خصائص التدرجات الحسابية القصيرة مع اختلاف 9. التقدم الحسابي

كانت مشاكل التقدم الحسابي موجودة بالفعل في العصور القديمة. ظهروا وطالبوا بحل لأن لديهم حاجة عملية.

لذلك ، في إحدى برديات مصر القديمة ، والتي تحتوي على محتوى رياضي - بردية القشرة (القرن التاسع عشر قبل الميلاد) - تحتوي على المشكلة التالية: قسّم عشرة مقاييس من الخبز إلى عشرة أشخاص ، بشرط أن يكون الفرق بين كل منها واحد الثامن من مقياس.

وفي الأعمال الرياضية لليونانيين القدماء ، توجد نظريات أنيقة تتعلق بالتقدم الحسابي. لذلك ، صاغ Hypsicles of Alexandria (القرن الثاني الميلادي ، الذي أثار العديد من المشكلات المثيرة للاهتمام وأضف الكتاب الرابع عشر إلى "مبادئ" إقليدس ، الفكرة التالية: النصف أكبر من مجموع أعضاء النصف الأول لكل مربع 1/2 عدد من الأعضاء ".

التسلسل يرمز إلى. تسمى أرقام التسلسل أعضائها ويتم الإشارة إليها عادةً بأحرف مع فهارس تشير إلى الرقم الترتيبي لهذا العضو (a1 ، a2 ، a3 ... اقرأ: "a 1st" ، "a 2nd" ، "a 3rd" وهلم جرا).

يمكن أن يكون التسلسل غير محدود أو محدود.

ما هو التقدم الحسابي؟ يُفهم على أنه المصطلح الذي تم الحصول عليه عن طريق إضافة المصطلح السابق (n) بنفس الرقم d ، وهو اختلاف التقدم.

إذا د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 ، فإن هذا التقدم يعتبر تصاعديًا.

يُطلق على التقدم الحسابي اسم محدود إذا تم أخذ عدد قليل من أعضائه الأوائل في الاعتبار. مع وجود عدد كبير جدًا من الأعضاء ، يعد هذا بالفعل تقدمًا لا نهاية له.

يتم تحديد أي تقدم حسابي بالصيغة التالية:

an \u003d kn + b ، بينما b و k بعض الأرقام.

العبارة المعاكسة صحيحة تمامًا: إذا تم إعطاء التسلسل بواسطة صيغة مماثلة ، فهو بالضبط تقدم حسابي له الخصائص التالية:

1. كل عضو في التقدم هو المتوسط \u200b\u200bالحسابي للعضو السابق والعضو التالي.
2. العكس: إذا كان كل مصطلح ، بدءًا من المصطلح الثاني ، هو المتوسط \u200b\u200bالحسابي للمصطلح السابق والتالي ، أي إذا تم استيفاء الشرط ، فإن هذا التسلسل هو تقدم حسابي. هذه المساواة هي أيضًا علامة على التقدم ، لذلك تسمى عادةً الخاصية المميزة للتقدم.
   بالطريقة نفسها ، فإن النظرية التي تعكس هذه الخاصية صحيحة: التسلسل هو تقدم حسابي فقط إذا كانت هذه المساواة صحيحة لأي من أعضاء المتسلسلة ، بدءًا من الثانية.

يمكن التعبير عن الخاصية المميزة لأي أربعة أرقام للتقدم الحسابي بالصيغة a + am \u003d ak + al ، إذا كانت n + m \u003d k + l (m ، n ، k هي أرقام التقدم).

في التقدم الحسابي ، يمكن العثور على أي مصطلح (Nth) مطلوب باستخدام الصيغة التالية:

على سبيل المثال: يتم إعطاء المصطلح الأول (a1) في التقدم الحسابي ويساوي ثلاثة ، والفرق (د) يساوي أربعة. تحتاج إلى العثور على الفصل الخامس والأربعين لهذا التقدم. أ 45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

تسمح لك الصيغة a \u003d ak + d (n - k) بتحديد الحد النوني للتقدم الحسابي من خلال أي من حدودها k ، بشرط أن تكون معروفة.

يتم حساب مجموع أعضاء التقدم الحسابي (بمعنى أول ن أعضاء من التقدم النهائي) على النحو التالي:

Sn \u003d (a1 + an) ن / 2.

إذا كان المصطلح الأول معروفًا أيضًا ، فإن صيغة أخرى مناسبة للحساب:

Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

مجموع التقدم الحسابي ، الذي يحتوي على عدد أعضاء ، يتم حسابه على النحو التالي:

يعتمد اختيار الصيغ للحسابات على شروط المشاكل والبيانات الأولية.

السلسلة الطبيعية لأية أرقام مثل 1 ، 2 ، 3 ، ... ، ن ، ... هي أبسط مثال على التقدم الحسابي.

بالإضافة إلى التقدم الحسابي ، هناك أيضًا تطور هندسي له خصائصه وخصائصه.

إذا كان كل عدد طبيعي ن تطابق رقم حقيقي أ ، ثم يقولون أنه معطى التسلسل العددي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ , . . . .

لذا ، فإن المتتالية العددية هي دالة للحجة الطبيعية.

عدد أ 1 وتسمى أول عضو في التسلسل ، عدد أ 2 — المصطلح الثاني في التسلسل ، عدد أ 3 — الثالث إلخ. عدد أ وتسمى الحد التاسع من التسلسل والعدد الطبيعي ن — رقمه .

من عضوين متجاورين أ و أ +1 عضو تسلسل أ +1 وتسمى لاحق (من اتجاه أ )، و أ — السابق (من اتجاه أ +1 ).

لتحديد تسلسل ، يجب عليك تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على أحد أعضاء التسلسل بأي رقم.

غالبًا ما يتم إعطاء التسلسل بـ صيغ المصطلح التاسع ، أي صيغة تسمح لك بتحديد عضو في تسلسل برقمه.

على سبيل المثال،

يمكن تحديد سلسلة من الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

أ= 2ن -1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - بالصيغة

ب ن = (-1) ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل صيغة متكررة, أي صيغة تعبر عن أي عضو في التسلسل ، بدءًا من بعض ، مرورًا بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

على سبيل المثال،

اذا كان أ 1 = 1 ، و أ +1 = أ + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

اذا كان أ 1= 1, أ 2 = 1, أ +2 = أ + أ +1 , ثم يتم تعيين الأعضاء السبعة الأولى من التسلسل العددي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

أ 2 = 1,

أ 3 = أ 1 + أ 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = أ 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

أ 5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون التسلسلات أخير و بلا نهاية .

التسلسل يسمى النهائي إذا كان لديها عدد محدود من الأعضاء. التسلسل يسمى بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

على سبيل المثال،

تسلسل الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

أخير.

