Solusyon ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan.

bahay / dating

Paraan ng Spacing- ito ay isang unibersal na paraan upang malutas ang halos anumang hindi pagkakapantay-pantay na nangyayari sa isang kurso sa algebra ng paaralan. Ito ay batay sa mga sumusunod na katangian ng mga pag-andar:

1. Ang tuluy-tuloy na function na g(x) ay maaaring magbago ng sign lamang sa punto kung saan ito ay katumbas ng 0. Sa graphically, nangangahulugan ito na ang graph ng isang tuluy-tuloy na function ay maaaring lumipat mula sa isang kalahating eroplano patungo sa isa pa lamang kung ito ay tumatawid sa x- axis (natatandaan namin na ang ordinate ng anumang punto na nakahiga sa OX axis (abscissa axis) ay katumbas ng zero, iyon ay, ang halaga ng function sa puntong ito ay 0):

Nakikita natin na ang function na y=g(x) na ipinapakita sa graph ay tumatawid sa OX axis sa mga puntong x= -8, x=-2, x=4, x=8. Ang mga puntong ito ay tinatawag na mga zero ng function. At sa parehong mga punto ang function na g(x) ay nagbabago ng sign.

2. Maaari ding baguhin ng function ang sign sa mga zero ng denominator - ang pinakasimpleng halimbawa ng isang kilalang function:

Nakikita namin na ang function ay nagbabago ng sign sa ugat ng denominator, sa punto , ngunit hindi naglalaho sa anumang punto. Kaya, kung ang function ay naglalaman ng isang fraction, maaari nitong baguhin ang sign sa mga ugat ng denominator.

2. Gayunpaman, ang function ay hindi palaging nagbabago ng sign sa ugat ng numerator o sa ugat ng denominator. Halimbawa, ang function na y=x 2 ay hindi nagbabago ng sign sa puntong x=0:

kasi ang equation x 2 \u003d 0 ay may dalawang pantay na ugat x \u003d 0, sa puntong x \u003d 0, ang pag-andar, kumbaga, ay nagiging 0 nang dalawang beses. Ang nasabing ugat ay tinatawag na ugat ng pangalawang multiplicity.

Function nagbabago ng sign sa zero ng numerator, ngunit hindi nagbabago ng sign sa zero ng denominator: , dahil ang ugat ay ang ugat ng pangalawang multiplicity, iyon ay, ng even multiplicity:

Mahalaga! Sa mga ugat ng kahit multiplicity, ang function ay hindi nagbabago ng sign.

Tandaan! Anuman hindi linear ang hindi pagkakapantay-pantay ng kurso ng paaralan ng algebra, bilang panuntunan, ay nalutas gamit ang paraan ng mga agwat.

Nag-aalok ako sa iyo ng isang detalyadong isa, na sumusunod kung saan maaari mong maiwasan ang mga pagkakamali kapag paglutas ng mga di-linear na hindi pagkakapantay-pantay.

1. Una kailangan mong dalhin ang hindi pagkakapantay-pantay sa form

P(x)V0,

kung saan ang V ay ang inequality sign:<,>, ≤ o ≥. Para dito kailangan mo:

a) ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay,

b) hanapin ang mga ugat ng nagresultang expression,

c) i-factor ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay

d) isulat ang parehong mga kadahilanan bilang isang degree.

Pansin! Ang huling aksyon ay dapat gawin upang hindi magkamali sa multiplicity ng mga ugat - kung ang resulta ay isang multiplier sa isang kahit na antas, kung gayon ang kaukulang ugat ay may pantay na multiplicity.

2. Ilagay ang mga nakitang ugat sa number line.

3. Kung mahigpit ang hindi pagkakapantay-pantay, ang mga bilog na nagsasaad ng mga ugat sa numerical axis ay iiwan na "walang laman", kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, pagkatapos ay pininturahan ang mga bilog.

4. Pinipili namin ang mga ugat ng kahit multiplicity - sa kanila P(x) hindi nagbabago ang tanda.

5. Tukuyin ang tanda P(x) sa kanang bahagi ng puwang. Upang gawin ito, kumuha ng arbitraryong halaga x 0, na mas malaki kaysa sa pinakamalaking ugat at palitan sa P(x).

Kung P(x 0)>0 (o ≥0), pagkatapos ay sa pinakakanang agwat ay inilalagay namin ang tanda na "+".

Kung P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Kapag dumadaan sa isang punto na nagsasaad ng ugat ng kahit multiplicity, HINDI nagbabago ang tanda.

7. Muli nating tinitingnan ang tanda ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, at piliin ang mga pagitan ng tanda na kailangan natin.

8. Pansin! Kung HINDI STRICT ang ating hindi pagkakapantay-pantay, suriin natin ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay sa zero nang hiwalay.

9. Isulat ang sagot.

Kung ang orihinal ang hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng hindi alam sa denominator, pagkatapos ay inililipat din namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa, at bawasan ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa anyo

(kung saan ang V ay ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:< или >)

Ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng ganitong uri ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay

HINDI mahigpit isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo

ay katumbas ng sistema:

Sa pagsasagawa, kung ang function ay may form , pagkatapos ay magpapatuloy kami bilang mga sumusunod:

Hanapin ang mga ugat ng numerator at denominator.
Inilalagay namin ang mga ito sa axis. Ang lahat ng mga lupon ay naiwang walang laman. Pagkatapos, kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, pagkatapos ay ipinta namin ang mga ugat ng numerator, at palaging iwanan ang mga ugat ng denominator na walang laman.
Susunod, sinusunod namin ang pangkalahatang algorithm:
Pinipili namin ang mga ugat ng kahit multiplicity (kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga ugat, pagkatapos ay binibilang namin kung gaano karaming beses ang parehong mga ugat na nangyari). Walang pagbabago ng sign sa mga ugat ng kahit multiplicity.
Nalaman namin ang sign sa pinakakanang pagitan.
Naglalagay kami ng mga karatula.
Sa kaso ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay, ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay sa zero, ay hiwalay na sinusuri.
Pinipili namin ang mga kinakailangang agwat at hiwalay na nakatayo na mga ugat.
Isulat namin ang sagot.

Para mas maintindihan algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan, panoorin ang VIDEO LESSON kung saan ang halimbawa ay sinusuri nang detalyado solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan.

Mga sistema ng makatwirang hindi pagkakapantay-pantay

Teksto ng aralin

abstract [Bezdenezhnykh L.V.]

Algebra, Baitang 9 UMK: A.G. Mordkovich. Algebra. Baitang 9 Sa 2 o'clock Bahagi 1. Teksbuk; Bahagi 2. Aklat ng gawain; Moscow: Mnemosyne, 2010 Antas ng edukasyon: pangunahing Tema ng aralin: Mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na makatwiran. (Ang unang aralin sa paksa, sa kabuuan, 3 oras ang inilaan para sa pag-aaral ng paksa) Aralin para sa pag-aaral ng bagong paksa. Ang layunin ng aralin: ulitin ang solusyon ng mga linear inequalities; ipakilala ang mga konsepto ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, ipaliwanag ang solusyon ng pinakasimpleng sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay; upang mabuo ang kakayahang malutas ang mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ng anumang kumplikado. Mga Layunin: Pang-edukasyon: pag-aaral ng paksa batay sa umiiral na kaalaman, pagsasama-sama ng mga praktikal na kasanayan at kakayahan sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay bilang resulta ng independiyenteng gawain ng mga mag-aaral at mga aktibidad sa panayam at pagpapayo ng pinakahanda sa kanila. Pagbuo: pag-unlad ng interes sa nagbibigay-malay, kalayaan ng pag-iisip, memorya, inisyatiba ng mag-aaral sa pamamagitan ng paggamit ng mga pamamaraan ng komunikasyon-aktibidad at mga elemento ng pag-aaral na nakabatay sa problema. Pang-edukasyon: ang pagbuo ng mga kasanayan sa komunikasyon, isang kultura ng komunikasyon, pakikipagtulungan. Mga pamamaraan ng pagsasagawa: - lecture na may mga elemento ng pag-uusap at pag-aaral na nakabatay sa problema; - independiyenteng gawain ng mga mag-aaral na may teoretikal at praktikal na materyal ayon sa aklat-aralin; -pag-unlad ng isang kultura ng pormalisasyon ng solusyon ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay. Mga inaasahang resulta: maaalala ng mga mag-aaral kung paano lutasin ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, markahan ang intersection ng mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang tunay na linya, matutunan kung paano lutasin ang mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay. Mga kagamitan sa aralin: pisara, handout (application), textbook, workbook. Nilalaman ng aralin: 1. sandali ng organisasyon. Sinusuri ang takdang-aralin. 2. Aktwalisasyon ng kaalaman. Ang mga mag-aaral kasama ang guro ay punan ang talahanayan sa pisara: Inequality Figure Gap Nasa ibaba ang tapos na talahanayan: Inequality Figure Gap 3. Mathematical dictation. Paghahanda para sa pang-unawa ng isang bagong paksa. 1. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay ayon sa modelo ng talahanayan: Opsyon 1 Opsyon 2 Opsyon 3 Opsyon 4 2. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay, gumuhit ng dalawang figure sa parehong axis at suriin kung ang numero 5 ay ang solusyon sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay: Opsyon 1 Opsyon 2 Opsyon 3 Opsyon 4 4. Pagpapaliwanag ng bagong materyal . Paliwanag ng bagong materyal (pp. 40-44): 1. Tukuyin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (p. 41). Kahulugan: Maraming mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable x ay bumubuo ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay kung ang gawain ay upang mahanap ang lahat ng mga naturang halaga ng variable kung saan ang bawat isa sa mga ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa variable ay nagiging isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero. 2. Ipakilala ang konsepto ng isang partikular at pangkalahatang solusyon ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Anumang ganoong halaga ng x ay tinatawag na solusyon (o partikular na solusyon) ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang hanay ng lahat ng partikular na solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay ang pangkalahatang solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. 3. Isaalang-alang sa aklat-aralin ang solusyon ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ayon sa halimbawa No. 3 (a, b, c). 4. I-generalize ang pangangatwiran sa pamamagitan ng paglutas ng sistema:. 5. Pagsasama-sama ng bagong materyal. Lutasin ang mga gawain mula sa No. 4.20 (a, b), 4.21 (a, b). 6. Pagpapatunay na gawain Suriin ang asimilasyon ng bagong materyal, aktibong tumutulong sa paglutas ng mga gawain ayon sa mga opsyon: Opsyon 1 a, sa No. 4.6, 4.8 Opsyon 2 b, d No. 4.6, 4.8 7. Pagbubuod. Pagninilay Anong mga bagong konsepto ang natutunan mo ngayon? Natutunan mo ba kung paano maghanap ng mga solusyon sa isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay? Ano ang pinakamaraming naabot mo, anong mga sandali ang pinakamatagumpay? 8. Takdang-Aralin: Blg. 4.5, 4.7.; teorya sa teksbuk pp. 40-44; Para sa mga mag-aaral na may tumaas na pagganyak No. 4.23 (c, d). Apendise. Pagpipilian 1. Inequality Figure Interval 2. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay, gumuhit ng dalawang figure sa parehong axis at suriin kung ang numero 5 ang solusyon sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay: Inequality Figure Sagutin ang tanong. Pagpipilian 2. Inequality Figure Interval 2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay, gumuhit ng dalawang figure sa parehong axis at suriin kung ang numero 5 ang solusyon sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay: Inequality Figure Sagutin ang tanong. Pagpipilian 3. Inequality Figure Interval 2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay, gumuhit ng dalawang figure sa parehong axis at suriin kung ang numero 5 ang solusyon sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay: Inequality Figure Sagutin ang tanong. Pagpipilian 4. Inequality Figure Interval 2. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay, gumuhit ng dalawang figure sa parehong axis at suriin kung ang numero 5 ang solusyon sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay: Inequality Figure Sagutin ang tanong.
Download: Algebra 9kl - abstract [Bezdenezhnykh L.V.].docx
buod ng mga aralin 2-4 [Zvereva L.P.]

