- Ito ay isang polyhedron, na kung saan ay nabuo sa pamamagitan ng base ng pyramid at isang seksyon na kahanay dito. Masasabi natin na ang isang truncated pyramid ay isang pyramid na may isang truncated top. Ang hugis na ito ay maraming natatanging katangian:

• Ang mga gilid ng mukha ng pyramid ay mga trapezium;
• Ang mga lateral ribs ng isang regular na truncated pyramid ay may pantay na haba at nakakiling sa base sa parehong anggulo;
• Ang mga batayan ay tulad ng polygons;
• Sa isang regular na truncated pyramid, ang mga mukha ay magkapareho isosceles trapezoids, na ang lugar ay pantay. Ang mga ito ay nakakiling din sa base sa parehong anggulo.

Ang pormula para sa lateral na lugar ng ibabaw ng isang truncated pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga panig nito:

Dahil ang mga gilid ng truncated pyramid ay trapezoids, kakailanganin mong gamitin ang formula upang makalkula ang mga parameter lugar ng trapezoid... Para sa isang tamang truncated pyramid, maaari kang mag-apply ng ibang formula sa lugar. Dahil ang lahat ng mga panig nito, ang mga mukha, at mga anggulo sa base ay pantay, posible na mag-aplay ng mga perimeter ng base at apothem, at ibawas din ang lugar sa pamamagitan ng anggulo sa base.

Kung, ayon sa mga kondisyon sa isang regular na truncated pyramid, ang apothem (ang taas ng lateral side) at ang mga haba ng mga gilid ng base ay binibigyan, kung gayon ang lugar ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng kalahating produkto ng kabuuan ng mga perimeter ng mga base at apothem:

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lateral na lugar ng ibabaw ng isang truncated pyramid.
Ang isang regular na pentagonal pyramid ay ibinibigay. Apothem l \u003d 5 cm, ang haba ng mukha sa malaking base ay a \u003d 6 cm, at ang gilid sa mas maliit na base b \u003d 4 cm. Kalkulahin ang lugar ng truncated pyramid.

Una, hahanapin natin ang mga perimeter ng mga base. Dahil binigyan kami ng isang pentagonal pyramid, nauunawaan namin na ang mga base ay mga pentagon. Nangangahulugan ito na ang isang figure na may limang magkatulad na panig ay namamalagi sa mga base. Hanapin ang perimeter ng mas malaking base:

Sa parehong paraan, nakita namin ang perimeter ng mas maliit na base:

Ngayon maaari nating kalkulahin ang lugar ng tamang truncated pyramid. Pinalitan namin ang data sa formula:

Kaya, kinakalkula namin ang lugar ng isang regular na truncated pyramid sa pamamagitan ng perimeter at apothem.

Ang isa pang paraan upang makalkula ang lateral na lugar ng ibabaw ng isang regular na pyramid ay ang pormula sa pamamagitan ng mga sulok sa base at lugar ng mga napaka base.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkalkula. Alalahanin na ang pormula na ito ay nalalapat lamang sa tamang truncated pyramid.

Hayaan ang isang regular na quadrangular pyramid. Ang gilid ng ibabang base ay isang \u003d 6 cm, at ang gilid ng itaas na base ay b \u003d 4 cm.Ang anggulo ng dihedral sa base ay β \u003d 60 °. Hanapin ang lateral na lugar ng ibabaw ng isang regular na truncated pyramid.

Una, kalkulahin natin ang lugar ng mga base. Dahil tama ang pyramid, ang lahat ng mga mukha ng mga base ay pantay sa bawat isa. Isinasaalang-alang na mayroong isang quadrangle sa base, naiintindihan namin na kinakailangan upang makalkula parisukat na lugar... Ito ang produkto ng lapad at haba, ngunit ang mga halagang ito ay magkatulad na parisukat. Hanapin ang lugar ng mas malaking base:


Ngayon ginagamit namin ang mga nahanap na halaga upang makalkula ang pag-ilid na lugar ng ibabaw.

