Невозможное свойство очень маленький объект. Проект "невозможные фигуры"

Невозможное – это то,
что не может существовать…
или случиться…

Цель урока: развитие объемного видения учащихся; умение объяснить невозможность существования той или иной фигуры с точки зрения геометрии; развитие интереса к предмету.

Оборудование: газета по материалам сайта "Невозможный мир" (Интернет), инструменты для построения фигур, геометрические фигуры, иллюстрации невозможных фигур.

Ход урока:

Вступительное слово:
На протяжении всей истории люди сталкивались с оптическими иллюзиями того или иного рода. Достаточно вспомнить мираж в пустыне, иллюзии создаваемые светом и тенью, а также относительным движением. Широко известен следующий пример: луна, поднимающаяся из-за горизонта, кажется гораздо больше, чем высоко в небе. Все это – лишь несколько любопытных явлений, которые встречаются в природе. Когда эти явления, обманывающие зрение и ум, были впервые замечены, они стали волновать воображения людей.

С давних времен оптические иллюзии использовались, чтобы усилить воздействие произведений искусства или улучшить внешний вид архитектурных творений. Древние греки прибегали к оптическим иллюзиям, чтобы довести до совершенства внешний вид своих великих храмов. В эпоху Средневековья смещенную перспективу иногда использовали в живописи. Позднее многие другие иллюзии использовались в графике. Среди них единственный в своем роде и относительно новый вид оптической иллюзии известен как "невозможные объекты".

Одним из важных навыков для людей, работающих в технической сфере, является способность воспринимать трехмерные объекты в двухмерной плоскости. "Невозможные объекты" построены на использовании трюков с перспективой и глубиной в рамках двухмерного пространства. Невозможные в реальном трехмерном пространстве, они действуют на наше зрение, благодаря смещенной перспективе, манипуляциям с глубиной и плоскостью, обманчивым оптическим намекам, несоответствиям планов, игре света и тени, неясным соединениям, благодаря неправильным и противоречивым направлениям и связям, измененным точкам кода и другим "фокусам", к которым прибегает художник-график.

Намеренное использование невозможных объектов в дизайне встречалось еще в древние времена до появления классической перспективы. Художники пытались найти новые решения. Примером может служить датируемое XV веком изображение Благовещения на фреске собора Св. Марии в голландском городе Бреда. На картине изображен архангел Гавриил, приносящий Марии весть о ее будущем Сыне. Фреска обрамлена двумя арками, поддерживаемыми, в свою очередь тремя колоннами. Однако следует обратить внимание на среднюю колонну. В отличие от других, она исчезает на заднем плане за плитой. С практической точки зрения, художник использовал эту "невозможность" как особую технику, позволяющую избежать разделения сцены на две половины.

Пример такой арки приведен на рис. 1

"Невозможные фигуры" делятся на 4 группы. Попробуем сейчас разобрать основные фигуры из каждой группы. Итак, первая:

Ученик 1:

Удивительный треугольник – трибар.

Эта – фигура – возможно первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как "трехмерную прямоугольную структуру". Она также получила название "трибар".

Определите, что с точки зрения геометрии невозможно.

(С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но в общем эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.)

Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара. Постарайтесь объяснить их невозможность.

Тройной деформированный трибар

Треугольник из 12 кубов

Крылатый трибар

Тройное домино

Ученик 2:

Бесконечная лестница

Эту фигуру чаще всего называют "Бесконечной лестницей", "Вечной лестницей" или "Лестницей Пенроуза" – по имени ее создателя. Ее также называют "непрерывно восходящей и нисходящей тропой".

Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

"Бесконечной лестницей" с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей литографии "Восхождение и нисхождение", созданной в 1960 году.

Лестница с четырьмя или семью ступеньками.

На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.

Попробуйте объяснить, какими свойствами пользовались создатели этой лестницы.

(Создатели этой лестницы воспользовались параллельными линиями при разработке конечных деталей блоков, находящихся на одинаковом расстоянии; кажется, что некоторые блоки перекручиваются, чтобы соответствовать иллюзии).

