ما هي خصائص المنتج العددي للناقلات. حاصل الضرب النقطي للمتجهات: النظرية وحل المشكلات

حاصل الضرب النقطي للناقلات

نواصل التعامل مع النواقل. في الدرس الأول ناقلات للدمىلقد درسنا مفهوم المتجه ، والإجراءات ذات المتجهات ، وإحداثيات المتجهات ، وأبسط المشاكل مع المتجهات. إذا أتيت إلى هذه الصفحة لأول مرة من محرك بحث ، فإنني أوصي بشدة بقراءة المقالة التمهيدية أعلاه ، لأنه من أجل استيعاب المادة ، يجب أن يتم إرشادك في المصطلحات والترميز الذي أستخدمه ، ولديك معرفة أساسية بالمتجهات وتكون قادرة على حل المشاكل الأولية. هذا الدرس هو استمرار منطقي للموضوع ، وفيه سأحلل بالتفصيل المهام النموذجية التي تستخدم المنتج القياسي للمتجهات. هذه وظيفة مهمة جدا.. حاول ألا تتخطى الأمثلة ، فهي مصحوبة بمكافأة مفيدة - ستساعدك الممارسة على دمج المادة المغطاة و "الحصول على يدك" في حل المشكلات الشائعة للهندسة التحليلية.

إضافة متجهات ، وضرب متجه برقم…. سيكون من السذاجة الاعتقاد بأن علماء الرياضيات لم يأتوا بشيء آخر. بالإضافة إلى الإجراءات التي تم النظر فيها بالفعل ، هناك عدد من العمليات الأخرى ذات النواقل ، وهي: حاصل الضرب النقطي من النواقل, عبر المنتج من النواقلو منتج مختلط من النواقل. المنتج القياسي للناقلات مألوف لنا من المدرسة ، والمنتجان الآخران مرتبطان تقليديًا بمسار الرياضيات العليا. الموضوعات بسيطة ، وخوارزمية حل العديد من المشاكل مقولبة ومفهومة. الشيء الوحيد. هناك قدر لا بأس به من المعلومات ، لذلك من غير المرغوب فيه محاولة إتقان كل شيء وحله مرة واحدة. هذا صحيح بشكل خاص بالنسبة للدمى ، صدقوني ، المؤلف لا يريد مطلقًا أن يشعر وكأنه تشيكاتيلو من الرياضيات. حسنًا ، ليس من الرياضيات ، بالطبع ، إما =) يمكن للطلاب الأكثر استعدادًا استخدام المواد بشكل انتقائي ، بمعنى معين ، "اكتساب" المعرفة المفقودة ، لأنني سأكون الكونت دراكولا غير ضار =)

أخيرًا ، دعنا نفتح الباب قليلاً ونلقي نظرة على ما يحدث عندما يلتقي متجهان مع بعضهما البعض….

تعريف المنتج العددي للناقلات.
خصائص المنتج العددي. المهام النموذجية

مفهوم المنتج النقطي

أولا الزاوية بين النواقل. أعتقد أن الجميع يفهم بشكل حدسي الزاوية بين المتجهات ، ولكن فقط في حالة ، أكثر من ذلك بقليل. ضع في اعتبارك ناقلات غير صفرية و. إذا قمنا بتأجيل هذه النواقل من نقطة اعتباطية ، فسنحصل على صورة قدمها الكثيرون بالفعل ذهنيًا:

أعترف ، هنا وصفت الوضع فقط على مستوى التفاهم. إذا كنت بحاجة إلى تعريف صارم للزاوية بين المتجهات ، فيرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي ، ولكن بالنسبة للمهام العملية ، فنحن ، من حيث المبدأ ، لسنا في حاجة إليها. هنا أيضًا وأكثر ، سأتجاهل أحيانًا صفر نواقل نظرًا لأهميتها العملية المنخفضة. لقد قمت بالحجز خصيصًا لزوار الموقع المتقدمين ، والذين يمكنهم أن يوبخوني لعدم اكتمال بعض العبارات التالية نظريًا.

يمكن أن تأخذ قيمًا من 0 إلى 180 درجة (من 0 إلى راديان) ضمناً. من الناحية التحليلية ، تمت كتابة هذه الحقيقة على أنها عدم مساواة مزدوجة:

أو

(بالتقدير الدائري).

في الأدبيات ، غالبًا ما يتم حذف رمز الزاوية وكتابته ببساطة.

تعريف:الناتج العددي لمتجهين هو رقم يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما:

الآن هذا تعريف صارم جدًا.