Algebra Grade 9 UMK: ALGEBRA-9KLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semyonov, 2014. Antas - pangunahing pagsasanay Paksa ng aralin: Sistema ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay Ang kabuuang bilang ng mga oras na inilaan para sa pag-aaral ng paksa-4 na oras Ang lugar ng aralin sa sistema ng mga aralin sa paksa aralin bilang 2; numero 3; No. 4. Ang layunin ng aralin: Upang turuan ang mga mag-aaral na bumuo ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin turuan sila kung paano lutasin ang mga nakahandang sistema na iminungkahi ng may-akda ng aklat-aralin. Mga layunin ng aralin: Upang bumuo ng mga kasanayan: upang malayang lutasin ang mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay nang analytical, at maaari ding ilipat ang solusyon sa linya ng coordinate upang maitala nang tama ang sagot, magtrabaho nang nakapag-iisa sa ibinigay na materyal. .Mga nakaplanong resulta: Ang mga mag-aaral ay dapat na malutas ang mga nakahandang sistema, gayundin ang bumuo ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ayon sa kondisyon ng teksto ng mga gawain at lutasin ang pinagsama-samang modelo. Teknikal na suporta ng aralin: UMK: ALGEBRA-9KLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semyonov. Workbook, projector para sa oral counting, mga printout ng mga karagdagang gawain para sa malalakas na estudyante. Karagdagang metodolohikal at didactic na suporta para sa aralin (posible ang mga link sa mga mapagkukunan ng Internet): 1. Manual N.N. Khlevnyuk, M.V. Ivanova, V.G. Ivashchenko, N.S. Melkova "Pagbuo ng mga kasanayan sa computational sa mga aralin sa matematika grade 5-9" 2.G.G. Levitas "Mathematical dictations" grades 7-11.3. T.G. Gulina "Mathematical simulator" 5-11 (4 na antas ng pagiging kumplikado) Guro sa matematika: Zvereva L.P. Aralin Blg. 2 Mga Layunin: Pagpapaunlad ng mga kasanayan para sa paglutas ng isang sistema ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang resulta ng paglutas ng isang geometric na interpretasyon para sa kalinawan. Pag-unlad ng aralin 1. Sandaling pang-organisasyon: Pagtatakda ng klase sa trabaho, pag-uulat ng paksa at layunin ng aralin 11 Pagsusuri ng takdang-aralin 1. Teoretikal na bahagi: * Ano ang analytical notation ng rational inequality * Ano ang analytical notation ng isang sistema ng rational inequalities * Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay * Ano ang resulta ng paglutas ng isang sistema ng mga rational inequalities. 2. Praktikal na bahagi: * Lutasin ang mga gawain sa pisara na nagdulot ng kahirapan sa mga mag-aaral. Sa kurso ng paggawa ng takdang-aralin II1 Pagsasagawa ng mga pagsasanay. 1. Ulitin ang mga paraan ng pag-factor ng polynomial. 2. Ulitin kung ano ang paraan ng pagitan kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay. 3. Lutasin ang sistema. Ang solusyon ay pinangunahan ng isang malakas na estudyante sa pisara sa ilalim ng kontrol ng guro. 1) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 3x - 10 > 5x - 5; 3x - 5x> - 5 + 10; – 2x> 5; X< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>Ang solusyon ng sistemang ito ng hindi pagkakapantay-pantay x> Sagot: x> 6. Lutasin ang Blg. 4.10 (c) sa pisara at sa mga kuwaderno. Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay 5x2 - 2x + 1 ≤ 0. 5x2 - 2x + 1 = 0; D = 4 - 20 = -16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; D = -55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> - 2, pagkatapos - 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Pag-uulit ng naunang pinag-aralan na materyal. Lutasin ang #2.33. Hayaang ang unang bilis ng nagbibisikleta ay x km/h, pagkatapos bumaba ay naging (x – 3) km/h. 15x - 45 + 6x = 1.5x(x - 3); 21x - 45 = 1.5x2 - 4.5x; 1.5x2 - 25.5x + 45 = 0 | : 1.5; pagkatapos x2 - 17x + 30 = 0; D = 169; x1 = 15; x2 = 2 ay hindi nakakatugon sa kahulugan ng problema. Sagot: 15 km/h; 12 km/h. IV. Konklusyon ng aralin: Sa aralin, natutunan naming lutasin ang mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ng isang kumplikadong uri, lalo na sa isang module, sinubukan namin ang aming mga kamay sa malayang gawain. Paglalagay ng mga marka. Takdang-Aralin: gawin ang pagsusulit sa takdang-aralin Blg. 1 mula Blg. 7 hanggang Blg. 10 sa magkahiwalay na mga papel sa p. 32–33, blg. 4.34 (a; b), blg. 4.35 (a; b). Aralin 4 Paghahanda para sa pagsusulit Mga Layunin: upang ibuod at i-systematize ang pinag-aralan na materyal, ihanda ang mga mag-aaral para sa pagsusulit sa paksang "Systems of Rational Inequalities" Pag-unlad ng Aralin 1. Organisasyong sandali: Pagtatakda ng klase sa trabaho, pag-uulat ng paksa at layunin ng aralin. 11. Pag-uulit ng pinag-aralan na materyal. * Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay * Ano ang resulta ng paglutas ng isang sistema ng mga rational inequalities 1. Mangolekta ng mga leaflet na may natapos na takdang-aralin. 2. Anong mga tuntunin ang ginagamit upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay? Ipaliwanag ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay: a) 3x - 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) - 2x2 + x - 5 > 0; c) 3x2 - x + 4 ≤ 0. 4. Bumuo ng kahulugan ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable. Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay? 5. Ano ang paraan ng mga pagitan, na aktibong ginagamit sa paglutas ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay? Ipaliwanag ito sa isang halimbawa ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Mga pagsasanay sa pagsasanay. 1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: a) 12(1 - x) ≥ 5x - (8x + 2); b) - 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> - 2. Hindi ito tumutugma sa gawain a) o gawain b). Samakatuwid, maaari nating ipagpalagay na ang p ≠ 2, iyon ay, ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ay parisukat. a) Ang isang parisukat na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong ax2 + bx + c > 0 ay walang mga solusyon kung a< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 ay pinaandar para sa anumang mga halaga ng x, kung a > 0 at D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. Mga resulta ng aralin. Kinakailangang suriin ang lahat ng pinag-aralan na materyal sa bahay at maghanda para sa pagsusulit. Takdang-Aralin: Blg. 1.21 (b; d), Blg. 2.15 (c; d); 4.14 (d), No. 4.28 (d); 4.19 (a), No. 4.33 (d).

Patuloy kaming sumilip sa paksa ng "paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable". Pamilyar na tayo sa mga linear inequalities at quadratic inequalities. Ang mga ito ay mga espesyal na kaso. makatwirang hindi pagkakapantay-pantay na pag-aaralan natin ngayon. Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-alam kung anong uri ng hindi pagkakapantay-pantay ang tinatawag na rational. Susunod, haharapin natin ang kanilang subdivision sa integer rational at fractional rational inequalities. At pagkatapos nito, pag-aaralan natin kung paano isinasagawa ang solusyon ng mga nakapangangatwiran na hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable, isulat ang kaukulang mga algorithm at isaalang-alang ang mga solusyon ng mga tipikal na halimbawa na may mga detalyadong paliwanag.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang mga rational inequalities?

Sa paaralan, sa mga aralin sa algebra, sa sandaling lumitaw ang pag-uusap tungkol sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang pagpupulong sa mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ay nangyayari kaagad. Gayunpaman, sa una ay hindi sila tinatawag sa kanilang wastong pangalan, dahil sa yugtong ito ang mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi gaanong interes, at ang pangunahing layunin ay upang makakuha ng mga paunang kasanayan sa pagtatrabaho sa mga hindi pagkakapantay-pantay. Ang terminong "rational inequality" mismo ay ipinakilala sa bandang huli sa ika-9 na baitang, kapag nagsimula ang isang detalyadong pag-aaral ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng partikular na uri na ito.

Alamin natin kung ano ang mga rational inequalities. Narito ang kahulugan:

Sa tinig na kahulugan, walang sinabi tungkol sa bilang ng mga variable, na nangangahulugan na ang anumang bilang ng mga ito ay pinapayagan. Depende dito, ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay sa isa, dalawa, atbp. ay nakikilala. mga variable. Sa pamamagitan ng paraan, ang aklat-aralin ay nagbibigay ng isang katulad na kahulugan, ngunit para sa mga nakapangangatwiran na hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable. Naiintindihan ito, dahil ang paaralan ay nakatuon sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable (sa ibaba, pag-uusapan lang din natin ang paglutas ng mga rational inequalities na may isang variable). Mga hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable kaunti ang isinasaalang-alang, at ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may tatlo o higit pang mga variable ay halos hindi binibigyang pansin.

Kaya, ang isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring makilala sa pamamagitan ng notasyon nito, para dito sapat na upang tingnan ang mga expression sa kaliwa at kanang bahagi nito at tiyakin na ang mga ito ay mga makatwirang ekspresyon. Ang mga pagsasaalang-alang na ito ay nagpapahintulot sa amin na magbigay ng mga halimbawa ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), ay mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. At hindi pagkakapantay-pantay ay hindi makatwiran, dahil ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman ng variable sa ilalim ng tanda ng ugat, at, samakatuwid, ay hindi isang makatuwirang pagpapahayag. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi rin makatwiran, dahil ang parehong bahagi nito ay hindi makatuwirang mga pagpapahayag.

