Sa pamamagitan ng bilang ng modulus Ang bilang na ito mismo ay tinawag, kung ito ay hindi negatibo, o ang parehong numero na may kabaligtaran na pag-sign, kung negatibo ito.

Halimbawa, ang modulus ng 6 ay 6, ang modulus ng -6 ay 6 din.

Iyon ay, ang ganap na halaga ng isang numero ay nauunawaan bilang ang ganap na halaga, ang ganap na halaga ng numerong ito nang hindi isinasaalang-alang ang pag-sign nito.

Ito ay itinalaga bilang: | 6 |, | x|, |at| atbp.

(Para sa higit pang mga detalye, tingnan ang seksyon na "Number module").

Mga equation na may modulus.

Halimbawa 1 ... Malutas ang equation|10 x - 5| = 15.

Desisyon.

Ayon sa panuntunan, ang isang equation ay katumbas ng isang pinagsama ng dalawang equation:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

Nagpapasya kami:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

Sagot: x 1 = 2, x 2 = -1.

Halimbawa 2 ... Malutas ang equation|2 x + 1| = x + 2.

Desisyon.

Dahil ang modulus ay isang hindi negatibong bilang, kung gayon x + 2 ≥ 0. Alinsunod dito:

x ≥ -2.

Sumulat kami ng dalawang equation:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

Nagpapasya kami:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

Ang parehong mga numero ay mas malaki kaysa sa -2. Samakatuwid, pareho ang mga ugat ng equation.

Sagot: x 1 = -1, x 2 = 1.

Halimbawa 3 ... Malutas ang equation

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

Desisyon.

Ang equation ay may katuturan kung ang denominator ay hindi zero - nangangahulugan ito kung x Let's 1. Isaalang-alang natin ang kondisyong ito. Ang aming unang pagkilos ay simple - hindi lamang namin tinanggal ang bahagi, ngunit ibahin ang anyo upang makuha namin ang module sa dalisay na anyo nito:

|x + 3 | - 1 \u003d 4 ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

Ngayon mayroon lamang kaming expression sa ibaba ng module sa kaliwang bahagi ng equation. Pumunta sa.
Ang modulus ng isang numero ay isang hindi negatibong numero - iyon ay, dapat itong maging higit sa o katumbas ng zero. Alinsunod dito, malulutas namin ang hindi pagkakapareho:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

Kaya, mayroon kaming pangalawang kondisyon: ang ugat ng ekwasyon ay dapat na hindi bababa sa 3/4.

Alinsunod sa panuntunan, bumubuo kami ng isang hanay ng dalawang mga equation at lutasin ang mga ito:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

Tumanggap kami ng dalawang tugon. Suriin natin kung sila ang mga ugat ng orihinal na equation.

Mayroon kaming dalawang kundisyon: ang ugat ng ekwasyon ay hindi maaaring pantay sa 1, at dapat itong hindi bababa sa 3/4. I.e x ≠ 1, x ≥ 3/4. Isa lamang sa dalawang natanggap na sagot ang nakakatugon sa parehong mga kundisyong ito - ang bilang 2. Nangangahulugan ito na ito lamang ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot: x = 2.

Mga kawalang-katwiran sa modyul.

Halimbawa 1 ... Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay| x - 3| < 4

Desisyon.

Sinasabi ng patakaran ng module:

|at| = at, kung ang at ≥ 0.

|at| = -at, kung ang at < 0.

Ang module ay maaaring magkaroon ng parehong mga hindi negatibo at negatibong mga numero. Samakatuwid, dapat nating isaalang-alang ang parehong mga kaso: x - 3 ≥ 0 at x - 3 < 0.

1) Kailan x - 3 ≥ 0, ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili tulad nito, kung wala ang modulus sign:
x - 3 < 4.

2) Kailan x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

Pagpapalawak ng mga bracket, nakukuha namin:

-x + 3 < 4.

Kaya, mula sa dalawang kundisyong ito, nakarating kami sa unyon ng dalawang mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

Malutas natin ang mga ito:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

Kaya, nasa aming sagot ang unyon ng dalawang hanay:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

Alamin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga. Ito ang mga -1 at 7. Sa parehong oras x mas malaki kaysa sa -1, ngunit mas mababa sa 7.
Bukod sa, x Hence 3. Samakatuwid, ang solusyon sa hindi pagkakapareho ay ang buong hanay ng mga numero mula -1 hanggang 7, hindi kasama ang mga matinding numero.