Alam ang ilang simpleng mga formula, madali naming kinakalkula ang lugar ng pag-ilid ng trapezium ng truncated pyramid sa pamamagitan ng iba't ibang mga halaga.

Pyramid. Truncated pyramid

Pyramid ay tinatawag na isang polyhedron, na ang isa sa mga mukha nito ay isang polygon ( base ), at lahat ng iba pang mga mukha ay mga tatsulok na may isang karaniwang vertex ( mga mukha sa gilid ) (fig. 15). Ang pyramid ay tinawag tama kung ang batayan nito ay isang regular na polygon at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang sa gitna ng base (Fig. 16). Ang isang tatsulok na piramide kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay na tinatawag tetrahedron .

Side rib ang pyramid ay ang gilid ng gilid ng mukha na hindi kabilang sa base Taas Ang pyramid ay tinawag na distansya mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. Ang lahat ng mga lateral na gilid ng isang regular na piramide ay katumbas sa bawat isa, lahat ng mga lateral na gilid ay pantay na mga triangles na isosceles. Ang taas ng gilid ng mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa itaas ay tinatawag na apothem . Seksyon ng dayagonal ang seksyon ng pyramid ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa dalawang lateral na mga gilid na hindi kabilang sa isang mukha.

Lugar sa gilid ng gilid Ang pyramid ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha sa gilid. Buong ibabaw na lugar tinawag ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha ng mukha at ang base.

Mga teoryang

1. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay na hilig sa eroplano ng base, kung gayon ang tuktok ng pyramid ay inaasahang sa gitna ng bilog na naka-iskedyul tungkol sa base.

2. Kung sa pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay may pantay na haba, kung gayon ang tuktok ng pyramid ay inaasahan sa gitna ng bilog na naka-iskedyul tungkol sa base.

3. Kung sa pyramid ang lahat ng mga mukha ay pantay na nakakiling sa eroplano ng base, kung gayon ang tuktok ng pyramid ay inaasahang sa gitna ng bilog na nakasulat sa base.

Upang makalkula ang dami ng isang di-makatwirang pyramid, tama ang formula:

saan V - dami;

S pangunahing - lugar ng base;

H - ang taas ng pyramid.

Para sa tamang piramide, tama ang mga formula:

saan p - base perimeter;

h a - apothem;

H - taas;

S buo

S gilid

S pangunahing - lugar ng base;

V - ang lakas ng tunog ng tamang pyramid.

Truncated pyramid tinawag na bahagi ng pyramid, na nakapaloob sa pagitan ng base at ng lihim na eroplano, na kahanay sa base ng pyramid (Fig. 17). Regular na truncated pyramid ay tinatawag na bahagi ng isang regular na pyramid, na nakapaloob sa pagitan ng base at ng lihim na eroplano, na kahanay sa base ng pyramid.

Mga pundasyon truncated pyramids - mga katulad na polygons. Mga mukha sa gilid - trapezoid. Taas isang truncated pyramid ang distansya sa pagitan ng mga batayan nito. Diagonal isang truncated pyramid ay tinatawag na isang segment na nag-uugnay sa mga vertice na hindi nagsisinungaling sa parehong mukha. Seksyon ng dayagonal ang isang seksyon ng isang truncated pyramid ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa dalawang lateral na mga gilid na hindi kabilang sa isang mukha.

Para sa isang truncated pyramid, ang mga sumusunod na formula ay may bisa:

(4)

saan S 1 , S 2 - mga lugar ng itaas at mas mababang mga base;

S buo - kabuuang lugar ng ibabaw;

S gilid - lateral na lugar ng ibabaw;

H - taas;

V - ang lakas ng tunog ng truncated pyramid.

Para sa isang tamang truncated pyramid, tama ang formula:

saan p 1 , p 2 - base perimeter;

h a - ang apothem ng regular na truncated pyramid.

