Mga tagubilin

10, 30, 90, 270...

Kinakailangan upang mahanap ang denominator ng pag-unlad ng geometric.
Desisyon:

Pagpipilian 1. Kumuha tayo ng isang di-makatwirang termino ng pag-unlad (halimbawa, 90) at hatiin ito ng nauna (30): 90/30 \u003d 3.

Kung alam mo ang kabuuan ng maraming mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad o ang kabuuan ng lahat ng mga miyembro ng isang bumababa na pag-unlad ng geometric, pagkatapos ay gamitin ang naaangkop na mga formula upang mahanap ang denominator ng pag-unlad:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), kung saan si Sn ang kabuuan ng unang n termino ng pag-unlad ng geometric at
S \u003d b1 / (1-q), kung saan ang S ang kabuuan ng isang walang hanggan na pagbawas ng pag-unlad ng geometric (ang kabuuan ng lahat ng mga miyembro ng pag-unlad na may isang denominador na mas mababa sa isa).
Halimbawa.

Ang unang termino ng isang bumababang pag-unlad ng geometriko ay katumbas ng isa, at ang kabuuan ng lahat ng mga miyembro nito ay katumbas sa dalawa.

Kinakailangan upang matukoy ang denominator ng pag-unlad na ito.
Desisyon:

I-plug ang data mula sa problema sa formula. Lumalabas itong:
2 \u003d 1 / (1-q), kung saan - q \u003d 1/2.

Ang pag-unlad ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numero. Sa isang geometric na pag-unlad, ang bawat kasunod na term ay nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng nakaraang isa sa pamamagitan ng ilang bilang q, na tinatawag na denominator ng pag-unlad.

Mga tagubilin

Kung ang dalawang kalapit na termino ng geometric b (n + 1) at b (n) ay kilala, upang makuha ang denominador, ang bilang na may isang mas malaki ay dapat nahahati sa isa na nauna nito: q \u003d b (n + 1) / b (n). Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng pag-unlad at denominator nito. Ang isang mahalagang kondisyon ay ang hindi pagkakapantay-pantay ng unang termino at ang denominator ng pag-unlad sa zero, kung hindi, ito ay itinuturing na hindi natukoy.

Kaya, ang mga sumusunod na ugnayan ay itinatag sa pagitan ng mga miyembro ng pag-unlad: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q, ..., b (n) \u003d b (n-1) q. Sa pamamagitan ng pormula b (n) \u003d b1 q ^ (n-1), ang anumang termino ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin kung saan ang denominator q at ang salitang b1 ay kilala. Gayundin, ang bawat isa sa pag-unlad sa modulus ay katumbas ng average ng mga kalapit na miyembro nito: | b (n) | \u003d √, samakatuwid ang pag-unlad ay nakuha ang sarili nito.

Ang isang analogue ng isang geometric na pag-unlad ay ang pinakasimpleng pag-andar ng pagpaparami y \u003d a ^ x, kung saan ang x ay nasa exponent at isang bilang. Sa kasong ito, ang denominator ng pag-unlad ay nagkakasabay sa unang term at katumbas ng bilang a. Ang halaga ng function y ay maaaring maunawaan bilang n-th term ng pag-unlad kung ang argument x ay kinuha bilang isang natural na n (counter).

Mayroong para sa kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad: S (n) \u003d b1 (1-q ^ n) / (1-q). Ang pormula na ito ay may bisa para sa q ≠ 1. Kung q \u003d 1, kung gayon ang kabuuan ng mga unang termino n ay kinakalkula ng formula S (n) \u003d n b1. Sa pamamagitan ng paraan, ang pag-unlad ay tinatawag na pataas para sa q na mas malaki kaysa sa isa at positibong b1. Kung ang denominator ng pag-unlad ay hindi lalampas sa isa sa ganap na halaga, ang pag-unlad ay tinatawag na bumababa.

Ang isang espesyal na kaso ng isang pag-unlad ng geometric ay isang walang hanggan na pagbawas sa pag-unlad ng geometric (b.d.p.). Ang katotohanan ay ang mga tuntunin ng isang bumababang pag-unlad ng geometriko ay bababa nang paulit-ulit, ngunit hindi kailanman maabot ang zero. Sa kabila nito, mahahanap mo ang kabuuan ng lahat ng mga miyembro ng naturang pag-unlad. Natutukoy ito ng formula S \u003d b1 / (1-q). Ang kabuuang bilang ng mga miyembro n ay walang hanggan.

Upang mailarawan kung paano ka magdagdag ng isang walang hanggan bilang ng mga numero at hindi makakuha ng kawalang-hanggan nang sabay, maghurno ng isang cake. Gupitin ang kalahati nito. Pagkatapos ay i-cut ang 1/2 mula sa kalahati, at iba pa. Ang mga piraso na makukuha mo ay higit pa sa mga miyembro ng isang walang hanggan na pagbawas sa pag-unlad ng geometric na may isang denominator ng 1/2. Kung idagdag mo ang lahat ng mga piraso, nakakakuha ka ng orihinal na cake.

Ang mga problema sa geometry ay isang espesyal na uri ng ehersisyo na nangangailangan ng spatial na pag-iisip. Kung hindi mo malulutas ang isang geometric gawainsubukang sundin ang mga patakaran sa ibaba.

Mga tagubilin

Basahin nang mabuti ang pahayag ng problema, kung hindi mo maalala o maunawaan ang isang bagay, basahin muli.

Subukang alamin kung anong uri ng mga problemang geometriko ito, halimbawa: computational, kapag kailangan mong malaman ang ilang halaga, mga problema para sa nangangailangan ng isang lohikal na kadena ng pangangatwiran, mga problema sa konstruksyon na may isang kumpas at isang namumuno. Higit pang mga halo-halong mga problema. Kapag nalaman mo ang uri ng problema, subukang mag-isip nang lohikal.

Ilapat ang kinakailangang teorema para sa problemang ito, ngunit kung mayroong mga pagdududa o walang mga pagpipilian, pagkatapos subukang alalahanin ang teorya na naipasa mo sa may-katuturang paksa.

Iguhit ang solusyon sa problema din sa isang draft. Subukang gumamit ng mga kilalang pamamaraan upang masubukan ang iyong desisyon.

Punan ang solusyon sa problema nang maayos sa isang kuwaderno, nang walang mga blots at tumawid, at pinaka-mahalaga -. Maaaring tumagal ng oras at pagsisikap na malutas ang unang mga problema sa geometric. Gayunpaman, sa sandaling makabisado mo ang prosesong ito, magsisimula ka sa pag-click sa mga gawain tulad ng mga mani, pagkakaroon ng kasiyahan!

Ang isang geometric na pag-unlad ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numero b1, b2, b3, ..., b (n-1), b (n) tulad na b2 \u003d b1 * q, b3 \u003d b2 * q, ..., b (n) \u003d b (n-1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0. Sa madaling salita, ang bawat term ng pag-unlad ay nakuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagpaparami nito ng ilang nonzero denominator ng pag-unlad q.

Mga tagubilin

Ang mga problema sa pag-unlad ay madalas na malulutas sa pamamagitan ng pagtatayo at pagsunod sa isang sistema na nauugnay sa unang termino ng pag-unlad na b1 at ang denominador ng pag-unlad q. Nakakatulong na tandaan ang ilang mga formula upang magsulat ng mga equation.

Paano ipahayag ang n-th term ng isang pag-unlad sa pamamagitan ng unang term ng pag-unlad at denominator ng pag-unlad: b (n) \u003d b1 * q ^ (n-1).

Isaalang-alang ang hiwalay na kaso | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Aralin at pagtatanghal sa paksa: "Mga pagkakasunud-sunod ng bilang. Pag-unlad ng geometric"

Mga karagdagang materyales
Mga minamahal na gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, mga pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay nasuri ng isang programa ng antivirus.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulators sa Integral online store para sa grade 9
Mga Degree at Roots Mga function at grap

Guys, ngayon magkakilala tayo sa isa pang uri ng pag-unlad.
Ang paksa ng aralin ngayon ay ang pag-unlad ng geometriko.

Pag-unlad ng geometriko

Halimbawa. 1,2,4,8,16 ... Geometric na pag-unlad na kung saan ang unang term ay katumbas ng isa, at $ q \u003d 2 $.

Halimbawa. 8,8,8,8 ... Isang pag-unlad na geometric, kung saan ang unang termino ay walong,
at $ q \u003d 1 $.

Halimbawa. 3, -3.3, -3.3 ... Ang pag-unlad ng geometric, kung saan ang unang term ay katumbas ng tatlo,
at $ q \u003d -1 $.

Ang pag-unlad ng geometriko ay may mga katangian ng monotony.
Kung $ b_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e 1 $,
pagkatapos ay pataas ang pagkakasunud-sunod.
Kung $ b_ (1)\u003e 0 $, $ 0 Ang pagkakasunud-sunod ay karaniwang tinutukoy bilang: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Pati na rin sa isang pag-unlad na aritmetika, kung ang bilang ng mga elemento ay may hangganan sa isang geometric na pag-unlad, kung gayon ang pag-unlad ay tinatawag na isang wakas na geometric na pag-unlad.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Tandaan, kung ang pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad na geometric, kung gayon ang pagkakasunud-sunod ng mga parisukat ng mga miyembro ay isang pag-unlad na geometric din. Para sa pangalawang pagkakasunod-sunod, ang unang termino ay $ b_ (1) ^ 2 $, at ang denominador ay $ q ^ 2 $.

