Картина устный счет в сельской школе. История одного шедевра
Наверняка, все, кто учился в школе (особенно в советское время), помнят картинку из учебника «Математика», в которой школьники пытаются решить пример, написанный на доске. Вспомнили? Я уверена, что да.
Не так уж часто баловали нас в то время какими-то для того, чтобы активизировать наше внимание и привить любовь к предмету. Большинство утверждали безапелляционно: «Вы должны учиться!» , «Это ваша работа», и т.д.
Но у любого (да и у взрослого человека, с более сознательным, так сказать, подходом) невольно возникнет вопрос: «А почему я ДОЛЖЕН учиться? ЗАЧЕМ мне это надо?».
И здесь можно пойти как минимум двумя путями. Первый – объяснить несознательному юному созданию его выгоды от учения. И сразу становится ясно, что это тупиковый ход. У современных школьников нет ориентиров и ценностей для того, чтобы стараться и «рвать когти», напрягаться и отказывать себе в чем-то. Не говорю, что таких детей совсем нет. Их достаточно, и среди моих учеников таких «сознательных элементов» немало. Но в основном, сейчас учатся либо из-под палки, либо, спустя рукава. И это огорчает.
Но во все времена, а сейчас особенно, перед стоял вопрос мотивации учащихся к обучению. И данная статья имеет цель пробудить интерес к математике такими приемами как устный счет.
«Как это можно сделать?», – спросите вы.
«Очень просто», – скажу я в ответ.
Достаточно посмотреть на картину русского художника Н. П. Богданова-Бельского «Устный счёт . В народной школе С. А. Рачинского».
Посмотрите, что на ней изображено. Это деревенская школа XIX века. Причем реальная, невыдуманная художником. И на картине – так же реальный человек, Рачинский Сергей Александрович (1833 – 1902), дворянского происхождения. Имя, возможно, не знакомое для большинства. Тем не менее, известная личность в учительских кругах в то время. Он был профессором Московского университета, доктором ботаники, хорошим литератором, членом-корреспондентом Императорской Санкт-Петербургской Академии наук и др.
Заслуг С.А.Рачинского достаточно: начиная с того, что в 1872 году он создал школу с общежитием для крестьянских детей, сам преподавал там живопись и черчение и воспитал много известных личностей, создал первый в России учебник по «умственному счету». Но самое ценное для учителей математики в том, что он разработал уникальную методику обучения устному счёту.
Его известная фраза: «С поля за карандашом и бумагой не побежишь. Решать надо умственно» сама за себя говорит. И тут не поспоришь.
О Рачинском докладывали императору Александру III так:
«Вы изволите припомнить, как несколько лет тому назад я докладывал Вам о Сергее Рачинском, почтенном человеке, который, оставив профессорство в Московском университете, уехал на житье в свое имение, в самой отдаленной лесной глуши Бельского уезда Смоленской губернии, и живет там безвыездно вот уже более 14 лет, работая с утра до ночи для пользы народной. Он вдохнул совсем новую жизнь в целое поколение крестьян… Стал поистине благодетелем местности, основав и ведет, с помощью 4 священников, 5 народных школ, которые представляют теперь образец для всей земли. Это человек замечательный. Все, что у него есть, и все средства своего имения он отдает до копейки на это дело, ограничив свои потребности до последней степени»
А в ответ от Николая II звучали во славу великого мецената-педагога императорские слова:
«Школы, вами основанные и руководимые… стали …училищем труда, трезвости и добрых нравов и живым образцом для всех подобных учреждений. Близкая сердцу Моему забота о народном образовании, коему вы достойно служите, побуждает Меня изъявить вам искреннюю Мою признательность. Пребываю к вам благосклонный Николай»
Итак, что же изображено на картине, приковывающей свое внимание уже хотя бы тем, что на ней изображены дети. Да не просто резвящиеся или гоняющиеся за собачкой, играющие в прятки или ворующие в соседском саду яблоки (сколько подобных сюжетов нам известно из живописи)?