Halimbawa 1. Sa isang regular na tatsulok na piramide, ang anggulo ng dihedral sa base ay 60º. Hanapin ang tangent ng anggulo ng pagkahilig ng gilid na gilid sa eroplano ng base.

Desisyon. Gumawa tayo ng isang pagguhit (fig. 18).

Ang piramide ay regular, kaya sa base mayroong isang equilateral tatsulok at ang lahat ng mga mukha ng mukha ay pantay na mga triangle na isosceles. Ang anggulo ng dihedral sa base ay ang anggulo ng pagkahilig sa gilid ng mukha ng pyramid hanggang sa eroplano ng base. Ang anggulo ng guhit ay ang anggulo a sa pagitan ng dalawang mga patayo: at i.e. Ang tuktok ng piramide ay inaasahang nasa gitna ng tatsulok (ang sentro ng tuldok at ang nakasulat na bilog sa tatsulok ABC). Ang anggulo ng pagkahilig ng lateral rib (halimbawa SB) Ay ang anggulo sa pagitan ng gilid mismo at ang pagpapalabas nito sa base na eroplano. Para sa tadyang SB ang anggulong ito ang magiging anggulo SBD... Upang mahanap ang tangent, kailangan mong malaman ang mga binti KAYA at OB... Hayaan ang haba ng segment BD katumbas ng 3 at... Dot TUNGKOL seksyon BD ay nahahati sa mga bahagi: at Mula sa aming nahanap KAYA: Mula sa aming nahanap:

Sagot:

Halimbawa 2. Hanapin ang dami ng isang regular na truncated quadrangular pyramid kung ang mga diagonal ng mga base nito ay cm at cm, at ang taas ay 4 cm.

Desisyon. Upang mahanap ang dami ng truncated pyramid, gagamitin namin ang formula (4). Upang mahanap ang lugar ng mga base, kailangan mong hanapin ang mga gilid ng mga parisukat ng base, alam ang kanilang mga diagonal. Ang mga gilid ng mga base ay 2 cm at 8 cm, ayon sa pagkakabanggit, Kaya't ang mga lugar ng mga base at Ang pagkakaroon ng paghalili sa lahat ng mga data sa pormula, kinakalkula namin ang dami ng truncated pyramid:

Sagot: 112 cm 3.

Halimbawa 3. Hanapin ang lugar ng mukha ng gilid ng isang regular na tatsulok na truncated pyramid, ang mga gilid ng mga base na kung saan ay 10 cm at 4 cm, at ang taas ng pyramid ay 2 cm.

Desisyon. Gumawa tayo ng isang pagguhit (fig. 19).

Ang gilid ng mukha ng piramide na ito ay isang isosceles trapezoid. Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong malaman ang base at taas. Ang mga base ay ibinibigay ng kondisyon, tanging ang taas ay nananatiling hindi kilala. Malalaman natin ito mula sa kung saan AT 1 E patayo mula sa punto AT 1 sa eroplano ng mas mababang base, A 1 D - patayo mula sa AT 1 on AS. AT 1 E \u003d 2 cm, dahil ito ang taas ng pyramid. Hanapin DE gumawa tayo ng isang karagdagang pagguhit, na ilalarawan ang isang nangungunang view (fig. 20). Punto TUNGKOL - projection ng mga sentro ng itaas at mas mababang mga base. mula nang (tingnan ang fig. 20) at sa kabilang banda OK Ay ang radius ng inskripsyon na bilog at OM - radius ng nakasulat na bilog:

MK \u003d DE.

Sa pamamagitan ng teorema ng Pythagorean mula

Lugar ng mukha ng mukha:

Sagot:

Halimbawa 4. Sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang isosceles trapezoid, ang mga batayan kung saan atat b (a> b). Ang bawat panig ng mukha ay bumubuo ng isang anggulo na may base plane ng pyramid na katumbas j... Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng pyramid.

