Mga halimbawa ng solusyon sa mataas na antas na logarithmic. Lahat ng Tungkol sa Logarithmic Inequalities

Mga layunin sa Aralin:

Didactic:

• Antas 1 - upang turuan kung paano malutas ang pinakasimpleng kawalang-katumbas na logarithmic gamit ang kahulugan ng logarithm, ang mga katangian ng logarithms;
• Antas 2 - upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay na logarithmic, pinili ang paraan ng solusyon nang nakapag-iisa;
• Antas 3 - mag-aplay ng kaalaman at kasanayan sa mga hindi pamantayang sitwasyon.

Pagbuo: bumuo ng memorya, pansin, lohikal na pag-iisip, mga kasanayan sa paghahambing, magagawang pangkalahatan at gumawa ng mga konklusyon

Pang-edukasyon:upang makapagdala ng kawastuhan, responsibilidad para sa ginawang gawain, tulong sa kapwa.

Mga pamamaraan ng pagtuturo: pasalita , biswal , praktikal , bahagyang paghahanap , sariling pamahalaan , kontrol.

Mga form ng pag-aayos ng aktibidad ng nagbibigay-malay sa mga mag-aaral: paharap , indibidwal , magtrabaho nang pares.

Kagamitan: isang hanay ng mga item sa pagsubok, background tala, blangko na mga sheet para sa mga solusyon.

Uri ng Aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Sa mga klase

1. sandali ng organisasyon. Ang paksa at layunin ng aralin, inihayag ang iskema ng aralin: ang bawat mag-aaral ay bibigyan ng isang sheet sheet, na pinupuno ng mag-aaral sa panahon ng aralin; para sa bawat pares ng mga mag-aaral - mga nakalimbag na materyales na may mga takdang aralin, dapat na nakumpleto ang mga takdang pares; blangko na mga sheet para sa mga solusyon; mga sheet ng suporta: kahulugan ng logarithm; grapiko ng isang logarithmic function, mga katangian nito; mga katangian ng mga logarithms; algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapareho ng logarithmic.

Ang lahat ng mga desisyon pagkatapos ng pagtataya sa sarili ay isinumite sa guro.

Mag-aaral na sheet sheet

2. Pag-update ng kaalaman.

Mga tagubilin ng guro. Alalahanin ang kahulugan ng isang logarithm, ang graph ng isang logarithmic function at mga katangian nito. Upang gawin ito, basahin ang teksto sa mga pahina 88–90, 98–101 ng aklat-aralin na "Algebra at ang mga simula ng pagsusuri 10-11" na na-edit ni Sh.A Alimov, Yu.M. Kolyagin, at iba pa.

Ang mga mag-aaral ay binibigyan ng mga sheet kung saan nakasulat: kahulugan ng logarithm; nagpapakita ng isang graph ng isang logarithmic function, mga katangian nito; mga katangian ng mga logarithms; isang algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapareho ng logarithmic, isang halimbawa ng paglutas ng isang hindi pagkakapareho ng logarithmic na binabawasan sa isang parisukat.

3. Pag-aaral ng bagong materyal.

Ang solusyon sa mga hindi pagkakapareho ng logarithmic ay batay sa monotonicity ng pag-andar ng logarithmic.

Algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na logarithmic:

A) Hanapin ang domain ng hindi pagkakapareho (sub-logarithmic expression ay mas malaki kaysa sa zero).
B) Kasalukuyan (kung posible) sa kaliwa at kanang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa anyo ng mga logarithms sa parehong batayan.
C) Alamin kung ang pag-andar ng logarithmic ay tumataas o bumababa: kung t\u003e 1, kung gayon ito ay tumataas; kung 0 1, pagkatapos ay bumababa.
D) Pumunta sa isang mas simple na hindi pagkakapantay-pantay (mga sub-logarithmic expression), isinasaalang-alang na ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling pareho kung ang pagpapaandar ay tumataas at nagbabago kung bumababa ito.