Предлагается посмотреть еще одну фигуру. Ступенчатая стена.

Ученик 3:

Следующая группа фигур под общим названием "Космическая вилка". С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов.

Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее "Скобой, состоящей из трех элементов". Восприятие и разрешение (если это только возможно) несоответствия в этом новом типе двусмысленной фигуры требует настоящего сдвига зрительной фиксации. С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто "досадной ошибкой". Один из представителей аэрокосмической промышленности предложил использовать его свойства при конструировании межпространственного космического камертона.

Башня с четырьмя колоннами-близнецами.

Ученик 4:

Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с "Сумасшедшим ящиком". Первоначально автор назвал ее "Свободным ящиком" и заявил, что она была "сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве".

"Сумасшедший ящик" – это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником "Сумасшедшего ящика" была "Невозможная коробка" (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера.

Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно.

Куб Неккера был впервые описан в 1832 году швейцарским кристаллографом Льюисом А. Неккером, который заметил, что кристаллы иногда зрительно меняют форму, когда на них смотришь. Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.

Еще несколько невозможных фигур.

Учитель:

А теперь попробуйте самостоятельно создать какую-либо невозможную фигуру.

Урок заканчивается тем, что ученики пытаются самостоятельно изобразить невозможную фигуру.

Невозможные фигуры - особый вид объектов в изобразительном искусстве. Как правило их называют так, потому что они не могут существовать в реальном мире.

Более точно, невозможными фигурами называют геометрические объекты, нарисованные на бумаге, которые прозводят впечатление обычной проекции трехмерного объекта, однако, при внимательном рассмотрении становятся видны противоречия в соединениях элементов фигуры.

Невозможные фигуры выделяют в отдельный класс оптических иллюзий.

Невозможные конструкции известны с давних времен. Они встречаются в иконах со средних веков. "Отцом" невозможных фигур считается шведский художник Оскар Реутерсвард , который нарисовал невозможный треугольник, составленный из кубиков в 1934 году.

Известны широкой публике невозможные фигуры стали в 50-х годах прошлого века, после публикации статьи Роджера Пенроуза и Лайонела Пенроуза, в которой были описаны две базовые фигуры - невозможный треугольник (который также называют треугольником Пенроуза ) и бесконечная лестница. Эта статья попала в руки известного голландского художника М.К. Эшера , который вдохновленный идеей невозможных фигур создал свои знаменитые литографии "Водопад", "Восхождение и спуск" и "Бельведер". Вслед за ним огромное количество художников по всему миру стали использовать невозможные фигуры в своем творчестве. Наиболее известны среди них Жос де Мей, Сандро дель Пре, Оштван Орос. Работы этих, а также других художников, выделяют в отдельное направление изобразительного искусства - " имп-арт " .

Может показаться, что невозможные фигуры действительно не могут существовать в трехмерном пространстве. Есть определенные способы, которые позволяют воспроизвести невозможные фигуры в реальном мире, правда они будут выглядет невозможными только с одной точки обзора.

Наиболее известными невозможными фигурами являются: невозможный треугольник, бесконечная лестница и невозможный трезубец.

Статья из журнала Наука и жизнь "Невозможная реальность" скачать

Оскар Рутерсвард (принятое в русскоязычной литературе написание фамилии; правильнее Рёйтерсверд), (1 915 - 2002) - шведский художник, специализировавшийся в изображении невозможных фигур, то есть таких, которые можно изобразить, но нельзя создать. Одна из его фигур получила дальнейшее развитие как «треугольник Пенроуза».

С 1964 профессор истории и теории искусств в Лундском университете.

Большое влияние на Рутерсварда оказали уроки русского иммигранта профессора Академии Искусств в Санкт-Петербурге Михаила Каца. Первую невозможную фигуру - невозможный треугольник, составленный из набора кубиков, создал случайно в 1934. В дальнейшем за годы творчества нарисовал более 2500 различных невозможных фигур. Все они выполнены в параллельной «японской» перспективе.

