Matematikal na modelo ay isang sistema ng relasyon sa matematika - mga pormula, equation, hindi pagkakapareho, atbp, na sumasalamin sa mga mahahalagang katangian ng isang bagay o hindi pangkaraniwang bagay.

Ang bawat kababalaghan ng kalikasan ay walang hanggan sa pagiging kumplikado nito... Ipailarawan natin ito gamit ang isang halimbawa na kinuha mula sa aklat ni V.N. Trostnikov "Tao at Impormasyon" (Publishing House "Science", 1970).

Ang layman ay bumubuo ng problema sa matematika tulad ng sumusunod: "Gaano katagal mahuhulog ang isang bato mula sa taas na 200 metro?" Ang matematiko ay magsisimulang lumikha ng kanyang bersyon ng problema tulad nito: "Ipagpalagay natin na ang bato ay nahuhulog sa kawalan ng laman at ang pagbilis ng grabidad ay 9.8 metro bawat segundo. Kung gayon ..."

- Hayaan mo ako, - maaaring sabihin "customer", - hindi ako nasiyahan sa pagiging simple na ito. Nais kong malaman nang eksakto kung gaano katagal ang bato ay mahuhulog sa totoong mga kondisyon, at hindi sa isang walang saysay na walang bisa.

- Mabuti, - sasang-ayon ang matematika. - Ipagpalagay natin na ang bato ay may isang spherical na hugis at diameter ... Ano ang humigit-kumulang na lapad nito?

- Mga limang sentimetro. Ngunit hindi ito spherical, ngunit pahaba.

- Pagkatapos ay ipapalagay natin na siyaellipsoidal na may mga ehe shaft na apat, tatlo at tatlong sentimetro at iyon siyabumagsak upang ang semi-major axis ay nananatiling patayo sa lahat ng oras ... Ang presyon ng hangin ay ipinapalagay na760 mm Hg , mula dito matatagpuan namin ang density ng hangin...

Kung ang isa na nag-isyu ng problema sa "tao" na wika ay hindi makagambala sa kurso ng pag-iisip ng matematika, pagkatapos ay ang huli pagkatapos ay magbibigay ng isang sagot na numero. Ngunit ang "consumer" ay maaaring tumutol tulad ng dati: ang bato ay talagang hindi ellipsoidal, lahat ng presyon ng hangin sa lugar na iyon at sa sandaling iyon ay hindi katumbas ng 760 mm ng mercury, atbp. Ano ang sasagot sa kanya ng matematika?

Sasagutin niya iyon ang isang eksaktong solusyon sa isang tunay na problema sa pangkalahatan ay imposible... Hindi lang iyon hugis ng batona nakakaapekto sa paglaban ng hangin, hindi maaaring inilarawan sa pamamagitan ng anumang pagkakapareho ng matematika; ang pag-ikot nito sa paglipad ay lampas din sa matematika dahil sa pagiging kumplikado nito. Dagdag pa, ang hangin ay hindi homogenous, dahil bilang isang resulta ng pagkilos ng mga random na kadahilanan, ang pagbabagu-bago ng mga pagbabagu-bago ng density ay lumitaw dito. Kung lalalim ka pa, kailangan mong isaalang-alang iyon ayon sa batas ng unibersal na gravitation, ang bawat katawan ay kumikilos sa bawat iba pang katawan... Mula dito sinusunod na kahit na ang palawit ng isang orasan sa dingding ay nagbabago ng tilapon ng bato gamit ang paggalaw nito.

Sa madaling salita, kung nais naming tumpak na siyasatin ang pag-uugali ng isang bagay, kailangan muna nating alamin ang lokasyon at bilis ng lahat ng iba pang mga bagay sa Uniberso. At ito, siyempre. imposible.

Ang pinaka-epektibong modelo ng matematika ay maaaring ipatupad sa isang computer sa anyo ng isang algorithm na modelo - ang tinatawag na "computational experiment" (tingnan ang [1], parapo 26).

Siyempre, ang mga resulta ng isang computational eksperimento ay maaaring maging hindi totoo kung ang modelo ay hindi isinasaalang-alang ang ilang mahahalagang aspeto ng katotohanan.

Kaya, ang paglikha ng isang modelo ng matematika para sa paglutas ng isang problema, kailangan mo:

1. i-highlight ang mga pagpapalagay na batay sa modelo ng matematika;
2. matukoy kung ano ang dapat isaalang-alang bilang data ng input at mga resulta;
3. isulat ang mga relasyon sa matematika na nag-uugnay sa mga resulta sa orihinal na data.

Kapag nagtatayo ng mga modelo ng matematika, malayo sa laging posible upang makahanap ng mga pormula na malinaw na nagpapahayag ng kinakailangang dami sa mga tuntunin ng data. Sa ganitong mga kaso, ang mga pamamaraan sa matematika ay ginagamit upang magbigay ng mga sagot sa isang degree o iba pang kawastuhan. Hindi lamang ang pagmomolde ng matematika ng anumang kababalaghan, kundi pati na rin ang visual-full-scale na pagmomolde, na ibinibigay sa pamamagitan ng pagpapakita ng mga hindi pangkaraniwang bagay sa pamamagitan ng mga graphic graphics, i.e. isang uri ng "computer cartoon" na kinukunan sa real time ay ipinapakita bago ang mananaliksik. Ang kakayahang makita ay napakataas dito.

Iba pang mga entry

10.06.2016. 8.3. Ano ang mga pangunahing yugto ng proseso ng pag-unlad ng programa? 8.4. Paano suriin ang teksto ng programa bago pumunta sa computer?

8.3. Ano ang mga pangunahing yugto ng proseso ng pag-unlad ng programa? Ang proseso ng pagbuo ng isang programa ay maaaring maipahayag ng mga sumusunod na pormula: Ito ay normal na magkaroon ng mga error sa isang bagong binuo na programa ...

10.06.2016. 8.5. Ano ang debugging at pagsubok? 8.6. Ano ang debugging? 8.7. Ano ang pagsusulit at pagsubok? 8.8. Ano ang dapat na data ng pagsubok? 8.9. Ano ang mga yugto ng proseso ng pagsubok?

8.5. Ano ang debugging at pagsubok? Ang pag-debug ng isang programa ay ang proseso ng paghahanap at pag-alis ng mga error sa isang programa batay sa mga resulta ng pagpapatakbo nito sa isang computer. Pagsubok ...

10.06.2016. 8.10. Ano ang mga karaniwang pagkakamali sa programming? 8.11. Ang kawalan ng mga error sa syntax ay isang pahiwatig na ang programa ay tama? 8.12. Anong mga pagkakamali ang hindi napansin ng tagasalin? 8.13. Ano ang pagpapanatili ng programa?

8.10. Ano ang mga karaniwang pagkakamali sa programming? Ang mga pagkakamali ay maaaring gawin sa lahat ng mga yugto ng paglutas ng isang problema - mula sa pagbabalangkas nito hanggang sa pagpapatupad nito. Ang mga uri ng mga pagkakamali at kaukulang mga halimbawa ay ibinibigay ...

Matematikal na modelob ay isang pang-matematika na representasyon ng katotohanan.

Pagmomolde sa matematika- ang proseso ng pagbuo at pag-aaral ng mga modelo ng matematika.

Ang lahat ng mga natural at panlipunang agham na gumagamit ng isang patakaran ng matematika ay mahalagang nakikibahagi sa pagmomolde ng matematika: pinalitan nila ang isang tunay na bagay sa modelo ng matematika nito at pagkatapos pag-aralan ang huli.

Mga kahulugan.

Walang kahulugan na maaaring ganap na masakop ang mga aktibidad na tunay na buhay sa pagmomolde ng matematika. Sa kabila nito, ang mga kahulugan ay kapaki-pakinabang sa sinusubukan nilang i-highlight ang mga pinaka makabuluhang tampok.

Kahulugan ng modelo ayon kay A.A. Lyapunov: Ang pagmomodelo ay isang hindi direktang praktikal o teoretikal na pag-aaral ng isang bagay, kung saan hindi ang object ng interes sa amin ay direktang pinag-aralan, ngunit ang ilang pantulong na artipisyal o natural na sistema:

pagiging sa ilang mga layunin na sulat sa cognized object;

may kakayahang palitan siya sa ilang mga aspeto;

ang pagbibigay, sa pagsasaliksik nito, sa huli, ang impormasyon tungkol sa nai-modelo na bagay mismo.

Ayon sa aklat-aralin ng Sovetov at Yakovlev: "Ang isang modelo ay isang kapalit na bagay para sa orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa mga mahahalagang katangian ng orihinal na bagay gamit ang modelong bagay ay tinatawag na pagmomolde." "Sa pamamagitan ng pagmomolde ng matematika, ang ibig sabihin namin ay ang proseso ng pagtaguyod ng pagsusulat sa isang naibigay na tunay na bagay ng isang tiyak na bagay sa matematika, na tinatawag na modelo ng matematika, at pag-aaral ng modelong ito, na ginagawang posible upang makuha ang mga katangian ng itinuturing na tunay na bagay. Ang uri ng modelo ng matematika ay nakasalalay pareho sa likas na katangian ng tunay na bagay at sa mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at kawastuhan sa paglutas ng problemang ito. "

Ayon kay Samarsky at Mikhailov, ang isang modelo ng matematika ay isang "katumbas" ng isang bagay, na sumasalamin sa anyo ng matematika ang pinakamahalagang pag-aari nito: ang mga batas na sinusunod nito, ang mga koneksyon na likas sa mga nasasakupang bahagi nito, atbp Ito ay umiiral sa mga triad na "model-algorithm-program". ... Ang pagkakaroon ng nilikha na "model-algorithm-program" na triad, ang mananaliksik ay binigyan ng isang unibersal, nababaluktot at murang tool, na kung saan ay unang debugado at nasubok sa mga eksperimento sa computational trial. Matapos maitaguyod ang sapat na triad sa orihinal na bagay, ang iba't ibang at detalyadong "mga eksperimento" ay isinasagawa kasama ang modelo, na binibigyan ang lahat ng kinakailangang mga katangian ng husay at dami at mga katangian ng bagay.

Ayon sa monograph ni Myshkis: "Lumipat tayo sa isang pangkalahatang kahulugan. Ipagpalagay na susuriin namin ang ilang hanay ng mga katangian ng isang tunay na bagay na may

gamit ang matematika. Upang gawin ito, pumili kami ng isang "matematiko na bagay" isang "- isang sistema ng mga equation, o mga kaugnay na aritmetika, o mga geometric na figure, o isang kombinasyon ng pareho, atbp. - Ang pag-aaral kung saan sa pamamagitan ng matematika ay dapat sagutin ang mga katanungan na isinulat tungkol sa mga katangian ng S. Sa mga ito mga kondisyon ng isang "ay tinatawag na isang modelo ng matematika ng isang bagay na may paggalang sa kabuuan ng mga katangian nito."

Ayon kay A. G. Sevostyanov: "Ang isang modelo ng matematika ay isang hanay ng mga relasyon sa matematika, mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, atbp, na naglalarawan sa mga pangunahing batas na likas sa proseso, bagay o sistema sa ilalim ng pag-aaral."

Ang isang medyo hindi gaanong pangkalahatang kahulugan ng isang modelo ng matematika batay sa pag-idealize ng "input - output - estado" na hiniram mula sa teorya ng automata ay ibinigay ng Wiktionary: "Isang abstract na matematikal na representasyon ng isang proseso, aparato, o ideya ng teoretikal; gumagamit ito ng isang hanay ng mga variable upang kumatawan sa mga input, output, at panloob na estado, at mga hanay ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay upang ilarawan ang kanilang mga pakikipag-ugnay. "

Sa wakas, ang pinaka-laconic na kahulugan ng isang modelo ng matematika: "Isang equation na nagpapahayag ng isang ideya."

Pormal na pag-uuri ng mga modelo.

Ang pormal na pag-uuri ng mga modelo ay batay sa pag-uuri ng mga gamit sa matematika na ginamit. Madalas na itinayo sa anyo ng mga dichotomies. Halimbawa, isa sa mga tanyag na hanay ng mga dichotomies:

Linya o hindi linya na mga modelo; Lumped o ipinamamahagi ng mga system; Nagpapasiya o Stochastic; Static o dynamic; Disced o tuloy-tuloy.

atbp. Ang bawat itinayo na modelo ay linear o nonlinear, deterministic o stochastic ... Naturally, halo-halong mga uri ay posible rin: puro sa isang paggalang, ipinamamahaging modelo sa isa pa, atbp.

Pag-uuri sa pamamagitan ng paraan ng paglalagay ng bagay.

Kasabay ng pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay naiiba sa paraan ng isang bagay na kinakatawan:

Ang mga modelo ng istruktura ay kumakatawan sa isang bagay bilang isang sistema na may sariling istraktura at mekanismo ng paggana. Ang mga function na modelo ay hindi gumagamit ng gayong mga representasyon at sumasalamin lamang sa panlabas na nakikita na pag-uugali ng isang bagay. Sa kanilang matinding pagpapahayag, tinawag din silang mga modelo na "itim na kahon." Ang mga pinagsamang uri ng mga modelo ay posible rin, na kung minsan ay tinatawag na mga "grey box" na mga modelo.