Elemento ng pag-aaral # 1.

Layunin: upang ayusin ang solusyon ng pinakasimpleng kawalang-katumbas na logarithmic

Ang anyo ng pag-aayos ng aktibidad ng nagbibigay-malay ng mga mag-aaral: indibidwal na gawain.

Mga takdang aralin sa sarili sa loob ng 10 minuto. Para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay, mayroong maraming mga pagpipilian sa sagot, kailangan mong pumili ng tama at suriin sa pamamagitan ng susi.

KEY: 13321, maximum na bilang ng mga puntos - 6 pts.

Elemento ng pagsasanay # 2.

Layunin: upang pagsamahin ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, ilalapat ang mga katangian ng mga logarithms.

Mga tagubilin ng guro. Alalahanin ang mga pangunahing katangian ng logarithms. Upang gawin ito, basahin ang teksto ng aklat-aralin sa mga pahina 92, 103–104.

Mga takdang aralin sa sarili sa loob ng 10 minuto.

KEY: 2113, maximum na bilang ng mga puntos - 8 pts.

Elemento ng pag-aaral # 3.

Layunin: pag-aralan ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa logarithmic sa pamamagitan ng paraan ng pagbawas sa parisukat.

Mga tagubilin ng guro: ang paraan ng pagbabawas ng isang hindi pagkakapantay-pantay sa isang parisukat na kailangan mong ibahin ang pagkakapantay-pantay sa isang form na ang ilang pag-andar ng logarithmic ay hinirang ng isang bagong variable, sa gayon nakakakuha ng isang hindi pagkakapareho sa parisukat na may paggalang sa variable na ito.

Ilapat natin ang paraan ng agwat.

Naipasa mo ang unang antas ng asimilasyon ng materyal. Ngayon ay kailangan mong independiyenteng pumili ng isang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng logarithmic, gamit ang lahat ng iyong kaalaman at kakayahan.

Elemento ng pagsasanay # 4.

Layunin: upang pagsamahin ang solusyon ng mga hindi pagkakapareho ng logarithmic sa pamamagitan ng pagpili ng isang makatwirang solusyon nang nakapag-iisa.

Mga takdang aralin sa sarili sa loob ng 10 minuto

Pagsasanay elemento number 5.

Mga tagubilin ng guro. Magaling! Pinagkadalubhasaan mo ang paglutas ng mga equation ng ikalawang antas ng kahirapan. Ang layunin ng iyong karagdagang trabaho ay upang mailapat ang iyong kaalaman at kasanayan sa mas kumplikado at hindi pamantayang sitwasyon.

Mga gawain sa tulong sa sarili:

Mga tagubilin ng guro. Napakagaling kung nakumpleto mo ang buong takdang-aralin. Magaling!

Ang marka para sa buong aralin ay nakasalalay sa bilang ng mga puntos na marka para sa lahat ng mga elemento ng edukasyon:

• kung N 20, pagkatapos ay makakakuha ka ng grade "5",
• sa 16 ≤ N ≤ 19 - rating ng "4",
• sa 8 ≤ N ≤ 15 - grade "3",
• sa N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Ipasa ang guro ng mga fox sa pagtatasa.

5. Takdang-aralin: kung nakapuntos ka ng hindi hihigit sa 15 p - kumpletuhin ang gawain sa mga pagkakamali (maaari mong kunin ang mga solusyon mula sa guro), kung nakapuntos ka ng higit sa 15 p - kumpletuhin ang gawaing malikhain sa paksang "Logarithmic inequalities".

LOGARITHMIC INEQUALITIES SA PAGGAMIT

Sechin Mikhail Alexandrovich

Maliit na Academy of Sciences para sa mga Mag-aaral ng Republika ng Kazakhstan na "Seeker"

MBOU "Sobiyet na paaralan №1", grade 11, bayan. Sobiyet Sovetsky District

Gunko Lyudmila Dmitrievna, guro ng MBOU "paaralan sa Sobyet №1"

Distrito ng Sobyet

Layunin: pagsisiyasat ng mekanismo para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na logarithm C3 gamit ang mga hindi pamantayang pamamaraan, na naghahayag ng mga kagiliw-giliw na katotohanan ng logarithm.

