Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители
Разложение многочленов для получения произведения иногда кажется запутанным. Но это не так сложно, если разобраться в процессе пошагово. В статье подробно рассказано, как разложить на множители квадратный трехчлен.
Многим непонятно, как разложить на множители квадратный трехчлен, и для чего это делается. Сначала может показаться, что это бесполезное занятие. Но в математике ничего не делается просто так. Преобразование нужно для упрощения выражения и удобства вычисления.
Многочлен, имеющий вид – ax²+bx+c, называется квадратным трехчленом. Слагаемое «a» должно быть отрицательным или положительным. На практике это выражение называется квадратным уравнением. Поэтому иногда говорят и по-другому: как разложить квадратное уравнение.
Интересно! Квадратным многочлен называют из-за самой его большой степени – квадрата. А трехчленом — из-за 3-х составных слагаемых.
Некоторые другие виды многочленов:
- линейный двучлен (6x+8);
- кубический четырехчлен (x³+4x²-2x+9).
Разложение квадратного трехчлена на множители
Сначала выражение приравнивается к нулю, затем нужно найти значения корней x1 и x2. Корней может не быть, может быть один или два корня. Наличие корней определяется по дискриминанту. Его формулу надо знать наизусть: D=b²-4ac.
Если результат D получается отрицательный, корней нет. Если положительный – корня два. Если в результате получился ноль – корень один. Корни тоже высчитываются по формуле.
Если при вычислении дискриминанта получается ноль, можно применять любую из формул. На практике формула просто сокращается: -b / 2a.
Формулы для разных значений дискриминанта различаются.
Если D положительный:
Если D равен нулю:
Онлайн калькуляторы
В интернете есть онлайн калькулятор. С его помощью можно выполнить разложение на множители. На некоторых ресурсах предоставляется возможность посмотреть решение пошагово. Такие сервисы помогают лучше понять тему, но нужно постараться хорошо вникнуть.
Полезное видео: Разложение квадратного трехчлена на множители
Примеры
Предлагаем просмотреть простые примеры, как разложить квадратное уравнение на множители.
Пример 1
Здесь наглядно показано, что в результате получится два x, потому что D положительный. Их и нужно подставить в формулу. Если корни получились отрицательные, знак в формуле меняется на противоположный.
Нам известна формула разложения квадратного трехчлена на множители: a(x-x1)(x-x2). Ставим значения в скобки: (x+3)(x+2/3). Перед слагаемым в степени нет числа. Это значит, что там единица, она опускается.
Пример 2
Этот пример наглядно показывает, как решать уравнение, имеющее один корень.
Подставляем получившееся значение:
Пример 3
Дано: 5x²+3x+7
Сначала вычислим дискриминант, как в предыдущих случаях.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.
После получения результата стоит раскрыть скобки и проверить результат. Должен появиться исходный трехчлен.
Альтернативный способ решения
Некоторые люди так и не смогли подружиться с дискриминантом. Можно еще одним способом произвести разложение квадратного трехчлена на множители. Для удобства способ показан на примере.
Дано: x²+3x-10
Мы знаем, что должны получиться 2 скобки: (_)(_). Когда выражение имеет такой вид: x²+bx+c, в начале каждой скобки ставим x: (x_)(x_). Оставшиеся два числа – произведение, дающее «c», т. е. в этом случае -10. Узнать, какие это числа, можно только методом подбора. Подставленные числа должны соответствовать оставшемуся слагаемому.
К примеру, перемножение следующих чисел дает -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Нет.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Нет.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Нет.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Подходит.
Значит, преобразование выражения x2+3x-10 выглядит так: (x-2)(x+5).
Важно! Стоит внимательно следить за тем, чтобы не перепутать знаки.
Разложение сложного трехчлена
Если «a» больше единицы, начинаются сложности. Но все не так трудно, как кажется.
Чтобы выполнить разложение на множители, нужно сначала посмотреть, возможно ли что-нибудь вынести за скобку.