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomolde ng matematika ay nagpapahiwatig na sa una ay isang espesyal na perpektong istraktura, ang isang makabuluhang modelo ay itinayo. Walang itinatag na terminolohiya dito, at ang iba pang mga may-akda ay tumawag sa perpektong bagay na ito bilang isang konsepto na modelo, isang haka-haka na modelo, o isang pre-modelo. Sa kasong ito, ang pangwakas na konstruksyon ng matematika ay tinatawag na isang pormal na modelo o simpleng isang matematikal na modelo na nakuha bilang isang resulta ng pag-pormal ng makabuluhang modelo. Ang pagtatayo ng isang makabuluhang modelo ay maaaring gawin gamit ang isang hanay ng mga yari na idealisasyon, tulad ng sa mga mekanika, kung saan ang mga perpektong bukal, matigas na katawan, mainam na mga palawit, nababanat na media, atbp. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na teorya, mas mahirap ang paglikha ng mga makabuluhang modelo.

Sa gawain ni R. Peierls, isang pag-uuri ng mga modelo ng matematika na ginagamit sa pisika at, mas malawak, sa mga likas na agham. Sa aklat ni A. N. Gorban at R. G. Khlebopros, ang pag-uuri na ito ay nasuri at pinalawak. Ang pag-uuri ay pangunahing nakatuon sa entablado ng paggawa ng isang makabuluhang modelo.

Ang mga modelong ito ay "kumakatawan sa isang pansamantala na paglalarawan ng kababalaghan, at ang may-akda ay naniniwala rin sa posibilidad nito, o itinuturing din na totoo ito." Ayon kay R. Peierls, ito ay, halimbawa, ang modelo ng Ptolemy ng solar system at modelo ni Copernicus, ang atomic modelong Rutherford at ang modelo ng Big Bang.

Walang hypothesis sa agham ang napatunayan nang isang beses at para sa lahat. Malinaw na inilinaw ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may pagkakataon na pinabulaanan ang isang teorya, ngunit, pansinin, hindi natin mapapatunayan na tama ito. Ipagpalagay na nakabuo ka ng isang mahusay na hypothesis, kalkulahin kung saan ito ang nangunguna, at alamin na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimento. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lamang na nabigo ka upang talin ito. "

Kung ang isang modelo ng unang uri ay itinayo, pagkatapos ay nangangahulugan ito na pansamantalang kinikilala bilang totoo at maaari kang tumutok sa iba pang mga problema. Gayunpaman, hindi ito maaaring maging isang punto sa pananaliksik, ngunit isang pansamantalang pag-pause lamang: ang katayuan ng isang modelo ng unang uri ay maaaring pansamantala lamang.

Ang modelo ng phenomenological ay naglalaman ng isang mekanismo para sa paglalarawan ng kababalaghan. Gayunpaman, ang mekanismo na ito ay hindi nakakumbinsi ng sapat, hindi maaaring sapat na makumpirma ng magagamit na data, o hindi sumasang-ayon nang mabuti sa umiiral na mga teorya at naipon na kaalaman tungkol sa bagay. Samakatuwid, ang mga modelo ng phenomenological ay may katayuan ng pansamantalang mga solusyon. Ito ay pinaniniwalaan na ang sagot ay hindi pa rin alam at ang paghahanap para sa "totoong mga mekanismo" ay dapat magpatuloy. Ang mga Peierls ay nag-uuri, halimbawa, ang caloric model at quark na modelo ng mga elementong elementarya sa pangalawang uri.

Ang papel ng modelo sa pananaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon, maaaring mangyari na ang mga bagong data at teorya ay nagpapatunay sa mga modelo na phenomenological at sila ay na-upgrade sa

katayuan ng hypothesis. Gayundin, ang mga bagong kaalaman ay maaaring unti-unting sumalungat sa mga modelo ng hypothetical ng unang uri, at ang mga maaaring isalin sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting naipasa sa kategorya ng mga hypotheses; ang atomism sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa kurso ng kasaysayan na naipasa sa unang uri. Ngunit ang mga modelo ng eter ay gumawa ng kanilang paraan mula sa uri 1 hanggang type 2, at ngayon wala na sila sa agham.

Ang ideya ng pagiging simple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit ang pagiging simple ay naiiba. Kinikilala ng Peierl ang tatlong uri ng pagpapagaan sa pagmomolde.

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan ng system sa ilalim ng pag-aaral, hindi ito nangangahulugang maaari silang malutas kahit na sa isang computer. Ang karaniwang tinatanggap na pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga approximations. Kabilang sa mga ito ay mga linear na modelo ng tugon. Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang isang karaniwang halimbawa ay ang batas ni Ohm.

Kung gagamitin namin ang perpektong modelo ng gas upang ilarawan ang sapat na rarefied gas, kung gayon ito ay isang uri ng modelo 3. Sa mas mataas na mga density ng gas, kapaki-pakinabang din na isipin ang isang mas simple na perpektong sitwasyon sa gas para sa pag-unawa at mga pagtatasa sa husay, ngunit pagkatapos ito ay uri 4.

Sa modelo ng Uri 4, ang mga detalye ay itinapon na maaaring makabuluhang at hindi palaging kontrolin ang resulta. Ang parehong mga equation ay maaaring magsilbing isang modelo ng Uri 3 o Type 4, depende sa kababalaghan kung saan ginagamit ang modelo. Kaya, kung ang mga modelo ng linear na tugon ay ginagamit sa kawalan ng mas kumplikadong mga modelo, kung gayon ang mga ito ay mayroon nang mga modelo na linear na lineurolohikal, at kabilang sila sa sumusunod na uri 4.

Mga halimbawa: ang aplikasyon ng perpektong modelo ng gas sa hindi perpektong gas, ang equation ng Van der Waals ng estado, karamihan sa mga modelo ng solidong pisika ng estado, likido at nuclear physics. Ang landas mula sa microdescription hanggang sa mga katangian ng mga katawan na binubuo ng isang malaking bilang ng mga particle ay napakahaba. Maraming mga detalye ang dapat itapon. Nagreresulta ito sa mga modelo ng Type 4.

Ang modelo ng heuristic ay nagpapanatili lamang ng isang kwalitwalidad na pagkakatulad ng katotohanan at gumagawa ng mga hula lamang "sa pagkakasunud-sunod ng kadakilaan." Ang isang tipikal na halimbawa ay ang ibig sabihin ng libreng landas na pag-approx sa kinetic theory. Nagbibigay ito ng mga simpleng formula para sa coefficients ng lapot, pagsasabog, thermal conductivity, naaayon sa katotohanan sa pagkakasunud-sunod ng kadakilaan.

Ngunit kapag nagtatayo ng isang bagong pisika, ang isang modelo ay malayo mula kaagad na nakuha na nagbibigay ng hindi bababa sa isang husay na paglalarawan ng isang bagay - isang modelo ng ikalimang uri. Sa kasong ito, ang isang modelo ay madalas na ginagamit ng pagkakatulad, na sumasalamin sa katotohanan kahit papaano sa ilang paraan.

Ibinibigay ni R. Peierls ang kasaysayan ng paggamit ng mga pagkakatulad sa unang artikulo ni W. Heisenberg tungkol sa likas na puwersa ng nukleyar. "Nangyari ito matapos ang pagtuklas ng neutron, at bagaman naunawaan ni W. Heisenberg na posible na ilarawan ang nuclei bilang binubuo ng mga neutron at proton, hindi pa rin niya mapupuksa ang ideya na ang neutron ay dapat na sa huli ay binubuo ng isang proton at isang elektron. Sa kasong ito, isang pagkakatulad ay lumitaw sa pagitan ng pakikipag-ugnay sa sistema ng neutron-proton at ang pakikipag-ugnay ng atom ng hydrogen at ang proton. Ito ang pagkakatulad na ito ang humantong sa kanya sa konklusyon na dapat mayroong mga puwersa ng pakikipagpalitan sa pagitan ng isang neutron at isang proton, na kung saan ay magkatulad sa mga pwersa ng palitan sa sistema ng H - H sanhi ng paglipat ng isang elektron sa pagitan ng dalawang proton. ... Nang maglaon, ang pagkakaroon ng mga puwersa ng pakikipagpalitan sa pagitan ng isang neutron at isang proton ay subalit napatunayan, bagaman hindi nila lubusang maubos

pakikipag-ugnayan sa pagitan ng dalawang mga partikulo ... Ngunit, kasunod ng parehong pagkakatulad, dumating si W. Heisenberg sa konklusyon tungkol sa kawalan ng mga puwersa ng nukleyar ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng dalawang proton at sa pag-post ng repulsion sa pagitan ng dalawang neutrons. Parehong sa huli na natuklasan ay salungat sa data ng mga pag-aaral sa paglaon. "

Si A. Einstein ay isa sa mga mahusay na masters ng eksperimento sa pag-iisip. Narito ang isa sa kanyang mga eksperimento. Inimbento ito noong kanyang kabataan at, sa huli, ay humantong sa pagtatayo ng espesyal na teorya ng kapamanggitan. Ipagpalagay na sa klasikal na pisika ay sinusunod namin ang isang light wave sa bilis ng ilaw. Mamamasid kami ng isang pana-panahong pagbabago sa espasyo at pare-pareho sa larangan ng electromagnetic. Ayon sa mga equation ni Maxwell, hindi ito maaaring. Samakatuwid ang batang Einstein ay nagtapos: alinman sa mga batas ng kalikasan na pagbabago kapag ang frame ng sanggunian ay nagbago, o ang bilis ng ilaw ay hindi nakasalalay sa balangkas ng sanggunian. Pinili niya ang pangalawa, mas magandang pagpipilian. Ang isa pang sikat na pag-iisip na eksperimento ng Einstein ay ang Einstein-Podolsky-Rosen Paradox.

At narito ang uri 8, malawakang ginagamit sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Ito rin ay naisip na mga eksperimento sa mga haka-haka na nilalang, na nagpapakita na ang di-umano’y kababalaghan ay naaayon sa mga pangunahing prinsipyo at pare-pareho sa loob. Ito ang pangunahing pagkakaiba sa mga modelo ng Type 7, na nagpapakita ng mga nakatagong mga pagkakasalungatan.

Ang isa sa mga pinakatanyag sa mga eksperimento na ito ay ang geometry ni Lobachevsky. Ang isa pang halimbawa ay ang paggawa ng masa ng pormal na mga modelo ng kinetic ng kemikal at biological oscillations, autowaves, atbp. Ang Einstein - Podolsky - Rosen paradox ay ipinaglihi bilang isang uri ng 7 modelo upang ipakita ang hindi pagkakapareho ng mga mekanika ng kabuuan. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa paglipas ng panahon, ito ay naging isang modelo ng Uri 8 - isang pagpapakita ng posibilidad ng dami ng teleportation ng impormasyon.

Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang tagsibol na nakakabit sa isang dulo at isang bigat ng masa m na nakadikit sa libreng pagtatapos ng tagsibol. Ipapalagay namin na ang bigat ay maaari lamang ilipat sa direksyon ng axis ng tagsibol. Gumawa tayo ng isang matematikal na modelo ng sistemang ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya x mula sa gitna ng pagkarga sa posisyon ng balanse nito. Isalarawan natin ang pakikipag-ugnay ng isang tagsibol at isang pag-load gamit ang batas ni Hooke at pagkatapos ay gamitin ang pangalawang batas ni Newton upang ipahayag ito sa anyo ng isang kaugalian na pagkakapareho:

kung saan nangangahulugang ang pangalawang beses na nagmula ng x ..

Ang nagresultang equation ay naglalarawan sa matematikal na modelo ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang pattern na ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, puro, tuluy-tuloy. Sa proseso ng pagtatayo nito, gumawa kami ng maraming mga pagpapalagay na sa katotohanan ay maaaring hindi natupad.

Kaugnay ng katotohanan, ito ay madalas na isang uri ng 4 na modelo ng pagiging simple, dahil ang ilang mga mahahalagang unibersal na tampok ay tinanggal. Sa ilang mga pagtatantya, ang gayong modelo ay naglalarawan nang lubos ng isang tunay na mekanikal na sistema, mula pa

ang mga itinapon na mga kadahilanan ay may kapabayaang impluwensya sa kanyang pag-uugali. Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pinuhin sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo na may mas malawak na hanay ng kakayahang magamit.

Gayunpaman, kapag ang modelo ay pino, ang pagiging kumplikado ng pananaliksik sa matematika nito ay maaaring makabuluhang taasan at gawing halos walang silbi ang modelo. Kadalasan, ang isang mas simpleng modelo ay nagbibigay-daan para sa isang mas mahusay at mas malalim na pagsisiyasat ng tunay na sistema kaysa sa isang mas kumplikado.

Kung inilalapat namin ang nakapipinsalang modelo ng oscillator sa mga bagay na malayo sa pisika, maaaring magkakaiba ang makabuluhang katayuan nito. Halimbawa, kapag nag-aaplay ang modelong ito sa mga populasyon ng biyolohikal, malamang na ito ay maaring iuriin bilang isang uri ng pagkakatulad.

Mahirap at malambot na mga modelo.