Para sa kaginhawahan ng karagdagang paglalarawan, ipinakilala namin ang subdivision ng mga rational inequalities sa integer at fractional.

Kahulugan.

Ang rational inequality ay tatawagin buo, kung ang parehong mga bahagi nito ay integer rational expression.

Kahulugan.

Fractionally rational inequality ay isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, kahit isang bahagi nito ay isang fractional expression.

Kaya 0.5 x≤3 (2−5 y) , ay integer inequalities, at 1:x+3>0 at - fractionally rational.

Ngayon ay mayroon na tayong malinaw na pag-unawa sa kung ano ang mga rational inequalities, at maaari na nating ligtas na simulan ang pagharap sa mga prinsipyo ng paglutas ng integer at fractionally rational inequalities na may isang variable.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng integer
Itakda natin sa ating sarili ang gawain: kailangan nating lutasin ang isang integer rational inequality na may isang variable x ng anyong r(x) , ≥), kung saan ang r(x) at s(x) ay ilang integer rational expression. Upang malutas ito, gagamitin namin ang mga katumbas na pagbabagong-anyo ng hindi pagkakapantay-pantay .

Inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, na hahantong sa amin sa isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay ng form r(x) − s(x)<0 (≤, >, ≥) na may zero sa kanan. Malinaw, ang expression r(x)−s(x) , na nabuo sa kaliwang bahagi, ay isa ring integer, at alam na anumang . Ang pagkakaroon ng pagbabago sa expression na r(x)−s(x) sa identically equal polynomial h(x) (dito mapapansin natin na ang mga expression r(x)−s(x) at h(x) ay may parehong variable x ), pumasa tayo sa katumbas na hindi pagkakapantay-pantay h(x)<0 (≤, >, ≥).

Sa pinakasimpleng mga kaso, ang mga pagbabagong ginawa ay sapat na upang makuha ang ninanais na solusyon, dahil dadalhin tayo ng mga ito mula sa orihinal na integer na rational inequality patungo sa hindi pagkakapantay-pantay na maaari nating lutasin, halimbawa, sa isang linear o square one. Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Halimbawa.

Maghanap ng solusyon sa buong rational inequality x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .

Solusyon.

Una, inililipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwa: x (x+3)+2 x−(x+1) 2 −1≤0. Matapos magawa ang lahat sa kaliwang bahagi, nakarating tayo sa linear inequality 3·x−2≤0 , na katumbas ng orihinal na integer inequality. Ang kanyang solusyon ay hindi mahirap:
3 x≤2 ,
x≤2/3 .

Sagot:

x≤2/3 .

Halimbawa.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 − x) (x 2 + x).

Solusyon.

Nagsisimula kami gaya ng dati sa pamamagitan ng paglipat ng expression mula sa kanang bahagi, at pagkatapos ay nagsasagawa kami ng mga pagbabago sa kaliwang bahagi gamit ang:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 − x) (x 2 + x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .

Kaya, nagsasagawa ng mga katumbas na pagbabagong-anyo, dumating kami sa hindi pagkakapantay-pantay 1>0 , na totoo para sa anumang mga halaga ng variable x . At nangangahulugan ito na ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ng integer ay anumang tunay na numero.

Sagot:

x - kahit ano.

Halimbawa.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

Solusyon.

Mayroong zero sa kanang bahagi, kaya walang kailangang ilipat mula dito. Ibahin natin ang buong expression sa kaliwang bahagi sa isang polynomial:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .

Nakakuha kami ng isang quadratic inequality, na katumbas ng orihinal na inequality. Malutas namin ito sa anumang paraan na alam namin. Malulutas namin ang quadratic inequality sa graphically.

Hanapin ang mga ugat ng square trinomial −2 x 2 +11 x+6 :

Gumagawa kami ng isang guhit na eskematiko kung saan minarkahan namin ang mga nahanap na zero, at isinasaalang-alang na ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa, dahil ang nangungunang koepisyent ay negatibo:

Dahil nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa > sign, interesado kami sa mga pagitan kung saan matatagpuan ang parabola sa itaas ng x-axis. Nagaganap ito sa pagitan (−0.5, 6) , at ito ang nais na solusyon.

Sagot:

(−0,5, 6) .

Sa mas kumplikadong mga kaso, sa kaliwang bahagi ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay h(x)<0 (≤, >, ≥) ay magiging isang polynomial ng ikatlo o mas mataas na antas. Upang malutas ang gayong mga hindi pagkakapantay-pantay, ang paraan ng pagitan ay angkop, sa unang hakbang kung saan kakailanganin mong hanapin ang lahat ng mga ugat ng polynomial h (x) , na kadalasang ginagawa sa pamamagitan ng.

Halimbawa.

Maghanap ng solusyon sa buong rational inequality (x 2 +2) (x+4)<14−9·x .

Solusyon.

Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi, pagkatapos doon at:
(x 2 +2) (x+4)−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .

Ang mga ginawang manipulasyon ay humahantong sa atin sa isang hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng orihinal. Sa kaliwang bahagi nito ay isang third-degree polynomial. Maaari itong malutas gamit ang paraan ng pagitan. Upang gawin ito, una sa lahat, kailangan mong hanapin ang mga ugat ng polynomial, na nakasalalay sa x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Alamin natin kung ito ay may mga makatwirang ugat, na maaari lamang kabilang sa mga divisors ng libreng termino, iyon ay, sa mga bilang na ±1, ±2, ±3, ±6. Ang pagpapalit ng mga numerong ito sa halip na ang variable na x sa equation x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 , nalaman namin na ang mga ugat ng equation ay ang mga numero 1 , 2 at 3 . Ito ay nagpapahintulot sa amin na kumatawan sa polynomial x 3 +4 x 2 +11 x−6 bilang isang produkto (x−1) (x−2) (x−3) , at ang hindi pagkakapantay-pantay x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

At pagkatapos ay nananatili itong isagawa ang mga karaniwang hakbang ng paraan ng agwat: markahan ang mga puntos sa linya ng numero na may mga coordinate 1, 2 at 3, na hatiin ang linyang ito sa apat na agwat, matukoy at maglagay ng mga palatandaan, gumuhit ng pagpisa sa mga agwat na may minus sign. (dahil nilulutas natin ang isang hindi pagkakapantay-pantay na may isang palatandaan<) и записать ответ.

Kung saan mayroon tayong (−∞, 1)∪(2, 3) .

Sagot:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

Dapat pansinin na kung minsan ay hindi praktikal mula sa hindi pagkakapantay-pantay r(x) − s(x)<0 (≤, >, ≥) pumasa sa hindi pagkakapantay-pantay h(x)<0 (≤, >, ≥), kung saan ang h(x) ay isang polynomial ng degree na higit sa dalawa. Nalalapat ito sa mga kaso kung saan mas mahirap i-factor ang polynomial h(x) kaysa i-represent ang expression na r(x) − s(x) bilang isang produkto ng linear binomials at square trinomals, halimbawa, sa pamamagitan ng bracketing sa common factor. Ipaliwanag natin ito sa isang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x 2 −2 x−1) (x 2 −19)≥2 x (x 2 −2 x−1).

Solusyon.

Ito ay isang buong hindi pagkakapantay-pantay. Kung ililipat natin ang expression mula sa kanang bahagi nito patungo sa kaliwang bahagi, pagkatapos ay buksan ang mga bracket at magdala ng mga katulad na termino, makukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Ang paglutas nito ay napakahirap, dahil kabilang dito ang paghahanap ng mga ugat ng isang fourth-degree polynomial. Madaling suriin kung wala itong makatwirang mga ugat (maaaring ang mga ito ay mga numero 1, -1, 19 o -19), at may problemang hanapin ang iba pang mga ugat nito. Samakatuwid, ang landas na ito ay isang patay na dulo.

Maghanap tayo ng iba pang posibleng solusyon. Madaling makita na pagkatapos ilipat ang expression mula sa kanang bahagi ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ng integer sa kaliwang bahagi, maaari nating kunin ang karaniwang kadahilanan x 2 −2 x −1 sa mga bracket:
(x 2 −2 x−1) (x 2 −19)−2 x (x 2 −2 x−1)≥0,
(x 2 −2 x−1) (x 2 −2 x−19)≥0.

Ang ginawang pagbabago ay katumbas, kaya't ang solusyon ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging solusyon ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

At ngayon mahahanap natin ang mga zero ng expression na matatagpuan sa kaliwang bahagi ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay, para dito kailangan natin x 2 −2 x−1=0 at x 2 −2 x−19=0 . Ang kanilang mga ugat ay mga numero . Nagbibigay-daan ito sa amin na makapasa sa isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay , at malulutas namin ito sa pamamagitan ng paraan ng agwat:

Ayon sa pagguhit, isinulat namin ang sagot.

Sagot:

Sa pagtatapos ng talatang ito, nais ko lamang idagdag na malayo sa laging posible na mahanap ang lahat ng mga ugat ng polynomial h (x) at, bilang resulta, palawakin ito sa isang produkto ng mga linear binomials at square trinomial. Sa mga kasong ito, walang paraan upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay h(x)<0 (≤, >, ≥), na nangangahulugan na walang paraan upang makahanap ng solusyon sa orihinal na buong rational equation.

Solusyon ng mga fractionally rational inequalities

Ngayon ay haharapin natin ang solusyon ng naturang problema: hayaang kailanganin na lutasin ang isang fractionally rational inequality na may isang variable x ng anyong r(x) , ≥), kung saan ang r(x) at s(x) ay ilang rational expression, at kahit isa sa mga ito ay fractional. Magbigay kaagad tayo ng isang algorithm para sa paglutas nito, pagkatapos ay gagawin natin ang mga kinakailangang paliwanag.

Algorithm para sa paglutas ng isang fractionally rational inequality na may isang variable r(x) , ≥):
- Una, kailangan mong hanapin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga (ODV) ng variable x para sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.
- Susunod, kailangan mong ilipat ang expression mula sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwa, at ang expression na r(x) − s(x) na nabuo doon ay dapat i-convert sa anyo ng isang fraction p(x)/q(x ), kung saan ang p(x) at q(x) ay mga integer na expression na mga produkto ng linear binomials, hindi nabubulok na square trinomals at ang kanilang mga kapangyarihan na may natural na exponent.
- Susunod, kailangan mong lutasin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng mga agwat.
- Sa wakas, mula sa solusyon na nakuha sa nakaraang hakbang, kinakailangang ibukod ang mga puntos na hindi kasama sa DPV ng x variable para sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay na natagpuan sa unang hakbang.
Kaya, ang nais na solusyon ng fractionally rational inequality ay makukuha.