Paksa ng pag-aaral:

3) Alamin upang malutas ang mga tiyak na kawalang-katumbas na logarithmic C3 gamit ang mga hindi pamantayang pamamaraan.

Mga Resulta:

Nilalaman

Panimula ……………………………………………………………… .4

Kabanata 1. Background ……………………………………… ... 5

Kabanata 2. Koleksyon ng mga kawalang-katumbas na logarithmic ………………………… 7

2.1. Katumbas na mga paglilipat at ang pangkalahatang pamamaraan ng mga agwat …………… 7

2.2. Pamamaraan ng pangangatwiran …………………………………………… 15

2.3. Non-standard na kapalit ……………… ……………………………………. ..... 22

2.4. Mga Misyon ng Trap ……………………………………………………… 27

Konklusyon …………………………………………… 30

Panitikan ………………………………………………. 31

Panimula

Ako ay nasa ika-11 na baitang at pinaplano kong pumasok sa isang unibersidad kung saan ang matematika ay isang dalubhasang paksa. Samakatuwid, nagtatrabaho ako nang maraming sa mga problema ng bahagi C. Sa gawain C3, kailangan mong malutas ang isang hindi pamantayan na hindi pagkakapantay-pantay o isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, karaniwang nauugnay sa mga logarithms. Habang naghahanda para sa pagsusulit, nahaharap ko ang problema sa kakulangan ng mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pagsusulit na inaalok sa C3. Ang mga pamamaraan na pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan tungkol sa paksang ito ay hindi nagbibigay ng isang batayan sa paglutas ng mga gawain sa C3. Inanyayahan ako ng guro ng matematika na magtrabaho sa mga gawaing C3 sa sarili kong nasa ilalim ng kanyang gabay. Bilang karagdagan, interesado ako sa tanong: mayroon bang mga logarithms sa ating buhay?

Sa isip nito, napili ang paksa:

"Logarithmic hindi pagkakapantay-pantay sa pagsusulit"

Layunin: pagsisiyasat ng mekanismo para sa paglutas ng mga problema sa C3 gamit ang mga hindi pamantayang pamamaraan, na naghahayag ng mga kagiliw-giliw na katotohanan ng logarithm.

Paksa ng pag-aaral:

1) Hanapin ang kinakailangang impormasyon tungkol sa mga hindi pamantayang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na logarithmic.

2) Maghanap ng karagdagang impormasyon tungkol sa mga logarithms.

3) Alamin na lutasin ang mga tiyak na problema sa C3 gamit ang mga hindi pamantayang pamamaraan.

Mga Resulta:

Ang praktikal na kahalagahan ay namamalagi sa pagpapalawak ng apparatus para sa paglutas ng mga problema C3. Ang materyal na ito ay maaaring magamit sa ilang mga aralin, para sa mga bilog, extracurricular na gawain sa matematika.

Ang produkto ng proyekto ay ang koleksyon na "Mga pagkakapantay-pantay ng Logarithmic C3 na may mga solusyon".

Kabanata 1. background

Sa ika-16 na siglo, ang bilang ng tinatayang mga kalkulasyon ay tumaas nang mabilis, lalo na sa astronomiya. Ang pagpapabuti ng mga instrumento, ang pag-aaral ng mga paggalaw ng planeta at iba pang trabaho ay kinakailangan ng malaking, minsan maraming taon, mga kalkulasyon. Ang astronomya ay nasa tunay na panganib ng pagkalunod sa hindi natapos na mga kalkulasyon. Ang mga paghihirap ay lumitaw sa iba pang mga lugar, halimbawa, sa negosyo ng seguro, ang mga talahanayan ng interes ng compound ay kinakailangan para sa iba't ibang mga halaga ng interes. Ang pangunahing kahirapan ay kinakatawan ng pagpaparami, paghahati ng mga numero ng multidigit, lalo na ang dami ng trigonometriko.