Desisyon. Gumawa tayo ng isang pagguhit (fig. 21). Kabuuang lugar ng ibabaw ng pyramid SABCD katumbas ng kabuuan ng mga lugar at lugar ng trapezoid A B C D.

Gagamitin natin ang pahayag na kung ang lahat ng mga mukha ng pyramid ay pantay na hilig sa eroplano ng base, kung gayon ang tuktok ay inaasahang sa gitna ng bilog na nakasulat sa base. Punto TUNGKOL - vertex projection S sa base ng pyramid. Triangle SOD ay ang orthogonal projection ng tatsulok CSD sa eroplano ng base. Sa pamamagitan ng teorema sa lugar ng orthogonal projection ng isang figure ng eroplano, nakukuha namin:

Katulad nito, nangangahulugan ito Kaya, ang gawain ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng trapezoid A B C D... Gumuhit ng isang trapezoid A B C Dnang hiwalay (fig. 22). Punto TUNGKOL - ang gitna ng bilog na nakasulat sa trapezoid.

Dahil ang isang bilog ay maaaring ma-inskripsyon sa isang trapezoid, alinman sa Mula, ng teorema ng Pythagorean, mayroon kami

Sa araling ito ay titingnan natin ang truncated pyramid, makilala ang tamang truncated pyramid, at pag-aralan ang kanilang mga katangian.

Alalahanin natin ang konsepto ng isang n-panig na piramide gamit ang halimbawa ng isang tatsulok na piramide. Ang isang tatsulok na ABC ay nakatakda. Sa labas ng eroplano ng tatsulok, nakuha ang point P, na konektado sa mga vertice ng tatsulok. Ang nagreresultang ibabaw ng polyhedral ay tinatawag na isang pyramid (Larawan 1).

Fig. 1. Triangular pyramid

Gupitin natin ang pyramid na may isang eroplano na kahanay sa eroplano ng base ng pyramid. Ang figure na nakuha sa pagitan ng mga eroplano na ito ay tinatawag na isang truncated pyramid (Fig. 2).

Fig. 2. Truncated pyramid

Pangunahing elemento:

Mataas na base;

Mas mababang base ABC;

Gilid ng gilid;

Kung ang PH ay ang taas ng orihinal na pyramid, kung gayon ang taas ng truncated pyramid.

Ang mga pag-aari ng isang truncated pyramid ay sumusunod mula sa pamamaraan ng pagtatayo nito, na mula sa pagkakatulad ng mga eroplano ng batayan:

Ang lahat ng mga mukha ng gilid ng truncated pyramid ay mga trapezium. Isaalang-alang, halimbawa, isang facet. Ayon sa pag-aari ng mga magkakatulad na eroplano (dahil ang mga eroplano ay kahanay, pinutol nila ang paglaon ng mukha ng orihinal na ABP pyramid kasama ang magkatulad na tuwid na linya), sa parehong oras ay hindi sila kahanay. Malinaw, ang quadrilateral ay isang trapezoid, tulad ng lahat ng panig na mukha ng truncated pyramid.

Ang base ratio ay pareho para sa lahat ng mga trapezoid:

Mayroon kaming ilang mga pares ng magkatulad na tatsulok na may parehong koepisyent ng pagkakapareho. Halimbawa, ang mga tatsulok at RAV ay magkatulad dahil sa pagkakatulad ng mga eroplano at, ang pagkakapareho ng pagkakapareho:

Kasabay nito, ang mga tatsulok at RBC ay magkapareho sa koepektibo ng pagkakapareho:

Malinaw, ang mga koepisyent ng pagkakapareho para sa lahat ng tatlong mga pares ng magkatulad na mga tatsulok ay pantay, kaya ang ratio ng mga base ay pareho para sa lahat ng mga trapezoid.

Ang isang regular na truncated pyramid ay isang truncated pyramid na nakuha ng isang seksyon ng isang regular na piramide na may isang eroplano na kahanay sa base (Larawan 3).

Fig. 3. Ituwid ang truncated pyramid

Kahulugan.

