Paano mahanap ang formula ng pag-unlad ng pagkakaiba. Formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic
Ano ang pangunahing diwa ng formula?
Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap anuman SA NUMERO NIYA" n" .
Siyempre, kailangan mo ring malaman ang unang termino a 1 at pagkakaiba sa pag-unlad d, mabuti, kung wala ang mga parameter na ito, hindi mo maisusulat ang isang partikular na pag-unlad.
Ang pagsasaulo (o pag-cribing) ng formula na ito ay hindi sapat. Kailangan mong maunawaan ang kakanyahan nito at ilapat ang formula sa iba't ibang mga problema. At huwag ding kalimutan sa tamang sandali, oo...) Paano huwag kalimutan- Hindi ko alam. At dito paano maalala Kung kinakailangan, talagang ipapayo ko sa iyo. Para sa mga nakakumpleto ng aralin hanggang sa wakas.)
Kaya, tingnan natin ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Ano ang isang pormula sa pangkalahatan? By the way, tingnan mo kung hindi mo pa ito nabasa. Simple lang ang lahat doon. Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ito nth term.
Ang pag-unlad sa pangkalahatan ay maaaring isulat bilang isang serye ng mga numero:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- nagsasaad ng unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika, a 3- ikatlong miyembro, a 4- ang ikaapat, at iba pa. Kung interesado tayo sa ikalimang termino, sabihin nating nakikipagtulungan tayo isang 5, kung isang daan at dalawampu - s isang 120.
Paano natin ito matutukoy sa mga pangkalahatang termino? anuman termino ng isang arithmetic progression, na may anuman numero? Napakasimple! Ganito:
isang n
Iyon na iyon nth term ng isang arithmetic progression. Itinago ng letrang n ang lahat ng numero ng miyembro nang sabay-sabay: 1, 2, 3, 4, at iba pa.
At ano ang ibinibigay sa atin ng gayong rekord? Isipin mo na lang, sa halip na isang numero ay sumulat sila ng isang liham...
Ang notasyong ito ay nagbibigay sa amin ng isang mahusay na tool para sa pagtatrabaho sa pag-unlad ng arithmetic. Gamit ang notasyon isang n, mabilis nating mahahanap anuman miyembro anuman pag-unlad ng aritmetika. At lutasin ang isang bungkos ng iba pang mga problema sa pag-unlad. Mas makikita mo ang iyong sarili.
Sa formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- ang unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika;
n- numero ng miyembro.
Ang formula ay nag-uugnay sa mga pangunahing parameter ng anumang pag-unlad: a n ; isang 1; d At n. Ang lahat ng mga problema sa pag-unlad ay umiikot sa mga parameter na ito.
Ang nth term formula ay maaari ding gamitin upang magsulat ng isang tiyak na pag-unlad. Halimbawa, maaaring sabihin ng problema na ang pag-unlad ay tinukoy ng kundisyon:
a n = 5 + (n-1) 2.
Ang ganitong problema ay maaaring maging isang dead end... Walang serye o pagkakaiba... Ngunit, kung ikukumpara ang kondisyon sa formula, madaling maunawaan na sa pag-unlad na ito. a 1 =5, at d=2.
At maaari itong maging mas malala pa!) Kung gagawin natin ang parehong kundisyon: a n = 5 + (n-1) 2, Oo, buksan ang mga panaklong at magdala ng mga katulad nito? Kumuha kami ng bagong formula:
a n = 3 + 2n.
Ito Hindi lang pangkalahatan, ngunit para sa isang tiyak na pag-unlad. Dito nakatago ang hukay. Iniisip ng ilang tao na ang unang termino ay tatlo. Bagama't sa katotohanan ang unang termino ay lima... Mas mababa ng kaunti ay gagana tayo sa gayong binagong formula.
Sa mga problema sa pag-unlad ay may isa pang notasyon - isang n+1. Ito ay, gaya ng nahulaan mo, ang terminong "n plus first" ng progression. Ang kahulugan nito ay simple at hindi nakakapinsala.) Ito ay isang miyembro ng progression na ang bilang ay mas malaki kaysa sa numero n ng isa. Halimbawa, kung sa ilang problema ay kinukuha natin isang n ikalimang termino noon isang n+1 magiging ikaanim na miyembro. atbp.
Kadalasan ang pagtatalaga isang n+1 matatagpuan sa mga formula ng pag-ulit. Huwag matakot sa nakakatakot na salitang ito!) Ito ay isang paraan lamang ng pagpapahayag ng isang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika sa pamamagitan ng nauna. Sabihin nating binibigyan tayo ng aritmetika na pag-unlad sa form na ito, gamit ang paulit-ulit na formula:
isang n+1 = isang n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Ang ikaapat - hanggang sa ikatlo, ang ikalima - hanggang sa ikaapat, at iba pa. Paano natin mabibilang kaagad, sabihin, ang ikadalawampung termino? isang 20? Ngunit walang paraan!) Hanggang sa malaman natin ang ika-19 na termino, hindi natin mabibilang ang ika-20. Ito ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng paulit-ulit na pormula at ng pormula ng nth term. Ang paulit-ulit ay gumagana lamang sa pamamagitan ng dati termino, at ang formula ng ika-n na termino ay tapos na una at nagpapahintulot kaagad maghanap ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Nang hindi kinakalkula ang buong serye ng mga numero sa pagkakasunud-sunod.
Sa isang pag-unlad ng aritmetika, madaling gawing regular ang isang paulit-ulit na formula. Bilangin ang isang pares ng magkakasunod na termino, kalkulahin ang pagkakaiba d, hanapin, kung kinakailangan, ang unang termino a 1, isulat ang formula sa karaniwang anyo nito, at gawin ito. Ang ganitong mga gawain ay madalas na nakatagpo sa State Academy of Sciences.