Ang ikalawang hakbang ng algorithm ay nangangailangan ng ilang paliwanag. Ang paglilipat ng expression mula sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwa ay nagbibigay ng hindi pagkakapantay-pantay r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), na katumbas ng orihinal. Malinaw ang lahat dito. Ngunit ang mga tanong ay itinaas sa pamamagitan ng karagdagang pagbabago nito sa anyong p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

Ang unang tanong ay: "Palagi bang posible itong isakatuparan"? Theoretically, oo. Alam namin na kahit ano ay posible. Ang numerator at denominator ng isang rational fraction ay mga polynomial. At mula sa pangunahing theorem ng algebra at Bezout's theorem ito ay sumusunod na ang anumang polynomial ng degree n na may isang variable ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng linear binomials. Ipinapaliwanag nito ang posibilidad na maisakatuparan ang pagbabagong ito.

Sa pagsasagawa, medyo mahirap i-factor ang mga polynomial, at kung ang kanilang degree ay mas mataas kaysa sa ikaapat, kung gayon hindi ito laging posible. Kung imposible ang factorization, walang paraan upang makahanap ng solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, ngunit ang mga ganitong kaso ay karaniwang hindi nangyayari sa paaralan.

Pangalawang tanong: "Ang hindi pagkakapantay-pantay ba ay p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), at samakatuwid din ang orihinal”? Maaari itong maging katumbas o hindi pantay. Katumbas ito kapag ang ODZ para sa expression na p(x)/q(x) ay pareho sa ODZ para sa expression na r(x)−s(x) . Sa kasong ito, ang huling hakbang ng algorithm ay magiging kalabisan. Ngunit ang DPV para sa expression na p(x)/q(x) ay maaaring mas malawak kaysa sa DPV para sa expression na r(x)−s(x) . Ang pagpapalawak ng ODZ ay maaaring mangyari kapag ang mga fraction ay nabawasan, tulad ng, halimbawa, kapag lumilipat mula sa Upang . Gayundin, ang pagpapalawak ng ODZ ay maaaring mapadali sa pamamagitan ng pagbawas ng mga katulad na termino, tulad ng, halimbawa, sa paglipat mula sa Upang . Para sa kasong ito, ang huling hakbang ng algorithm ay inilaan, na nag-aalis ng mga extraneous na solusyon na nagmumula sa pagpapalawak ng ODZ. Subaybayan natin ito kapag sinusuri natin sa ibaba ang mga solusyon ng mga halimbawa.

Ang konsepto ng hindi pagkakapantay-pantay sa matematika ay lumitaw noong sinaunang panahon. Nangyari ito nang ang isang primitive na tao ay kailangang ihambing ang kanilang numero at laki kapag nagbibilang at kumikilos sa iba't ibang bagay. Mula noong sinaunang panahon, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay ginamit sa kanilang pangangatwiran nina Archimedes, Euclid at iba pang sikat na siyentipiko: mga mathematician, astronomers, designer at philosophers.
Ngunit sila, bilang panuntunan, ay gumamit ng pandiwang terminolohiya sa kanilang mga gawa. Sa unang pagkakataon, ang mga modernong palatandaan upang tukuyin ang mga konsepto ng "higit pa" at "mas kaunti" sa anyo na alam ng bawat mag-aaral ngayon ay naimbento at isinagawa sa England. Ang matematiko na si Thomas Harriot ay nagbigay ng gayong serbisyo sa mga inapo. At nangyari ito mga apat na siglo na ang nakalilipas.
Maraming uri ng hindi pagkakapantay-pantay. Kabilang sa mga ito ay simple, na naglalaman ng isa, dalawa o higit pang mga variable, parisukat, fractional, kumplikadong mga ratio, at kahit na kinakatawan ng isang sistema ng mga expression. At upang maunawaan kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay, pinakamahusay na gumamit ng iba't ibang mga halimbawa.
Huwag palampasin ang tren
Upang magsimula, isipin na ang isang residente ng isang rural na lugar ay nagmamadali sa istasyon ng tren, na matatagpuan sa layo na 20 km mula sa kanyang nayon. Upang hindi makaligtaan ang tren na umaalis ng alas-11, dapat siyang umalis ng bahay sa oras. Sa anong oras ito dapat gawin kung ang bilis ng kanyang paggalaw ay 5 km/h? Ang solusyon ng praktikal na gawaing ito ay binabawasan sa pagtupad sa mga kondisyon ng expression: 5 (11 - X) ≥ 20, kung saan ang X ay ang oras ng pag-alis.
Ito ay naiintindihan, dahil ang distansya na kailangang malampasan ng isang taganayon sa istasyon ay katumbas ng bilis ng paggalaw na pinarami ng bilang ng mga oras sa kalsada. Ang isang tao ay maaaring dumating nang mas maaga, ngunit hindi siya maaaring ma-late. Ang pag-alam kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay, at paglalapat ng ating mga kasanayan sa pagsasanay, sa kalaunan ay makakakuha tayo ng X ≤ 7, na siyang sagot. Nangangahulugan ito na ang taganayon ay dapat pumunta sa istasyon ng tren sa alas-siyete ng umaga o mas maaga.
Mga puwang ng numero sa linya ng coordinate
Ngayon, alamin natin kung paano imapa ang inilarawan na mga relasyon sa hindi pagkakapantay-pantay na nakuha sa itaas ay hindi mahigpit. Nangangahulugan ito na ang variable ay maaaring tumagal ng mga halaga na mas mababa sa 7, at maaaring katumbas ng numerong ito. Magbigay tayo ng iba pang mga halimbawa. Upang gawin ito, maingat na isaalang-alang ang apat na figure sa ibaba.
Sa una sa mga ito ay makikita mo ang isang graphic na representasyon ng pagitan [-7; 7]. Binubuo ito ng isang hanay ng mga numero na matatagpuan sa linya ng coordinate at matatagpuan sa pagitan ng -7 at 7, kasama ang mga hangganan. Sa kasong ito, ang mga punto sa graph ay ipinapakita bilang mga punong bilog, at ang pagitan ay naitala gamit
Ang pangalawang figure ay isang graphical na representasyon ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Sa kasong ito, ang mga boundary number -7 at 7, na ipinapakita ng mga punctured (not filled) na tuldok, ay hindi kasama sa tinukoy na set. At ang agwat mismo ay nakatala sa panaklong gaya ng sumusunod: (-7; 7).
Iyon ay, naisip kung paano malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng ganitong uri, at nakatanggap ng katulad na sagot, maaari nating tapusin na binubuo ito ng mga numero na nasa pagitan ng mga hangganan na isinasaalang-alang, maliban sa -7 at 7. Ang susunod na dalawang kaso ay dapat na sinusuri sa katulad na paraan. Ang ikatlong figure ay nagbibigay ng mga larawan ng mga gaps (-∞; -7] U

Ngayon pasimplehin natin ang gawain nang kaunti at isaalang-alang hindi lamang ang mga polynomial, ngunit ang tinatawag na rational fractions ng form:

kung saan ang $P\left(x \right)$ at $Q\left(x \right)$ ay magkaparehong polynomial ng anyong $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, o ang produkto ng naturang mga polynomial.

Ito ay magiging isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Ang pangunahing punto ay ang pagkakaroon ng variable na $x$ sa denominator. Halimbawa, narito ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\kaliwa(3-x \kanan))^(2))\kaliwa(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

At ito ay hindi isang makatwiran, ngunit ang pinakakaraniwang hindi pagkakapantay-pantay, na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng agwat:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Sa hinaharap, sasabihin ko kaagad: mayroong hindi bababa sa dalawang paraan upang malutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, ngunit lahat ng mga ito sa isang paraan o iba pa ay nabawasan sa paraan ng mga pagitan na alam na natin. Samakatuwid, bago pag-aralan ang mga pamamaraang ito, alalahanin natin ang mga lumang katotohanan, kung hindi man ay walang kahulugan mula sa bagong materyal.

Ang kailangan mo nang malaman

Walang maraming mahahalagang katotohanan. Apat lang talaga ang kailangan natin.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Oo, oo: habulin nila tayo sa buong kurikulum ng matematika ng paaralan. At sa unibersidad din. Mayroong kaunti sa mga formula na ito, ngunit kailangan lang namin ang mga sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(a+b \kanan); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\kaliwa(a+b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\kanan); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\kaliwa(ab \kanan)\kaliwa(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\kanan). \\ \end(align)\]

Bigyang-pansin ang huling dalawang formula - ito ang kabuuan at pagkakaiba ng mga cube (at hindi ang kubo ng kabuuan o pagkakaiba!). Madaling tandaan ang mga ito kung mapapansin mo na ang sign sa unang bracket ay kapareho ng sign sa orihinal na expression, at sa pangalawang bracket ito ay kabaligtaran ng sign sa orihinal na expression.

Linear na equation

Ito ang mga pinakasimpleng equation ng anyong $ax+b=0$, kung saan ang $a$ at $b$ ay mga ordinaryong numero, at $a\ne 0$. Ang equation na ito ay madaling lutasin:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Pansinin kong may karapatan tayong hatiin sa coefficient na $a$, dahil $a\ne 0$. Ang pangangailangang ito ay lubos na lohikal, dahil sa $a=0$ makukuha natin ito:

Una, walang $x$ variable sa equation na ito. Ito, sa pangkalahatan, ay hindi dapat malito sa atin (nangyayari ito, sabihin nating, sa geometry, at medyo madalas), ngunit hindi na tayo isang linear equation.

Pangalawa, ang solusyon ng equation na ito ay nakasalalay lamang sa coefficient $b$. Kung zero din ang $b$, ang equation natin ay $0=0$. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay palaging totoo; kaya ang $x$ ay anumang numero (karaniwang isinusulat bilang $x\in \mathbb(R)$). Kung ang koepisyent na $b$ ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay na $b=0$ ay hindi kailanman nasisiyahan, i.e. walang sagot (nakasulat $x\in \varnothing $ at basahin ang "solution set is empty").

Upang maiwasan ang lahat ng mga kumplikadong ito, ipinapalagay lang namin na $a\ne 0$, na hindi sa anumang paraan ay naghihigpit sa amin mula sa karagdagang pagmumuni-muni.

