Video tutorial 2: Ang problema para sa pyramid. Dami ng Pyramid

Video tutorial 3: Ang problema para sa pyramid. Tamang pyramid

Panitikang: Pyramid, ang base nito, lateral ribs, taas, lateral surface; tatsulok na piramide; tamang pyramid

Pyramid Ay isang solid, na may isang polygon sa base nito, at ang lahat ng mga mukha nito ay binubuo ng mga tatsulok.

Ang isang espesyal na kaso ng isang pyramid ay isang kono na may isang bilog sa base nito.

Isaalang-alang ang mga pangunahing elemento ng pyramid:

Apothem Ay isang linya na linya na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa gitna ng ibabang gilid ng gilid ng mukha. Sa madaling salita, ito ay ang taas ng pyramid facet.

Ang figure ay nagpapakita ng mga tatsulok ADS, ABS, BCS, CDS. Kung titingnan mo nang mabuti ang mga pangalan, maaari mong makita na ang bawat tatsulok ay may isang pangkaraniwang titik sa pangalan nito - S. Iyon ay, nangangahulugan ito na ang lahat ng mga tagiliran sa gilid (mga tatsulok) ay nagkakasalubong sa isang punto, na kung saan ay tinatawag na tuktok ng pyramid.

Ang segment na ОS, na nag-uugnay sa tuktok sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (sa kaso ng mga tatsulok, sa punto ng intersection ng taas), ay tinatawag na taas ng pyramid.

Ang isang seksyon ng dayagonal ay isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid, pati na rin ang isa sa mga diagonal ng base.

Dahil ang gilid ng gilid ng pyramid ay binubuo ng mga tatsulok, pagkatapos upang mahanap ang kabuuang lugar ng gilid ng gilid, kinakailangan upang mahanap ang mga lugar ng bawat mukha at idagdag ang mga ito. Ang bilang at hugis ng mga mukha ay nakasalalay sa hugis at sukat ng mga panig ng polygon na nakalagay sa base.

Ang nag-iisang eroplano sa pyramid na kung saan ang tuktok ay hindi nabibilang ay tinatawag batayan mga piramide.

Sa figure, nakita namin na may isang paralelogram sa base, gayunpaman, maaaring mayroong anumang di-makatwirang polygon.

Ari-arian:

Isaalang-alang ang unang kaso ng isang pyramid kung saan mayroon itong mga gilid ng parehong haba:

• Ang isang bilog ay maaaring inilarawan sa paligid ng base ng tulad ng isang pyramid. Kung i-project mo ang tuktok ng tulad ng isang pyramid, pagkatapos ang projection nito ay nasa gitna ng bilog.
• Ang mga anggulo sa base ng pyramid ay pareho para sa bawat mukha.
• Sa kasong ito, isang sapat na kondisyon para sa katotohanan na ang isang bilog ay maaaring inilarawan sa paligid ng base ng pyramid, pati na rin upang ipalagay na ang lahat ng mga gilid ay magkakaibang mga haba, maaari nating isaalang-alang ang parehong mga anggulo sa pagitan ng base at bawat gilid ng mga mukha.

Kung nakatagpo ka ng isang pyramid kung saan ang mga anggulo sa pagitan ng mga gilid ng mukha at base ay pantay, kung gayon ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

• Magagawa mong ilarawan ang isang bilog sa paligid ng base ng pyramid, ang tuktok ng kung saan ay inaasahang eksaktong nasa gitna.
• Kung gumuhit ka sa bawat gilid ng taas hanggang sa base, pagkatapos ay magiging pantay silang haba.
• Upang mahanap ang lugar ng lateral na ibabaw ng tulad ng isang pyramid, sapat na upang mahanap ang perimeter ng base at i-multiplikate ito sa kalahati ng haba ng taas.
• S bp \u003d 0.5P oc H.
• Mga uri ng pyramid.
• Nakasalalay sa kung aling polygon ang namamalagi sa base ng pyramid, maaari silang maging tatsulok, quadrangular, atbp Kung ang isang regular na polygon (na may pantay na panig) ay matatagpuan sa base ng pyramid, kung gayon ang tulad ng isang piramide ay tatawagin na regular.