Paglalapat ng formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Una, tingnan natin ang direktang aplikasyon ng formula. Sa pagtatapos ng nakaraang aralin ay nagkaroon ng problema:
Isang arithmetic progression (a n) ang ibinibigay. Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.
Ang problemang ito ay maaaring malutas nang walang anumang mga formula, batay lamang sa kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Magdagdag at magdagdag... Isang oras o dalawa.)
At ayon sa formula, ang solusyon ay tatagal ng mas mababa sa isang minuto. You can time it.) Let's decide.
Ang mga kundisyon ay nagbibigay ng lahat ng data para sa paggamit ng formula: a 1 =3, d=1/6. Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ang pantay n. Walang problema! Kailangan nating maghanap isang 121. Kaya sumulat kami:
Mangyaring bigyang-pansin! Sa halip na isang index n lumitaw ang isang tiyak na numero: 121. Na medyo lohikal.) Interesado kami sa miyembro ng pag-unlad ng aritmetika bilang isang daan dalawampu't isa. Ito ay magiging atin n. Ito ang kahulugan n= 121 papalitan pa natin ang formula, sa mga bracket. Pinapalitan namin ang lahat ng mga numero sa formula at kinakalkula:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Ayan yun. Kung gaano kabilis mahahanap ng isa ang limang daan at ikasampung termino, at ang libo at pangatlo, kahit sino. Inilagay namin sa halip n ang nais na numero sa index ng titik " a" at sa mga bracket, at binibilang namin.
Hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang punto: ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap anuman termino ng pag-unlad ng aritmetika SA NUMERO NIYA" n" .
Solusyonan natin ang problema sa mas tusong paraan. Ating harapin ang sumusunod na problema:
Hanapin ang unang termino ng arithmetic progression (a n), kung a 17 =-2; d=-0.5.
Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, sasabihin ko sa iyo ang unang hakbang. Isulat ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic! Oo Oo. Isulat gamit ang iyong mga kamay, mismo sa iyong kuwaderno:
| a n = a 1 + (n-1)d |
At ngayon, tinitingnan ang mga titik ng formula, naiintindihan namin kung anong data ang mayroon kami at kung ano ang nawawala? Available d=-0.5, may panglabing pitong miyembro... Yun ba? Kung sa tingin mo iyon lang, hindi mo malulutas ang problema, oo...
May number pa kami n! Sa kondisyon isang 17 =-2 nakatago dalawang parameter. Ito ay parehong halaga ng ikalabing pitong termino (-2) at ang bilang nito (17). Yung. n=17. Ang "walang kabuluhan" na ito ay madalas na dumaan sa ulo, at kung wala ito, (nang walang "walang kabuluhan", hindi ang ulo!) ang problema ay hindi malulutas. Bagaman... at walang ulo rin.)
Ngayon ay maaari nating palitan ng katangahan ang ating data sa formula:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)
oo, isang 17 alam namin na -2. Okay, palitan natin:
-2 = isang 1 + (17-1)·(-0.5)
Iyon lang talaga. Ito ay nananatiling ipahayag ang unang termino ng pag-unlad ng aritmetika mula sa formula at kalkulahin ito. Ang sagot ay: a 1 = 6.
Ang pamamaraan na ito - ang pagsusulat ng isang formula at simpleng pagpapalit ng kilalang data - ay isang malaking tulong sa mga simpleng gawain. Well, siyempre, dapat mong maipahayag ang isang variable mula sa isang formula, ngunit ano ang gagawin!? Kung wala ang kasanayang ito, maaaring hindi na pag-aralan ang matematika...
Isa pang sikat na palaisipan:
Hanapin ang pagkakaiba ng arithmetic progression (a n), kung a 1 =2; a 15 =12.
Anong gagawin natin? Magugulat ka, sinusulat namin ang formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Isaalang-alang natin ang alam natin: a 1 =2; a 15 =12; at (lalo kong iha-highlight!) n=15. Huwag mag-atubiling palitan ito sa formula:
12=2 + (15-1)d
Ginagawa namin ang aritmetika.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ito ang tamang sagot.
Kaya, ang mga gawain para sa isang n, isang 1 At d nagpasya. Ang natitira na lang ay upang matutunan kung paano hanapin ang numero:
Ang bilang na 99 ay miyembro ng arithmetic progression (a n), kung saan a 1 =12; d=3. Hanapin ang numero ng miyembrong ito.
Pinapalitan namin ang mga dami na alam namin sa formula ng ika-n na termino:
a n = 12 + (n-1) 3
Sa unang sulyap, mayroong dalawang hindi kilalang dami dito: a n at n. Pero isang n- ito ay ilang miyembro ng progression na may numero n...At kilala natin itong miyembro ng progression! Ito ay 99. Hindi namin alam ang numero nito. n, Kaya ang numerong ito ang kailangan mong hanapin. Pinapalitan namin ang termino ng progression 99 sa formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Nagpapahayag kami mula sa formula n, sa tingin namin. Nakukuha namin ang sagot: n=30.
At ngayon ay isang problema sa parehong paksa, ngunit mas malikhain):
Tukuyin kung ang numerong 117 ay miyembro ng arithmetic progression (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Isulat natin muli ang formula. Ano, walang mga parameter? Hm... Bakit tayo binibigyan ng mata?) Nakikita ba natin ang unang termino ng pag-unlad? Nakikita namin. Ito ay -3.6. Maaari mong ligtas na magsulat: a 1 = -3.6. Pagkakaiba d Masasabi mo ba mula sa serye? Madali kung alam mo kung ano ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
Kaya, ginawa namin ang pinakasimpleng bagay. Ito ay nananatiling humarap sa hindi kilalang numero n at ang hindi maintindihan na numero 117. Sa nakaraang problema, hindi bababa sa ito ay kilala na ito ay ang termino ng pag-unlad na ibinigay. Ngunit dito hindi natin alam... Anong gagawin!? Well, how to be, how to be... I-on ang iyong mga creative na kakayahan!)