Ang Harmonic Oscillator ay isang halimbawa ng isang tinatawag na "hard" na modelo. Ito ay nakuha bilang isang resulta ng isang malakas na pag-idealize ng isang tunay na pisikal na sistema. Upang malutas ang isyu ng kakayahang magamit nito, kinakailangan upang maunawaan kung gaano kahalaga ang mga kadahilanan na ating napabayaan. Sa madaling salita, kinakailangan upang siyasatin ang "malambot" na modelo, na nakuha sa pamamagitan ng isang maliit na pagbubutas ng "mahirap". Maaari itong ibigay, halimbawa, sa pamamagitan ng mga sumusunod na equation:

Narito ang ilang pag-andar, na maaaring isaalang-alang ang puwersa ng alitan o ang pag-asa ng koepisyent ng higpit ng tagsibol sa antas ng pagpapalawak nito, ε ang ilang maliit na parameter. Hindi kami interesado sa tahasang anyo ng function f sa ngayon. Kung mapatunayan natin na ang pag-uugali ng malambot na modelo ay hindi sa panimula naiiba sa pag-uugali ng mahigpit na modelo, ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng mahigpit na modelo. Kung hindi man, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha sa pag-aaral ng mahigpit na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon sa harmonic oscarillation equation ay mga function ng form

Iyon ay, mga osilasyon na may pare-pareho ang malawak. Sinusundan ba nito mula sa isang tunay na osileytor na mag-oscillate para sa isang walang hanggan na mahabang panahon na may isang palaging amplitude? Hindi, dahil isinasaalang-alang ang isang system na may mga di-makatwirang maliit na alitan, nakakakuha kami ng mga naka-dimpang mga oscillation. Ang pag-uugali ng system ay nagbago nang husay.

Kung pinanatili ng isang sistema ang pag-uugali sa husay sa ilalim ng isang maliit na kaguluhan, sinasabing matatag ang istruktura. Ang harmonic osilator ay isang halimbawa ng isang istruktura na hindi matatag na sistema. Gayunpaman, ang modelong ito ay maaaring mailapat sa mga proseso ng pag-aaral sa mga limitadong agwat ng oras.

Kakayahan ng mga modelo.

Ang pinakamahalagang modelo ng matematika ay karaniwang may isang mahalagang pag-aari ng unibersidad: sa panimula ang iba't ibang mga tunay na phenomena ay maaaring inilarawan ng parehong modelo ng matematika. Halimbawa, ang isang harmonic osilator ay naglalarawan hindi lamang sa pag-uugali ng isang pag-load sa isang tagsibol, kundi pati na rin ang iba pang mga proseso ng oscillatory, madalas na isang ganap na kakaibang kalikasan: maliit na oscillations ng isang palawit, mga oscillations ng antas ng likido sa isang sasakyang may hugis-U, o isang pagbabago sa kasalukuyang lakas sa isang oscillatory circuit. Sa gayon, pag-aaral ng isang modelo ng matematika, nag-aaral kami nang sabay-sabay sa isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito ay isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang mga segment ng kaalamang siyentipiko na ang pag-asa ni Ludwig von Bertalanffy upang lumikha ng isang "Pangkalahatang teorya ng mga system".

Direktang at baligtad na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Maraming mga problema na nauugnay sa pagmomolde ng matematika. Una, kinakailangang makabuo ng pangunahing pamamaraan ng modelo ng bagay, upang muling gawin ito sa loob ng balangkas ng mga ideyalisasyon ng agham na ito. Kaya, ang kotse ng tren ay nagiging isang sistema ng mga plato at mas kumplikado

ang mga katawan na gawa sa iba't ibang mga materyales, ang bawat materyal ay itinakda bilang pamantayang mekanikal na pag-ideal, pagkatapos kung saan ang mga equation ay iginuhit, kasama ang paraan na ang ilang mga detalye ay itinapon bilang hindi gaanong mahalaga, ang mga kalkulasyon ay ginawa, kumpara sa mga pagsukat, ang modelo ay pino, at iba pa. Gayunpaman, para sa pagbuo ng mga teknolohiyang pagmomolde ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa pangunahing mga elemento ng nasasakupan.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang gawain: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay ang magsagawa ng isang pag-aaral ng modelo upang kunin ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Anong static load ang makatiis sa tulay? Paano ito magiging reaksyon sa isang pabagu-bago ng pag-load, kung paano ang isang eroplano ay pagtagumpayan ang tunog ng hadlang, kung babagsak ito mula sa flutter - ang mga ito ay karaniwang mga halimbawa ng isang direktang gawain. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung ang mga tamang katanungan ay hindi tinanong, ang tulay ay maaaring gumuho, kahit na ang isang mahusay na modelo ay itinayo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879 sa Great Britain, ang isang tulay na metal sa ibabaw ng Tay ay gumuho, ang mga taga-disenyo ng kung saan nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito para sa isang 20-tiklop na kadahilanan sa kaligtasan para sa kargamento, ngunit nakalimutan ang tungkol sa hangin na patuloy na pumutok sa mga lugar na iyon. At makalipas ang isang taon at kalahati, bumagsak ito.

SA sa pinakasimpleng kaso, ang direktang problema ay napaka-simple at binabawasan sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Baligtad na problema: maraming posibleng mga modelo ang kilala, kinakailangang pumili ng isang tukoy na modelo batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Mas madalas kaysa sa hindi, ang istraktura ng modelo ay kilala at ang ilang mga hindi kilalang mga parameter ay dapat matukoy. Ang karagdagang impormasyon ay maaaring karagdagang data ng empirikal, o mga kinakailangan para sa bagay. Ang mga karagdagang data ay maaaring dumating nang nakapag-iisa sa proseso ng paglutas ng kabaligtaran na problema o ang resulta ng isang eksperimento na espesyal na binalak sa panahon ng solusyon.

Ang isa sa mga unang halimbawa ng isang virtuoso solution ng kabaligtaran na problema sa ganap na posibleng paggamit ng magagamit na data ay ang pamamaraan ng pagpapanumbalik ng mga puwersa ng alitan mula sa naobserbahang mga naka-dimpang mga oscillations, na itinayo ni I. Newton.

SA ang isa pang halimbawa ay mga istatistika sa matematika. Ang gawain ng agham na ito ay upang makabuo ng mga pamamaraan ng pagpaparehistro, paglalarawan at pagsusuri ng data sa pagmamasid at pang-eksperimento upang makabuo ng mga probabilistikong modelo ng mass random phenomena. Ang mga iyon. ang hanay ng mga posibleng modelo ay limitado sa mga probabilistikong modelo. Sa mga tiyak na gawain, ang hanay ng mga modelo ay mas limitado.

Computer simulation system.

Upang suportahan ang pagmomolde ng matematika, ang mga sistema ng matematika sa computer ay binuo, halimbawa, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, atbp. Pinapayagan ka nilang lumikha ng pormal at bloke ng mga modelo ng parehong simple at kumplikadong mga proseso at aparato at madaling baguhin ang mga modelo ng modelo sa panahon ng pagmomolde. Ang mga modelo ng bloke ay kinakatawan ng mga bloke, ang hanay at koneksyon na kung saan ay tinukoy ng diagram ng modelo.

Mga karagdagang halimbawa.

Ang rate ng paglago ay proporsyonal sa kasalukuyang laki ng populasyon. Inilarawan ito ng kaugalian equation

kung saan ang α ay ilang mga parameter na tinutukoy ng pagkakaiba sa pagitan ng pagkamayabong at dami ng namamatay. Ang solusyon sa equation na ito ay ang exponential function x \u003d x0 e. Kung ang rate ng kapanganakan ay lumampas sa rate ng kamatayan, ang laki ng populasyon ay lumalaki nang walang hanggan at napakabilis. Malinaw na sa katotohanan hindi ito maaaring mangyari dahil sa mga limitasyon

mga mapagkukunan. Kapag naabot ang isang tiyak na kritikal na dami ng populasyon, ang modelo ay tumigil na maging sapat, dahil hindi isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan. Ang modelo ng lohikal, na inilarawan ng equation ng Verhulst kaugalian, ay maaaring magsilbing isang pagpipino ng modelo ng Malthus

kung saan ang xs ay ang "balanse" na laki ng populasyon kung saan ang rate ng kapanganakan ay eksaktong binabayaran ng dami ng namamatay. Ang laki ng populasyon sa naturang modelo ay may kaugaliang halaga ng balanse ng balanse, at ang pag-uugali na ito ay istruktura na matatag.

Sabihin nating ang dalawang uri ng mga hayop ay nakatira sa isang tiyak na teritoryo: ang mga kuneho at mga fox. Hayaan ang bilang ng mga kuneho ay x, ang bilang ng mga fox y. Gamit ang modelo ng Malthus na may kinakailangang pagwawasto, na isinasaalang-alang ang pagkain ng mga kuneho ng mga fox, dumarating tayo sa sumusunod na sistema, na pinangalanan sa modelo ng Lotka - Volterra:

Ang sistemang ito ay may estado ng balanse kapag ang bilang ng mga rabbits at fox ay pare-pareho. Ang paglihis mula sa estado na ito ay humahantong sa pagbabagu-bago sa bilang ng mga kuneho at mga fox, magkakatulad sa pagbabagu-bago sa harmonic osilator. Tulad ng sa kaso ng isang harmonic osilator, ang pag-uugali na ito ay hindi istruktura na matatag: ang isang maliit na pagbabago sa modelo ay maaaring humantong sa isang husay na pagbabago sa pag-uugali. Halimbawa, ang estado ng balanse ay maaaring maging matatag, at ang pagbabagu-bago sa mga numero ay malalanta. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng balanse ay hahantong sa mga kahihinatnan sa sakuna, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Ang modelong Volterra-Lotka ay hindi nagbibigay ng sagot sa tanong kung alin sa mga sitwasyong ito ang natanto: ang karagdagang pananaliksik ay kinakailangan dito.

Unang antas

Mga modelo ng matematika para sa OGE at GAMIT (2019)

Ang konsepto ng isang modelo ng matematika

Isipin ang isang eroplano: mga pakpak, fuselage, unit ng buntot, lahat ng ito nang magkasama - isang tunay na napakalaking, napakalawak, buong eroplano. O maaari kang gumawa ng isang modelo ng isang eroplano, maliit, ngunit ang lahat ay totoo, ang parehong mga pakpak, atbp, ngunit compact. Gayundin ang modelo ng matematika. Mayroong isang problema sa salita, masalimuot, maaari mong tingnan ito, basahin ito, ngunit hindi masyadong maintindihan, at kahit na mas malinaw kung paano malutas ito. Ngunit paano kung gumawa kami ng isang maliit na modelo ng isang malaking problema sa pandiwang, isang modelo ng matematika? Ano ang ibig sabihin ng matematika? Nangangahulugan ito, ang paggamit ng mga patakaran at batas ng matematika na notasyon, upang gawing muli ang teksto sa isang lohikal na wastong representasyon gamit ang mga numero at mga palatandaan ng aritmetika. Kaya, isang modelo ng matematika ay isang representasyon ng isang tunay na sitwasyon gamit ang isang matematikal na wika.

Magsimula tayo sa isang simple: Ang bilang ay mas malaki kaysa sa bilang ng. Kailangan nating isulat ito, hindi gumagamit ng mga salita, ngunit ang wika lamang ng matematika. Kung ito ay higit pa, pagkatapos ay lumiliko na kung ibawas natin mula sa, kung gayon ang parehong pagkakaiba ng mga bilang na ito ay mananatiling pantay. Ang mga iyon. o. Hindi maintindihan ang kakanyahan?

Ngayon mas mahirap, ngayon magkakaroon ng isang teksto na dapat mong subukang kumatawan sa anyo ng isang modelo ng matematika, hanggang sa mabasa mo kung paano ko ito gagawin, subukan mo mismo! Mayroong apat na numero:, at. Ang gawain ay mas malaki kaysa sa trabaho at dalawang beses.

Anong nangyari?

Sa anyo ng isang modelo ng matematika, magiging ganito ang hitsura:

Ang mga iyon. ang produkto ay nauugnay bilang dalawa hanggang isa, ngunit maaari pa itong gawing simple:

Well, okay, sa mga simpleng halimbawa na nakukuha mo ang punto, sa palagay ko. Lumipat tayo sa mga kumpletong problema kung saan kailangan pa ring lutasin ang mga modelong matematika na ito! Narito ang hamon.

Modelong pang-matematika sa pagsasanay

Suliranin 1

Pagkatapos ng ulan, maaaring tumaas ang antas ng tubig sa balon. Sinusukat ng batang lalaki ang oras ng pagbagsak ng mga maliliit na bato sa balon at kinakalkula ang distansya sa tubig gamit ang pormula, kung saan ang distansya sa mga metro at ang oras ng pagbagsak ng mga segundo. Bago ang ulan, ang oras para sa mga bato na mahulog ay s. Gaano karaming dapat tumaas ang antas ng tubig pagkatapos ng ulan para sa sinusukat na oras upang mabago ng s? Ipahayag ang iyong sagot sa metro.

Diyos ko! Ano ang mga formula, anong uri ng maayos, kung ano ang mangyayari, kung ano ang gagawin? Nabasa ko ba ang isip mo? Mamahinga, sa mga problema ng ganitong uri ng mga kondisyon ay mas masahol pa, ang pangunahing bagay ay tandaan na sa problemang ito ay interesado ka sa mga pormula at relasyon sa pagitan ng mga variable, at kung ano ang ibig sabihin ng lahat ng ito sa karamihan ng mga kaso ay hindi napakahalaga. Ano ang nakikita mong kapaki-pakinabang dito? Personal kong nakikita. Ang prinsipyo para sa paglutas ng mga problemang ito ay ang mga sumusunod: kunin ang lahat ng kilalang dami at papalit sa kanila.PERO, minsan kailangan mong mag-isip!