Sagot: -1 < x < 7.

O: x ∈ (-1; 7).

Mga pandagdag.

1) May isang mas simple at mas maikling paraan upang malutas ang ating hindi pagkakapantay-pantay - graphical. Upang gawin ito, kailangan mong gumuhit ng isang pahalang na axis (Larawan 1).

Pagpapahayag | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x ang point 3 ay mas mababa sa apat na yunit. Minarkahan namin ang numero 3 sa axis at binibilang ang 4 na mga dibisyon sa kaliwa at kanan mula rito. Sa kaliwa darating tayo sa point -1, sa kanan - hanggang sa punto 7. Sa gayon, mga puntos x nakita lang namin nang hindi kinakalkula ang mga ito.

Bukod dito, ayon sa hindi pagkakapantay-pantay na kondisyon, -1 at 7 ang kanilang sarili ay hindi kasama sa hanay ng mga solusyon. Sa gayon, nakukuha natin ang sagot:

1 < x < 7.

2) Ngunit mayroong isa pang solusyon, na kung saan ay mas simple kahit na grapiko. Upang gawin ito, ang aming hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na kinakatawan sa mga sumusunod na form:

4 < x - 3 < 4.

Sa katunayan, ito ay kung paano ito ayon sa tuntunin ng modyul. Ang di-negatibong bilang 4 at ang katulad na negatibong numero -4 ang mga hangganan para malutas ang hindi pagkakapantay-pantay.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

Halimbawa 2 ... Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay| x - 2| ≥ 5

Desisyon.

Ang halimbawang ito ay makabuluhang naiiba sa nauna. Ang kaliwang bahagi ay higit pa sa 5 o katumbas ng 5. Mula sa isang geometric point of view, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang lahat ng mga numero na nasa layo na 5 yunit o higit pa mula sa punto 2 (Larawan 2). Ipinapakita ng graph na ang lahat ay ang lahat ng mga numero na mas mababa sa o katumbas ng -3 at mas malaki kaysa o katumbas ng 7. Kaya, natanggap na namin ang sagot.

Sagot: -3 ≥ x ≥ 7.

Sa kahabaan ng paraan, malulutas namin ang parehong hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pahintulot sa libreng termino sa kaliwa at sa kanan na may kabaligtaran na pag-sign:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

Ang sagot ay pareho: -3 ≥ x ≥ 7.

O: x ∈ [-3; 7]

Halimbawa nalulutas.

Halimbawa 3 ... Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

Desisyon.

Bilang x maaaring maging positibo, negatibo, o zero. Samakatuwid, kailangan nating isaalang-alang ang lahat ng tatlong mga pangyayari. Tulad ng alam mo, isinasaalang-alang ang mga ito sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay: x ≥ 0 at x < 0. При x ≥ 0 muling isulat namin ang aming orihinal na hindi pagkakapareho tulad nito, kung wala lamang ang modulus sign:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

Ngayon tungkol sa pangalawang kaso: kung x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

Palawakin ang mga bracket:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

Kaya, nakakuha kami ng dalawang mga sistema ng mga equation:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

Kinakailangan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga system - na nangangahulugang, kinakailangan upang mahanap ang mga ugat ng dalawang quadratic equation. Para sa mga ito, pinapantay-pantay namin ang mga kaliwang bahagi ng mga hindi pagkakapareho sa zero.

Magsimula tayo sa una:

6x 2 - x - 2 = 0.

Kung paano nalutas ang equation ng quadratic - tingnan ang seksyon na "Quadratic equation". Agad naming pangalanan ang sagot:

x 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Mula sa unang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, nalaman namin na ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ang buong hanay ng mga numero mula -1/2 hanggang 2/3. Sinusulat namin ang unyon ng mga solusyon para sa x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Ngayon ay malutas natin ang pangalawang kuwadrong equation:

6x 2 + x - 2 = 0.