Kami kunwari na ang 117 ay, pagkatapos ng lahat, isang miyembro ng ating pag-unlad. Sa unknown number n. At, tulad ng sa nakaraang problema, subukan nating hanapin ang numerong ito. Yung. isinusulat namin ang formula (oo, oo!)) at palitan ang aming mga numero:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
Muli naming ipinapahayag mula sa formulan, binibilang namin at nakukuha namin:
Oops! Ang dami pala fractional! Isang daan at isa't kalahati. At mga fractional na numero sa mga progressions Hindi maaaring. Anong konklusyon ang maaari nating gawin? Oo! Numero 117 ay hindi miyembro ng ating pag-unlad. Ito ay nasa pagitan ng isang daan at una at isang daan at ikalawang termino. Kung ang numero ay naging natural, i.e. ay isang positibong integer, kung gayon ang numero ay magiging isang miyembro ng pag-unlad na may nakitang numero. At sa aming kaso, ang sagot sa problema ay: Hindi.
Isang gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:
Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon:
a n = -4 + 6.8n
Hanapin ang una at ikasampung termino ng progression.
Dito nakatakda ang pag-unlad sa isang hindi pangkaraniwang paraan. Ilang uri ng formula... Nangyayari ito.) Gayunpaman, ang formula na ito (tulad ng isinulat ko sa itaas) - gayundin ang formula para sa ika-1 na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika! Pinapayagan din niya hanapin ang sinumang miyembro ng progression ayon sa numero nito.
Hinahanap namin ang unang miyembro. Ang nag-iisip. na ang unang termino ay minus apat ay nakamamatay na nagkakamali!) Dahil ang formula sa problema ay binago. Ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic dito nakatago. Okay lang, hahanapin natin ngayon.)
Tulad ng mga nakaraang problema, pinapalitan natin n=1 sa formula na ito:
a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
Dito! Ang unang termino ay 2.8, hindi -4!
Hinahanap namin ang ikasampung termino sa parehong paraan:
a 10 = -4 + 6.8 10 = 64
Ayan yun.
At ngayon, para sa mga nakabasa sa mga linyang ito, ang ipinangakong bonus.)
Ipagpalagay na, sa isang mahirap na sitwasyon ng labanan ng State Examination o Unified State Examination, nakalimutan mo ang kapaki-pakinabang na formula para sa ika-1 na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. May naalala ako, pero hindi sigurado... O n doon, o n+1, o n-1... Paano maging!?
Kalmado! Ang formula na ito ay madaling makuha. Ito ay hindi masyadong mahigpit, ngunit ito ay tiyak na sapat para sa kumpiyansa at tamang desisyon!) Upang makagawa ng isang konklusyon, sapat na upang matandaan ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika at magkaroon ng ilang minuto ng oras. Kailangan mo lang gumuhit ng larawan. Para sa kaliwanagan.
Gumuhit ng linya ng numero at markahan ang una dito. pangalawa, pangatlo, atbp. mga miyembro. At napansin namin ang pagkakaiba d sa pagitan ng mga miyembro. Ganito:
Tinitingnan namin ang larawan at iniisip: ano ang katumbas ng pangalawang termino? Pangalawa isa d:
a 2 =a 1 + 1 d
Ano ang ikatlong termino? Pangatlo termino ay katumbas ng unang termino plus dalawa d.
a 3 =a 1 + 2 d
Nakuha mo ba? It's not for nothing that I highlight some words in bold. Okay, isang hakbang pa).
Ano ang ikaapat na termino? Pang-apat termino ay katumbas ng unang termino plus tatlo d.
a 4 =a 1 + 3 d
Panahon na upang mapagtanto na ang bilang ng mga puwang, i.e. d, Laging mas mababa ng isa sa numero ng miyembrong hinahanap mo n. Ibig sabihin, sa numero n, bilang ng mga puwang kalooban n-1. Samakatuwid, ang formula ay magiging (walang mga pagkakaiba-iba!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Sa pangkalahatan, ang mga visual na larawan ay nakakatulong sa paglutas ng maraming problema sa matematika. Huwag pabayaan ang mga larawan. Ngunit kung mahirap gumuhit ng isang larawan, kung gayon... isang pormula lamang!) Bilang karagdagan, ang formula ng nth term ay nagbibigay-daan sa iyo upang ikonekta ang buong malakas na arsenal ng matematika sa solusyon - mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema, atbp. Hindi ka maaaring magpasok ng larawan sa equation...
Mga gawain para sa malayang solusyon.
Para magpainit:
1. Sa arithmetic progression (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. Maghanap ng 3.
Hint: ayon sa larawan, ang problema ay maaaring malutas sa loob ng 20 segundo... Ayon sa formula, ito ay lumalabas na mas mahirap. Ngunit para sa pag-master ng formula, ito ay mas kapaki-pakinabang.) Sa Seksyon 555, ang problemang ito ay nalulutas gamit ang parehong larawan at ang formula. Pakiramdaman ang pagkakaiba!)
At hindi na ito isang warm-up.)
2. Sa arithmetic progression (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. Humanap ng 3 .
Ano, ayaw mong gumuhit ng larawan?) Siyempre! Mas maganda ayon sa formula, oo...
3. Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng kondisyon:a 1 = -5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang isang daan at dalawampu't limang termino ng pag-unlad na ito.
Sa gawaing ito, ang pag-unlad ay tinukoy sa isang paulit-ulit na paraan. Ngunit ang pagbibilang hanggang sa ika-isang daan at dalawampu't limang termino... Hindi lahat ay may kakayahan sa ganoong gawain.) Ngunit ang pormula ng ika-apat na termino ay nasa kapangyarihan ng lahat!
4. Dahil sa pag-unlad ng arithmetic (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Hanapin ang bilang ng pinakamaliit na positibong termino ng progression.
5. Ayon sa mga kondisyon ng gawain 4, hanapin ang kabuuan ng pinakamaliit na positibo at pinakamalaking negatibong termino ng pag-unlad.
6. Ang produkto ng ikalima at ikalabindalawang termino ng tumataas na pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng -2.5, at ang kabuuan ng ikatlo at ikalabing-isang termino ay katumbas ng zero. Maghanap ng 14 .
Hindi ang pinakamadaling gawain, oo...) Ang paraan ng "fingertip" ay hindi gagana dito. Kakailanganin mong magsulat ng mga formula at lutasin ang mga equation.
Mga sagot (magulo):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Nangyari? Maayos!)
Hindi ba gumagana ang lahat? Nangyayari. Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang banayad na punto sa huling gawain. Kakailanganin ang pangangalaga kapag binabasa ang problema. At lohika.
Ang solusyon sa lahat ng mga problemang ito ay tinalakay nang detalyado sa Seksyon 555. At ang elemento ng pantasya para sa ikaapat, at ang banayad na punto para sa ikaanim, at pangkalahatang mga diskarte para sa paglutas ng anumang mga problema na kinasasangkutan ng formula ng ika-n na termino - lahat ay inilarawan. Nirerekomenda ko.
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)
Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Ang ilang mga tao ay itinuturing ang salitang "pag-unlad" nang may pag-iingat, bilang isang napaka-komplikadong termino mula sa mga sangay ng mas mataas na matematika. Samantala, ang pinakasimpleng pag-unlad ng aritmetika ay ang gawain ng metro ng taxi (kung saan umiiral pa rin ang mga ito). At ang pag-unawa sa kakanyahan (at sa matematika ay walang mas mahalaga kaysa sa "pagkuha ng kakanyahan") ng isang pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay hindi napakahirap, na pinag-aralan ang ilang mga elementarya na konsepto.
Pagkakasunod-sunod ng numero ng matematika
Ang isang numerical sequence ay karaniwang tinatawag na isang serye ng mga numero, bawat isa ay may sariling numero.
a 1 ang unang miyembro ng sequence;
at ang 2 ay ang pangalawang termino ng pagkakasunod-sunod;
at ang 7 ay ang ikapitong miyembro ng sequence;
at n ang ika-n miyembro ng sequence;
Gayunpaman, hindi anumang arbitrary na hanay ng mga numero at numero ang interesado sa amin. Itutuon natin ang ating pansin sa isang numerical sequence kung saan ang halaga ng ika-n term ay nauugnay sa ordinal na numero nito sa pamamagitan ng isang relasyon na malinaw na mabubuo sa matematika. Sa madaling salita: ang numerical value ng nth number ay ilang function ng n.
a ay ang halaga ng isang miyembro ng isang numerical sequence;
n ang serial number nito;
Ang f(n) ay isang function, kung saan ang ordinal na numero sa numerical sequence n ay ang argument.
Kahulugan
Ang pag-unlad ng aritmetika ay karaniwang tinatawag na pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang bawat kasunod na termino ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero. Ang formula para sa ika-n na termino ng isang arithmetic sequence ay ang mga sumusunod:
a n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng arithmetic progression;
isang n+1 - formula ng susunod na numero;
d - pagkakaiba (tiyak na numero).
Madaling matukoy na kung ang pagkakaiba ay positibo (d>0), kung gayon ang bawat kasunod na miyembro ng seryeng isinasaalang-alang ay magiging mas malaki kaysa sa nauna at ang gayong pag-unlad ng aritmetika ay tataas.
Sa graph sa ibaba, madaling makita kung bakit tinatawag na "tumataas" ang pagkakasunod-sunod ng numero.
Sa mga kaso kung saan negatibo ang pagkakaiba (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Tinukoy na halaga ng miyembro
Minsan kinakailangan upang matukoy ang halaga ng anumang arbitrary na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Magagawa ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng mga halaga ng lahat ng miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, simula sa una hanggang sa nais. Gayunpaman, ang landas na ito ay hindi palaging katanggap-tanggap kung, halimbawa, kinakailangan upang mahanap ang halaga ng ika-lima-libo o walong-milyong termino. Ang mga tradisyonal na kalkulasyon ay aabutin ng maraming oras. Gayunpaman, ang isang tiyak na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring pag-aralan gamit ang ilang mga formula. Mayroon ding pormula para sa ika-n na termino: ang halaga ng anumang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring matukoy bilang ang kabuuan ng unang termino ng pag-unlad na may pagkakaiba ng pag-unlad, na pinarami ng bilang ng nais na termino, na binawasan ng isa.
Ang formula ay pangkalahatan para sa pagtaas at pagbaba ng pag-unlad.
Isang halimbawa ng pagkalkula ng halaga ng isang ibinigay na termino
Ating lutasin ang sumusunod na problema sa paghahanap ng halaga ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Kundisyon: mayroong pag-unlad ng arithmetic na may mga parameter:
Ang unang termino ng sequence ay 3;
Ang pagkakaiba sa serye ng numero ay 1.2.