Regular na tatsulok na piramide

Ang video tutorial na ito ay makakatulong sa mga gumagamit na makakuha ng isang ideya ng tema ng Pyramid. Tamang pyramid. Sa araling ito ay makikilala natin ang konsepto ng isang piramide, bibigyan namin ito ng isang kahulugan. Isaalang-alang natin kung ano ang isang regular na piramide at kung ano ang mga katangian nito. Pagkatapos ay mapatunayan namin ang lateral na teorem ng ibabaw para sa isang regular na pyramid.

Sa araling ito ay makikilala natin ang konsepto ng isang piramide, bibigyan namin ito ng isang kahulugan.

Isaalang-alang ang isang polygon Isang 1 A 2...A n, na namamalagi sa eroplano α, at ang punto P, na hindi namamalagi sa eroplano α (Larawan 1). Ikonekta natin ang punto P na may mga taluktok Isang 1, A 2, A 3, … A n... Kumuha kami n tatsulok: Isang 1 A 2 R, Isang 2 A 3 R atbp.

Kahulugan... Polyhedron RA 1 A 2 ... A ngawa sa n-gonal Isang 1 A 2...A n at ntatsulok RA 1 A 2, RA 2 A 3 …PA n А n -1 ay tinawag n-gonal na piramide. Fig. 1.

Fig. 1

Isaalang-alang ang isang quadrangular pyramid PABCD (fig. 2).

R - ang tuktok ng pyramid.

A B C D - ang base ng pyramid.

RA - lateral rib.

AB - ang gilid ng base.

Mula sa punto R iwas ang patayo PH sa eroplano ng base A B C D... Ang iginuhit na patayo ay ang taas ng pyramid.

Fig. 2

Ang buong ibabaw ng pyramid ay binubuo ng pag-ilid ng ibabaw, iyon ay, ang lugar ng lahat ng mga pag-ilid na mukha, at ang lugar ng base:

S buong \u003d S side + S pangunahing

Ang isang piramide ay tinatawag na tama kung:

• ang batayan nito ay isang regular na polygon;
• ang linya ng linya na nagkokonekta sa tuktok ng pyramid na may gitna ng base ay ang taas nito.

Paliwanag sa halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid

Isaalang-alang ang isang regular na quadrangular pyramid PABCD (fig. 3).

R - ang tuktok ng pyramid. Base ng pyramid A B C D - isang regular na quadrangle, iyon ay, isang parisukat. Punto TUNGKOL, ang intersection point ng mga diagonals, ay ang sentro ng parisukat. Kaya, RO ay ang taas ng pyramid.

Fig. 3

Pagpapaliwanag: sa tama n-gon, ang sentro ng inskripsyon na bilog at ang sentro ng pagtutuli na magkakasabay. Ang sentro na ito ay tinatawag na sentro ng polygon. Minsan sinasabing ang tuktok ay inaasahang sa gitna.

Ang taas ng gilid ng mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa tuktok ay tinatawag na apothem at tinukoy h a.

1. lahat ng mga lateral na gilid ng isang regular na piramide ay pantay;

2. ang mga gilid ng mukha ay pantay na mga tatsulok ng isosceles.

Ang patunay ng mga pag-aari na ito ay ibinibigay ng halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid.

Naibigay: PABCD - regular na quadrangular pyramid,

A B C D - parisukat,

RO - ang taas ng pyramid.

Patunayan:

1. PA \u003d PB \u003d PC \u003d PD

2. ∆АВР \u003d ∆ВСР \u003d ∆СDP \u003d ∆DAP Tingnan ang Fig. 4.

Fig. 4

Katibayan.

RO - ang taas ng pyramid. Iyon ay, tuwid RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ay direktang JSC, VO, KAYA at GUSTOnamamalagi dito. Kaya ang mga tatsulok ROA, ROV, ROS, POD - hugis-parihaba.

Isaalang-alang ang isang parisukat A B C D... Sinusundan ito mula sa mga katangian ng parisukat na AO \u003d BO \u003d CO = GUSTO.

Pagkatapos ay may kanang mga tatsulok ROA, ROV, ROS, POD paa RO - pangkalahatang at binti JSC, VO, KAYA at GUSTOay pantay-pantay, na nangangahulugang ang mga tatsulok na ito ay pantay sa dalawang binti. Ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng mga segment, PA \u003d PB \u003d PC \u003d PD.Ang item 1 ay napatunayan.

