طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس. حقائق مثيرة للاهتمام حول نظرية فيثاغورس: تعلم أشياء جديدة حول النظرية الشهيرة

(حسب بردية 6619 لمتحف برلين). وفقًا لكانتور ، فإن الهاربيدونابتس ، أو "شدادات الحبل" ، صنعت زوايا قائمة باستخدام مثلثات ذات زوايا قائمة مع جوانب 3 و 4 و 5.

من السهل جدًا إعادة إنتاج طريقتهم في البناء. خذ حبلًا طوله 12 مترًا واربطه به على طول شريط ملون على مسافة 3 أمتار من أحد الطرفين و 4 أمتار من الطرف الآخر. سيتم إحاطة الزاوية اليمنى بين الجانبين بطول 3 و 4 أمتار. قد يجادل Harpedonapts في أن طريقة البناء الخاصة بهم تصبح غير ضرورية ، إذا كنت تستخدم ، على سبيل المثال ، المربع الخشبي الذي يستخدمه جميع النجارين. في الواقع ، تُعرف الرسومات المصرية التي توجد بها مثل هذه الأداة ، على سبيل المثال ، رسومات تصور ورشة نجارة.

يُعرف المزيد عن نظرية فيثاغورس البابلية. في نص واحد يعود إلى زمن حمورابي أي إلى 2000 قبل الميلاد. NS. ، يتم إعطاء حساب تقريبي لوتر المثلث القائم. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه في بلاد ما بين النهرين عرفوا كيفية إجراء الحسابات باستخدام المثلثات القائمة الزاوية ، على الأقل في بعض الحالات. استنادًا إلى المستوى الحالي للمعرفة حول الرياضيات المصرية والبابلية ، من جهة ، ومن جهة أخرى ، بناءً على دراسة نقدية للمصادر اليونانية ، خلص Van der Waerden (عالم رياضيات هولندي) إلى أن هناك احتمالًا كبيرًا بأن النظرية تستند إلى كان مربع الوتر معروفًا في الهند بالفعل حول القرن الثامن عشر قبل الميلاد. NS.

حوالي 400 قبل الميلاد. e. ، وفقًا لـ Proclus ، أعطى أفلاطون طريقة لإيجاد ثلاثة توائم فيثاغورس ، والجمع بين الجبر والهندسة. حوالي 300 قبل الميلاد. NS. ظهر أقدم دليل بديهي لنظرية فيثاغورس في "العناصر" لإقليدس.

الصياغة

صياغة هندسية:

في البداية ، تمت صياغة النظرية على النحو التالي:

الصيغة الجبرية:

أي ، الإشارة إلى طول وتر المثلث من خلاله ، وأطوال الأرجل من خلاله و:

كل من عبارات النظرية متكافئة ، لكن العبارة الثانية أكثر بدائية ، فهي لا تتطلب مفهوم المنطقة. أي أنه يمكن التحقق من العبارة الثانية دون معرفة أي شيء عن المساحة وبقياس أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية فقط.

نظرية فيثاغورس العكسي:

دليل

في الوقت الحالي ، تم تسجيل 367 دليلًا على هذه النظرية في الأدبيات العلمية. ربما تكون نظرية فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على مثل هذا العدد الرائع من البراهين. لا يمكن تفسير هذا التنوع إلا بالمعنى الأساسي لنظرية الهندسة.

بالطبع ، من الناحية المفاهيمية ، يمكن تقسيمهم جميعًا إلى عدد صغير من الفصول. أشهرها: البراهين بطريقة المساحة ، البراهين البديهية والغريبة (على سبيل المثال ، باستخدام المعادلات التفاضلية).

من خلال مثلثات متشابهة

الدليل التالي للصياغة الجبرية هو أبسط البراهين المبنية مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص ، لا يستخدم مفهوم منطقة الشكل.