سلسلة من الأعداد الأولية:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

التسلسل يسمى في ازدياد إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أكبر من السابق.

التسلسل يسمى إنقاص، تقليل إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أقل من السابق.

على سبيل المثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . - زيادة التسلسل

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / ن, . . . - تسلسل تنازلي. ◄

يتم استدعاء التسلسل الذي لا تنقص عناصره مع زيادة العدد ، أو على العكس من ذلك لا يزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الرتيبة ، على وجه الخصوص ، هي تسلسلات تصاعدية وتنازلية.

المتوالية العددية

المتوالية العددية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، الذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ, . . .

هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

أ +1 = أ + د,

أين د - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن الفرق بين الأعضاء التاليين والسابقين في تقدم حسابي معين دائمًا ما يكون ثابتًا:

أ 2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = أ +1 - أ = د.

عدد د وتسمى فرق التقدم الحسابي.

لضبط التقدم الحسابي ، يكفي الإشارة إلى حده الأول والفرق.

على سبيل المثال،

اذا كان أ 1 = 3, د = 4 ، ثم تم العثور على الأعضاء الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

أ 1 =3,

أ 2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = أ 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للتقدم الحسابي مع الفصل الأول أ 1 والفرق د لها ن

أ = أ 1 + (ن- 1)د.

على سبيل المثال،

أوجد الحد الثلاثين من التقدم الحسابي

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

أ 30 = أ 1 + (30 - 1)د \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

أ ن -1 = أ 1 + (ن- 2)د،

أ= أ 1 + (ن- 1)د،

أ +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط \u200b\u200bالحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية في بعض التدرجات الحسابية إذا وفقط إذا كان أحدها مساويًا للمتوسط \u200b\u200bالحسابي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

أ = 2ن- 7 ، هو تقدم حسابي.

دعنا نستخدم البيان أعلاه. نملك:

أ = 2ن- 7,

أ ن -1 = 2(ن -1) - 7 = 2ن- 9,

أ ن + 1 = 2(ن +1) - 7 = 2ن- 5.

بناء على ذلك،

◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على المصطلح الثالث للتقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة أ ك

أ = أ ك + (ن- ك)د.

على سبيل المثال،

بالنسبة أ 5 يمكن أن تكون مكتوبة

أ 5 = أ 1 + 4د,

أ 5 = أ 2 + 3د,

أ 5 = أ 3 + 2د,

أ 5 = أ 4 + د. ◄

أ = أ ن ك + دينار كويتي,

أ = أ ن + ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

أي عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي نصف مجموع أعضاء هذا التقدم الحسابي على مسافات متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم حسابي ، فإن المساواة صحيحة:

أ م + أ ن \u003d أ ك + أ ل,

م + ن \u003d ك + ل.

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = أ 10 = أ 3 + 7د\u003d 7 + 7 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28 ؛

3) أ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 \u003d أ 5 + أ 9, لان

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= أ 1 + أ 2 + أ 3 +. ... ...+ أ,

أول ن أعضاء التقدم الحسابي يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدود القصوى بعدد المصطلحات:

ومن ثم ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك أنه إذا كان من الضروري جمع الشروط

أ ك, أ ك +1 , . . . , أ,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة بهيكلها:

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي ، ثم القيم أ 1 , أ, د, ن وس ن مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم ثلاث من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ ، مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.

التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:

• اذا كان د > 0 ثم يتزايد.
• اذا كان د < 0 ثم يتناقص.
• اذا كان د = 0 ، ثم سيكون التسلسل ثابتًا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، مضروبًا في نفس الرقم.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تسلسل هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · ف,

أين ف ≠ 0 - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن نسبة العضو التالي في تقدم هندسي معين إلى العنصر السابق هي رقم ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = ف.

عدد ف وتسمى مقام التقدم الهندسي.

لضبط التقدم الهندسي ، يكفي الإشارة إلى حده الأول ومقامه.

على سبيل المثال،

اذا كان ب 1 = 1, ف = -3 ، ثم تم العثور على الأعضاء الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · ف = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · ف= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · ف= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · ف= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والمقام ف لها ن يمكن العثور على المصطلح من خلال الصيغة:

ب ن = ب 1 · ف ن -1 .

على سبيل المثال،

أوجد الحد السابع من التقدم الهندسي 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, ف = 2,

ب 7 = ب 1 · ف 6 = 6 1 2 \u003d 64. ◄

ب ن -1 = ب 1 · ف ن -2 ,

ب ن = ب 1 · ف ن -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · ف ن,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

كل عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي الوسط الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقين واللاحقين.

نظرًا لأن العبارة العكسية صحيحة أيضًا ، فإن العبارة التالية صحيحة:

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدهما مساويًا لمنتج الرقمين الآخرين ، أي أن أحد الأرقام هو المتوسط \u200b\u200bالهندسي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطى بالصيغة ب ن \u003d -3 2 ن ، هو تقدم أسي. دعنا نستخدم البيان أعلاه. نملك:

ب ن \u003d -3 2 ن,

ب ن -1 \u003d -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 \u003d -3 2 ن +1 .

بناء على ذلك،

ب ن 2 \u003d (-3 2 ن) 2 \u003d (-3 2 ن -1 ) (-3 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

مما يثبت البيان المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على المصطلح الثالث للتقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي مصطلح سابق ب ك ، وهو ما يكفي لاستخدام الصيغة

ب ن = ب ك · ف ن - ك.

على سبيل المثال،

بالنسبة ب 5 يمكن أن تكون مكتوبة

ب 5 = ب 1 · ف 4 ,

ب 5 = ب 2 · ف 3,

ب 5 = ب 3 · ف 2,

ب 5 = ب 4 · ف. ◄

ب ن = ب ك · ف ن - ك,

ب ن = ب ن - ك · ف ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

مربع أي عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي حاصل ضرب أعضاء هذا التقدم على مسافة متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم هندسي ، فإن المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · ف 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لان

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

أول ن أعضاء متتالية هندسية مع المقام ف ≠ 0 محسوبة بالصيغة:

وعندما ف = 1 - حسب الصيغة

S n= ملحوظة 1

لاحظ أنه إذا كنت بحاجة إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تقدم هندسي ، ثم القيم ب 1 , ب ن, ف, ن و S n مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم أي من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ ، مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للتقدم الهندسي مع المصطلح الأول ب 1 والمقام ف الأتى خصائص الرتابة :

• التقدم تصاعدي إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و ف> 1;

ب 1 < 0 و 0 < ف< 1;

• يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < ف< 1;

ب 1 < 0 و ف> 1.