Mga Segment ABat Araway pantay-pantay, dahil sila ay mga panig ng isang parisukat RA \u003d PB \u003d RS... Kaya ang mga tatsulok ABPat HRV -isosceles at pantay sa tatlong panig.

Katulad nito, nalaman namin na ang mga tatsulok ATS, BCP, CDP, DAP isosceles at pantay, tulad ng kinakailangan upang patunayan sa talata 2.

Ang lateral na lugar ng ibabaw ng isang regular na pyramid ay katumbas sa kalahati ng produkto ng base perimeter at ang apothem:

Para sa patunay, pumili kami ng isang regular na tatsulok na piramide.

Naibigay: RAVS - regular na tatsulok na piramide.

AB \u003d BC \u003d AC.

RO - taas.

Patunayan: ... Tingnan ang Fig. lima.

Fig. lima

Katibayan.

RAVS - regular na tatsulok na piramide. I.e AB= AC \u003d BC... Hayaan TUNGKOL - ang gitna ng tatsulok ABCpagkatapos RO ay ang taas ng pyramid. Ang isang equilateral tatsulok ay namamalagi sa base ng pyramid ABC... pansinin, iyon .

Mga Triangles RAV, RVS, RSA - pantay na mga anggulo ng isosceles (sa pamamagitan ng pag-aari). Ang tatsulok na piramide ay may tatlong panig na mukha: RAV, RVS, RSA... Samakatuwid, ang lugar ng gilid ng gilid ng pyramid ay katumbas ng:

S side \u003d 3S RAV

Ang teorem ay napatunayan.

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m, ang taas ng pyramid ay 4 m. Hanapin ang lugar ng gilid ng gilid ng pyramid.

Naibigay: regular na quadrangular pyramid A B C D,

A B C D - parisukat,

r \u003d 3 m,

RO - ang taas ng pyramid,

RO \u003d 4 m.

Hanapin: S gilid. Tingnan ang Fig. 6.

Fig. 6

Desisyon.

Sa pamamagitan ng napatunayan na teorema,.

Hanapin muna ang gilid ng base AB... Alam namin na ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m.

Pagkatapos, m.

Hanapin ang perimeter ng square A B C Dna may isang gilid ng 6 m:

Isaalang-alang ang isang tatsulok BCD... Hayaan M - sa gitna DC... Bilang TUNGKOL - gitna BDpagkatapos (m).

Triangle DPC - isosceles. M - gitna DC... I.e, RM - ang panggitna, at samakatuwid ang taas sa tatsulok DPC... Pagkatapos RM - ang apothem ng pyramid.

RO - ang taas ng pyramid. Pagkatapos, diretso RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ang tuwid na linya OMnamamalagi dito. Hahanapin natin ang apothem RM mula sa isang tamang tatsulok ROM.

Ngayon ay matatagpuan namin ang gilid ng ibabaw ng pyramid:

Sagot: 60 m 2.

Ang radius ng isang bilog na nakalibot tungkol sa base ng isang regular na tatsulok na piramide ay m.Ang lateral na lugar ng ibabaw ay 18 m 2. Hanapin ang haba ng apothem.

Naibigay: ABCP - regular na tatsulok na piramide,

AB \u003d BC \u003d CA,

R \u003d m,

S gilid \u003d 18 m 2.

Hanapin:. Tingnan ang Fig. 7.

Fig. 7

Desisyon.

Sa isang regular na tatsulok ABC ibinibigay ang radius ng bilog na bilog. Maghanap ng isang gilid AB tatsulok na ito gamit ang sine teorem.

Alam ang bahagi ng isang regular na tatsulok (m), matatagpuan namin ang perimeter nito.

Sa pamamagitan ng teorema sa lateral na lugar ng ibabaw ng isang regular na pyramid, kung saan h a- ang apothem ng pyramid. Pagkatapos:

Sagot: 4 m.

Kaya, sinuri namin kung ano ang isang piramide, kung ano ang isang regular na piramide, at pinatunayan ang teorema sa pag-ilid ng isang regular na piramide. Sa susunod na aralin, makikilala natin ang truncated pyramid.