نحن نركز على المعلومات الأساسية:

تعيين:يتم الإشارة إلى المنتج القياسي بواسطة أو ببساطة.

نتيجة العملية هي رقم: اضرب المتجه بمتجه للحصول على رقم. في الواقع ، إذا كانت أطوال المتجهات أرقامًا ، فإن جيب تمام الزاوية هو رقم ، ثم حاصل ضربها سيكون أيضًا رقمًا.

فقط بعض الأمثلة على الإحماء:

مثال 1

المحلول:نستخدم الصيغة . في هذه الحالة:

إجابه:

يمكن العثور على قيم جيب التمام في الجدول المثلثي. أوصي بطباعته - ستكون مطلوبة في جميع أقسام البرج تقريبًا وستكون مطلوبة عدة مرات.

من وجهة نظر رياضية بحتة ، المنتج القياسي بلا أبعاد ، أي أن النتيجة ، في هذه الحالة ، هي مجرد رقم وهذا كل شيء. من وجهة نظر المشاكل الفيزيائية ، يكون للمنتج القياسي دائمًا معنى فيزيائي معين ، أي بعد النتيجة ، يجب الإشارة إلى وحدة مادية أو أخرى. يمكن العثور على المثال الأساسي لحساب عمل القوة في أي كتاب مدرسي (الصيغة هي بالضبط حاصل الضرب النقطي). يتم قياس عمل القوة بالجول ، لذلك ستتم كتابة الإجابة بشكل محدد تمامًا ، على سبيل المثال ،.

مثال 2

ابحث عما إذا كان ، والزاوية بين المتجهات.

هذا مثال للقرار الذاتي ، الجواب في نهاية الدرس.

الزاوية بين المتجهات وقيمة المنتج النقطي

في المثال 1 ، تبين أن المنتج القياسي موجب ، وفي المثال 2 ، تبين أنه سلبي. دعنا نتعرف على ما تعتمد عليه علامة المنتج القياسي. لنلقِ نظرة على صيغتنا: . أطوال المتجهات غير الصفرية تكون دائمًا موجبة: لذلك يمكن أن تعتمد الإشارة فقط على قيمة جيب التمام.

ملحوظة: لفهم المعلومات الواردة أدناه بشكل أفضل ، من الأفضل دراسة الرسم البياني لجيب التمام في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظيفة. انظر كيف يتصرف جيب التمام على القطعة.

كما لوحظ بالفعل ، يمكن أن تختلف الزاوية بين المتجهات في الداخل ، والحالات التالية ممكنة:

1) إذا حقنةبين النواقل حار: (من 0 إلى 90 درجة) ، إذن ، و سيكون المنتج النقطي موجبًا شارك في الإخراج، فإن الزاوية بينهما تعتبر صفرًا ، ويكون الناتج القياسي أيضًا موجبًا. منذ ذلك الحين ، يتم تبسيط الصيغة:.

2) إذا حقنةبين النواقل حاد: (من 90 إلى 180 درجة) ، إذن و بالمقابل حاصل الضرب النقطي سلبي:. حالة خاصة: إذا كانت النواقل موجهة بشكل معاكسثم تعتبر الزاوية بينهما نشر: (180 درجة). المنتج القياسي هو أيضا سلبي ، منذ ذلك الحين

العبارات المعاكسة صحيحة أيضًا:

1) إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات حادة. بدلاً من ذلك ، تكون النواقل ذات اتجاه مشفر.

2) إذا كانت الزاوية بين هذين المتجهين منفرجة. بدلا من ذلك ، يتم توجيه المتجهات بشكل معاكس.

لكن الحالة الثالثة ذات أهمية خاصة:

3) إذا حقنةبين النواقل مستقيم: (90 درجة) ثم و حاصل الضرب القياسي هو صفر:. والعكس صحيح أيضًا: إذا ، إذن. تم صياغة بيان الاتفاق على النحو التالي: يكون الناتج القياسي لمتجهين صفرًا فقط إذا كانت المتجهات المعطاة متعامدة. تدوين رياضي قصير:

! ملحوظة : كرر أسس المنطق الرياضي: عادةً ما تتم قراءة رمز النتيجة المنطقية على الوجهين "إذا وفقط عندها" ، "إذا وفقط إذا". كما ترى ، يتم توجيه الأسهم في كلا الاتجاهين - "من هذا يتبع هذا ، والعكس صحيح - من هذا يتبع هذا". بالمناسبة ، ما هو الاختلاف عن رمز المتابعة أحادي الاتجاه؟ مطالبات أيقونة هذا فقطأن "من هذا يتبع هذا" ، وليس حقيقة أن العكس هو الصحيح. على سبيل المثال: ، ولكن ليس كل حيوان هو النمر ، لذلك لا يمكن استخدام الرمز في هذه الحالة. في نفس الوقت ، بدلا من الأيقونة علبةاستخدام رمز من جانب واحد. على سبيل المثال ، أثناء حل المشكلة ، اكتشفنا أننا استنتجنا أن المتجهات متعامدة: - سيكون هذا السجل صحيحًا ، بل وسيكون أكثر ملاءمة من .