اذا كان ف< 0 ، فالتقدم الهندسي متناوب: أعضائه الفرديين لهم نفس علامة الحد الأول ، والشروط ذات الأرقام الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

عمل الأول ن يمكن حساب أعضاء التقدم الهندسي بالصيغة:

ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

على سبيل المثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود يسمى التقدم الهندسي اللانهائي ، ومعامل قاسمه أقل 1 ، بمعنى آخر

|ف| < 1 .

لاحظ أن التدرج الهندسي المتناقص بشكل غير محدود قد لا يكون تسلسلاً تنازليًا. هذا يناسب القضية

1 < ف< 0 .

مع هذا المقام ، فإن التسلسل يتناوب. على سبيل المثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي هو الرقم الذي يصل إليه مجموع الأول ن أعضاء التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن ... هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

على سبيل المثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين التدرجات الحسابية والهندسية

يرتبط التعاقب الحسابي والهندسي ارتباطًا وثيقًا. لنلق نظرة على مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د من ثم

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

على سبيل المثال،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - التدرج الهندسي مع المقام 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . - التدرج الهندسي مع المقام ف من ثم

تسجيل ب 1, سجل أ ب 2, تسجيل ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف تسجيل أف .

على سبيل المثال،

2, 12, 72, . . . - التدرج الهندسي مع المقام 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف إل جي 6 . ◄

نوع الدرس: تعلم مواد جديدة.

أهداف الدرس:

• توسيع وتعميق أفكار الطلاب حول المشكلات التي يتم حلها باستخدام التقدم الحسابي ؛ تنظيم نشاط بحث الطلاب عند استنباط معادلة لمجموع أول n أعضاء من التقدم الحسابي ؛
• تنمية المهارات لاكتساب المعرفة الجديدة بشكل مستقل ، واستخدام المعرفة المكتسبة بالفعل لتحقيق المهمة المحددة ؛
• تنمية الرغبة والحاجة إلى تعميم الحقائق التي تم الحصول عليها ، وتطوير الاستقلال.

مهام:

• تعميم وتنظيم المعرفة الموجودة حول موضوع "التقدم الحسابي" ؛
• اشتقاق الصيغ لحساب مجموع المصطلحات n الأولى للتقدم الحسابي ؛
• تعليم كيفية تطبيق الصيغ التي تم الحصول عليها في حل المشكلات المختلفة ؛
• لجذب انتباه الطلاب إلى ترتيب الإجراءات عند العثور على قيمة تعبير رقمي.

ادوات:

• بطاقات مع مهام للعمل في مجموعات وأزواج ؛
• ورقة التقييم
• عرض "المتوالية العددية".

1. تحديث المعرفة الأساسية.

1. العمل المستقل في أزواج.

الخيار الأول:

أعط تعريفًا للتقدم الحسابي. اكتب الصيغة المتكررة التي تحدد التقدم الحسابي. مرحبا مثال على التقدم الحسابي وبيان اختلافها.

الخيار الثاني:

اكتب صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي. أوجد الحد 100 من التقدم الحسابي ( أ}: 2, 5, 8 …
في هذا الوقت ، يقوم طالبان على ظهر اللوحة بإعداد إجابات لنفس الأسئلة.
يقوم الطلاب بتقييم عمل الشريك مقابل السبورة. (يتم تسليم أوراق الإجابة).

2. لعبة لحظة.

التمرين 1.

معلم. لقد تصورت بعض التقدم الحسابي. فقط اطرح علي سؤالين حتى يمكنك بعد الإجابات تسمية الفصل السابع من هذا التقدم بسرعة. (1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ...)

أسئلة الطلاب.

1. ما هو الحد السادس في التقدم وما الفرق؟
2. ما هو الحد الثامن في التقدم وما الفرق؟

إذا لم يكن هناك المزيد من الأسئلة ، فيمكن للمدرس أن يحفزها - "حظر" على (الاختلاف) ، أي أنه لا يُسمح بسؤال ما هو الفرق. يمكنك طرح أسئلة: ما هو الفصل السادس من التقدم وما هو الفصل الثامن من التقدم؟

المهمة 2.

يوجد 20 رقمًا مكتوبًا على السبورة: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

يقف المعلم وظهره إلى السبورة. يتصل الطلاب برقم الرقم ، ويقوم المعلم على الفور بالاتصال بالرقم نفسه. اشرح كيف افعل ذلك؟

يتذكر المعلم معادلة الفصل التاسع أ ن \u003d 3 ن - 2وباستبدال القيم المعطاة لـ n ، يجد القيم المقابلة أ

ثانيًا. بيان المشكلة التربوية.

أقترح حل مشكلة قديمة تعود إلى الألفية الثانية قبل الميلاد ، وجدت في البرديات المصرية.

مهمة: "ليقال لك: اقسم 10 مقاييس من الشعير على 10 أشخاص ، والفرق بين كل شخص وجاره يساوي 1/8 من القياس."

• كيف ترتبط هذه المهمة بموضوع التدرج الحسابي؟ (يحصل كل واحد تالي على 1/8 من مقياس أكثر ، مما يعني أن الفرق د \u003d 1/8 ، 10 أشخاص ، مما يعني أن ن \u003d 10.)
• ما رأيك يعني الرقم 10؟ (مجموع كل أعضاء التقدم.)
• ما الذي تحتاج إلى معرفته أيضًا لتسهيل تقسيم الشعير وفقًا لحالة المهمة؟ (المصطلح الأول في التقدم).

هدف الدرس - الحصول على اعتماد مجموع أعضاء التقدم على عددهم ، المصطلح الأول والفرق ، والتحقق مما إذا كانت المشكلة قد تم حلها بشكل صحيح في العصور القديمة.

قبل استخلاص خاتمة الصيغة ، دعونا نرى كيف حل المصريون القدماء المشكلة.

وقاموا بحلها على النحو التالي:

1) 10 مقاييس: 10 \u003d مقياس واحد - متوسط \u200b\u200bالحصة ؛
2) قياس واحد ∙ \u003d مقياسين - مضاعفة معدل شارك.
تضاعف معدل الحصة هي مجموع أسهم الشعبين الخامس والسادس.
3) مقياسين - 1/8 مقياس \u003d 1 7/8 إجراء - ضعف حصة الشخص الخامس.
4) 1 7/8: 2 \u003d 5/16 - نصيب الخامس ؛ وهكذا ، يمكنك العثور على نصيب كل شخص سابق ولاحق.

نحصل على التسلسل:

ثالثا. حل المشكلة.