Gawain: kailangan mong hanapin ang halaga ng 214 termino
Solusyon: upang matukoy ang halaga ng isang ibinigay na termino, ginagamit namin ang formula:
a(n) = a1 + d(n-1)
Ang pagpapalit ng data mula sa pahayag ng problema sa expression, mayroon kaming:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
Sagot: Ang ika-214 na termino ng sequence ay katumbas ng 258.6.
Ang mga pakinabang ng pamamaraang ito ng pagkalkula ay halata - ang buong solusyon ay tumatagal ng hindi hihigit sa 2 linya.
Kabuuan ng isang ibinigay na bilang ng mga termino
Kadalasan, sa isang naibigay na serye ng aritmetika, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga halaga ng ilan sa mga segment nito. Upang gawin ito, hindi na kailangang kalkulahin ang mga halaga ng bawat termino at pagkatapos ay idagdag ang mga ito. Naaangkop ang pamamaraang ito kung maliit ang bilang ng mga termino na kailangang mahanap ang kabuuan. Sa ibang mga kaso, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na formula.
Ang kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng aritmetika mula 1 hanggang n ay katumbas ng kabuuan ng una at ika-n na termino, na minu-multiply sa bilang ng terminong n at hinati sa dalawa. Kung sa formula ang halaga ng nth term ay pinalitan ng expression mula sa nakaraang talata ng artikulo, makukuha natin:
Halimbawa ng pagkalkula
Halimbawa, lutasin natin ang isang problema sa mga sumusunod na kondisyon:
Ang unang termino ng sequence ay zero;
Ang pagkakaiba ay 0.5.
Ang problema ay nangangailangan ng pagtukoy sa kabuuan ng mga tuntunin ng serye mula 56 hanggang 101.
Solusyon. Gamitin natin ang formula para sa pagtukoy ng dami ng pag-unlad:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Una, tinutukoy namin ang kabuuan ng mga halaga ng 101 termino ng pag-unlad sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ibinigay na kondisyon ng aming problema sa formula:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Malinaw, upang malaman ang kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad mula sa ika-56 hanggang ika-101, kinakailangan na ibawas ang S 55 mula sa S 101.
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
Kaya, ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika para sa halimbawang ito ay:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5
Halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng arithmetic progression
Sa dulo ng artikulo, bumalik tayo sa halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng aritmetika na ibinigay sa unang talata - isang taximeter (metro ng kotse ng taxi). Isaalang-alang natin ang halimbawang ito.
Ang pagsakay sa taxi (na kinabibilangan ng 3 km ng paglalakbay) ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Ang bawat kasunod na kilometro ay binabayaran sa rate na 22 rubles/km. Ang distansya ng paglalakbay ay 30 km. Kalkulahin ang halaga ng biyahe.
1. Itapon natin ang unang 3 km, ang presyo nito ay kasama sa halaga ng landing.
30 - 3 = 27 km.
2. Ang karagdagang pagkalkula ay walang iba kundi ang pag-parse ng isang serye ng numero ng aritmetika.
Numero ng miyembro - ang bilang ng mga kilometrong nilakbay (binawasan ang unang tatlo).
Ang halaga ng miyembro ay ang kabuuan.
Ang unang termino sa problemang ito ay magiging katumbas ng isang 1 = 50 rubles.
Pagkakaiba sa pag-unlad d = 22 r.
ang numerong interesado tayo ay ang halaga ng (27+1)th term ng arithmetic progression - ang meter reading sa dulo ng 27th kilometer ay 27.999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Ang mga kalkulasyon ng data ng kalendaryo para sa isang arbitraryong mahabang panahon ay batay sa mga formula na naglalarawan ng ilang mga numerical na pagkakasunud-sunod. Sa astronomiya, ang haba ng orbit ay nakadepende sa geometriko sa distansya ng celestial body sa bituin. Bilang karagdagan, ang iba't ibang serye ng numero ay matagumpay na ginagamit sa mga istatistika at iba pang inilapat na mga lugar ng matematika.
Ang isa pang uri ng pagkakasunud-sunod ng numero ay geometric
Ang pag-unlad ng geometriko ay nailalarawan sa pamamagitan ng mas malaking mga rate ng pagbabago kumpara sa pag-unlad ng arithmetic. Ito ay hindi nagkataon na sa pulitika, sosyolohiya, at medisina, upang ipakita ang mataas na bilis ng pagkalat ng isang partikular na kababalaghan, halimbawa, isang sakit sa panahon ng isang epidemya, sinasabi nila na ang proseso ay bubuo sa geometric na pag-unlad.
Ang Nth term ng geometric number series ay naiiba mula sa nauna dahil ito ay pinarami ng ilang pare-parehong numero - ang denominator, halimbawa, ang unang termino ay 1, ang denominator ay katumbas ng 2, pagkatapos:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - ang halaga ng kasalukuyang termino ng geometric na pag-unlad;
b n+1 - formula ng susunod na termino ng geometric progression;
q ang denominator ng geometric progression (isang pare-parehong numero).