В 1980 году шведским правительством была выпущена серия из трёх почтовых марок с картинами художника.

Введение……………………………………………………………………………..2

Основная часть. Невозможные фигуры……………….…………………………4

2.1. Немного истории………………………………………………………….4

2.2. Виды невозможных фигур……………………………………………….6

2.3. Оскар Рутерсвард – отец невозможной фигуры………………………..11

2.4. Невозможные фигуры – возможны!……………………………………..13

2.5. Применение невозможных фигур………………………………………14

Заключение………………………………………………………………………..15

Список литературы ………………………………………………………………16

Введение

С некоторых пор меня заинтересовали такие фигуры, которые на первый взгляд кажутся обычными, а присмотревшись можно увидеть, что что-то в них не так. Основной интерес для меня представляли так называемые невозможные фигуры, посмотрев на которые создается впечатление, что существовать в реальном мире они не могут. Я захотела узнать о них больше.

«Мир невозможных фигур» одна из интереснейших тем, которая получила свое бурное развитее всего лишь в начале ХХ века. Однако, гораздо раньше, многие ученые и философы занимались этим вопросом. Даже такие простые объемные формы, как куб, пирамида, параллелепипед можно представить как комбинацию нескольких фигур, находящихся на разном расстоянии от глаза наблюдателя. Всегда при этом должна быть линия, по которой изображение отдельных частей совмещающих в целостную картину.

«Невозможная фигура – это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение». Это один из видов оптических иллюзий , фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.

Передо мной встал вопрос: «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?»

Цели проекта:

1.Выяснить, к ак созд аются нереальные фигуры.

2. Найти области применения невозможных фигур.

Задачи проекта:

1.Изучить литературы по теме «Невозможные фигуры».

2 .Составить классификацию невозможных фигур.

3.Р ассмотреть способы построения невозможных фигур.

4.Создать невозмож ную фигуру.

Тема моей работы актуальна ведь понимание парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с нереальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И для развития пространственного воображения оказываются полезными невозможные фигуры. Человек неустанно мысленно создает вокруг себя то, что для него будет просто и понятно. Он даже не может себе представить, что некоторые объекты, окружающие его, могут быть «невозможными». На самом деле мир един, но рассматривать его можно с разных сторон.

Невозмож ные фигуры

Немного истории

Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах – в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других – с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.

В средневековой японской и персидской живописи невозможные объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля, дающего лишь общий набросок картины, детали которой “приходится” додумывать зрителю самостоятельно, в соответствии со своими предпочтениями. Вот перед нами школа. Наше внимание привлекает архитектурное сооружение на заднем плане, геометрическая противоречивость которого очевидна. Его можно интерпретировать и как внутреннюю стену комнаты, и как наружную стену здания, но обе эти интерпретации неправильны, поскольку мы имеем дело с плоскостью, одновременно являющуюся и внешней, и наружной стенкой, то есть на картине изображен типичный невозможный объект.

Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект нереальности.

Виды невозможных фигур.

“Невозможные фигуры” делятся на 4 группы. Итак, первая:

Удивительный треугольник – трибар.

Эта – фигура – возможно первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как “трехмерную прямоугольную структуру”. Она также получила название “трибар”. С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.

Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара.

Бесконечная лестница

Эту фигуру чаще всего называют “Бесконечной лестницей”, “Вечной лестницей” или “Лестницей Пенроуза” – по имени ее создателя. Ее также называют “непрерывно восходящей и нисходящей тропой”.

Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

“Бесконечной лестницей” с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей литографии “Восхождение и нисхождение”, созданной в 1960 году.

Лестница с четырьмя или семью ступеньками. На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.

Создатели этой лестницы воспользовались параллельными линиями при разработке конечных деталей блоков, находящихся на одинаковом расстоянии; кажется, что некоторые блоки перекручиваются, чтобы соответствовать иллюзии.

Космическая вилка.

Следующая группа фигур под общим названием “Космическая вилка”. С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов.

Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее “Скобой, состоящей из трех элементов”.

С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто “досадной ошибкой”. Один из представителей аэрокосмической промышленности предложил использовать его свойства при конструировании межпространственного космического камертона.

Невозможные ящики

Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с “Сумасшедшим ящиком”. Первоначально автор назвал ее “Свободным ящиком” и заявил, что она была “сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве”.

“Сумасшедший ящик” – это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником “Сумасшедшего ящика” была “Невозможная коробка” (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера.

Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно.

Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.

Оскар Руте рсвард – отец невозможной фигуры .

«Отцом» невозможных фигур считается шведский художник Оскар Рутерсвард. Шведский художник Оскар Рутерсвард, специалист по созданию изображений невозможных фигур утверждал, что плохо разбирается в математике, но, тем не менее, возвел свое искусство в ранг науки, создав целую теорию создания невозможных фигур по определенному ряду шаблонов.

Он разделил фигуры на две основные группы . Один из них он назвал «истинные невозможные фигуры». Это двухмерные изображения трёхмерных тел, которые на бумаге можно раскрасить и нанести на них тени, но у них нет монолитной и стабильной глубины.

Другой вид – сомнительные невозможные фигуры. Эти фигуры не представляют собой единых цельных тел. Они являются соединением двух или большего числа фигур. Их нельзя ни раскрасить, ни нанести на них свет и тени.

Истинная невозможная фигура состоит из фиксированного количества возможных элементов, а сомнительная «теряет» некоторое количество элементов, если за ними проследить глазами.

Один вариант этих невозможных фигур очень легко выполнить, и многие из тех, кто машинально чертит геометрические

фигуры, когда разговаривает по телефону, это уже не раз делали. Нужно провести пять, шесть или семь параллельных линий, закончить эти линии в разных концах по-разному – и невозможная фигура готова. Если, например, провести пять параллельных линий, то их можно закончить как две балки с одной стороны и три с другой.

На рисунке мы видим три варианта сомнительных невозможных фигур. Слева трех-семибалочник, построенный из семи линий, в котором три балки превращаются в семь. Фигура в середине, построенная из трех линий, в которой одна балка превращается в два круглых бруса. Фигура справа, построенная из четырех линий, в которой два круглых бруса превращаются в две балки

За свою жизнь Рутерсвард изобразил около 2500 фигур. Книги Рутерсварда опубликованы на многих языках, в том числе на русском.

Невозможные фигуры – возможны!

Многие полагают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и их нельзя создать в реальном мире. Но надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги – это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Невозможные объекты на картинах представляют собой проекции трехмерных объектов, а значит, объекты можно реализовать в виде скульптурных композиций. Существует множество способов их создания. Один из них – использование кривых линий в качестве сторон невозможного треугольника. Созданная скульптура выглядит невозможной только из единственной точки. Из этой точки кривые стороны выглядят прямыми, и поставленная цель будет достигнута – создан реальный “невозможный ” объект.

Русский художник Анатолий Коненко, наш современник, разделил невозможные фигуры на 2 класса: одни можно смоделировать в реальности, а другие – нельзя. Модели невозможных фигур называются моделями Амес.

Я изготовила модель Амес своего невозможного ящика. Я взяла сорок два кубика и склеила их, получился куб, в котором часть ребра отсутствует. Отмечу, что для создания полной иллюзии необходим правильный угол зрения и верное освещение.

Я изучила невозможные фигуры с применением теоремы Эйлера и пришла к следующему выводу: теорема Эйлера, верная для любого выпуклого многогранника, неверна для невозможных фигур, но верна для их моделей Амес.

Я создаю свои невозможные фигуры, пользуясь советом О.Рутерсварда. Я начертила на бумаге семь параллельных отрезков. Соединила их снизу ломаной линией, а сверху придала им форму параллелепипедов. Посмотрите на нее сначала сверху потом снизу. Таких фигур можно придумать бесконечно много. См. приложение.