Quadratic equation

Hayaan akong ipaalala sa iyo na ito ay tinatawag na isang quadratic equation:

Dito sa kaliwa ay isang polynomial ng pangalawang degree, at muli $a\ne 0$ (kung hindi, sa halip na isang quadratic equation, makakakuha tayo ng isang linear). Ang mga sumusunod na equation ay nalulutas sa pamamagitan ng discriminant:
1. Kung $D \gt 0$, makakakuha tayo ng dalawang magkaibang ugat;
2. Kung $D=0$, kung gayon ang ugat ay magiging isa, ngunit sa pangalawang multiplicity (anong uri ng multiplicity ito at kung paano ito isasaalang-alang - higit pa sa na mamaya). O maaari nating sabihin na ang equation ay may dalawang magkatulad na ugat;
3. Para sa $D \lt 0$ ay walang mga ugat, at ang tanda ng polynomial na $a((x)^(2))+bx+c$ para sa alinmang $x$ ay tumutugma sa tanda ng coefficient $a $. Ito, sa pamamagitan ng paraan, ay isang napaka-kapaki-pakinabang na katotohanan, na sa ilang kadahilanan ay nakalimutan na sabihin sa mga klase ng algebra.
Ang mga ugat mismo ay kinakalkula ayon sa kilalang formula:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Kaya, sa pamamagitan ng paraan, ang mga paghihigpit sa discriminant. Pagkatapos ng lahat, ang square root ng isang negatibong numero ay hindi umiiral. Tulad ng para sa mga ugat, maraming mga mag-aaral ang may kakila-kilabot na gulo sa kanilang mga ulo, kaya espesyal na naitala ko ang isang buong aralin: ano ang ugat sa algebra at kung paano kalkulahin ito - lubos kong inirerekumenda na basahin ito. :)

Mga operasyon na may mga rational fraction

Lahat ng nakasulat sa itaas, alam mo na kung pinag-aralan mo ang paraan ng mga pagitan. Ngunit ang susuriin natin ngayon ay walang mga analogue sa nakaraan - ito ay isang ganap na bagong katotohanan.

Kahulugan. Ang rational fraction ay isang pagpapahayag ng anyo

\[\frac(P\kaliwa(x \kanan))(Q\kaliwa(x \kanan))\]

kung saan ang $P\left(x \right)$ at $Q\left(x \right)$ ay mga polynomial.

Malinaw na madaling makakuha ng hindi pagkakapantay-pantay mula sa naturang fraction - sapat lamang na iugnay ang sign na "mas malaki kaysa" o "mas mababa sa" sa kanan. At kaunti pa ay matutuklasan natin na ang paglutas ng gayong mga problema ay isang kasiyahan, ang lahat ay napakasimple doon.

Nagsisimula ang mga problema kapag mayroong ilang mga naturang fraction sa isang expression. Kailangang bawasan ang mga ito sa isang karaniwang denominator - at sa sandaling ito na ang isang malaking bilang ng mga nakakasakit na pagkakamali ay nagagawa.

Samakatuwid, upang matagumpay na malutas ang mga makatwirang equation, kinakailangan na matatag na makabisado ang dalawang kasanayan:
1. Factorization ng polynomial $P\left(x \right)$;
2. Sa totoo lang, ang pagdadala ng mga fraction sa isang common denominator.
Paano i-factorize ang isang polynomial? Napakasimple. Hayaan tayong magkaroon ng polynomial ng form

I-equate natin ito sa zero. Nakukuha namin ang $n$-th degree equation:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Sabihin nating nalutas namin ang equation na ito at nakuha ang mga ugat na $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (huwag mag-alala: sa karamihan ng mga kaso ay walang higit sa dalawa sa mga ugat na ito) . Sa kasong ito, ang aming orihinal na polynomial ay maaaring muling isulat tulad nito:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\kaliwa(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-(x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Iyon lang! Pakitandaan: ang nangungunang koepisyent na $((a)_(n))$ ay hindi nawala kahit saan - ito ay magiging isang hiwalay na salik sa harap ng mga bracket, at kung kinakailangan, maaari itong ipasok sa alinman sa mga bracket na ito (mga palabas sa pagsasanay na may $((a)_ (n))\ne \pm 1$ halos palaging may mga fraction sa mga ugat).

Gawain. Pasimplehin ang expression:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Solusyon. Una, tingnan natin ang mga denominator: lahat sila ay linear binomials, at walang dapat i-factorize dito. Kaya't i-factorize natin ang mga numerator:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\kaliwa(x-\frac(3)(2) \kanan)\kaliwa(x-1 \kanan)=\kaliwa(2x- 3\kanan)\kaliwa(x-1\kanan); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\kaliwa(x+2 \kanan)\kaliwa(x-\frac(2)(5) \kanan)=\kaliwa(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\\end(align)\]

Pakitandaan: sa pangalawang polynomial, ang senior coefficient "2", alinsunod sa aming scheme, unang lumitaw sa harap ng bracket, at pagkatapos ay kasama sa unang bracket, dahil ang isang fraction ay lumabas doon.

Ang parehong bagay ay nangyari sa ikatlong polynomial, doon lamang ang pagkakasunud-sunod ng mga termino ay nalilito din. Gayunpaman, ang koepisyent na "−5" ay natapos na naisama sa pangalawang bracket (tandaan: maaari kang magpasok ng isang kadahilanan sa isa at isang bracket lamang!), na nagligtas sa amin mula sa abala na nauugnay sa mga fractional na ugat.

Tulad ng para sa unang polynomial, ang lahat ay simple doon: ang mga ugat nito ay hinahanap alinman sa karaniwang paraan sa pamamagitan ng discriminant, o gamit ang Vieta theorem.

Bumalik tayo sa orihinal na expression at muling isulat ito sa mga numerator na nabulok sa mga kadahilanan:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \kanan)-\kaliwa(x-1 \kanan)-\kaliwa(2-5x \kanan)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrix)\]

Sagot: $5x+4$.

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Medyo 7th-8th grade math at ayun na. Ang punto ng lahat ng pagbabago ay gawing simple at madaling gamitin ang isang kumplikado at nakakatakot na expression.

Gayunpaman, hindi ito palaging magiging kaso. Kaya ngayon ay isasaalang-alang natin ang isang mas malubhang problema.

Ngunit una, alamin natin kung paano dalhin ang dalawang fraction sa isang karaniwang denominator. Ang algorithm ay napaka-simple:
1. I-factor ang parehong denominator;
2. Isaalang-alang ang unang denominator at idagdag dito ang mga salik na nasa pangalawang denominator, ngunit hindi sa una. Ang magreresultang produkto ang magiging common denominator;
3. Alamin kung anong mga kadahilanan ang kulang sa bawat orihinal na fraction upang ang mga denominator ay maging pantay sa karaniwan.
Marahil ang algorithm na ito ay tila sa iyo ay isang teksto lamang kung saan mayroong "maraming mga titik". Kaya tingnan natin ang isang partikular na halimbawa.

Gawain. Pasimplehin ang expression:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]

Solusyon. Ang ganitong mga malalaking gawain ay pinakamahusay na nalutas sa mga bahagi. Isulat natin kung ano ang nasa unang bracket:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Hindi tulad ng nakaraang problema, dito ang mga denominador ay hindi gaanong simple. I-factorize natin ang bawat isa sa kanila.

Ang square trinomial na $((x)^(2))+2x+4$ ay hindi maaaring i-factor dahil ang equation na $((x)^(2))+2x+4=0$ ay walang mga ugat (ang discriminant ay negatibo) . Hinahayaan namin itong hindi nagbabago.

Ang pangalawang denominator, ang cubic polynomial $((x)^(3))-8$, sa mas malapit na pagsusuri ay ang pagkakaiba ng mga cube at madaling mabulok gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x) ^(2))+2x+4 \kanan)\]

Wala nang iba pang maaaring i-factor, dahil ang unang bracket ay naglalaman ng isang linear binomial, at ang pangalawa ay isang konstruksiyon na pamilyar sa amin, na walang tunay na mga ugat.

Sa wakas, ang pangatlong denominator ay isang linear na binomial na hindi mabubulok. Kaya, ang aming equation ay kukuha ng anyo:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Halatang halata na ang $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ ang magiging common denominator, at upang bawasan ang lahat ng fraction dito, ikaw kailangang i-multiply ang unang fraction sa $\left(x-2 \right)$, at ang huli sa $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Pagkatapos ay nananatili lamang na dalhin ang mga sumusunod:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ kanan))+\frac(((x)^(2))+8)(\kaliwa(x-2 \right)\kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \kanan))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \kanan))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(matrix)\]

Bigyang-pansin ang pangalawang linya: kapag ang denominator ay karaniwan na, i.e. sa halip na tatlong magkahiwalay na praksyon, sumulat kami ng isang malaki, hindi mo dapat agad na alisin ang mga bracket. Mas mainam na magsulat ng dagdag na linya at tandaan na, sabihin nating, mayroong isang minus bago ang ikatlong bahagi - at hindi ito pupunta kahit saan, ngunit "mag-hang" sa numerator sa harap ng bracket. Ito ay magliligtas sa iyo ng maraming pagkakamali.

Buweno, sa huling linya ay kapaki-pakinabang na i-factor ang numerator. Bukod dito, ito ay isang eksaktong parisukat, at ang mga pinaikling formula ng pagpaparami ay muling tumulong sa amin. Meron kami:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ngayon ay haharapin natin ang pangalawang bracket sa parehong paraan. Dito ako ay magsusulat lamang ng isang hanay ng mga pagkakapantay-pantay:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan) ). \\ \end(matrix)\]

Bumalik kami sa orihinal na problema at tinitingnan ang produkto:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]

Sagot: \[\frac(1)(x+2)\].

Ang kahulugan ng problemang ito ay pareho sa nauna: upang ipakita kung gaano karaming mga makatwirang ekspresyon ang maaaring gawing simple kung lapitan mo ang kanilang pagbabago nang matalino.

At ngayon, kapag alam mo na ang lahat ng ito, lumipat tayo sa pangunahing paksa ng aralin ngayon - paglutas ng mga fractional rational inequalities. Bukod dito, pagkatapos ng naturang paghahanda, ang mga hindi pagkakapantay-pantay mismo ay mag-click tulad ng mga mani. :)

Ang pangunahing paraan upang malutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay

Mayroong hindi bababa sa dalawang diskarte sa paglutas ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang isa sa mga ito - ang isa na karaniwang tinatanggap sa kurso sa matematika ng paaralan.