Kung ang graph ng isang arithmetic progression ay isang tuwid na linya, kung gayon ang isang geometric progression ay nagpinta ng isang bahagyang naiibang larawan:
Tulad ng sa kaso ng arithmetic, ang geometric progression ay may formula para sa halaga ng isang arbitrary na termino. Anumang nth term ng isang geometric progression ay katumbas ng produkto ng unang termino at ang denominator ng progression sa kapangyarihan ng n na binabawasan ng isa:
Halimbawa. Mayroon kaming geometric progression na ang unang termino ay katumbas ng 3 at ang denominator ng progression ay katumbas ng 1.5. Hanapin natin ang 5th term ng progression
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875
Ang kabuuan ng isang naibigay na bilang ng mga termino ay kinakalkula din gamit ang isang espesyal na formula. Ang kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng ika-n na termino ng pag-unlad at ang denominator nito at ang unang termino ng pag-unlad, na hinati ng denominator na binawasan ng isa:
Kung papalitan ang b n gamit ang formula na tinalakay sa itaas, ang halaga ng kabuuan ng unang n termino ng serye ng numero na isinasaalang-alang ay kukuha ng anyo:
Halimbawa. Ang geometric progression ay nagsisimula sa unang termino na katumbas ng 1. Ang denominator ay nakatakda sa 3. Hanapin natin ang kabuuan ng unang walong termino.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Ang konsepto ng isang pagkakasunud-sunod ng numero ay nagpapahiwatig na ang bawat natural na numero ay tumutugma sa ilang tunay na halaga. Ang ganitong serye ng mga numero ay maaaring alinman sa arbitrary o may ilang partikular na katangian - isang pag-unlad. Sa huling kaso, ang bawat kasunod na elemento (miyembro) ng sequence ay maaaring kalkulahin gamit ang nauna.
Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numerong halaga kung saan ang mga kalapit na miyembro nito ay naiiba sa bawat isa sa parehong numero (lahat ng mga elemento ng serye, simula sa ika-2, ay may katulad na pag-aari). Ang bilang na ito - ang pagkakaiba sa pagitan ng nauna at kasunod na mga termino - ay pare-pareho at tinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad.
Pagkakaiba sa pag-unlad: kahulugan
Isaalang-alang ang isang pagkakasunud-sunod na binubuo ng mga halaga ng j A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ay kabilang sa hanay ng mga natural na numero N. Isang arithmetic Ang pag-unlad, ayon sa kahulugan nito, ay isang sequence , kung saan ang a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Ang halaga d ay ang nais na pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
d = a(j) – a(j-1).
I-highlight:
- Isang tumataas na pag-unlad, kung saan d > 0. Halimbawa: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Pagbaba ng pag-unlad, pagkatapos d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Pag-unlad ng pagkakaiba at ang mga arbitrary na elemento nito
Kung ang 2 arbitrary na termino ng pag-unlad ay kilala (i-th, k-th), kung gayon ang pagkakaiba para sa isang naibigay na pagkakasunod-sunod ay maaaring matukoy batay sa relasyon:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, na nangangahulugang d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Pagkakaiba ng pag-unlad at ang unang termino nito
Ang expression na ito ay makakatulong na matukoy ang isang hindi kilalang halaga lamang sa mga kaso kung saan ang bilang ng elemento ng pagkakasunud-sunod ay kilala.
Pagkakaiba ng pag-unlad at ang kabuuan nito
Ang kabuuan ng isang pag-unlad ay ang kabuuan ng mga termino nito. Upang kalkulahin ang kabuuang halaga ng unang j elemento nito, gamitin ang naaangkop na formula:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ngunit mula noon a(j) = a(1) + d(j – 1), pagkatapos ay S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Arithmetic at geometric progressions
Teoretikal na impormasyon
Teoretikal na impormasyon
Arithmetic progression |
Geometric na pag-unlad |
|
Kahulugan |
Arithmetic progression isang n ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang miyembro na idinagdag sa parehong numero d (d- pagkakaiba sa pag-unlad) |
Geometric na pag-unlad b n ay isang pagkakasunud-sunod ng mga di-zero na numero, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang termino na pinarami ng parehong numero q (q- denominator ng pag-unlad) |
Formula ng pag-ulit |
Para sa anumang natural n |
Para sa anumang natural n |
Formula ika-apat na termino |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Katangiang ari-arian |  |
|
| Kabuuan ng unang n termino |  |
 |
Mga halimbawa ng mga gawain na may mga komento
Ehersisyo 1
Sa pag-unlad ng aritmetika ( isang n) a 1 = -6, a 2
Ayon sa pormula ng ika-n na termino:
isang 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Ayon sa kondisyon:
a 1= -6, pagkatapos isang 22= -6 + 21 d .
Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga pag-unlad:
d = isang 2 – isang 1 = -8 – (-6) = -2
isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Sagot: isang 22 = -48.
Gawain 2
Hanapin ang ikalimang termino ng geometric progression: -3; 6;....
1st method (gamit ang n-term formula)
Ayon sa formula para sa ika-n na termino ng isang geometric na pag-unlad:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
kasi b 1 = -3,
Pangalawang paraan (gamit ang paulit-ulit na formula)
Dahil ang denominator ng progression ay -2 (q = -2), kung gayon:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Sagot: b 5 = -48.
Gawain 3
Sa pag-unlad ng aritmetika ( a n ) a 74 = 34; isang 76= 156. Hanapin ang pitumpu't limang termino ng pag-unlad na ito.
Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang katangian ng katangian ay may anyo 
.
Samakatuwid:
.
I-substitute natin ang data sa formula:
Sagot: 95.
Gawain 4
Sa pag-unlad ng aritmetika ( a n ) a n= 3n - 4. Hanapin ang kabuuan ng unang labimpitong termino.
Upang mahanap ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic, dalawang formula ang ginagamit:
.
Alin sa mga ito ang mas maginhawang gamitin sa kasong ito?
Sa pamamagitan ng kundisyon, ang formula para sa ika-n na termino ng orihinal na pag-unlad ay kilala ( isang n) isang n= 3n - 4. Makakahanap ka agad at a 1, At isang 16 walang mahanap d. Samakatuwid, gagamitin namin ang unang formula.
Sagot: 368.
