Iba't ibang paraan ng pagpapatunay sa teorema ng Pythagorean. Ang mga kagiliw-giliw na katotohanan tungkol sa teorema ng Pythagorean: alamin ang mga bagong bagay tungkol sa kilalang teorema

(ayon sa papyrus 6619 ng Berlin Museum). Ayon kay Cantor, ang mga harpedonapts, o "mga cord tensioner", ay nagtayo ng mga tamang anggulo gamit ang mga kanang anggulo na may anggulo na 3, 4, at 5.

Napakadaling muling likhain ang kanilang paraan ng pagtatayo. Kumuha ng isang lubid na 12 m ang haba at itali ito sa isang may kulay na guhit sa layo na 3 m mula sa isang dulo at 4 metro mula sa kabilang linya. Ang tamang anggulo ay mapapaloob sa pagitan ng mga gilid ng 3 at 4 metro ang haba. Ang mga Harpedonapts ay maaaring magtaltalan na ang kanilang paraan ng konstruksyon ay nagiging mababaw kung ginagamit natin, halimbawa, ang kahoy na parisukat na ginagamit ng lahat ng mga karpintero. Sa katunayan, may mga kilalang Egyptian drawings kung saan ang nasabing tool ay natagpuan, halimbawa, mga guhit na naglalarawan sa isang pagawaan sa karpintero.

Medyo higit pa ang nalalaman tungkol sa teorema ng Babilonya na Pythagorean. Sa isang teksto mula pa noong panahon ng Hammurabi, iyon ay, 2000 BC. e. , isang tinatayang pagkalkula ng hypotenuse ng isang tamang tatsulok ay ibinibigay. Mula dito maaari nating tapusin na sa Mesopotamia alam nila kung paano magsagawa ng mga kalkulasyon na may mga anggulo na may anggulo ng tama, hindi bababa sa ilang mga kaso. Batay, sa isang banda, sa kasalukuyang antas ng kaalaman tungkol sa matematika ng mga taga-Egypt at Babilonya, at sa kabilang banda, sa isang kritikal na pag-aaral ng mga mapagkukunang Griyego, napagpasyahan ni Van der Waerden (Dutch matematika) na mayroong isang mataas na posibilidad na ang teorya sa square ng hypotenuse ay kilala sa Ang India ay nasa paligid ng XVIII siglo BC. e.

Sa paligid ng 400 BC ayon sa Proclus, nagbigay si Plato ng isang pamamaraan para sa paghahanap ng mga triplets na Pythagorean, pagsasama-sama ng algebra at geometry. Halos 300 BC. e. ang pinakalumang axiomatic proof ng Pythagorean theorem ay lumitaw sa "Element" ng Euclid.

Ang mga salitang

Geometric formulate:

Sa una, ang teorema ay nabalangkas tulad ng sumusunod:

Algebraic pagbabalangkas:

Iyon ay, na nagsasaad ng haba ng hypotenuse ng tatsulok hanggang sa, at ang haba ng mga binti sa pamamagitan at:

Ang parehong mga pahayag ng teorema ay katumbas, ngunit ang pangalawang pahayag ay mas elementarya, hindi ito nangangailangan ng konsepto ng lugar. Iyon ay, ang pangalawang pahayag ay maaaring mapatunayan nang hindi alam ang anumang bagay tungkol sa lugar at sa pamamagitan ng pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang kanan na anggulo.

Ang reverse Pythagorean teorema:

Katibayan

Sa ngayon, 367 na mga patunay ng teoryang ito ay naitala sa pang-agham na panitikan. Marahil ang teorema ng Pythagorean ay ang tanging teorema na may tulad na isang kahanga-hangang bilang ng mga patunay. Ang iba't ibang ito ay maaaring maipaliwanag lamang sa pangunahing pangunahing kahulugan ng teorema para sa geometry.

Siyempre, sa konsepto ang lahat ng mga ito ay maaaring nahahati sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila: mga patunay sa pamamagitan ng pamamaraan ng lugar, axiomatic at exotic proof (halimbawa, gamit ang mga equation ng kaugalian).

Sa pamamagitan ng magkakatulad na mga tatsulok

Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulate ay ang pinakasimpleng ng mga patunay na itinayo nang direkta mula sa mga axioms. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng lugar ng isang pigura.

Hayaan ABC mayroong isang tamang-anggulo na tatsulok na may tamang anggulo C... Iguhit natin ang taas mula C at ipahiwatig ang base nito sa pamamagitan ng H... Triangle ACH tulad ng isang tatsulok ABC sa dalawang sulok. Katulad nito, tatsulok CBH ay katulad ABC... Ipinapakilala ang notasyon

nakukuha namin

Ano ang katumbas

Pagdaragdag, makakakuha kami

Patunay ng mga lugar

Ang mga patunay na ibinigay sa ibaba, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Lahat sila ay gumagamit ng mga katangian ng lugar, ang patunay na kung saan ay mas mahirap kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

Katumbas na patunay na pandagdag

1. Ayusin ang apat na pantay na patong na may anggulo na naaangkop tulad ng ipinapakita sa Larawan 1.
2. Quadrilateral na may mga panig c ay isang parisukat, dahil ang kabuuan ng dalawang talamak na anggulo ay 90 °, at ang hindi nabuksan na anggulo ay 180 °.
3. Ang lugar ng buong pigura ay, sa isang banda, ang lugar ng isang parisukat na may mga panig (a + b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at ang lugar ng panloob na parisukat.

Q.E.D.

Ang patunay ni Euclid

Ang ideya sa likod ng patunay ni Euclid ay ang mga sumusunod: subukan nating patunayan na ang kalahati ng lugar ng isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng kalahati ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti, at pagkatapos ay ang mga lugar ng malaki at dalawang maliit na parisukat ay pantay.

Isaalang-alang ang pagguhit sa kaliwa. Dito, nagtayo kami ng mga parisukat sa mga gilid ng isang kanang-anggulo na tatsulok at iginuhit ang isang ray s mula sa tuktok ng tamang anggulo C patayo sa hypotenuse AB, pinuputol nito ang parisukat na ABIK, na binuo sa hypotenuse, sa dalawang parihaba - BHJI at HAKJ, ayon sa pagkakabanggit. Ito ay lumiliko na ang mga lugar ng mga parihaba na ito ay eksaktong pantay sa mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa kaukulang mga binti.

Subukan nating patunayan na ang lugar ng square DECA ay katumbas ng lugar ng rektanggulo na AHJK Para sa mga ito, gumagamit kami ng isang pantulong na obserbasyon: Ang lugar ng isang tatsulok na may parehong taas at base dahil ang rektanggulo na ito ay katumbas sa kalahati ng lugar ng ibinigay na rektanggulo. Ito ay isang kinahinatnan ng pagtukoy sa lugar ng isang tatsulok bilang kalahati ng produkto ng base at taas. Kasunod nito mula sa obserbasyong ito na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas ng lugar ng tatsulok na AHK (hindi ipinakita sa pigura), na, naman, ay katumbas sa kalahati ng lugar ng rektanggulo na AHJK.

Patunayan natin ngayon na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas din sa kalahati ng lugar ng square DECA. Ang tanging bagay na kailangang gawin para dito ay upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ACK at BDA (dahil ang lugar ng tatsulok na BDA ay pantay sa kalahati ng lugar ng parisukat ayon sa nabanggit na pag-aari). Ang pagkakapantay-pantay na ito ay halata: ang mga tatsulok ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Namely - AB \u003d AK, AD \u003d AC - ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo CAK at BAD ay madaling patunayan sa pamamagitan ng pamamaraan ng paggalaw: pinaikot namin ang tatsulok na CAK sa pamamagitan ng 90 ° counterclockwise, pagkatapos ay malinaw na ang mga kaukulang panig ng dalawang tatsulok sa ilalim ng pagsasaalang-alang ay magkakasabay (dahil ang anggulo sa tuktok ng parisukat ay 90 °).

Ang pangangatuwiran tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng parisukat na BCFG at ang rektanggulo na BHJI ay ganap na magkatulad.

Kaya, napatunayan namin na ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti. Ang ideya sa likod ng patunay na ito ay karagdagang isinalarawan sa animation sa itaas.

Patunay ng Leonardo da Vinci

Ang mga pangunahing elemento ng patunay ay simetrya at paggalaw.

Isaalang-alang ang pagguhit, tulad ng makikita mula sa simetrya, ang segment ay pinuputol ang parisukat sa dalawang magkatulad na bahagi (dahil ang mga tatsulok at pantay sa konstruksyon).