Ang pagtuklas ng mga logarithms ay batay sa mga kilalang katangian ng mga pag-unlad sa pagtatapos ng ika-16 na siglo. Nagsalita si Archimedes tungkol sa koneksyon sa pagitan ng mga miyembro ng geometric na pag-unlad q, q2, q3, ... at ang pag-unlad ng aritmetika ng kanilang mga exponents 1, 2, 3, ... sa Awit. Ang isa pang kinakailangan ay ang pagpapalawak ng konsepto ng degree sa negatibo at fractional na mga tagapagpahiwatig. Maraming mga may-akda ang itinuro na ang pagdami, dibisyon, exponentiation, at pagkuha ng isang ugat na exponentially na nauugnay sa aritmetika - sa parehong pagkakasunud-sunod - sa karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati.

Ito ang ideya sa likod ng logarithm bilang isang exponent.

Maraming yugto ang lumipas sa kasaysayan ng pag-unlad ng teorya ng logarithms.

Yugto 1

Ang mga Logarithms ay naimbento nang hindi lalampas sa 1594 nang nakapag-iisa ng Scottish baron Napier (1550-1617) at sampung taon mamaya ng Swiss mekaniko na Burghi (1552-1632). Pareho ang nais na magbigay ng isang bagong maginhawang paraan ng pagkalkula ng aritmetika, bagaman nilapitan nila ang gawaing ito sa iba't ibang paraan. Ipinahayag ni Neper ang kinematically ang logarithmic function at sa gayon ay pumasok sa isang bagong larangan ng teorya ng pag-andar. Si Burghi ay nanatili sa batayan ng pagsasaalang-alang ng mga discrete na pag-unlad. Gayunpaman, ang kahulugan ng logarithm para sa pareho ay hindi kahawig ng modernong isa. Ang salitang "logarithm" (logarithmus) ay kabilang sa Napier. Lumitaw ito mula sa isang kumbinasyon ng mga salitang Greek: logo - "kaugnay" at ariqmo - "numero", na nangangahulugang "bilang ng mga relasyon". Sa una, ang Napier ay gumamit ng ibang termino: numeri artipisyal - "artipisyal na mga numero", taliwas sa mga numeri naturalts - "natural na mga numero".

Noong 1615, sa isang pakikipag-usap kay Henry Briggs (1561-1631), propesor ng matematika sa Gresch College sa London, iminungkahi ni Napier na kumuha ng zero para sa logarithm ng pagkakaisa, at 100 para sa logarithm ng sampu, o, na bumababa sa parehong bagay, sa simpleng 1. Ito ang kung paano lumitaw ang mga perpektong logarithms at ang mga unang talahanayan ng logarithmic ay nakalimbag. Nang maglaon, ang mga talahanayan ng Briggs ay pupunan ng mga Dutch bookeller at mahilig sa matematika na Andrian Flakk (1600-1667). Ang Napier at Briggs, kahit na sila ay dumating sa mga logarithms nang mas maaga kaysa sa sinumang iba pa, inilathala ang kanilang mga talahanayan nang mas maaga kaysa sa iba - noong 1620. Ang mga palatandaan ng log at Log ay ipinakilala noong 1624 ni I. Kepler. Ang salitang "natural logarithm" ay ipinakilala ni Mengoli noong 1659, na sinundan ni N. Mercator noong 1668, at inilathala ng guro ng London na si John Speidel ang mga talahanayan ng natural na logarithms ng mga numero mula 1 hanggang 1000 sa ilalim ng pamagat na "Bagong Logarithms".

Ang mga unang talahanayan ng logarithmic sa Ruso ay nai-publish noong 1703. Ngunit sa lahat ng mga talahanayan ng logarithmic, ang mga pagkakamali ay ginawa sa pagkalkula. Ang mga unang talahanayan na walang error ay nai-publish noong 1857 sa Berlin, na naproseso ng matematika ng Aleman na si K. Bremiker (1804-1877).