Gawain 5
Sa pag-unlad ng arithmetic( isang n) a 1 = -6; a 2= -8. Hanapin ang dalawampu't dalawang termino ng progression.
Ayon sa pormula ng ika-n na termino:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
Sa kondisyon, kung a 1= -6, pagkatapos isang 22= -6 + 21d . Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga pag-unlad:
d = isang 2 – isang 1 = -8 – (-6) = -2
isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Sagot: isang 22 = -48.
Gawain 6
Ilang magkakasunod na termino ng geometric progression ang nakasulat:
Hanapin ang termino ng progression na may label na x.
Kapag nag-solve, gagamitin namin ang formula para sa nth term b n = b 1 ∙ q n - 1 para sa mga geometric na pag-unlad. Ang unang termino ng pag-unlad. Upang mahanap ang denominator ng progression q, kailangan mong kunin ang alinman sa mga ibinigay na termino ng progression at hatiin sa nauna. Sa ating halimbawa, maaari nating kunin at hatiin sa pamamagitan ng. Nakukuha namin ang q = 3. Sa halip na n, pinapalitan namin ang 3 sa formula, dahil kinakailangan upang mahanap ang ikatlong termino ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad.
Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa formula, nakukuha namin:
.
Sagot: .
Gawain 7
Mula sa mga pag-usad ng arithmetic na ibinigay ng formula ng ika-n na termino, piliin ang isa kung saan nasiyahan ang kundisyon isang 27 > 9:
Dahil ang ibinigay na kondisyon ay dapat matugunan para sa ika-27 na termino ng pag-unlad, pinapalitan namin ang 27 sa halip na n sa bawat isa sa apat na pag-unlad. Sa ika-4 na pag-unlad ay nakukuha natin:
.
Sagot: 4.
Gawain 8
Sa pag-unlad ng aritmetika a 1= 3, d = -1.5. Tukuyin ang pinakamalaking halaga ng n kung saan hawak ang hindi pagkakapantay-pantay isang n > -6.
Maraming tao ang nakarinig tungkol sa pag-unlad ng aritmetika, ngunit hindi lahat ay may magandang ideya kung ano ito. Sa artikulong ito ibibigay namin ang kaukulang kahulugan, at isaalang-alang din ang tanong kung paano hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, at magbigay ng isang bilang ng mga halimbawa.
Depinisyon ng matematika
Kaya, kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang aritmetika o algebraic na pag-unlad (ang mga konseptong ito ay tumutukoy sa parehong bagay), nangangahulugan ito na mayroong isang tiyak na serye ng numero na nakakatugon sa sumusunod na batas: bawat dalawang katabing numero sa serye ay naiiba sa parehong halaga. Sa matematika ito ay nakasulat tulad nito:
Dito ang n ay nangangahulugang ang bilang ng elemento a n sa pagkakasunud-sunod, at ang bilang d ay ang pagkakaiba ng pag-unlad (ang pangalan nito ay sumusunod mula sa ipinakitang formula).
Ano ang ibig sabihin ng pag-alam sa pagkakaiba d? Tungkol sa kung gaano kalayo ang magkalapit na mga numero sa isa't isa. Gayunpaman, ang kaalaman sa d ay isang kinakailangan ngunit hindi sapat na kondisyon para sa pagtukoy (pagpapanumbalik) ng buong pag-unlad. Kinakailangang malaman ang isa pang numero, na maaaring maging ganap na anumang elemento ng serye na isinasaalang-alang, halimbawa, isang 4, a10, ngunit, bilang panuntunan, ginagamit nila ang unang numero, iyon ay, isang 1.
Mga formula para sa pagtukoy ng mga elemento ng pag-unlad
Sa pangkalahatan, ang impormasyon sa itaas ay sapat na upang magpatuloy sa paglutas ng mga partikular na problema. Gayunpaman, bago ibigay ang pag-unlad ng aritmetika, at kakailanganing hanapin ang pagkakaiba nito, magpapakita kami ng ilang kapaki-pakinabang na pormula, sa gayon ay pinapadali ang kasunod na proseso ng paglutas ng mga problema.
Madaling ipakita na ang anumang elemento ng sequence na may numero n ay matatagpuan tulad ng sumusunod:
a n = a 1 + (n - 1) * d
Sa katunayan, maaaring suriin ng sinuman ang formula na ito sa pamamagitan ng simpleng paghahanap: kung papalitan mo ang n = 1, makukuha mo ang unang elemento, kung papalitan mo ang n = 2, pagkatapos ay ibinibigay ng expression ang kabuuan ng unang numero at ang pagkakaiba, at iba pa.
Ang mga kondisyon ng maraming mga problema ay binubuo sa paraang, na binigyan ng isang kilalang pares ng mga numero, ang mga numero kung saan ay ibinibigay din sa pagkakasunud-sunod, ito ay kinakailangan upang muling buuin ang buong serye ng numero (hanapin ang pagkakaiba at ang unang elemento). Ngayon ay malulutas natin ang problemang ito sa pangkalahatang anyo.