Картина “Устный счет. В народной школе С.А.Рачинского”
На полотне художника Н. П. Богданова-Бельского выписан эпизод из жизни школы с той творческой атмосферой, которая царила на уроках математики, задаваемая преподавателями Татевской школы Рачинского.
На доске написан неказистый на первый взгляд вычислительный пример:
Но как он заинтересовал ребят, собравшихся у доски!
Кто-то задумался в одиночку, кто-то с группой одноклассников обсуждает свои идеи, кто-то прильнул к учителю, якобы прося поддержки и шепча ему свой ответ на ушко («А вдруг неправильно? Что тогда подумают ребята?»)
И казалось бы, не получится … и ладно. Это ж всего лишь пример. «Подумаешь…», – как говорит герой из мультфильма «В стране невыученных уроков».
И все же школьники напряженно думают, мыслят. А учитель присел в уголке как сторонний наблюдатель и … ни-ни. И хотелось бы, возможно, подсказать, направить мысль в нужное русло. Но на то и пример дан: сообразить, обдумать не спеша и выдать правильный ответ. А главное – проделать все умственные операции устно.
Уверена: предложи современным ребятам такой пример, большинство из них полезли бы сразу в портфели за калькуляторами. Разучились думать наши современные школьники напрягаться. А кто не поленился бы (или под рукой вовремя не оказалось бы «костылей для мозга»), тот, скорее всего, считал бы этот пример «в лоб», т.е. выполнял бы последовательно написанные действия. И тем самым усложнил бы себе «жизнь».
Но все гораздо проще и интересней. Смотрите:
Видите, все просто. А если знать свойство некоторых чисел о том, что сумма квадратов трех последовательных чисел равна сумме квадратов следующих за ними двух последовательных чисел, то можно было обойтись и без этих вычислений.
«Эта задача ещё и тем хороша, что она не только мозг оттачивает, но и для многих, далеко идущих, обобщений годна», – говорил С.А.Рачинский.
И задачи Рачинского также имеется. Но об этом я напишу позже.
Итак, главным героем сегодня была картина «». Недавно исполнилось 195 лет самому знаменитому уроку математики, который провел в крестьянской школе Оленинского уезда Смоленской губернии Сергей Александрович Рачинский. Именно он покинул университетскую кафедру, чтобы стать сельским учителем. И благодаря ему, Россия получила немало выдающихся деятелей культуры и искусства, среди которых были Третьяков, Николай Степанович и автор рассматриваемой в данной статье картины Николай Петрович Богданов – Бельский.
Какое влияние оказал на становление этих двух легендарных личностей С. А. Рачинский, мы рассмотрим в следующей статье. И заодно затронем актуальную на сегодня тему о влиянии личности учителя на подрастающее поколение.
Но если Вам интересно было познакомиться с личностью С.А.Рачинского и картиной «Устный счет. В народной школе С.А.Рачинского» художника Н.П. Богданова-Бельского, нажмите кнопочки ниже и поделитесь этим знанием с друзьями.
Полное название знаменитой картины, которая изображена выше: «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского ». Это картина русского художника Николая Петровича Богданова-Бельского была написана в 1895 году, а сейчас висит в Третьяковской галерее. В этой статье вы узнаете некоторые подробности об этом известном произведении, кто такой был Сергей Рачинский, и самое главное — получите верный ответ на задание, изображенное на доске.
Краткое описание картины
На картине изображена сельская школа XIX века во время урока арифметики. У фигуры учителя есть реальный прототип — Сергей Александрович Рачинский, ботаник и математик, профессор Московского университета. Сельские школьники решают очень интересный пример. Видно, что он дается им непросто. На картине над задачей думают 11 учеников, но похоже, что только один мальчик догадался, как решать этот пример в уме, и тихо говорит свой ответ на ухо педагогу.
Николай Петрович посвятил эту картину своему школьному учителю Сергею Александровичу Рачинскому, который и изображен на ней в компании своих учеников. Богданов-Бельский очень хорошо знал героев своей картины, так как когда-то сам был в их ситуации. Ему посчастливилось попасть в школу известного русского педагога профессора С.А. Рачинского, который заметил талант мальчика и помог ему получить художественное образование.
