Что называется нулями функции. Правило нули функции

Значения аргумента z при которыхf (z ) обращается в ноль наз. нулевой точкой , т.е. если f (a ) = 0 , то а - нулевая точка .

Опр. Точка а наз. нулём порядка n , если ФКП можно представить в виде f (z ) = , где
аналитическая функция и
0.

В этом случае в разложении функции в ряд Тейлора (43) первые n коэффициентов равны нулю

= =

Пр. Определить порядок нуля для
и (1 –cos z ) при z = 0

=
=

ноль 1 порядка

1 – cos z =
=

ноль 2 порядка

Опр. Точка z =
наз. бесконечно удаленной точкой и нулем функции f (z ), если f (
) = 0. Такая функция разлагается в ряд по отрицательным степеням z : f (z ) =
. Если первые n коэффициентов равны нулю, то приходим к нулю порядка n в бесконечно удаленной точке: f (z ) = z - n
.

Изолированные особые точки делятся на: а) устранимые особые точки ; б) полюса порядка n ; в) существенно особые точки .

Точка а наз. устранимой особой точкой функции f (z ) , если при z
a lim f (z ) = с - конечное число .

Точка а наз. полюсом порядка n (n 1) функции f (z ), если обратная функция
= 1/ f (z ) имеет нуль порядка n в точке а. Такую функцию всегда можно представить в виде f (z ) =
, где
- аналитическая функция и
.

Точка а наз. существенно особой точкой функции f (z ), если при z
a lim f (z ) не существует.

Ряд Лорана

Рассмотрим случай кольцевой области сходимости r < | z 0 – a | < R с центром в точке а для функции f (z ). Введем две новые окружности L 1 (r ) и L 2 (R ) вблизи границ кольца с точкой z 0 между ними. Сделаем разрез кольца, по кромкам разреза соединим окружности, перейдем к односвязной области и в

интегральной формуле Коши (39) получим два интеграла по переменной z

f (z 0) =
+
, (42)

где интегрирование идет в противоположных направлениях.

Для интеграла по L 1 выполняется условие | z 0 – a | > | z – a |, а для интеграла по L 2 обратное условие | z 0 – a | < | z – a |. Поэтому множитель 1/(z – z 0) разложим в ряд (а) в интеграле по L 2 и в ряд (b) в интеграле по L 1 . В результате получаем разложение f (z ) в кольцевой области в ряд Лорана по положительным и отрицательным степеням (z 0 – a )

f (z 0) =
A n (z 0 – a ) n (43)

где A n =
=
;A -n =

Разложение по положительным степеням (z 0 – а )наз. правильной частью ряда Лорана (ряд Тейлора), а разложение по отрицательным степеням наз. главной частью ряда Лорана.

Если внутри круга L 1 нет особых точек и функция аналитична, то в (44) первый интеграл равен нулю по теореме Коши и в разложении функции останется только правильная часть. Отрицательные степени в разложении (45) появляются лишь при нарушении аналитичности в пределах внутреннего круга и служат для описания функции вблизи изолированных особых точек.

Для построения ряда Лорана (45) для f (z ) можно вычислять коэффициенты разложения по общей формуле или использовать разложения элементарных функций, входящих в f (z ).

Число слагаемых (n ) главной части ряда Лорана зависит от типа особой точки: устранимая особая точка (n = 0) ; существенно особая точка (n
); полюс n – ого порядка (n - конечное число).

а) Для f (z ) = точка z = 0 устранимая особая точка, т.к. главной части нет. f (z ) = (z -
) = 1 -

б) Для f (z ) = точка z = 0 - полюс 1 – ого порядка

f (z ) = (z -
) = -

с) Для f (z ) = e 1 / z точка z = 0 - существенно особая точка

f (z ) = e 1 / z =

Если f (z ) аналитична в области D за исключением m изолированных особых точек и |z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m | , то при разложении функции по степеням z вся плоскость разбивается на m + 1 кольцо | z i | < | z | < | z i + 1 | и ряд Лорана имеет разный вид для каждого кольца. При разложении по степеням (z – z i ) областью сходимости ряда Лорана является круг | z – z i | < r , где r – расстояние до ближайшей особой точки.

