Формула сворачивания квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения

», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2 », значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

A x 2 + b x + c = 0

• «a » — первый или старший коэффициент;
• «b » — второй коэффициент;
• «c » — свободный член.

Чтобы найти «a », «b » и «c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0 ».

Давайте потренируемся определять коэффициенты «a », «b » и «c » в квадратных уравнениях.

• a = −1
• b = 1
• с =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• с = 0

• a = 1
• b = 0
• с = −8

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

• привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только «0 »;
• использовать формулу для корней:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .

Определим коэффициенты «a », «b » и «c » для этого уравнения.

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x 1;2 = » часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac » на букву «D » и называют дискриминантом . Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант ».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x 2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a », «b » и «c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Более простым способом. Для этого вынесите z за скобки. Вы получите : z(аz + b) = 0. Множители можно расписать: z=0 и аz + b = 0, так как оба могут давать в результате ноль. В записи аz + b = 0 перенесем второй вправо с другим знаком. Отсюда получаем z1 = 0 и z2 = -b/а. Это и есть корни исходного .

Если же имеется неполное уравнение вида аz² + с = 0, в данном случае находятся простым переносом свободного члена в правую часть уравнения. Также поменяйте при этом его знак. Получится запись аz² = -с. Выразите z² = -с/а. Возьмите корень и запишите два решения - положительное и отрицательное значение корня квадратного.

Обратите внимание

При наличии в уравнении дробных коэффициентов помножьте все уравнение на соответствующий множитель так, чтобы избавиться от дробей.

Знание о том, как решать квадратные уравнения, необходимо и школьникам, и студентам, иногда это может помочь и взрослому человеку в обычной жизни. Существует несколько определенных методов решений.

Решение квадратных уравнений

Для того чтобы решить данное уравнение, необходимо воспользоваться теоремой Виета или найти дискриминант. Самым распространенным способом является нахождение дискриминанта, так как при некоторых значениях a, b, c воспользоваться теоремой Виета не представляется возможным.

Чтобы найти дискриминант (D), необходимо записать формулу D=b^2 - 4*a*c. Значение D может быть больше, меньше или равно нулю. Если D больше или меньше нуля, то корня будет два, если D=0, то остается всего один корень, более точно можно сказать, что D в этом случае имеет два равнозначных корня. Подставьте известные коэффициенты a, b, c в формулу и вычислите значение.

После того как вы нашли дискриминант, для нахождения х воспользуйтесь формулами: x(1) = (- b+sqrt{D})/2*a; x(2) = (- b-sqrt{D})/2*a, где sqrt - это функция, означающая извлечение квадратного корня из данного числа. Посчитав эти выражения, вы найдете два корня вашего уравнения, после чего уравнение считается решенным.

Если D меньше нуля, то он все равно имеет корни. В школе данный раздел практически не изучается. Студенты вузов должны знать о том, что появляется отрицательное число под корнем. От него избавляются выделяя мнимую часть, то есть -1 под корнем всегда равно мнимому элементу «i», который умножается на корень с таким же положительным числом. К примеру, если D=sqrt{-20}, после преобразования получается D=sqrt{20}*i. После этого преобразования, решение уравнения сводится к такому же нахождению корней, как было описано выше.

Теорема Виета заключается в подборе значений x(1) и x(2). Используется два тождественных уравнения: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Причем очень важным моментом является знак перед коэффициентом b, помните, что этот знак противоположен тому, который стоит в уравнении. С первого взгляда кажется, что посчитать x(1) и x(2) очень просто, но при решении вы столкнетесь с тем, что числа придется именно подбирать.

Элементы решения квадратных уравнений

Также не стоит забывать про неполные квадратные уравнения. У вас может отсутствовать какое-то из слагаемых, если это так, то все его коэффициенты просто равны нулю. Если перед x^2 или x ничего не стоит, то коэффициенты а и b равны 1.

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0 ,где x - переменная, a,b,c – константы; a<>0 . Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения - это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х) . Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше - существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный - ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение - то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения

за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0 При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q . Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Задача 1. Найти корни квадратного уравнения

x^2-26x+120=0 .

Решение: Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминанта

Корень из данного значения равен 14 , его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.
Найденное значение подставляем в формулу корней

и получаем

Задача 2. Решить уравнение

2x 2 +x-3=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант


По известным формулам находим корни квадратного уравнения

Задача 3. Решить уравнение

9x 2 -12x+4=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант

Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле

Задача 4. Решить уравнение

x^2+x-6=0 .

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6 . Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2} . С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см 2 .

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х 2 -18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11 , то 18-х=7 , наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9 ).

Задача 6. Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а , уравнение (а-3)х 2 +(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2 . Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а , решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7 , а их произведение 12 . Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет - а=4 . Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.

Пример 2. При каких значениях параметра а , уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение: Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3 . При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0 .
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3 . Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0 . Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0 , которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0.
Применим к квадратному трехчлену ах 2 + bх + с те же преобразования, которые мы выполняли в § 13, когда доказывали теорему о том, что графиком функции у = ах 2 + bх + с является парабола.
Имеем

Обычно выражение b 2 - 4ас обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 (или дискриминантом квадратного трехчлена ах + bх + с).

Таким образом

Значит, квадратное уравнение ах 2 + их + с = О можно переписать в виде

Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Пример 1. Решить уравнение 2x 2 + 4х + 7 = 0.
Решение. Здесь а = 2, b = 4, с = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Так как D < 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид

— единственный корень уравнения.

Замечание 1. Помните ли вы, что х = - — абсцисса вершины параболы, которая служит графиком функции у = ах 2 + их + с? Почему именно это
значение оказалось единственным корнем квадратного уравнения ах 2 + их + с — 0? «Ларчик» открывается просто: если D — 0, то, как мы установили ранее,

Графиком же функции является парабола с вершиной в точке (см., например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного уравнения при D = 0 — одно и то же число.