Ngunit una, tandaan natin ang isang mahalagang detalye. Ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa dalawang uri:
1. Mahigpit: $f\left(x \right) \gt 0$ o $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Hindi mahigpit: $f\left(x \right)\ge 0$ o $f\left(x \right)\le 0$.
Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng pangalawang uri ay madaling nabawasan sa una, pati na rin ang equation:

Ang maliit na "dagdag" na ito $f\left(x \right)=0$ ay humahantong sa isang hindi kasiya-siyang bagay tulad ng mga punan na puntos - nakilala namin sila pabalik sa paraan ng pagitan. Kung hindi, walang pagkakaiba sa pagitan ng mahigpit at hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya suriin natin ang unibersal na algorithm:
1. Kolektahin ang lahat ng di-zero na elemento sa isang bahagi ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, sa kaliwa;
2. Dalhin ang lahat ng mga fraction sa isang karaniwang denominator (kung mayroong ilang mga naturang fraction), magdala ng mga katulad na mga. Pagkatapos, kung maaari, i-factorize sa numerator at denominator. Sa isang paraan o iba pa, nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kung saan ang tik ay ang inequality sign.
3. I-equate ang numerator sa zero: $P\left(x \right)=0$. Lutasin namin ang equation na ito at makuha ang mga ugat $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Pagkatapos ay kailangan namin na ang denominator ay hindi katumbas ng zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Siyempre, sa esensya, kailangan nating lutasin ang equation na $Q\left(x \right)=0$, at makuha natin ang mga ugat na $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (sa mga totoong problema ay halos hindi hihigit sa tatlong ganoong ugat).
4. Minarkahan namin ang lahat ng mga ugat na ito (kapwa may at walang mga asterisk) sa isang linya ng numero, at ang mga ugat na walang mga bituin ay pininturahan, at ang mga may mga bituin ay pinupunch out.
5. Inilalagay namin ang mga plus at minus na palatandaan, piliin ang mga agwat na kailangan namin. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may anyo na $f\left(x \right) \gt 0$, ang sagot ay ang mga pagitan na minarkahan ng "plus". Kung $f\left(x \right) \lt 0$, pagkatapos ay titingnan namin ang mga pagitan na may "minuses".
Ipinapakita ng pagsasanay na ang mga puntos 2 at 4 ay nagdudulot ng pinakamalaking kahirapan - mga karampatang pagbabago at ang tamang pag-aayos ng mga numero sa pataas na pagkakasunud-sunod. Well, sa huling hakbang, maging lubhang maingat: palagi kaming naglalagay ng mga palatandaan batay sa ang huling hindi pagkakapantay-pantay na isinulat bago lumipat sa mga equation. Ito ay isang pangkalahatang tuntunin na minana mula sa paraan ng pagitan.

So, may scheme. Practice tayo.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Solusyon. Mayroon kaming mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right) \lt 0$. Malinaw, ang mga puntos 1 at 2 mula sa aming pamamaraan ay nakumpleto na: lahat ng mga elemento ng hindi pagkakapantay-pantay ay nakolekta sa kaliwa, walang kailangang bawasan sa isang karaniwang denominator. Kaya't magpatuloy tayo sa ikatlong punto.

Itakda ang numerator sa zero:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(align)\]

At ang denominator:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

Sa lugar na ito, maraming tao ang natigil, dahil sa teorya kailangan mong isulat ang $x+7\ne 0$, ayon sa hinihingi ng ODZ (hindi mo maaaring hatiin sa zero, iyon lang). Ngunit pagkatapos ng lahat, sa hinaharap ay ilalabas namin ang mga puntos na nagmula sa denominator, kaya hindi mo dapat gawing kumplikado muli ang iyong mga kalkulasyon - magsulat ng isang pantay na tanda sa lahat ng dako at huwag mag-alala. Walang magbabawas ng puntos para dito. :)

Pang-apat na punto. Markahan namin ang nakuha na mga ugat sa linya ng numero:
Lahat ng puntos ay nabutas dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit
Tandaan: lahat ng puntos ay nabutas dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. At dito hindi na mahalaga: ang mga puntong ito ay nagmula sa numerator o mula sa denominator.

Well, tingnan ang mga palatandaan. Kunin ang anumang numero $((x)_(0)) \gt 3$. Halimbawa, $((x)_(0))=100$ (ngunit maaari kang kumuha ng $((x)_(0))=3.1$ o $((x)_(0)) = 1\000\000$). Nakukuha namin:

Kaya, sa kanan ng lahat ng mga ugat mayroon kaming isang positibong lugar. At kapag dumadaan sa bawat ugat, nagbabago ang tanda (hindi ito palaging magiging kaso, ngunit higit pa sa susunod). Samakatuwid, nagpapatuloy kami sa ikalimang punto: inilalagay namin ang mga palatandaan at pinipili ang tama:

Bumalik tayo sa huling hindi pagkakapantay-pantay, na bago malutas ang mga equation. Sa totoo lang, ito ay kasabay ng orihinal, dahil hindi kami nagsagawa ng anumang pagbabago sa gawaing ito.

Dahil kinakailangan upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form na $f\left(x \right) \lt 0$, nilagyan ko ng shade ang interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - ito lamang ang minarkahan ng minus sign. Ito ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-7;3 \right)$

Iyon lang! Mahirap ba? Hindi, hindi mahirap. Sa katunayan, ito ay isang madaling gawain. Ngayon, gawing kumplikado ng kaunti ang misyon at isaalang-alang ang isang mas "fancy" na hindi pagkakapantay-pantay. Kapag nilulutas ito, hindi na ako magbibigay ng mga detalyadong kalkulasyon - balangkasin ko lang ang mga pangunahing punto. Sa pangkalahatan, aayusin namin ito sa paraang gagawin sana namin sa isang independiyenteng gawain o pagsusulit. :)

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0\]

Solusyon. Ito ay isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right)\ge 0$. Ang lahat ng hindi zero na elemento ay kinokolekta sa kaliwa, walang iba't ibang denominator. Lumipat tayo sa mga equation.

Numerator:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Denominator:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Hindi ko alam kung anong uri ng pervert ang bumubuo sa problemang ito, ngunit ang mga ugat ay hindi naging maganda: magiging mahirap ayusin ang mga ito sa isang linya ng numero. At kung ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw sa ugat na $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (ito lamang ang positibong numero - ito ay nasa kanan), pagkatapos ay $ ((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ at $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ ay nangangailangan ng karagdagang pag-aaral: alin mas malaki ba

Maaari mong malaman ito, halimbawa:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Sana hindi na kailangang ipaliwanag kung bakit ang numeric fraction na $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Kung kinakailangan, inirerekumenda ko ang pag-alala kung paano magsagawa ng mga aksyon na may mga fraction.

At minarkahan namin ang lahat ng tatlong ugat sa linya ng numero:
Ang mga puntos mula sa numerator ay may kulay, mula sa denominator ay pinutol ang mga ito
Naglalagay kami ng mga karatula. Halimbawa, maaari mong kunin ang $((x)_(0))=1$ at alamin ang sign sa puntong ito:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay bago ang mga equation ay $f\left(x \right)\ge 0$, kaya interesado kami sa plus sign.

Nakakuha kami ng dalawang set: ang isa ay isang ordinaryong segment, at ang isa ay isang bukas na sinag sa linya ng numero.

Sagot: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Isang mahalagang tala tungkol sa mga numerong pinapalitan namin upang malaman ang sign sa pinakakanang pagitan. Hindi kinakailangang palitan ang isang numerong malapit sa pinakakanang ugat. Maaari kang kumuha ng bilyun-bilyon o kahit na "plus-infinity" - sa kasong ito, ang tanda ng polynomial sa bracket, numerator o denominator ay tinutukoy lamang ng tanda ng nangungunang koepisyent.

Tingnan natin muli ang $f\left(x \right)$ function mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay:

Naglalaman ito ng tatlong polynomial:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\kaliwa(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(align)\]

Ang lahat ng mga ito ay mga linear na binomial, at lahat ng mga ito ay may mga positibong coefficient (mga numero 7, 11 at 13). Samakatuwid, kapag pinapalitan ang napakalaking numero, ang mga polynomial mismo ay magiging positibo din. :)

Maaaring mukhang masyadong kumplikado ang panuntunang ito, ngunit sa una lang, kapag pinag-aralan natin ang napakadaling gawain. Sa malubhang hindi pagkakapantay-pantay, ang pagpapalit ng "plus-infinity" ay magbibigay-daan sa amin na malaman ang mga palatandaan nang mas mabilis kaysa sa karaniwang $((x)_(0))=100$.

Haharapin natin ang mga ganitong hamon sa lalong madaling panahon. Ngunit una, tingnan natin ang isang alternatibong paraan upang malutas ang mga fractional rational inequalities.

Alternatibong paraan

Ang pamamaraan na ito ay iminungkahi sa akin ng isa sa aking mga mag-aaral. Ako mismo ay hindi kailanman gumamit nito, ngunit ipinakita ng pagsasanay na talagang mas maginhawa para sa maraming mga mag-aaral na lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa ganitong paraan.

Kaya, ang orihinal na data ay pareho. Kailangan nating lutasin ang isang fractional rational inequality:

\[\frac(P\kaliwa(x \kanan))(Q\kaliwa(x \kanan)) \gt 0\]

Isipin natin: bakit ang polynomial na $Q\left(x \right)$ ay "mas masahol" kaysa sa polynomial na $P\left(x \right)$? Bakit kailangan nating isaalang-alang ang magkakahiwalay na grupo ng mga ugat (may at walang asterisk), isipin ang tungkol sa mga punched point, atbp.? Ito ay simple: ang isang fraction ay may domain ng kahulugan, ayon sa kung saan ang fraction ay may katuturan lamang kapag ang denominator nito ay iba sa zero.

Kung hindi, walang pagkakaiba sa pagitan ng numerator at denominator: itinutumbas din natin ito sa zero, hanapin ang mga ugat, pagkatapos ay markahan ang mga ito sa linya ng numero. Kaya bakit hindi palitan ang fractional bar (sa katunayan, ang division sign) ng karaniwang multiplikasyon, at isulat ang lahat ng mga kinakailangan ng DHS bilang isang hiwalay na hindi pagkakapantay-pantay? Halimbawa, tulad nito:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Pakitandaan: ang diskarte na ito ay magpapahintulot sa iyo na bawasan ang problema sa paraan ng mga agwat, ngunit hindi nito gagawing kumplikado ang solusyon sa lahat. Pagkatapos ng lahat, gayon pa man, itutumbas natin ang polynomial na $Q\left(x \right)$ sa zero.

Tingnan natin kung paano ito gumagana sa mga totoong gawain.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Solusyon. Kaya, lumipat tayo sa paraan ng agwat:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa elementarya. Itakda lamang ang bawat panaklong sa zero:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, ang lahat ay simple din:

Minarkahan namin ang mga puntos na $((x)_(1))$ at $((x)_(2))$ sa totoong linya. Lahat sila ay nabutas dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit:
Ang tamang punto ay nabutas ng dalawang beses. Ito ay mabuti.
Bigyang-pansin ang puntong $x=11$. Ito ay lumalabas na ito ay "dalawang beses na gouged out": sa isang banda, nabubulok natin ito dahil sa tindi ng hindi pagkakapantay-pantay, sa kabilang banda, dahil sa karagdagang kinakailangan ng ODZ.