Ang mga ugat nito:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

Konklusyon: sa x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Pagsamahin natin ang dalawang sagot at makuha ang pangwakas na sagot: ang solusyon ay ang buong hanay ng mga numero mula -2/3 hanggang 2/3, kabilang ang mga matinding numero.

Sagot: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

O: x ∈ [-2/3; 2/3].

Ang mga pamamaraan (mga panuntunan) para sa pagbubunyag ng mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga module ay binubuo sa sunud-sunod na pagsisiwalat ng mga module, habang ginagamit ang mga agwat ng patuloy na pag-andar ng submodular. Sa panghuling bersyon, maraming hindi pagkakapantay-pantay ang nakuha mula sa kung saan ang mga agwat o agwat ay natagpuan na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ng problema.

Magsulong tayo sa paglutas ng mga karaniwang halimbawa sa pagsasanay.

Mga hindi pagkakapantay-pantay na linya na may moduli

Sa pamamagitan ng linear ay nangangahulugang mga equation kung saan ang variable ay pumapasok sa equation nang magkakasunod.

Halimbawa 1. Maghanap ng isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay

Desisyon:
Mula sa kondisyon ng problema ay sumusunod na ang mga module ay lumiliko sa zero sa x \u003d -1 at x \u003d -2. Ang mga puntong ito ay naghati sa bilang ng mga axis sa pagitan

Sa bawat pagitan ng mga ito, malulutas namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, una sa lahat, gumuhit kami ng mga graphical na guhit ng mga lugar na walang pagbabago ng mga pag-andar ng submodular. Ang mga ito ay inilalarawan bilang mga lugar na may mga palatandaan ng bawat isa sa mga pag-andar

o agwat ng mga palatandaan ng lahat ng mga pag-andar.

Sa unang agwat, buksan ang mga module

Pinarami namin ang magkabilang panig sa pamamagitan ng minus one, at ang pag-sign sa hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran. Kung nahihirapan kang masanay sa panuntunang ito, maaari mong ilipat ang bawat isa sa mga bahagi sa pamamagitan ng pag-sign upang mapupuksa ang minus. Sa panghuling bersyon, makakatanggap ka

Ang intersection ng set x\u003e -3 kasama ang lugar kung saan nalutas ang mga equation ay ang agwat (-3; -2). Para sa mga taong mas madaling maghanap ng mga solusyon, maaari mong grapikin ang pagguhit ng intersection ng mga lugar na ito

Ang karaniwang intersection ng mga lugar ang magiging solusyon. Sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang mga gilid ay hindi kasama. Kung hindi mahigpit, suriin sa pamamagitan ng pagpapalit.

Sa pangalawang agwat, nakukuha namin

Ang seksyon ay ang agwat (-2; -5/3). Graphically, ang solusyon ay magiging hitsura

Sa pangatlong agwat, nakukuha namin

Ang kondisyong ito ay hindi nagbibigay ng mga solusyon sa nais na lugar.

Dahil ang dalawang solusyon na natagpuan (-3; -2) at (-2; -5/3) ay hangganan ng puntong x \u003d -2, pagkatapos ay suriin din natin ito.

Kaya ang punto x \u003d -2 ay ang solusyon. Kung isasaalang-alang ito, ang pangkalahatang solusyon ay magmukhang (-3; 5/3).

Halimbawa 2. Maghanap ng isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
| x-2 | - | x-3 |\u003e \u003d | x-4 |

Desisyon:
Ang mga puntos x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4 ay ang mga zero ng mga submodular function. Para sa mga argumento na mas mababa sa mga puntong ito, ang mga pag-andar ng submodular ay negatibo, at para sa mga malalaki, positibo sila.

Hinahati ng mga puntos ang aktwal na axis sa apat na agwat. Pinalawak namin ang mga module ayon sa mga agwat ng pagiging matatag at malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay.

1) Sa unang agwat, ang lahat ng mga pag-andar ng submodule ay negatibo, samakatuwid, kapag pinalawak ang mga module, binago namin ang tanda sa kabaligtaran.

Ang intersection ng mga nahanap na halaga ng x kasama ang itinuturing na agwat ay ang hanay ng mga puntos

2) Sa pagitan ng mga puntos x \u003d 2 at x \u003d 3, ang unang pag-andar ng submodular ay positibo, ang pangalawa at pangatlo ay negatibo. Ang pagpapalawak ng mga module, nakukuha namin

isang hindi pagkakapantay-pantay na, sa interseksyon sa pagitan ng kung saan namin malutas, ay nagbibigay ng isang solusyon - x \u003d 3.