Kaya, hayaang ibigay ang dalawang elemento na may mga numero n at m. Gamit ang formula na nakuha sa itaas, maaari kang lumikha ng isang sistema ng dalawang equation:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Upang makahanap ng hindi kilalang mga dami, gagamit kami ng isang kilalang simpleng pamamaraan para sa paglutas ng naturang sistema: ibawas ang kaliwa at kanang panig sa mga pares, ang pagkakapantay-pantay ay mananatiling wasto. Meron kami:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Kaya, hindi namin isinama ang isang hindi alam (a 1). Ngayon ay maaari nating isulat ang panghuling expression para sa pagtukoy ng d:
d = (a n - a m) / (n - m), kung saan n > m
Nakatanggap kami ng isang napaka-simpleng formula: upang makalkula ang pagkakaiba d alinsunod sa mga kondisyon ng problema, kinakailangan lamang na kunin ang ratio ng mga pagkakaiba sa pagitan ng mga elemento mismo at ng kanilang mga serial number. Isang mahalagang punto ang dapat bigyang-pansin: ang mga pagkakaiba ay kinuha sa pagitan ng "senior" at "junior" na mga miyembro, iyon ay, n > m ("senior" ay nangangahulugang nakatayo nang higit pa mula sa simula ng pagkakasunud-sunod, ang ganap na halaga nito ay maaaring alinman mas malaki o mas kaunting "junior" na elemento).
Ang expression para sa pagkakaiba d pag-unlad ay dapat na palitan sa alinman sa mga equation sa simula ng paglutas ng problema upang makuha ang halaga ng unang termino.
Sa ating edad ng pag-unlad ng teknolohiya ng computer, maraming mga mag-aaral ang nagsisikap na makahanap ng mga solusyon para sa kanilang mga takdang-aralin sa Internet, kaya madalas na lumitaw ang mga tanong na ganito: hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika online. Para sa naturang kahilingan, ang search engine ay magbabalik ng ilang mga web page, sa pamamagitan ng pagpunta kung saan kakailanganin mong ipasok ang data na kilala mula sa kundisyon (ito ay maaaring alinman sa dalawang termino ng pag-unlad o ang kabuuan ng isang tiyak na bilang ng mga ito. ) at agad na makatanggap ng sagot. Gayunpaman, ang pamamaraang ito sa paglutas ng problema ay hindi produktibo sa mga tuntunin ng pag-unlad at pag-unawa ng mag-aaral sa kakanyahan ng gawain na itinalaga sa kanya.
Solusyon nang hindi gumagamit ng mga formula
Lutasin natin ang unang problema nang hindi gumagamit ng alinman sa mga ibinigay na formula. Hayaang ibigay ang mga elemento ng serye: a6 = 3, a9 = 18. Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic.
Ang mga kilalang elemento ay magkakalapit sa isa't isa sa isang hilera. Ilang beses dapat idagdag ang pagkakaiba d sa pinakamaliit upang makuha ang pinakamalaki? Tatlong beses (sa unang pagkakataon na magdagdag ng d, nakukuha namin ang ika-7 elemento, ang pangalawang pagkakataon - ang ikawalo, sa wakas, ang pangatlong beses - ang ikasiyam). Anong numero ang dapat idagdag sa tatlong tatlong beses upang makakuha ng 18? Ito ang number five. Talaga:
Kaya, ang hindi kilalang pagkakaiba d = 5.
Siyempre, ang solusyon ay maaaring isagawa gamit ang naaangkop na formula, ngunit hindi ito sinasadya. Ang isang detalyadong paliwanag ng solusyon sa problema ay dapat maging isang malinaw at malinaw na halimbawa ng kung ano ang isang pag-unlad ng aritmetika.
Isang gawain na katulad ng nauna
Ngayon lutasin natin ang isang katulad na problema, ngunit baguhin ang data ng input. Kaya, dapat mong hanapin kung a3 = 2, a9 = 19.
Siyempre, maaari mong muling gamitin ang "head-on" na paraan ng solusyon. Ngunit dahil ang mga elemento ng serye ay ibinigay, na medyo malayo sa isa't isa, ang pamamaraang ito ay hindi magiging ganap na maginhawa. Ngunit ang paggamit ng resultang formula ay mabilis na magdadala sa atin sa sagot:
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83
Dito na-round namin ang huling numero. Ang lawak kung saan ang pag-ikot na ito ay humantong sa isang error ay maaaring hatulan sa pamamagitan ng pagsuri sa resulta:
a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98
Ang resultang ito ay naiiba lamang ng 0.1% mula sa halagang ibinigay sa kundisyon. Samakatuwid, ang rounding na ginamit sa pinakamalapit na hundredth ay maaaring ituring na isang matagumpay na pagpipilian.
Mga problemang kinasasangkutan ng paglalapat ng formula para sa isang termino
Isaalang-alang natin ang isang klasikong halimbawa ng isang problema upang matukoy ang hindi alam na d: hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic kung a1 = 12, a5 = 40.
Kapag ang dalawang numero ng hindi kilalang algebraic sequence ay ibinigay, at ang isa sa mga ito ay ang elementong a 1, hindi mo na kailangang mag-isip nang mahaba, ngunit dapat agad na ilapat ang formula para sa a n term. Sa kasong ito mayroon kaming:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Natanggap namin ang eksaktong numero kapag naghahati, kaya walang punto sa pagsuri sa katumpakan ng kinakalkula na resulta, tulad ng ginawa sa nakaraang talata.
Lutasin natin ang isa pang katulad na problema: kailangan nating hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic kung a1 = 16, a8 = 37.
Gumagamit kami ng isang diskarte na katulad ng nauna at makakuha ng:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Ano pa ang dapat mong malaman tungkol sa pag-unlad ng arithmetic?
Bilang karagdagan sa mga problema sa paghahanap ng hindi kilalang pagkakaiba o mga indibidwal na elemento, madalas na kinakailangan upang malutas ang mga problema ng kabuuan ng mga unang termino ng isang sequence. Ang pagsasaalang-alang sa mga problemang ito ay lampas sa saklaw ng artikulo, gayunpaman, para sa pagkakumpleto ng impormasyon, nagpapakita kami ng isang pangkalahatang formula para sa kabuuan ng n mga numero sa isang serye:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