Kasunod ng aking unang payo, at paghahalili ng lahat na kilala sa equation, nakukuha namin:

Ako ang humalili sa oras ng isang segundo, at natagpuan ang taas na lumipad ang bato bago umulan. At ngayon kailangan nating mabilang pagkatapos ng ulan at hanapin ang pagkakaiba!

Makinig sa pangalawang payo at isipin ang tungkol dito, tinukoy ng tanong na "kung magkano ang antas ng tubig na dapat tumaas pagkatapos ng ulan para sa sinusukat na oras upang mabago ng s". Agad na kinakailangan upang matantya, soooo, pagkatapos ng pag-ulan ay tumataas ang antas ng tubig, na nangangahulugang ang oras ng bato na bumabagsak sa antas ng tubig ay mas kaunti, at narito ang ornate na parirala "upang ang mga nasusukat na oras na pagbabago" ay tumatagal sa isang tiyak na kahulugan: ang oras ng taglagas ay hindi tataas, ngunit bumababa ng tinukoy na mga segundo. Nangangahulugan ito na sa kaso ng isang pagtapon pagkatapos ng ulan, kailangan lang nating ibawas ang c mula sa paunang oras c, at nakakakuha tayo ng equation para sa taas na ang bato ay lilipad pagkatapos ng ulan:

At sa wakas, upang malaman kung magkano ang antas ng tubig ay dapat na tumaas pagkatapos ng ulan, upang ang sinusukat na oras ay nagbabago ng s., Kailangan mo lamang ibawas ang pangalawang taas ng pagkahulog mula sa una!

Nakukuha namin ang sagot: sa pamamagitan ng metro.

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado, ang pangunahing bagay ay, huwag mag-abala nang labis kung saan ang tulad ng isang hindi maintindihan at kung minsan ay kumplikado na equation ay nagmula sa mga kondisyon at kung ano ang ibig sabihin nito, maniwala ka sa akin, ang karamihan sa mga equation na ito ay kinuha mula sa pisika, at mayroong isang gubat na mas masahol kaysa sa algebra. Minsan sa palagay sa akin na ang mga problemang ito ay naimbento upang ma-intimidate ang mag-aaral sa pagsusulit na may maraming mga kumplikadong pormula at termino, at sa karamihan ng mga kaso hindi nila hinihiling ang halos anumang kaalaman. Basahin lamang nang mabuti ang kundisyon at i-plug ang mga kilalang halaga sa formula!

Narito ang isa pang problema, hindi na sa pisika, ngunit mula sa mundo ng teoryang pangkabuhayan, bagaman ang kaalaman sa mga agham maliban sa matematika ay hindi kinakailangan dito muli.

Suliranin 2

Ang pag-asa ng dami ng hinihiling (mga yunit bawat buwan) para sa mga produkto ng monopolist enterprise sa presyo (libong rubles) ay ibinibigay ng pormula

Ang kita ng kumpanya para sa isang buwan (sa libong rubles) ay kinakalkula gamit ang pormula. Alamin ang pinakamataas na presyo kung saan ang buwanang kita ay hindi bababa sa libong rubles. Ibigay ang iyong sagot sa libong rubles.

Hulaan kung ano ang gagawin ko ngayon? Oo, sisimulan kong palitan ang nalalaman natin, ngunit, muli, kakailanganin kong mag-isip nang kaunti. Tayo mula sa dulo, kailangan nating hanapin kung saan. Kaya, mayroong, katumbas sa isang tao, nalaman natin kung ano pa ang katumbas, at pantay-pantay ito, at isusulat natin ito. Tulad ng nakikita mo, hindi ako talagang nag-abala tungkol sa kahulugan ng lahat ng mga halagang ito, tumingin lang ako mula sa mga kondisyon na kung ano ang pantay, kaya kailangan mong gawin ito. Magbalik tayo sa problema, mayroon ka na, ngunit habang naaalala mo mula sa isang equation na may dalawang variable, wala sa mga ito ang matatagpuan, ano ang gagawin? Oo, mayroon pa kaming isang hindi nagamit na piraso sa kondisyon. Ngayon, mayroon nang dalawang mga equation at dalawang variable, na nangangahulugang ngayon ang parehong mga variable ay matatagpuan - mahusay!

- malulutas mo ba ang ganitong sistema?

Malutas natin ito sa pamamagitan ng pagpapalit, naipahayag na natin ito, na nangangahulugang pinapalitan natin ito sa unang equation at pinasimple.

Ito ay lumiliko tulad ng isang kuwadradong equation:, malutas namin, ang mga ugat ay katulad nito,. Sa gawain ay kinakailangan upang mahanap ang pinakamataas na presyo kung saan ang lahat ng mga kundisyon na isinasaalang-alang namin nang matugunan ang system. Oh, ito ay ang presyo. Malamig, kaya nakita namin ang mga presyo: at. Ang pinakamataas na presyo, sabi mo? Okay, ang pinakamalaking sa kanila, malinaw naman, ay bilang tugon at sumulat kami. Eh, mahirap ba? Sa palagay ko hindi, at hindi na kailangang mag-delve ng sobra!

At narito ang nakakatakot na pisika, o sa halip, isa pang hamon:

Suliranin 3

Upang matukoy ang epektibong temperatura ng mga bituin, ginagamit ang batas ng Stefan - Boltzmann, ayon sa kung saan, kung saan ay ang kapangyarihan ng radiation ng bituin, ay palaging, ay ang lugar ng ibabaw ng bituin, at ang temperatura. Ito ay kilala na ang ibabaw na lugar ng ilang bituin ay pantay, at ang kapangyarihan ng radiation nito ay katumbas ng W. Hanapin ang temperatura ng bituin na ito sa mga degree Kelvin.

Saan nanggaling? Oo, sinasabi ng kondisyon kung ano ang pantay. Noong nakaraan, inirerekumenda kong palitan ang lahat ng mga hindi alam nang sabay-sabay, ngunit narito na mas mahusay na ipahayag muna ang hindi kilalang hinahangad. Tingnan kung gaano simple ang lahat: mayroong isang pormula at ito ay kilala sa loob nito, at (ito ang titik na Griego na "sigma". Sa pangkalahatan, ang mga pisiko ay gustung-gusto ang mga titik na Greek, masanay ito). At ang temperatura ay hindi alam. Ipahayag natin ito bilang isang pormula. Inaasahan kong alam mo kung paano gawin ito? Ang ganitong mga atas para sa GIA sa grade 9 ay karaniwang nagbibigay ng:

Ngayon ay nananatili itong kapalit ng mga numero sa halip na mga titik sa kanang bahagi at gawing simple:

Narito ang sagot: degree Kelvin! At isang kakila-kilabot na gawain ito!

Patuloy kaming pinahihirapan ang mga gawain sa pisika.

Gawain 4

Ang taas sa itaas ng lupa ng isang bola na itinapon pataas ayon sa batas, kung saan ang taas sa mga metro, ay ang oras sa mga segundo na lumipas mula sa pagtapon. Ilang segundo ang bola ay mananatiling hindi bababa sa tatlong metro ang taas?

Iyon ang lahat ng mga equation, ngunit narito kinakailangan upang matukoy kung magkano ang bola sa taas na hindi bababa sa tatlong metro, nangangahulugan ito sa isang taas. Ano ang aming isulat? Hindi kawastuhan, eksaktong! Mayroon kaming isang function na naglalarawan kung paano lumipad ang bola, kung saan ang parehong taas sa mga metro, kailangan namin ang taas. Nangangahulugan

At ngayon malulutas mo lamang ang hindi pagkakapantay-pantay, ang pangunahing bagay ay, huwag kalimutang baguhin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay mula sa higit o katumbas ng mas kaunti, o pantay, kapag pinarami mo ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, upang maalis ang minus bago.

Ito ang mga ugat, nagtatayo kami ng mga agwat para sa hindi pagkakapantay-pantay:

Kami ay interesado sa agwat kung saan ang minus sign, dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumatagal ng mga negatibong halaga doon, mula ito sa parehong pagkakasama. At ngayon binalingan namin ang utak at maingat na iniisip: para sa hindi pagkakapantay-pantay na ginamit namin ang equation na naglalarawan ng paglipad ng bola, kahit papaano ay lilipad sa isang parabola, i.e. tumatagal ito, umabot sa isang rurok at bumagsak, kung paano maintindihan kung gaano katagal ito sa isang taas ng hindi bababa sa metro? Natagpuan namin ang 2 mga puntos sa pagsira, i.e. ang sandali kapag siya ay nagbabad sa taas ng metro at sa sandaling siya, bumabagsak, naabot ang parehong marka, ang dalawang puntos na ito ay ipinahayag sa amin sa anyo ng oras, i.e. alam namin sa kung ano ang pangalawa ng paglipad na siya ay pumasok sa zone ng interes sa amin (sa itaas ng metro) at sa kung saan siya ay iniwan niya (nahulog sa ibaba ng marka ng mga metro). Ilang segundo siya sa zone na ito? Ito ay lohikal na ginugol namin ang oras na umalis sa zone at ibawas ang oras ng pagpasok sa zone na ito mula dito. Alinsunod dito: - sa gayon siya ay nasa zone sa itaas ng metro, ito ang sagot.

Napakasuwerte mo na ang karamihan sa mga halimbawa sa paksang ito ay maaaring makuha mula sa kategorya ng mga problema sa pisika, kaya mahuli ang isa pa, ito ang pangwakas, kaya itulak ang iyong sarili, kakaunti ang natira!

Suliranin 5

Para sa isang elemento ng pag-init ng isang tiyak na aparato, ang pag-asa sa temperatura sa oras ng pagpapatakbo ay nakuha sa eksperimento:

Nasaan ang oras sa ilang minuto,. Ito ay kilala na sa isang temperatura ng elemento ng pag-init sa itaas ng aparato ay maaaring lumala, samakatuwid dapat itong i-off. Hanapin ang pinakamahabang oras pagkatapos simulan ang trabaho upang i-off ang aparato. Ipahayag ang iyong sagot sa ilang minuto.

Kumikilos kami ayon sa isang debug na pamamaraan, lahat ng ibinibigay, una naming isusulat:

Ngayon kinuha namin ang pormula at pinagsama ito sa halaga ng temperatura na kung saan ang aparato ay maaaring pinainit hangga't maaari hanggang sa masunog ito, iyon ay:

Ngayon ay pinalitan namin ang mga numero sa halip na mga titik kung saan sila kilala:

Tulad ng nakikita mo, ang temperatura sa panahon ng pagpapatakbo ng aparato ay inilarawan sa pamamagitan ng isang kuwadradong equation, na nangangahulugang ipinamamahagi ito kasama ang isang parabola, i.e. ang aparato ay nagpapainit hanggang sa isang tiyak na temperatura, at pagkatapos ay pinapalamig. Nakatanggap kami ng mga sagot at, samakatuwid, kasama at may mga minuto ng pag-init, ang temperatura ay katumbas ng kritikal, ngunit sa pagitan at minuto - mas mataas ito kaysa sa limitasyon!

Nangangahulugan ito na kailangan mong patayin ang aparato sa ilang minuto.

Mga Module ng MATEMATIKAL. BRIEFLY TUNGKOL SA MAIN

Kadalasan, ginagamit ang mga modelo ng matematika sa pisika: pagkatapos ng lahat, marahil ay kailangan mong kabisaduhin ang dose-dosenang mga pisikal na formula. At ang pormula ay ang representasyon ng matematika ng sitwasyon.

Sa OGE at ang Pinagkaisang Estado ng Pagsusulit ay may mga gawain lamang sa paksang ito. Sa exam (profile), ito ang problem number 11 (dating B12). Sa OGE - bilang ng gawain 20.

Ang pamamaraan ng solusyon ay malinaw:

1) Kinakailangan na "ihiwalay" ang kapaki-pakinabang na impormasyon mula sa teksto ng kondisyon - kung ano ang isusulat namin sa ilalim ng salitang "Ibigay" sa mga problema sa pisika. Ang kapaki-pakinabang na impormasyong ito ay:

• Pormula
• Kilalang pisikal na dami.

Iyon ay, ang bawat titik mula sa pormula ay dapat na nauugnay sa isang tiyak na bilang.

2) Kinukuha mo ang lahat ng mga kilalang dami at pinapalitan ang mga ito sa formula. Ang hindi kilalang halaga ay nananatili sa anyo ng isang liham. Ngayon ang kailangan mo lang gawin ay malutas ang equation (karaniwang isang medyo simple) at handa na ang sagot.

Kaso, natapos na ang paksa. Kung binabasa mo ang mga linya na ito, kung gayon ikaw ay sobrang cool.

Sapagkat 5% lamang ng mga tao ang may kakayahang makabago ng kanilang sarili. At kung nabasa mo hanggang sa huli, nasa 5% ka na!

Ngayon ay ang pinakamahalagang bagay.

Nalaman mo ang teorya sa paksang ito. At muli, ito ay ... ito ay sobrang! Mas mahusay ka kaysa sa ganap na karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...

Para saan?

Upang matagumpay na maipasa ang pagsusulit, upang makapasok sa instituto sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, para sa buhay.