Sa pamamagitan ng pag-ikot ng 90 degree counterclockwise sa isang punto, nakita namin na ang mga kulay na mga numero at pantay.

Ngayon malinaw na ang lugar ng shaded figure ay katumbas ng kabuuan ng mga halves ng mga lugar ng maliit na mga parisukat (na binuo sa mga binti) at ang lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay pantay sa kalahati ng lugar ng malaking parisukat (na binuo sa hypotenuse) kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Kaya, ang kalahati ng kabuuan ng mga lugar ng maliit na mga parisukat ay katumbas sa kalahati ng lugar ng malaking parisukat, at samakatuwid ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse.

Patunayan sa pamamagitan ng paraan ng infinitesimal

Ang sumusunod na patunay na gumagamit ng mga equation ng kaugalian ay madalas na maiugnay sa sikat na English matematika na Hardy, na nabuhay sa unang kalahati ng ika-20 siglo.

Nakatingin sa pagguhit na ipinakita sa pigura at pinagmasdan ang pagbabago sa panig a, maaari naming isulat ang sumusunod na ratio para sa walang hanggan maliit na pagtaas ng mga panig mula sa at a (gamit ang pagkakapareho ng mga tatsulok):

Gamit ang paraan ng paghihiwalay ng mga variable, nahanap namin

Ang isang mas pangkalahatang expression para sa pagbabago ng hypotenuse sa kaso ng mga pagtaas ng parehong mga binti

Pagsasama ng ekwasyong ito at paggamit ng mga paunang kondisyon, nakukuha namin

Sa gayon, nakarating kami sa nais na sagot

Tulad ng madaling makita, ang pag-asa sa quadratic sa pangwakas na pormula ay lilitaw dahil sa linear proportionality sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at mga pagtaas, habang ang kabuuan ay nauugnay sa independyenteng mga kontribusyon mula sa mga pagdaragdag ng iba't ibang mga binti.

Ang isang mas simpleng patunay ay maaaring makuha kung ipinapalagay namin na ang isa sa mga binti ay hindi nakakaranas ng isang pagtaas (sa kasong ito, ang binti). Pagkatapos para sa patuloy na pagsasama na nakukuha namin

Mga pagkakaiba-iba at generalizations

Ang magkatulad na mga geometric na hugis sa tatlong panig

Pangkalahatan para sa mga katulad na tatsulok, lugar ng mga berdeng hugis A + B \u003d lugar ng asul C

Pythagorean teorem gamit ang magkatulad na kanang tatsulok

Ang pangkalahatang teorema ng Pythagorean ay ginawa ni Euclid sa kanyang gawain Mga Simula, pagpapalawak ng mga lugar ng mga parisukat sa mga panig sa mga lugar na magkakatulad na mga geometric na hugis:

Kung nagtatayo ka ng mga katulad na geometriko na hugis (tingnan ang Euclidean geometry) sa mga gilid ng isang kanang anggulo na may anggulo, kung gayon ang kabuuan ng dalawang mas maliit na figure ay magkatulad sa lugar ng mas malaking figure.

Ang pangunahing ideya ng pangkalahatang ito ay ang lugar ng tulad ng isang geometric na figure ay proporsyonal sa parisukat ng alinman sa mga linear na sukat nito, at partikular sa parisukat ng haba ng anumang panig. Samakatuwid, para sa mga katulad na mga numero na may mga lugar A, B at C itinayo sa mga gilid na may haba a, b at c, meron kami:

Ngunit, ayon sa teorema ng Pythagorean, a 2 + b 2 = c 2, kung gayon A + B = C.

Sa kabaligtaran, kung mapatunayan natin iyon A + B = C para sa tatlong magkakatulad na figure na geometric nang hindi gumagamit ng teorema ng Pythagorean, kung gayon maaari nating patunayan ang teorem mismo, na gumagalaw sa kabilang direksyon. Halimbawa, ang panimulang sentro ng tatsulok ay maaaring magamit muli bilang isang tatsulok C sa hypotenuse, at dalawang magkatulad na kanang tatsulok ( A at B), na binuo sa iba pang dalawang panig, na nabuo bilang isang resulta ng paghati sa gitnang tatsulok sa taas nito. Ang kabuuan ng dalawang mas maliit na mga lugar ng mga tatsulok ay malinaw na katumbas sa lugar ng pangatlo, kung gayon A + B = C at gumaganap ng nakaraang patunay sa baligtad na pagkakasunud-sunod, nakuha namin ang teyema ng Pythagorean a 2 + b 2 \u003d c 2.

Teorem ng Cosine

Ang teyema ng Pythagorean ay isang espesyal na kaso ng mas pangkalahatang teorem ng kosine, na nauugnay ang haba ng mga panig sa isang di-makatwirang tatsulok:

kung saan θ ang anggulo sa pagitan ng mga panig a at b.

Kung ang θ ay 90 degree pagkatapos cos θ \u003d 0 at ang pormula ay pinasimple sa karaniwang teorema ng Pythagorean.

Arbitrary na tatsulok

Sa anumang napiling sulok ng isang di-makatwirang tatsulok na may mga panig a, b, c magsulat ng isang tatsulok na isosceles sa paraang ang pantay na anggulo sa base nito θ ay katumbas ng napiling anggulo. Ipagpalagay na ang napiling anggulo θ ay kabaligtaran sa gilid na minarkahan c... Bilang isang resulta, nakakuha kami ng isang tatsulok na ABD na may anggulo θ, na matatagpuan sa tapat ng panig a at mga partido r... Ang pangalawang tatsulok ay nabuo ng anggulo θ, na kabaligtaran sa gilid b at mga partido mula sa haba s, tulad ng ipinakita sa larawan. Nagtalo si Thabit Ibn Qurrah na ang mga panig sa tatlong tatsulok na ito ay konektado tulad ng sumusunod:

Habang papalapit ang anggulo π / 2, ang batayan ng tatsulok ng isosceles ay bumababa at ang dalawang panig, r at s, mag-overlap ng mas kaunti at mas kaunti. Kapag θ \u003d π / 2, ang ADB ay nagiging isang tamang tatsulok, r + s = c at nakuha namin ang paunang teorema ng Pythagorean.

Isaalang-alang natin ang isa sa mga dahilan. Ang Triangle ABC ay may parehong mga anggulo bilang tatsulok na ABD, ngunit sa reverse order. (Ang dalawang tatsulok ay may isang karaniwang anggulo sa vertex B, ang parehong may anggulo θ at mayroon ding parehong pangatlong anggulo, ayon sa kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok.) Alinsunod dito, ang ABC ay katulad ng salamin ng ABD ng tatsulok na DBA, tulad ng ipinakita sa figure sa ibaba. Isulat natin ang ratio sa pagitan ng mga kabaligtaran at magkatabi sa anggulo,

Gayundin isang salamin ng isa pang tatsulok,

Palakihin natin ang mga praksiyon at idagdag ang dalawang ratio na ito:

q.E.D.

Pangkalahatan para sa mga di-makatwirang mga tatsulok sa pamamagitan ng mga paralelograms

Pangkalahatan para sa mga di-makatwirang mga tatsulok,
berdeng lugar balangkas \u003d lugar asul

Patunay ng tesis na sa larawan sa itaas

Ipaalam natin sa pangkalahatan ang mga hindi tatsulok na tatsulok sa pamamagitan ng paggamit ng paralelograms sa tatlong panig sa halip na mga parisukat. (Ang mga parisukat ay isang espesyal na kaso.) Ang itaas na pigura ay nagpapakita na para sa isang talamak na anggulo na tatsulok, ang lugar ng paralelogram sa mahabang bahagi ay katumbas ng kabuuan ng paralelograms sa iba pang dalawang panig, na ibinigay na ang paralelogram sa mahabang bahagi ay itinayo tulad ng ipinapakita sa figure (ang mga sukat na minarkahan ng mga arrow ay pareho at matukoy mga gilid ng mas mababang paralelogram). Ang kapalit ng mga parisukat sa pamamagitan ng paralelograms ay nagbibigay ng isang malinaw na pagkakatulad sa paunang teorya ng Pythagoras, pinaniniwalaan na ito ay nabuo ni Pappus ng Alexandria noong 4 AD. e.