3) Sa pagitan ng mga puntos x \u003d 3 at x \u003d 4, ang una at pangalawang pag-andar ng submodule ay positibo, at ang pangatlo ay negatibo. Batay dito, nakukuha namin

Ipinapakita ng kondisyong ito na ang buong agwat ay masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay ng modulus.

4) Para sa x\u003e 4, ang lahat ng mga pag-andar ay positibo. Kapag nagpapalawak ng mga module, hindi namin binabago ang kanilang pag-sign.

Ang nahanap na kondisyon sa intersection na may agwat ay nagbibigay ng sumusunod na hanay ng mga solusyon

Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa lahat ng mga agwat, nananatili itong makahanap ng karaniwan sa lahat ng natagpuan na mga halaga ng x. Ang solusyon ay dalawang pagitan

Nalulutas ang halimbawang ito.

Halimbawa 3. Maghanap ng isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
|| x-1 | -5 |\u003e 3-2x

Desisyon:
Mayroon kaming isang hindi pagkakapantay-pantay sa modulus ng modulus. Ang ganitong mga hindi pagkakapantay-pantay ay ipinahayag habang ang mga module ay nested, nagsisimula sa mga na matatagpuan mas malalim.

Ang submodule function na x-1 ay nag-convert sa zero sa x \u003d 1. Para sa mas maliit na halaga para sa 1, ito ay negatibo at positibo para sa x\u003e 1. Batay dito, binubuksan namin ang panloob na module at isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay sa bawat pagitan.

Una, isaalang-alang ang agwat mula sa minus infinity hanggang sa isa

Ang submodular function ay pantay sa zero sa puntong x \u003d -4. Sa mas mababang mga halaga ito ay positibo, sa mas mataas na halaga ay negatibo ito. Palawakin ang modyul para sa x<-4:

Sa intersection kasama ang domain kung saan isinasaalang-alang namin nakuha namin ang hanay ng mga solusyon

Ang susunod na hakbang ay upang buksan ang module sa agwat (-4; 1)

Isinasaalang-alang ang lugar ng pagsisiwalat ng module, nakuha namin ang agwat ng solusyon

TANDAAN: kung nakakuha ka ng dalawang agwat na naghahatid sa isang karaniwang punto sa naturang mga iregularidad na may mga module, kung gayon, bilang isang patakaran, ito rin ay isang solusyon.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang suriin.

Sa kasong ito, kapalit ng point x \u003d -4.

Kaya ang x \u003d -4 ay ang solusyon.
Buksan natin ang panloob na module para sa x\u003e 1

Ang negatibong pagpapaandar na negatibo para sa x<6.
Pagpapalawak ng modyul, nakukuha namin

Ang kundisyong ito sa seksyon na may agwat (1; 6) ay nagbibigay ng isang walang laman na hanay ng mga solusyon.

Para sa x\u003e 6 nakukuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay

Gayundin, ang paglutas ay nakakuha ng isang walang laman na hanay.
Isinasaalang-alang ang lahat ng nasa itaas, ang tanging solusyon sa hindi pagkakapareho sa moduli ay ang sumusunod na agwat.

Mga kawalang-katwiran na may mga Module na Naglalaman ng mga Katumbas na Quadratic

Halimbawa 4. Maghanap ng isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
| x ^ 2 + 3x |\u003e \u003d 2-x ^ 2

Desisyon:
Ang pagpapaandar ng submodule ay nawawala sa mga puntos na x \u003d 0, x \u003d -3. Simpleng kapalit para sa mga minus

itinatag namin na ito ay mas mababa sa zero sa agwat (-3; 0) at positibo sa labas nito.
Palakihin natin ang modyul sa mga lugar kung saan positibo ang pag-andar ng submodular

Ito ay nananatiling upang matukoy ang mga lugar kung saan positibo ang square function. Upang gawin ito, natutukoy namin ang mga ugat ng equation ng quadratic

Para sa kaginhawahan, pinalitan namin ang punto x \u003d 0, na kabilang sa agwat (-2; 1/2). Ang pag-andar ay negatibo sa agwat na ito, na nangangahulugang ang mga sumusunod na set x

Dito, ipinapahiwatig ng mga bracket ang mga gilid ng mga lugar na may mga solusyon, ginagawa itong sinasadya, na isinasaalang-alang ang sumusunod na panuntunan.