1. العمل في مجموعات

المجموعة الأولى: أوجد مجموع 20 عددًا طبيعيًا متتاليًا: ق 20 \u003d (20 + 1) 10 \u003d 210.

بشكل عام

المجموعة الثانية: أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100 (The Legend of the Little Gauss).

100 S \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

انتاج:

المجموعة الثالثة: أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 21.

الحل: 1 + 21 \u003d 2 + 20 \u003d 3 + 19 \u003d 4 + 18 ...

انتاج:

المجموعة الرابعة:أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 101.

انتاج:

هذه الطريقة لحل المشاكل المدروسة تسمى "طريقة غاوس".

2. تقدم كل مجموعة حلاً للمشكلة على السبورة.

3. تعميم الحلول المقترحة للتقدم الحسابي التعسفي:

أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن -2 ، أ ن -1 ، أ ن.
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

دعونا نجد هذا المجموع من خلال التفكير بطريقة مماثلة:

4. هل قمنا بحل المهمة؟ (نعم.)

رابعا. الفهم الأساسي وتطبيق الصيغ التي تم الحصول عليها في حل المشكلات.

1. التحقق من حل مشكلة قديمة باستخدام الصيغة.

2. تطبيق الصيغة في حل المشاكل المختلفة.

3. تمارين لتكوين القدرة على تطبيق الصيغة عند حل المشكلات.

أ) برقم 613

معطى: ( أ ن) -المتوالية العددية؛

(أ ن): 1 ، 2 ، 3 ، ... ، 1500

لايجاد: ق 1500

قرار: , أ 1 \u003d 1 ، 1500 \u003d 1500 ،

ب) معطى: ( أ ن) -المتوالية العددية؛
(أ ن): 1 ، 2 ، 3 ، ...
S ن \u003d 210

لايجاد: ن
قرار:

V. العمل المستقل مع التحقق المتبادل.

ذهب دينيس للعمل كساعي. في الشهر الأول ، كان راتبه 200 روبل ، وفي كل شهر لاحق زاد بمقدار 30 روبل. كم ربح في السنة؟

معطى: ( أ ن) -المتوالية العددية؛
أ 1 \u003d 200 ، د \u003d 30 ، ن \u003d 12
لايجاد: ق 12
قرار:

الجواب: تلقى دينيس 4380 روبل في السنة.

السادس. إحاطة الواجبات المنزلية.

1. ص 4.3 - تعلم اشتقاق الصيغة.
2. №№ 585, 623 .
3. قم بإنشاء مشكلة سيتم حلها باستخدام صيغة مجموع أول n من الحدود للتقدم الحسابي.

السابع. تلخيص الدرس.

1. ورقة التقييم

2. تواصل الجمل

• اليوم في الدرس الذي تعلمته ...
• الصيغ التي تم تعلمها ...
• اعتقد انه …

3. هل يمكنك إيجاد مجموع الأعداد من 1 إلى 500؟ ما الطريقة التي ستستخدمها لحل هذه المشكلة؟

قائمة المراجع.

1. الجبر الصف التاسع. كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية. إد. ج. دوروفيفا. م: "التعليم" ، 2009.

في. ياكوفليف | مواد الرياضيات | MathUs.ru

المتوالية العددية

التقدم الحسابي هو نوع خاص من التسلسل. لذلك ، قبل تحديد التقدم الحسابي (ثم الهندسي) ، نحتاج إلى مناقشة موجزة للمفهوم المهم للتسلسل الرقمي.

تسلسل

تخيل جهازًا على الشاشة تعرض له بعض الأرقام واحدة تلو الأخرى. دعنا نقول 2 ؛ 7 ؛ ثلاثة عشر؛ واحد؛ 6 ؛ 0 ؛ 3 ؛ ::: هذه المجموعة من الأرقام هي مجرد مثال على التسلسل.

تعريف. التسلسل العددي هو مجموعة من الأرقام يمكن فيها تخصيص رقم فريد لكل رقم (أي لربط رقم طبيعي واحد) 1. الرقم n يسمى العضو التاسع في التسلسل.

لذلك ، في المثال أعلاه ، الرقم الأول له الرقم 2 ، هذا هو العضو الأول في التسلسل ، والذي يمكن الإشارة إليه a1 ؛ الرقم خمسة يحتوي على رقم 6 ، هذا هو الحد الخامس في المتتالية ، والذي يمكن الإشارة إليه a5. بشكل عام ، يتم الإشارة إلى المصطلح n في التسلسل (أو bn ، cn ، إلخ).

يكون الوضع مناسبًا للغاية عندما يمكن تحديد الحد من رقم n من التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال ، الصيغة a \u003d 2n 3 تحدد التسلسل: 1؛ واحد؛ 3 ؛ خمسة؛ 7 ؛ ::: الصيغة an \u003d (1) n تحدد التسلسل: 1؛ واحد؛ واحد؛ واحد؛ :::

ليست كل مجموعة من الأرقام عبارة عن تسلسل. إذن ، المقطع ليس تسلسلاً ؛ يحتوي على "عدد كبير جدًا" من الأرقام ليتم إعادة ترقيمها. مجموعة R لجميع الأرقام الحقيقية ليست أيضًا سلسلة. تم إثبات هذه الحقائق في سياق التحليل الرياضي.

التقدم الحسابي: التعريفات الأساسية

الآن نحن جاهزون لتحديد التقدم الحسابي.

تعريف. التقدم الحسابي عبارة عن تسلسل ، كل حد (بدءًا من الثاني) يساوي مجموع المصطلح السابق وبعض الأرقام الثابتة (يسمى اختلاف التقدم الحسابي).

على سبيل المثال ، التسلسل 2 ؛ خمسة؛ 8 ؛ أحد عشر؛ ::: هو تقدم حسابي مع المصطلح الأول 2 والفرق 3. التسلسل 7 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 8 ؛ ::: هو تقدم حسابي مع المصطلح الأول 7 والفرق 5. التسلسل 3 ؛ 3 ؛ 3 ؛ ::: هو تقدم حسابي بدون فرق.

التعريف المكافئ: يسمى التسلسل a بالتقدم الحسابي إذا كان الاختلاف a + 1 an قيمة ثابتة (مستقلة عن n).

يسمى التقدم الحسابي زيادة إذا كان فرقه موجبًا ، ومتناقصًا إذا كان الاختلاف سالبًا.

1 وهنا تعريف أكثر اقتضابًا: التسلسل هو وظيفة محددة في مجموعة الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال ، تسلسل الأرقام الحقيقية هو دالة f: N! تم العثور على R.