Ipinapakita sa ibaba ang pag-unlad ng patunay. Tingnan natin ang kaliwang bahagi ng tatsulok. Ang kaliwang berdeng paralelogram ay may parehong lugar tulad ng kaliwang bahagi ng asul na paralelogram dahil mayroon silang parehong base b at taas h... Bilang karagdagan, ang kaliwang berdeng paralelogram ay may parehong lugar tulad ng kaliwang berde na paralelogram sa itaas na pigura dahil mayroon silang isang karaniwang base (sa kaliwang kaliwang bahagi ng tatsulok) at isang kabuuang taas na patayo sa gilid ng tatsulok. Ang pag-uusap na pareho para sa kanang bahagi ng tatsulok, pinatunayan namin na ang mas mababang paralelogram ay may parehong lugar tulad ng dalawang berdeng paralelograms.

Mga kumplikadong numero

Ang teyem ng Pythagorean ay ginagamit upang mahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos sa isang sistemang coordinate ng Cartesian, at ang teorema na ito ay totoo para sa lahat ng totoong mga coordinate: distansya s sa pagitan ng dalawang puntos ( a, b) at ( c, d) ay pantay

Walang mga problema sa formula kung tinatrato mo ang mga kumplikadong numero bilang mga vectors na may mga tunay na sangkap x + ako y = (x, y). ... Halimbawa ang distansya s sa pagitan ng 0 + 1 ako at 1 + 0 ako kinakalkula namin bilang modulus ng vector (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), o

Gayunpaman, para sa mga operasyon sa mga vectors na may mga kumplikadong coordinate, kinakailangan na gumawa ng ilang pagpapabuti sa pormula ng Pythagorean. Distansya sa pagitan ng mga puntos na may mga kumplikadong numero ( a, b) at ( c, d); a, b, c, at d lahat ng kumplikado, bubuo kami gamit ang ganap na mga halaga. Distansya s batay sa pagkakaiba ng vector (a − c, b − d) sa sumusunod na form: hayaan ang pagkakaiba a − c = p + i qsaan p - ang tunay na bahagi ng pagkakaiba, q ay ang haka-haka na bahagi, at i \u003d √ (−1). Katulad nito, hayaan b − d = r + i s... Pagkatapos:

saan ang kumplikadong numero ng conjugate para sa. Halimbawa, ang distansya sa pagitan ng mga puntos (a, b) = (0, 1) at (c, d) = (ako, 0) , kinakalkula namin ang pagkakaiba (a − c, b − d) = (−ako, 1) at bilang isang resulta makakakuha kami ng 0 kung ang mga kumplikadong conjugates ay hindi ginamit. Samakatuwid, gamit ang pinabuting pormula, nakukuha namin

Ang module ay tinukoy bilang mga sumusunod:

Stereometry

Ang isang makabuluhang generalization ng Pythagorean teorem para sa three-dimensional na puwang ay ang teorema de Gua, na pinangalanan matapos ang J.-P. de Gua: kung ang tetrahedron ay may tamang anggulo (tulad ng sa isang kubo), kung gayon ang parisukat ng lugar ng mukha na nakahiga sa tapat ng tamang anggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga lugar ng iba pang tatlong mukha. Ang konklusyon na ito ay maaaring ibubuod bilang " n-dimensional teytor Pythagorean ":

Ang teyema ng Pythagorean sa three-dimensional space ay nagkokonekta sa diagonal AD na may tatlong panig.

Ang isa pang generalization: Ang teyema ng Pythagorean ay maaaring mailapat sa stereometry sa sumusunod na form. Isaalang-alang ang isang hugis-parihaba na parallelepiped tulad ng ipinapakita sa figure. Hahanapin natin ang haba ng diagonal BD ng teorema ng Pythagorean:

kung saan ang tatlong panig ay bumubuo ng isang tamang-anggulo na tatsulok. Ginagamit namin ang pahalang dayagonal BD at ang vertical na gilid ng AB upang mahanap ang haba ng dayagonal AD, para sa muli naming ginagamit ang teorema ng Pythagorean:

o, kung ang lahat ay nakasulat sa isang equation:

Ang resulta na ito ay isang ekspresyong 3D para sa pagtukoy ng laki ng isang vector v (dayagonal AD) na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga patayo na bahagi nito ( v k) (tatlong magkatulad na magkabilang panig):

Ang equation na ito ay maaaring matingnan bilang isang generalization ng Pythagorean theorem para sa multidimensional space. Gayunpaman, ang resulta ay sa katunayan ay hindi hihigit sa isang paulit-ulit na aplikasyon ng teyema ng Pythagorean sa isang pagkakasunud-sunod ng mga kanan na mga tatsulok sa sunud-sunod na mga planong patayo.

Vector space

Sa kaso ng isang orthogonal system ng mga vectors, ang pagkakapantay-pantay ay humahawak, na tinatawag ding Pythagorean theorem:

Kung ang projection ng vector sa coordinate axes, kung gayon ang pormula na ito ay nagkakasabay sa distansya ng Euclidean - at nangangahulugan na ang haba ng vector ay katumbas ng parisukat na ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng mga bahagi nito.

Ang isang pagkakatulad ng pagkakapantay-pantay na ito sa kaso ng isang walang katapusang sistema ng mga vectors ay tinatawag na pagkakapantay-pantay ng Parseval.

Ang geometry na di-euclidean

Ang teyema ng Pythagorean ay nagmula sa mga axioms ng Euclidean geometry at, sa katunayan, ay hindi wasto para sa non-Euclidean geometry, sa form na kung saan ito ay nakasulat sa itaas. (Iyon ay, ang teorema ng Pythagorean ay lumilitaw na isang uri na katumbas ng poste ng paralelismo ni Euclid) Sa madaling salita, sa non-Euclidean geometry, ang ratio sa pagitan ng mga panig ng isang tatsulok ay kinakailangang nasa isang anyo na naiiba sa teorema ng Pythagorean. Halimbawa, sa spherical geometry, ang lahat ng tatlong panig ng isang kanang-anggulo na tatsulok (sabihin a, b at c), na nililimitahan ang octant (ikawalong bahagi) ng yunit ng yunit, ay may haba π / 2, na sumasalungat sa teorema ng Pythagorean, sapagkat a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Isaalang-alang dito ang dalawang mga kaso ng non-Euclidean geometry - spherical at hyperbolic geometry; sa parehong mga kaso, tulad ng sa puwang ng Euclidean para sa mga tatsulok na may anggulo, ang resulta na pumapalit sa Pythagorean teorema ay sumusunod mula sa teorema ng kosine.

Gayunpaman, ang teyema ng Pythagorean ay mananatiling may bisa para sa hyperbolic at elliptic geometry, kung ang kahilingan para sa hugis-parihaba ng tatsulok ay mapalitan ng kondisyon na ang kabuuan ng dalawang mga anggulo ng tatsulok ay dapat na katumbas ng pangatlo, sabihin A+B = C... Kung gayon ang ratio sa pagitan ng mga panig ay ganito: ang kabuuan ng mga lugar ng mga lupon na may mga diametro a at b katumbas ng lugar ng isang bilog na may diameter c.

Spherical geometry

Para sa anumang naaangkop na tatsulok sa isang globo ng radius R (halimbawa, kung ang anggulo γ sa isang tatsulok ay isang tuwid na linya) na may mga panig a, b, c ang relasyon sa pagitan ng mga partido ay magiging ganito:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring makuha bilang isang espesyal na kaso ng spherical cosine teorem, na totoo para sa lahat ng spherical triangles:

kung saan ang cosh ay ang hyperbolic cosine. Ang pormula na ito ay isang espesyal na kaso ng hyperbolic cosine teorem, na may bisa para sa lahat ng mga tatsulok:

kung saan γ ang anggulo na ang vertex ay kabaligtaran sa gilid c.

saan g ij ay tinatawag na isang metric tensor. Maaari itong maging isang function ng posisyon. Ang nasabing mga puwang ng curvilinear ay kasama ang Riemannian geometry bilang isang pangkalahatang halimbawa. Ang pagbabalangkas na ito ay angkop din para sa puwang ng Euclidean kapag gumagamit ng mga coordinate ng curvilinear. Halimbawa, para sa mga coordinate ng polar:

Vector produkto

Ang Pythagorean teorem ay nag-uugnay sa dalawang expression para sa kadakilaan ng isang produkto ng vector. Ang isang diskarte sa pagtukoy ng isang produkto ng krus ay nangangailangan na masisiyahan ang equation:

ang formula na ito ay gumagamit ng tuldok. Ang kanang bahagi ng equation ay tinatawag na Gram determinant para sa a at b, na kung saan ay katumbas ng lugar ng paralelogram na nabuo ng dalawang vectors na ito. Batay sa iniaatas na ito, pati na rin ang kinakailangan para sa patayo ng produkto ng vector sa mga bahagi nito a at b sumusunod ito na, maliban sa mga kaso ng walang kabuluhan mula sa 0- at 1-dimensional na puwang, ang produkto ng vector ay tinukoy lamang sa tatlo at pitong sukat. Ginagamit namin ang kahulugan ng anggulo sa n-dimensional space:

ang pag-aari ng produktong vector na ito ay nagbibigay ng halaga sa sumusunod na form:

Sa pamamagitan ng pangunahing identidad ng trigonometric ng Pythagoras, nakakakuha kami ng isa pang anyo ng pagrekord ng halaga nito:

Ang isang alternatibong diskarte sa pagtukoy ng isang produkto ng krus ay gumagamit ng isang expression para sa kadakilaan nito. Pagkatapos, nagtalo sa kabaligtaran na pagkakasunud-sunod, nakakakuha kami ng isang koneksyon sa produkto ng tuldok:

Tingnan din

Mga Tala

1. Paksa ng kasaysayan: teyema ng Pythagoras sa matematika ng Babilonya
2. (, P. 351) P. 351
3. (, Vol I, p. 144)
4. Ang isang talakayan ng mga katotohanan sa kasaysayan ay ibinigay sa (, p. 351) p. 351
5. Kurt Von Fritz (Abr. 1945). "Ang Discovery of Incommensurability ni Hippasus ng Metapontum". Ang Annals ng Matematika, Pangalawang Serye (Annals ng Matematika) 46 (2): 242–264.
6. Si Lewis Carroll, "Isang Kwento sa Mga Knots", M., Mir, 1985, p. 7
7. Asger aaboe Mga Episod mula sa unang kasaysayan ng matematika. - Association ng Matematika ng Amerika, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Panukalang Pythagorean, ni Elisha Scott Loomis
9. Euclid's Mga elemento: Aklat VI, Panukala VI 31: "Sa mga kanang tatsulok na ang figure sa gilid na sumusuko sa tamang anggulo ay pantay sa pareho at katulad na inilarawan na mga figure sa mga panig na naglalaman ng tamang anggulo."
10. Lawrence S. Leff binanggit na trabaho ... - Barron's Educational Series - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard whitley eves §4.8: ... pangkalahatang pangkalahatang teorema ng Pythagorean // Mahusay na sandali sa matematika (bago ang 1650). - Association ng Matematika ng Amerika, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Si Tâbit ibn Qorra (buong pangalan na Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) ay isang manggagamot na naninirahan sa Baghdad na sumulat nang malawak sa Mga Elemento ng Euclid at iba pang mga paksang matematika.
13. Aydin Sayili (Mar. 1960). "Thâbit ibn Qurra" s Generalization of the Pythagorean Theorem. " Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086 / 348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Mag-ehersisyo 2.10 (ii) // Nabanggit na gawa. - P. 62. - ISBN 0821844032
15. Para sa mga detalye ng naturang konstruksiyon, tingnan George jennings Larawan 1.32: Ang pangkalahatang teorema ng Pythagorean // Modern geometry na may mga aplikasyon: na may 150 figure. - Ika-3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Item C: Karaniwan para sa isang di-makatwirang n-Tuple ... // Isang panimula sa pagsusuri. - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Tingnan din ang mga pahina 47-50.
17. Alfred Grey, Elsa Abbena, Simon Salamon Ang modernong kaugalian geometry ng mga curves at ibabaw na may Mathematica. - Ika-3. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Pagsusuri ng Matrix. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking binanggit na trabaho ... - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein CRC maigsi encyclopedia ng matematika. - Ika-2. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss

Sa isang bagay, maaari kang maging isang daang porsyento na sigurado na kapag tinanong kung ano ang parisukat ng hypotenuse, ang anumang may sapat na gulang ay matapang na sasagot: "Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti." Ang teorema na ito ay matatag na nakaugat sa isipan ng bawat taong may pinag-aralan, ngunit sapat na upang hilingin sa isang tao na mapatunayan ito, at pagkatapos ay maaaring lumitaw ang mga paghihirap. Samakatuwid, tandaan at isaalang-alang natin ang iba't ibang mga paraan ng pagpapatunay sa teorema ng Pythagorean.

Maikling pangkalahatang pangkalahatang-ideya ng talambuhay

Ang teyem ng Pythagorean ay pamilyar sa halos lahat, ngunit sa ilang kadahilanan ang talambuhay ng taong nagbigay nito ay hindi napakapopular. Ito ay naaayos. Samakatuwid, bago pag-aralan ang iba't ibang mga paraan ng pagpapatunay sa teorema ng Pythagorean, kailangan mong makilala nang maiksi ang kanyang pagkatao.

Si Pythagoras ay isang pilosopo, matematiko, nag-iisip na nagmula sa Ngayon napakahirap makilala ang kanyang talambuhay mula sa mga alamat na nabuo sa memorya ng dakilang tao na ito. Ngunit tulad ng sumusunod mula sa mga akda ng kanyang mga tagasunod, si Pythagoras ng Samos ay ipinanganak sa isla ng Samos. Ang kanyang ama ay isang ordinaryong pamutol ng bato, ngunit ang kanyang ina ay nagmula sa isang marangal na pamilya.

Ayon sa alamat, ang kapanganakan ni Pythagoras ay hinuhulaan ng isang babaeng nagngangalang Pythia, kung saan pinangalanan ang batang lalaki. Ayon sa kanyang hula, ang isang ipinanganak na batang lalaki ay dapat na nagdala ng maraming mga pakinabang at kabutihan sa sangkatauhan. Kung alin talaga ang ginawa niya.

Ang kapanganakan ng teorema

Sa kanyang kabataan, si Pythagoras ay lumipat sa Egypt upang makatagpo roon ng mga kilalang Egypt. Matapos makipagpulong sa kanila, tinanggap siyang mag-aral, kung saan nalaman niya ang lahat ng magagandang tagumpay ng pilosopiya, matematika at gamot.

Marahil, sa Egypt na ang Pythagoras ay binigyang inspirasyon ng kamahalan at kagandahan ng mga pyramid at nilikha ang kanyang mahusay na teorya. Maaari itong mabigla ng mga mambabasa, ngunit naniniwala ang mga modernong istoryador na hindi napatunayan ng Pythagoras ang kanyang teorya. Ipinasa lamang niya ang kanyang kaalaman sa kanyang mga tagasunod, na kalaunan nakumpleto ang lahat ng kinakailangang mga kalkulasyon sa matematika.

Maging tulad ng maaari nito, ngayon hindi isang paraan ng pagpapatunay ng teorema na ito ay kilala, ngunit maraming nang sabay-sabay. Ngayon maaari lamang nating hulaan kung gaano eksaktong eksaktong ginawa ng mga sinaunang Griyego ang kanilang mga kalkulasyon, kaya dito isasaalang-alang namin ang iba't ibang mga paraan ng pagpapatunay sa teoryang Pythagorean.

Teyema ng Pythagorean

Bago simulan ang anumang mga kalkulasyon, kailangan mong malaman kung aling teorya ang mapatunayan. Ang teorema ng Pythagorean ay nagbabasa ng mga sumusunod: "Sa isang tatsulok, kung saan ang isa sa mga anggulo ay 90 °, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse."

Sa kabuuan, mayroong 15 iba't ibang mga paraan upang mapatunayan ang teyema ng Pythagorean. Ito ay isang medyo malaking pigura, kaya't bigyang-pansin natin ang pinakasikat.

Paraan ng isa

Una, tukuyin natin kung ano ang ibinigay sa atin. Ang mga data na ito ay ilalapat sa iba pang mga pamamaraan ng pagpapatunay sa teorema ng Pythagorean, kaya dapat mong tandaan agad ang lahat ng magagamit na notasyon.

Sabihin natin na isang tamang-anggulo na tatsulok ay ibinibigay, na may mga binti a, b at isang hypotenuse na katumbas ng c. Ang unang paraan ng patunay ay batay sa katotohanan na kailangan mong gumuhit ng isang parisukat mula sa isang kanang anggulo na may kanan.

Upang gawin ito, kailangan mong gumuhit ng isang segment na katumbas ng binti b sa binti ng haba a, at kabaliktaran. Dapat itong lumikha ng dalawang pantay na panig ng parisukat. Ito ay nananatiling lamang upang gumuhit ng dalawang magkatulad na linya, at ang parisukat ay handa na.