О Рачинском
Сергей Александрович Рачинский (1833-1902) — российский учёный, педагог, просветитель, профессор Московского университета, ботаник и математик. Продолжая начинания своих родителей, преподавал в сельской школе, даже несмотря на то что Рачинские - дворянский род. Сергей Александрович был человеком разносторонних знаний и интересов: в школьной художественной мастерской Рачинский сам проводил занятия по живописи, черчению и рисованию.
В ранний период учительской деятельности Рачинский вел поиски в русле идей немецкого педагога Карла Фолькмара Стоя и Льва Толстого, с которыми вёл переписку. В 1880-е года он стал главным в России идеологом церковно-приходской школы, начавшей соперничать с земской школой. Рачинский пришёл к выводу, что важнейшая из практических потребностей русского народа — это общение с Богом.
Что касается математики и счета в уме, Сергей Рачинский оставил в наследие свой знаменитый задачник «1001 задача для умственного счета », некоторые задания (с ответами) из которого вы сможете найти по .
Подробнее о Сергее Александровиче Рачинском читайте на странице его биографии в .
Решение примера на доске
Существует несколько способов решения выражения, написанного на доске на картине Богданова-Бельского,. Перейдя по этой ссылке , вы найдете четыре различных решения. Если в школе вы учили квадраты чисел до 20 или до 25, то скорее всего задача на доске не вызовет у вас особого труда. Это выражение равно: (100+121+144+169+196) разделить на 365, что в итоге равно 730 разделить на 365, то есть «2».
Кроме того, у нас на сайте в разделе « » вы можете познакомиться и с Сергея Рачинского, и узнать, что такое « ». И именно знание этих последовательностей позволяет решить задачу в считанные секунды, ведь:
10 2 +11 2 +12 2 = 13 2 +14 2 = 365
Юмор и пародийные интерпретации
В наши дни школьники уже не только решают некоторые популярные задачи Рачинского, но и пишут сочинения по картине «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского», что не могло не отразиться на желании школьников пошутить над произведением. Популярность картины «Устный счет» отражена в многочисленных пародиях на нее, которые можно найти в Интернете. Вот лишь некоторые из них:
В одном из залов Третьяковской галереи можно увидеть известную картину художника Н.П. Богданова-Бельского «Устный счет». На ней изображен урок в сельской школе. Занятия проводит старенький учитель. Вокруг столпились деревенские мальчишки в бедных крестьянских рубашках и лаптях. Они сосредоточенно и увлеченно решают задачу, предложенную учителем... Знакомый многим с детства сюжет, но не многие знают, что это не вымысел художника и за всеми персонажами картины стоят реальные люди, написанные им с натуры - люди, которых он знал и любил, а главное действующее лицо - пожилой учитель, человек сыгравший ключевую роль в биографии художника. Судьба его удивительна и необыкновенна - ведь этот человек замечательный русский педагог-просветитель, учитель крестьянских детей Сергей Александрович Рачинский (1833-1902 г.)
Н.П. Богданов-Бельский "Устный счет в народной школе Рачинского" 1895 год.
Будущий педагог С.А.Рачинский.