الحالة الثالثة ذات أهمية عملية كبيرة.، لأنه يسمح لك بالتحقق مما إذا كانت المتجهات متعامدة أم لا. سنحل هذه المشكلة في القسم الثاني من الدرس.

خصائص المنتج نقطة

دعنا نعود إلى الحالة عند اثنين من النواقل شارك في الإخراج. في هذه الحالة ، الزاوية بينهما صفر ، وتأخذ صيغة المنتج العددية الشكل:.

ماذا يحدث إذا تم ضرب المتجه في نفسه؟ من الواضح أن المتجه موجه بشكل مشترك مع نفسه ، لذلك نستخدم الصيغة المبسطة أعلاه:

الرقم يسمى مربع عدديمتجه ، ويشار إليها باسم.

في هذا الطريق، المربع القياسي للمتجه يساوي مربع طول المتجه المحدد:

من هذه المساواة ، يمكنك الحصول على صيغة لحساب طول المتجه:

بينما يبدو الأمر غامضًا ، إلا أن مهام الدرس ستضع كل شيء في مكانه. لحل المشاكل ، نحتاج أيضًا خصائص المنتج نقطة.

بالنسبة إلى المتجهات التعسفية وأي رقم ، فإن الخصائص التالية صحيحة:

1) - للإزاحة أو تبادليقانون المنتجات العددية.

2) - التوزيع أو توزيعيقانون المنتجات العددية. ببساطة ، يمكنك فتح الأقواس.

3) - مجموعة أو ترابطيقانون المنتجات العددية. يمكن إخراج الثابت من الناتج القياسي.

في كثير من الأحيان ، ينظر الطلاب إلى جميع أنواع الخصائص (التي تحتاج أيضًا إلى إثبات!) على أنها سلة مهملات غير ضرورية ، والتي تحتاج فقط إلى حفظها ونسيانها بأمان فور الامتحان. يبدو أن ما هو مهم هنا ، الجميع يعرف بالفعل من الصف الأول أن المنتج لا يتغير من تقليب العوامل :. يجب أن أحذرك ، في الرياضيات العليا باستخدام مثل هذا النهج ، من السهل إفساد الأشياء. لذلك ، على سبيل المثال ، الخاصية التبادلية غير صالحة لـ المصفوفات الجبرية. هذا ليس صحيحا ل عبر المنتج من النواقل. لذلك ، من الأفضل على الأقل الخوض في أي خصائص ستقابلها في سياق الرياضيات العليا لفهم ما يمكن وما لا يمكن فعله.

مثال 3

المحلول:أولاً ، دعنا نوضح الموقف بالمتجه. ما هو كل شيء؟ مجموع المتجهات وهو متجه محدد جيدًا ، يتم الإشارة إليه بواسطة. يمكن العثور على التفسير الهندسي للإجراءات ذات النواقل في المقالة ناقلات للدمى. نفس البقدونس مع المتجه هو مجموع المتجهات و.

لذلك ، وفقًا للشرط ، من الضروري العثور على المنتج القياسي. من الناحية النظرية ، تحتاج إلى تطبيق صيغة العمل ولكن المشكلة أننا لا نعرف أطوال المتجهات والزاوية بينهما. لكن في الحالة ، يتم إعطاء معلمات متشابهة للناقلات ، لذلك سنذهب في الاتجاه الآخر:

(1) نحن نستبدل تعبيرات المتجهات.

(2) نفتح الأقواس وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود ، يمكن العثور على عبارة لسان مبتذلة في المقالة ارقام مركبةأو تكامل دالة كسرية منطقية. لن أكرر نفسي =) بالمناسبة ، تسمح لنا خاصية التوزيع للمنتج القياسي بفتح الأقواس. لدينا الحق.

(3) في المصطلحين الأول والأخير ، نكتب بشكل مضغوط المربعات العددية للمتجهات: . في المصطلح الثاني ، نستخدم قابلية تبديل المنتج القياسي:.

(4) فيما يلي مصطلحات متشابهة:.