Sa loob ng nagresultang pigura, kailangan mong gumuhit ng isa pang parisukat na may isang gilid na katumbas ng hypotenuse ng orihinal na tatsulok. Upang gawin ito, mula sa mga vertices ac at sv, kailangan mong gumuhit ng dalawang magkaparehong mga segment na katumbas ng c. Sa gayon, nakakakuha kami ng tatlong panig ng parisukat, ang isa sa kung saan ay ang hypotenuse ng orihinal na kanang-anggulo na tatsulok. Ito ay nananatili lamang upang matapos ang ika-apat na segment.

Batay sa nagresultang pigura, maaari nating tapusin na ang lugar ng panlabas na parisukat ay (a + b) 2. Kung titingnan mo sa loob ng figure, maaari mong makita na bilang karagdagan sa panloob na parisukat, naglalaman ito ng apat na kanang anggulo na may sukat. Ang lugar ng bawat isa ay 0.5 av.

Samakatuwid, ang lugar ay pantay sa: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Samakatuwid (a + b) 2 \u003d 2ab + c 2

At samakatuwid c 2 \u003d a 2 + b 2

Ang teorem ay napatunayan.

Paraan ng dalawa: magkatulad na tatsulok

Ang formula na ito para sa patunay ng teorema ng Pythagorean ay nagmula sa batayan ng isang pahayag mula sa seksyon ng geometry tungkol sa magkatulad na mga tatsulok. Sinabi nito na ang binti ng isang tamang-anggulo na tatsulok ay proporsyonal na average para sa hypotenuse nito at ang segment ng hypotenuse na nagmula sa pag-ukit ng anggulo ng 90 °.

Ang unang data ay mananatiling pareho, kaya't magsimula kaagad sa patunay. Gumuhit tayo ng isang segment ng SD patayo sa gilid na AB. Batay sa pahayag sa itaas, ang mga binti ng tatsulok ay:

AC \u003d √AB * HELL, SV \u003d √AB * DV.

Upang masagot ang tanong kung paano patunayan ang teorema ng Pythagorean, ang patunay ay dapat makumpleto sa pamamagitan ng pag-squaring ng parehong mga hindi pagkakapantay-pantay.

AC 2 \u003d AB * HELL at SV 2 \u003d AB * DV

Ngayon kailangan mong magdagdag ng mga nagreresulta na hindi pagkakapantay-pantay.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (HELL * DV), kung saan ang HELL + DV \u003d AB

Ito ay:

AC 2 + SV 2 \u003d AB * AB

At samakatuwid:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Ang patunay ng Pythagorean teorem at iba't ibang mga paraan upang malutas ito ay nangangailangan ng maraming nalalaman na diskarte sa problemang ito. Gayunpaman, ang pagpipiliang ito ay isa sa pinakasimpleng.

Ang isa pang pamamaraan sa pagkalkula

Ang paglalarawan ng iba't ibang mga pamamaraan ng nagpapatunay sa teorema ng Pythagorean ay maaaring hindi sabihin kahit ano, hanggang sa magsimula kang mag-ensayo sa iyong sarili. Maraming mga pamamaraan ang nagsasangkot hindi lamang mga kalkulasyon sa matematika, kundi pati na rin ang pagtatayo ng mga bagong figure mula sa orihinal na tatsulok.

Sa kasong ito, kinakailangan upang makumpleto ang isa pang tamang-anggulo na tatsulok ng VSD mula sa binti ng BC. Kaya, ngayon mayroong dalawang tatsulok na may isang karaniwang leg BC.

Alam na ang mga lugar ng naturang mga numero ay may ratio bilang mga parisukat ng kanilang magkatulad na linear na sukat, kung gayon:

S avd * s 2 - S avd * sa 2 \u003d S avd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) \u003d a 2 * (S abd -S vd)

s 2 -w 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + b 2

Dahil ang pagpipiliang ito ay bahagya na hindi angkop mula sa iba't ibang mga pamamaraan ng pagpapatunay sa Pythagorean theorem para sa grade 8, maaari mong gamitin ang sumusunod na pamamaraan.

Ang pinakamadaling paraan upang patunayan ang teyem ng Pythagorean. Mga Review

Naniniwala ang mga mananalaysay na ang pamamaraang ito ay unang ginamit upang patunayan ang isang teorya pabalik sa sinaunang Greece. Ito ay ang pinakasimpleng isa, dahil hindi ito nangangailangan ng ganap na anumang mga kalkulasyon. Kung iguguhit mo nang tama ang pigura, kung gayon ang patunay ng pahayag na ang isang 2 + sa 2 \u003d c 2 ay malinaw na makikita.

Ang mga kondisyon para sa pamamaraang ito ay magiging bahagyang naiiba mula sa nauna. Upang patunayan ang teorema, ipagpalagay na ang tamang-anggulo na tatsulok na ABC ay mga isosceles.

Kinukuha namin ang AC hypotenuse bilang panig ng parisukat at hinati ang tatlong panig nito. Bilang karagdagan, kailangan mong gumuhit ng dalawang linya ng dayagonal sa nagresultang parisukat. Kaya na sa loob nito mayroong apat na isosceles tatsulok.

Sa mga binti AB at CB, kailangan mo ring gumuhit ng isang parisukat at iguhit ang isang dayagonal na linya sa bawat isa sa kanila. Ang unang linya ay iguguhit mula sa vertex A, ang pangalawa mula sa C.

Ngayon kailangan mong tumingin nang malapit sa nagresultang pagguhit. Dahil mayroong apat na tatsulok na katumbas ng orihinal sa AC hypotenuse, at dalawang tatsulok sa mga binti, ipinapahiwatig nito ang katotohanan ng teorema na ito.

Sa pamamagitan ng paraan, salamat sa pamamaraang ito ng pagpapatunay sa teorema ng Pythagorean, ipinanganak ang sikat na parirala: "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng mga direksyon."

Ang patunay ni J. Garfield

Si James Garfield ay ika-20 Pangulo ng Estados Unidos ng Amerika. Bilang karagdagan sa pag-iwan ng kanyang marka sa kasaysayan bilang tagapamahala ng Estados Unidos, siya rin ay isang taong natatanging nagturo sa sarili.

Sa simula ng kanyang karera, siya ay isang ordinaryong guro sa isang katutubong paaralan, ngunit sa lalong madaling panahon ay naging direktor ng isa sa mga mas mataas na institusyong pang-edukasyon. Ang pagnanais para sa pagpapaunlad ng sarili ay nagpapahintulot sa kanya na magmungkahi ng isang bagong teorya para sa pagpapatunay ng teorema ng Pythagorean. Ang teorema at isang halimbawa ng solusyon nito ay ang mga sumusunod.

Una, kailangan mong gumuhit ng dalawang kanang anggulo ng tatsulok sa isang sheet ng papel upang ang binti ng isa sa kanila ay isang pagpapatuloy ng pangalawa. Ang mga vertice ng mga tatsulok na ito ay dapat na konektado upang makabuo ng isang trapezoid sa dulo.

Tulad ng alam mo, ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahating-kabuuan ng mga base nito at ang taas.

S \u003d a + b / 2 * (a + b)

Kung isasaalang-alang namin ang nagresultang trapezoid bilang isang figure na binubuo ng tatlong tatsulok, pagkatapos ang lugar nito ay matatagpuan bilang mga sumusunod:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2/2

Ngayon ay kailangan mong paghambing sa dalawang orihinal na mga expression

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + b) 2/2

c 2 \u003d a 2 + b 2

Mahigit sa isang dami ng isang aklat-aralin ang maaaring isulat tungkol sa teyema ng Pythagorean at ang mga pamamaraan ng patunay nito. Ngunit makatuwiran ba kung ang kaalamang ito ay hindi mailalapat sa pagsasanay?

Praktikal na aplikasyon ng teyema ng Pythagorean

Sa kasamaang palad, ang mga kurikulum ng modernong paaralan ay nagbibigay para sa paggamit ng teorem na ito lamang sa mga problema sa geometriko. Hindi magtatapos ang mga nagtapos sa mga pader ng paaralan, hindi alam kung paano nila mailalapat ang kanilang kaalaman at kasanayan sa pagsasanay.

Sa katunayan, ang lahat ay maaaring gumamit ng teyema ng Pythagorean sa kanilang pang-araw-araw na buhay. At hindi lamang sa mga propesyonal na aktibidad, kundi pati na rin sa mga ordinaryong gawaing bahay. Isaalang-alang natin ang ilang mga kaso kapag ang teorema ng Pythagorean at mga pamamaraan ng patunay nito ay maaaring kailanganin.