Сергей Александрович Рачинский родился в поместье Татево Бельского уезда Смоленской губернии в дворянской семье. Его отец Александр Антонович Рачинский в прошлом участник декабрьского движения был сослан за это в свое родовое имение Татево. Здесь 2 мая 1833 года и родился будущий педагог. Его мать была родной сестрой поэта Е.А. Баратынского и семья Рачинских тесно общалась со многими представителями русской культуры. В семье родители уделяли большое внимание всестороннему образованию своих детей. Все это очень пригодилось Рачинскому в будущем. Получив прекрасное образование на естественном факультете Московского университета, он много путешествует, знакомится с интересными людьми, изучает философию, литературу, музыку и многое другое. Через некоторое время пишет несколько научных работ и получает степень доктора и кафедру профессора ботаники в Московском университете. Но его интересы не ограничивались научными рамками. Будущий сельский учитель занимался литературным творчеством, писал стихи и прозу, в совершенстве играл на фортепьяно, был собирателем фольклора - народных песен и кустарных ремёсел. В его квартире в Москве часто бывали Хомяков, Тютчев, Аксаков, Тургенев, Рубинштейн, Чайковский и Толстой. Сергей Александрович был автором либретто к двум операм П.И. Чайковского, который прислушивался к его советам и рекомендациям и посвятил Рачинскому свой первый струнный квартет. С Л.Н. Толстым Рачинского связывали дружеские и родственные отношения, так как племянница Сергея Александровича, дочь его брата ректора Петровской (ныне Тимирязевской) академии Константина Александровича Рачинского - Мария была женой Сергея Львовича, сына Толстого. Интересна переписка Толстого и Рачинского, полная дискуссий и споров о народном образовании.
В 1867 году в силу сложившихся обстоятельств Рачинский оставляет профессуру в Московском университете, а с ней и всю суету столичную жизни, возвращается в родное Татево, открывает там школу и посвящает себя обучению и воспитанию крестьянских детей. Через несколько лет Смоленское село Татево становится известным всей России. Просвещение и служение простому народу отныне станет делом всей его жизни.
Профессор ботаники Московского университета Сергей Александрович Рачинский.
Рачинский разрабатывает новаторскую, необычную для того времени, систему обучения детей. Сочетание теоретических и практических занятий становится основой этой системы. На уроках детей обучали различным ремеслам необходимым крестьянам. Мальчики учились столярному делу и переплетному ремеслу. Работали в школьном огороде и на пасеке. Уроки природоведения проводились в саду, в поле и на лугу. Гордость школы - церковный хор и иконописная мастерская. На свои средства Рачинский построил интернат для детей приезжающих из далека и не имеющих жилья.
Н.П. Богданов-Бельский "Воскресное чтение Евангелия в народной школе Рачинского" 1895 год. На картине второй справа С.А. Рачинский.
Дети получали разностороннее образование. На уроках арифметики не только научились складывать и вычитать, но и освоили элементы алгебры и геометрии, причем в доступной и увлекательной для детей форме, часто в виде игры, попутно делая удивительные открытия. Именно такое его открытие теории чисел и изображено на школьной доске на картине "Устный счет". Сергей Александрович давал детям решать интересные задачи и обязательно их надо было решить устно, в уме. Он говорил: "В поле за карандашом и бумагой не побежишь, надо уметь считать в уме".
С. А. Рачинский. Рисунок Н.П. Богданова-Бельского.
Одним из первых попал в школу Рачинского бедный крестьянский пастушок Коля Богданов из села Шитики Бельского уезда. В этом мальчике Рачинский разглядел талант живописца и помог ему развиться, полностью взяв на себя его будущее художественное образование. В дальнейшем все творчество художника передвижника Николая Петровича Богданова-Бельского (1868-1945) будет посвящено крестьянской жизни, школе и любимому учителю.
На картине "На пороге школы" художник запечатлел момент своего первого знакомства со школой Рачинского.
Н.П.Богданов-Бельский "На пороге школы" 1897 год.
Но какова судьба народной школы Рачинского в наше время? Сохранилась ли память о Рачинском в когда-то знаменитом на всю Россию Татеве? Эти вопросы волновали меня в июне 2000 года, когда я впервые ехала туда.
И вот наконец оно передо мной, раскинувшееся среди зеленых лесов и полей село Татево Бельского уезда, бывшей Смоленской губернии, а в наши дни отнесенное к Тверской области. Именно здесь и была создана знаменитая школа Рачинского, так повлиявшая на развитие народного образования в дореволюционной России.
При въезде в имение я увидела остатки регулярного парка с липовыми аллеями и вековыми дубами. Живописное озеро в прозрачных водах которого отражается парк. Озеро искусственного происхождения, питаемое родниками было вырыто еще при деде С.А.Рачинского, Петербургском обер-полицмейстере Антоне Михайловиче Рачинском.