Sa anumang kaso, ito ay magiging isang punctured point lamang. Samakatuwid, naglalagay kami ng mga palatandaan para sa hindi pagkakapantay-pantay na $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ang huling nakita namin bago namin simulan ang paglutas ng mga equation:

Interesado kami sa mga positibong rehiyon, dahil nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right) \gt 0$, at kukulayan namin ang mga ito. Ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Gamit ang solusyon na ito bilang isang halimbawa, nais kong balaan ka laban sa isang karaniwang pagkakamali sa mga baguhang estudyante. Namely: hindi kailanman buksan ang mga panaklong sa hindi pagkakapantay-pantay! Sa kabaligtaran, subukang i-factor ang lahat - ito ay gawing simple ang solusyon at i-save ka ng maraming mga problema.

Ngayon subukan natin ang isang bagay na mas mahirap.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(\kaliwa(2x-13 \kanan)\kaliwa(12x-9 \kanan))(15x+33)\le 0\]

Solusyon. Ito ay isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng form na $f\left(x \right)\le 0$, kaya dito kailangan mong maingat na subaybayan ang mga punan na puntos.

Lumipat tayo sa paraan ng pagitan:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Lumipat tayo sa equation:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6.5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Isinasaalang-alang namin ang karagdagang kinakailangan:

Markahan namin ang lahat ng nakuha na mga ugat sa linya ng numero:
Kung ang isang punto ay parehong napunch out at pinunan sa parehong oras, ito ay itinuturing na punch out.
Muli, dalawang puntos ang "nagpapatong" sa isa't isa - ito ay normal, ito ay palaging magiging gayon. Mahalaga lamang na maunawaan na ang isang puntong minarkahan bilang napunch out at napunan ay talagang isang punched out na punto. Yung. Ang "Gouging" ay isang mas malakas na aksyon kaysa sa "pagpinta".

Ito ay ganap na lohikal, dahil sa pamamagitan ng pagbubutas ay minarkahan namin ang mga puntos na nakakaapekto sa pag-sign ng function, ngunit hindi sila mismo ang lumahok sa sagot. At kung sa isang punto ang numero ay hindi na umaangkop sa amin (halimbawa, hindi ito nahuhulog sa ODZ), tatanggalin namin ito mula sa pagsasaalang-alang hanggang sa pinakadulo ng gawain.

Sa pangkalahatan, itigil ang pamimilosopo. Inaayos namin ang mga palatandaan at pintura sa mga pagitan na may marka ng minus sign:

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

At muli nais kong iguhit ang iyong pansin sa equation na ito:

\[\kaliwa(2x-13 \kanan)\kaliwa(12x-9 \kanan)\kaliwa(15x+33 \kanan)=0\]

Muli: huwag kailanman buksan ang mga panaklong sa gayong mga equation! Pinahihirapan mo lang ang sarili mo. Tandaan: ang produkto ay zero kapag kahit isa sa mga salik ay zero. Dahil dito, ang equation na ito ay "nahuhulog" lamang sa ilang mas maliit, na nalutas namin sa nakaraang problema.

Isinasaalang-alang ang multiplicity ng mga ugat

Mula sa mga nakaraang problema, madaling makita na ang mga hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ang pinakamahirap, dahil sa kanila kailangan mong subaybayan ang mga punong puntos.

Ngunit mayroong isang mas malaking kasamaan sa mundo - ito ay maraming mga ugat ng hindi pagkakapantay-pantay. Dito kinakailangan na sundin ang hindi ilang punan na mga punto doon - dito ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring hindi biglang magbago kapag dumaan sa parehong mga puntong ito.

Hindi pa namin nasasaalang-alang ang anumang bagay na tulad nito sa araling ito (bagaman ang isang katulad na problema ay madalas na nakatagpo sa paraan ng pagitan). Kaya't ipakilala natin ang isang bagong kahulugan:

Kahulugan. Ang ugat ng equation na $((\left(x-a \right))^(n))=0$ ay katumbas ng $x=a$ at tinatawag na ugat ng $n$th multiplicity.

Sa totoo lang, hindi kami partikular na interesado sa eksaktong halaga ng multiplicity. Ang tanging mahalagang bagay ay kung ang mismong numerong $n$ ay pantay o kakaiba. dahil:
1. Kung ang $x=a$ ay isang ugat ng kahit multiplicity, kung gayon ang tanda ng function ay hindi nagbabago kapag dumadaan dito;
2. At kabaliktaran, kung ang $x=a$ ay ugat ng kakaibang multiplicity, magbabago ang sign ng function.
Ang isang espesyal na kaso ng isang ugat ng kakaibang multiplicity ay ang lahat ng mga nakaraang problema na isinasaalang-alang sa araling ito: doon ang multiplicity ay katumbas ng isa sa lahat ng dako.

At higit pa. Bago natin simulan ang paglutas ng mga problema, nais kong ituon ang iyong pansin sa isang kapitaganan na tila halata sa isang may karanasang mag-aaral, ngunit nagtutulak sa maraming baguhan sa pagkahilo. Namely:

Ang multiplicity root na $n$ ay lumalabas lamang kapag ang buong expression ay nakataas sa ganitong kapangyarihan: $((\left(xa \right))^(n))$, at hindi $\left(((x)^( n) )-a\kanan)$.

Muli: ang bracket na $((\left(xa \right))^(n))$ ay nagbibigay sa atin ng root $x=a$ ng multiplicity $n$, ngunit ang bracket na $\left(((x)^( n)) -a \right)$ o, gaya ng madalas na nangyayari, ang $(a-((x)^(n)))$ ay nagbibigay sa atin ng ugat (o dalawang ugat, kung ang $n$ ay pantay) ng unang multiplicity , anuman ang katumbas ng $n$.

Ihambing:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Ang lahat ay malinaw dito: ang buong bracket ay itinaas sa ikalimang kapangyarihan, kaya sa output nakuha namin ang ugat ng ikalimang degree. At ngayon:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Mayroon kaming dalawang ugat, ngunit pareho sa kanila ang unang multiplicity. O narito ang isa pa:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

At huwag malito sa ikasampung antas. Ang pangunahing bagay ay ang 10 ay isang kahit na numero, kaya mayroon kaming dalawang ugat sa output, at pareho silang muli ang unang multiplicity.

Sa pangkalahatan, mag-ingat: ang multiplicity ay nangyayari lamang kapag nalalapat ang degree sa buong bracket, hindi lang sa variable.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(((x)^(2))((\kaliwa(6-x \kanan))^(3))\kaliwa(x+4 \kanan))(((\kaliwa(x+7) \kanan))^(5)))\ge 0\]

Solusyon. Subukan nating lutasin ito sa isang alternatibong paraan - sa pamamagitan ng paglipat mula sa partikular sa produkto:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\tama.\]

Nakikitungo kami sa unang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng agwat:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

Bukod pa rito, nalulutas namin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Sa katunayan, nalutas na namin ito, ngunit upang ang mga tagasuri ay hindi makahanap ng kasalanan sa solusyon, mas mahusay na lutasin ito muli:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Tandaan na walang multiplicity sa huling hindi pagkakapantay-pantay. Sa katunayan: anong pagkakaiba ang ginagawa kung gaano karaming beses na i-cross out ang puntong $x=-7$ sa linya ng numero? Hindi bababa sa isang beses, hindi bababa sa limang beses - ang resulta ay magiging pareho: isang punctured point.

Tandaan natin ang lahat ng nakuha natin sa linya ng numero:

Gaya ng sinabi ko, ang $x=-7$ point ay tuluyang mapupuksa. Ang mga multiplicity ay isinaayos batay sa solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng agwat.

Ito ay nananatiling ilagay ang mga palatandaan:

Dahil ang puntong $x=0$ ay isang ugat ng pantay na multiplicity, ang tanda ay hindi nagbabago kapag dumadaan dito. Ang natitirang mga puntos ay may kakaibang multiplicity, at lahat ay simple sa kanila.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Bigyang-pansin muli ang $x=0$. Dahil sa kahit na multiplicity, lumitaw ang isang kawili-wiling epekto: lahat sa kaliwa nito ay pininturahan, sa kanan - din, at ang punto mismo ay ganap na pininturahan.

Bilang resulta, hindi ito kailangang ihiwalay kapag nagre-record ng tugon. Yung. hindi mo na kailangang magsulat ng isang bagay tulad ng $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (bagama't sa pormal na ganoong sagot ay magiging tama rin). Sa halip, agad naming isinusulat ang $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Ang ganitong mga epekto ay posible lamang para sa mga ugat ng kahit multiplicity. At sa susunod na gawain, makakatagpo tayo ng kabaligtaran na "pagpapakita" ng epektong ito. handa na?
Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \kaliwa(7x-10-((x)^(2)) \kanan))\ge 0\]

Solusyon. Sa pagkakataong ito, susundin natin ang karaniwang pamamaraan. Itakda ang numerator sa zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

At ang denominator:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Dahil nilulutas natin ang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right)\ge 0$, ang mga ugat mula sa denominator (na may mga asterisk) ay puputulin, at ang mga mula sa numerator ay ipininta sa ibabaw. .

Inaayos namin ang mga palatandaan at hinampas ang mga lugar na minarkahan ng "plus":
Ang puntong $x=3$ ay nakahiwalay. Ito ay bahagi ng sagot
Bago isulat ang huling sagot, tingnang mabuti ang larawan:
1. Ang puntong $x=1$ ay may pantay na multiplicity, ngunit mismong nabutas. Samakatuwid, ito ay kailangang ihiwalay sa sagot: kailangan mong isulat ang $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, at hindi $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Ang puntong $x=3$ ay mayroon ding pantay na multiplicity at may kulay. Ang pag-aayos ng mga palatandaan ay nagpapahiwatig na ang punto mismo ay nababagay sa atin, ngunit isang hakbang sa kaliwa at kanan - at nakita natin ang ating sarili sa isang lugar na tiyak na hindi angkop sa atin. Ang nasabing mga punto ay tinatawag na isolated at isinusulat bilang $x\in \left$ 3 \right$$.
Pinagsasama namin ang lahat ng nakuhang piraso sa isang karaniwang hanay at isulat ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $
Kahulugan. Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan hanapin ang hanay ng lahat ng mga solusyon nito, o patunayan na walang laman ang set na ito.