Hindi kita makukumbinsi kahit ano, sasabihin ko lang ang isang bagay ...

Ang mga taong nakatanggap ng isang mahusay na edukasyon ay kumita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ang mga istatistika.

Ngunit hindi rin ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay sila ay KARAGDAGANG HABANG (may mga pag-aaral na tulad). Marahil dahil maraming mga pagkakataon para sa kanila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? Hindi ko alam...

Ngunit isipin mo ang iyong sarili ...

Ano ang kinakailangan upang siguraduhin na mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at maging sa huli ... mas masaya?

KUMUHA NG HAND SOLVING PROBLEMA SA PAKSA NA ITO.

Sa pagsusulit, hindi ka hihilingin sa teorya.

Kakailanganin mong malutas ang mga gawain para sa isang habang.

At kung hindi mo malutas ang mga ito (Isang LOT!), Siguradong pupunta ka sa isang lugar na tangang nagkakamali o sadyang hindi magiging oras.

Tulad ng sa sports - kailangan mong ulitin nang paulit-ulit upang manalo para sigurado.

Maghanap ng isang koleksyon kung saan mo nais, kinakailangan sa mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at kami, siyempre, inirerekumenda ang mga ito.

Upang punan ang iyong kamay sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong makatulong na mapalawak ang buhay ng aklat ng YouClever na kasalukuyang binabasa mo.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. Ibahagi ang lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito - 299 r
2. I-unlock ang pag-access sa lahat ng mga nakatagong mga gawain sa lahat ng 99 mga artikulo ng tutorial - 999 RUB

Oo, mayroon kaming 99 tulad ng mga artikulo sa aming aklat-aralin at pag-access para sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa kanila ay maaaring mabuksan kaagad.

Sa pangalawang kaso bibigyan ka namin simulator "6000 mga problema sa mga solusyon at sagot, para sa bawat paksa, para sa lahat ng antas ng pagiging kumplikado." Ito ay tiyak na sapat upang makakuha ng isang hawakan sa paglutas ng mga problema sa anumang paksa.

Sa katunayan, ito ay higit pa sa isang simulator - isang buong programa ng pagsasanay. Kung kinakailangan, maaari mo ring gamitin ito nang LIBRE.

Ang access sa lahat ng mga teksto at programa ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.

Sa konklusyon ...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lamang tumira sa teorya.

"Hindi maunawaan" at "nagagawa kong malutas" ay lubos na magkakaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at paglutas!

Ayon sa aklat-aralin ng Sovetov at Yakovlev: "ang isang modelo (lat. Modulus - sukatan) ay isang kahalili na bagay para sa orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." (p. 6) "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa mga pinakamahalagang katangian ng orihinal na bagay gamit ang modelo ng modelo ay tinatawag na pagmomolde." (p. 6) "Sa pamamagitan ng pagmomolde ng matematika, ang ibig sabihin namin ay ang proseso ng pagtaguyod ng mga liham sa isang naibigay na tunay na bagay ng isang tiyak na bagay sa matematika, na tinatawag na modelo ng matematika, at pag-aaral ng modelong ito, na nagbibigay-daan sa isang makukuha ang mga katangian ng itinuturing na tunay na bagay. Ang uri ng modelo ng matematika ay nakasalalay pareho sa likas na katangian ng tunay na bagay at sa mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at kawastuhan sa paglutas ng problemang ito. "

Sa wakas, ang pinaka maigsi na kahulugan ng isang modelo ng matematika: "Isang equation na nagpapahayag ng isang ideya."

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Ang pormal na pag-uuri ng mga modelo ay batay sa pag-uuri ng mga gamit sa matematika na ginamit. Madalas na itinayo sa anyo ng mga dichotomies. Halimbawa, isa sa mga tanyag na hanay ng mga dichotomies:

atbp. Ang bawat itinayo na modelo ay linear o nonlinear, deterministic o stochastic, ... Naturally, halo-halong mga uri ay posible rin: sa isang paggalang, puro (sa mga tuntunin ng mga parameter), sa isa pa, ipinamamahaging modelo, atbp.

Pag-uuri sa pamamagitan ng paraan ng paglalagay ng bagay

Kasabay ng pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay naiiba sa paraan ng isang bagay na kinakatawan:

• Mga modelo ng istruktura o functional

Ang mga modelo ng istruktura ay kumakatawan sa isang bagay bilang isang sistema na may sariling istraktura at mekanismo ng paggana. Ang mga function na modelo ay hindi gumagamit ng gayong mga representasyon at sumasalamin lamang sa panlabas na nakikita na pag-uugali (gumagana) ng isang bagay. Sa kanilang matinding pagpapahayag, tinawag din silang mga modelo na "itim na kahon." Ang mga pinagsamang uri ng mga modelo ay posible rin, na kung minsan ay tinatawag na mga "grey box" na mga modelo.

Napakahusay at pormal na mga modelo

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomolde ng matematika ay nagpapahiwatig na ang isang espesyal na perpektong istraktura ay unang itinayo, makabuluhang modelo ... Walang itinatag na terminolohiya dito, at ang iba pang mga may-akda ay tumawag sa perpektong bagay na ito modelo ng konsepto , haka-haka modelo o premodel ... Sa kasong ito, ang pangwakas na pagtatayo ng matematika ay tinatawag pormal na modelo o simpleng modelo ng matematika na nakuha bilang isang resulta ng pag-formalize ng isang naibigay na makabuluhang modelo (pre-model). Ang pagtatayo ng isang makabuluhang modelo ay maaaring gawin gamit ang isang hanay ng mga yari na idealisasyon, tulad ng sa mga mekanika, kung saan ang mga perpektong bukal, matigas na katawan, mainam na mga palawit, nababanat na media, atbp ay nagbibigay ng handa na mga istrukturang elemento para sa makabuluhang pagmomolde. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na teorya (ang pagputol ng gilid ng pisika, biology, ekonomiya, sosyolohiya, sikolohiya, at karamihan sa iba pang mga lugar), ang paglikha ng mga makabuluhang modelo ay nagiging mas mahirap.

Napakahusay na pag-uuri ng mga modelo

Walang hypothesis sa agham ang napatunayan nang isang beses at para sa lahat. Malinaw na inilinaw ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may pagkakataon na pinabulaanan ang isang teorya, ngunit, pansinin, hindi natin mapapatunayan na tama ito. Ipagpalagay na nakabuo ka ng isang mahusay na hypothesis, kalkulahin kung saan ito ang nangunguna, at alamin na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimento. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lamang na nabigo ka upang talin ito. "

Kung ang isang modelo ng unang uri ay itinayo, pagkatapos ay nangangahulugan ito na pansamantalang kinikilala bilang totoo at maaari kang tumutok sa iba pang mga problema. Gayunpaman, hindi ito maaaring maging isang punto sa pananaliksik, ngunit isang pansamantalang pag-pause lamang: ang katayuan ng isang modelo ng unang uri ay maaaring pansamantala lamang.

Uri ng 2: Modelo ng Phenomenological (kumilos na parang…)

Ang modelo ng phenomenological ay naglalaman ng isang mekanismo para sa paglalarawan ng kababalaghan. Gayunpaman, ang mekanismo na ito ay hindi nakakumbinsi ng sapat, hindi maaaring sapat na makumpirma ng magagamit na data, o hindi sumasang-ayon nang mabuti sa umiiral na mga teorya at naipon na kaalaman tungkol sa bagay. Samakatuwid, ang mga modelo ng phenomenological ay may katayuan ng pansamantalang mga solusyon. Ito ay pinaniniwalaan na ang sagot ay hindi pa rin alam at ang paghahanap para sa "totoong mga mekanismo" ay dapat magpatuloy. Ang mga Peierls ay nag-uuri, halimbawa, ang caloric model at quark na modelo ng mga elementong elementarya sa pangalawang uri.

Ang papel na ginagampanan ng modelo sa pananaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon, maaaring mangyari na ang mga bagong data at teorya ay nagpapatunay sa mga modelo na phenomenological at ipo-promote ito sa katayuan ng isang hypothesis. Gayundin, ang mga bagong kaalaman ay maaaring unti-unting sumalungat sa mga modelo ng hypothetical ng unang uri, at ang mga maaaring isalin sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting naipasa sa kategorya ng mga hypotheses; ang atomism sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa kurso ng kasaysayan na naipasa sa unang uri. Ngunit ang mga modelo ng eter ay gumawa ng kanilang paraan mula sa uri 1 hanggang type 2, at ngayon wala na sila sa agham.

Ang ideya ng pagiging simple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit ang pagiging simple ay naiiba. Kinikilala ng Peierl ang tatlong uri ng pagpapagaan sa pagmomolde.

Uri ng 3: Pagtataya (isaalang-alang namin ang isang bagay na napakalaking o napakaliit)

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan ng system sa ilalim ng pag-aaral, hindi ito nangangahulugang maaari silang malutas kahit na sa isang computer. Ang karaniwang tinatanggap na pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga approximations (mga modelo ng uri 3). Sa kanila mga modelo ng linear na sagot... Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang isang karaniwang halimbawa ay ang batas ni Ohm.

At narito ang uri 8, malawakang ginagamit sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Uri ng 8: Pagpapakita ng posibilidad (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapareho ng posibilidad)

Ito rin ay naisip na mga eksperimento sa mga haka-haka na nilalang, na nagpapakita na di-umano’y kababalaghan naaayon sa napapailalim na mga prinsipyo at naaayon sa loob. Ito ang pangunahing pagkakaiba sa mga modelo ng Type 7, na nagpapakita ng mga nakatagong mga pagkakasalungatan.

Ang isa sa mga pinakatanyag na tulad ng mga eksperimento ay ang geometry ng Lobachevsky (tinawag itong Linya ng "haka-haka na geometry"). Ang isa pang halimbawa ay ang paggawa ng masa ng pormal na mga modelo ng kinetic ng kemikal at biological oscillations, autowaves, atbp. Ang Einstein - Podolsky - Rosen paradox ay ipinaglihi bilang isang uri ng 7 modelo upang ipakita ang hindi pagkakapareho ng mga mekanika ng kabuuan. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa paglipas ng panahon, ito ay naging isang uri ng 8 modelo - isang pagpapakita ng posibilidad ng dami ng teleportation ng impormasyon.

Halimbawa

Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang tagsibol na naayos sa isang dulo at isang timbang m nakakabit sa libreng pagtatapos ng tagsibol. Ipapalagay namin na ang pag-load ay maaari lamang ilipat sa direksyon ng axis ng tagsibol (halimbawa, ang paggalaw ay nangyayari sa tabi ng baras). Gumawa tayo ng isang matematikal na modelo ng sistemang ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya x mula sa gitna ng pagkarga sa posisyon ng balanse nito. Isalarawan natin ang pakikipag-ugnay ng tagsibol at paggamit ng pagkarga batas ni Hooke (F = − kx ) pagkatapos ay gagamitin namin ang pangalawang batas ni Newton upang maipahayag ito sa anyo ng isang equation na kaugalian:

kung saan nangangahulugang ang pangalawang derivative ng x sa pamamagitan ng oras:.

Ang nagresultang equation ay naglalarawan sa matematikal na modelo ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang pattern na ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, puro, tuluy-tuloy. Sa proseso ng pagbuo nito, gumawa kami ng maraming mga pagpapalagay (tungkol sa kawalan ng mga panlabas na puwersa, kawalan ng alitan, maliit na paglihis, atbp.), Na sa katotohanan ay maaaring hindi matupad.

Kaugnay ng katotohanan, ito ay madalas na isang uri ng 4 na modelo. pagiging simple ("Tinatanggal namin ang ilang mga detalye para sa kaliwanagan"), dahil ang ilang mga mahahalagang unibersal na tampok (halimbawa, pagwawaldas) ay tinanggal. Sa ilang mga pagtatantya (sabihin, habang ang paglihis ng pag-load mula sa balanse ay maliit, na may mababang alitan, para sa hindi masyadong mahabang panahon at sa ilalim ng ilang mga kundisyon), ang gayong modelo ay naglalarawan nang lubos ng isang tunay na mekanikal na sistema, dahil ang mga itinakwil na mga kadahilanan ay may isang kapabayaang epekto sa pag-uugali nito ... Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pinuhin sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo na may isang mas malawak (kahit na limitado pa) saklaw.

Gayunpaman, kapag ang modelo ay pino, ang pagiging kumplikado ng pananaliksik sa matematika nito ay maaaring makabuluhang taasan at gawing halos walang silbi ang modelo. Kadalasan, ang isang mas simpleng modelo ay nagbibigay-daan sa isang mas mahusay at mas malalim na pag-aaral ng totoong sistema kaysa sa isang mas kumplikadong (at, pormal, "mas tama").

Kung inilalapat namin ang nakapipinsalang modelo ng oscillator sa mga bagay na malayo sa pisika, maaaring magkakaiba ang makabuluhang katayuan nito. Halimbawa, kapag nag-aaplay ang modelong ito sa mga populasyon ng biyolohikal, dapat na malamang na ito ay naiuri bilang uri 6 pagkakatulad ("Isaalang-alang lamang ang ilan sa mga tampok").