بشكل افتراضي ، تعتبر التسلسلات لا نهائية ، أي تحتوي على عدد لا حصر له من الأرقام. لكن لا أحد يكلف نفسه عناء التفكير في التسلسلات المحدودة ؛ في الواقع ، يمكن تسمية أي مجموعة منتهية من الأرقام بالتسلسل المحدود. على سبيل المثال ، التسلسل النهائي هو 1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ أربعة؛ 5 يتكون من خمسة أعداد.

صيغة المصطلح التاسع للتقدم الحسابي

من السهل أن نفهم أن التقدم الحسابي يتم تحديده بالكامل من خلال رقمين: المصطلح الأول والفرق. لذلك السؤال الذي يطرح نفسه: كيف ، بمعرفة المصطلح الأول والاختلاف ، العثور على عضو اعتباطي في التقدم الحسابي؟

ليس من الصعب الحصول على الصيغة المطلوبة للمدة التاسعة من التقدم الحسابي. دع

المشكلة 1. في التقدم الحسابي 2؛ خمسة؛ 8 ؛ أحد عشر؛ ::: أوجد صيغة الحد النوني واحسب الحد المائة.

قرار. وفقًا للصيغة (1) ، لدينا:

و \u003d 2 + 3 (ن 1) \u003d 3 ن 1:

أ 100 \u003d 3100 1 \u003d 299:

خاصية وعلامة التقدم الحسابي

خاصية التقدم الحسابي. في التقدم الحسابي لأي

بمعنى آخر ، كل عضو في التقدم الحسابي (بدءًا من الثاني) هو المتوسط \u200b\u200bالحسابي للأعضاء المجاورة.

كما هو مطلوب.

بشكل عام ، فإن التقدم الحسابي يرضي المساواة

أ ن \u003d أ ن ك + أ ن + ك

لأي ن\u003e 2 وأي ك طبيعي< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

اتضح أن الصيغة (2) ليست فقط شرطًا ضروريًا ، ولكنها أيضًا شرطًا كافيًا للتسلسل ليكون تقدمًا حسابيًا.

علامة على التقدم الحسابي. إذا كانت المساواة (2) تنطبق على كل n\u003e 2 ، فإن التسلسل a هو تقدم حسابي.

شهادة. دعنا نعيد كتابة الصيغة (2) على النحو التالي:

أ نا ن 1 \u003d أ ن + 1 أ ن:

يوضح هذا أن الاختلاف في + 1 و لا يعتمد على n ، وهذا يعني فقط أن التسلسل a هو تقدم حسابي.

يمكن صياغة خاصية وميزة التقدم الحسابي في صورة بيان واحد ؛ للراحة ، سنفعل هذا لثلاثة أرقام (هذا هو الموقف الذي يحدث غالبًا في المشاكل).

توصيف التقدم الحسابي. تشكل ثلاثة أرقام أ ، ب ، ج تقدمًا حسابيًا إذا وفقط إذا كان 2 ب \u003d أ + ج.

المشكلة الثانية (جامعة موسكو الحكومية ، كلية الاقتصاد ، 2007) ثلاثة أرقام 8x و 3 x2 و 4 بالترتيب المشار إليه تشكل تقدمًا حسابيًا متناقصًا. ابحث عن x وأشر إلى الاختلاف في هذا التقدم.

قرار. من خلال خاصية التقدم الحسابي ، لدينا:

2 (3 × 2) \u003d 8 × 4 ، 2 × 2 + 8 × 10 \u003d 0 ، × 2 + 4 × 5 \u003d 0 ، س \u003d 1 ؛ س \u003d 5:

إذا كانت x \u003d 1 ، فإننا نحصل على تقدم متناقص 8 ، 2 ، 4 بفارق 6. إذا كانت x \u003d 5 ، فإننا نحصل على تقدم متزايد 40 ، 22 ، 4 ؛ هذه الحالة ليست جيدة.

الإجابة: س \u003d 1 ، الفرق هو 6.

مجموع أول n من الحدود للتقدم الحسابي

تقول الأسطورة أنه بمجرد أن أخبر المعلم الأطفال أن يجدوا مجموع الأرقام من 1 إلى 100 وجلسوا ليقرأوا صحيفة بهدوء. ومع ذلك ، بعد أقل من بضع دقائق ، قال أحد الأطفال إنه حل المشكلة. كان كارل فريدريش جاوس ، البالغ من العمر 9 سنوات ، أحد أعظم علماء الرياضيات في التاريخ.

كانت فكرة غاوس الصغيرة هكذا. اسمحوا ان

S \u003d 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

لنكتب هذا المبلغ بترتيب عكسي:

S \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1 ؛

وأضف هاتين الصيغتين:

2S \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

كل حد بين قوسين يساوي 101 ، ويوجد إجمالي 100 حد من هذا القبيل. لذلك ،

2S \u003d 101100 \u003d 10100 ؛

نستخدم هذه الفكرة لاشتقاق صيغة الجمع

S \u003d a1 + a2 + ::: + an + a n n: (3)

يتم الحصول على تعديل مفيد للصيغة (3) عن طريق استبدال صيغة المصطلح n \u003d a1 + (n 1) d فيه:

المشكلة الثالثة: أوجد مجموع كل الأعداد الموجبة المكونة من ثلاثة أرقام والتي تقبل القسمة على 13.

قرار. تشكل الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام ، مضاعفات العدد 13 ، تقدمًا حسابيًا مع الحد الأول 104 والفرق 13 ؛ المصطلح التاسع لهذا التقدم هو:

و \u003d 104 + 13 (عدد 1) \u003d 91 + 13 ن:

دعنا نتعرف على عدد الأعضاء الذي يحتويه تقدمنا. للقيام بذلك ، نحل مشكلة عدم المساواة:

6999 ؛ 91 + 13 ن 6999 ؛

عدد 6 908 13 \u003d 6911 13 ؛ العدد 6 69:

إذن ، هناك 69 عضوًا في تقدمنا. باستخدام الصيغة (4) ، نجد المجموع المطلوب:

ق \u003d 2104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2

انتباه!
هناك المزيد
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا ..."
ولمن هم "متساوون جدًا ...")

التقدم الحسابي هو سلسلة من الأرقام يكون فيها كل رقم أكبر (أو أقل) من الرقم السابق بنفس المقدار.

غالبًا ما يكون هذا الموضوع صعبًا وغير مفهوم. مؤشرات الحروف ، المصطلح n من التقدم ، الاختلاف في التقدم - كل هذا محرج إلى حد ما ، نعم ... دعنا نفهم معنى التقدم الحسابي وسينجح كل شيء على الفور.)

مفهوم التقدم الحسابي.

التقدم الحسابي هو مفهوم بسيط للغاية وواضح. شك؟ عبثا.) انظر بنفسك.

سأكتب سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

1, 2, 3, 4, 5, ...