Пр. Разложим функцию f (z ) =в ряд Лорана по степенямz и (z - 1).

Решение. Представим функцию в виде f (z ) = - z 2 . Используем формулу для суммы геометрической прогрессии
. В круге |z| < 1 ряд сходится и f (z ) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , т.е. разложение содержит только правильную часть. Перейдем во внешнюю область круга |z| > 1 . Функцию представим в виде
, где 1/|z | < 1, и получим разложение f (z ) = z
=z + 1 +

Т.к. , разложение функции по степеням (z - 1) имеет вид f (z ) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) для всех
1.

Пр. Разложить в ряд Лорана функцию f (z ) =
: а)по степеням z в круге |z | < 1; b) по степеням z кольце 1 < |z | < 3 ; c) по степеням (z – 2).Решение. Разложим функцию на простейшие дроби
= =+=
. Из условий z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

а) f (z ) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], при |z |< 1.

b) f (z ) = - ½ [
+
] = - (
), при 1 < |z | < 3.

с) f (z ) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, при |2 - z | < 1

Это круг радиуса 1 с центром в точке z = 2 .

В ряде случаев степенные ряды можно свести к набору геометрических прогрессий и после этого легко определить область их сходимости.

Пр. Исследовать сходимость ряда

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Решение. Это сумма двух геометрических прогрессий с q 1 = , q 2 = () . Из условий их сходимости следует < 1 , < 1 или |z | > 1 , |z | < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z | < 2 .

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Чтобы найти нули функции, заданной формулой y=f(x), надо решить уравнение f(x)=0.

Если уравнение не имеет корней, нулей у функции нет.

Примеры.

1) Найти нули линейной функции y=3x+15.

Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x+15=0.

Таким образом, нуль функции y=3x+15 — x= -5.

Ответ:x= -5.

2) Найти нули квадратичной функции f(x)=x²-7x+12.

Для нахождения нулей функции решим квадратное уравнение

Его корни x1=3 и x2=4 являются нулями данной функции.

Ответ: x=3; x=4.

Инструкция

1. Нуль функции - это такое значение довода х, при котором значение функции равно нулю. Впрочем нулями могут быть лишь те доводы, которые входят в область определения исследуемой функции. То есть в такое уйма значений, для которых функция f(x) имеет толк. 2. Запишите заданную функцию и приравняйте ее к нулю, скажем f(x) = 2х?+5х+2 = 0. Решите получившееся уравнение и обнаружьте его действительные корни. Корни квадратного уравнения вычисляются с поддержкой нахождения дискриминанта. 2х?+5х+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;х1 = (-b+?D)/2*а = (-5+3)/2*2 = -0,5;х2 = (-b-?D)/2*а = (-5-3)/2*2 = -2.Таким образом, в данном случае получены два корня квадратного уравнения, соответствующих доводам начальной функции f(x). 3. Все обнаруженные значения х проверьте на принадлежность к области определения заданной функции. Обнаружьте ООФ, для этого проверьте начальное выражение на наличие корней четной степени вида?f (х), на присутствие дробей в функции с доводом в знаменателе, на наличие логарифмических либо тригонометрических выражений. 4. Рассматривая функцию с выражением под корнем четной степени, примите за область определения все доводы х, значения которых не обращают подкоренное выражение в негативное число (напротив функция не имеет смысла). Уточните, попадают ли обнаруженные нули функции в определенную область допустимых значений х. 5. Знаменатель дроби не может обращаться в нуль, следственно исключите те доводы х, которые приводят к такому итогу. Для логарифмических величин следует рассматривать лишь те значения довода, при которых само выражение огромнее нуля. Нули функции, обращающие подлогарифмическое выражение в нуль либо негативное число, обязаны быть отброшены из финального итога. Обратите внимание! При нахождение корней уравнения, могут возникнуть лишние корни. Проверить это легко: довольно подставить полученное значение довода в функцию и удостовериться обращается ли функция в нуль. Полезный совет Изредка функция не выражается в очевидном виде через свой довод, тогда легко нужно знать, что представляет собой эта функция. Примером этому может служить уравнение окружности.