Mahirap at malambot na mga modelo

Ang Harmonic Oscillator ay isang halimbawa ng isang tinatawag na "hard" na modelo. Ito ay nakuha bilang isang resulta ng isang malakas na pag-idealize ng isang tunay na pisikal na sistema. Upang malutas ang isyu ng kakayahang magamit nito, kinakailangan upang maunawaan kung gaano kahalaga ang mga kadahilanan na ating napabayaan. Sa madaling salita, kinakailangan upang siyasatin ang "malambot" na modelo, na nakuha sa pamamagitan ng isang maliit na pagbubutas ng "mahirap". Maaari itong ibigay, halimbawa, sa pamamagitan ng mga sumusunod na equation:

Narito ang isang pag-andar na maaaring isaalang-alang ang puwersa ng alitan o ang pag-asa ng koepisyent ng higpit ng tagsibol sa antas ng pagpapalawak nito, ay isang maliit na parameter. Malinaw na pag-andar f hindi kami interesado sa ngayon. Kung mapatunayan natin na ang pag-uugali ng malambot na modelo ay hindi sa panimula ay naiiba sa pag-uugali ng matigas na modelo (hindi alintana ang tahasang anyo ng nakakagambalang mga kadahilanan, kung sila ay sapat na maliit), ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng mahigpit na modelo. Kung hindi man, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha sa pag-aaral ng mahigpit na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon sa harmonic oscarillation equation ay mga pag-andar ng form, iyon ay, mga oscillation na may palaging amplitude. Sinusundan ba nito mula sa isang tunay na osileytor na mag-oscillate para sa isang walang hanggan na mahabang panahon na may isang palaging amplitude? Hindi, dahil isinasaalang-alang ang isang sistema na may di-makatwirang maliit na alitan (palaging naroroon sa isang tunay na sistema), nakakakuha kami ng mga naka-dimpang mga oscillation. Ang pag-uugali ng system ay nagbago nang husay.

Kung pinanatili ng isang sistema ang pag-uugali sa husay sa ilalim ng isang maliit na kaguluhan, sinasabing matatag ang istruktura. Ang isang harmonic osilator ay isang halimbawa ng isang istruktura na hindi matatag (hindi coarse) na sistema. Gayunpaman, ang modelong ito ay maaaring mailapat sa mga proseso ng pag-aaral sa mga limitadong agwat ng oras.

Kakayahan ng mga modelo

Ang pinakamahalagang modelo ng matematika ay karaniwang may isang mahalagang pag-aari unibersidad: sa panloob na iba't ibang mga tunay na phenomena ay maaaring inilarawan ng parehong modelo ng matematika. Halimbawa, ang isang harmonic osilator ay naglalarawan hindi lamang ang pag-uugali ng isang pag-load sa isang tagsibol, kundi pati na rin ang iba pang mga proseso ng oscillatory, madalas na isang ganap na naiibang kalikasan: maliit na mga oscillation ng isang pendulum, mga oscillation ng antas ng likido sa U -shaped vessel o pagbabago sa kasalukuyang lakas sa oscillatory circuit. Sa gayon, pag-aaral ng isang modelo ng matematika, nag-aaral kami nang sabay-sabay sa isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito ay isomorphism ng mga batas, na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang mga segment ng kaalamang siyentipiko, na ang pag-asa ni Ludwig von Bertalanffy upang lumikha ng isang "Pangkalahatang teorya ng mga system".

Direktang at kabaligtaran mga problema ng pagmomolde ng matematika

Maraming mga problema na nauugnay sa pagmomolde ng matematika. Una, kinakailangang makabuo ng pangunahing pamamaraan ng modelong bagay, muling gawin ito sa loob ng balangkas ng mga ideyalisasyon ng agham na ito. Kaya, ang isang kotse ng tren ay nagiging isang sistema ng mga plato at mas kumplikadong mga katawan na gawa sa iba't ibang mga materyales, ang bawat materyal ay itinakda bilang pamantayang mekanikal na pagdidisenyo (density, nababanat na moduli, karaniwang mga katangian ng lakas), pagkatapos kung saan ang mga equation ay iguguhit, ang ilang mga detalye ay itinapon sa paraan bilang hindi gaanong mahalaga , ginawa ang mga kalkulasyon, kumpara sa mga sukat, pino ang modelo, at iba pa. Gayunpaman, para sa pagbuo ng mga teknolohiyang pagmomolde ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa pangunahing mga elemento ng nasasakupan.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang gawain: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay upang magsagawa ng isang pag-aaral ng modelo upang kunin ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Anong static load ang makatiis sa tulay? Paano ito magiging reaksyon sa isang pabago-bagong pag-load (halimbawa, sa pagmartsa ng isang kumpanya ng mga sundalo, o sa pagpasa ng isang tren na walang magkakaibang bilis), kung paano malalampasan ng eroplano ang tunog ng hadlang, kung mahuhulog ito mula sa pag-flutter - ang mga ito ay karaniwang mga halimbawa ng isang direktang gawain. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema (pagtatanong ng tamang tanong) ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung ang mga tamang katanungan ay hindi tinanong, ang tulay ay maaaring gumuho, kahit na ang isang mahusay na modelo ay itinayo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879 sa Inglatera, ang isang metal na tulay sa Tay ay gumuho, ang mga taga-disenyo ng kung saan nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito para sa isang 20-tiklop na kadahilanan para sa kaligtasan, ngunit nakalimutan ang tungkol sa patuloy na pagsabog ng hangin sa mga lugar na iyon. At makalipas ang isang taon at kalahati, bumagsak ito.

Sa pinakasimpleng kaso (isang equation ng oscillator, halimbawa) ang direktang problema ay napaka-simple at binabawasan sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Baligtad na problema: Maraming posibleng mga modelo ang kilala, ang isang tukoy na modelo ay dapat mapili batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Mas madalas kaysa sa hindi, ang istraktura ng modelo ay kilala at ang ilang mga hindi kilalang mga parameter ay dapat matukoy. Ang karagdagang impormasyon ay maaaring binubuo ng karagdagang data ng empirikal, o sa mga kinakailangan para sa bagay ( gawain ng disenyo). Ang karagdagang data ay maaaring dumating nang nakapag-iisa sa proseso ng paglutas ng kabaligtaran na problema ( pasibo pagsubaybay) o ang resulta ng isang espesyal na binalak na eksperimento ( aktibong pagsubaybay).

Ang isa sa mga unang halimbawa ng isang virtuoso solution ng kabaligtaran na problema sa ganap na posibleng paggamit ng magagamit na data ay ang pamamaraan ng pagpapanumbalik ng mga puwersa ng alitan mula sa naobserbahang mga naka-dimpang mga oscillations, na itinayo ni I. Newton.

Mga karagdagang halimbawa

saan x s - "balanse" na laki ng populasyon, na kung saan ang rate ng kapanganakan ay eksaktong binabayaran ng dami ng namamatay. Ang laki ng populasyon sa tulad ng isang modelo ay may kaugaliang halaga ng balanse x s at ang pag-uugali na ito ay istruktura na matatag.

Ang sistemang ito ay may estado ng balanse kapag ang bilang ng mga rabbits at fox ay pare-pareho. Ang paglihis mula sa estado na ito ay humahantong sa pagbabagu-bago sa bilang ng mga kuneho at mga fox, magkakatulad sa pagbabagu-bago sa harmonic osilator. Tulad ng kaso ng maharmonya na oscillator, ang pag-uugali na ito ay hindi matatag na istraktura: isang maliit na pagbabago sa modelo (halimbawa, isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan na kinakailangan ng mga rabbits) ay maaaring humantong sa isang husay na pagbabago sa pag-uugali. Halimbawa, ang estado ng balanse ay maaaring maging matatag, at ang pagbabagu-bago sa mga numero ay malalanta. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng balanse ay hahantong sa mga kahihinatnan sa sakuna, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Ang modelong Volterra-Lotka ay hindi nagbibigay ng sagot sa tanong kung alin sa mga sitwasyong ito ang natanto: ang karagdagang pananaliksik ay kinakailangan dito.

Mga Tala

1. "Isang matematikal na representasyon ng katotohanan" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B, Sa mga isyu sa pilosopiko ng pagmomodelo ng cybernetic. M., Kaalaman, 1964.
3. B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Pagmomodelo ng System: Textbook. para sa mga unibersidad - ika-3 ng ed., rev. at idagdag. - M .: Mas mataas. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskii A.A., Mikhailov A.P. Pagmomolde sa matematika. Mga ideya. Paraan. Mga halimbawa. ... - Ika-2 ed., Rev .. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Mga Elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - Ika-3 ed., Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wiktionary: modelo ng matematika
7. CliffsNotes
8. Model Reduction at Coarse-Graining Diskarte para sa Multiscale Phenomena, Springer, kumplikadong serye, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. "Ang teorya ay itinuturing na linear o nonlinear, depende sa kung ito ay isang linear o nonlinear matematikal na patakaran ng pamahalaan, at kung anong uri ng mga modelong linear o nonlinear na matematikal na ginagamit nito. ... Nang walang pagpapabaya sa huli. Ang isang modernong pisiko, kung muling nilikha niya ang kahulugan ng isang mahalagang kakanyahan bilang hindi pagkakapareho, malamang, kakaiba ang kilos niya, at, mas pinipili ang kawalang-pagkakatulad bilang mas mahalaga at laganap ng dalawang magkasalungat, ay tukuyin ang pagkakaugnay bilang 'hindi pagkakaugnay'. " Danilov Yu.A., Mga Lecture sa nonlinear dynamics. Isang panimulang elementarya. Serye na "Synergetics: mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap". Edisyon 2. - M .: URSS, 2006 .-- 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. "Ang mga sistemang dinamikong modelo ng isang may hangganang bilang ng mga ordinaryong equation na kaugalian ay tinatawag na lumped o point system. Inilarawan ang mga ito gamit ang isang may hangganan na dimensional na puwang ng phase at nailalarawan sa pamamagitan ng isang hangganan na bilang ng antas ng kalayaan. Ang isa at ang parehong sistema sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon ay maaaring isaalang-alang alinman bilang puro o bilang ipinamamahagi. Ang mga modelo ng matematika ng mga ipinamamahaging sistema ay bahagyang pagkakaiba-iba ng mga equation, integral equation, o ordinaryong mga equation na may isang natitirang argument. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang ipinamamahaging sistema ay walang hanggan, at ang isang walang hanggan na halaga ng data ay kinakailangan upang matukoy ang estado nito. " Anischenko V.S., Mga sistemang dinamiko, journal journal ng Soros, 1997, blg 11, p. 77-84.
11. "Depende sa likas na katangian ng mga pinag-aralan na proseso sa S system, ang lahat ng mga uri ng pagmomolde ay maaaring nahahati sa deterministik at stochastic, static at dynamic, discrete, tuluy-tuloy at discrete-tuloy-tuloy. Ang pagpapahalagang modelo ay nagpapakita ng mga proseso ng deterministik, iyon ay, mga proseso kung saan ang kawalan ng anumang mga random na impluwensya ay ipinapalagay; ang stochastic na pagmomolde ay nagpapakita ng mga proseso at mga pangyayari sa probabilistik. ... Ang static na pagmomolde ay ginagamit upang ilarawan ang pag-uugali ng isang bagay sa anumang oras sa oras, habang ang pabago-bagong pagmomolde ay sumasalamin sa pag-uugali ng isang bagay sa oras. Ang modelo ng discrete ay ginagamit upang ilarawan ang mga proseso na ipinapalagay na maging discrete, ayon sa pagkakabanggit, ang patuloy na pagmomolde ay nagbibigay-daan sa iyo upang ipakita ang tuluy-tuloy na mga proseso sa mga system, at ang diskrete-tuloy-tuloy na pagmomolde ay ginagamit para sa mga kaso kung nais mong i-highlight ang pagkakaroon ng parehong discrete at tuluy-tuloy na mga proseso. " B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Pagmomodelo ng System: Textbook. para sa mga unibersidad - ika-3 ng ed., rev. at idagdag. - M .: Mas mataas. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. Karaniwan, ang modelo ng matematika ay sumasalamin sa istraktura (aparato) ng simulate na bagay, ang mga katangian at relasyon ng mga sangkap ng bagay na ito ay mahalaga para sa mga layunin ng pananaliksik; tulad ng isang modelo ay tinatawag na istruktura. Kung ang modelo ay sumasalamin lamang kung paano gumagana ang isang bagay - halimbawa, kung paano ito tumugon sa mga panlabas na impluwensya - kung gayon ito ay tinatawag na functional o, makasagisag, isang itim na kahon. Ang mga pinagsamang modelo ay posible rin. Myshkis A. D., Mga Elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - Ika-3 ed., Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
13. "Ang isang halata, ngunit ang pinakamahalagang paunang yugto ng pagbuo o pagpili ng isang modelo ng matematika ay nagiging malinaw hangga't maaari ng isang ideya ng nasabing modelo at linawin ang makabuluhang modelo batay sa hindi pormal na talakayan. Ang isang tao ay hindi dapat mag-ekstrang oras at pagsisikap sa yugtong ito, ang tagumpay ng buong pag-aaral ay higit sa lahat nakasalalay dito. Nangyari ito nang higit sa isang beses na ang malaking trabaho na ginugol sa paglutas ng isang problemang pang-matematika ay naging hindi epektibo o kahit na nasayang dahil sa hindi sapat na pansin sa bahaging ito ng bagay. " Myshkis A. D., Mga Elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - Ika-3 ed., Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « Paglalarawan ng konsepto ng konsepto ng system. Sa sub-yugto ng pagbuo ng isang modelo ng system: a) ang konseptong modelo ng M ay inilarawan sa mga abstract na term at konsepto; b) isang paglalarawan ng modelo ay ibinibigay gamit ang karaniwang mga scheme ng matematika; c) ang mga hypotheses at pagpapalagay ay sa wakas ay tinanggap; d) ang pagpili ng pamamaraan para sa pagtatantya ng mga tunay na proseso sa pagtatayo ng modelo ay napatunayan. " B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Pagmomodelo ng System: Textbook. para sa mga unibersidad - ika-3 ng ed., rev. at idagdag. - M .: Mas mataas. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.