Ang koneksyon sa pagitan ng teorem at astronomy

Tila kung paano maiugnay ang mga bituin at tatsulok sa papel. Sa katunayan, ang astronomiya ay isang larangan na pang-agham na kung saan ang teorema ng Pythagorean ay malawakang ginagamit.

Halimbawa, isaalang-alang ang paggalaw ng isang light beam sa kalawakan. Ito ay kilala na ang ilaw ay gumagalaw sa parehong direksyon sa parehong bilis. Ang trajectory AB, na gumagalaw ang light beam, ay tinawag l. At kalahati ng oras na kinakailangan para sa ilaw upang makakuha mula sa point A hanggang point B, tumawag tayo t... At ang bilis ng beam - c. Ito ay: c * t \u003d l

Kung titingnan mo ang napaka sinag na ito mula sa ibang eroplano, halimbawa, mula sa isang space liner, na gumagalaw na may bilis v, pagkatapos ay may tulad na pagmamasid sa mga katawan na mababago ang kanilang bilis. Sa kasong ito, kahit na mga nakatigil na elemento ay lilipat nang may bilis v sa kabaligtaran.

Sabihin nating ang comic liner ay naglayag sa kanan. Pagkatapos ang mga puntos A at B, sa pagitan ng kung saan ang ray ay ibubuhos, ay lilipat sa kaliwa. Bukod dito, kapag ang beam ay gumagalaw mula sa punto A hanggang point B, point A ay may oras upang ilipat at, nang naaayon, ang ilaw ay darating na sa isang bagong punto C. Upang makahanap ng kalahati ng distansya sa kung aling punto A ay lumipat, kailangan mong dumami ang bilis ng liner sa pamamagitan ng kalahati ng oras ng paglalakbay ng beam (t ").

At upang malaman kung gaano kalayo ang ilaw ng sinag na maaaring maglakbay sa oras na ito, kailangan mong italaga ang kalahati ng landas na may bagong sulat s at makuha ang sumusunod na expression:

Kung iisipin natin na ang mga punto ng ilaw C at B, pati na rin ang space liner ay ang mga vertices ng isang isosceles tatsulok, kung gayon ang segment mula sa punto A hanggang sa liner ay hahatiin ito sa dalawang kanang anggulo. Samakatuwid, salamat sa teorema ng Pythagorean, mahahanap mo ang distansya na maaaring maglakbay ang isang sinag ng ilaw.

Ang halimbawang ito, siyempre, ay hindi ang pinakamatagumpay, dahil kakaunti lamang ang maaaring sapat na masuwerteng subukan ito sa pagsasagawa. Samakatuwid, isasaalang-alang namin ang higit pang makamundo na mga aplikasyon ng teorema na ito.

Radius ng paghahatid ng mobile signal

Ang modernong buhay ay hindi na maiisip kung wala ang pagkakaroon ng mga smartphone. Ngunit mas magagamit ba ang mga ito kung hindi nila maiugnay ang mga tagasuskribi sa pamamagitan ng mga mobile na komunikasyon ?!

Ang kalidad ng mobile na komunikasyon nang direkta ay nakasalalay sa taas ng antena ng mobile operator. Upang makalkula kung gaano kalayo ang telepono ay maaaring makatanggap ng isang senyas mula sa mobile tower, maaari mong ilapat ang Pythagorean theorem.

Sabihin nating kailangan mong hanapin ang tinatayang taas ng isang nakatigil na tore upang maaari itong magpalaganap ng isang senyas sa loob ng isang radius na 200 kilometro.

AB (taas ng tower) \u003d x;

Sasakyang panghimpapawid (radius ng paghahatid ng signal) \u003d 200 km;

OS (radius ng mundo) \u003d 6380 km;

OB \u003d OA + ABOV \u003d r + x

Paglalapat ng teorema ng Pythagorean, nalaman namin na ang minimum na taas ng tower ay dapat na 2.3 na kilometro.

Ang teyem ng Pythagorean sa pang-araw-araw na buhay

Ang kakatwa, ang teorema ng Pythagorean ay maaaring maging kapaki-pakinabang kahit sa pang-araw-araw na bagay, tulad ng pagtukoy sa taas ng isang aparador, halimbawa. Sa unang sulyap, hindi na kailangang gumamit ng nasabing kumplikadong mga kalkulasyon, dahil maaari mo lamang gawin ang mga sukat gamit ang isang panukalang tape. Ngunit marami ang nagulat kung bakit ang ilang mga problema ay lumitaw sa proseso ng pagpupulong, kung ang lahat ng mga sukat ay kinuha nang higit sa tumpak.

Ang katotohanan ay ang wardrobe ay tipunin sa isang pahalang na posisyon at pagkatapos lamang ito ay bumangon at mai-install laban sa dingding. Samakatuwid, ang panig ng gabinete sa proseso ng pag-angat ng istraktura ay dapat na malaya na pumasa sa parehong taas at pahilis ng silid.

Ipagpalagay na mayroon kang isang aparador na may lalim na 800 mm. Distansya mula sa sahig hanggang kisame - 2600 mm. Sasabihin sa iyo ng isang nakaranasang tagagawa ng muwebles na ang taas ng gabinete ay dapat na 126 mm mas mababa kaysa sa taas ng silid. Ngunit bakit eksaktong 126 mm? Tingnan natin ang isang halimbawa.

Sa pamamagitan ng perpektong sukat ng gabinete, susuriin namin ang pagkilos ng teorema ng Pythagorean:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - nagkokonekta ang lahat.

Sabihin nating ang taas ng gabinete ay hindi 2474 mm, ngunit 2505 mm. Pagkatapos:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Samakatuwid, ang gabinete na ito ay hindi angkop para sa pag-install sa silid na ito. Dahil ang pag-angat nito sa isang patayong posisyon ay maaaring makapinsala sa katawan nito.

Marahil, na isinasaalang-alang ang iba't ibang mga paraan ng pagpapatunay sa teyema ng Pythagorean ng iba't ibang mga siyentipiko, maaari nating tapusin na ito ay higit pa sa totoo. Ngayon ay maaari mong gamitin ang impormasyong natanggap sa iyong pang-araw-araw na buhay at siguraduhin na ang lahat ng mga kalkulasyon ay hindi lamang magiging kapaki-pakinabang, ngunit tama din.

Ang isang animated na patunay ng Pythagorean teorem ay isa sa pangunahing theorems ng Euclidean geometry, na itinatag ang ugnayan sa pagitan ng mga panig ng isang kanang-anggulo na tatsulok. Ito ay pinaniniwalaan na ito ay napatunayan ng matematika na matematika Pythagoras, pagkatapos kung kanino ito ay pinangalanan (mayroong iba pang mga bersyon, lalo na, isang alternatibong opinyon na ang teorema na ito sa pangkalahatang anyo ay nabuo ng Pythagorean matematika Hippasus).
Sinasabi ng teoryang:

Sa isang patong na anggulo ng kanang, ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti.

Ang pagtanggi sa haba ng hypotenuse ng tatsulok c, at ang haba ng mga binti bilang a at b, nakukuha namin ang sumusunod na pormula:

Kaya, ang teorema ng Pythagorean ay nagtatatag ng isang ugnayan na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang panig ng isang kanang tatsulok, na nalalaman ang haba ng iba pang dalawa. Ang teyema ng Pythagorean ay isang espesyal na kaso ng kosine teorem, na tumutukoy sa ratio sa pagitan ng mga panig ng isang di-makatwirang tatsulok.
Ang salungat na pahayag ay napatunayan din (tinatawag ding kabaligtaran na Pythagorean theorem):

Para sa anumang tatlong positibong numero a, b at c tulad na a? + b? \u003d c?, mayroong isang tamang-anggulo na tatsulok na may mga binti a at b at hypotenuse c.