(5) في المصطلح الأول ، نستخدم صيغة المربع العددي ، التي تم ذكرها منذ وقت ليس ببعيد. في الفصل الأخير ، على التوالي ، يعمل نفس الشيء:. يتم توسيع المصطلح الثاني وفقًا للصيغة القياسية .

(6) استبدل هذه الشروط ، ونفذ بدقة الحسابات النهائية.

إجابه:

توضح القيمة السالبة للمنتج النقطي حقيقة أن الزاوية بين المتجهين منفرجة.

المهمة نموذجية ، وإليك مثال لحل مستقل:

مثال 4

ابحث عن المنتج القياسي للمتجهات وإذا كان معروفًا ذلك .

الآن مهمة أخرى مشتركة ، فقط لصيغة طول المتجه الجديدة. ستتداخل التعيينات هنا قليلاً ، لذا من أجل الوضوح ، سأعيد كتابتها بحرف مختلف:

مثال 5

أوجد طول المتجه إذا .

المحلولسيكون على النحو التالي:

(1) نحن نوفر التعبير المتجه.

(2) نستخدم صيغة الطول: بينما لدينا تعبير عدد صحيح مثل المتجه "ve".

(3) نستخدم صيغة المدرسة لمربع المجموع. انتبه إلى كيفية عملها بشكل غريب هنا: - في الواقع ، هذا هو مربع الاختلاف ، وفي الواقع ، هو كذلك. يمكن لأولئك الذين يرغبون في إعادة ترتيب المتجهات في الأماكن: - اتضح نفس الشيء حتى إعادة ترتيب الشروط.

(4) ما يلي هو مألوف بالفعل من المشكلتين السابقتين.

إجابه:

بما أننا نتحدث عن الطول ، لا تنس الإشارة إلى البعد - "الوحدات".

مثال 6

أوجد طول المتجه إذا .

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

نستمر في إخراج الأشياء المفيدة من المنتج القياسي. لنلقِ نظرة على الصيغة مرة أخرى . وفقًا لقاعدة التناسب ، نعيد ضبط أطوال المتجهات إلى مقام الجانب الأيسر:

لنقم بتبديل الأجزاء:

ما معنى هذه الصيغة؟ إذا كان أطوال متجهين وحاصل ضربهما القياسي معروفين ، فمن الممكن حساب جيب التمام للزاوية بين هذين المتجهين ، وبالتالي الزاوية نفسها.

هل المنتج العددي رقم؟ عدد. هل أطوال المتجهات أرقام؟ أعداد. إذن ، الكسر هو أيضًا عدد. وإذا عرف جيب تمام الزاوية: ، ثم باستخدام الدالة العكسية ، من السهل العثور على الزاوية نفسها: .

مثال 7

أوجد الزاوية بين المتجهين وإذا عرفت ذلك.

المحلول:نستخدم الصيغة:

في المرحلة الأخيرة من الحسابات ، تم استخدام تقنية - القضاء على اللاعقلانية في المقام. للتخلص من اللاعقلانية ، قمت بضرب البسط والمقام في.

حتى إذا ، ومن بعد:

يمكن العثور على قيم الدوال المثلثية العكسية من خلال الجدول المثلثي. على الرغم من أن هذا نادرًا ما يحدث. في مشاكل الهندسة التحليلية ، تظهر بعض الدببة الخرقاء في كثير من الأحيان ، ويجب إيجاد قيمة الزاوية تقريبًا باستخدام الآلة الحاسبة. في الواقع ، سنرى هذه الصورة مرارًا وتكرارًا.

إجابه:

مرة أخرى ، لا تنس تحديد البعد - راديان ودرجات. شخصيًا ، من أجل "إزالة جميع الأسئلة" عن عمد ، أفضل الإشارة إلى كليهما (ما لم يكن مطلوبًا بالطبع تقديم الإجابة بالراديان فقط أو بالدرجات فقط).

الآن ستتمكن من التعامل مع مهمة أكثر صعوبة بمفردك:

المثال 7 *

معطى أطوال المتجهات ، والزاوية بينهما. أوجد الزاوية بين المتجهين.

المهمة ليست صعبة بقدر ما هي متعددة الاتجاهات.
دعنا نحلل خوارزمية الحل:

1) وفقًا للشرط ، يلزم إيجاد الزاوية بين المتجهات ، وبالتالي تحتاج إلى استخدام الصيغة .

2) نجد حاصل الضرب القياسي (انظر الأمثلة رقم 3 ، 4).

3) أوجد طول المتجه وطول المتجه (انظر الأمثلة رقم 5 ، 6).