Pormula ng n-th term ng isang geometric na pag-unlad

Balikan natin ang ating mga halimbawa.

Halimbawa. 1,2,4,8,16 ... Ang pag-unlad ng geometric, kung saan ang unang term ay katumbas ng isa,
at $ q \u003d 2 $.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.

Halimbawa. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Isang geometric na pag-unlad na kung saan ang unang term ay labing-anim at $ q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

Halimbawa. 8,8,8,8 ... Ang isang geometric na pag-unlad na kung saan ang unang termino ay walong at $ q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $.

Halimbawa. 3, -3.3, -3.3 ... Ang pag-unlad ng geometric, kung saan ang unang term ay katumbas ng tatlo, at $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

Halimbawa. Bibigyan ka ng isang geometric na pag-unlad na $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n), ... $.
a) Alam na $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 $. Maghanap ng $ b_ (5) $.
b) Ito ay kilala na $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 $. Hanapin n.
c) Ito ay kilala na $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 $. Maghanap ng $ b_ (1) $.
d) Ito ay kilala na $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 $. Maghanap ng q.

Desisyon.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768.
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $ mula $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7; n \u003d 8 $.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

Halimbawa. Ang pagkakaiba sa pagitan ng ika-pito at ikalimang termino ng pag-unlad ng geometric ay 192, ang kabuuan ng ikalima at ikaanim na termino ng pag-unlad ay 192. Hanapin ang ikasampung term ng pag-unlad na ito.

Desisyon.
Alam namin na: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ at $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Alam din natin: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Pagkatapos:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
Nakakuha kami ng isang sistema ng mga equation:
$ \\ magsimula (mga kaso) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ end (mga kaso) $.
Katumbas, nakukuha ang aming mga equation:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
Nakakuha kami ng dalawang solusyon q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
Palitan nang sunud-sunod sa pangalawang equation:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ walang solusyon.
Nakuha namin iyon: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $.
Hanapin ang ikasampung term: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.

Kabuuan ng isang may hangganang pag-unlad na geometric

Hayaan ang isang tiyak na pag-unlad na geometric na: $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n-1), b_ (n) $.
Ipakilala natin ang notasyon para sa kabuuan ng mga miyembro nito: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
Sa kaso kapag $ q \u003d 1 $. Ang lahat ng mga miyembro ng pag-unlad na geometric ay katumbas ng unang termino, kung gayon malinaw na ang $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Isaalang-alang ngayon ang kaso na $ q ≠ 1 $.
I-Multiply ang kabuuan sa itaas ng q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Tandaan:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

Nakuha namin ang formula para sa kabuuan ng isang may hangganan na pag-unlad na geometric.

Desisyon.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $.

Halimbawa.
Hanapin ang ikalimang termino ng pag-unlad ng geometriko, na kilala: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 $.

Desisyon.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $.
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 $.
$ q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 \u003d 1024q-1 $.
$ 341q \u003d $ 1364.
$ q \u003d 4 $.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

Katangian ng katangian ng isang geometric na pag-unlad

Ang isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad ng geometric lamang kapag ang parisukat ng bawat miyembro nito ay katumbas ng produkto ng dalawang katabing mga miyembro ng pag-unlad. Huwag kalimutan na para sa isang walang katapusang pag-unlad, ang kondisyong ito ay hindi natutugunan para sa una at huling mga miyembro.

Ang module ng anumang miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay katumbas ng geometric na kahulugan ng dalawang miyembro na katabi nito.

Desisyon.
Gamitin natin ang katangian na katangian:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ at $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Pagsusulat nang sunud-sunod sa orihinal na expression, ang aming mga solusyon:
Sa pamamagitan ng $ x \u003d 2 $, nakuha namin ang pagkakasunud-sunod: 4; 6; 9 - isang pag-unlad na geometric, kung saan $ q \u003d 1.5 $.
Sa $ x \u003d -1 $, nakuha namin ang pagkakasunud-sunod: 1; 0; 0.
Sagot: $ x \u003d 2. $

Mga gawain para sa malayang solusyon

Ang pag-unlad ng geometric, kasama ang aritmetika, ay isang mahalagang serye ng numero, na pinag-aralan sa kurso ng algebra ng paaralan sa ika-9 na baitang. Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin ang denominator ng isang geometric na pag-unlad, at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa mga katangian nito.

Ang kahulugan ng isang geometric na pag-unlad

Upang magsimula, binibigyan namin ang kahulugan ng seryeng ito. Ang pag-unlad ng geometriko ay tinatawag na isang serye ng mga nakapangangatwiran na mga numero, na nabuo sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagpaparami ng unang elemento nito sa pamamagitan ng isang pare-pareho na numero na tinatawag na denominator.

Halimbawa, ang mga numero sa hilera 3, 6, 12, 24, ... ay isang pag-unlad na geometriko, dahil kung pinarami mo ang 3 (ang unang elemento) sa pamamagitan ng 2, makakakuha ka ng 6. Kung dumami ang 6 hanggang 2, nakakakuha ka ng 12, at iba pa.

Ang mga miyembro ng pagkakasunud-sunod sa ilalim ng pagsasaalang-alang ay kadalasang tinutukoy ng simbolo ai, kung saan ako ay isang integer na nagpapahiwatig ng bilang ng isang elemento sa hilera.

Ang kahulugan sa itaas ng isang pag-unlad ay maaaring isulat sa wika ng matematika tulad ng sumusunod: an \u003d bn-1 * a1, kung saan b ang denominador. Madaling suriin ang pormula na ito: kung n \u003d 1, pagkatapos b1-1 \u003d 1, at nakakakuha kami ng a1 \u003d a1. Kung n \u003d 2, pagkatapos ay isang \u003d b * a1, at muli naming natukoy ang kahulugan ng serye ng mga numero na isinasaalang-alang. Ang magkatulad na pangangatwiran ay maaaring ipagpatuloy para sa malalaking halaga ng n.

Denominator ng pag-unlad ng geometriko

Ganap na tinutukoy ng numero kung anong karakter ang magkakaroon ng buong serye. Ang denominator b ay maaaring maging positibo, negatibo, o mas malaki kaysa sa isa o mas kaunti. Ang lahat ng mga pagpipilian na ito ay humahantong sa iba't ibang mga pagkakasunud-sunod:

• b\u003e 1. Mayroong isang pagtaas ng serye ng mga nakapangangatwiran na mga numero. Halimbawa, 1, 2, 4, 8, ... Kung ang elemento a1 ay negatibo, kung gayon ang buong pagkakasunud-sunod ay tataas lamang sa ganap na halaga, ngunit bumababa hinggil sa pag-sign ng mga numero.
• b \u003d 1. Ang ganitong kaso ay madalas na hindi tinawag na isang pag-unlad, dahil mayroong isang ordinaryong serye ng magkatulad na mga numero ng katwiran. Halimbawa, -4, -4, -4.

Pormula para sa dami

Bago magpatuloy upang isaalang-alang ang mga tukoy na problema gamit ang denominator ng itinuturing na uri ng pag-unlad, isang mahalagang formula ang dapat ibigay para sa kabuuan ng mga unang n elemento. Ang pormula ay: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Maaari mong makuha ang pagpapahayag na ito sa iyong sarili kung isasaalang-alang mo ang isang pag-uulit ng pagkakasunod-sunod ng mga miyembro ng pag-unlad. Tandaan din na sa pormula sa itaas, sapat na upang malaman lamang ang unang elemento at ang denominador upang mahanap ang kabuuan ng isang di-makatwirang bilang ng mga termino.

Walang katapusang pagbaba ng pagkakasunud-sunod

Sa itaas ay binigyan ng paliwanag kung ano ito. Ngayon, alam ang formula para sa Sn, ilapat ito sa seryeng ito. Dahil ang anumang bilang na ang modulus ay hindi lalampas sa 1, kung itataas sa malalaking degree ay may posibilidad na zero, iyon ay, b∞ \u003d\u003e 0, kung -1

Dahil ang pagkakaiba (1 - b) ay palaging magiging positibo, anuman ang halaga ng denominador, ang tanda ng kabuuan ng pagbaba ng walang hanggan na pag-unlad ng geometric S∞ ay natatanging tinutukoy ng pag-sign ng unang elemento nito a1.

Ngayon isasaalang-alang namin ang maraming mga gawain, kung saan ipapakita namin kung paano ilalapat ang kaalaman na nakuha sa mga tiyak na numero.

Ang bilang ng problema 1. Pagkalkula ng mga hindi kilalang elemento ng pag-unlad at kabuuan

Bibigyan ka ng isang geometric na pag-unlad, ang denominator ng pag-unlad ay 2, at ang unang elemento nito ay 3. Ano ang mangyayari sa ika-7 at ika-10 term, at ano ang kabuuan ng pitong paunang elemento nito?