Visual na katibayan para sa tatsulok (3, 4, 5) mula sa aklat na "Chu Pei" 500-200 BC. Ang kasaysayan ng teorema ay maaaring nahahati sa apat na bahagi: kaalaman tungkol sa mga numero ng Pythagorean, kaalaman tungkol sa ratio ng mga panig sa isang tamang tatsulok, kaalaman tungkol sa ratio ng mga katabing anggulo, at ang patunay ng teorema.
Mga istrukturang Megalithic bandang 2500 BC sa Egypt at Hilagang Europa, naglalaman ng mga kanang tatsulok na may mga gilid ng mga integer. Ang hypelhesize ni Bartel Leendert van der Waerden na sa mga panahong iyon ay ang mga numero ng Pythagorean ay natagpuan algebraically.
Nakasulat sa pagitan ng 2000 at 1876 BC papiro ng kaharian ng Gitnang Egypt Berlin 6619 naglalaman ng isang problema na ang solusyon ay ang mga numero ng Pythagorean.
Sa panahon ng paghahari ng Hammurabi the Great, ang tablet ng Babilonya Plimpton 322, nakasulat sa pagitan ng 1790 at 1750 BC ay naglalaman ng maraming mga entry na malapit na nauugnay sa mga bilang ng Pythagoras.
Sa mga sutra ng Budhayana, na, ayon sa iba't ibang mga bersyon, ay nagmula sa ikawalong o ikalawang siglo BC. sa India, naglalaman ng mga numero ng Pythagorean na nagmula sa algebraically, ang pagbabalangkas ng teorema ng Pythagorean, at isang patunay na geometric para sa rhinocerosis na tama na tatsulok.
Ang Apastamba sutras (c. 600 BC) ay nagbibigay ng isang bilang ng patunay ng Pythagorean theorem gamit ang mga kalkulasyon sa lugar. Naniniwala si Van der Waerden na ito ay batay sa mga tradisyon ng nauna nito. Ayon kay Albert Burko, ito ay isang orihinal na patunay ng teorema at ipinapalagay niya na binisita ni Pythagoras ang mga Aracon at kinopya ito.
Ang Pythagoras, na ang mga taon ng buhay ay karaniwang ipinahiwatig ng 569 - 475 BC. gumagamit ng mga pamamaraan ng algebraic upang makalkula ang mga numero ng Pythagorean, ayon sa komentaryo ni Proklov sa Euclid. Gayunman, si Proclus ay nabuhay sa pagitan ng 410 at 485 A.D. Ayon kay Thomas Giese, walang indikasyon ng may akda ng teorem sa loob ng limang siglo pagkatapos ng Pythagoras. Gayunpaman, kapag ang mga may-akda tulad ng Plutarch o Cicero ay nagpapakilala sa teorema sa Pythagoras, ginagawa nila ito na kung ang akda ay malawak na kilala at hindi maikakaila.
Sa paligid ng 400 BC Ayon sa Proclus, nagbigay si Plato ng isang paraan para sa pagkalkula ng mga numero ng Pythagorean, pagsasama-sama ng algebra at geometry. Halos 300 BC, sa Mga Simula Euclid, mayroon kaming pinakalumang patunay na axiomatic proof na hanggang ngayon.
Nakasulat sa isang lugar sa pagitan ng 500 BC at 200 BC, ang aklat sa matematika ng Tsino na "Chu Pei" (????), ay nagbibigay ng isang patunay na patunay ng teorema ng Pythagorean, na sa China ay tinawag na teoryang gugu (????), para sa isang tatsulok na may mga panig (3, 4, lima). Sa panahon ng paghahari ng Dinastiyang Han, mula 202 BC bago ang 220 AD Ang mga numero ng Pythagorean ay lilitaw sa Ang Siyam na Seksyon ng Art of Matematika kasama ang pagbanggit ng mga kanang tatsulok na anggulo.
Ang paggamit ng teorem ay unang naitala sa China, kung saan kilala ito bilang teorema ng gugu (????), at sa India, kung saan ito ay kilala bilang teorem ng Baskar.
Napagtatalunan na ang teorema ng Pythagorean ay natuklasan minsan o maraming beses. Naniniwala si Boyer (1991) na ang kaalamang natagpuan sa Shulba Sutra ay maaaring nagmula sa Mesopotamia.
Patunay ng Algebraic
Ang mga parisukat ay nabuo mula sa apat na kanang anggulo na may sukat. Mahigit sa isang daang mga patunay ng Pythagorean theorem ay kilala. Narito ang isang patunay batay sa pagkakaroon ng teorema para sa lugar ng isang pigura:

Maglagay ng apat na magkatulad na magkatulad na mga tatsulok na tulad ng ipinapakita sa larawan.
Quadrangle sa mga panig c ay isang parisukat, dahil ang kabuuan ng dalawang talamak na anggulo, Ang isang hindi nabuksan na anggulo.
Ang lugar ng buong pigura ay, sa isang banda, ang lugar ng isang parisukat na may mga panig na "a + b", at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at isang panloob na parisukat.

Alin ang kailangang mapatunayan.
Sa pamamagitan ng pagkakapareho ng mga tatsulok
Paggamit ng magkakatulad na tatsulok. Hayaan ABC Ay isang tamang-anggulo na tatsulok kung saan ang anggulo C tuwid tulad ng ipinakita. Iguhit natin ang taas mula sa punto C, at tumawag tayo H punto ng intersection AB. Nabuo ang Triangle ACH tulad ng isang tatsulok ABC, dahil pareho silang hugis-parihaba (sa pamamagitan ng kahulugan ng taas) at mayroon silang isang pangkaraniwang anggulo A, malinaw naman ang pangatlong anggulo ay magiging pareho sa mga tatsulok na ito. Katulad ng mirkuyuchy, tatsulok CBH tulad din ng isang tatsulok ABC. Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok: Kung

Maaari itong isulat bilang

Kung idagdag namin ang dalawang pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha namin

HB + c beses AH \u003d c beses (HB + AH) \u003d c ^ 2,! Src \u003d "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" /\u003e

Sa madaling salita, ang teyema ng Pythagorean:

Ang patunay ni Euclid
Ang patunay ng Euclid sa "Element" na Euclidean, ang teorema ng Pythagorean ay pinatunayan ng pamamaraan ng paralelograms. Hayaan A, B, C patayo ng isang tamang tatsulok, tamang anggulo A. I-drop ang patayo mula sa puntong A sa gilid sa tapat ng hypotenuse sa parisukat na itinayo sa hypotenuse. Ang linya ay naghahati sa parisukat sa dalawang parihaba, na ang bawat isa ay may parehong lugar tulad ng mga parisukat na itinayo sa mga binti. Ang pangunahing ideya sa patunay ay ang mga itaas na mga parisukat ay nagiging paralelograms ng parehong lugar, at pagkatapos ay bumalik sila at bumababang mga parihaba sa ibabang parisukat at muli kasama ang parehong lugar.

Iguhit natin ang mga segment CF at AD, nakakakuha kami ng mga tatsulok BCF at BDA.
Mga Corner CAB at BAG - tuwid na mga linya; ayon sa pagkakabanggit C, A at G Ay collinear. Parehas B, A at H.
Mga Corner CBD at FBA - parehong tuwid na linya, pagkatapos ay ang anggulo ABD pantay sa anggulo FBC, dahil pareho ang kabuuan ng isang tamang anggulo at isang anggulo ABC.
Triangle ABD at FBC antas sa magkabilang panig at sulok sa pagitan nila.
Dahil ang mga puntos A, K at L - collinear, ang lugar ng parihaba na BDLK ay katumbas ng dalawang lugar ng tatsulok ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Katulad nito, nakukuha namin MABUTI = ACIH = AC 2
Isang bahagi ng lugar CBDE katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba BDLK at MABUTI, at sa kabilang banda, ang lugar ng plaza BC 2, o AB 2 + AC 2 = BC 2.

Paggamit ng mga pagkakaiba-iba
Paggamit ng mga pagkakaiba-iba. Ang teyem ng Pythagorean ay maaaring makarating sa pamamagitan ng pag-aaral kung paano nakakaapekto ang pakinabang sa panig ng halaga ng hypotenuse tulad ng ipinakita sa figure sa kanan at pag-apply ng isang maliit na pagkalkula.
Bilang isang resulta ng makakuha ng panig isang, ng magkatulad na mga tatsulok para sa mga infinitesimal na pagdagdag

Sa pagsasama nakukuha natin

Kung ang a \u003d 0 noon c = b, kaya ang "palagi" ay b 2. Pagkatapos

Tulad ng nakikita mo, ang mga parisukat ay nakuha dahil sa proporsyon sa pagitan ng mga pagdaragdag at mga panig, habang ang kabuuan ay ang resulta ng independiyenteng kontribusyon ng mga pagdaragdag ng mga panig, hindi halata mula sa katibayan ng geometric. Sa mga equation na ito da at dc - ayon sa pagkakabanggit, walang hanggan maliit na pagdagdag ng mga panig a at c. Ngunit sa halip ginagamit natin? a at? c, pagkatapos ang limitasyon ng ratio kung may posibilidad silang zero ay da / dc, nagmula, at pantay din sa c / isang, ang ratio ng mga haba ng mga gilid ng mga tatsulok, bilang isang resulta nakuha namin ang isang equation na kaugalian.
Sa kaso ng isang orthogonal system ng vectors, ang pagkakapantay-pantay ay humahawak, na tinatawag ding Pythagorean theorem:

Kung - Ito ang projection ng vector sa coordinate axes, kung gayon ang pormula na ito ay nagkakasabay sa distansya ng Euclidean at nangangahulugang ang haba ng vector ay katumbas ng parisukat na ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng mga bahagi nito.
Ang isang pagkakatulad ng pagkakapantay-pantay na ito sa kaso ng isang walang katapusang sistema ng mga vectors ay tinatawag na pagkakapantay-pantay ng Parseval.