4) تطابق نهاية الحل مع المثال رقم 7 - نعرف الرقم ، مما يعني أنه من السهل إيجاد الزاوية نفسها:

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

القسم الثاني من الدرس مخصص لنفس المنتج النقطي. إحداثيات. سيكون أسهل مما كان عليه في الجزء الأول.

حاصل الضرب النقطي للناقلات ،
أعطيت بواسطة الإحداثيات على أساس متعامد

إجابه:

وغني عن القول ، أن التعامل مع الإحداثيات أكثر متعة.

المثال 14

أوجد المنتج العددي للمتجهات وإذا

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". هنا يمكنك استخدام ترابطية العملية ، أي لا تحسب ، ولكن على الفور اخرج الثلاثي من الناتج العددي وضربه في النهاية. الحل والجواب في نهاية الدرس.

في نهاية الفقرة مثال استفزازي لحساب طول المتجه:

المثال 15

أوجد أطوال المتجهات ، إذا

المحلول:مرة أخرى ، تقترح طريقة المقطع السابق نفسها: ولكن هناك طريقة أخرى:

لنجد المتجه:

وطوله حسب الصيغة التافهة :

المنتج القياسي غير مناسب هنا على الإطلاق!

كيف يكون خارج العمل عند حساب طول المتجه:
قف. لماذا لا تستفيد من خاصية الطول الواضحة للمتجه؟ ماذا يمكن أن يقال عن طول المتجه؟ هذا المتجه أطول بخمس مرات من المتجه. الاتجاه معاكس لكن لا يهم لأننا نتحدث عن الطول. من الواضح أن طول المتجه يساوي المنتج وحدةعدد لكل متجه طول:
- علامة الوحدة "تأكل" محتمل ناقص الرقم.

في هذا الطريق:

إجابه:

صيغة جيب تمام الزاوية بين المتجهات المعطاة بالإحداثيات

الآن لدينا معلومات كاملة للتعبير عن الصيغة المشتقة مسبقًا لجيب الزاوية بين المتجهات من حيث إحداثيات المتجهات:

جيب التمام للزاوية بين متجهات المستوىو ، على أساس متعامد ، يتم التعبير عنها بالصيغة:
.

جيب التمام للزاوية بين متجهات الفراغ، في الأساس المتعامد ، يتم التعبير عنها بالصيغة:

المثال 16

معطيات ثلاثة رؤوس لمثلث. أوجد (زاوية الرأس).

المحلول:حسب الشرط ، الرسم غير مطلوب ، ولكن لا يزال:

الزاوية المطلوبة محددة بقوس أخضر. نذكر على الفور تسمية المدرسة للزاوية: - اهتمام خاص بـ وسطالحرف - هذا هو رأس الزاوية التي نحتاجها. للإيجاز ، يمكن أيضًا كتابته ببساطة.

يتضح من الرسم أن زاوية المثلث تتطابق مع الزاوية بين المتجهات ، وبعبارة أخرى: .

من المستحسن معرفة كيفية إجراء التحليل عقليًا.

دعنا نجد المتجهات:

دعنا نحسب المنتج القياسي:

وأطوال المتجهات:

جيب التمام لزاوية:

هذا هو ترتيب المهمة الذي أوصي به للدمى. يمكن للقراء الأكثر تقدمًا كتابة الحسابات "في سطر واحد":

فيما يلي مثال على قيمة جيب التمام "السيئة". القيمة الناتجة ليست نهائية ، لذلك لا فائدة من التخلص من اللاعقلانية في المقام.

لنجد الزاوية:

إذا نظرت إلى الرسم ، فإن النتيجة معقولة تمامًا. للتحقق من الزاوية ، يمكن أيضًا قياسها بمنقلة. لا تتلف طلاء الشاشة =)

إجابه:

في الجواب لا تنسوا ذلك سئل عن زاوية المثلث(وليس حول الزاوية بين المتجهات) ، لا تنس الإشارة إلى الإجابة الدقيقة: والقيمة التقريبية للزاوية: وجدت مع آلة حاسبة.

يمكن لأولئك الذين استمتعوا بالعملية حساب الزوايا والتأكد من صحة المساواة القانونية

المثال 17

يُعطى المثلث في الفضاء بإحداثيات رءوسه. أوجد الزاوية بين الجانبين و

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس

سيتم تخصيص قسم أخير صغير للإسقاطات ، حيث يكون المنتج القياسي أيضًا "متورطًا":

إسقاط متجه على متجه. إسقاط متجه على محاور الإحداثيات.
جيب التمام الاتجاه المتجه

ضع في اعتبارك النواقل و:

نسقط المتجه على المتجه ، لذلك نحذف من بداية ونهاية المتجه عموديلكل متجه (خطوط منقطة خضراء). تخيل أن أشعة الضوء تسقط بشكل عمودي على متجه. ثم المقطع (الخط الأحمر) سيكون "ظل" المتجه. في هذه الحالة ، يكون إسقاط المتجه على متجه هو طول المقطع. وهذا يعني أن الإسقاط رقم.