Modelo at konsepto ng pagmomodelo.

Model sa isang malawak na kahulugan - anumang imahe, analogue, mental o itinatag na imahe, paglalarawan, diagram, pagguhit, mapa, atbp ng anumang dami, proseso o kababalaghan, na ginamit bilang kapalit o kinatawan nito. Ang bagay, proseso o kababalaghan mismo ay tinatawag na orihinal ng modelong ito.

Pagmomodelo - ay ang pag-aaral ng anumang bagay o sistema ng mga bagay sa pamamagitan ng pagtatayo at pag-aaral ng kanilang mga modelo. Ito ay ang paggamit ng mga modelo upang tukuyin o pinuhin ang mga katangian at gawing katwiran ang mga paraan ng pagtatayo ng mga bagong itinayong bagay.

Ang anumang paraan ng pang-agham na pananaliksik ay batay sa ideya ng pagmomolde, habang sa mga teoretikal na pamamaraan iba't ibang mga sign, abstract na mga modelo ang ginagamit, sa mga eksperimentong - mga modelo ng paksa.

Sa panahon ng pananaliksik, ang isang kumplikadong totoong kababalaghan ay pinalitan ng ilang pinasimple na kopya o diagram, kung minsan ang nasabing kopya ay nagsisilbi lamang upang matandaan at sa susunod na pagpupulong upang makilala ang kinakailangang kababalaghan. Minsan ang itinakdang pamamaraan ay sumasalamin sa ilang mahahalagang tampok, ginagawang posible upang maunawaan ang mekanismo ng hindi pangkaraniwang bagay, ginagawang posible upang mahulaan ang pagbabago nito. Ang magkakaibang mga modelo ay maaaring tumutugma sa parehong kababalaghan.

Ang gawain ng mananaliksik ay upang mahulaan ang katangian ng hindi pangkaraniwang bagay at ang kurso ng proseso.

Minsan, nangyayari na magagamit ang isang bagay, ngunit ang mga eksperimento kasama nito ay magastos o humantong sa mga malubhang kahihinatnan sa kapaligiran. Ang kaalaman tungkol sa gayong mga proseso ay nakuha sa pamamagitan ng mga modelo.

Ang isang mahalagang punto ay ang tunay na likas na katangian ng agham presupposes ang pag-aaral ng hindi isang tiyak na kababalaghan, ngunit isang malawak na klase ng mga kaugnay na phenomena. Ipinagpapalagay ang pangangailangan na magbalangkas ng ilang mga pangkalahatang kategorya ng pang-kategorya, na tinatawag na mga batas. Naturally, sa gayong pagbabalangkas, maraming mga detalye ang napabayaan. Upang mas malinaw na matukoy ang pattern, sinasadya nilang pumunta para sa coarsening, idealization, schematicism, iyon ay, pinag-aralan nila hindi ang kababalaghan mismo, ngunit isang mas o mas kaunting eksaktong kopya o modelo nito. Ang lahat ng mga batas ay mga modelo ng batas, at samakatuwid ay hindi nakakagulat na sa paglaon ng panahon, ang ilang mga teoryang pang-agham ay itinuturing na hindi angkop. Hindi ito humantong sa pagbagsak ng agham, dahil ang isang modelo ay pinalitan ng isa pa. mas makabago.

Ang mga modelo ng matematika ay gumaganap ng isang espesyal na papel sa agham, ang mga materyales sa gusali at mga tool ng mga modelong ito - konsepto sa matematika. Nag-iipon sila at nagpapabuti sa millennia. Ang modernong matematika ay nagbibigay ng isang napakalakas at maraming nalalaman tool sa pagsasaliksik. Halos bawat konsepto sa matematika, bawat bagay sa matematika, simula sa konsepto ng isang numero, ay isang modelo ng matematika. Kapag nagtatayo ng isang matematikal na modelo ng isang pinag-aralan na bagay o kababalaghan, ang mga tampok, tampok at mga detalye ay nakikilala na, sa isang banda, ay naglalaman ng higit pa o mas kumpletong impormasyon tungkol sa bagay, at sa kabilang banda, pinahihintulutan ang pormalidad ng matematika. Ang pormalisasyon ng matematika ay nangangahulugan na ang mga tampok at detalye ng bagay ay maaaring maitugma sa naaangkop na sapat na konseptong matematika: mga numero, pag-andar, matrice, at iba pa. Pagkatapos ang mga koneksyon at ugnayan na natagpuan at ipinapalagay sa bagay sa ilalim ng pag-aaral sa pagitan ng mga indibidwal na bahagi at mga bahagi ng nasasakupan ay maaaring isulat gamit ang mga relasyon sa matematika: pagkakapantay-pantay, pagkakapantay-pantay, pagkakapantay-pantay. Ang resulta ay isang paglalarawan ng matematika ng pinag-aralan na proseso o kababalaghan, iyon ay, ang matematikal na modelo nito.

Ang pag-aaral ng isang modelo ng matematika ay palaging nauugnay sa ilang mga patakaran ng pagkilos sa mga bagay sa ilalim ng pag-aaral. Ang mga patakarang ito ay sumasalamin sa mga link sa pagitan ng mga sanhi at epekto.

Ang pagtatayo ng isang modelo ng matematika ay isang pangunahing yugto sa pananaliksik o disenyo ng anumang sistema. Ang lahat ng kasunod na pagsusuri ng bagay ay nakasalalay sa kalidad ng modelo. Ang pagtatayo ng modelo ay hindi isang pormal na pamamaraan. Matindi itong nakasalalay sa mananaliksik, kanyang karanasan at panlasa, palaging umaasa sa ilang mga pang-eksperimentong materyal. Ang modelo ay dapat na makatuwirang tumpak, sapat at komportable na gamitin.

Pagmomolde sa matematika.

Pag-uuri ng mga modelo ng matematika.

Ang mga modelo ng matematika ay maaaringdeterministik at masungit .

Natutukoy modelo at - ito ay mga modelo kung saan ang isang-sa-isang sulat ay itinatag sa pagitan ng mga variable na naglalarawan ng isang bagay o kababalaghan.

Ang pamamaraang ito ay batay sa kaalaman sa mekanismo ng paggana ng mga bagay. Kadalasan ang simulate na bagay ay kumplikado at pag-decipher ng mekanismo nito ay maaaring maging napaka oras at pag-ubos ng oras. Sa kasong ito, nagpapatuloy sila tulad ng mga sumusunod: ang mga eksperimento ay isinasagawa sa orihinal, ang mga resulta ay naproseso at, nang hindi nasisiyasat sa mekanismo at teorya ng binagong object gamit ang mga pamamaraan ng mga istatistika ng matematika at ang teorya ng posibilidad, nagtatag sila ng mga link sa pagitan ng mga variable na naglalarawan ng bagay. Sa kasong ito, kumuhamasungit modelo . SA masungit modelo, ang relasyon sa pagitan ng mga variable ay random, kung minsan nangyayari ito sa prinsipyo. Ang epekto ng isang malaking bilang ng mga kadahilanan, ang kanilang kumbinasyon ay humahantong sa isang random na hanay ng mga variable na naglalarawan ng isang bagay o kababalaghan. Sa pamamagitan ng likas na katangian ng mga mode, ang modelo ayistatistika at pabago-bago.

Statistical modelo may kasamang paglalarawan ng mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing variable ng modelong bagay sa matatag na estado nang hindi isinasaalang-alang ang pagbabago sa mga parameter sa paglipas ng panahon.

SA pabago-bago modeloang mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing variable ng modelong bagay ay inilarawan sa panahon ng paglipat mula sa isang mode patungo sa isa pa.

Ang mga modelo ay discreteat tuloy-tuloy, at magkakahalo uri. SA tuloy-tuloy ang mga variable ay kumuha ng mga halaga mula sa isang tiyak na agwat, sadiscreteang mga variable ay kinukuha sa mga hiwalay na halaga.

Mga modelo ng linear- lahat ng mga pag-andar at relasyon na naglalarawan sa modelo nang magkakasunod na nakasalalay sa mga variable athindi linear kung hindi man.

Pagmomolde sa matematika.

Mga Kinakailangan , n inihayag sa mga modelo.

1. Kakayahan - nakikilala ang pagkakumpleto ng pagpapakita ng mga pinag-aralan na katangian ng tunay na bagay ng modelo.

1. Adequacy - ang kakayahang ipakita ang nais na mga katangian ng isang bagay na may isang error na hindi lalampas sa tinukoy.
2. Katumpakan - nasuri sa pamamagitan ng antas ng pagkakaisa ng mga halaga ng mga katangian ng isang tunay na bagay at ang mga halaga ng mga katangiang ito na nakuha gamit ang mga modelo.
3. Kakayahan - ay tinutukoy ng gastos ng mga mapagkukunan ng memorya ng computer at oras para sa pagpapatupad at pagpapatakbo nito.

Pagmomolde sa matematika.

Ang pangunahing yugto ng pagmomolde.

1. Pahayag ng problema.

Ang pagpapasiya ng layunin ng pagsusuri at mga paraan upang makamit ito at bumuo ng isang pangkalahatang diskarte sa problema sa ilalim ng pag-aaral. Ang yugtong ito ay nangangailangan ng isang malalim na pag-unawa sa kakanyahan ng gawain sa kamay. Minsan, ang pagtatakda ng isang gawain nang tama ay hindi mas mahirap kaysa sa paglutas nito. Ang setting ay hindi isang pormal na proseso, walang pangkalahatang mga panuntunan.

2. Pag-aaral ng mga pundasyon ng teoretikal at pagkolekta ng impormasyon tungkol sa orihinal na bagay.

Sa yugtong ito, ang isang angkop na teorya ay napili o binuo. Kung wala ito, sanhi - ang mga relasyon sa epekto ay itinatag sa pagitan ng mga variable na naglalarawan ng bagay. Ang mga input at output ay tinukoy, at ang pagpapagaan ng mga pagpapalagay ay ginawa.

3. Pormalisasyon.

Ito ay binubuo sa pagpili ng isang sistema ng mga simbolo at ginagamit ang mga ito upang isulat ang mga relasyon sa pagitan ng mga sangkap ng isang bagay sa anyo ng mga expression ng matematika. Ang isang klase ng mga problema ay itinatag kung saan maaaring makuha ang nakuha na modelo ng matematika ng bagay. Ang mga halaga ng ilang mga parameter sa yugtong ito ay maaaring hindi pa natukoy.

4. Pagpili ng isang paraan ng solusyon.

Sa yugtong ito, ang pangwakas na mga parameter ng mga modelo ay itinatag, na isinasaalang-alang ang mga kondisyon ng paggana ng bagay. Para sa nakuha na problema sa matematika, ang isang pamamaraan ng solusyon ay pinili o isang espesyal na pamamaraan ay binuo. Ang pagpili ng pamamaraan ay isinasaalang-alang ang kaalaman ng gumagamit, ang kanyang mga kagustuhan, pati na rin ang mga kagustuhan ng nag-develop.

5. Pagpapatupad ng modelo.

Ang pagkakaroon ng isang algorithm, ang isang programa ay nakasulat na naka-debug, nasubok at isang solusyon sa ninanais na problema ay nakuha.

6. Pagtatasa ng impormasyon na natanggap.

Ang nakuha at inaasahang solusyon ay inihambing, at ang error sa kunwa ay sinusubaybayan.

7. Sinusuri ang kawastuhan ng totoong bagay.

Ang mga resulta na nakuha ng modelo ay inihambing alinman sa impormasyong magagamit tungkol sa bagay, o isang eksperimento ay isinasagawa at ang mga resulta ay inihahambing sa kinakalkula.

Ang proseso ng pagmomolde ay iterative. Sa kaso ng hindi kasiya-siyang resulta ng mga hakbang 6. o 7. bumalik sa isa sa mga unang yugto, na maaaring humantong sa pag-unlad ng isang nabigong modelo. Ang yugtong ito at lahat ng kasunod na pino ay pino at ang pagpipino na ito ng modelo ay nangyayari hanggang sa makuha ang mga natanggap na resulta.

Ang isang modelo ng matematika ay isang tinatayang paglalarawan ng isang klase ng mga kababalaghan o bagay ng totoong mundo sa wika ng matematika. Ang pangunahing layunin ng pagmomolde ay upang siyasatin ang mga bagay na ito at hulaan ang mga resulta ng mga obserbasyon sa hinaharap. Gayunpaman, ang pagmomodelo ay isang paraan din ng pagkilala sa nakapaligid na mundo, na ginagawang posible upang makontrol ito.

Ang pagmomolde ng matematika at ang nauugnay na eksperimento sa computer ay kailangang-kailangan sa mga kaso kung saan imposible o mahirap ang isang buong pang-eksperimento sa isang kadahilanan o sa iba pa. Halimbawa, imposibleng mag-set up ng isang natural na eksperimento sa kasaysayan upang suriin ang "kung ano ang mangyayari kung ..." Imposibleng mapatunayan ang kawastuhan ng isa o isa pang kosmolohikal na teorya. Sa prinsipyo, posible, ngunit parang hindi makatwiran, upang mag-eksperimento sa pagkalat ng isang sakit, tulad ng salot, o magsagawa ng isang pagsabog ng nuklear upang pag-aralan ang mga kahihinatnan nito. Gayunpaman, ang lahat ng ito ay maaaring gawin sa isang computer, na dati nang itinayo ang mga modelo ng matematika ng mga pinag-aralan na phenomena.

1.1.2 2. Ang pangunahing yugto ng pagmomolde ng matematika

1) Pagbuo ng modelo. Sa yugtong ito, ang isang tiyak na bagay na "non-matematiko" ay nakatakda - isang likas na kababalaghan, disenyo, plano sa pang-ekonomiya, proseso ng paggawa, atbp. Sa kasong ito, bilang isang patakaran, mahirap na malinaw na paglalarawan ng sitwasyon. Una, ang mga pangunahing tampok ng hindi pangkaraniwang bagay at ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ito sa isang antas ng husay. Kung gayon ang natagpuan na mga dependant ng husay ay nabuo sa wika ng matematika, iyon ay, itinayo ang isang modelo ng matematika. Ito ang pinakamahirap na yugto ng pagmomolde.

2) Paglutas ng problemang pang-matematika na kung saan ang modelo ay humantong... Sa yugtong ito, maraming pansin ang binabayaran sa pagbuo ng mga algorithm at mga pamamaraan ng bilang para sa paglutas ng problema sa isang computer, sa tulong ng kung saan ang resulta ay matatagpuan sa kinakailangang kawastuhan at sa loob ng isang makatwirang oras.

3) Pagbibigay kahulugan sa mga nakuha na kahihinatnan mula sa modelo ng matematika. Ang mga kahihinatnan na nagmula sa modelo sa wika ng matematika ay binibigyang kahulugan sa wikang tinanggap sa larangan.

4) Sinusuri ang sapat na modelo. Sa yugtong ito, natitiyak kung sumasang-ayon ba ang mga resulta sa eksperimentong sang-ayon sa teoretikal na kahihinatnan ng modelo sa loob ng isang tiyak na kawastuhan.

5) Pagbabago ng modelo. Sa yugtong ito, mayroong alinman sa isang komplikasyon ng modelo upang ito ay mas sapat sa katotohanan, o sa pagiging simple nito upang makamit ang isang praktikal na katanggap-tanggap na solusyon.

1.1.3 3. Pag-uuri ng modelo

Ang mga modelo ay maaaring maiuri ayon sa iba't ibang pamantayan. Halimbawa, ayon sa likas na katangian ng mga problema na nalutas, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa pagganap at istruktura. Sa unang kaso, ang lahat ng dami na nagpapakilala sa isang kababalaghan o bagay ay ipinahayag nang dami. Kasabay nito, ang ilan sa mga ito ay itinuturing na mga malayang variable, habang ang iba pa - bilang mga pag-andar ng mga dami na ito. Ang isang modelo ng matematika ay karaniwang isang sistema ng mga equation ng iba't ibang uri (kaugalian, algebraic, atbp.) Na nagtatatag ng dami ng mga ugnayan sa pagitan ng dami sa ilalim ng pagsasaalang-alang. Sa pangalawang kaso, ang modelo ay kumikilala sa istraktura ng isang kumplikadong bagay, na binubuo ng magkakahiwalay na bahagi, sa pagitan ng kung saan mayroong ilang mga koneksyon. Karaniwan, ang mga relasyon na ito ay hindi matukoy. Maginhawang gumamit ng teoryang graph upang makabuo ng mga nasabing modelo. Ang isang graph ay isang bagay na pang-matematika na isang hanay ng mga puntos (vertice) sa isang eroplano o sa kalawakan, ang ilan sa mga ito ay konektado sa pamamagitan ng mga linya (mga gilid).

Sa pamamagitan ng likas na katangian ng paunang data at mga resulta ng paghuhula, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa deterministic at probabilistic-statistical. Ang mga modelo ng unang uri ay nagbibigay ng tiyak, hindi maliwanag na mga hula. Ang mga modelo ng pangalawang uri ay batay sa impormasyon sa istatistika, at ang mga hula na nakuha sa kanilang tulong ay probabilistic sa kalikasan.

MATEMATIKAL NA SIMULASYON AT UNIVERSAL KOMPUTERASYON O MGA MODELONG SIMULASYON

Ngayon, kapag halos unibersal na computerization ang nagaganap sa bansa, naririnig natin ang mga pahayag mula sa mga espesyalista ng iba't ibang mga propesyon: "Kung ipinakilala namin ang isang computer, pagkatapos ang lahat ng mga problema ay malulutas kaagad." Ang puntong ito ng pananaw ay ganap na mali, ang mga computer sa pamamagitan ng kanilang mga sarili nang walang mga modelo ng matematika ng ilang mga proseso ay hindi magagawa, at ang isang tao ay maaari lamang mangarap ng pangkalahatang computerization.

Bilang suporta ng nasa itaas, susubukan naming patunayan ang pangangailangan para sa pagmomolde, kabilang ang pagmomolde ng matematika, ipapakita namin ang mga pakinabang nito sa pagkilala sa tao at pagbabagong-anyo ng panlabas na mundo, makilala ang umiiral na mga pagkukulang at pumunta ... upang kunwa, ibig sabihin. pagmomolde gamit ang isang computer. Ngunit ang lahat ay nasa maayos.

Una sa lahat, sagutin natin ang tanong: ano ang isang modelo?

Ang isang modelo ay isang materyal o mental na kinakatawan ng bagay na, sa proseso ng pag-unawa (pag-aaral), pinapalitan ang orihinal, na napananatili ang ilang mga karaniwang katangian na mahalaga para sa pag-aaral na ito.

Ang isang mahusay na binuo modelo ay mas naa-access para sa pananaliksik kaysa sa isang tunay na bagay. Halimbawa, hindi katanggap-tanggap na mag-eksperimento sa ekonomiya ng bansa para sa mga layunin ng nagbibigay-malay; dito hindi mo magagawa nang walang isang modelo.

Pagbubuod kung ano ang sinabi, masasagot natin ang tanong: ano ang mga modelo? Sa

• maunawaan kung paano inayos ang isang bagay (ang istraktura, mga katangian nito, mga batas ng pag-unlad, pakikipag-ugnay sa labas ng mundo).
• matutong pamahalaan ang object (proseso) at matukoy ang pinakamahusay na mga diskarte
• mahulaan ang mga kahihinatnan ng pagkakalantad sa bagay.

Ano ang positibo sa anumang modelo? Pinapayagan kang makakuha ng bagong kaalaman tungkol sa bagay, ngunit, sa kasamaang palad, hindi kumpleto sa isang degree o sa iba pa.

Model nakabalangkas sa wika ng matematika gamit ang mga pamamaraan sa matematika ay tinatawag na modelo ng matematika.

Ang panimulang punto para sa pagtatayo nito ay karaniwang ilang problema, halimbawa, isang pang-ekonomiya. Malawak, parehong naglalarawan at pag-optimize ng matematika, characterizing iba't-ibang mga prosesong pang-ekonomiya at mga kababalaghan, halimbawa:

• paglalaan ng mapagkukunan
• nakapangangatwiran na pagputol
• transportasyon
• pagpapalaki ng mga negosyo
• pagpaplano ng network.

Paano binuo ang isang modelo ng matematika?

• Una, ang layunin at paksa ng pananaliksik ay nabalangkas.
• Pangalawa, ang pinakamahalagang katangian na nauugnay sa layuning ito ay nai-highlight.
• Pangatlo, ang ugnayan sa pagitan ng mga elemento ng modelo ay pasadyang inilarawan.
• Karagdagan, ang relasyon ay pormal.
• At ang pagkalkula ay ginawa ayon sa modelo ng matematika at pagsusuri ng nakuha na solusyon.

Gamit ang algorithm na ito, maaari mong malutas ang anumang problema sa pag-optimize, kabilang ang mga multi-pamantayan, i.e. kung saan hindi isa, ngunit maraming mga layunin ang hinahabol, kabilang ang mga magkakasalungatan.

Bigyan tayo ng isang halimbawa. Ang teiring na teorya ay isang problemang nakapila. Kinakailangan na balansehin ang dalawang kadahilanan - ang gastos ng pagpapanatili ng mga aparato ng serbisyo at ang gastos ng pananatili sa linya. Ang pagkakaroon ng binuo ng isang pormal na paglalarawan ng modelo, ang mga kalkulasyon ay isinasagawa gamit ang mga pamamaraan ng pagsusuri at computational. Kung ang modelo ay mabuti, kung gayon ang mga sagot na natagpuan sa tulong nito ay sapat sa modelo ng pagmomolde, kung masama ito, dapat itong mapabuti at mapalitan. Ang pagsasanay ay ang criterion para sa sapat.

Ang mga modelo ng pag-optimize, kabilang ang mga multicriteria, ay may isang karaniwang pag-aari - mayroong isang kilalang layunin (o maraming mga layunin) para sa tagumpay na kung saan ito ay madalas na kinakailangan upang harapin ang mga kumplikadong sistema, kung saan hindi gaanong tungkol sa paglutas ng mga problema sa pag-optimize tulad ng tungkol sa pagsasaliksik at paghula ng mga estado depende sa napiling mga diskarte sa pamamahala. At dito nahaharap kami sa mga paghihirap sa pagpapatupad ng nakaraang plano. Ang mga ito ay ang mga sumusunod:

• ang isang kumplikadong sistema ay naglalaman ng maraming mga koneksyon sa pagitan ng mga elemento
• ang tunay na sistema ay naiimpluwensyahan ng mga random na kadahilanan, imposible ang accounting para sa kanila
• ang posibilidad ng paghahambing ng orihinal sa modelo ay umiiral lamang sa simula at pagkatapos ng aplikasyon ng matematika apparatus, mula pa ang mga intermediate na resulta ay maaaring walang mga analog sa isang tunay na sistema.

Kaugnay ng nakalistang mga paghihirap na lumitaw sa pag-aaral ng mga kumplikadong sistema, ang kasanayan ay kinakailangan ng isang mas nababaluktot na pamamaraan, at lumitaw ito - pagmomolde ng simulation "Pagmomolde ng simulasyon".

Karaniwan, ang isang modelo ng kunwa ay nauunawaan bilang isang kumplikado ng mga programa sa computer na naglalarawan sa paggana ng mga indibidwal na mga bloke ng mga system at mga patakaran ng pakikipag-ugnayan sa pagitan nila. Ang paggamit ng mga random na variable ay ginagawang kinakailangan upang maisagawa ang paulit-ulit na mga eksperimento na may isang sistema ng kunwa (sa isang computer) at ang kasunod na statistic analysis ng mga nakuha na nakuha. Ang isang pangkaraniwang halimbawa ng paggamit ng mga modelo ng simulation ay ang solusyon ng problema sa pag-pila sa pamamagitan ng paraan ng MONTE - CARLO.

Kaya, ang pagtatrabaho sa isang sistema ng kunwa ay isang eksperimento na isinasagawa sa isang computer. Ano ang mga pakinabang?

- Mas malapit sa totoong sistema kaysa sa mga modelo ng matematika;

- Ang prinsipyo ng bloke ay posible upang mapatunayan ang bawat bloke bago ito isama sa pangkalahatang sistema;

- Paggamit ng mga dependencies ng isang mas kumplikadong kalikasan, hindi inilarawan ng mga simpleng relasyon sa matematika.

Ang nakalista na pakinabang ay natutukoy ang mga kawalan

- Upang makabuo ng isang modelo ng kunwa ay mas mahaba, mas mahirap at mas mahal;

- upang gumana sa sistema ng kunwa, kinakailangan na magkaroon ng isang computer na angkop para sa klase;

- ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng gumagamit at modelo ng kunwa (interface) ay hindi dapat masyadong kumplikado, maginhawa at mahusay na kilalang;

- Ang paggawa ng isang modelo ng simulation ay nangangailangan ng isang mas malalim na pag-aaral ng tunay na proseso kaysa sa pagmomolde ng matematika.

Lumitaw ang tanong: maaari bang mapalitan ang pagmomolde ng simulation sa mga pamamaraan ng pag-optimize? Hindi, ngunit maginhawang umakma sa kanila. Ang isang modelo ng kunwa ay isang programa na nagpapatupad ng isang tiyak na algorithm, para sa pag-optimize ng kontrol kung saan ang problema sa pag-optimize ay unang nalutas.

Kaya, alinman sa isang computer, o isang modelo ng matematika, o isang algorithm para sa pag-aaral nito, nang hiwalay, ay maaaring malutas ang isang sapat na kumplikadong problema. Ngunit magkasama silang kumakatawan sa puwersa na nagbibigay-daan sa iyo upang malaman ang mundo sa paligid mo, upang pamahalaan ito sa interes ng tao.

1.2 Pag-uuri ng modelo