هل يمكنك تمديد هذا الصف؟ ما هي الأرقام التي ستذهب بعد ذلك ، بعد الخمسة؟ الجميع ... آه ... ، باختصار ، سيدرك الجميع أن الأرقام 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، إلخ ، ستذهب إلى أبعد من ذلك.

دعونا نعقد المهمة. أعطي سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ستتمكن من التقاط النمط وتوسيع السلسلة والاسم السابع رقم الصف؟

إذا اكتشفت أن هذا الرقم هو 20 - أهنئك! لم تشعر فقط النقاط الرئيسية للتقدم الحسابي ، ولكن أيضًا استخدمتها بنجاح في الأعمال! إذا لم تكن قد اكتشفت ذلك ، فتابع القراءة.

الآن دعنا نترجم النقاط الرئيسية من الإحساس إلى الرياضيات).

النقطة الرئيسية الأولى.

يتعامل التقدم الحسابي مع سلسلة من الأرقام. هذا محير في البداية. تعودنا على حل المعادلات ورسم الرسوم البيانية وكل ذلك ... ثم تمديد السلسلة ، وإيجاد رقم المتسلسلة ...

لا شيء خطأ. مجرد التعاقب هو التعارف الأول مع فرع جديد من الرياضيات. يسمى هذا القسم "صفوف" ويعمل مع سلسلة من الأرقام والتعبيرات. اعتد عليه.)

النقطة الرئيسية الثانية.

في التقدم الحسابي ، يختلف أي رقم عن الرقم السابق بنفس المقدار.

في المثال الأول ، هذا الاختلاف واحد. مهما كان الرقم الذي تأخذه ، فهو أكثر من الرقم السابق. في الثانية - ثلاثة. أي رقم أكبر من الرقم السابق بثلاثة. في الواقع ، هذه هي اللحظة التي تمنحنا الفرصة لالتقاط النمط وحساب الأرقام اللاحقة.

النقطة الرئيسية الثالثة.

هذه اللحظة ليست ملفتة للنظر ، نعم ... لكنها مهمة جدًا جدًا. ها هو: كل رقم في التقدم يقف في مكانه. يوجد الرقم الأول ، هناك السابع ، هناك الخامس والأربعون ، إلخ. إذا تم الخلط بينهم بشكل عشوائي ، سيختفي النمط. سيختفي التقدم الحسابي أيضًا. سيكون هناك صف من الأرقام فقط.

هذا هو بيت القصيد.

بالطبع ، تظهر مصطلحات وتسميات جديدة في الموضوع الجديد. عليك أن تعرفهم. خلاف ذلك ، لن تفهم المهمة. على سبيل المثال ، عليك أن تقرر شيئًا مثل:

اكتب الحدود الستة الأولى للتقدم الحسابي (أ ن) ، إذا كان أ 2 \u003d 5 ، د \u003d -2.5.

هل يلهمك؟) الرسائل ، بعض الفهارس ... وبالمناسبة المهمة - لا يمكن أن تكون أسهل. تحتاج فقط إلى فهم معنى المصطلحات والتسميات. الآن سوف نتقن هذا العمل ونعود إلى المهمة.

الشروط والتعيينات.

المتوالية العددية عبارة عن سلسلة من الأرقام يختلف فيها كل رقم عن الرقم السابق بنفس المقدار.

هذه الكمية تسمى ... دعونا نتعامل مع هذا المفهوم بمزيد من التفصيل.

اختلاف التقدم الحسابي.

الفرق التقدم الحسابي هو المقدار الذي به أي عدد من التقدم أكثر السابقة.

نقطة مهمة واحدة. يرجى الانتباه إلى الكلمة "أكثر". رياضيا ، هذا يعني أنه يتم الحصول على كل رقم في التقدم مضيفا فرق التقدم الحسابي إلى الرقم السابق.

للحساب ، دعنا نقول ثانيا رقم السلسلة ، فمن الضروري الأول الرقم يضيف نفس الاختلاف في التقدم الحسابي. للحساب الخامس - الاختلاف ضروري يضيف إلى الرابع حسنًا ، إلخ.

الفرق التقدم الحسابي ربما إيجابي، ثم سيظهر كل رقم من الصف حقًا أكثر من السابق. هذا التقدم يسمى في ازدياد. على سبيل المثال:

8; 13; 18; 23; 28; .....

هنا يتم الحصول على كل رقم مضيفا رقم موجب ، +5 إلى الرقم السابق.

يمكن أن يكون الاختلاف نفي، ثم سيظهر كل رقم في الصف أقل من السابق. يسمى هذا التقدم (لن تصدقه!) تناقص.

على سبيل المثال:

8; 3; -2; -7; -12; .....

هنا يتم الحصول على كل رقم أيضًا مضيفا إلى الرقم السابق ، ولكن السالب بالفعل ، -5.

بالمناسبة ، عند العمل مع التقدم ، من المفيد جدًا تحديد طبيعته على الفور - سواء كان يتزايد أو يتناقص. يساعد كثيرًا في التنقل في الحل ، واكتشاف أخطائك وإصلاحها قبل فوات الأوان.

الفرق التقدم الحسابي يشار إليها ، كقاعدة عامة ، بالحرف د.

كيف تجد د ؟ بسيط جدا. من الضروري الطرح من أي رقم من المتسلسلة السابق عدد. طرح او خصم. بالمناسبة ، نتيجة الطرح تسمى "الفرق".)

دعونا نحدد ، على سبيل المثال ، د لزيادة التقدم الحسابي:

2, 5, 8, 11, 14, ...

نأخذ أي رقم من الصف الذي نريده ، على سبيل المثال ، 11. اطرح منه الرقم السابق ، أولئك. 8:

هذا هو الجواب الصحيح. بالنسبة لهذا التقدم الحسابي ، يكون الفرق ثلاثة.

يمكنك أن تأخذ بالضبط أي عدد من التقدم ، منذ لتقدم معين د -نفس الشيء دائما. على الأقل في مكان ما في بداية الصف ، على الأقل في المنتصف ، أو في أي مكان على الأقل. لا يمكنك أن تأخذ الرقم الأول فقط. فقط لأن الرقم الأول لا يوجد سابق.)

بالمناسبة ، مع العلم بذلك د \u003d 3، من السهل جدًا العثور على الرقم السابع من هذا التقدم. أضف 3 إلى الرقم الخامس - نحصل على السادس ، سيكون 17. أضف ثلاثة إلى الرقم السادس ، نحصل على الرقم السابع - عشرون.

نحدد د لتقدم حسابي متناقص:

8; 3; -2; -7; -12; .....