Например, дано выражение: 3x²+9x-30. Здесь выносится за скобку число 3:
3(x²+3x-10). В результате получается уже известный трехчлен. Ответ выглядит так: 3(x-2)(x+5)
Как раскладывать, если слагаемое, которое находится в квадрате отрицательное? В данном случае за скобку выносится число -1. К примеру: -x²-10x-8. После выражение будет выглядеть так:
Схема мало отличается от предыдущей. Есть лишь несколько новых моментов. Допустим, дано выражение: 2x²+7x+3. Ответ также записывается в 2-х скобках, которые нужно заполнить (_)(_). Во 2-ю скобку записывается x, а в 1-ю то, что осталось. Это выглядит так: (2x_)(x_). В остальном повторяется предыдущая схема.
Число 3 дают числа:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Решаем уравнения, подставляя данные числа. Подходит последний вариант. Значит, преобразование выражения 2x²+7x+3 выглядит так: (2x+1)(x+3).
Другие случаи
Преобразовать выражение получится не всегда. При втором способе решение уравнения не потребуется. Но возможность преобразования слагаемых в произведение проверяется только через дискриминант.
Стоит потренироваться решать квадратные уравнения, чтобы при использовании формул не возникало трудностей.
Полезное видео: разложение трехчлена на множители
Вывод
Пользоваться можно любым способом. Но лучше оба отработать до автоматизма. Также научиться хорошо решать квадратные уравнения и раскладывать многочлены на множители нужно тем, кто собирается связать свою жизнь с математикой. На этом строятся все следующие математические темы.
Разложение квадратных трехчленов на множители относится к школьным заданиям, с которыми рано или поздно сталкивается каждый. Как его выполнить? Какова формула разложения квадратного трехчлена на множители? Разберемся пошагово с помощью примеров.
Общая формула
Разложение квадратных трехчленов на множители осуществляется решением квадратного уравнения. Это несложная задача, которую можно решить несколькими методами - нахождением дискриминанта, при помощи теоремы Виета, существует и графический способ решения. Первые два способа изучаются в средней школе.
Общая формула выглядит так: lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Алгоритм выполнения задания
Для того чтобы выполнить разложение квадратных трехчленов на множители, нужно знать теорему Вита, иметь под рукой программу для решения, уметь находить решение графически или искать корни уравнения второй степени через формулу дискриминанта. Если дан квадратный трехчлен и его надо разложить на множители, алгоритм действий такой:
1) Приравнять исходное выражение к нулю, чтобы получить уравнение.
2) Привести подобные слагаемые (если есть такая необходимость).
3) Найти корни любым известным способом. Графический метод лучше применять в случае, если заранее известно, что корни - целые и небольшие числа. Нужно помнить, что количество корней равно максимальной степени уравнения, то есть у квадратного уравнения корней два.
4) Подставить значение х в выражение (1).
5) Записать разложение квадратных трехчленов на множители.
Примеры
Окончательно понять, как выполняется это задание, позволяет практика. Иллюстрируют разложение на множители квадратного трехчлена примеры:
необходимо разложить выражение:
Прибегнем к нашему алгоритму:
1) х 2 -17х+32=0
2) подобные слагаемые сведены
3) по формуле Виета найти корни для этого примера сложно, потому лучше воспользоваться выражением для дискриминанта:
D=289-128=161=(12,69) 2
4) Подставим найденные нами корни в основную формулу для разложения:
(х-2,155) * (х-14,845)
5) Тогда ответ будет таким:
х 2 -17х+32=(х-2,155)(х-14,845)
Проверим, соответствуют ли найденные дискриминантом решения формулам Виета:
14,845 . 2,155=32
Для данных корней применяется теорема Виета, они были найдены правильно, а значит полученное нами разложение на множители тоже правильно.