Нулями функции называются значение абсциссы, при котором значение функции равно нулю.

Если функция задана своим уравнением, то нулями функции будут решения уравнения . Если задан график функции , то нули функции — это значения , в которых график пересекает ось абсцисс.

Содержимое:

Нуль функции - значение х, при котором значение функции равно нулю. Обычно поиск нулей функции выполняется через решение полиномиального уравнения, например, x 2 + 4x +3 = 0. Вот несколько способов нахождения нулей функции.

Шаги

1 Разложение на множители

1. 1 Запишите уравнение, чтобы оно выглядело примерно так x 2 + 5x + 4. Начните с члена высшего порядка (такого, как x 2) и далее со снижением порядка до свободного члена (константа без переменной; число). Приравняйте полученное выражение к 0.
   • Многочлены (уравнения), записанные правильно:
     • x 2 + 5x + 6 = 0
     • x 2 - 2x – 3 = 0
   • Многочлены (уравнения), записанные неправильно:
     • 5x + 6 = -x 2
     • x 2 = 2x + 3
2. 2 a ", "b ", "c ". Это упростит задачу разложения на множители. Запишите уравнение в таком формате: a x 2 ± b x ± c = 0. Теперь найдите a , b , c из данного вам уравнения. Вот несколько примеров:
   • x 2 + 5x + 6 = 0
     • a
     • b = 5
     • c = 6
   • x 2 - 2x – 3 = 0
     • a = 1 (нет коэффициента перед "x", значит коэффициент = 1)
     • b = -2
     • c = -3
3. 3 Запишите все пары множителей коэффициента "с ". Пара множителей данного числа - два числа, которые при перемножении дают это число. Обратите особое внимание на отрицательные числа. Два отрицательных числа, будучи перемножены, дают положительное число. Порядок перемножения не имеет значения ("1 х 4" то же самое, что и "4 х 1").
   • Уравнение: x 2 + 5x + 6 = 0
   • Пары множителей 6, или c :
     • 1 x 6 = 6
     • -1 x -6 = 6
     • 2 x 3 = 6
     • -2 x -3 = 6
4. 4 Найдите пару множителей, сумма которых равна "b " . Посмотрите на значение b и найдите, какая из пар при суммировании даст это число.
   • b = 5
   • Пара множителей, сумма которых равна 5, это 2 and 3
     • 2 + 3 = 5
5. 5 Из этой пары множителей составьте 2 двучлена и объедините в бином. Бином – произведение двучленов вида (х ± число)(х ± число). Как узнать, какой знак (плюс или минус) выбрать? Просто посмотрите на знак чисел из пары множителей: положительное число - знак плюс, отрицательное число - минус. Вот пара множителей, с которыми мы составили бином:
   • (x + 2)(x + 3) = 0
6. 6 Решите каждый двучлен, перенеся неизвестное на другую сторону уравнения. Приравняйте каждый двучлен к 0: (х + 2) = 0 и (х + 3) = 0, а затем решите уравнение:
   • (x + 2) = 0; x = -2
   • (x + 3) = 0; x = -3
7. 7 Это и есть нули функции.