أذكرك أنه ، بغض النظر عن العلامات ، لتحديد د من الضروري من أي رقم يسلب السابق. نختار أي رقم من التقدم ، على سبيل المثال -7. السابق هو -2. ثم:

د \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

يمكن أن يكون الاختلاف في التقدم الحسابي أي رقم: صحيح ، كسري ، غير منطقي ، أيًا كان.

شروط وتسميات أخرى.

يتم استدعاء كل رقم في السلسلة عضو في التقدم الحسابي.

كل عضو في التقدم له رقمه الخاص. الأرقام مرتبة بدقة ، دون أي حيل. الأول ، الثاني ، الثالث ، الرابع ، إلخ. على سبيل المثال ، في التقدم 2 ، 5 ، 8 ، 11 ، 14 ، ... اثنان هو المصطلح الأول ، وخمسة هو الثاني ، وأحد عشر هو الرابع ، حسنًا ، أنت تفهم ...) يرجى فهم ذلك بوضوح - الأرقام نفسها يمكن أن يكون أيًا ، كليًا ، كسريًا ، سالبًا ، أيًا كان ، ولكن ترقيم الأرقام - بالترتيب بدقة!

كيف تسجل التقدم العام؟ لا مشكلة! تتم كتابة كل رقم في الصف كحرف. كقاعدة عامة ، يتم استخدام الحرف للإشارة إلى التقدم الحسابي أ... يُشار إلى رقم العضو بواسطة فهرس في أسفل اليمين. نكتب أعضاء مفصولة بفواصل (أو فاصلة منقوطة) ، على النحو التالي:

أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، أ 4 ، أ 5 ، .....

أ 1هو الرقم الأول ، أ 3 - ثالثًا ، إلخ. لا شيء صعب. يمكنك كتابة هذه السلسلة بإيجاز مثل هذا: (أ).

التعاقب محدودة ولا نهاية لها.

النهائي التقدم لديه عدد محدود من الأعضاء. خمسة ، وثمانية وثلاثون ، أيا كان. لكن - عدد محدود.

بلا نهاية التقدم - يحتوي على عدد لا حصر له من الأعضاء ، كما قد تتخيل.)

يمكنك كتابة التقدم النهائي من خلال سلسلة مثل هذه ، كل الأعضاء ونقطة في النهاية:

أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، 4 ، أ 5.

أو هكذا ، إذا كان هناك العديد من الأعضاء:

أ 1 ، أ 2 ، ... أ 14 ، أ 15.

في الإدخال القصير ، سيتعين عليك الإشارة أيضًا إلى عدد الأعضاء. على سبيل المثال (لعشرين عضوًا) ، مثل هذا:

(أ ن) ، ن \u003d 20

يمكن التعرف على التقدم اللانهائي بواسطة علامة الحذف في نهاية الصف ، كما في الأمثلة الموجودة في هذا الدرس.

الآن يمكنك حل المهام. المهام بسيطة ، فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.

أمثلة على مهام التقدم الحسابي.

دعنا نحلل المهمة بالتفصيل الموضحة أعلاه:

1. اكتب الحدود الستة الأولى للتقدم الحسابي (أ ن) ، إذا كان a 2 \u003d 5 ، د \u003d -2.5.

نترجم المهمة إلى لغة مفهومة. يتم إعطاء تقدم حسابي لانهائي. الرقم الثاني من هذا التقدم معروف: أ 2 \u003d 5. الفرق في التقدم معروف: د \u003d -2.5. من الضروري العثور على الأعضاء الأول والثالث والرابع والخامس والسادس من هذا التقدم.

من أجل الوضوح ، سأقوم بتدوين سلسلة حسب حالة المشكلة. المصطلحات الستة الأولى ، حيث يكون الحد الثاني خمسة:

أ 1 ، 5 ، أ 3 ، أ 4 ، أ 5 ، أ 6 ، ...

أ 3 = أ 2 + د

عوّض في التعبير أ 2 \u003d 5 و د \u003d -2.5... لا تنسى الطرح!

أ 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

الحد الثالث أصغر من الثاني. كل شيء منطقي. إذا كان الرقم أكبر من الرقم السابق بمقدار نفي القيمة ، فسيكون الرقم نفسه أقل من الرقم السابق. التقدم يتناقص. حسنًا ، دعنا نأخذ ذلك في الاعتبار.) نحن نعتبر العضو الرابع في سلسلتنا:

أ 4 = أ 3 + د

أ 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

أ 5 = أ 4 + د

أ 5=0+(-2,5)= - 2,5

أ 6 = أ 5 + د

أ 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

لذلك ، تم حساب الحدود من الثالث إلى السادس. والنتيجة هي مثل هذه السلسلة:

أ 1 ، 5 ، 2.5 ، 0 ، -2.5 ، -5 ، ....

يبقى إيجاد المصطلح الأول أ 1 وفقًا للثانية المعروفة. هذه خطوة في الاتجاه الآخر ، إلى اليسار). ومن ثم ، فإن الاختلاف في التقدم الحسابي د لا تحتاج إلى إضافة إلى أ 2، و يبعد:

أ 1 = أ 2 - د

أ 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

هذا كل ما في الامر. إجابة المهمة:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

على طول الطريق ، سألاحظ أننا حللنا هذه المهمة متكرر طريق. هذه الكلمة المخيفة تعني فقط البحث عن عضو في التقدم. بالرقم السابق (المجاور). سننظر في طرق أخرى للعمل مع التقدم لاحقًا.

يمكن استخلاص استنتاج واحد مهم من هذه المهمة البسيطة.

يتذكر:

إذا عرفنا مصطلحًا واحدًا على الأقل والاختلاف في التقدم الحسابي ، فيمكننا العثور على أي عضو في هذا التقدم.

يتذكر؟ يتيح لك هذا الاستنتاج البسيط حل معظم مهام الدورة المدرسية حول هذا الموضوع. تدور جميع المهام حول ثلاث معلمات رئيسية: عضو في التقدم الحسابي ، فرق التقدم ، عدد أعضاء التقدم. الجميع.

بالطبع ، لم يتم إلغاء جميع الجبر السابق.) المتباينات والمعادلات وأشياء أخرى مرتبطة بالتقدم. ولكن من خلال التقدم ذاته - كل شيء يدور حول ثلاث معايير.

كمثال ، ضع في اعتبارك بعض المهام الشائعة حول هذا الموضوع.

2. اكتب التقدم الحسابي النهائي كسلسلة إذا كان n \u003d 5 و d \u003d 0.4 و 1 \u003d 3.6.