Пример 2. Решить уравнение 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Решение. Здесь а = 4, b = -20, с = 25, D = b 2 - 4ас = (-20) 2 - 4 . 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Так как D = 0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле

Ответ: 2,5.

Замечание 2. Обратите внимание, что 4х 2 - 20х +25 — полный квадрат: 4х 2 - 20х + 25 = (2х - 5) 2 .
Если бы мы это заметили сразу, то решили бы уравнение так: (2х - 5) 2 = 0, значит, 2х - 5 = 0, откуда получаем х = 2,5. Вообще, если D = 0, то

ах 2 + bх + с = — это мы отметили ранее в замечании 1.
Если D > 0, то квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам

Доказательство . Перепишем квадратное уравнение ах 2 + Ь х + с = 0 в виде (1)

Положим
По условию, D > 0, значит, правая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что

Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:

Замечание 3. В математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое
понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отноше-
ние к различным пюдям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

Пример 3. Решить уравнение Зх 2 + 8х - 11 = 0.
Решение. Здесь а = 3, b = 8, с = - 11,
D = b 2 - 4ас = 8 2 - 4 . 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (3)

Фактически мы с вами выработали следующее правило:

Правило решения уравнения
ах 2 + bх + с = 0

Это правило универсально, оно применимо как к полным, так и к неполным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому правилу не решают, их удобнее решать так, как мы это делали в предыдущем параграфе.

Пример 4. Решить уравнения:

а) х 2 + Зх - 5 = 0; б) - 9x 2 + 6х - 1 = 0; в) 2х 2 -х + 3,5 = 0.

Р е ш е н и е. а) Здесь а = 1, b = 3, с = - 5,
D = b 2 - 4ас = З 2 - 4 . 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находим по формулам (3)

Б) Как показывает опыт, удобнее иметь дело с квадратными уравнениями, у которых старший коэффициент положителен. Поэтому сначала умножим обе части уравнения на -1, получим

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Здесь а = 9, b = -6, с = 1, D = b 2 - 4ас = 36 - 36 = 0.
Так как D = 0, то данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле х = - . Значит,

Это уравнение можно было решить по-другому: так как
9х 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, то получаем уравнение (Зх - I) 2 = 0, откуда находим Зх - 1 = 0, т. е. х = .

в) Здесь а = 2, b = - 1, с = 3,5, D = b 2 - 4ас = 1 - 4 . 2 . 3,5= 1 - 28 = - 27. Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Математики — люди практичные, экономные. Зачем, говорят они, пользоваться таким длинным правилом решения квадратного уравнения, лучше сразу написать общую формулу:

Если окажется, что дискриминант D = b 2 - 4ас — отрицательное число, то записанная формула не имеет смысла (под знаком квадратного корня находится отрицательное число), значит, корней нет. Если же окажется, что дискриминант равен нулю, то получаем

Т. е. один корень (говорят также, что квадратное уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня:

Наконец, если окажется, что b 2 - 4ас > 0, то получаются два корня х 1 и х 2 , которые вычисляются по тем же формулам (3), что указаны выше.

Само число в этом случае положительно (как всякий квадратный корень из положительного числа), а двойной знак перед ним означает, что в одном случае (при отыскании х 1) это положительное число прибавляется к числу - b, а в другом случае (при отыскании х 2) это положительное число вы-
читается из числа - b.

У вас есть свобода выбора. Хотите —- решайте квадратное уравнение подробно, используя сформулированное выше правило; хотите — запишите сразу формулу (4) и с ее помощью делайте необходимые выводы.

Пример 5 . Решить уравнения:

Решение, а) Конечно, можно использовать формулы (4) или (3), учитывая, что в данном случае Но зачем выполнять действия с дробями, когда проще и, главное, приятнее иметь дело с целыми числами? Давайте освободимся от знаменателей. Для этого нужно умножить обе части уравнения на 12, т. е. на наименьший общий знаменатель дробей, служащих коэффициентами уравнения. Получим

откуда 8х 2 + 10x - 7 = 0.

А теперь воспользуемся формулой (4)

Б) Мы снова имеем уравнение с дробными коэффициентами: а = 3, b = - 0,2, с = 2,77. Умножим обе части уравнения на 100, тогда получим уравнение с целыми коэффициентами:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Далее воспользуемся формулой (4):

Простая прикидка показывает, что дискриминант (подкоренное выражение) — отрицательное число. Значит, уравнение не имеет корней.

Пример 6. Решить уравнение
Решение. Здесь, в отличие от предыдущего примера, предпочтительнее действовать по правилу, а не по сокращенной формуле (4).

Имеем а = 5, b = -, с = 1, D = b 2 - 4ас = (- ) 2 - 4 . 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Так как D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые будем искать по формулам (3)

Пример 7. Решить уравнение
х 2 - (2р + 1)x +(р 2 +р-2) = 0

Решение. Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) р входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения.
Найдем дискриминант:

Пример 8 . Решить уравнение рx 2 + (1 - р) х - 1 = 0.
Решение. Это также уравнение с параметром р, но, в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формулам (4) или (3). Дело в том, что указанные формулы применимы к квадратным уравнениям, а про заданное уравнение мы этого пока сказать не можем. В самом деле, а вдруг р = 0? Тогда
уравнение примет вид 0 . x 2 + (1-0)x- 1 = 0, т. е. х - 1 = 0, откуда получаем х = 1. Вот если точно известно, что , то можно применять формулы корней квадратного уравнения:

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.