Listahan ng mga sanggunian

1. Geometry. Mga Gred 10-11: isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon (pangunahing at antas ng profile) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ika-5 ed., Rev. at idagdag. - M .: Mnemozina, 2008 .-- 288 p .: Ill.
2. Geometry. Baitang 10-11: Aklat ng Aklat para sa pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p .: may sakit.
3. Geometry. Baitang 10: Aklat para sa mga institusyong pang-edukasyon na may malalim at dalubhasang pag-aaral ng matematika / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ika-6 na ed., Stereotype. - M .: Bustard, 008 .-- 233 p .: may sakit.

1. Portal ng Internet na "Yaklass" ()
2. Internet portal "Festival ng mga ideya ng pedagogical" Setyembre 1st "()
3. Portal ng Internet na "Slideshare.net" ()

Takdang aralin

1. Maaari ba ang isang regular na polygon ay ang batayan ng isang hindi regular na piramide?
2. Patunayan na ang disjoint mga gilid ng isang regular na pyramid ay patayo.
3. Hanapin ang halaga ng anggulo ng dihedral sa gilid ng base ng isang regular na quadrangular pyramid, kung ang apothem ng pyramid ay pantay sa gilid ng base nito.
4. RAVS - regular na tatsulok na piramide. Buuin ang linear na anggulo ng dihedral sa base ng pyramid.

Kahulugan. Gilid ng gilid ay isang tatsulok, isang sulok kung saan matatagpuan sa tuktok ng pyramid, at ang kabaligtaran na bahagi ay magkatulad sa gilid ng base (polygon).

Kahulugan. Side ribs - ito ang mga karaniwang panig ng mga gilid ng mukha. Ang pyramid ay may maraming mga gilid tulad ng mga sulok ng polygon.

Kahulugan. Ang taas ng Pyramid ay isang patayo na bumaba mula sa itaas hanggang sa base ng pyramid.

Kahulugan. Apothem ay ang patayo sa gilid ng mukha ng pyramid, binaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa gilid ng base.

Kahulugan. Seksyon ng dayagonal ay isang seksyon ng pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid at diagonal ng base.

Kahulugan. Tamang pyramid ay isang pyramid kung saan ang base ay isang regular na polygon, at ang taas ay bumaba sa gitna ng base.

Dami at ibabaw na lugar ng pyramid

Pormula. Ang dami ng pyramid sa pamamagitan ng base area at taas:

Mga katangian ng Pyramid

Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay-pantay, kung gayon ang isang bilog ay maaaring inilarawan sa paligid ng base ng pyramid, at ang sentro ng base ay nagkakasabay sa gitna ng bilog. Gayundin, ang patayo ay bumaba mula sa tuktok ay dumaan sa gitna ng base (bilog).

Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay-pantay, kung gayon sila ay nakakiling sa eroplano ng base sa parehong mga anggulo.

Ang mga gilid ng gilid ay pantay-pantay kapag bumubuo sila ng pantay na anggulo sa base plane o kung ang isang bilog ay maaaring inilarawan sa paligid ng base ng pyramid.

Kung ang mga gilid ng mukha ay nakakiling sa base eroplano sa isang anggulo, kung gayon ang isang bilog ay maaaring isulat sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang nasa sentro nito.

Kung ang mga mukha ng gilid ay may kiling sa isang eroplano ng base sa isang anggulo, kung gayon ang mga apothems ng mga gilid ng mukha ay pantay.

Mga katangian ng isang regular na piramide

1. Ang tuktok ng pyramid ay pantay-pantay mula sa lahat ng mga sulok ng base.

2. Lahat ng mga gilid ng buto-buto ay pantay.

3. Lahat ng mga gilid ng buto-buto ay nakakulong sa parehong anggulo sa base.

4. Ang mga apothems ng lahat ng mga susunod na mukha ay pantay-pantay.

5. Ang mga lugar ng lahat ng mga mukha ng panig ay pantay.

6. Ang lahat ng mga mukha ay may parehong mga anggulo ng dihedral (flat).

7. Ang isang globo ay maaaring inilarawan sa paligid ng pyramid. Ang sentro ng inilarawan na globo ang magiging punto ng intersection ng mga perpendicular na dumadaan sa gitna ng mga gilid.

8. Ang isang globo ay maaaring isulat sa pyramid. Ang sentro ng nakasulat na globo ay ang intersection point ng mga bisectors na nagmumula sa anggulo sa pagitan ng gilid at base.

