Найти монотонность функции. Монотонность функций

Функция у = f (х ) называется возрастающей (убывающей) на промежуткеX , если для любых верно неравенство

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежуткаX, то она возрастает на этом промежутке.

Рассмотрим два значения х 1 и х 2 на данном промежутке X. Пусть . Докажем,

Для функции f(x) на отрезке [х 1 ; х 2 ] выполняются условия теоремы Лагранжа, поэтому

где , т.е. принадлежит промежутку, на котором производная положительна, откуда следует, что и правая часть равенства положительна. Отсюда и

Аналогично доказывается другая теорема.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка X , то она убывает на этом промежутке.

Геометрическая интерпретация условия монотонности функции приведена на рисунке 7.

Если касательные к кривой в некотором промежутке направлены под острыми углами к оси абсцисс (рис. 7а), то функция возрастает, если под тупыми (рис. 7 б), то убывает.

Рисунок 7 – Геометрическая интерпретация условия монотонности функции

Пример 1 у = х 2 – 4х + 3.

Решение. Имеем Очевидно при х > 2и у" < 0 при х < 2, т.е. функция убывает на интервале и возрастает на интервале где х 0 = 2 - абсцисса вершиныпараболы.

Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке X , то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке: т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

Пример 2 . Найти интервалы монотонности функции у = х 3 .

Решение. Найдем производную Очевидно, что у > 0 при . При х = 0 производная обращается в нуль. Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси.

Экстремум функции

Определение 1. Точках 0 называется точкой максимума функцииf (х х 0 выполняется неравенство

Определение 2. Точках 1 , называется точкой минимума функцииf (х ), если в некоторой окрестности точких 1 ,выполняется неравенство

Значения функции в точкахх 0 их 1 , называются соответственно максимумом и минимумом функции.

Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х n . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой, например, на рисунке 8

Наличие максимума (или минимума) в отдельной точке промежутка X вовсе не означает, что в этой точке функция f (х ) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеет глобальный максимум (минимум)).

Необходимое условие экстремума: Для того чтобы функция у =f (х ) имела экстремум в точкех 0 , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ()или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными ).

Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Рисунок 8 – Экстремумы функцииf (х )

Пример 1 . Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках.

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

возрастающей на промежутке \(X\) , если для любых \(x_1, x_2\in X\) , таких что \(x_1 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\) .

Таким образом, функция \(f(t)\) строго возрастает при всех \(t\in \mathbb{R}\) .

Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\) равносильно уравнению \(ax=x^2\) .

Уравнение \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) имеет один корень \(x=0\) , а при \(a\ne 0\) имеет два различных корня \(x_1=0\) и \(x_2=a\) .
Нам нужно найти значения \(a\) , при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что \(a>0\) .
Следовательно, ответ: \(a\in (0;+\infty)\) .

Ответ:

\((0;+\infty)\) .

Задание 4 #1232

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \

имеет единственное решение.

Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\) (т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\) ) и перепишем уравнение в виде: \

Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\) при \(t\geqslant 0\) (т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\) ).

Производная \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9{(t+2)}\right)"=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left(\ln 2\cdot \ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\) .

Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\) при всех \(t\geqslant 0\) , то \(y"0\) при всех \(a\) . Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) , причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}