Tila: ano ang maaaring hindi maunawaan dito? Oo, ang katotohanan ng bagay ay ang mga hanay ay maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan. Isulat muli natin ang sagot sa huling problema:

Literal na binabasa namin ang nakasulat. Ang variable na "x" ay kabilang sa isang tiyak na hanay, na nakuha ng unyon (simbolo "U") ng apat na magkakahiwalay na hanay:
- Ang pagitan ay $\left(-\infty ;1 \right)$, na literal na nangangahulugang "lahat ng mga numero na mas mababa sa isa, ngunit hindi isa mismo";
- Ang pagitan ay $\left(1;2 \right)$, i.e. "lahat ng mga numero sa pagitan ng 1 at 2, ngunit hindi ang mga numero 1 at 2 mismo";
- Ang set na $\left$ 3 \right$$, na binubuo ng isang solong numero - tatlo;
- Ang pagitan na $\left[ 4;5 \right)$, na naglalaman ng lahat ng mga numero sa pagitan ng 4 at 5, kasama ang 4 mismo, ngunit hindi 5.
Ang pangatlong punto ay interesado dito. Hindi tulad ng mga agwat, na tumutukoy sa mga walang katapusang hanay ng mga numero at tumutukoy lamang sa mga hangganan ng mga hanay na ito, ang hanay na $\left$ 3 \right$$ ay tumutukoy ng eksaktong isang numero sa pamamagitan ng enumeration.

Upang maunawaan na inililista namin ang mga partikular na numero na kasama sa set (at hindi nagtatakda ng mga hangganan o anumang bagay), ginagamit ang mga kulot na brace. Halimbawa, ang notasyong $\left$ 1;2 \right$$ ay nangangahulugang eksaktong "isang set na binubuo ng dalawang numero: 1 at 2", ngunit hindi isang segment mula 1 hanggang 2. Sa anumang kaso huwag malito ang mga konseptong ito .

Panuntunan sa pagdaragdag ng multiplicity

Well, sa pagtatapos ng aralin ngayon, isang maliit na lata mula kay Pavel Berdov. :)

Ang matulungin na mga mag-aaral ay malamang na nagtanong sa kanilang sarili ng tanong: ano ang mangyayari kung ang parehong mga ugat ay matatagpuan sa numerator at denominator? Kaya gumagana ang sumusunod na panuntunan:

Ang mga multiplicity ng magkaparehong mga ugat ay idinagdag. Ay laging. Kahit na ang ugat na ito ay nangyayari sa parehong numerator at denominator.

Minsan mas mabuting magdesisyon kaysa magsalita. Samakatuwid, malulutas namin ang sumusunod na problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Sa ngayon, walang espesyal. Itakda ang denominator sa zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Dalawang magkaparehong ugat ang matatagpuan: $((x)_(1))=-2$ at $x_(4)^(*)=-2$. Parehong may unang multiplicity. Samakatuwid, pinapalitan namin ang mga ito ng isang ugat na $x_(4)^(*)=-2$, ngunit may multiplicity na 1+1=2.

Bilang karagdagan, mayroon ding magkaparehong mga ugat: $((x)_(2))=-4$ at $x_(2)^(*)=-4$. Sila rin ay nasa unang multiplicity, kaya $x_(2)^(*)=-4$ na lang ng multiplicity 1+1=2 ang natitira.

Pakitandaan: sa parehong mga kaso, iniwan namin nang eksakto ang "pinutol" na ugat, at itinapon ang "pininturahan" mula sa pagsasaalang-alang. Dahil kahit na sa simula ng aralin, nagkasundo kami: kung ang isang punto ay parehong nasusuntok at pininturahan sa parehong oras, pagkatapos ay itinuturing pa rin namin itong punch out.

Bilang isang resulta, mayroon kaming apat na mga ugat, at lahat ng mga ito ay na-gouged out:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\kaliwa(2k \kanan); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\kaliwa(2k \kanan). \\ \end(align)\]

Minarkahan namin ang mga ito sa linya ng numero, isinasaalang-alang ang multiplicity:

Inilalagay namin ang mga palatandaan at pintura sa mga lugar na interesado sa amin:

Lahat. Walang ilang mga punto at iba pang mga perversions. Maaari mong isulat ang sagot.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

tuntunin sa pagpaparami

Minsan ang isang mas hindi kasiya-siyang sitwasyon ay nangyayari: ang isang equation na may maraming mga ugat ay itinaas mismo sa isang tiyak na kapangyarihan. Binabago nito ang multiplicity ng lahat ng orihinal na ugat.

Ito ay bihira, kaya karamihan sa mga estudyante ay walang karanasan sa paglutas ng mga ganitong problema. At ang panuntunan dito ay:

Kapag ang isang equation ay itinaas sa isang kapangyarihan $n$, ang multiplicity ng lahat ng mga ugat nito ay tataas din ng isang factor na $n$.

Sa madaling salita, ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay nagreresulta sa pagpaparami ng multiplicity sa parehong kapangyarihan. Kunin natin ang panuntunang ito bilang isang halimbawa:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x((\left(((x)^(2)))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\kaliwa(2-x \kanan))^(3))((\kaliwa(x-1 \kanan))^(2)))\le 0\]

Solusyon. Itakda ang numerator sa zero:

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Malinaw ang lahat sa unang multiplier: $x=0$. At dito magsisimula ang mga problema:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\kaliwa(2k \kanan); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\kaliwa(2k \kanan)\kaliwa(2k \kanan) \ \ & ((x)_(2))=3\kaliwa(4k \kanan) \\ \end(align)\]

Gaya ng nakikita mo, ang equation na $((x)^(2))-6x+9=0$ ay may natatanging ugat ng pangalawang multiplicity: $x=3$. Ang buong equation ay pagkatapos ay parisukat. Samakatuwid, ang multiplicity ng root ay magiging $2\cdot 2=4$, na sa wakas ay isinulat namin.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Wala ring problema sa denominator:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Sa kabuuan, nakakuha kami ng limang puntos: dalawa ang na-punch out at tatlo ang napunan. Walang magkatulad na mga ugat sa numerator at denominator, kaya markahan lamang namin ang mga ito sa linya ng numero:

Inaayos namin ang mga palatandaan na isinasaalang-alang ang mga multiplicity at pintura sa mga pagitan ng interes sa amin:
Muli isang nakahiwalay na punto at isang nabutas
Dahil sa mga ugat ng kahit multiplicity, muli kaming nakatanggap ng ilang "hindi pamantayan" na mga elemento. Ito ay $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, hindi $x\in \left[ 0;2 \right)$, at isa ring nakahiwalay na punto $ x\in \left$ 3 \right$$.

Sagot. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay hindi napakahirap. Ang pangunahing bagay ay pagkaasikaso. Ang huling bahagi ng araling ito ay nakatuon sa mga pagbabago - ang mismong mga tinalakay natin sa simula pa lamang.

Mga preconversion

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na tatalakayin natin sa seksyong ito ay hindi kumplikado. Gayunpaman, hindi tulad ng mga nakaraang gawain, dito kailangan mong ilapat ang mga kasanayan mula sa teorya ng rational fractions - factorization at reduction sa isang common denominator.

Detalyadong tinalakay namin ang isyung ito sa simula ng aralin ngayon. Kung hindi ka sigurado na naiintindihan mo kung tungkol saan ito, lubos kong inirerekomenda na bumalik ka at ulitin. Dahil walang punto sa pag-cramming ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay kung ikaw ay "lumulutang" sa pag-convert ng mga fraction.

Sa araling-bahay, sa pamamagitan ng paraan, magkakaroon din ng maraming katulad na mga gawain. Ang mga ito ay inilalagay sa isang hiwalay na subsection. At doon ay makakahanap ka ng mga napaka-walang kuwentang halimbawa. Ngunit ito ay nasa takdang-aralin, ngunit ngayon suriin natin ang ilang mga hindi pagkakapantay-pantay.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Solusyon. Inilipat ang lahat sa kaliwa:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Binabawasan namin sa isang karaniwang denominator, buksan ang mga bracket, nagbibigay ng mga katulad na termino sa numerator:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ kanan))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\kaliwa(x-1 \kanan))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Ngayon ay mayroon na tayong classical fractional rational inequality, ang solusyon nito ay hindi na mahirap. Iminumungkahi kong lutasin ito sa pamamagitan ng isang alternatibong pamamaraan - sa pamamagitan ng paraan ng mga agwat:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Huwag kalimutan ang pagpilit na nagmumula sa denominator:

Minarkahan namin ang lahat ng mga numero at mga paghihigpit sa linya ng numero:

Ang lahat ng mga ugat ay may unang multiplicity. Walang problema. Ilalagay lang namin ang mga karatula at pintura sa mga lugar na kailangan namin:

Ito ay lahat. Maaari mong isulat ang sagot.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Siyempre, ito ay isang napaka-simpleng halimbawa. Kaya ngayon, tingnan natin ang problema. At sa pamamagitan ng paraan, ang antas ng gawaing ito ay medyo pare-pareho sa independyente at kontrol na gawain sa paksang ito sa ika-8 baitang.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Solusyon. Inilipat ang lahat sa kaliwa:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Bago dalhin ang parehong mga fraction sa isang karaniwang denominator, nabubulok namin ang mga denominador na ito sa mga salik. Biglang lalabas ang parehong mga bracket? Sa unang denominator, madali:

\[((x)^(2))+8x-9=\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+9 \kanan)\]

Ang pangalawa ay medyo mas mahirap. Huwag mag-atubiling magdagdag ng palaging multiplier sa bracket kung saan natagpuan ang fraction. Tandaan: ang orihinal na polynomial ay may mga integer coefficient, kaya malaki ang posibilidad na ang factorization ay magkakaroon din ng integer coefficients (sa katunayan, ito ay palaging, maliban kung ang discriminant ay hindi makatwiran).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(3x-2 \kanan) \end(align)\]

Gaya ng nakikita mo, mayroong isang karaniwang bracket: $\left(x-1 \right)$. Bumalik tayo sa hindi pagkakapantay-pantay at dinadala ang parehong mga fraction sa isang karaniwang denominator:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ kaliwa(3x-2\kanan))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\kaliwa(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+9 \kanan)\kaliwa(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+9 \kanan)\kaliwa(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ \end(align)\]

Itakda ang denominator sa zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( ihanay)\]

Walang multipliities at walang coinciding roots. Nagmarka kami ng apat na numero sa isang tuwid na linya:

Inilalagay namin ang mga palatandaan:

Isulat namin ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ tama)$.

Mga sistema ng makatwirang hindi pagkakapantay-pantay

Teksto ng aralin

abstract [Bezdenezhnykh L.V.]

buod ng mga aralin 2-4 [Zvereva L.P.]

Ano ang mga rational inequalities?

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng integer

Solusyon ng mga fractionally rational inequalities

Huwag palampasin ang tren

Mga puwang ng numero sa linya ng coordinate

Ang kailangan mo nang malaman

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Linear na equation

Quadratic equation

Mga operasyon na may mga rational fraction

Ang pangunahing paraan upang malutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay

Alternatibong paraan

Isinasaalang-alang ang multiplicity ng mga ugat

Panuntunan sa pagdaragdag ng multiplicity

tuntunin sa pagpaparami

Mga preconversion

Pinili ng Editor