اسمحوا ان ABCيوجد مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة ج... لنرسم الارتفاع من جوالدلالة على قاعدتها بواسطة ح... مثلث ACHمثل المثلث ABCفي زاويتين. وبالمثل ، المثلث CBHيشابه ABC... تقديم التدوين

نحن نحصل

ما هو المعادل

مضيفا نحصل

إثبات المناطق

البراهين أدناه ، على الرغم من بساطتها الظاهرة ، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. كلهم يستخدمون خصائص المنطقة ، وإثباتها أصعب من إثبات نظرية فيثاغورس نفسها.

إثبات تكاملية متساوية

1. ضع أربعة مثلثات متساوية الزاوية كما هو موضح في الشكل 1.
2. رباعي مع جوانب جمربع ، لأن مجموع الزاويتين الحادتين 90 درجة ، والزاوية غير المطوية 180 درجة.
3. مساحة الشكل بالكامل هي ، من ناحية ، مساحة المربع مع جوانب (أ + ب) ، ومن ناحية أخرى ، مجموع مناطق أربعة مثلثات ومساحة المربع الداخلي.

Q.E.D.

دليل إقليدس

الفكرة وراء برهان إقليدس هي كما يلي: دعنا نحاول إثبات أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر يساوي مجموع نصفي مناطق المربعات المبنية على الأرجل ، ثم المساحات من المربعات الكبيرة والمربعات الصغيرة متساوية.

ضع في اعتبارك الرسم الموجود على اليسار. على ذلك ، قمنا ببناء مربعات على جانبي مثلث قائم الزاوية ورسمنا شعاعًا s من رأس الزاوية اليمنى C عموديًا على الوتر AB ، ويقطع المربع ABIK ، المبني على الوتر ، إلى مستطيلين - BHJI و HAKJ على التوالي. اتضح أن مساحات هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة.

دعنا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK لهذا نستخدم ملاحظة مساعدة: مساحة المثلث بنفس الارتفاع والقاعدة مثل هذا المستطيل متساوي إلى نصف مساحة المستطيل المحدد. هذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث على أنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. من هذه الملاحظة يترتب على ذلك أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير مبين في الشكل) ، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK .

دعونا الآن نثبت أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة المربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات المساواة بين المثلثين ACK و BDA (نظرًا لأن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع وفقًا للخاصية المذكورة أعلاه). المساواة واضحة: المثلثات متساوية في الضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB = AK ، AD = AC - من السهل إثبات المساواة بين الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: نقوم بتدوير المثلث CAK بمقدار 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، ومن ثم من الواضح أن الأضلاع المقابلة للمثلثين قيد النظر سيتزامن (لأن الزاوية عند قمة المربع هي 90 درجة).

المنطق حول المساواة بين مناطق مربع BCFG والمستطيل BHJI مماثل تمامًا.

وهكذا أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر هي مجموع مساحات المربعات المبنية على الأرجل. يتم توضيح الفكرة وراء هذا الدليل بشكل أكبر من خلال الرسوم المتحركة أعلاه.

إثبات ليوناردو دافنشي

إن العناصر الرئيسية للإثبات هي التناظر والحركة.

ضع في اعتبارك الرسم ، كما يتضح من التناظر ، يقطع المقطع المربع إلى جزأين متطابقين (لأن المثلثات متساوية في البناء).

بالدوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة ، نرى أن الأشكال المظللة متساوية.

من الواضح الآن أن مساحة الشكل المظلل تساوي مجموع نصفي مناطق المربعات الصغيرة (المبنية على الأرجل) ومساحة المثلث الأصلي. من ناحية أخرى ، فهي تساوي نصف مساحة المربع الكبير (المبني على الوتر) بالإضافة إلى مساحة المثلث الأصلي. وبالتالي ، فإن نصف مجموع مساحات المربعات الصغيرة يساوي نصف مساحة المربع الكبير ، وبالتالي فإن مجموع مساحات المربعات المبنية على الأرجل يساوي مساحة المربع مبني على الوتر.

إثبات بطريقة متناهية الصغر

غالبًا ما يُعزى الدليل التالي باستخدام المعادلات التفاضلية إلى عالم الرياضيات الإنجليزي الشهير هاردي ، الذي عاش في النصف الأول من القرن العشرين.

النظر إلى الرسم الموضح في الشكل وملاحظة تغير الجانب أ، يمكننا كتابة العلاقة التالية للزيادات الصغيرة غير المحدودة للأضلاع معو أ(باستخدام تشابه المثلثات):

باستخدام طريقة فصل المتغيرات نجد

تعبير أكثر عمومية لتغيير الوتر في حالة الزيادات في كلا الساقين

دمج هذه المعادلة واستخدام الشروط الأولية ، نحصل عليها

وهكذا ، نصل إلى الإجابة المطلوبة

كما يسهل رؤيته ، يظهر الاعتماد التربيعي في الصيغة النهائية بسبب التناسب الخطي بين جانبي المثلث والزيادات ، بينما يرتبط المجموع بالمساهمات المستقلة من زيادات الأرجل المختلفة.

يمكن الحصول على دليل أبسط إذا افترضنا أن إحدى الساقين لا تشهد زيادة (في هذه الحالة ، الساق). ثم نحصل على ثابت التكامل

الاختلافات والتعميمات

أشكال هندسية متشابهة من ثلاث جهات

التعميم لمثلثات متشابهة ، مساحة الأشكال الخضراء أ + ب = مساحة زرقاء ج

تستخدم نظرية فيثاغورس مثلثات قائمة مماثلة

تم تعميم نظرية فيثاغورس من قبل إقليدس في عمله البدايات، توسيع مساحات المربعات على الجانبين إلى مناطق ذات أشكال هندسية متشابهة:

إذا قمت ببناء أشكال هندسية متشابهة (انظر الهندسة الإقليدية) على جوانب مثلث قائم الزاوية ، فإن مجموع الشكلين الأصغر سيكون مساويًا لمساحة الشكل الأكبر.

الفكرة الرئيسية لهذا التعميم هي أن مساحة مثل هذا الشكل الهندسي تتناسب مع مربع أي من أبعاده الخطية ، وعلى وجه الخصوص مربع طول أي جانب. لذلك ، لأرقام مماثلة مع المناطق أ, بو جمبني على جوانب بطول أ, بو ج، نملك:

لكن وفقًا لنظرية فيثاغورس ، أ 2 + ب 2 = ج 2 ، إذن أ + ب = ج.

بالمقابل ، إذا تمكنا من إثبات ذلك أ + ب = جلثلاثة أشكال هندسية متشابهة بدون استخدام نظرية فيثاغورس ، يمكننا إذن إثبات النظرية نفسها ، تتحرك في الاتجاه المعاكس. على سبيل المثال ، يمكن إعادة استخدام مثلث مركز البداية كمثلث جعلى الوتر ، ومثلثين متشابهين قائم الزاوية ( أو ب) ، المبني على الجانبين الآخرين ، اللذين يتشكلان نتيجة قسمة المثلث المركزي على ارتفاعه. إذن ، من الواضح أن مجموع المساحتين الأصغر في المثلثين يساوي مساحة المثلث الثالث ، وبالتالي أ + ب = جونقوم بإجراء الإثبات السابق بترتيب عكسي ، نحصل على نظرية فيثاغورس a 2 + b 2 = c 2.

نظرية جيب التمام

نظرية فيثاغورس هي حالة خاصة لنظرية جيب التمام الأكثر عمومية ، والتي تتعلق بأطوال الأضلاع في مثلث عشوائي:

أين θ هي الزاوية بين الجانبين أو ب.

إذا كانت θ تساوي 90 درجة ، فإن cos θ = 0 ويتم تبسيط الصيغة إلى نظرية فيثاغورس المعتادة.

مثلث تعسفي

إلى أي زاوية محددة لمثلث عشوائي ذي جوانب أ ، ب ، جاكتب مثلثًا متساوي الساقين بحيث تكون الزوايا المتساوية عند قاعدته θ مساوية للزاوية المختارة. افترض أن الزاوية المختارة θ تقابل الضلع المحدد ج... نتيجة لذلك ، حصلنا على مثلث ABD بزاوية θ ، ويقع مقابل الضلع أوالحفلات ص... يتكون المثلث الثاني من الزاوية θ المقابلة للضلع بوالحفلات معالطول س، كما هو موضح في الصورة. قال ثابت بن قرة إن الأضلاع في هذه المثلثات الثلاثة متصلة على النحو التالي:

عندما تقترب الزاوية من π / 2 ، تقل قاعدة المثلث متساوي الساقين ويتداخل الجانبان r و s بشكل أقل. عندما θ = π / 2 ، يصبح ADB مثلثًا قائمًا ، ص + س = جونحصل على نظرية فيثاغورس الأولية.

دعنا نفكر في أحد الأسباب. المثلث ABC له نفس زوايا المثلث ABD ، لكن بترتيب عكسي. (هناك مثلثان لهما زاوية مشتركة عند الرأس B ، ولكل منهما زاوية θ ولهما أيضًا نفس الزاوية الثالثة ، وفقًا لمجموع زوايا المثلث.) وفقًا لذلك ، فإن ABC يشبه الانعكاس ABD للمثلث DBA ، كما هو موضح في الشكل السفلي. دعونا نكتب النسبة بين الضلعين المتقابلين والمجاورة للزاوية θ ،

أيضا انعكاس لمثلث آخر ،

دعونا نضرب الكسور ونجمع هاتين النسبتين:

Q.E.D.

التعميم للمثلثات العشوائية عبر متوازي الأضلاع

التعميم للمثلثات التعسفية ،
منطقة خضراء مؤامرة = المنطقةأزرق

دليل على الأطروحة التي في الصورة أعلاه

دعونا نعمم أكثر على المثلثات غير المستطيلة باستخدام متوازي الأضلاع في ثلاثة جوانب بدلاً من المربعات. (المربعات حالة خاصة.) يوضح الشكل العلوي أنه بالنسبة للمثلث ذي الزاوية الحادة ، فإن مساحة متوازي الأضلاع على الجانب الطويل تساوي مجموع متوازي الأضلاع على الجانبين الآخرين ، بشرط أن يكون متوازي الأضلاع على تم إنشاء الجانب الطويل كما هو موضح في الشكل (الأبعاد المحددة بالسهام هي نفسها وتحدد جوانب متوازي الأضلاع السفلي). هذا الاستبدال للمربعات بمتوازيات الأضلاع يحمل تشابهًا واضحًا مع النظرية الأولية لفيثاغورس ، ويُعتقد أن بابوس الإسكندري قد صاغها في عام 4 بعد الميلاد. NS.

يوضح الشكل السفلي تقدم الإثبات. لنلقِ نظرة على الجانب الأيسر من المثلث. متوازي الأضلاع الأخضر الأيسر له نفس مساحة الجانب الأيسر من متوازي الأضلاع الأزرق لأن لهما نفس القاعدة بوالطول ح... بالإضافة إلى ذلك ، متوازي الأضلاع الأخضر الأيسر له نفس مساحة متوازي الأضلاع الأخضر الأيسر في الشكل العلوي لأن لهما قاعدة مشتركة (الجانب الأيسر العلوي من المثلث) وإجمالي ارتفاع عمودي على هذا الجانب من المثلث. وبالمثل بالنسبة للجانب الأيمن من المثلث ، نثبت أن متوازي الأضلاع السفلي له نفس مساحة متوازي الأضلاع الأخضرين.

ارقام مركبة

تُستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد المسافة بين نقطتين في نظام الإحداثيات الديكارتية ، وهذه النظرية صحيحة لجميع الإحداثيات الحقيقية: المسافة سبين نقطتين ( أ ، ب) و ( ج ، د) يساوي

لا توجد مشكلة في الصيغة إذا تعاملت مع الأعداد المركبة كمتجهات ذات مكونات حقيقية x + أنا ذ = (x, ذ). ... على سبيل المثال ، المسافة سبين 0 + 1 أناو 1 + 0 أنانحسب كمعامل المتجه (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), أو

ومع ذلك ، بالنسبة للعمليات ذات المتجهات ذات الإحداثيات المعقدة ، فمن الضروري إجراء تحسين معين على صيغة فيثاغورس. المسافة بين النقاط ذات الأعداد المركبة ( أ, ب) و ( ج, د); أ, ب, ج، و دكلها معقدة ، سنقوم بصياغتها باستخدام القيم المطلقة. مسافة سعلى أساس فرق النواقل (أ − ج, ب − د) بالشكل التالي: دع الفرق أ − ج = ص+ أنا ف، أين ص- الجزء الحقيقي من الاختلاف ، فهو الجزء التخيلي ، وأنا = √ (−1). وبالمثل ، دعونا ب − د = ص+ أنا س... ثم:

أين هو العدد المركب المترافق لـ. على سبيل المثال ، المسافة بين النقاط (أ, ب) = (0, 1) و (ج, د) = (أنا, 0) سنقوم بحساب الفرق (أ − ج, ب − د) = (−أنا, 1) ونتيجة لذلك ، نحصل على 0 إذا لم يتم استخدام اقترانات معقدة. لذلك ، باستخدام الصيغة المحسنة ، نحصل عليها

يتم تعريف الوحدة على النحو التالي:

قياس المجسمات

التعميم الهام لنظرية فيثاغورس للفضاء ثلاثي الأبعاد هو نظرية دي غوا ، التي سميت على اسم J.-P. de Gua: إذا كان للرباعي الوجوه زاوية قائمة (كما في المكعب) ، فإن مربع مساحة الوجه المقابلة للزاوية اليمنى يساوي مجموع مربعات مناطق الوجوه الثلاثة الأخرى. يمكن تلخيص هذا الاستنتاج بأنه " ن-نظرية فيثاغورس الأبعاد ":

تربط نظرية فيثاغورس في الفضاء ثلاثي الأبعاد القطر AD بثلاثة جوانب.

تعميم آخر: يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس على القياس الفراغي بالشكل التالي. ضع في اعتبارك خط متوازي مستطيل الشكل ، كما هو موضح في الشكل. لنجد طول القطر BD من خلال نظرية فيثاغورس:

حيث تشكل الأضلاع الثلاثة مثلث قائم الزاوية. نستخدم القطر الأفقي BD والحافة الرأسية AB لإيجاد طول القطر AD ، لذلك نستخدم نظرية فيثاغورس مرة أخرى:

أو ، إذا كُتب كل شيء في معادلة واحدة:

هذه النتيجة هي تعبير ثلاثي الأبعاد لتحديد حجم المتجه الخامس(قطري م) معبراً عنها من حيث مكوناتها العمودية ( الخامسك) (ثلاثة جوانب متعامدة بشكل متبادل):

يمكن اعتبار هذه المعادلة بمثابة تعميم لنظرية فيثاغورس للفضاء متعدد الأبعاد. ومع ذلك ، فإن النتيجة في الحقيقة ليست أكثر من تطبيق متكرر لنظرية فيثاغورس على سلسلة من المثلثات القائمة الزاوية في مستويات متعامدة على التوالي.

الفضاء المتجه

في حالة النظام المتعامد للناقلات ، فإن المساواة قائمة ، والتي تسمى أيضًا نظرية فيثاغورس:

إذا كان إسقاط المتجه على محاور الإحداثيات ، فإن هذه الصيغة تتطابق مع المسافة الإقليدية - وتعني أن طول المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مكوناته.

التناظرية لهذه المساواة في حالة وجود نظام لانهائي من النواقل يسمى مساواة بارسيفال.