Ang kondisyon ng problema ay binubuo ng simple at nagpapahiwatig ng direktang paggamit ng mga formula sa itaas. Kaya, upang makalkula ang elemento na may bilang n, ginagamit namin ang expression ng isang \u003d bn-1 * a1. Para sa ika-7 elemento na mayroon kami: a7 \u003d b6 * a1, na humahalili sa kilalang data, nakukuha namin: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Gawin namin ang parehong para sa ika-10 term: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

Gagamitin natin ang kilalang formula para sa kabuuan at tukuyin ang halagang ito para sa unang 7 elemento ng serye. Mayroon kaming: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

Ang bilang ng problema 2. Pagtukoy ng kabuuan ng mga di-makatwirang elemento ng pag-unlad

Hayaan -2 maging ang denominator ng exponential na pag-unlad bn-1 * 4, kung saan n ay isang integer. Kinakailangan upang matukoy ang halaga mula ika-5 hanggang ika-10 elemento ng seryeng ito, kasama.

Hindi malulutas nang diretso ang problemang isinasagawa gamit ang mga kilalang formula. Maaari itong malutas ng 2 iba't ibang mga pamamaraan. Para sa pagkumpleto, ipinapakita namin pareho.

Paraan 1. Ang ideya nito ay simple: kinakailangan upang makalkula ang dalawang kaukulang kabuuan ng mga unang termino, at pagkatapos ay ibawas ang isa mula sa isa. Kinakalkula namin ang mas maliit na halaga: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Ngayon kinakalkula namin ang malaking kabuuan: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Tandaan na 4 na mga term lamang ang naipon sa huling pagpapahayag, dahil ang ika-5 ay kasama na sa kabuuan na kailangang kalkulahin ayon sa pahayag ng problema. Sa wakas, kunin ang pagkakaiba: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Paraan 2. Bago ipalit ang mga numero at pagbibilang, maaari kang makakuha ng isang pormula para sa kabuuan sa pagitan ng mga miyembro m at n ng serye na pinag-uusapan. Ginagawa namin nang eksakto tulad ng sa pamamaraan 1, lamang namin unang gumana sa simbolikong representasyon ng kabuuan. Mayroon kaming: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). Sa nagresultang expression, maaari mong palitan ang mga kilalang numero at kalkulahin ang panghuling resulta: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Problem number 3. Ano ang denominator?

Hayaan ang a1 \u003d 2, hanapin ang denominator ng pag-unlad ng geometric, sa kondisyon na ang walang katapusang kabuuan nito ay 3, at kilala na ito ay isang bumababang serye ng mga numero.

Sa kondisyon ng problema, madaling hulaan kung aling pormula ang dapat gamitin upang malutas ito. Siyempre, para sa kabuuan ng pag-unlad ay walang hanggan bumababa. Mayroon kaming: S∞ \u003d a1 / (1 - b). Mula sa kung saan ipinahahayag namin ang denominador: b \u003d 1 - a1 / S∞. Ito ay nananatiling kapalit ang mga kilalang halaga at makuha ang kinakailangang numero: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 o -0.333 (3). Ang resulta na ito ay maaaring suriin nang husay kung naaalala natin na para sa ganitong uri ng pagkakasunud-sunod, ang modulus b ay hindi dapat lumampas sa 1. Tulad ng nakikita mo, | -1 / 3 |

Problema sa numero 4. Pagbawi muli ng isang serye ng mga numero

Hayaan ang 2 elemento ng isang serye ng numero, halimbawa, ang ika-5 ay katumbas ng 30 at ang ika-10 ay pantay sa 60. Kinakailangan na muling pagbuo ng buong serye mula sa mga datos na ito, alam na nasiyahan ang mga katangian ng isang pag-unlad na geometric.

Upang malutas ang problema, dapat mo munang isulat ang kaukulang expression para sa bawat kilalang term. Mayroon kaming: a5 \u003d b4 * a1 at a10 \u003d b9 * a1. Ngayon hinati natin ang pangalawang expression sa una, nakukuha natin: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. Mula dito natukoy namin ang denominator sa pamamagitan ng pagkuha ng ikalimang ugat ng ratio ng mga term na kilala mula sa pahayag ng problema, b \u003d 1.148698. Pinalitan namin ang nagresultang numero sa isa sa mga expression para sa kilalang elemento, nakukuha namin: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17.2304966.

Sa gayon, natagpuan namin kung ano ang katumbas ng denominator ng pag-unlad na bn, at ang pag-unlad ng geometric bn-1 * 17.2304966 \u003d an, kung saan b \u003d 1.148698.

Saan ginagamit ang mga geometric na pag-unlad?

Kung walang aplikasyon ng seryeng ito sa pagsasanay, kung gayon ang pag-aaral nito ay mababawasan sa isang paunang teoretikal na interes. Ngunit umiiral ang naturang application.

Nasa ibaba ang 3 pinakasikat na mga halimbawa:

• Ang kabalintunaan ni Zeno, kung saan ang matalino na si Achilles ay hindi maaabutan ng mabagal na pagong, ay nalulutas gamit ang konsepto ng isang walang katapusang pagbaba ng pagkakasunud-sunod ng mga numero.
• Kung naglalagay ka ng mga butil ng trigo sa bawat parisukat ng chessboard upang ang 1 butil ay inilalagay sa 1st square, 2 - sa ika-2, 3 - sa ika-3, at iba pa, pagkatapos 18446744073709551615 butil ay kinakailangan upang punan ang lahat ng mga parisukat ng board!
• Sa laro ng Tower of Hanoi, upang maiayos ang mga disk mula sa isang baras patungo sa isa pa, kailangan mong magsagawa ng 2n - 1 na operasyon, iyon ay, ang kanilang bilang ay lumalaki nang malaki sa bilang ng mga disk na ginamit.

Unang antas

Pag-unlad ng geometriko. Malawak na gabay na may mga halimbawa (2019)

Pagkakasunud-sunod ng numero

Kaya't umupo tayo at simulan ang pagsusulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang sumulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong maraming hangga't gusto mo (sa aming kaso, sa kanila). Hindi mahalaga kung gaano karaming mga numero ang isinulat natin, maaari nating palaging sabihin kung alin sa kanila ang una, na siyang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, iyon ay, maaari nating bilangin. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunud-sunod ng numero:

Pagkakasunud-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring italaga ng isang natatanging numero.

Halimbawa, para sa aming pagkakasunud-sunod:

Ang nakatalaga na numero ay tiyak sa isang numero ng pagkakasunud-sunod. Sa madaling salita, walang tatlong pangalawang numero sa pagkakasunud-sunod. Ang pangalawang numero (tulad ng -th number) ay palaging isa.

Ang numero na may bilang ay tinawag na miyembro ng pagkakasunod-sunod.

Karaniwan naming tinawag ang buong pagkakasunud-sunod ng ilang liham (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng pagkakasunud-sunod na ito ay ang parehong liham na may isang index na katumbas ng bilang ng miyembro na ito:.

Sa kaso natin:

Ang pinaka-karaniwang uri ng pag-unlad ay aritmetika at geometric. Sa thread na ito, pag-uusapan natin ang pangalawang uri - pag-unlad ng geometriko.

Bakit kailangan namin ng isang geometric na pag-unlad at ang kasaysayan ng pinagmulan nito.

Kahit na noong sinaunang panahon, ang Italyanong matematiko na si Leonardo ng Pisa (mas kilala bilang Fibonacci) ay nakitungo sa praktikal na mga pangangailangan ng kalakalan. Ang monghe ay naharap sa gawain ng pagtukoy sa kung ano ang maaaring pinakamaliit na halaga ng mga timbang upang magamit upang timbangin ang mga kalakal? Sa kanyang mga akda, pinatunayan ng Fibonacci na ang naturang sistema ng mga timbang ay pinakamainam: Ito ang isa sa mga unang sitwasyon kung saan ang mga tao ay kailangang harapin ang isang geometric na pag-unlad, na marahil ay narinig mo na at tungkol sa pangkalahatang konsepto. Kapag naiintindihan mo ang paksa, isipin kung bakit ang ganitong sistema ay pinakamainam?

Sa kasalukuyan, sa kasanayan sa buhay, ang isang pag-unlad na geometric ay ipinahayag kapag namumuhunan ng pera sa isang bangko, kung ang halaga ng interes ay sisingilin sa halagang natipon sa account para sa nakaraang panahon. Sa madaling salita, kung naglalagay ka ng pera sa isang term deposit sa isang bangko ng pagtitipid, kung gayon sa isang taon ang deposito ay tataas ng higit sa orihinal na halaga, i.e. ang bagong halaga ay magiging pantay sa deposito na pinarami ng. Sa isa pang taon, ang halagang ito ay tataas ng, i.e. ang halagang nakuha sa oras na iyon ay paparami ng muli at iba pa. Ang isang katulad na sitwasyon ay inilarawan sa mga problema sa pagkalkula ng tinatawag na tambalang interes - ang porsyento ay kinuha bawat oras mula sa halaga sa account, isinasaalang-alang ang nakaraang interes. Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga gawaing ito nang kaunti.

Maraming mas simpleng mga kaso kung saan ginagamit ang pag-unlad ng geometriko. Halimbawa, ang pagkalat ng trangkaso: isang tao ang nahawahan sa isang tao, sila, naman, nahawaan ang ibang tao, at sa gayon ang pangalawang alon ng impeksyon - isang tao, at sila, naman, nahawahan ng isa pa ... at iba pa ...

Sa pamamagitan ng paraan, ang piramide sa pananalapi, ang parehong MMM, ay isang simple at tuyo na pagkalkula batay sa mga katangian ng isang geometric na pag-unlad. Kawili-wili? Alamin natin ito.

Pag-unlad ng geometriko.

Sabihin nating mayroon kaming pagkakasunud-sunod na numero:

Sasagutin mo agad na madali ito at ang pangalan ng naturang pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad na aritmetika na may pagkakaiba ng mga miyembro nito. Paano ang tungkol dito:

Kung ibabawas mo ang naunang isa mula sa susunod na numero, pagkatapos ay makikita mo sa bawat oras na ang isang bagong pagkakaiba ay nakuha (at iba pa), ngunit tiyak na umiiral ang pagkakasunud-sunod at madaling mapansin - ang bawat susunod na numero ay mga beses na mas malaki kaysa sa naunang isa!

Ang uri ng pagkakasunud-sunod ng numero ay tinatawag pag-unlad ng geometriko at ipinahiwatig ng.

Ang pag-unlad ng geometric () ay isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod, ang unang termino ng kung saan ay nonzero, at ang bawat termino, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang isa, pinarami ng parehong bilang. Ang bilang na ito ay tinatawag na denominator ng pag-unlad ng geometric.

Mga paghihigpit na ang unang termino () ay hindi pantay at hindi random. Sabihin natin na wala sila, at ang unang term ay pantay pa rin, at ang q ay pantay, hmm .. hayaan, pagkatapos ito ay lumiliko:

Sumang-ayon na hindi na ito anumang pag-unlad.

Tulad ng naiintindihan mo, makakakuha kami ng parehong mga resulta kung ito ay anumang numero maliban sa zero, at. Sa mga kasong ito, hindi lamang magiging isang pag-unlad, dahil ang buong serye ng numero ay alinman sa lahat ng mga zero, o isang numero, at lahat ng iba pang mga zero.

Ngayon ay pag-usapan natin nang mas detalyado tungkol sa denominator ng pag-unlad ng geometric, iyon ay, Fr.

Ulitin natin: ay isang numero, ilang beses na nagbabago ang bawat kasunod na term pag-unlad ng geometriko.

Ano sa palagay mo ang maaari nito? Tama, positibo at negatibo, ngunit hindi zero (pinag-usapan namin ito nang kaunti mas mataas).

Sabihin nating may positibo tayo. Hayaan din sa aming kaso, pati na rin. Ano ang pangalawang term at? Madali mong sagutin iyon:

Lahat ay tama. Alinsunod dito, kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila positibo.

Paano kung negatibo? Halimbawa, a. Ano ang pangalawang term at?

Ito ay isang ganap na naiibang kuwento

Subukang isipin ang term ng pag-unlad na ito. Magkano ang nakuha mo? Meron akong. Kaya, kung, pagkatapos ay ang mga palatandaan ng mga miyembro ng geometric na pag-unlad na kahalili. Iyon ay, kung nakakita ka ng isang pag-unlad na may mga alternatibong mga palatandaan sa mga miyembro nito, kung gayon ang negosyante ay negatibo. Ang kaalamang ito ay makakatulong sa iyo na subukan ang iyong sarili kapag nalutas ang mga problema sa paksang ito.

Ngayon magsanay tayo ng kaunti: subukang alamin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang isang pag-unlad na geometric at kung saan ay aritmetika:

Hindi maintindihan? Ihambing natin ang aming mga sagot:

• Paglala ng geometriko - 3, 6.
• Pag-unlad ng Aritmetika - 2, 4.
• Hindi ito aritmetika o geometric na pag-unlad - 1, 5, 7.

Magbalik tayo sa aming huling pag-unlad, at subukang hanapin ang termino sa parehong paraan tulad ng sa aritmetika. Tulad ng maaari mong hulaan, mayroong dalawang paraan upang mahanap ito.

Matagumpay naming pinarami ang bawat termino ni.

Kaya, ang miyembro ng ika ng inilarawan na pag-unlad na geometric ay pantay.

Tulad ng naiisip mo na, ngayon ay makakakuha ka ng isang formula na makakatulong sa iyo na makahanap ng anumang miyembro ng isang geometric na pag-unlad. O naipadala mo na ba ito para sa iyong sarili, na naglalarawan kung paano mahahanap ang mga yugto ng miyembro? Kung gayon, suriin ang kawastuhan ng iyong pangangatuwiran.

Ipailarawan natin ito sa halimbawa ng paghahanap ng miyembro ng isang naibigay na pag-unlad:

Sa ibang salita:

Hanapin sa iyong sarili ang halaga ng isang miyembro ng isang naibigay na geometric na pag-unlad.

Nangyari? Ihambing natin ang aming mga sagot:

Mangyaring tandaan na nakakuha ka nang eksakto sa parehong bilang tulad ng sa nakaraang pamamaraan, nang matagumpay naming pinarami ng bawat nakaraang term ng pag-unlad ng geometric.
Subukan nating "depersonalize" ang pormula na ito - dalhin namin ito sa isang pangkalahatang form at makuha:

Ang nagmula sa pormula ay tama para sa lahat ng mga halaga, parehong positibo at negatibo. Suriin ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga miyembro ng geometric na pag-unlad sa mga sumusunod na kondisyon :, a.

Binilang mo ba ito? Ihambing natin ang mga resulta na nakuha:

Sumang-ayon na posible na makahanap ng isang miyembro ng pag-unlad sa parehong paraan tulad ng isang miyembro, gayunpaman, may posibilidad ng hindi mabilang na pagbibilang. At kung natagpuan na natin ang ika-term na term ng pag-unlad ng geometric, kung gayon kung ano ang maaaring maging mas madali kaysa sa paggamit ng "cut off" na bahagi ng formula.

Isang walang katapusang pagbawas ng pag-unlad ng geometriko.

Karamihan sa mga kamakailan lamang, napag-usapan namin ang katotohanan na maaari itong maging mas malaki o mas mababa sa zero, gayunpaman, may mga espesyal na halaga kung saan tinawag ang isang geometric na pag-unlad walang hanggan bumababa.

Bakit sa palagay mo tulad ng isang pangalan?
Una, isulat natin ang ilang pag-unlad na geometric na binubuo ng mga miyembro.
Ipagpalagay, a, kung gayon:

Nakita namin na ang bawat kasunod na term ay mas mababa sa nakaraang isa sa pamamagitan ng isang kadahilanan, ngunit magkakaroon ba ng anumang bilang? Sasagot ka agad - hindi. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay walang hanggan bumababa - bumababa, bumababa, at hindi kailanman magiging zero.

Upang malinaw na maunawaan kung paano ito nakikita ng biswal, subukan nating gumuhit ng isang graph ng aming pag-unlad. Kaya, para sa aming kaso, ang formula ay tumatagal ng sumusunod na form:

Nakaugalian para sa amin na bumuo ng pag-asa sa mga tsart, samakatuwid:

Ang kakanyahan ng ekspresyon ay hindi nagbago: sa unang pagpasok, ipinakita namin ang pag-asa sa halaga ng miyembro ng pag-unlad ng geometric sa numero ng ordeninal nito, at sa pangalawang pagpasok, kinuha lamang namin ang halaga ng term na pag-unlad ng geometric bilang, at ang ordinal na numero ay itinalaga hindi kung paano, ngunit paano. Ang lahat ng nananatiling dapat gawin ay upang bumuo ng isang grap.
Tingnan natin kung ano ang ginawa mo. Narito ang graph na nakuha ko:

Kita n'yo? Ang pag-andar ay bumababa, may kaugaliang zero, ngunit hindi kailanman tumatawid, kaya't walang hanggan bumababa. Markahan natin ang aming mga puntos sa graph, at sa parehong oras kung ano ang kahulugan at kahulugan:

Subukang mag-eskematiko na naglalarawan ng isang graph ng isang geometric na pag-unlad sa, kung ang unang termino ay pantay din. Suriin, ano ang pagkakaiba sa aming naunang grapiko?

Inayos mo ba? Narito ang graph na nakuha ko:

Ngayon na lubos mong naintindihan ang mga pangunahing kaalaman sa tema ng isang geometric na pag-unlad: alam mo kung ano ito, alam mo kung paano mahahanap ang termino, at alam mo rin kung ano ang isang walang hanggan na pagbawas sa pag-unlad ng geometric, lumipat tayo sa pangunahing pag-aari nito.

Ang pag-aari ng isang geometric na pag-unlad.

Tandaan ang pag-aari ng mga miyembro ng isang pag-unlad na aritmetika? Oo, oo, kung paano mahahanap ang halaga ng isang tiyak na bilang ng isang pag-unlad, kapag may mga nauna at kasunod na mga halaga ng mga miyembro ng isang naibigay na pag-unlad. Tandaan? Ito:

Ngayon nahaharap namin ang eksaktong parehong tanong para sa mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad. Upang makakuha ng isang katulad na pormula, simulan natin ang pagguhit at pangangatuwiran. Makikita mo, napakadali, at kung nakalimutan mo, maaari mong ilabas ito sa iyong sarili.

Kumuha tayo ng isa pang simpleng pag-unlad ng geometric na alam natin at. Paano hanapin? Sa pamamagitan ng isang pag-unlad na aritmetika, madali at simple, ngunit ano ang tungkol dito? Sa katunayan, walang kumplikado sa geometric alinman - kailangan mo lamang isulat ang bawat halaga na ibinigay sa amin gamit ang isang formula.

Itanong mo, ano ang dapat nating gawin ngayon? Napakasimpleng simple. Upang magsimula sa, ilalarawan namin ang mga formula na ito sa pigura, at subukang gumawa ng iba't ibang mga manipulasyon sa kanila upang makarating sa halaga.

Namin abstract mula sa mga numero na ibinigay sa amin, tututuon lamang namin ang pagpapahayag ng mga ito sa pamamagitan ng isang pormula. Kailangan nating hanapin ang halaga na naka-highlight sa orange, alam ang mga miyembro na katabi nito. Subukan nating gawin ang iba't ibang mga aksyon sa kanila, bilang isang resulta kung saan maaari nating matanggap.

Pagdagdag.
Subukan nating magdagdag ng dalawang expression at, nakukuha namin:

Mula sa expression na ito, tulad ng nakikita mo, hindi namin maipahayag sa anumang paraan, samakatuwid, susubukan namin ang isa pang pagpipilian - pagbabawas.

Pagbabawas.

Tulad ng nakikita mo, hindi rin natin maipahayag mula rito, samakatuwid, susubukan nating palakihin ang mga expression na ito sa bawat isa.

Pagpaparami.

Ngayon tingnan nang mabuti kung ano ang mayroon kami, na pinararami ang mga miyembro ng paglalagay ng geometric na ibinigay sa amin kung ihahambing sa kung ano ang kailangang matagpuan:

Hulaan kung ano ang pinag-uusapan ko? Tama, upang mahanap, kailangan nating kunin ang parisukat na ugat ng mga numero ng pag-unlad ng geometric na katabi ng nais na bilang na pinarami ng bawat isa:

Kumbaga. Ikaw mismo ang nagbawas ng pag-aari ng isang geometric na pag-unlad. Subukang isulat ang pormula na ito sa mga pangkalahatang term. Nangyari?

Nakalimutan ang kondisyon para sa? Isipin kung bakit mahalaga, halimbawa, subukang kalkulahin ito sa iyong sarili, kung. Ano ang nangyayari sa kasong ito? Tama iyon, kumpleto na walang kapararakan dahil ganito ang hitsura ng formula:

Alinsunod dito, huwag kalimutan ang limitasyong ito.

Ngayon kalkulahin natin kung ano ang katumbas

Tamang sagot - ! Kung, kapag kinakalkula, hindi mo nakalimutan ang pangalawang posibleng halaga, kung gayon ikaw ay isang mahusay na kapwa at maaari kang magpatuloy kaagad sa pagsasanay, at kung nakalimutan mo, basahin kung ano ang tinalakay sa ibaba at bigyang pansin kung bakit dapat na isulat ang parehong mga ugat sa sagot.

Gumuhit tayo pareho ng aming mga geometric na pag-unlad - isa na may kahulugan, at ang isa ay may kahulugan, at suriin kung pareho ang mga ito ay may karapatang umiral:

Upang masuri kung ang tulad ng isang geometric na pag-unlad na umiiral o hindi, kinakailangan upang makita kung pareho ito sa pagitan ng lahat ng mga naibigay na miyembro nito? Kalkulahin ang q para sa una at pangalawang kaso.

Tingnan kung bakit kailangan nating sumulat ng dalawang sagot? Dahil ang tanda ng kinakailangang termino ay nakasalalay kung positibo o negatibo ito! At dahil hindi natin alam kung ano siya, kailangan nating isulat ang parehong mga sagot kasama ang plus at minus.

Ngayon na pinagkadalubhasaan mo ang mga pangunahing puntos at ibigay ang formula para sa pag-aari ng isang pag-unlad ng geometric, hanapin, alam at

Ihambing ang mga natanggap na sagot sa mga tama:

Ano sa palagay mo, paano kung binigyan kami hindi ang mga halaga ng mga miyembro ng pag-unlad ng geometric na katabi ng nais na numero, ngunit pantay-pantay mula dito. Halimbawa, kailangan nating hanapin, at bibigyan at. Maaari ba nating gamitin ang pormula na nakuha natin? Subukang kumpirmahin o tanggihan ang posibilidad na ito sa parehong paraan, isulat kung ano ang binubuo ng bawat halaga, tulad ng ginawa mo noong una na nakuha ang formula, para.
Anong ginawa mo?

Ngayon tumingin muli.
at magkatugma:

Mula dito maaari nating tapusin na gumagana ang pormula hindi lamang sa kalapit kasama ang mga kinakailangang termino ng pag-unlad ng geometriko, ngunit kasama rin pantay-pantay mula sa mga miyembro na hinahangad.

Kaya, ang aming paunang pormula ay tumatagal ng form:

Iyon ay, kung sa unang kaso sinabi namin na, ngayon sinasabi namin na maaari itong maging pantay sa anumang natural na numero na mas kaunti. Ang pangunahing bagay ay ang parehong para sa parehong ibinigay na mga numero.

Magsanay na may mga tiyak na halimbawa, maging maingat lamang!

1. ,. Hanapin.
2. ,. Hanapin.
3. ,. Hanapin.

Nakapag desisyon na ako? Inaasahan kong lubos kang maingat at napansin mo ang isang maliit na catch.

Inihambing namin ang mga resulta.

Sa unang dalawang kaso, kalmado naming inilalapat ang pormula sa itaas at nakuha ang mga sumusunod na halaga:

Sa ikatlong kaso, sa maingat na pagsasaalang-alang ng mga bilang ng mga numero ng ibinigay sa amin, nauunawaan namin na hindi sila pantay-pantay mula sa numero na hinahanap namin: ito ang nakaraang numero, ngunit tinanggal sa posisyon, kaya't hindi posible na mag-aplay ng pormula.

Paano malutas ito? Ito ay talagang hindi mahirap tulad ng tunog! Isulat sa iyo kung ano ang ibinigay sa bawat numero sa amin at ang kinakailangang bilang ay binubuo ng.

Kaya, mayroon tayo at. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa kanila? Iminumungkahi kong hatiin. Nakukuha namin:

Pinalitan namin ang aming data sa formula:

Ang susunod na hakbang na mahahanap natin - para dito kailangan nating kunin ang cube root ng nagresultang numero.

At ngayon titingnan ulit natin kung ano ang mayroon tayo. Mayroon kaming ito, ngunit kailangan nating hanapin ito, at ito, naman, ay katumbas ng:

Natagpuan namin ang lahat ng kinakailangang data para sa pagkalkula. Kapalit kami sa formula:

Ang aming sagot: .

Subukang malutas ang isa pang katulad na problema sa iyong sarili:
Ibinigay :,
Hanapin:

Magkano ang nakuha mo? Meron akong - .

Tulad ng nakikita mo, sa katunayan, kailangan mo tandaan lamang ang isang formula -. Ang lahat ng natitira maaari mong bawiin ang iyong sarili nang walang anumang kahirapan sa anumang oras. Upang gawin ito, isulat lamang ang pinakasimpleng pag-unlad ng geometriko sa isang piraso ng papel at isulat kung ano, ayon sa pormula sa itaas, ang bawat isa sa mga numero ay pantay.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad.

Ngayon isaalang-alang ang mga formula na nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na makalkula ang kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad sa isang naibigay na agwat:

Upang makuha ang formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang may hangganan na pag-unlad na geometric, pinarami namin ang lahat ng mga bahagi ng mas mataas na equation ng. Nakukuha namin:

Tingnan nang mabuti: ano ang magkakatulad sa huling dalawang pormula? Tama iyon, karaniwang mga miyembro, halimbawa, at iba pa, maliban sa una at huling miyembro. Subukan nating ibawas ang ika-1 mula sa ika-2 na equation. Anong ginawa mo?

Ngayon ipahayag ang term ng geometric na pag-unlad sa pamamagitan ng pormula at kapalit ang nagresultang expression sa aming huling formula:

Pangkatin ang expression. Dapat kang makakuha ng:

Ang kailangan lang gawin ay ipahayag:

Alinsunod dito, sa kasong ito.

Paano kung? Ano ang formula pagkatapos ay gumagana? Mag-isip ng isang geometric na pag-unlad sa. Ano ang gusto niya? Tamang isang serye ng magkaparehong mga numero, ayon sa pagkakabanggit, ang formula ay magiging ganito:

Maraming mga alamat sa parehong aritmetika at geometric na pag-unlad. Ang isa sa kanila ay ang alamat ni Seth, ang tagalikha ng chess.

Maraming tao ang nakakaalam na ang larong chess ay naimbento sa India. Nang makilala siya ng hari ng Hindu, nasiyahan siya sa kanyang pagpapatawa at iba't ibang mga posibleng posisyon sa kanya. Nang malaman na ito ay imbento ng isa sa kanyang mga paksa, nagpasya ang hari na personal na gantimpalaan siya. Ipinatawag niya ang imbentor sa kanya at inutusan siyang hilingin sa kanya ang anumang nais niya, na nangangako na matupad kahit na ang pinaka may kasanayang pagnanasa.

Humiling si Seta ng oras upang mag-isip, at nang sumunod na araw ay lumitaw si Seth sa hari, ikinagulat niya ang hari sa walang kapantay na kahinahunan ng kanyang kahilingan. Hiniling niya na magbigay ng isang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, para sa pangalawang butil ng trigo, para sa pangatlo, para sa ikaapat, atbp.

Nagalit ang hari at pinalayas si Seth, na sinasabi na ang kahilingan ng alipin ay hindi karapat-dapat ng kamahalan ng kabutihan, ngunit ipinangako na tatanggap ng alipin ang kanyang mga butil para sa lahat ng mga cell ng board.

At ngayon ang tanong: gamit ang pormula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad, kalkulahin kung gaano karaming mga butil ang dapat na natanggap ni Seta?

Magsimula tayo sa pangangatuwiran. Dahil, ayon sa kundisyon, humiling si Seta ng isang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, para sa pangalawa, para sa pangatlo, para sa ika-apat, atbp, nakita natin na ang problema ay tungkol sa isang geometric na pag-unlad. Ano ang pantay sa kasong ito?
Tama.

Kabuuang mga cell ng chessboard. Alinsunod dito,. Mayroon kaming lahat ng data, nananatili lamang upang mapalitan ito sa formula at makalkula.

Upang kumatawan ng hindi bababa sa humigit-kumulang sa "mga kaliskis" ng isang naibigay na numero, binago namin ang paggamit ng mga katangian ng degree:

Siyempre, kung nais mo, maaari kang kumuha ng calculator at makalkula kung anong bilang ang makukuha mo sa pagtatapos, at kung hindi, kakailanganin mong gawin ang aking salita para dito: ang pangwakas na halaga ng ekspresyon ay magiging.
I.e:

quintillion quadrillion trilyon na milyong milyon.

Fuh) Kung nais mong isipin ang napakalaking dami ng bilang na ito, pagkatapos ay tantyahin kung gaano kalaki ang kamalig na kakailanganin na naglalaman ng buong dami ng butil.
Sa pamamagitan ng isang taas ng kamalig m at isang lapad ng m, ang haba nito ay kailangang palawakin para sa km, i.e. dalawang beses ang layo mula sa Earth hanggang sa Linggo.

Kung ang hari ay malakas sa matematika, maaari niyang iminumungkahi na ang siyentipiko mismo ay binibilang ang mga butil, dahil upang mabilang ang isang milyong butil, kakailanganin niya ng hindi bababa sa isang araw na walang pagod na pagbibilang, at bibigyan na kinakailangan na mabilang ang mga quintillions, ang mga butil ay kailangang mabilang sa buong buhay niya.

Ngayon ay malutas natin ang isang simpleng problema para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad.
Si Vasya, isang mag-aaral ng grade 5 A, ay may trangkaso, ngunit patuloy na pumapasok sa paaralan. Araw-araw na nahawa si Vasya ng dalawang tao, na, naman, makahawa ng dalawa pang tao, at iba pa. May mga tao sa klase. Sa ilang araw magkakasakit ang trangkaso sa trangkaso?

Kaya, ang unang miyembro ng pag-unlad ng geometriko ay ang Vasya, iyon ay, isang tao. miyembro ng geometric na pag-unlad, ito ang dalawang taong nahawahan niya sa unang araw ng kanyang pagdating. Ang kabuuang bilang ng mga miyembro sa pag-unlad ay katumbas ng bilang ng mga mag-aaral 5A. Alinsunod dito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang pag-unlad kung saan:

Palitin natin ang aming data sa formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad:

Ang buong klase ay magkakasakit sa mga araw. Hindi ka ba naniniwala sa mga formula at numero? Subukang ilarawan ang "impeksyon" ng mga mag-aaral mismo. Nangyari? Tingnan kung paano ito hinahanap para sa akin:

Kalkulahin para sa iyong sarili kung ilang araw ang mga mag-aaral ay magkasakit sa trangkaso kung ang bawat isa ay makahawa sa isang tao, at mayroong isang tao sa klase.

Anong halaga ang nakuha mo? Ito ay naging lahat na nagsimulang magkasakit pagkatapos ng isang araw.

Tulad ng nakikita mo, ang gayong gawain at pagguhit nito ay kahawig ng isang piramide, kung saan ang bawat kasunod na isa ay "nagdadala" ng mga bagong tao. Gayunpaman, sa madaling panahon o ilang sandali ay darating na ang huli ay hindi maakit ang sinuman. Sa aming kaso, kung iniisip natin na ang klase ay nakahiwalay, ang taong mula sa ay magsasara ng kadena (). Kaya, kung ang isang tao ay kasangkot sa isang piramide sa pananalapi, kung saan ang pera ay naibigay sa kaganapan na magdala ka ng dalawang iba pang mga kalahok, kung gayon ang tao (o sa pangkalahatang kaso) ay hindi magdadala ng sinuman, ayon sa pagkakabanggit, mawawala nila ang lahat ng kanilang ipinuhunan sa pananalapi na ito panloloko.

Ang lahat ng sinabi sa itaas ay tumutukoy sa isang pagbawas o pagtaas ng geometric na pag-unlad, ngunit, tulad ng iyong natatandaan, mayroon kaming isang espesyal na uri - isang walang hanggan na pagbaba ng pag-unlad ng geometric. Paano makalkula ang kabuuan ng mga miyembro nito? At bakit ang ganitong uri ng pag-unlad ay may ilang mga tampok? Paghiwalayin natin ito nang magkasama.

Kaya, upang magsimula sa, tingnan natin muli ang figure na ito ng isang walang hanggan na pagbawas ng pag-unlad ng geometric mula sa aming halimbawa:

Ngayon tingnan natin ang pormula para sa kabuuan ng isang geometric na pag-unlad, na nakuha ng kaunti mas maaga:
o

Ano ang pinagsisikapan natin? Tama iyon, ipinapakita ng graph na may posibilidad na maging zero. Iyon ay, sa, ito ay magiging halos pantay, ayon sa pagkakabanggit, kapag kinakalkula ang ekspresyon, halos makakakuha kami. Kaugnay nito, naniniwala kami na kapag kinakalkula ang kabuuan ng isang walang hanggan na pagbawas sa pag-unlad ng geometric, ang bracket na ito ay maaaring mapabaya, dahil ito ay magiging pantay.

- ang pormula ay ang kabuuan ng mga termino ng isang walang hanggan na pagbaba ng pag-unlad ng geometric.

MAHALAGA! Ginagamit namin ang pormula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang hanggan na pagbawas ng pag-unlad ng geometric lamang kung malinaw na sinasabi ng kondisyon na kailangan nating hanapin ang kabuuan walang katapusang bilang ng mga kasapi.

Kung ang isang tiyak na numero n ay ipinahiwatig, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga termino, kahit na o.

Ngayon magsanay tayo.

1. Hanapin ang kabuuan ng mga unang termino ng isang geometric na pag-unlad na at.
2. Hanapin ang kabuuan ng mga termino ng isang walang hanggan na pagbawas ng pag-unlad ng geometric na may at.

Inaasahan kong lubos kang maingat. Ihambing natin ang aming mga sagot:

Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa pag-unlad ng geometriko, at oras na upang ilipat mula sa teorya hanggang sa pagsasanay. Ang pinaka-karaniwang mga problema sa pag-unlad na geometric na nakatagpo sa pagsusulit ay mga problema sa compound na interes. Ito ay tungkol sa kanila na pag-uusapan natin.

Mga Gawain para sa pagkalkula ng interes ng compound.

Marahil ay narinig mo na ang tinatawag na formula ng interes ng compound. Naiintindihan mo ba ang ibig niyang sabihin? Kung hindi, alamin natin ito, dahil napagtanto ang proseso mismo, mauunawaan mo agad, at narito ang isang pag-unlad na geometric.

Lahat kami ay pumunta sa bangko at alam na may iba't ibang mga kondisyon para sa mga deposito: ito ang termino, at karagdagang serbisyo, at interes na may dalawang magkakaibang paraan ng pagkalkula nito - simple at kumplikado.

MULA simpleng interes ang lahat ay higit pa o mas malinaw: ang interes ay sisingilin nang isang beses sa pagtatapos ng term ng deposito. Iyon ay, kung sasabihin namin na inilalagay namin ang 100 rubles para sa isang taon sa ilalim, pagkatapos ay kredito lamang sila sa pagtatapos ng taon. Alinsunod dito, sa pagtatapos ng deposito, makakatanggap kami ng mga rubles.

Compound interes - ito ay isang pagpipilian kung saan mayroon capitalization ng interes, i.e. ang kanilang karagdagan sa halaga ng deposito at ang kasunod na pagkalkula ng kita hindi mula sa inisyal, ngunit mula sa naipon na halaga ng deposito. Ang capitalization ay hindi nangyayari nang madalas, ngunit may ilang dalas. Karaniwan, ang mga panahong ito ay pantay-pantay at madalas na ginagamit ng mga bangko sa isang buwan, quarter o taon.

Sabihin nating inilalagay namin ang lahat ng parehong mga rubles sa taunang mga rate, ngunit may isang buwanang capitalization ng deposito. Ano ang makukuha natin?

Naiintindihan mo ba ang lahat dito? Kung hindi, alamin natin sa mga yugto.

Nagdala kami ng mga rubles sa bangko. Sa pagtatapos ng buwan, dapat tayong magkaroon sa aming account ng isang halaga na binubuo ng aming mga rubles kasama ang interes sa kanila, iyon ay:

Sumasang-ayon ako?

Maaari naming ilagay ito sa labas ng bracket at pagkatapos ay makuha namin:

Sumang-ayon, ang formula na ito ay higit na katulad sa isa na sinulat natin sa simula. Ito ay nananatiling makitungo sa interes

Sa pahayag ng problema, sinabihan kami tungkol sa taunang. Tulad ng alam mo, hindi kami dumarami - binabago namin ang mga porsyento sa mga fraction ng perpekto, iyon ay:

Tama ba? Ngayon nagtanong ka, saan nagmula ang numero? Napakasimple!
Uulitin ko: ang pahayag ng problema tungkol sa ANONG ANUMANG interes na naipon BULANAN... Tulad ng alam mo, sa isang taon ng buwan, ayon sa pagkakabanggit, ang bangko ay singilin sa amin ng isang bahagi ng taunang interes bawat buwan:

Napagtanto? Ngayon subukang isulat kung ano ang magiging hitsura ng bahaging ito ng pormula kung sasabihin ko na ang interes ay kinakalkula araw-araw.
Inayos mo ba? Ihambing natin ang mga resulta:

Magaling! Magbalik tayo sa aming problema: isulat kung magkano ang mai-kredito sa aming account para sa ikalawang buwan, isinasaalang-alang na ang interes ay sisingilin sa natipon na halaga ng deposito.
Narito kung ano ang nakuha ko:

O, sa madaling salita:

Sa palagay ko ay napansin mo na ang isang pattern at nakita mo ang isang geometric na pag-unlad sa lahat ng ito. Isulat kung ano ang magiging katumbas ng miyembro nito, o, sa madaling salita, kung magkano ang pera na matatanggap natin sa pagtatapos ng buwan.
Nagawa? Pagsuri!

Tulad ng nakikita mo, kung naglalagay ka ng pera sa bangko para sa isang taon sa isang simpleng interes, pagkatapos makakatanggap ka ng mga rubles, at kung sa isang kumplikadong rate - rubles. Ang benepisyo ay maliit, ngunit ito ay nangyayari lamang sa ika-th taon, ngunit sa mas mahabang panahon, ang kapital ay higit na kumikita:

Isaalang-alang natin ang isa pang uri ng mga problema na may interes ng tambalan. Matapos ang iyong nalaman, magiging elementarya ito para sa iyo. Kaya ang gawain:

Ang kumpanya ng Zvezda ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2000, na mayroong kapital sa dolyar. Bawat taon mula noong 2001, kumita siya ng kita na mula sa kapital ng nakaraang taon. Gaano karaming kita ang tatanggap ng kumpanya ng Zvezda sa katapusan ng 2003, kung ang kita ay hindi nakuha mula sa sirkulasyon?

Kapital ng kumpanya na "Zvezda" noong 2000.
- ang kabisera ng kumpanya na "Zvezda" noong 2001.
- kabisera ng kumpanya na "Zvezda" noong 2002.
- ang kabisera ng kumpanya na "Zvezda" noong 2003.

O maaari nating isulat nang maikli:

Para sa aming kaso:

2000, 2001, 2002 at 2003.

Magalang:
rubles
Tandaan na sa problemang ito wala kaming dibisyon alinman sa pamamagitan ng o sa pamamagitan ng, dahil ang porsyento ay binibigyan ng ANONG PWEDENG at ito ay kinakalkula nang ANUMANG. Iyon ay, kapag nagbabasa ng isang problema para sa interes ng tambalan, bigyang pansin kung anong porsyento ang ibinibigay, at sa anong panahon ito ay sisingilin, at pagkatapos ay magpatuloy sa mga kalkulasyon.
Ngayon alam mo ang lahat tungkol sa pag-unlad ng geometriko.

Pag-eehersisyo.

1. Hanapin ang exponential term kung kilala ito, at
2. Hanapin ang kabuuan ng mga unang termino ng isang geometric na pag-unlad, kung kilala ito, at
3. Sinimulan ng MDM Capital ang pamumuhunan sa industriya noong 2003, pagkakaroon ng kapital sa dolyar. Bawat taon, simula sa 2004, tumatanggap siya ng kita, na nagmula sa kabisera ng nakaraang taon. Ang kumpanya na "MSK Cash Flows" ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2005 sa halagang $ 10,000, na nagsisimula upang kumita sa 2006 sa dami ng. Gaano karaming dolyar ang kabisera ng isang kumpanya nang higit pa kaysa sa isa pa sa katapusan ng 2007, kung ang kita ay hindi nakuha mula sa sirkulasyon?

Mga sagot:

1. Dahil ang pahayag ng problema ay hindi sinabi na ang pag-unlad ay walang hanggan at kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng isang tiyak na bilang ng mga miyembro nito, ang pagkalkula ay isinasagawa ayon sa pormula:
2. 
   MDM Capital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - tataas ng 100%, iyon ay, 2 beses.
   Magalang:
   rubles
   MSK Cash Daloy:

   2005, 2006, 2007.
   - tumataas sa pamamagitan ng, iyon ay, beses.
   Magalang:
   rubles
   rubles

Isa-isahin natin.

1) Ang pag-unlad ng Geometric () ay isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod, ang unang termino na kung saan ay nonzero, at bawat term, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong bilang. Ang bilang na ito ay tinatawag na denominator ng pag-unlad ng geometric.

2) Pagkakapantay-pantay ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad -.

3) maaaring tumagal ng anumang mga halaga, maliban sa at.

• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila positibo;
• kung, pagkatapos ay ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad kahaliling palatandaan;
• sa - ang pag-unlad ay tinatawag na walang hanggan na bumababa.

4), para sa pag-aari ng isang geometric na pag-unlad (katabing mga termino)

o
, sa (pantay na mga termino)

Kapag nahanap, huwag kalimutan iyon dapat mayroong dalawang sagot.

Halimbawa,

5) Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay kinakalkula ng formula:
o

Kung ang pag-unlad ay walang hanggan bumababa, kung gayon:
o

MAHALAGA! Ginagamit namin ang pormula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang hanggan na pagbawas ng pag-unlad ng geometric kung malinaw na sinasabi ng kondisyon na kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng isang walang hanggan bilang ng mga termino.

6) Ang mga problema para sa interes ng tambalan ay kinakalkula din ayon sa pormula ng ika-term na term ng isang pag-unlad ng geometric, sa kondisyon na ang mga pondo ay hindi nakuha mula sa sirkulasyon:

PROMISYON ng GEOMETRIC. BRIEFLY TUNGKOL SA MAPA

Pag-unlad ng geometriko () ay isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod, ang unang miyembro na kung saan ay nonzero, at ang bawat miyembro na nagsisimula mula sa pangalawa ay katumbas ng nakaraang isang pinarami ng parehong bilang. Ang bilang na ito ay tinatawag denominador ng pag-unlad ng geometric.

Geometric denominator maaaring tumagal ng anumang halaga maliban sa at.

• Kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila ay positibo;
• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ng mga kahaliling palatandaan;
• sa - ang pag-unlad ay tinatawag na walang hanggan na bumababa.

Katumbas ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad - .

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad kinakalkula ng formula:
o

\u003e\u003e Matematika: Pag-unlad ng Geometric

Para sa kaginhawaan ng mambabasa, ang seksyong ito ay sumusunod sa eksaktong parehong balangkas tulad ng sinundan namin sa nakaraang seksyon.

1. Mga pangunahing konsepto.

Kahulugan. Ang isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod, lahat ng mga kasapi ay naiiba sa 0 at bawat term na kung saan, simula sa pangalawa, ay nakuha mula sa nakaraang termino sa pamamagitan ng pagpaparami nito sa pamamagitan ng parehong numero ay tinawag na isang geometric na pag-unlad. Sa kasong ito, ang bilang 5 ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Kaya, ang isang geometric na pag-unlad ay isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod (b n) na tinukoy nang recursively ng mga relasyon

Posible ba, sa pamamagitan ng pagtingin sa pagkakasunud-sunod ng numero, upang matukoy kung ito ay isang geometric na pag-unlad? Maaari. Kung kumbinsido ka na ang ratio ng anumang miyembro ng pagkakasunud-sunod sa nakaraang miyembro ay palagi, kung gayon mayroon kang isang geometric na pag-unlad.
Halimbawa 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
B 1 \u003d 1, q \u003d 3.

Halimbawa 2.

Ito ay isang geometric na pag-unlad na kung saan
Halimbawa 3.

Ito ay isang geometric na pag-unlad na kung saan
Halimbawa 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ito ay isang geometric na pag-unlad na may b 1 - 8, q \u003d 1.

Tandaan na ang pagkakasunud-sunod na ito ay isa ring pag-unlad na aritmetika (tingnan ang Halimbawa 3 sa § 15).

Halimbawa 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ito ay isang geometric na pag-unlad na kung saan b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Malinaw, ang isang geometric na pag-unlad ay isang pagtaas ng pagkakasunud-sunod kung b 1\u003e 0, q\u003e 1 (tingnan ang halimbawa 1), at bumababa kung b 1\u003e 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Upang ipahiwatig na ang pagkakasunud-sunod (b n) ay isang pag-unlad na geometric, ang sumusunod na notasyon ay minsan ay maginhawa:

Pinalitan ng icon ang pariralang "geometric na pag-unlad".
Isaalang-alang natin ang isang mausisa at sa parehong oras medyo halata pag-aari ng geometric na pag-unlad:
Kung ang pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad na geometric, pagkatapos ay ang pagkakasunud-sunod ng mga parisukat, i.e. ay isang pag-unlad na geometric.
Sa pangalawang pag-unlad ng geometric, ang unang term ay pantay sa isang ay pantay sa q 2.
Kung itatapon natin ang lahat ng mga salitang sumusunod sa b n, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang may hangganang pag-unlad na geometric
Sa kasunod na mga talata ng seksyon na ito, isasaalang-alang namin ang pinakamahalagang katangian ng isang pag-unlad ng geometric.

2. Pormula ng n-th term ng isang geometric na pag-unlad.

Isaalang-alang ang isang pag-unlad na geometric denominador q. Meron kami:

Madaling hulaan na para sa anumang numero n ang pagkakapantay-pantay

Ito ang pormula para sa nth term ng isang geometric na pag-unlad.

Komento.

Kung nabasa mo ang isang mahalagang pangungusap mula sa nakaraang talata at naunawaan ito, pagkatapos subukang patunayan ang formula (1) sa pamamagitan ng pamamaraan ng induction ng matematika, na katulad ng kung paano ito nagawa para sa formula ng nth term ng isang pag-unlad na aritmetika.

Muling isulat ang formula para sa ika-nm term ng geometric na pag-unlad

at ipakilala ang notasyon: Nakakuha kami ng y \u003d mq 2, o, nang mas detalyado,
Ang x argumento ay nakapaloob sa isang exponent, kaya ito ay tinatawag na isang exponential function. Samakatuwid, ang isang pag-unlad na geometric ay maaaring isaalang-alang bilang isang exponential function na tinukoy sa set N ng mga natural na numero. Sa fig. Ipinapakita ng 96a ang graph ng function na Fig. 966 - function na graph Sa parehong mga kaso, mayroon kaming mga nakahiwalay na puntos (na may mga abscissas x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, atbp) na nakahiga sa isang tiyak na curve (ang parehong mga figure ay nagpapakita ng parehong curve, na matatagpuan lamang sa iba at inilalarawan sa iba't ibang mga kaliskis). Ang curve na ito ay tinatawag na exponential. Ang karagdagang impormasyon tungkol sa pagpapalawak ng pag-andar at ang grap nito ay tatalakayin sa kurso ng ika-11 na grado ng algebra.

Balikan natin ang mga halimbawa 1-5 mula sa nakaraang talata.

1) 1, 3, 9, 27, 81, ... Ito ay isang geometric na pag-unlad, kung saan b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Isulat natin ang pormula para sa nth term
2) Ito ay isang geometric na pag-unlad, kung saan Isulat natin ang formula ng nth term

Ito ay isang geometric na pag-unlad na kung saan Isulat natin ang pormula para sa nth term
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... Ito ay isang geometric na pag-unlad, kung saan b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Isulat natin ang pormula para sa nth term
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Ito ay isang geometric na pag-unlad na kung saan b 1 \u003d 2, q \u003d -1. Isulat natin ang pormula para sa nth term

Halimbawa 6.

Ang isang geometric na pag-unlad ay ibinigay

Sa lahat ng mga kaso, ang solusyon ay batay sa pormula para sa ikalawang term ng pag-unlad ng geometric

a) Ang paglalagay ng nth term ng geometric na pag-unlad n \u003d 6 sa formula, nakukuha namin

b) Mayroon kaming

Dahil sa 512 \u003d 2 9, nakakuha kami n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Mayroon kaming

Halimbawa 7.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng ikapitong at ikalimang termino ng pag-unlad ng geometric ay 48, ang kabuuan ng ikalima at ikaanim na termino ng pag-unlad ay din 48. Hanapin ang ikalabindalawang termino ng pag-unlad na ito.

Unang hakbang. Pagguhit ng isang modelo ng matematika.

Ang mga kondisyon ng problema ay maaaring isulat sa maikling sandali tulad ng:

Gamit ang pormula para sa nth term ng geometric na pag-unlad, nakukuha namin:
Pagkatapos ang pangalawang kondisyon ng problema (b 7 - b 5 \u003d 48) ay maaaring isulat sa form

Ang pangatlong kondisyon ng problema (b 5 + b 6 \u003d 48) ay maaaring isulat bilang

Bilang isang resulta, nakakakuha kami ng isang sistema ng dalawang mga equation na may dalawang variable b 1 at q:

na, kasama ang kondisyon 1) na nakasulat sa itaas, ay isang modelo ng matematika ng problema.

Pangalawang yugto.

Nagtatrabaho sa pinagsama-samang modelo. Paghahambing sa mga kaliwang bahagi ng parehong mga equation ng system, nakukuha namin:

(hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa isang nonzero expression b 1 q 4).

Mula sa equation q 2 - q - 2 \u003d 0 nakita namin ang q 1 \u003d 2, q 2 \u003d -1. Pagsusulat ng halaga q \u003d 2 sa pangalawang equation ng system, nakuha namin
Pagsusulit ng halaga q \u003d -1 sa pangalawang equation ng system, nakukuha namin ang b 1 1 0 \u003d 48; ang ekwasyong ito ay walang mga solusyon.

Kaya, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - ang pares na ito ay isang solusyon ng binubuo ng sistema ng mga equation.

Ngayon ay maaari naming isulat ang pag-unlad ng geometriko na tinukoy sa problema: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Stage tatlo.

Ang sagot sa tanong na problema. Kinakailangan upang makalkula ang b 12. Meron kami

Sagot: b 12 \u003d 2048.

3. Ang pormula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang may hangganan na pag-unlad na geometric.

Hayaan ang isang tiyak na pag-unlad na geometric

Ipinakilala namin sa pamamagitan ng S n ang kabuuan ng mga termino nito, i.e.

Kumuha tayo ng isang formula para sa paghahanap ng halagang ito.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso, kapag q \u003d 1. Kung gayon ang pag-unlad ng geometriko b 1, b 2, b 3, ..., bn ay binubuo ng mga n na katumbas ng b 1, iyon ay, ang pag-unlad ay may form b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Ang kabuuan ng mga bilang na ito ay nb 1.

Ngayon hayaan ang q \u003d 1 Upang mahanap ang S n, inilalapat namin ang isang artipisyal na pamamaraan: nagsasagawa ng ilang mga pagbabagong-anyo ng expression S n q. Meron kami:

Ang pagsasagawa ng mga pagbabagong-anyo, kami, una, ay ginamit ang kahulugan ng isang geometric na pag-unlad, ayon sa kung saan (tingnan ang pangatlong linya ng pangangatuwiran); pangalawa, idinagdag at binawi nila kung bakit ang kahulugan ng expression, siyempre, ay hindi nagbago (tingnan ang ika-apat na linya ng pangangatwiran); pangatlo, ginamit namin ang formula para sa nth term ng isang geometric na pag-unlad:

Mula sa formula (1) nahanap namin:

Ito ang pormula para sa kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad (para sa kaso kapag q \u003d 1).

Halimbawa 8.

Ang isang may hangganan na pag-unlad na geometriko

a) ang kabuuan ng mga kasapi ng pag-unlad; b) ang kabuuan ng mga parisukat ng mga miyembro nito.

b) Sa itaas (tingnan ang p. 132) napansin na natin na kung ang lahat ng mga termino ng isang pag-unlad ng geometric ay parisukat, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang geometric na pag-unlad na may unang termino b 2 at ang denominator q 2. Pagkatapos ang kabuuan ng anim na miyembro ng bagong pag-unlad ay kalkulahin ng

Halimbawa 9.

Hanapin ang ika-8 term ng isang geometric na pag-unlad na

Sa katunayan, napatunayan namin ang sumusunod na teorema.

Ang isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad na geometric kung at kung ang parisukat lamang ng bawat miyembro nito, maliban sa unang Theorem (at ang huli, sa kaso ng isang may hangganang pagkakasunud-sunod), ay katumbas ng produkto ng nauna at kasunod na mga termino (katangian ng pag-aari ng isang geometric na pag-unlad).