كل شيء بسيط هنا. لقد تم بالفعل تقديم كل شيء. عليك أن تتذكر كيف يتم عد أعضاء التقدم الحسابي وإحصائهم وكتابتهم. يُنصح بعدم تفويت الكلمات في حالة المهمة: "نهائي" و " ن \u003d 5". لا عد حتى اللون الأزرق بالكامل في الوجه.) هناك 5 (خمسة) أعضاء فقط في هذا التقدم:

أ 2 \u003d أ 1 + د \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

أ 3 \u003d أ 2 + د \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

أ 4 = أ 3 + د \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8

أ 5 = أ 4 + د \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2

يبقى أن نكتب الجواب:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

مهمة أخرى:

3. تحديد ما إذا كان الرقم 7 هو عضو في التقدم الحسابي (أ ن) ، إذا أ 1 \u003d 4.1 ؛ د \u003d 1.2.

حسنًا ... من يدري؟ كيف تحدد شيئا؟

كيف ، كيف ... نعم ، اكتب التقدم في شكل سلسلة ومعرفة ما إذا كان سيكون هناك سبعة أم لا! نحن نعتبر:

أ 2 \u003d أ 1 + د \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

أ 3 \u003d أ 2 + د \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

أ 4 = أ 3 + د \u003d 6.5 + 1.2 \u003d 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

من الواضح الآن أننا سبعة فقط تسللوا عبر بين 6.5 و 7.7! السبعة لم يدخلوا في سلسلة الأعداد لدينا ، وبالتالي ، فإن السبعة لن يكونوا عضوًا في التقدم المعين.

الجواب لا.

وهذه مهمة تستند إلى نسخة حقيقية من GIA:

4. يتم كتابة عدة أعضاء متتاليين من التقدم الحسابي:

... ؛ 15؛ العاشر ؛ 9 ؛ 6 ؛ ...

صف مكتوب هنا بدون نهاية وبداية. لا توجد أرقام أعضاء ، لا فرق د... لا شيء خطأ. لحل المشكلة ، يكفي فهم معنى التقدم الحسابي. نحن ننظر ونفكر فيما هو ممكن يكتشف من هذه السلسلة؟ ما هي المعايير الثلاثة الرئيسية؟

أرقام الأعضاء؟ لا يوجد رقم واحد هنا.

لكن هناك ثلاثة أرقام و- انتباه! - كلمة "على التوالي" في الحالة. هذا يعني أن الأرقام مرتبة بدقة وبدون ثغرات. هل هناك اثنان في هذا الصف المجاورة أرقام معروفة؟ نعم هنالك! هذان هما 9 و 6. لذا يمكننا حساب فرق التقدم الحسابي! نطرح من الستة السابق الرقم ، أي تسع:

لم يتبق سوى تفاهات. ما هو الرقم السابق لـ X؟ خمسة عشر. هذا يعني أنه يمكن إيجاد x بسهولة عن طريق الجمع البسيط. أضف فرق التقدم الحسابي إلى 15:

هذا كل شئ. إجابه: س \u003d 12

نحن نحل المشاكل التالية بأنفسنا. ملاحظة: هذه المشاكل لا تتعلق بالصيغ. فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.) نحن فقط نكتب سلسلة بأرقام-أحرف ، ننظر ونفكر.

5. أوجد أول حد موجب من التقدم الحسابي إذا كان 5 \u003d -3 ؛ د \u003d 1.1.

6. من المعروف أن الرقم 5.5 هو عضو في التقدم الحسابي (أ ن) ، حيث أ 1 \u003d 1.6 ؛ د \u003d 1.3. تحديد العدد n لهذا العضو.

7. من المعروف أنه في التقدم الحسابي 2 \u003d 4 ؛ أ 5 \u003d 15.1. ابحث عن 3.

8. كتب عدة أعضاء متتاليين للتقدم الحسابي:

... ؛ 15.6 ؛ العاشر ؛ 3.4 ؛ ...

أوجد المصطلح في التقدم المشار إليه بالحرف x.

9. بدأ القطار يتحرك من المحطة وزاد سرعته بثبات بمقدار 30 مترا في الدقيقة. كم ستكون سرعة القطار في خمس دقائق؟ أعط إجابتك بالكيلومتر / الساعة.

10. من المعروف أنه في التقدم الحسابي أ 2 \u003d 5 ؛ أ 6 \u003d -5. ابحث عن 1.

الإجابات (في حالة الفوضى): 7.7 ؛ 7.5 ؛ 9.5 ؛ 9 ؛ 0.3 ؛ أربعة.

كل شيء على ما يرام؟ رائعة! يمكنك إتقان التقدم الحسابي على مستوى أعلى في الدروس التالية.

لم ينجح كل شيء؟ لا مشكلة. في القسم الخاص 555 ، يتم فرز كل هذه المشكلات إلى أجزاء.) وبالطبع ، تم وصف أسلوب عملي بسيط يسلط الضوء على الفور على حل مثل هذه المهام بوضوح ، بوضوح ، كما لو كان في راحة يدك!

بالمناسبة ، في اللغز حول القطار ، هناك مشكلتان غالبًا ما يصادفهما الناس. أحدهما في تقدم بحت ، والثاني شائع لأي مشاكل في الرياضيات والفيزياء أيضًا. هذه ترجمة للأبعاد من واحد إلى آخر. يظهر فيه كيف ينبغي حل هذه المشاكل.

في هذا الدرس ، قمنا بفحص المعنى الأولي للتقدم الحسابي ومعاييره الرئيسية. هذا يكفي لحل جميع المشاكل تقريبًا حول هذا الموضوع. يضيف د للأرقام ، اكتب سلسلة ، كل شيء سيتقرر.

يعمل حل الإصبع جيدًا مع الأجزاء القصيرة جدًا من الصف ، كما في الأمثلة الموجودة في هذا الدرس. إذا كان الصف أطول ، تصبح العمليات الحسابية أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال ، إذا كنت في المشكلة 9 في السؤال ، استبدل "خمس دقائق" تشغيل "خمس وثلاثون دقيقة" ستصبح المهمة أكثر غضبًا بشكل ملحوظ).

وهناك أيضًا مهام بسيطة من حيث الجوهر ، ولكنها لا تصدق من حيث العمليات الحسابية ، على سبيل المثال:

يتم إعطاؤك تقدمًا حسابيًا (أ ن). أوجد 121 إذا كان a 1 \u003d 3 و d \u003d 1/6.

وماذا سنضيف مرات عديدة بمقدار 1/6 ؟! يمكنك قتله!

يمكنك.) إذا كنت لا تعرف صيغة بسيطة ، يمكن بموجبها حل مثل هذه المهام في دقيقة واحدة. ستكون هذه الصيغة في الدرس التالي. ويتم حل هذه المشكلة هناك. في دقيقة.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. اختبار التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.