يتم الإشارة إلى هذا الرقم كما يلي: يشير "المتجه الكبير" إلى متجه الذيمشروع ، "ناقل منخفض منخفض" يشير إلى المتجه على الوهو ما كان متوقعا.

الإدخال نفسه يقرأ مثل هذا: "إسقاط المتجه" a "على المتجه" be ".

ماذا يحدث إذا كان المتجه "be" "قصير جدًا"؟ نرسم خطًا مستقيمًا يحتوي على المتجه "be". وسيتم إسقاط المتجه "أ" بالفعل في اتجاه المتجه "يكون"، ببساطة - على خط مستقيم يحتوي على المتجه "be". سيحدث نفس الشيء إذا تم وضع المتجه "a" جانبًا في المملكة الثلاثين - فسيظل من السهل إسقاطه على الخط الذي يحتوي على المتجه "be".

إذا كانت الزاويةبين النواقل حار(كما في الصورة) إذن

إذا كانت النواقل متعامد، إذن (الإسقاط هو نقطة يُفترض أن تكون أبعادها صفرًا).

إذا كانت الزاويةبين النواقل حاد(في الشكل ، قم بإعادة ترتيب سهم المتجه عقليًا) ، ثم (بنفس الطول ، ولكن بعلامة ناقص).

ضع هذه النواقل جانبًا من نقطة واحدة:

من الواضح ، عند تحريك ناقل ، لا يتغير إسقاطه

I. المنتج العددي يتلاشى إذا وفقط إذا كان أحد المتجهات على الأقل صفراً أو إذا كانت المتجهات متعامدة. في الواقع ، إذا أو ، أو بعد ذلك.

على العكس من ذلك ، إذا كانت المتجهات المضاعفة ليست صفراً ، فذلك بسبب الشرط

عندما يلي:

نظرًا لأن اتجاه المتجه الصفري غير محدد ، يمكن اعتبار المتجه الصفري عموديًا على أي متجه. لذلك ، يمكن صياغة الخاصية المحددة للمنتج العددي بطريقة أقصر: المنتج القياسي يتلاشى إذا وفقط إذا كانت المتجهات متعامدة.

ثانيًا. المنتج العددي له خاصية الإزاحة:

هذه الخاصية تتبع مباشرة من التعريف:

لأن تسميات مختلفة لنفس الزاوية.

ثالثا. قانون التوزيع له أهمية استثنائية. تطبيقه رائع كما هو الحال في الحساب العادي أو الجبر ، حيث تتم صياغته على النحو التالي: لمضاعفة المجموع ، تحتاج إلى ضرب كل مصطلح وإضافة المنتجات الناتجة ، أي

من الواضح أن ضرب الأعداد متعددة القيم في الحساب أو متعدد الحدود في الجبر يعتمد على خاصية الضرب هذه.

هذا القانون له نفس الأهمية الأساسية في الجبر المتجه ، لأنه على أساسه يمكننا تطبيق القاعدة المعتادة لضرب كثيرات الحدود على المتجهات.

دعونا نثبت أنه بالنسبة لأي ناقلات ثلاثة أ ، ب ، ج ، المساواة

وفقًا للتعريف الثاني للمنتج القياسي ، المعبر عنه بالصيغة ، نحصل على:

بتطبيق الخاصية 2 من الإسقاطات من المادة 5 ، نجد:

Q.E.D.

رابعا. المنتج العددي له خاصية التوليفة فيما يتعلق بالعامل العددي ؛ يتم التعبير عن هذه الخاصية بالصيغة التالية:

على سبيل المثال ، لضرب الناتج القياسي للمتجهات في رقم ، يكفي ضرب أحد العوامل في هذا الرقم.

ستكون هناك أيضًا مهام لحل مستقل ، يمكنك رؤية الإجابات عليها.

إذا تم عرض كل من أطوال المتجهات والزاوية بينهما في المشكلة "على طبق من الفضة" ، فإن حالة المشكلة وحلها تبدو كما يلي:

مثال 1يتم إعطاء النواقل. ابحث عن الناتج القياسي للمتجهات إذا تم تمثيل أطوالها والزاوية بينهما بالقيم التالية:

هناك تعريف آخر صالح أيضًا ، وهو مكافئ تمامًا للتعريف 1.