9. Kung ang sentro ng nakasulat na globo ay nagkakasabay sa gitna ng gitnang globo, kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano sa vertex ay katumbas ng π o kabaligtaran, ang isang anggulo ay katumbas ng π / n, kung saan n ang bilang ng mga anggulo sa base ng pyramid.

Koneksyon ng isang pyramid na may isang globo

Ang isang globo ay maaaring inilarawan sa paligid ng isang pyramid kapag ang isang polyhedron ay nakalagay sa base ng pyramid sa paligid kung saan ang isang bilog ay maaaring inilarawan (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang sentro ng globo ang magiging punto ng intersection ng mga eroplano na dumaraan nang diretso sa pamamagitan ng mga midpoints ng mga gilid ng gilid ng pyramid.

Ang isang globo ay palaging mailalarawan sa paligid ng anumang tatsulok o regular na piramide.

Ang isang globo ay maaaring mai-inskripsyon sa pyramid kung ang mga eroplano ng bisector ng panloob na mga sulok ng dihedral ng intersect ng pyramid sa isang punto (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ay magiging sentro ng globo.

Koneksyon ng isang pyramid na may isang kono

Ang isang kono ay tinatawag na nakasulat sa isang piramide kung ang kanilang mga vertice ay nag-tutugma, at ang base ng kono ay nakasulat sa base ng pyramid.

Ang isang kono ay maaaring isulat sa isang pyramid kung ang mga apothems ng pyramid ay pantay sa bawat isa.

Ang isang kono ay tinawag na circumscribed sa paligid ng isang piramide kung ang kanilang mga tuktok ay nag-tutugma, at ang base ng kono ay naka-ikot sa paligid ng base ng pyramid.

Ang isang kono ay maaaring inilarawan sa paligid ng pyramid kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ng pyramid ay pantay sa bawat isa.

Koneksyon ng isang pyramid na may isang silindro

Ang isang piramide ay tinatawag na nakasulat sa isang silindro kung ang tuktok ng pyramid ay nakasalalay sa isang base ng silindro, at ang base ng pyramid ay nakasulat sa isa pang base ng silindro.

Ang isang silindro ay maaaring inilarawan sa paligid ng isang piramide kung ang isang bilog ay maaaring inilarawan sa paligid ng base ng pyramid.

Ang isang tetrahedron ay may apat na mukha at apat na mga vertice at anim na gilid, kung saan ang anumang dalawang gilid ay walang karaniwang mga vertice ngunit hindi hawakan.

Ang bawat tuktok ay may tatlong mukha at gilid na bumubuo tatsulok na sulok.

Ang segment na nagkokonekta sa tuktok ng tetrahedron na may sentro ng kabaligtaran na mukha ay tinatawag median tetrahedron (GM).

Bimedian ay tinatawag na segment na nagkokonekta sa mga midpoints ng mga kabaligtaran na mga gilid na hindi nakikipag-ugnay (KL).

Ang lahat ng mga bimedian at median ng tetrahedron ay sumasalungat sa isang punto (S). Sa kasong ito, ang mga bimedian ay nahahati sa kalahati, at ang mga median sa isang ratio ng 3: 1 na nagsisimula mula sa tuktok.

Kahulugan. Talamak na anggulo ng talamak - isang pyramid kung saan ang apothem ay higit sa kalahati ng haba ng gilid ng base.

Kahulugan. Malingaw na piramide - isang pyramid kung saan ang apothem ay mas mababa sa kalahati ng haba ng gilid ng base.

Kahulugan. Regular na tetrahedron - isang tetrahedron kung saan ang lahat ng apat na mukha ay magkatulad na mga tatsulok. Ito ay isa sa limang regular na polygons. Sa isang regular na tetrahedron, ang lahat ng mga anggulo ng dihedral (sa pagitan ng mga mukha) at mga anggulo ng trihedral (sa tuktok) ay pantay.

Kahulugan. Rectangular tetrahedron ay tinatawag na isang tetrahedron na may tamang anggulo sa pagitan ng tatlong mga gilid sa vertex (ang mga gilid ay patayo). Tatlong mukha ang bumubuo hugis-parihabang sulok na tatsulok at ang mga mukha ay naaangkop na mga tatsulok na tama, at ang base ay isang di-makatwirang tatsulok. Ang apothem ng anumang facet ay katumbas sa kalahati ng gilid ng base kung saan bumagsak ang apothem.

Kahulugan. Equhedral tetrahedron ay tinatawag na isang tetrahedron kung saan ang mga gilid ng mukha ay katumbas sa bawat isa, at ang base ay isang regular na tatsulok. Para sa tulad ng isang tetrahedron, ang mga mukha ay mga tatsulok na isosceles.

Kahulugan. Orthocentric tetrahedron ay tinatawag na isang tetrahedron kung saan ang lahat ng mga taas (patayo) na ibinaba mula sa itaas hanggang sa tapat ng intersect ng mukha sa isang punto.

Kahulugan. Star pyramid tinawag na polyhedron na ang base ay isang bituin.

Pyramid. Truncated pyramid

Pyramid ay tinatawag na isang polyhedron, na ang isa sa mga mukha nito ay isang polygon ( base ), at lahat ng iba pang mga mukha ay mga tatsulok na may isang karaniwang vertex ( mga mukha sa gilid ) (fig. 15). Ang pyramid ay tinawag tama kung ang batayan nito ay isang regular na polygon at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang sa gitna ng base (Fig. 16). Ang isang tatsulok na piramide kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay na tinatawag tetrahedron .

Side rib ang pyramid ay ang gilid ng gilid ng mukha na hindi kabilang sa base Taas Ang pyramid ay tinawag na distansya mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. Ang lahat ng mga lateral na gilid ng isang regular na piramide ay katumbas sa bawat isa, lahat ng mga lateral na gilid ay pantay na mga triangles na isosceles. Ang taas ng gilid ng mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa itaas ay tinatawag na apothem . Seksyon ng dayagonal ang seksyon ng pyramid ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa dalawang lateral na mga gilid na hindi kabilang sa isang mukha.

Lugar sa gilid ng gilid Ang pyramid ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha sa gilid. Buong ibabaw na lugar tinawag ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha ng mukha at ang base.

Mga teoryang

1. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay na hilig sa eroplano ng base, kung gayon ang tuktok ng pyramid ay inaasahang sa gitna ng bilog na naka-iskedyul tungkol sa base.

2. Kung sa pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay may pantay na haba, kung gayon ang tuktok ng pyramid ay inaasahan sa gitna ng bilog na naka-iskedyul tungkol sa base.

3. Kung sa pyramid ang lahat ng mga mukha ay pantay na nakakiling sa eroplano ng base, kung gayon ang tuktok ng pyramid ay inaasahang sa gitna ng bilog na nakasulat sa base.

Upang makalkula ang dami ng isang di-makatwirang pyramid, tama ang formula:

saan V - dami;

S pangunahing - lugar ng base;

H - ang taas ng pyramid.

Para sa tamang piramide, tama ang mga formula:

saan p - base perimeter;

h a - apothem;

H - taas;

S buo

S gilid

S pangunahing - lugar ng base;

V - ang lakas ng tunog ng tamang pyramid.

Truncated pyramid tinawag na bahagi ng pyramid, na nakapaloob sa pagitan ng base at ng lihim na eroplano, na kahanay sa base ng pyramid (Fig. 17). Regular na truncated pyramid ay tinatawag na bahagi ng isang regular na pyramid, na nakapaloob sa pagitan ng base at ng lihim na eroplano, na kahanay sa base ng pyramid.

Mga pundasyon truncated pyramids - mga katulad na polygons. Mga mukha sa gilid - trapezoid. Taas isang truncated pyramid ang distansya sa pagitan ng mga batayan nito. Diagonal isang truncated pyramid ay tinatawag na isang segment na nag-uugnay sa mga vertice na hindi nagsisinungaling sa parehong mukha. Seksyon ng dayagonal ang isang seksyon ng isang truncated pyramid ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa dalawang lateral na mga gilid na hindi kabilang sa isang mukha.

Para sa isang truncated pyramid, ang mga sumusunod na formula ay may bisa:

(4)

saan S 1 , S 2 - mga lugar ng itaas at mas mababang mga base;

S buo - kabuuang lugar ng ibabaw;

S gilid - lateral na lugar ng ibabaw;

H - taas;

V - ang lakas ng tunog ng truncated pyramid.

Para sa isang tamang truncated pyramid, tama ang formula:

saan p 1 , p 2 - base perimeter;

h a - ang apothem ng regular na truncated pyramid.

Halimbawa 1. Sa isang regular na tatsulok na piramide, ang anggulo ng dihedral sa base ay 60º. Hanapin ang tangent ng anggulo ng pagkahilig ng gilid na gilid sa eroplano ng base.

Desisyon. Gumawa tayo ng isang pagguhit (fig. 18).

Ang piramide ay regular, kaya sa base mayroong isang equilateral tatsulok at ang lahat ng mga mukha ng mukha ay pantay na mga triangle na isosceles. Ang anggulo ng dihedral sa base ay ang anggulo ng pagkahilig sa gilid ng mukha ng pyramid hanggang sa eroplano ng base. Ang anggulo ng guhit ay ang anggulo a sa pagitan ng dalawang mga patayo: at i.e. Ang tuktok ng piramide ay inaasahang nasa gitna ng tatsulok (ang sentro ng tuldok at ang nakasulat na bilog sa tatsulok ABC). Ang anggulo ng pagkahilig ng lateral rib (halimbawa SB) Ay ang anggulo sa pagitan ng gilid mismo at ang pagpapalabas nito sa base na eroplano. Para sa tadyang SB ang anggulong ito ang magiging anggulo SBD... Upang mahanap ang tangent, kailangan mong malaman ang mga binti KAYA at OB... Hayaan ang haba ng segment BD katumbas ng 3 at... Dot TUNGKOL seksyon BD ay nahahati sa mga bahagi: at Mula sa aming nahanap KAYA: Mula sa aming nahanap:

Sagot:

Halimbawa 2. Hanapin ang dami ng isang regular na truncated quadrangular pyramid kung ang mga diagonal ng mga base nito ay cm at cm, at ang taas ay 4 cm.

Desisyon. Upang mahanap ang dami ng truncated pyramid, gagamitin namin ang formula (4). Upang mahanap ang lugar ng mga base, kailangan mong hanapin ang mga gilid ng mga parisukat ng base, alam ang kanilang mga diagonal. Ang mga gilid ng mga base ay 2 cm at 8 cm, ayon sa pagkakabanggit, Kaya't ang mga lugar ng mga base at Ang pagkakaroon ng paghalili sa lahat ng mga data sa pormula, kinakalkula namin ang dami ng truncated pyramid:

Sagot: 112 cm 3.

Halimbawa 3. Hanapin ang lugar ng mukha ng gilid ng isang regular na tatsulok na truncated pyramid, ang mga gilid ng mga base na kung saan ay 10 cm at 4 cm, at ang taas ng pyramid ay 2 cm.

Desisyon. Gumawa tayo ng isang pagguhit (fig. 19).

Ang gilid ng mukha ng piramide na ito ay isang isosceles trapezoid. Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong malaman ang base at taas. Ang mga base ay ibinibigay ng kondisyon, tanging ang taas ay nananatiling hindi kilala. Malalaman natin ito mula sa kung saan AT 1 E patayo mula sa punto AT 1 sa eroplano ng mas mababang base, A 1 D - patayo mula sa AT 1 on AS. AT 1 E \u003d 2 cm, dahil ito ang taas ng pyramid. Hanapin DE gumawa tayo ng isang karagdagang pagguhit, na ilalarawan ang isang nangungunang view (fig. 20). Punto TUNGKOL - projection ng mga sentro ng itaas at mas mababang mga base. mula nang (tingnan ang fig. 20) at sa kabilang banda OK Ay ang radius ng inskripsyon na bilog at OM - radius ng nakasulat na bilog:

MK \u003d DE.

Sa pamamagitan ng teorema ng Pythagorean mula

Lugar ng mukha ng mukha:

Sagot:

Halimbawa 4. Sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang isosceles trapezoid, ang mga batayan kung saan atat b (a> b). Ang bawat panig ng mukha ay bumubuo ng isang anggulo na may base plane ng pyramid na katumbas j... Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng pyramid.

Desisyon. Gumawa tayo ng isang pagguhit (fig. 21). Kabuuang lugar ng ibabaw ng pyramid SABCD katumbas ng kabuuan ng mga lugar at lugar ng trapezoid A B C D.

Gagamitin natin ang pahayag na kung ang lahat ng mga mukha ng pyramid ay pantay na hilig sa eroplano ng base, kung gayon ang tuktok ay inaasahang sa gitna ng bilog na nakasulat sa base. Punto TUNGKOL - vertex projection S sa base ng pyramid. Triangle SOD ay ang orthogonal projection ng tatsulok CSD sa eroplano ng base. Sa pamamagitan ng teorema sa lugar ng orthogonal projection ng isang figure ng eroplano, nakukuha namin:

Katulad nito, nangangahulugan ito Kaya, ang gawain ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng trapezoid A B C D... Gumuhit ng isang trapezoid A B C Dnang hiwalay (fig. 22). Punto TUNGKOL - ang gitna ng bilog na nakasulat sa trapezoid.

Dahil ang isang bilog ay maaaring ma-inskripsyon sa isang trapezoid, alinman sa Mula, ng teorema ng Pythagorean, mayroon kami

• apothem - ang taas ng gilid ng mukha ng regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito (bilang karagdagan, ang apothem ay ang haba ng patayo, na kung saan ay binaba mula sa gitna ng regular na polygon hanggang 1 ng mga panig nito);
• mga mukha sa gilid (ASB, BSC, CSD, DSA) - mga tatsulok na nag-uugnay sa tuktok;
• mga gilid ng buto-buto ( AS , BS , CS , DS ) - karaniwang mga panig ng mga gilid ng mukha;
• tuktok ng pyramid (t. S) - ang punto na nagkokonekta sa mga gilid ng gilid at hindi namamalagi sa eroplano ng base;
• taas ( KAYA ) - isang segment ng patayo, na kung saan ay iguguhit sa tuktok ng pyramid papunta sa eroplano ng base nito (ang mga dulo ng naturang isang segment ay magiging tuktok ng piramide at ang batayan ng patayo);
• dayagonal na seksyon ng pyramid - seksyon ng pyramid, na dumadaan sa tuktok at diagonal ng base;
• base (A B C D) - isang polygon na hindi kabilang sa tuktok ng pyramid.

Mga katangian ng Pyramid.

1. Kung ang lahat ng mga gilid ng buto-buto ay magkatulad na laki, kung gayon:

• madaling ilarawan ang isang bilog na malapit sa base ng pyramid, habang ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na ito;
• ang mga lateral na buto-buto ay bumubuo ng parehong mga anggulo na may base plane;
• bukod dito, ang converse ay totoo rin, i.e. kapag ang mga pag-ilid ng mga gilid ay bumubuo ng pantay na mga anggulo sa base plane, o kapag ang isang bilog ay maaaring inilarawan malapit sa base ng pyramid at sa tuktok ng pyramid ay inaasahang sa gitna ng bilog na ito, kung gayon ang lahat ng mga pag-ilid na gilid ng pyramid ay may parehong sukat.

2. Kapag ang mga gilid ng mukha ay may parehong anggulo ng pagkahilig sa eroplano ng base, kung gayon:

• madaling ilarawan ang isang bilog na malapit sa base ng pyramid, habang ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na ito;
• ang taas ng mga gilid ng mukha ay magkatulad na haba;
• ang lateral na lugar ng ibabaw ay katumbas ng ½ ang produkto ng base perimeter sa pamamagitan ng lateral na taas ng mukha.

3. Ang isang globo ay maaaring ilarawan malapit sa pyramid kung ang isang polygon ay nakalagay sa base ng pyramid sa paligid kung saan ang isang bilog ay maaaring inilarawan (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang sentro ng globo ang magiging punto ng intersection ng mga eroplano na dumadaan sa mga midpoints ng mga gilid ng pyramid patayo sa kanila. Mula sa teorema na ito napagpasyahan namin na ang isang globo ay maaaring inilarawan pareho sa paligid ng anumang tatsulok at sa paligid ng anumang regular na piramide.

4. Ang isang globo ay maaaring isulat sa isang pyramid kung ang mga eroplano ng bisector ng mga panloob na mga anggulo ng dihedral ng intersect ng pyramid sa 1st point (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ay magiging sentro ng globo.

Ang pinakasimpleng pyramid.

Sa pamamagitan ng bilang ng mga anggulo, ang base ng pyramid ay nahahati sa tatsulok, quadrangular, at iba pa.

Ang pyramid ay tatsulok, quadrangular, at iba pa, kapag ang base ng pyramid ay isang tatsulok, isang quadrangle, at iba pa. Ang isang tatsulok na piramide ay isang tetrahedron - isang tetrahedron. Quadrangular - pentahedron at iba pa.