TANDAAN: Kung ang hindi pagkakapantay-pantay na may mga module, o isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon ang mga gilid ng mga natagpuan na lugar ay hindi mga solusyon, kung ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit (), kung gayon ang mga gilid ay mga solusyon (na ipinapahiwatig ng mga square bracket).

Ang panuntunang ito ay ginagamit ng maraming guro: kung ang isang mahigpit na hindi pagkakapareho ay tinukoy, at sumulat ka ng isang parisukat na bracket ([,]) sa solusyon sa panahon ng mga kalkulasyon, awtomatiko nila itong mabibilang bilang isang hindi tamang sagot. Gayundin, kapag ang pagsubok, kung ang isang hindi mahigpit na pagkakapareho sa mga module ay tinukoy, pagkatapos ay sa mga solusyon, maghanap ng mga lugar na may mga square bracket.

Sa agwat (-3; 0), pagbubukas ng modyul, baguhin ang tanda ng pagpapaandar sa kabaligtaran

Isinasaalang-alang ang lugar ng pagsisiwalat ng hindi pagkakapantay-pantay, ang solusyon ay magkakaroon ng form

Kasama ang nakaraang lugar, magbibigay ito ng dalawang kalahating agwat

Halimbawa 5. Maghanap ng isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
9x ^ 2- | x-3 |\u003e \u003d 9x-2

Desisyon:
Ang isang maluwag na hindi pagkakapareho ay ibinibigay, ang pagpapaandar ng submodule na kung saan ay katumbas ng zero sa puntong x \u003d 3. Sa mas mababang mga halaga, negatibo ito, sa mas mataas na halaga, ito ay positibo. Palawakin ang module sa agwat x<3.

Hanapin ang discriminant ng equation

at mga ugat

Pagsusulat ng point zero, nalaman namin na ang pag-andar ng quadratic ay negatibo sa agwat [-1/9; 1], samakatuwid ang agwat ay isang solusyon. Susunod, palawakin ang module para sa x\u003e 3

Ang online na calculator ng matematika na ito ay makakatulong sa iyo lutasin ang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa moduli... Program para sa solusyon ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa moduli hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ibinibigay detalyadong solusyon sa mga paliwanag, i.e. ipinapakita ang proseso ng pagkuha ng resulta.

Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga matatandang mag-aaral ng sekundaryong paaralan bilang paghahanda para sa mga pagsubok at pagsusulit, kapag sinuri ang kaalaman bago ang pagsusulit, para kontrolin ng mga magulang ang solusyon ng maraming mga problema sa matematika at algebra. O marahil ito ay masyadong mahal para sa iyo na mag-upa ng isang tutor o bumili ng mga bagong libro? O nais mo bang gawin ang iyong araling-aralin sa matematika o algebra na gawin nang mabilis hangga't maaari? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may isang detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari mong isagawa ang iyong sariling pagtuturo at / o ang turo ng iyong mga nakababatang kapatid, habang ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga problemang nalulutas ay nadaragdagan.

Ipasok ang Pagkakapantay-pantay o Kakayahan sa Mga Module

Natagpuan na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at maaaring hindi gumana ang programa.
Marahil ay pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Dahil Maraming mga tao na gustong malutas ang problema, nakapila ang iyong kahilingan.
Matapos ang ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec ...

kung ikaw napansin ng isang error sa pagpapasya, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan tukuyin kung anong gawain magpasya ka at ano pumasok sa bukid.

Ang aming mga laro, puzzle, emulators:

Isang kaunting teorya.

Pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay na may moduli

Sa kurso ng algebra ng pangunahing paaralan, maaari mong makatagpo ang pinakasimpleng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga module. Upang malutas ang mga ito, maaari kang mag-aplay ng isang geometric na pamamaraan batay sa katotohanan na ang \\ (| x-a | \\) ay ang distansya sa linya ng numero sa pagitan ng mga puntos x at a: \\ (| x-a | \u003d \\ rho (x; \\; a) \\). Halimbawa, upang malutas ang equation \\ (| x-3 | \u003d 2 \\), kailangan mong maghanap ng mga puntos sa linya ng numero na nasa layo na 2 mula sa punto 3. Mayroong dalawang ganoong puntos: \\ (x_1 \u003d 1 \\) at \\ (x_2 \u003d 5 \\) ...

Paglutas ng hindi pagkakapareho \\ (| 2x + 7 |

Ngunit ang pangunahing paraan upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay nauugnay sa tinatawag na "pagpapalawak ng module sa pamamagitan ng kahulugan":
kung \\ (a \\ geq 0 \\), pagkatapos ay \\ (| a | \u003d a \\);
kung \\ (a Bilang isang patakaran, ang isang equation (hindi pagkakapantay-pantay) na may moduli ay nabawasan sa isang hanay ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay) na hindi naglalaman ng modulus sign.

Bilang karagdagan sa kahulugan na ito, ang mga sumusunod na pahayag ay ginagamit:
1) Kung ang \\ (c\u003e 0 \\), kung gayon ang equation \\ (| f (x) | \u003d c \\) ay katumbas ng isang hanay ng mga equation: \\ (\\ left [\\ start (array) (l) f (x) \u003d c \\\\ 2) Kung ang \\ (c\u003e 0 \\), kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay \\ (| f (x) | 3) Kung \\ (c \\ geq 0 \\), kung gayon ang hindi pagkakapareho \\ (| f (x) |\u003e c \\) ay katumbas ng hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay : \\ (\\ kaliwa [\\ magsimula (array) (l) f (x) c \\ end (array) \\ pakanan. \\)
4) Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapareho \\ (f (x)
HALIMBAWA 1. Malutas ang equation \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\). Kung ang \\ (x-1 \\ geq 0 \\), pagkatapos ay \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) at ang ibinigay na equation ay kukuha ng form

\\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\).
Kung \\ (x-1 \\ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 -2x -4 \u003d 0 \\).
Kaya, ang ibinigay na equation ay dapat isaalang-alang nang hiwalay sa bawat isa sa dalawang mga ipinahiwatig na kaso.
1) Hayaan ang \\ (x-1 \\ geq 0 \\), i.e. \\ (x \\ geq 1 \\). Mula sa equation \\ (x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) nahanap namin \\ (x_1 \u003d 2, \\; x_2 \u003d -4 \\). Ang kundisyon \\ (x \\ geq 1 \\) ay nasiyahan lamang sa halaga \\ (x_1 \u003d 2 \\).
2) Hayaan \\ (x-1 Sagot: \\ (2; \\; \\; 1- \\ sqrt (5) \\)
HALIMBAWA 2. Malutas ang equation \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\).

Ang unang paraan

(pagpapalawak ng module ayon sa kahulugan). Pag-uusap tulad ng halimbawa 1, nakarating kami sa konklusyon na ang ibinigay na equation ay dapat isaalang-alang nang hiwalay kung ang dalawang kondisyon ay natutugunan: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) o \\ (x ^ 2-6x + 7
1) Kung \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\), pagkatapos ay \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) at ang ibinigay na equation ay nagiging ((x ^ 2) -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ Rightarrow 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\). Ang paglutas ng katumbas na parisukat na ito, nakukuha namin: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\).

Alamin natin kung ang halaga \\ (x_1 \u003d 6 \\) ay nasiyahan sa kondisyon \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\). Upang gawin ito, pinalitan namin ang tinukoy na halaga sa hindi pagkakapareho sa parisukat. Nakukuha namin: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), i.e. Ang \\ (7 \\ geq 0 \\) ay isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang \\ (x_1 \u003d 6 \\) ay ang ugat ng ibinigay na equation.
Alamin natin kung ang halaga \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) ay nasiyahan sa kondisyon \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\). Upang gawin ito, pinalitan namin ang tinukoy na halaga sa hindi pagkakapareho sa parisukat. Nakuha namin: \\ (\\ kaliwa (\\ frac (5) (3) \\ kanan) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), i.e. \\ (\\ frac (25) (9) -3 \\ geq 0 \\) - hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) ay hindi isang ugat ng ibinigay na equation.
2) Kung ang \\ (x ^ 2-6x + 7 Halaga \\ (x_3 \u003d 3 \\) ay nasiyahan sa kondisyon \\ (x ^ 2-6x + 7 Halaga \\ (x_4 \u003d \\ frac (4) (3) \\) ay hindi nasiyahan ang kundisyon \\ Pangalawang paraan.