Озеро на территории усадьбы.
И вот я подхожу к полуразрушенному помещичьему дому с колоннами. От построенного в конце ХVIII века величественного здания сейчас остался только остов. Начата реставрация Троицкой церкви. Возле церкви могила Сергея Александровича Рачинского - скромная каменная плита с начертанными на ней по его желанию Евангельскими словами: «Не о хлебе едином жив будет человек, но о всяком глаголе исходящем из уст Божиих». Там же, среди фамильных надгробий, покоятся его родители, братья и сестры.
Помещичий дом в Татеве в наши дни.
В пятидесятые годы помещичий дом стал постепенно разрушаться. В дальнейшем разрушения продолжились, достигнув своего полного апогея в семидесятые годы прошлого века.
Помещичий дом в Татеве во времена Рачинского.
Церковь в Татеве.
Здание деревянной школы не сохранилось. Но сохранилась школа в другом двухэтажном, кирпичном доме, строительство которого было задумано еще Рачинским, но осуществлено вскоре после его смерти в 1902 году. Это здание построенное по проекту немецкого архитектора считается уникальным. Из-за ошибки в проектировке оно оказалось асимметричным - в нем не хватает одного крыла. Еще только два здания было построены по такому же проекту.
Здание школы Рачинского в наши дни.
Приятно было узнать, что школа жива, активно действует и во многом превосходит столичные школы. В этой школе, когда я туда приехала, не было компьютеров и других современных новшеств, но зато присутствовала праздничная, творческая атмосфера, педагогами и детьми проявлено много фантазии, свежести, выдумки и оригинальности. Приятно удивило открытость, сердечие, и радушие с которым меня встретили ученики и педагоги во главе с директором школы. Здесь трепетно хранят память о своем основателе. В школьном музее берегут реликвии связанные с историей создания этой школы. Даже внешнее оформление школы и классов было ярким и необычным, так не похожим на стандартное, казенное оформление, которое мне приходилось видеть в наших школах. Это окна и стены оригинально украшенные и расписанные самими учащимися, и висящий на стене кодекс чести придуманный ими же, и собственный школьный гимн и многое другое.
Мемориальная доска на стене школы.
В стенах Татевской школы. Эти витражи выполнены самими учащимися школы.
В Татевской школе.
В Татевской школе .
В Татевской школе в наши дни.
Музей Н.П. Богданова-Бельского в бывшем доме управляющего.
Н.П. Богданов-Бельский. Автопортрет.
Все персонажи картины «Устный счет», написаны с натуры и в них жители села Татево узнают своих дедов и прадедов. Хочу немного рассказать о том как сложилась жизнь некоторых из мальчиков изображённых на картине. Об этом мне рассказали местные старожилы знавшие некоторых из них лично.
С.А. Рачинский со своими учениками на пороге школы в Татеве. Июнь 1891 года.
Н.П.Богданов-Бельский "Устный счет в народной школе Рачинского" 1895 год.
Многие думают, что в мальчике изображенном на переднем плане картины художник изобразил самого себя - на самом деле это не так, этот мальчик Ваня Ростунов. Родился Иван Евстафьевич Ростунов в 1882 году в деревне Демидово в семье неграмотных крестьян. Лишь на тринадцатом году попал в народную школу Рачинского. В последствии работал в колхозе счетоводом, шорником, почтальоном. За неимением почтовой сумки, до войны письма разносил в кепке. Ростунов имел семерых детей. Все они учились в Татевской средней школе. Из них один ветеринарный врач, другой агроном, третий военный, одна дочь зоотехник, еще одна дочь была учительницей и директором Татевской школы. Один сын погиб во время Великой Отечественной войны, а еще один по возвращении с войны вскоре умер от последствий полученных там ранений. Внучка Ростунова до недавнего времени работала учительницей в Татевской школе.