Ang isang piramide ay tinatawag na isang regular na piramide, sa base kung saan mayroong regular na n-gon, at ang vertex ay inaasahang sa gitna ng n-gon (ang gitna ng inskripsyon at lilipat na bilog).

Sa kasong ito, ang isang parisukat ay namamalagi sa base ng pyramid, at ang tuktok ay inaasahang sa intersection ng mga diagonal nito. Ang nakuha na regular na quadrangular truncated pyramid ABCD ay may mas mababang base at isang itaas na base. Ang taas ng orihinal na piramide - RO, ang truncated pyramid - (Larawan 4).

Fig. 4. Regular na quadrangular truncated pyramid

Kahulugan.

Ang taas ng truncated pyramid ay isang patayo na guhit mula sa anumang punto sa isang base patungo sa eroplano ng kabilang base.

Ang apothem ng orihinal na piramide ay PM (M ang gitna ng AB), ang apothem ng truncated pyramid ay (Fig. 4).

Kahulugan.

Apothem ng truncated pyramid - ang taas ng anumang panig na mukha.

Malinaw na ang lahat ng mga lateral na gilid ng truncated pyramid ay katumbas sa bawat isa, iyon ay, ang mga pag-ilid na mga gilid ay pantay na isosceles trapezoids.

Ang lateral na lugar ng ibabaw ng isang regular na truncated pyramid ay katumbas ng produkto ng half-sum ng perimeter ng base at ang apothem.

Patunay (para sa isang regular na hugis-parihaba na truncated pyramid - Fig. 4):

Kaya, kinakailangan upang patunayan:

Ang lugar ng pag-ilid ng ibabaw dito ay binubuo ng kabuuan ng mga lugar ng mga pag-ilid na mukha - mga trapezium. Dahil ang mga trapezoid ay pareho, mayroon kami:

Ang lugar ng isang isosceles trapezoid ay ang produkto ng half-sum ng mga base at ang taas, ang apothem ay ang taas ng trapezoid. Meron kami:

Q.E.D.

Para sa isang n-panig na piramide:

Kung saan n ang bilang ng mga gilid na mukha ng pyramid, a at b ang base ng trapezoid, ay ang apothem.

Mga bahagi ng base ng isang regular na truncated quadrangular pyramid ay katumbas ng 3 cm at 9 cm, taas - 4 cm. Maghanap ng mga lateral na lugar ng ibabaw.

Fig. 5. Paglalarawan para sa problema 1

Desisyon. Isalarawan natin ang kondisyon:

Naibigay:,

Sa pamamagitan ng punto O gumuhit kami ng isang tuwid na linya MN kahanay sa magkabilang panig ng mas mababang base, katulad sa isang punto ay gumuhit kami ng isang tuwid na linya (Larawan 6). Dahil ang mga parisukat at mga konstruksyon ay kahanay sa mga batayan ng truncated pyramid, nakakakuha kami ng isang trapezoid na katumbas ng mga gilid ng mukha. Bukod dito, ang pag-ilid na bahagi nito ay dadaan sa gitna ng itaas at mas mababang mga buto-buto ng mga gilid na mukha at magiging apothem ng truncated pyramid.

Fig. 6. Karagdagang mga konstruksyon

Isaalang-alang ang nagresultang trapezoid (Larawan 6). Sa trapezoid na ito, ang itaas na base, ang mas mababang base at taas ay kilala. Kinakailangan upang hanapin ang panig na ang apothem ng ibinigay na truncated pyramid. Gumuhit tayo ng patayo sa MN. Ibagsak natin ang patayo na NQ mula sa punto. Nakukuha namin na ang mas malaking base ay nahahati sa mga segment ng tatlong sentimetro (). Isaalang-alang ang isang kanang-anggulo na tatsulok, ang mga binti sa loob nito ay kilala, ito ang tatsulok na Egypt, ayon sa teorema ng Pythagorean, natutukoy namin ang haba ng hypotenuse: 5 cm.