2 Решение квадратного уравнения

1. 1 Квадратное уравнение выглядит следующим образом:
2. 2 Обозначьте коэффициенты в вашем уравнении через "a ", "b ", "c ". Это упростит задачу решения уравнения. Запишите уравнение в таком формате: a x 2 ± b x ± c = 0.
3. 3 Теперь найдите a , b , c из данного вам уравнения.
4. 4 Решите уравнение. Чтобы решить квадратное уравнение, необходимо знать формулу решения такого уравнения. Все остальное - просто подстановка и вычисление.
   • Другой вариант решения квадратного уравнения - полный квадрат. Некоторые считают этот метод более простым, чем решение по формуле.
5. 5 Результатом решения квадратного уравнения по формуле будут "нули" функции, которые Вы ищете. Формула дает ответ в виде двух чисел, которые и являются решением (нулями) данной функции.

3 График квадратного уравнения

1. 1 Постройте график функции. Функция записывается в виде x 2 + 8x + 12 = 0.
2. 2 Найдите точки пересечения с осью х. Эти две точки будут нулями функции.
3. 3 Используйте график как способ проверки, а не как способ решения уравнения. Если вы строите график, чтобы показать на нем нули функции, воспользуйтесь этим для двойной проверки полученных результатов.

• Вы можете проверить ваши вычисления, подставив найденные решения в начальное уравнения. Если при этом уравнение равно нулю, то решения правильные.

Математическое представление функции показывает наглядно то, как одна величина всецело определяет значение иной величины. Традиционно рассматриваются числовые функции, которые ставят в соответствие одним числам другие. Нулем функции, обыкновенно называют значение довода, при котором функция обращается в нуль.

Инструкция

1. Для того, дабы обнаружить нули функции, нужно приравнять ее правую часть к нулю и решить полученное уравнение. Представим, вам дана функция f(x)=x-5.

2. Для нахождения нулей этой функции, возьмем и приравняем ее правую часть к нулю: x-5=0.

3. Решив это уравнение получим, что x=5 и это значение довода и будет нулем функции. То есть при значении довода 5, функция f(x) обращается в нуль.

Под представлением функции в математике понимают связь между элементами множеств. Если говорить больше верно, это «закон», по которому всему элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие определенный элемент иного множества (называемого областью значений).

Вам понадобится

• Знания в области алгебры и математического обзора.

Инструкция

1. Значения функции это некая область, значения из которой может принимать функция. Скажем область значения функции f(x)=|x| от 0 до бесконечности. Дабы обнаружить значение функции в определенной точке нужно подставить взамен довода функции его числовой эквивалент, полученное число и будет значение м функции . Пускай дана функция f(x)=|x| – 10 + 4x. Обнаружим значение функции в точке x=-2. Подставим взамен x число -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16. То есть значение функции в точке -2 равно -16.

Обратите внимание!
Раньше чем искать значение функции в точке – удостоверитесь, что она входит в область определения функции.

Полезный совет
Аналогичным методом дозволено обнаружить значение функции нескольких доводов. Различие в том, что взамен одного числа нужно будет подставить несколько – по числу доводов функции.

Функция представляет собой установленную связанность переменной у от переменной x. Причем всем значению х, называемого доводом, соответствует исключительное значение у – функции. В графическом виде функция изображается на декартовой системе координат в виде графика. Точки пересечения графика с осью абсцисс, на которой откладываются доводы х, именуются нулями функции. Поиск допустимых нулей – одна из задач по изысканию заданной функции. При этом учитываются все допустимые значения само­стоятельной переменной x, образующие область определения функции (ООФ).

Инструкция

1. Нуль функции – это такое значение довода х, при котором значение функции равно нулю. Впрочем нулями могут быть лишь те доводы, которые входят в область определения исследуемой функции. То есть в такое уйма значений, для которых функция f(x) имеет толк.

2. Запишите заданную функцию и приравняйте ее к нулю, скажем f(x) = 2х?+5х+2 = 0. Решите получившееся уравнение и обнаружьте его действительные корни. Корни квадратного уравнения вычисляются с поддержкой нахождения дискриминанта. 2х?+5х+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;х1 = (-b+?D)/2*а = (-5+3)/2*2 = -0,5;х2 = (-b-?D)/2*а = (-5-3)/2*2 = -2.Таким образом, в данном случае получены два корня квадратного уравнения, соответствующих доводам начальной функции f(x).