Yugto 2

Ang karagdagang pag-unlad ng teorya ng logarithms ay nauugnay sa isang mas malawak na aplikasyon ng analitikong geometry at infinitesimal calculus. Ang pagtatatag ng isang koneksyon sa pagitan ng quadrature ng isang equilateral hyperbola at ang natural na logarithm ay nakakabalik sa oras na iyon. Ang teorya ng mga logarithms sa panahong ito ay nauugnay sa mga pangalan ng isang bilang ng mga matematika.

Aleman matematika, astronomo at engineer na si Nikolaus Mercator sa komposisyon

Ang "Logarithmology" (1668) ay nagbibigay ng isang serye na nagbibigay ng isang pagpapalawak ng ln (x + 1) sa

mga kapangyarihan ng x:

Ang ekspresyong ito ay eksaktong tumutugma sa kurso ng kanyang pag-iisip, bagaman siya, siyempre, ay hindi gumamit ng mga palatandaan d, ..., ngunit mas maraming masungit na mga simbolo. Sa pagtuklas ng mga serye ng logarithmic, nagbago ang pamamaraan para sa pagkalkula ng mga logarithms: nagsimula silang matukoy gamit ang walang katapusang serye. Sa kanyang mga aralin "Elementong matematika mula sa pinakamataas na punto ng view", basahin noong 1907-1908, iminungkahi ni F. Klein na gamitin ang pormula bilang panimulang punto para sa pagtatayo ng teorya ng logarithms.

Yugto 3

Ang pagtukoy ng isang logarithmic function bilang isang function ng kabaligtaran

exponential, logarithm bilang isang tagapagpahiwatig ng antas ng isang naibigay na base

ay hindi kaagad bumalangkas. Komposisyon ni Leonard Euler (1707-1783)

Isang Panimula sa Pagtatasa ng Infinitesimal (1748) na nagsilbi bilang isang karagdagang

pag-unlad ng teorya ng logarithmic function. Kaya,

134 taon na ang lumipas mula nang ang mga logarithms ay unang ipinakilala

(pagbibilang mula 1614) bago dumating ang mga matematiko

ang konsepto ng isang logarithm, na ngayon ang batayan ng kurso ng paaralan.

Kabanata 2. Koleksyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay na logarithmic

2.1. Katumbas na mga paglipat at ang pangkalahatang pamamaraan ng agwat.

Katumbas na mga paglilipat

kung isang\u003e 1

kung 0 < а < 1

Pamamaraan ng agwat ng pangkalahatan

Ang pamamaraang ito ay ang pinaka maraming nalalaman para sa paglutas ng mga hindi pagkakapareho ng halos anumang uri. Ang pamamaraan ng solusyon ay ganito:

1. Bawasan ang hindi pagkakapareho sa form kung saan ang pagpapaandar
, at sa kanan 0.

2. Hanapin ang domain ng pag-andar
.

3. Hanapin ang mga zero ng pag-andar
, iyon ay, upang malutas ang equation
(at ang paglutas ng isang equation ay kadalasang mas madali kaysa sa paglutas ng isang hindi pagkakapantay-pantay).

4. Iguhit ang domain at zero ng pag-andar sa linya ng numero.

5. Alamin ang mga palatandaan ng pag-andar
sa mga agwat na nakuha.

6. Piliin ang mga pagitan kung saan ang pagpapaandar ay tumatagal ng mga kinakailangang halaga at isulat ang sagot.

Halimbawa 1.

Desisyon:

Ilapat natin ang pamamaraan ng spacing

mula saan

Para sa mga halagang ito, ang lahat ng mga expression sa ilalim ng pag-sign ng logarithms ay positibo.

Sagot:

Halimbawa 2.