Teyema ng Pythagorean

Katibayan

Sa ngayon, 367 na mga patunay ng teoryang ito ay naitala sa pang-agham na panitikan. Ang teyem ng Pythagorean ay marahil ang tanging teorema na may tulad na isang kahanga-hangang bilang ng mga patunay. Ang iba't ibang ito ay maaaring maipaliwanag lamang sa pangunahing pangunahing kahulugan ng teorema para sa geometry.
Siyempre, sa konsepto ang lahat ng mga ito ay maaaring nahahati sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila: mga patunay sa pamamagitan ng pamamaraan ng lugar, axiomatic at exotic proof (halimbawa, gamit ang mga equation ng kaugalian).

Sa pamamagitan ng magkakatulad na mga tatsulok

Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulate ay ang pinakasimpleng ng mga patunay na itinayo nang direkta mula sa mga axioms. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng lugar ng isang pigura.
Hayaan ang ABC ay isang kanang-anggulo na tatsulok na may tamang anggulo C. Iguhit ang taas mula sa C at ipahiwatig ang base nito sa pamamagitan ng H. Triangle ACH ay katulad ng tatsulok na ABC sa dalawang anggulo.
Gayundin, ang tatsulok na CBH ay katulad ng ABC. Ipinapakilala ang notasyon

nakukuha namin

Ano ang katumbas

Pagdaragdag, makakakuha kami

o

Patunay ng mga lugar

Ang mga patunay na ibinigay sa ibaba, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Lahat sila ay gumagamit ng mga katangian ng lugar, ang patunay na kung saan ay mas mahirap kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

Katumbas na patunay na pandagdag

Katibayan sa pamamagitan ng scaling

Ang isang halimbawa ng isa sa mga naturang patunay ay ipinapakita sa pagguhit sa kanan, kung saan ang isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay binago ng permutasyon sa dalawang parisukat na itinayo sa mga binti.

Ang patunay ni Euclid

Patunay ng Leonardo da Vinci

Ang mga pangunahing elemento ng patunay ay simetrya at paggalaw.

Isaalang-alang ang pagguhit, tulad ng makikita mula sa simetrya, ang segment na CI ay pinutol ang parisukat na ABHJ sa dalawang magkatulad na bahagi (dahil ang mga tatsulok na ABC at JHI ay pantay sa konstruksyon). Gamit ang isang 90 degree na counterclockwise rotation, nakikita namin ang pagkakapantay-pantay ng shaded figure na CAJI at GDAB. Ngayon malinaw na ang lugar ng shaded figure ay katumbas ng kabuuan ng mga halves ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti at lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay katumbas sa kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse, kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Ang huling hakbang sa patunay ay naiwan sa mambabasa.

Ang pinaka-kagiliw-giliw na mga patunay ng teyema ng PYTHAGORUS

Ang teyema ng Pythagorean ay isa sa mga pangunahing teorema ng geucetry ng Euclidean, na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng mga panig ng isang kanang-anggulo na tatsulok. c2 \u003d a2 + b2 Maraming paraan upang mapatunayan ang teorema na ito, ngunit pinili namin ang mga pinaka-kagiliw-giliw na mga ...

Upuan ng Nobya Sa figure, ang mga parisukat na itinayo sa mga binti ay inilalagay sa mga hakbang sa tabi ng isa. Ang figure na ito, na matatagpuan sa katibayan na nagsisimula pa noong ika-9 na siglo AD. e., tinawag ng mga Indiano ang "upuan ng ikakasal". Ang paraan ng pagtatayo ng isang parisukat na may isang gilid na katumbas ng hypotenuse ay malinaw mula sa pagguhit. Ang karaniwang bahagi ng dalawang mga parisukat na itinayo sa mga binti at isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay isang hindi regular na shaded pentagon 5. Sa pamamagitan ng pag-abot ng mga tatsulok 1 at 2 dito, nakukuha namin ang parehong mga parisukat na itinayo sa mga binti; kung palitan natin ang mga tatsulok 1 at 2 na may pantay na tatsulok 3 at 4, pagkatapos ay nakakakuha tayo ng isang parisukat na itinayo sa hypotenuse. Ang mga numero sa ibaba ay nagpapakita ng dalawang magkakaibang lokasyon na malapit sa isa na ibinigay sa unang pigura.

Patunay ng matematika ng India na Bhaskari Isaalang-alang ang parisukat na ipinakita sa figure. Ang panig ng parisukat ay katumbas ng b, 4 na orihinal na tatsulok na may mga binti a at c ay superimposed sa parisukat, tulad ng ipinapakita sa figure. Ang gilid ng maliit na parisukat sa gitna ay c - a, pagkatapos: b2 \u003d 4 * a * c / 2 + (ca) 2 \u003d \u003d 2 * a * c + c2 - 2 * a * c + a2 \u003d \u003d a2 + c2

Ang pinakasimpleng patunay ng teorema ng Pythagorean. Isaalang-alang ang parisukat na ipinapakita sa figure. Ang gilid ng parisukat ay isang + c. Sa isang kaso (kaliwa) ang parisukat ay nahahati sa isang parisukat na may gilid b at apat na kanang anggulo na may mga binti a at c. Sa isa pang kaso (sa kanan), ang parisukat ay nahahati sa dalawang mga parisukat na may mga gilid a at c at apat na kanang anggulo na may mga binti a at c. Sa gayon, nalaman namin na ang lugar ng isang parisukat na may gilid b ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na may mga panig a at c.

Patunayan sa pamamagitan ng magkatulad na tatsulok Hayaan ang ABC ay maging isang kanang-anggulo na tatsulok na may tamang anggulo C. Iguhit ang taas mula sa C at ipahiwatig ang base nito sa pamamagitan ng H. Ang Triangle ACH ay katulad ng tatsulok na ABC sa dalawang anggulo. Gayundin, ang tatsulok na CBH ay katulad ng ABC. Ipinakikilala ang notasyon, nakakakuha tayo ng Ano ang katumbas. Pagdaragdag, makukuha natin ang alinman

Patunay ng Hawkins Narito ang isa pang patunay, na kung saan ay isang computational na kalikasan, ngunit ibang-iba mula sa lahat ng nauna. Nai-publish ito ng Englishman Hawkins noong 1909; kung ito ay kilala bago ay mahirap sabihin. Paikutin ang kanang-anggulo na tatsulok na ABC na may tamang anggulo C sa pamamagitan ng 90 ° upang tumagal ito ng posisyon na "CB". Palawakin natin ang hypotenuse A "B" na lampas sa punto A "hanggang sa intersect na linya ng AB sa puntong D. Segment B" D ay magiging taas ng tatsulok B "AB. Isaalang-alang ngayon ang shaded quadrilateral A" AB "B. Maaari itong mabulok sa dalawang isosceles triangles CAA" at CBB "(o dalawang tatsulok na A" B "A at A" B "B). SCAA" \u003d b² / 2 SCBB "\u003d a² / 2 SA" AB "B \u003d (a² + b²) / 2 Triangles A" B " Ang A at A "B" B ay may karaniwang base c at taas ng DA at DB, samakatuwid: SA "AB" B \u003d c * DA / 2 + c * DB / 2 \u003d c (DA + DB) / 2 \u003d c² / 2 Paghahambing dalawang nakuha na mga expression para sa lugar, nakukuha namin: isang ² + b ² \u003d c ² Ang teorema ay napatunayan.

Ang patunay ni Woldheim Ang patunay na ito ay computational sa kalikasan. Upang mapatunayan ang teorya gamit ang unang pigura, sapat na upang maipahayag ang lugar ng trapezoid sa dalawang paraan. Strapeziums ((a + b) ² / 2 Strapeziums \u003d a²b² + c² / 2 Paghahambing sa mga kanang panig na nakukuha natin: a² + b² \u003d c² Ang teorema ay napatunayan.