Мальчик стоящий крайним слева в сапогах и лиловой рубахе - Дмитрий Данилович Волков(1879-1966 г.) ставший врачом. Во время Гражданской войны работал хирургом в военном госпитале. Во время Великой Отечественной войны был хирургом в партизанском соединении. В мирное время лечил жителей Татева. Дмитрий Данилович имел четверых детей. Одна из его дочерей была партизанкой в том же отряде, что и ее отец и геройски погибла от рук немцев. Еще один сын был участником войны. Двое других детей - летчик и учительница. Внук Дмитрия Даниловича был директором совхоза.
Четвертый слева, изображенный на картине мальчик это Андрей Петрович Жуков, он стал педагогом, работал учителем в одной из школ созданной Рачинским и находящейся в нескольких километрах от Татева.
Видным педагогом стал и Андрей Ольховников (на картине второй справа).
Крайний справа мальчик - Василий Овчинников участник первой русской революции.
Замечтавшийся и закинувший руку за голову мальчик это Григорий Молодёнков из Татева.
На ухо учителю шепчет Сергей Куприянов из деревни Горелки. Он был самым способным к математике.
Высокий паренёк, задумавшийся у доски это Иван Зельтин из деревни Припечье.
Постоянная экспозиция Татевского музея рассказывает об этих и других жителях Татева. Там есть раздел посвященный родословной каждой Татевской семьи. Заслуги и достижения дедов, прадедов, отцов и матерей. Представлены достижения нового поколения учеников Татевской школы.
Вглядываясь в открытые лица нынешних Татевских школьников, так похожие на лица их прадедов с картины Н.П. Богданова-Бельского, я подумала о том, что может быть не совсем еще заглох тот источник духовности на который так сильно уповал русский педагог подвижник, мой предок Сергей Александрович Рачинский.
Знаменитый русский художник Николай Петрович Богданов-Бельский написал уникальную и невероятно жизненную историю в 1895 году. Произведение называется «Устный счёт», а в полной версии «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского».
Николай Богданов-Бельский. Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского
Картина написана маслом по холсту, на ней изображена сельская школа 19 века во время урока арифметики. Школьники решают интересный и сложный пример. Они находятся в глубокой задумчивости и поиске верного решения. Кто-то думает у доски, кто-то стоит в сторонке и пытается сопоставить знания, которые помогут при решении задачи. Дети полностью поглощены поиском ответа на поставленный вопрос, они хотят доказать себе и миру, что могут это сделать.
Рядом стоит учитель, прототипом которого является сам Рачинский - знаменитый ботаник и математик. Не зря картине присвоено такое название, оно в честь профессора Московского университета. На полотне изображено 11 человек детей и только один мальчик тихо шепчет учителю на ухо, возможно правильный ответ.
На картине изображён простой русский класс, дети одеты в крестьянскую одежду: лапти, штаны и рубахи. Всё это очень гармонично и лаконично вписывается в сюжет, ненавязчиво неся миру тягу к знаниям со стороны простого русского народа.
Тёплая цветовая гамма несёт доброту и простоту русского народа, здесь нет зависти и фальши, нет зла и ненависти, дети из разных семей с разным достатком собрались воедино для принятия единственно верного решения. Этого очень не хватает в нашей современной жизни, где люди привыкли жить совсем по - другому, не считаясь, с мнением окружающих.
Николай Петрович посвятил картину своему учителю, великому гению математики, которого хорошо знал и уважал. Сейчас картина находится в Москве в Третьяковской галерее, будете там, обязательно взгляните на перо великого мастера.
opisanie-kartin.com
Николай Петрович Богда́нов-Бе́льский (8 декабря 1868, д. Шитики, Бельский уезд, Смоленская губерния, Россия — 19 февраля 1945, Берлин, Германия) — русский художник-передвижник, академик живописи, председатель Общества имени Куинджи.
На картине изображена деревенская школа конца XIX века во время урока арифметики при решении дроби в уме. Учитель — реальный человек, Сергей Александрович Рачинский (1833—1902), ботаник и математик, профессор Московского университета.
На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам его навыки и основы математического мышления. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, и посвятил своё произведение Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского.