Аналогично разложим 12х 2 +7х-6.
x 1 =-7+(337) 1/2
x 2 =-7-(337) 1/2
В предыдущем случае решения были нецелыми, но действительными числами, найти которые легко, имея перед собой калькулятор. Теперь рассмотрим более сложный пример, в котором корни будут комплексными: разложить на множители х 2 +4х+9. По формуле Виета корни найти не получится, и дискриминант отрицательный. Корни будут на комплексной плоскости.
D=-20
Исходя из этого, получаем нтересующие нас корни -4+2i*5 1/2 и -4-2i * 5 1/2 , поскольку (-20) 1/2 =2i*5 1/2 .
Получаем искомое разложение, подставив корни в общую формулу.
Еще один пример: нужно разложить на множители выражение 23х 2 -14х+7.
Имеем уравнение 23х 2 -14х+7 =0
D=-448
Значит, корни 14+21,166i и 14-21,166i. Ответ будет такой:
23х 2 -14х+7 =23(х-14-21,166i )*(х-14+21,166i ).
Приведем пример, решить который можно без помощи дискриминанта.
Пусть нужно разложить квадратное уравнение х 2 -32х+255. Очевидно, его можно решить и дискриминантом, однако быстрее в данном случае подобрать корни.
x 1 =15
x 2 =17
Значит х 2 -32х+255 =(х-15)(х-17).
Квадратным трёхчленом называется многочлен вида ax^2 + bx + с, где x - переменная, а, b и с - некоторые числа, причем, а ≠ 0.
Чтобы разложить трехчлен на множители, нужно знать корни этого трехчлена. (далее пример на трехчлене 5х^2 + 3х- 2)
Заметим: значение квадратного трёхчлена 5х^2 + 3х - 2 зависит от значения х. Например: Если х = 0, то 5х^2 + 3х - 2 = -2
Если х = 2, то 5х^2 + 3х - 2 = 24
Если х = -1, то 5х^2 + 3х - 2 = 0
При х = -1 квадратный трёхчлен 5х^2 + 3х - 2 обращается в нуль, в этом случае число -1 называют корнем квадратного трёхчлена .
Как получить корень уравнения
Поясним, как мы получили корень этого уравнения. Для начала необходимо четко знать теорему и формулу, по которой мы будем работать:
“Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2 + bx + c, то ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)”.
Х = (-b±√(b^2-4ac))/2a \
Это формула нахождения корней многочлена является самой примитивной формулой, решая по которой вы никогда не запутаетесь.
Выражение 5х^2 + 3х – 2.
1. Приравниваем к нулю: 5х^2 + 3х – 2 = 0
2. Находим корни квадратного уравнения, для этого подставляем значения в формулу (а – коэффициент при Х^2, b – коэффициент при Х, свободный член, то есть цифра без Х):
Первый корень находим со знаком плюс перед корнем квадратным:
Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4
Второй корень со знаком минус перед корнем квадратным:
X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1
Вот мы и нашли корни квадратного трехчлена. Чтобы убедиться, что они верные, можно сделать проверку: сначала подставляем первый корень в уравнение, затем второй:
1) 5х^2 + 3x – 2 = 0
5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0
5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0
2) 5х^2 + 3x – 2 = 0
5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0
5 * 1 + (-3) – 2 = 0
5 – 3 – 2 = 0
Если при подстановке всех корней уравнение обращается в ноль, значит уравнение решено верно.
3. Теперь воспользуемся формулой из теоремы: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), помним, что Х1 и Х2 – это корни квадратного уравнения. Итак: 5х^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))
5х^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)
4. Чтобы убедиться в правильности разложения можно просто перемножить скобки:
5(х - 0,4)(х + 1) = 5(х^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x – 0,4) = 5x^2 +3 – 2. Что подтверждает правильность решения.
Второй вариант нахождения корней квадратного трехчлена
Еще один вариант нахождения корней квадратного трехчлена - теорема обратная теореме Виетта. Здесь корни квадратного уравнения находятся по формулам: x1 + x2 = -(b) , х1 * х2 = с . Но важно понимать, что данной теоремой можно пользоваться только в том случае, если коэффициент а = 1, то есть число, стоящее перед х^2 = 1.