Kung ang equation \\ (| f (x) | \u003d h (x) \\) ay ibigay, pagkatapos ay para sa \\ (h (x) \\ (\\ kaliwa [\\ magsimula (array) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ end (array) \\ tama. \\)

{!LANG-061aa38ec9ed7b83ddd9624d5d6b0943!}{!LANG-518b05545cc44de9058b99236c77dcfa!}
Ang parehong mga equation na ito ay nalutas sa itaas (sa unang paraan upang malutas ang ibinigay na equation), ang kanilang mga ugat ay ang mga sumusunod: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4) (3) \\). Ang kundisyon \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ geq 0 \\) ng mga apat na halagang ito ay nasiyahan lamang sa dalawa: 6 at 3. Samakatuwid, ang ibinigay na equation ay may dalawang ugat: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\ Pangatlong paraan

(graphic). 1) Plano natin ang pag-andar \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\). Una, bumuo ng isang parabola \\ (y \u003d x ^ 2-6x + 7 \\). Mayroon kaming \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\). Ang grap ng pag-andar \\ (y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) ay maaaring makuha mula sa grap ng pag-andar \\ (y \u003d x ^ 2 \\) sa pamamagitan ng paglilipat nito sa pamamagitan ng 3 scale unit sa kanan (kasama ang x-axis) at sa pamamagitan ng 2 scale unit pababa ( sa y-axis). Ang tuwid na linya x \u003d 3 ay ang axis ng parabola na interesado kami. Bilang mga puntos ng control para sa mas tumpak na pag-plot, maginhawa na gawin ang punto (3; -2) - ang tuktok ng parabola, point (0; 7) at ang punto (6; 7) simetriko dito patungkol sa parabola axis.
Upang lagyan ngayon ang lagay ng grap ng pag-andar \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\), kailangan mong iwanang hindi nagbabago ang mga bahaging iyon ng itinayo na parabola na hindi namamalagi sa ilalim ng x axis, at salamin ang bahagi ng parabola na nasa ilalim ng x axis tungkol sa x-axis.
2) Gumawa tayo ng isang graph ng pag-andar ng linear \\ (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\). Maginhawa na kunin ang mga puntos (0; –3) at (3; 2) bilang mga control point.
Mahalaga na ang puntong x \u003d 1.8 intersection ng tuwid na linya na may axis ng abscissa ay matatagpuan sa kanan ng kaliwang punto ng intersection ng parabola na may axc abscissa - ito ang puntong \\ (x \u003d 3- \\ sqrt (2) \\) (mula sa \\ (3- \\ sqrt (2) ) 3) Ang paghusga sa pamamagitan ng pagguhit, ang mga grap ay bumabagay sa dalawang puntos - A (3; 2) at B (6; 7) Pagsusulat ng mga abscissas ng mga puntong ito x \u003d 3 at x \u003d 6 sa ibinigay na equation, kami ay kumbinsido na para sa pareho ang isa pang halaga ay nagbibigay ng wastong pagkakapantay-pantay, na nangangahulugang nakumpirma ang aming hypothesis - ang ekwasyon ay may dalawang ugat: x \u003d 3 at x \u003d 6. Sagot: 3; 6.

Komento

... Ang pamamaraan ng graphic, para sa lahat ng biyaya nito, ay hindi masyadong maaasahan. Sa halimbawa sa itaas, nagtrabaho lamang ito dahil ang mga ugat ng equation ay mga integer.HALIMBAWA 3. Malutas ang equation \\ (| 2x-4 | + | x + 3 | \u003d 8 \\)

Ang expression 2x - 4 ay nagiging 0 sa x \u003d 2, at ang expression x + 3 sa x \u003d –3. Ang dalawang puntos na ito ay naghahati sa linya ng numero sa tatlong agwat: \\ (x

(pagpapalawak ng module ayon sa kahulugan).
Isaalang-alang ang unang span: \\ ((- - infty; \\; -3) \\).