التعريف 2. الناتج القياسي للمتجهات هو رقم (قياسي) يساوي حاصل ضرب طول أحد هذه المتجهات وإسقاط متجه آخر على المحور الذي يحدده أول هذه المتجهات. الصيغة حسب التعريف 2:

سنحل المشكلة باستخدام هذه الصيغة بعد النقطة النظرية المهمة التالية.

تعريف المنتج العددي للمتجهات من حيث الإحداثيات

يمكن الحصول على نفس العدد إذا أعطيت المتجهات المضاعفة بإحداثياتها.

التعريف 3.حاصل الضرب القياسي للمتجهات هو الرقم الذي يساوي مجموع حاصل الضرب الزوجي للإحداثيات الخاصة بهما.

على السطح

إذا تم تعريف متجهين وفي المستوى بواسطة اثنين الإحداثيات الديكارتية

ثم حاصل الضرب القياسي لهذه المتجهات يساوي مجموع حاصل الضرب الزوجي للإحداثيات الخاصة بكل منهما:

مثال 2أوجد القيمة العددية لإسقاط المتجه على المحور الموازي للمتجه.

المحلول. نجد حاصل الضرب القياسي للمتجهات بإضافة حاصل الضرب الزوجي لإحداثياتها:

نحتاج الآن إلى مساواة الناتج القياسي الناتج بحاصل ضرب طول المتجه وإسقاط المتجه على محور موازٍ للمتجه (وفقًا للصيغة).

نجد طول المتجه باعتباره الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته:

اكتب معادلة وحلها:

إجابه. القيمة العددية المطلوبة هي 8 سالب.

في الفضاء

إذا تم تحديد متجهين وفي الفضاء من خلال إحداثيات المستطيلات الثلاثة الديكارتية

ثم يكون الناتج القياسي لهذه المتجهات أيضًا مساويًا لمجموع حاصل الضرب الزوجي للإحداثيات الخاصة بكل منهما ، وهناك فقط ثلاثة إحداثيات:

مهمة العثور على المنتج القياسي بالطريقة المدروسة هي بعد تحليل خصائص المنتج القياسي. لأنه في المهمة سيكون من الضروري تحديد الزاوية التي تشكل المتجهات المضاعفة.

خصائص المنتج النقطي للمتجهات

الخصائص الجبرية

1. (خاصية التبديل: قيمة منتجهم القياسي لا تتغير من تغيير أماكن المتجهات المضاعفة).

2. (الملكية الترابطية فيما يتعلق بعامل عددي: الناتج القياسي لمتجه مضروبًا في عامل ومتجه آخر يساوي الناتج القياسي لهذه المتجهات مضروبًا في نفس العامل).

3. (التوزيعية فيما يتعلق بمجموع النواقل: الناتج القياسي لمجموع متجهين بواسطة المتجه الثالث يساوي مجموع المنتجات العددية للمتجه الأول بواسطة المتجه الثالث والمتجه الثاني بواسطة المتجه الثالث).

4. (المربع القياسي لمتجه أكبر من الصفر) إذا كان متجهًا غير صفري ، وإذا كان متجهًا صفريًا.

الخصائص الهندسية

في تعريفات العملية قيد الدراسة ، تطرقنا بالفعل إلى مفهوم الزاوية بين متجهين. حان الوقت لتوضيح هذا المفهوم.

في الشكل أعلاه ، هناك متجهان مرئيان ، يتم إحضارهما إلى بداية مشتركة. وأول شيء يجب الانتباه إليه: هناك زاويتان بين هذه المتجهات - φ 1 و φ 2 . أي من هذه الزوايا يظهر في تعريفات وخصائص المنتج القياسي للمتجهات؟ مجموع الزوايا المدروسة هو 2 π وبالتالي فإن جيب التمام لهذه الزوايا متساوي. يتضمن تعريف حاصل الضرب النقطي فقط جيب التمام للزاوية ، وليس قيمة تعبيرها. لكن يتم النظر في ركن واحد فقط في العقارات. وهذه هي إحدى الزاويتين التي لا تتعدى π أي 180 درجة. تظهر هذه الزاوية في الشكل كـ φ 1 .

1. يتم استدعاء اثنين من النواقل متعامد و الزاوية بين هذه المتجهات صحيحة (90 درجة أو π / 2) إذا الناتج القياسي لهذه المتجهات هو صفر :

التعامد في الجبر المتجه هو عمودي متجهين.