Применение невозможных фигур

Невозможные фигуры находят иногда неожиданное применение. Оскар Рутерсвард рассказывает в книге “Omojliga figurer” об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. Психолог Роджер Шепард использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона.

В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога.

Невозможные фигуры вдохновили художников на создание целого нового направления в живописи, названного импоссибилизмом. К импоссибилистам относят голландского художника Эшера. Его перу принадлежат известные литографии «Водопад», «Восхождение и нисхождение» и «Бельведер». Художник использовал эффект “бесконечной лестницы”, открытый Рутесвардом.

За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.

Наиболее известное использование невозможных фигур в массовой культуре - логотип автоконцерна «Рено »

Математики утверждают, что и дворцы, в которых можно спуститься вниз по лестнице, ведущей вверх, могут существовать. Для этого нужно лишь построить такое сооружение не в трехмерном, а, скажем, в четырехмерном пространстве. А уж в виртуальном мире, который открывает нам современная компьютерная техника, и не такое можно натворить. Вот так в наши дни осуществляются задумки человека, который еще на заре века поверил в существование невозможных миров.

Заключение .

Невозможные фигуры заставляют наш разум сначала увидеть то, чего быть не должно, затем искать ответ – что же сделано не так, в чем скрыта изюминка парадокса. А ответ найти порой не так – то просто – он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков.

Развитие науки, необходимость мыслить по-новому, поиски прекрасного – все эти требования современной жизни заставляют искать новые методы, которые способны изменить пространственное мышление, воображение.

Изучив литературу по теме, я смогла ответить на вопрос «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?» Я поняла, что невозможное возможно и нереальные фигуры можно сделать своими руками. Я создала модель Амес «Невозможного куба» и проверила на нем теорему Эйлера. Рассмотрев способы построения невозможных фигур, я смогла нарисовать свои невозможные фигуры. Мне удалось показать, что

Вывод1: Все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире.

Вывод2: Теорема Эйлера, верная для любого выпуклого многогранника, неверна для невозможных фигур, но верна для их моделей Амес.

Вывод3: Найдется ещё много областей, в которых будут использоваться невозможные фигуры.

Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Изучение невозможных фигур имеет довольно важное значение с точки зрения геометрии. Работа может быть использована на занятиях по математике для развития пространственного мышления учащихся. Для творческих людей, склонных к изобретательству, невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего-то нового, необычного.

Список литературы

Левитин Карл Геометрическая рапсодия. – М.: Знание, 1984, -176 с.

Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26

Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с.

Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с.

Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах "Бельведер" (1958), "Восхождение и спуск" (1960) и "Водопад" (1961). Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса.

Иштван Орос "Перекрестки" (1999). Репродукция гравюры по металлу. На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами.

Лента Мебиуса

Лента Мебиуса - это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Эшер изобразил ленту Мебиуса на работах "Всадники" (1946), "Лента Мебиуса II (Красные мурвьи)" (1963) и "Узлы" (1965).

«Узлы» - Мауриц Корнелис Эшер 1965 год

Позднее, поверхности минимальной энергии стали вдохновением для многих математических художников. Брент Коллинз, использует ленты Мебиуса и поверхности минимальной энергии, а также другие виды абстракций в скульптуре.

Искаженные и необычные перспективы

Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область - анаморфное искусство. Эшер использовал искаженную перспективу в нескольких своих работах "Наверху и внизу" (1947), "Дом лестниц" (1951) и "Картинная галерея" (1956). Дик Термес использует шеститочечную перспективу для рисования сцен на сферах и многогранниках, как показано на примере ниже.

Дик Термес "Клетка для человека" (1978). Это разукрашенная сфера, в процессе создания которой использовалась шеститочечная перспектива. На ней изображения геометрическая структура в виде сетки, сквозь которую виден ландшафт. Три ветки проникают внутрь клетки, а также по ней ползают рептилии. В то время как одни изучают мир, другие обнаруживают себя, находящимися в клетке.

Слово анаморфный (anamorthic) сформировано из двух греческих слов "ana" (снова) и morthe (форма). К анаморфным относятся изображения настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Такое зеркало иногда называют анаморфоскопом. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение "формируется снова" в узнаваемую картину. Европейские художники раннего Ренессанса были очарованы линейными анаморфными картинами, когда вытянутая картина становилась снова нормальном при обзоре под углом. Известный премер - картина Ханса Хольбейна (Hans Holbein) "Послы" ("The Ambassadors") (1533), в которой изображен вытянутый череп. Картина может быть наклонена в верхней части лестницы так, что люди, поднимающиеся по лестнице будут напуганы изображением черепа. Анаморфные картины, для просмотра которых необходимы цилиндрические зеркала, были популярны в Европе и на Востоке в XVII-XVIII веках. Часто такие изображения несли сообщения политического протеста или были эротического содержания. Эшер не использовал в своей работе классические анаморфные зеркала, однако, в некоторых своих картинах он использовал сферические зеркала. Самая известная его работа в этом стиле "Рука с отражающей сферой" (1935). Пример ниже показывает классическое анаморфное изображение работы Иштвана Ороса.

Иштван Орос "Колодец" (1998). Картина "Колодец" полученая печаться с гравюры по металлу. Работа была создана к столетию со дня рождения М.К. Эшера. Эшер писал об экскурсиях в математическое искусство, как о прогулся по прекрасному саду, где ничто не повторяется. Ворота в левой части картины отделяют эшеровский математический сад, находящийся в мозге, от физического мира. В разбитом зеркале в правой части картины присутствует вид маленького городка Атрани (Atrani) на побережье Амалфи (Amalfi) в Италии. Эшер любил это место и прожил там некоторое время. Он изобразил этот город на второй и третьей картинах из серии "Метаморфозы". Если поместить цилиндрическое зеркало на место колодца, как это показано справа, то в нем, как по волшебству, появится лицо Эшера.

Многие считают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и они не могут быть созданы в реальном мире. Однако из школьного курса геометрии нам известно, что чертеж, изображенный на листе бумаги, является проекцией трехмерной фигуры на плоскость. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги должна существовать в трехмерном пространстве. Причем трехмерных объектов, при проецировании на плоскость которых, получается заданная плоская фигура бесконечное множество. Это же относится и к невозможным фигурам.

Конечно, ни одну из невозможных фигур нельзя создать, действуя прямолинейно. Например, если вы возьмете три одинаковых деревянных бруска, вы не сможете совместить их так, чтобы получился невозможный треугольник. Однако, при проецировании трехмерной фигуры на плоскость некоторые линии могут становиться невидимыми, перекрывать друг друга, стыковаться друг с другом и т.п. Исходя из этого, мы можем взять три различных бруска и составить треугольник, представленный на фотографии ниже (рис. 1). Данная фотография создана известным популяризатором работ М.К. Эшера, автором большого количества книг Бруно Эрнстом. На переднем плане фотографии мы видим фигуру невозможного треугольника. На заднем плане установлено зеркало, в котором отражается та же фигура с другой точки зрения. И мы видим, что на самом деле фигура невозможного треугольника является не замкнутой, а разомкнутой фигурой. И только с той точки, с которой мы обозреваем фигуру кажется, что вертикальный брусок фигуры заходит за горизонтальный брусок, вследствие чего фигура кажется невозможной. Если бы мы сместили угол обзора немного, ты нам сразу бы стал виден разрыв в фигуре, и она потеряла бы свой эффект невозможности. Тот факт, что невозможная фигура выглядит невозможной только с одной точки зрения характерен для всех невозможных фигур.

Рис. 1. Фотография невозможного треугольника, сделанная Бруно Эрнстом.

Как уже было сказано выше, количество фигур, соответствующих заданной проекции, бесконечное множество, поэтому вышеприведенный пример является не единственным способом построения невозможного треугольника в реальности. Бельгийский художник Матье Хемакерз (Mathieu Hamaekers) создал скульптуру, представленную на рис. 2. Фотография слева показывает фронтальный вид фигуры, при котором она выглядит невозможным треугольником, центральная фотография показывает ту же фигуру, повернутую на 45°, а фотография справа – фигуру, повернутую на 90°.