Например: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.
Решаем: х1 + х2 = - (-2), х1 + х2 = 2
Теперь важно подумать, какие числа в произведении дают единицу? Естественно это 1 * 1 и -1 * (-1) . Из этих чисел выбираем те, которые соответствую выражению х1 + х2 = 2, конечно же - это 1 + 1. Вот мы и нашли корни уравнения: х1 = 1, х2 = 1. Это легко проверить, если подставить в выражение x^2 – 2x + 1 = 0.
Найдем сумму и произведение корней квадратного уравнения. Используя формулы (59.8) для корней приведенного уравнения, получим
(первое равенство очевидно, второе получается после несложного вычисления, которое читатель проведет самостоятельно; удобно использовать формулу для произведения суммы двух чисел на их разность).
Доказана следующая
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.
В случае неприведенного квадратного уравнения следует в формулы (60.1) подставить выражения формулы (60.1) примут вид
Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:
Решение, а) Находим уравнение имеет вид
Пример 2. Найти сумму квадратов корней уравнения не решая самого уравнения.
Решение. Известны сумма и произведение корней. Представим сумму квадратов корней в виде
и получим
Из формул Виета легко получить формулу
выражающую правило разложения квадратного трехчлена на множители.
В самом деле, напишем формулы (60.2) в виде
Теперь имеем
что и требовалось получить.
Вышеуказанный вывод формул Виета знаком читателю из курса алгебры средней школы. Можно дать другой вывод, использующий теорему Безу и разложение многочлена на множители (пп. 51, 52).
Пусть корни уравнения тогда по общему правилу (52.2) трехчлен в левой части уравнения разлагается на множители:
Раскрывая скобки в правой части этого тождественного равенства, получим
и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях даст нам формулы Виета (60.1).
Преимущество этого вывода состоит в том, что его можно применить и к уравнениям высших степеней с тем, чтобы получить выражения коэффициентов уравнения через его корни (не находя самих корней!). Например, если корни приведенного кубического уравнения
суть то согласно равенству (52.2) находим
(в нашем случае Раскрыв скобки в правой части равенства и собрав коэффициенты при различных степенях получим
Квадратный трехчлен ax 2 +bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:
ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) , где x 1, x 2 — корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.
Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:
Пример 1). 2x 2 -7x-15.
Решение. 2x 2 -7x-15=0.
a =2; b =-7; c =-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D .
D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 действительных корня.
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
2x 2 -7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x 2 -7x-15 2х+3 и х-5.
Ответ: 2x 2 -7x-15=(2х+3)(х-5).
Пример 2). 3x 2 +2x-8 .
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
a =3; b =2; c =-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b =2). Находим дискриминант D 1 .
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
Мы представили трехчлен 3x 2 +2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4 .
Ответ: 3x 2 +2x-8=(х+2) (3х-4) .
Пример 3) . 5x 2 -3x-2.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
a =5; b =-3; c =-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
5x 2 -3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x 2 -3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.
Ответ: 5x 2 -3x-2=(х-1) (5х+2).
Пример 4). 6x 2 +x-5.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
a =6; b =1; c =-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
Мы представили трехчлен 6x 2 +x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5 .
Ответ: 6x 2 +x-5=(х+1) (6х-5) .
Пример 5). x 2 -13x+12.
Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:
x 2 -13x+12=0. Проверим, можно ли применить . Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.
a =1; b =-13; c =12. Находим дискриминант D.
D=b 2 -4ac =13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .
Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:
x 1 +x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Очевидно, что x 1 =1; x 2 =12.
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
x 2 -13x+12=(х-1)(х-12).
Ответ: x 2 -13x+12=(х-1) (х-12) .
Пример 6). x 2 -4x-6.
Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:
a =1; b =-4; c =-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D 1 .
Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) и запишем ответ.