2. اثنين من النواقل غير الصفرية تشكل زاوية حادة (من 0 إلى 90 درجة ، أو ما هو نفسه ، أقل π حاصل الضرب النقطي إيجابي .

3. اثنين من النواقل غير الصفرية تشكل زاوية منفرجة (من 90 إلى 180 درجة ، أو ما هو نفسه - أكثر π / 2) إذا وفقط إذا حاصل الضرب النقطي سلبي .

مثال 3يتم إعطاء المتجهات في الإحداثيات:

احسب حاصل الضرب القياسي لجميع أزواج المتجهات المعطاة. ما الزاوية (الحادة ، اليمنى ، المنفرجة) التي تتكون منها أزواج المتجهات هذه؟

المحلول. سنحسب بإضافة حاصل ضرب الإحداثيات المقابلة.

حصلنا على عدد سالب ، لذا فإن المتجهات تشكل زاوية منفرجة.

حصلنا على عدد موجب ، وبالتالي تشكل المتجهات زاوية حادة.

حصلنا على صفر ، لذا فإن المتجهات تشكل زاوية قائمة.

حصلنا على عدد موجب ، وبالتالي تشكل المتجهات زاوية حادة.

للاختبار الذاتي ، يمكنك استخدام آلة حاسبة على الإنترنت حاصل الضرب النقطي للمتجهات وجيب التمام للزاوية بينهما.

مثال 4بالنظر إلى أطوال متجهين والزاوية بينهما:

تحديد ما هي قيمة عدد المتجهات والمتعامدة (عمودي).

المحلول. نضرب المتجهات وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود:

الآن دعنا نحسب كل مصطلح:

دعنا نؤلف معادلة (تساوي المنتج مع الصفر) ، ونعطي مصطلحات متشابهة ونحل المعادلة:

الجواب: حصلنا على القيمة λ = 1.8 ، حيث تكون المتجهات متعامدة.

مثال 5إثبات أن المتجه متعامد (عمودي) على المتجه

المحلول. للتحقق من التعامد ، نقوم بضرب المتجهات وكمتعددات حدود ، مع استبدال التعبير الوارد في حالة المشكلة بدلاً من ذلك:

للقيام بذلك ، تحتاج إلى ضرب كل مصطلح (مصطلح) من كثير الحدود الأول في كل مصطلح من الثانية وإضافة الضربات الناتجة:

نتيجة لذلك ، يتم تقليل الكسر المستحق. يتم الحصول على النتيجة التالية:

الخلاصة: نتيجة الضرب ، حصلنا على صفر ، لذلك تم إثبات تعامد (عمودية) المتجهات.

قم بحل المشكلة بنفسك ثم انظر إلى الحل

مثال 6بالنظر إلى أطوال المتجهات و ، والزاوية بين هذين المتجهين هي π / 4. حدد بأي قيمة μ المتجهات ومتعامدة بشكل متبادل.

تمثيل مصفوفة للمنتج العددي للمتجهات وحاصل ضرب متجهات الأبعاد n

في بعض الأحيان ، من أجل الوضوح ، من المفيد تمثيل متجهين مضروبين في شكل مصفوفات. ثم يتم تمثيل المتجه الأول كمصفوفة صف ، والثاني - كمصفوفة عمود:

ثم سيكون الناتج القياسي للناقلات حاصل ضرب هذه المصفوفات :

والنتيجة هي نفسها التي تم الحصول عليها بالطريقة التي درسناها بالفعل. حصلنا على رقم واحد ، وحاصل ضرب صف المصفوفة بعمود المصفوفة هو أيضًا رقم واحد.

في شكل مصفوفة ، من الملائم تمثيل ناتج متجهات مجردة ذات أبعاد n. وبالتالي ، فإن حاصل ضرب متجهين رباعي الأبعاد سيكون ناتج مصفوفة صف مكونة من أربعة عناصر بواسطة مصفوفة عمود أيضًا مع أربعة عناصر ، وحاصل ضرب متجهين خماسي الأبعاد سيكون ناتج مصفوفة صف مكونة من خمسة عناصر بواسطة مصفوفة عمود أيضًا تحتوي على خمسة عناصر ، وهكذا.

مثال 7أوجد حاصل الضرب النقطي لأزواج المتجهات

باستخدام تمثيل المصفوفة.

المحلول. الزوج الأول من النواقل. نمثل المتجه الأول كمصفوفة صف ، والثاني كمصفوفة عمود. نجد حاصل الضرب القياسي لهذه المتجهات كحاصل ضرب مصفوفة الصف بواسطة مصفوفة العمود: