grado
.

Solusyon.
. Lugar ng convergence:
.

3. Palawakin ang function
sa pamamagitan ng grado
.

Solusyon. . Ang serye ay nagtatagpo sa
.

4. Palawakin ang function
sa pamamagitan ng grado
.

Solusyon. . Ang serye ay nagtatagpo sa
.

5. Palawakin ang function
sa pamamagitan ng grado
.

Solusyon. . Rehiyon ng convergence
.

6. Palawakin ang function
sa pamamagitan ng grado
.

Solusyon. Ang pagpapalawak sa isang serye ng mga simpleng rational fraction ng pangalawang uri ay nakukuha sa pamamagitan ng term-by-term differentiation ng kaukulang pagpapalawak ng mga fraction ng unang uri. Sa halimbawang ito. Dagdag pa, sa pamamagitan ng term-by-term differentiation, makakakuha tayo ng mga pagpapalawak ng mga function
,
atbp.

7. Palawakin ang function
sa pamamagitan ng grado
.

Solusyon. Kung ang rational fraction ay hindi isang simpleng fraction, ito ay unang kinakatawan bilang kabuuan ng mga simpleng fraction:
, at pagkatapos ay magpatuloy tulad ng sa halimbawa 5: kung saan
.

Naturally, ang diskarte na ito ay hindi naaangkop, halimbawa, upang mabulok ang function sa pamamagitan ng grado X . Dito, kung kailangan mong makuha ang unang ilang termino ng serye ng Taylor, ang pinakamadaling paraan ay ang hanapin ang mga halaga sa punto X =0 kinakailangang bilang ng mga unang derivative.

Ang online na calculator na ito ay idinisenyo upang i-factor ang isang function.

Halimbawa, i-factorize: x 2 /3-3x+12. Isulat natin ito bilang x^2/3-3*x+12. Maaari mo ring gamitin ang serbisyong ito, kung saan naka-save ang lahat ng mga kalkulasyon sa Word format.

Halimbawa, mabulok sa mga termino. Isulat natin ito bilang (1-x^2)/(x^3+x) . Upang makita ang pag-usad ng solusyon, i-click ang Ipakita ang mga hakbang. Kung kailangan mong makuha ang resulta sa Word format, gamitin ang serbisyong ito.

Tandaan: ang bilang na "pi" (π) ay isinusulat bilang pi; square root bilang sqrt , halimbawa sqrt(3) , ang tangent tg ay nakasulat tan . Upang tingnan ang sagot, tingnan ang Alternatibong.

1. Kung ang isang simpleng expression ay ibinigay, halimbawa, 8*d+12*c*d, pagkatapos ay ang factoring ang expression ay nangangahulugan na kumakatawan sa expression sa anyo ng mga kadahilanan. Upang gawin ito, kailangan mong makahanap ng mga karaniwang kadahilanan. Isulat natin ang expression na ito bilang: 4*d*(2+3*c) .
2. Ipakita ang produkto sa anyo ng dalawang binomial: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Dito kailangan mo nang makahanap ng ilang karaniwang salik: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Inalis namin ang (x+7z) at makuha ang: (x+7z)(x + 3y) .

tingnan din ang Dibisyon ng mga polynomial na may sulok (lahat ng mga hakbang ng paghahati na may haligi ay ipinapakita)

Magiging kapaki-pakinabang kapag pinag-aaralan ang mga patakaran ng factorization pinaikling mga pormula ng pagpaparami, sa tulong kung saan magiging malinaw kung paano buksan ang mga bracket na may isang parisukat:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Pamamaraan ng Factorization

1. Paggamit ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami.
2. Paghahanap ng isang karaniwang kadahilanan.

Ang bawat natural na numero, maliban sa isa, ay may dalawa o higit pang divisors. Halimbawa, ang numero 7 ay nahahati nang walang natitira lamang sa pamamagitan ng 1 at 7, iyon ay, mayroon itong dalawang divisors. At ang numero 8 ay may mga divisors 1, 2, 4, 8, iyon ay, kasing dami ng 4 na divisors nang sabay-sabay.

Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng prime at composite na mga numero?

Ang mga numero na mayroong higit sa dalawang divisors ay tinatawag na composite numbers. Ang mga numero na mayroon lamang dalawang divisors: isa at ang numero mismo ay tinatawag na prime number.

Ang numero 1 ay may isang dibisyon lamang, lalo na ang numero mismo. Ang isa ay hindi prime o composite na numero.

• Halimbawa, ang numero 7 ay prime at ang numero 8 ay composite.

Unang 10 prime number: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Ang numero 2 ay ang tanging even na prime number, lahat ng iba pang prime number ay odd.

Ang bilang na 78 ay pinagsama-sama, dahil bilang karagdagan sa 1 at mismo, ito ay nahahati din ng 2. Kapag hinati sa 2, makakakuha tayo ng 39. Ibig sabihin, 78 = 2*39. Sa ganitong mga kaso, sinasabi nila na ang bilang ay isinaalang-alang sa mga kadahilanan ng 2 at 39.

Ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring mabulok sa dalawang salik, na ang bawat isa ay higit sa 1. Ang trick na ito ay hindi gagana sa isang prime number. Kaya ito napupunta.

Pag-factor ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring mabulok sa dalawang salik. Kunin natin, halimbawa, ang bilang na 210. Ang numerong ito ay maaaring mabulok sa dalawang salik na 21 at 10. Ngunit ang mga bilang na 21 at 10 ay pinagsama-sama rin, ating i-decompose ang mga ito sa dalawang salik. Nakukuha natin ang 10 = 2*5, 21=3*7. At bilang isang resulta, ang bilang na 210 ay nabulok sa 4 na mga kadahilanan: 2,3,5,7. Ang mga numerong ito ay prime na at hindi na mapapalawak. Ibig sabihin, isinaalang-alang namin ang numerong 210 sa mga pangunahing kadahilanan.

Kapag isinasali ang mga pinagsama-samang numero sa mga pangunahing kadahilanan, kadalasang isinusulat ang mga ito sa pataas na pagkakasunud-sunod.

Dapat tandaan na ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring mabulok sa mga pangunahing kadahilanan at sa isang natatanging paraan, hanggang sa permutasyon.

• Karaniwan, kapag nabubulok ang isang numero sa mga pangunahing kadahilanan, ginagamit ang mga pamantayan sa divisibility.

I-factor natin ang numerong 378 sa prime factor

Isusulat namin ang mga numero, na pinaghihiwalay ang mga ito sa isang patayong linya. Ang numerong 378 ay nahahati ng 2, dahil nagtatapos ito sa 8. Kapag hinati, nakukuha natin ang numerong 189. Ang kabuuan ng mga digit ng numerong 189 ay nahahati ng 3, na nangangahulugang ang numerong 189 mismo ay nahahati sa 3. Ang resulta ay 63.

Ang bilang na 63 ay nahahati din ng 3, ayon sa divisibility. Nakukuha natin ang 21, ang numero 21 ay maaaring hatiin muli ng 3, makakakuha tayo ng 7. Ang pito ay nahahati lamang sa sarili, makakakuha tayo ng isa. Nakumpleto nito ang paghahati. Sa kanan pagkatapos ng linya ay ang pangunahing mga kadahilanan kung saan ang numero 378 ay nabubulok.

378|2
189|3
63|3
21|3