На классной доске написан пример, который ученикам необходимо решить:
Задача, изображенная на картине, не могла быть предложена ученикам стандартной начальной школы: в программе одноклассных и двуклассных начальных народных училищ не предусматривалось изучение понятия степени. Однако Рачинский не следовал типовому учебному курсу; он был уверен в отличных математических способностях большинства крестьянских детей и считал возможным существенное усложнение программы по математике.
Решение задачи Рачинского
Первый способ решения
Для того, чтобы решить это выражение существует несколько способов. Если вы в школе учили квадраты чисел до 20 или до 25, то скорее всего она не вызовет у вас особого труда. Это выражение равно: (100+121+144+169+196) разделить на 365, что в итоге преобразовывается в частное 730 и 365, что равняется: 2. Чтобы решить пример этим способом вам могут пригодиться навыки внимательности и умение держать в уме несколько промежуточных ответов.
Второй способ решения
Если вы в школе не учили значения квадратов чисел до 20, то вам может пригодиться простой способ, основанный на применении опорного числа. Этот способ позволяет просто и быстро перемножать два любых числа, меньшие 20. Способ очень прост, нужно к первому числу прибавить единицу второго, умножить эту сумму на 10, а затем прибавить произведение единиц. Например: 11*11=(11+1)*10+1*1=121. Остальные квадраты находятся также:
12*12=(12+2)*10+2*2=140+4=144
13*13=160+9=169
14*14=180+16=196
Затем, найдя все квадраты, задание можно решить так же, как показано в первом способе.
Третий способ решения
Еще один способ предполагает использовать упрощение числителя дроби, основанное на использовании формул квадрата суммы и квадрата разности. Если попытаться выразить квадраты в числителе дроби через число 12, то получим следующее выражение. (12 - 2) 2 + (12 - 1) 2 + 12 2 + (12 + 1) 2 + (12 + 2) 2 . Если вы хорошо знаете формулы квадрата суммы и квадрата разности, то вы поймете, как это выражение легко привести к виду: 5*12 2 +2*2 2 +2*1 2 , что равняется 5*144+10=730. Чтобы 144 умножить на 5 достаточно просто поделить это число на 2 и умножить на 10, что равняется 720. Потом это выражение делим на 365 и получаем: 2.
Четвертый способ решения
Также эту задачу можно решить за 1 секунду, если вы знаете последовательности Рачинского.
Последовательности Рачинского для счета в уме
Для решения знаменитой задачи Рачинского можно также использовать и дополнительные знания о закономерностях суммы квадратов. Речь идет именно о тех суммах, которые называются последовательностями Рачинского. Так математически можно доказать, что следующие суммы квадратов равны:
3 2 +4 2 = 5 2 (обе суммы равняются 25)
10 2 +11 2 +12 2 = 13 2 +14 2 (сумма равняется 365)
21 2 +22 2 +23 2 +24 2 = 25 2 +26 2 +27 2 (что составляет 2030)
36 2 +37 2 +38 2 +39 2 +40 2 = 41 2 +42 2 +43 2 +44 2 (что равняется 7230)
Чтобы найти любую другую последовательность Рачинского, достаточно просто составить уравнение следующего вида (обратите внимание, что всегда в такой последовательности справа количество суммируемых квадратов на один меньше, чем слева):
n 2 + (n +1) 2 = (n +2) 2
Это уравнение сводится к квадратному уравнению и легко решается. В данном случае «n» равняется 3, что соответствует первой последовательности Рачинского, описанной выше (3 2 +4 2 = 5 2).
Таким образом, решение знаменитого примера Рачинского, можно произвести в уме еще быстрее, чем было описано в данной статье, просто зная вторую последовательность Рачинского, а именно:
10 2 +11 2 +12 2 +13 2 +14 2 = 365 + 365
В итоге уравнение с картины Богдана-Бельского принимает вид (365 + 365)/365, что, несомненно, равняется двум.
Также последовательность Рачинского может пригодиться и для решения других задач из сборника "1001 задача для умственного счета" Сергея Рачинского.
Евгений Буянов