3. Все обнаруженные значения х проверьте на принадлежность к области определения заданной функции. Обнаружьте ООФ, для этого проверьте начальное выражение на наличие корней четной степени вида?f (х), на присутствие дробей в функции с доводом в знаменателе, на наличие логарифмических либо тригонометрических выражений.

4. Рассматривая функцию с выражением под корнем четной степени, примите за область определения все доводы х, значения которых не обращают подкоренное выражение в негативное число (напротив функция не имеет смысла). Уточните, попадают ли обнаруженные нули функции в определенную область допустимых значений х.

5. Знаменатель дроби не может обращаться в нуль, следственно исключите те доводы х, которые приводят к такому итогу. Для логарифмических величин следует рассматривать лишь те значения довода, при которых само выражение огромнее нуля. Нули функции, обращающие подлогарифмическое выражение в нуль либо негативное число, обязаны быть отброшены из финального итога.

Обратите внимание!
При нахождение корней уравнения, могут возникнуть лишние корни. Проверить это легко: довольно подставить полученное значение довода в функцию и удостовериться обращается ли функция в нуль.

Полезный совет
Изредка функция не выражается в очевидном виде через свой довод, тогда легко нужно знать, что представляет собой эта функция. Примером этому может служить уравнение окружности.

В котором она принимает нулевое значение. Например, для функции , заданной формулой

Является нулём, поскольку

Нули функции также называются корнями функции .

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс .

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона , градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана .

Корень многочлена

См. также

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Нуль функции" в других словарях:

Точка, где заданная функция f (z) обращается в нуль; таким образом, Н. ф. f (z) это то же самое, что и корни уравнения f (z) = 0. Например, точки 0, π, π, 2π, 2π,... суть нули функции sinz. Нули аналитической функции (См. Аналитические… …

Нуль функция, нуль функции … Орфографический словарь-справочник

У этого термина существуют и другие значения, см. Нуль. Необходимо перенести содержимое этой статьи в статью «Нуль функции». Вы можете помочь проекту, объединив статьи. В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот … Википедия

Или C строка (от названия языка Си) или ASCIZ строка (от названия директивы ассемблера.asciz) способ представления строк в языках программирования, при котором вместо введения специального строкового типа используется массив символов, а концом… … Википедия

В квантовой теории поля принятое (жаргонное) название для свойства обращения в нуль фактора перенормировки константысвязи где g0 затравочная константа связи из лагранжиана взаимодействия, физ. константа связи, одетая взаимодействием. Равенство Z … Физическая энциклопедия

Нуль-мутация н-аллель - Нуль мутация, н. аллель * нуль мутацыя, н. алель * null mutation or n. allel or silent a. мутация, ведущая к полной потере функции в той последовательности ДНК, в которой она произошла … Генетика. Энциклопедический словарь

Утверждение в теории вероятностей о том, что всякое событие (т. н. остаточное событие), наступление к рого определяется лишь сколь угодно удаленными элементами последовательности независимых случайных событий или случайных величин, имеет… … Математическая энциклопедия

1) Число, обладающее тем свойством, что любое (действительное или комплексное) число при сложении с ним не меняется. Обозначается символом 0. Произведение любого числа на Н. равно Н.: Если произведение двух чисел равно Н., то один из сомножителей … Математическая энциклопедия

Функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Например, соотношение x2 + y2 1 = 0 задаёт Н. ф. … Большая советская энциклопедия

Множество тех и только тех точек, ни в какой окрестности к рых обобщенная функция не обращается в нуль Обобщенная функция из обращается в нуль в открытом множестве если для всех. С помощью разложения единицы показано, что если обобщенная функция … Математическая энциклопедия