Desisyon:

1st paraan . Ang ODZ ay tinukoy ng hindi pagkakapantay-pantay x \u003e 3. Ang pagkuha ng logarithm para sa mga tulad nito x base 10, nakukuha namin

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga panuntunan sa agnas, i.e. paghahambing ng mga kadahilanan sa zero. Gayunpaman, sa kasong ito, madaling matukoy ang mga agwat ng patuloy na pag-andar

samakatuwid ang pamamaraan ng spacing ay maaaring mailapat.

Pag-andar f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ ay patuloy sa x \u003e 3 at mawawala sa mga puntos x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Sa gayon, tinukoy namin ang mga agwat ng patuloy na pag-andar f(x):

Sagot:

2nd way . Ilapat natin ang mga ideya ng paraan ng agwat nang direkta sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Upang gawin ito, alalahanin na ang mga expression a b - a c at ( a - 1)(b - 1) magkaroon ng isang senyas. Pagkatapos ang aming hindi pagkakapareho para sa x Ang 3 ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay

o

Ang huling hindi pagkakapareho ay nalulutas ng paraan ng agwat

Sagot:

Halimbawa 3.

Desisyon:

Ilapat natin ang pamamaraan ng spacing

Sagot:

Halimbawa 4.

Desisyon:

Dahil 2 x 2 - 3x + 3\u003e 0 para sa lahat ng tunay xpagkatapos

Upang malutas ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit namin ang paraan ng agwat

Sa unang hindi pagkakapareho, ginagawa namin ang kapalit

pagkatapos ay nakarating kami sa hindi pagkakapareho 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те yna masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay -0.5< y < 1.

Kung saan, mula pa

nakukuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay

na isinasagawa kasama ang mga iyon xpara saan 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Ngayon, isinasaalang-alang ang solusyon ng pangalawang hindi pagkakapareho ng system, sa wakas nakuha namin

Sagot:

Halimbawa 5.

Desisyon:

Ang kawalang katuwiran ay katumbas ng isang hanay ng mga system

o

Ilapat natin ang paraan ng agwat o

Sagot:

Halimbawa 6.

Desisyon:

Ang kawalang katuwiran ay katumbas ng sistema

Hayaan

pagkatapos y > 0,

at ang unang hindi pagkakapantay-pantay

tumatagal ng system ang form

o sa pamamagitan ng pagpapalawak

square trinomial ng mga kadahilanan,

Paglalapat ng paraan ng agwat sa huling hindi pagkakapantay-pantay,

nakikita namin na ang mga solusyon nito na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon y \u003e 0 ay magiging lahat y > 4.

Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng system:

Kaya, ang mga solusyon sa hindi pagkakapareho ay lahat

2.2. Paraan ng pangangatwiran.

Noong nakaraan, ang paraan ng pagpangatwiran ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nalutas, hindi ito kilala. Ito ay "isang bagong modernong epektibong pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na eksponensial at logarithmic" (quote mula sa aklat ng S.I. Kolesnikova)
At kahit na kilala siya ng guro, nagkaroon ng pag-aalala - nakikilala siya ng tagasuri, at bakit hindi siya ibinigay sa paaralan? May mga sitwasyon nang sinabi ng guro sa estudyante: "Saan mo ito nakuha? Umupo - 2."
Ngayon ang pamamaraan ay malawak na nai-promote. At para sa mga eksperto mayroong mga patnubay na nauugnay sa pamamaraang ito, at sa "Karamihan sa mga kumpletong edisyon ng mga karaniwang pagpipilian ..." sa solusyon C3 ang pamamaraang ito ay ginagamit.
ANG WONDERFUL METHOD!

"Mesa ng magic"

Sa iba pang mga mapagkukunan

kung ang isang\u003e 1 at b\u003e 1, pagkatapos mag-log ng b\u003e 0 at (a -1) (b -1)\u003e 0;

kung ang isang\u003e 1 at 0

kung 0<a<1 и b >1, pagkatapos mag-log ng b<0 и (a -1)(b -1)<0;