Ngayon mayroong lahat ng mga elemento para sa pagtukoy ng lugar ng gilid ng gilid ng pyramid:

Ang pyramid ay natawid ng isang eroplano na kahanay sa base. Patunayan, gamit ang halimbawa ng isang tatsulok na piramide, na ang mga gilid ng gilid at ang taas ng pyramid ay nahahati ng eroplano na ito sa proporsyonal na mga bahagi.

Katibayan. Isalarawan natin:

Fig. 7. Paglalarawan para sa problema 2

Ang piramide ng RAVS ay nakatakda. Ang RO ay ang taas ng pyramid. Ang piramide ay pinutol ng isang eroplano, isang truncated pyramid ay nakuha, at. Punto - ang punto ng intersection ng taas ng Ro kasama ang eroplano ng base ng truncated pyramid. Ito ay kinakailangan upang patunayan:

Ang susi sa solusyon ay ang kahilera na pag-aari ng eroplano. Dalawang magkakaparehong eroplano ang pumutol sa anumang ikatlong eroplano upang ang mga linya ng intersection ay magkatulad. Samakatuwid:. Ang kahanay ng mga kaukulang linya ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng apat na pares ng magkatulad na mga tatsulok:

Ang proporsyonalidad ng kaukulang panig ay sumusunod mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok. Ang isang mahalagang tampok ay ang mga pagkakapareho ng mga koepisyente para sa mga tatsulok na ito ay pareho:

Q.E.D.

Ang isang regular na tatsulok na pyramid RAVS na may taas at isang gilid ng base ay dissected ng isang eroplano na dumadaan sa gitna ng RN taas na kahanay sa base ABC. Hanapin ang lateral na lugar ng ibabaw ng nagresultang truncated pyramid.

Desisyon. Isalarawan natin:

Fig. 8. Paglalarawan para sa problema 3

Ang ACB ay isang tamang tatsulok, ang H ay ang sentro ng tatsulok na ito (ang sentro ng mga inskripsiyon at may mga bilog na bilog). Ang RM ay ang apothem ng ibinigay na piramide. - apothem ng truncated pyramid. Ayon sa pag-aari ng mga kahanay na eroplano (dalawang magkaparehong eroplano ay pinutol ang anumang ikatlong eroplano upang ang linya ng intersection ay magkatulad), mayroon kaming ilang mga pares ng magkatulad na mga tatsulok na may pantay na koepisyent ng pagkakapareho. Sa partikular, interesado kami sa kaugnayan:

Hahanapin natin ang NM. Ito ang radius ng bilog na nakasulat sa base, alam namin ang kaukulang pormula:

Ngayon, mula sa kanang-anggulo na tatsulok na РНМ, ayon sa teorema ng Pythagorean, nakita namin ang РМ - ang apothem ng orihinal na piramide:

Mula sa paunang ratio:

Ngayon alam namin ang lahat ng mga elemento para sa paghahanap ng mga pag-ilid na lugar ng ibabaw ng truncated pyramid:

Kaya, nakilala namin ang mga konsepto ng isang truncated pyramid at isang regular na truncated pyramid, nagbigay ng pangunahing mga kahulugan, itinuturing na mga pag-aari, at pinatunayan ang teorem sa lateral na lugar. Ang susunod na aralin ay tungkol sa paglutas ng problema.

Listahan ng mga sanggunian

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometry. Mga Gred 10-11: isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon (pangunahing at antas ng profile) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ika-5 ed., Rev. at idagdag. - M .: Mnemozina, 2008 .-- 288 p .: Ill.
2. Sharygin I.F. Geometry. Baitang 10-11: Aklat ng Aklat para sa pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p .: may sakit.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometry. Baitang 10: Aklat para sa mga institusyong pang-edukasyon na may malalim at dalubhasang pag-aaral ng matematika / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ika-6 na ed., Stereotype. - M .: Bustard, 2008 .-- 233 p .: may sakit.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Takdang aralin