Рис. 2. Фотография фигуры невозможного треугольника Матье Хемакерза.

Как можно заметить, в данной фигуре вообще нет прямых линий, все элементы фигуры изогнуты определенным образом. Однако, как и в предыдущем случае эффект невозможности заметен лишь при одном угле обзора, когда все изогнутые линии проецируются в прямые, и, если не обращать внимания на некоторые тени, фигура выглядит невозможной.

Еще один способ создания невозможного треугольника был предложен русским художником и конструктором Вячеславом Колейчуком и опубликован в журнале "Техническая эстетика" №9 (1974). Все ребра данной конструкции являются прямыми линиями, а грани изогнуты, хотя на фронтальном виде фигуры этой изогнутости не видно. Он создал такую модель треугольника из дерева.

Рис. 3. Модель невозможного треугольника Вячеслава Колейчука.

Позже эта модель была воссоздана сотрудником факультета компьютерных наук института Technion в Израиле Элбером Гершоном (Gershon Elber). Его вариант (см. рис. 4) был сначала спроектирован на компьютере, а затем воссоздан в реальности при помощи трехмерного принтера. Если сместить немного угол обзора невозможного треугольника, то мы увидим фигуру, подобную второй фотографии на рис. 4.

Рис. 4. Вариант построения невозможного треугольника Элбера Гершона.

Стоит отметить, что если бы мы смотрели сейчас на сами фигуры, а не на их фотографии, то мы бы сразу увидели, что ни одна из представленных фигур не является невозможной, и в чем заключается секрет каждой из них. Мы бы просто не смогли бы увидеть эти фигуры невозможными, так как мы обладаем стереоскопическим зрением. То есть наши глаза, расположенные на определенном расстоянии друг от друга, видят один и тот же объект с двух близких, но все же разных, точек зрения, и наш мозг, получив два изображения от наших глаз совмещает их в единую картину. Ранее было сказано, что невозможный объект выглядит невозможным только с единственной точки зрения, а так как мы обозреваем объект с двух точек зрения, то мы сразу же видим те уловки, при помощи которых создан тот или иной объект.

Значит ли это, что в реальности все же увидеть невозможный объект нельзя? Нет, можно. Если вы закроете один глаз и будете смотреть на фигуру, то она будет выглядит невозможной. Поэтому в музеях при демонстрации невозможных фигур заставляют посетителей смотреть на них сквозь небольшое отверстие в стене одним глазом.

Существует и еще один способ, при помощи которого можно увидеть невозможную фигуру, причем двумя глазами сразу. Заключается он в следующем: необходимо создать огромную фигуру высотой с многоэтажный дом, расположить ее на обширном открытом пространстве и смотреть на нее с очень большого расстояния. В этом случае, даже смотря на фигуру двумя глазами, вы будете воспринимать ее как невозможную вследствие того, что оба ваших глаза будут получать изображения практически ничем не отличающиеся друг друга. Такая невозможная фигура была создана в австралийском городе Перт .

Если невозможный треугольник относительно несложно сконструировать в реальном мире, то совсем создать невозможный трезубец в трехмерном пространстве не так-то просто. Особенностью этой фигуры является наличие противоречия между передним и задним планом фигуры, когда отдельные элементы фигуры плавно преходят в фон, на котором расположена фигура.

Рис. 5. Конструкция подобная невозможному трезубцу.

В Институте Глазной Оптики в городе Аахен (Германия) смогли решить эту задачу, создав специальную установку. Конструкция состоит из двух частей. В передней части расположены три круглые колонны и строитель. Эта часть освещается только внизу. За колоннами расположено полупроницаемое (half-permeable) зеркало с отражающим слоем, расположенным спереди, то есть зритель не видит то, что находится за зеркалом, а видит в нем только отражение колонн.

Рис. 6. Схема установки, воспроизводящий невозможный трезубец.