Kung x Isaalang-alang ang pangalawang agwat: \\ ([- 3; \\; 2) \\).
Kung \\ (- 3 \\ leq x Isaalang-alang ang ikatlong agwat: \\ (U
Halimbawa 2.

Malutas ang hindi pagkakapareho || x + 2 | - 3 |

Desisyon. ≤ 2.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas sa sumusunod na sistema.

(| x + 2 | - 3 ≥ -2

(| x + 2 | - 3 ≤ 2,
(| x + 2 | ≥ 1
(| x + 2 | ≤ 5.
{!LANG-f4cbbff6e0d8c494436580529ee13b6d!}

Malutas natin ang unang hindi pagkakapareho ng system nang hiwalay. Katumbas ito sa sumusunod na pinagsama-samang:

U [-1; 3].

2) Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang kahulugan ng modyul.

Ipaalala ko muna sa iyo kahulugan ng module.

| a | \u003d a kung a ≥ 0 at | a | \u003d -a kung a< 0.

Halimbawa, | 34 | \u003d 34, | -21 | \u003d - (- 21) \u003d 21.

Halimbawa 1.

Malutas ang hindi pagkakapareho 3 | x - 1 | ≤ x + 3.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas sa sumusunod na sistema.

Gamit ang kahulugan ng isang module, nakakakuha tayo ng dalawang system:

(x - 1 ≥ 0
(3 (x - 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3 (x - 1) ≤ x + 3.

Ang paglutas ng unang pangalawang sistema nang hiwalay, nakukuha namin:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ang lahat ng mga solusyon ng unang sistema at lahat ng mga solusyon ng pangalawang sistema.

Sagot: x €.

3) Paglutas ng mga hindi pagkakapareho sa pamamagitan ng pag-squaring.

Halimbawa 1.

Malutas ang hindi pagkakapareho | x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas sa sumusunod na sistema.

I-square tayo sa magkabilang panig ng hindi pagkakapareho Tandaan na ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring parisukat lamang kung pareho silang positibo. Sa kasong ito, mayroon kaming mga module sa pareho sa kaliwa at kanan, kaya magagawa natin ito.

(| x 2 - 1 |) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Ngayon gagamitin namin ang sumusunod na pag-aari ng modyul: (| x |) 2 \u003d x 2.

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

Nalutas namin sa pamamagitan ng paraan ng agwat.

Sagot: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Solusyon ng hindi pagkakapareho sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable.

Halimbawa.

Malutas ang hindi pagkakapareho (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas sa sumusunod na sistema.

Tandaan na (2x + 3) 2 \u003d (| 2x + 3 |) 2. Pagkatapos makuha namin ang hindi pagkakapareho

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Gawin natin ang pagbabago y \u003d | 2x + 3 |.

Isulat ulit natin ang ating hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang kapalit.

y 2 - y ≤ 30,

y 2 - y - 30 ≤ 0.

I-factor natin ang square trinomial sa kaliwa.

y1 \u003d (1 + 11) / 2,

y2 \u003d (1 - 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Malutas natin sa pamamagitan ng paraan ng agwat at makuha:

Balik tayo sa kapalit:

5 ≤ | 2x + 3 | ≤ 6.

Ang dobleng pagkakapareho na ito ay katumbas ng sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay:

(| 2x + 3 | ≤ 6
(| 2x + 3 | ≥ -5.

Malutas natin ang bawat isa sa mga hindi pagkakapareho nang hiwalay.

Ang una ay katumbas ng system

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Malutas natin ito.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay malinaw na humahawak para sa lahat ng x, dahil ang modulus ay positibo sa pamamagitan ng kahulugan. Dahil ang solusyon sa system ay ang lahat ng x na sabay na nagbibigay-kasiyahan sa una at ikalawang mga hindi pagkakapantay-pantay ng system, ang solusyon sa orihinal na sistema ay magiging solusyon ng kanyang unang dobleng pagkakapantay-pantay (pagkatapos ng lahat, ang pangalawa ay totoo para sa lahat ng x).

Sagot: x € [-4.5; 1.5].

site ng blog, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa mapagkukunan.