الهندسة غير الإقليدية

تشتق نظرية فيثاغورس من بديهيات الهندسة الإقليدية ، وهي في الواقع غير صالحة للهندسة غير الإقليدية ، بالشكل الذي كتبت به أعلاه. (أي ، تبين أن نظرية فيثاغورس هي نوع من المكافئ لفرضية إقليدس عن التوازي) بعبارة أخرى ، في الهندسة غير الإقليدية ، ستكون النسبة بين أضلاع المثلث في شكل مختلف بالضرورة عن نظرية فيثاغورس . على سبيل المثال ، في الهندسة الكروية ، جميع الجوانب الثلاثة للمثلث القائم الزاوية (على سبيل المثال أ, بو ج) ، الذي يحد من الجزء الثماني (الجزء الثامن) من وحدة المجال ، له طول π / 2 ، وهو ما يتعارض مع نظرية فيثاغورس ، لأن أ 2 + ب 2 ≠ ج 2 .

تأمل هنا حالتين من الهندسة غير الإقليدية - الهندسة الكروية والقطعية ؛ في كلتا الحالتين ، كما هو الحال في الفضاء الإقليدي للمثلثات القائمة الزاوية ، فإن النتيجة التي تحل محل نظرية فيثاغورس تأتي من نظرية جيب التمام.

ومع ذلك ، تظل نظرية فيثاغورس صالحة للهندسة القطعية والإهليلجية ، إذا تم استبدال متطلبات مستطيلة المثلث بشرط أن مجموع زاويتين في المثلث يجب أن يساوي الثالث ، على سبيل المثال أ+ب = ج... ثم تبدو النسبة بين الجانبين كما يلي: مجموع مساحات الدوائر بأقطار أو بيساوي مساحة دائرة بقطر ج.

الهندسة الكروية

لأي مثلث قائم الزاوية على كرة نصف قطرها ر(على سبيل المثال ، إذا كانت الزاوية γ في المثلث عبارة عن خط مستقيم) مع جوانب أ, ب, جستبدو العلاقة بين الطرفين كما يلي:

يمكن اشتقاق هذه المساواة كحالة خاصة من نظرية جيب التمام الكروية ، وهذا صحيح بالنسبة لجميع المثلثات الكروية:

حيث cosh هو جيب التمام الزائدي. هذه الصيغة هي حالة خاصة من نظرية جيب التمام الزائدي ، وهي صالحة لجميع المثلثات:

حيث γ هي الزاوية التي يكون رأسها مقابل ضلعها ج.

أين ز اي جاييسمى موتر متري. يمكن أن تكون دالة للموقف. تشمل هذه المساحات المنحنية الهندسة الريمانية كمثال عام. هذه الصيغة مناسبة أيضًا للفضاء الإقليدي عند استخدام الإحداثيات المنحنية. على سبيل المثال ، للإحداثيات القطبية:

المنتج المتجه

تربط نظرية فيثاغورس تعبيرين لمقدار حاصل الضرب المتجه. تتطلب إحدى الطرق لتحديد منتج متقاطع أن يفي بالمعادلة:

تستخدم هذه الصيغة حاصل الضرب النقطي. يسمى الجانب الأيمن من المعادلة محدد الجرام لـ أو ب، والتي تساوي مساحة متوازي الأضلاع المكونة من هذين المتجهين. بناءً على هذا المطلب ، بالإضافة إلى متطلبات عمودية المنتج المتجه على مكوناته أو بويترتب على ذلك أنه باستثناء الحالات البسيطة من الفضاء ذي البعد 0 و 1 ، يتم تعريف المنتج المتجه فقط في ثلاثة وسبعة أبعاد. نستخدم تعريف الزاوية في نمساحة الأبعاد:

تعطي هذه الخاصية للمنتج المتجه قيمتها بالشكل التالي:

من خلال الهوية المثلثية الأساسية لفيثاغورس ، نحصل على شكل آخر لتسجيل قيمتها:

يستخدم النهج البديل لتعريف منتج متقاطع تعبيرًا عن حجمه. بعد ذلك ، بالترتيب العكسي ، نحصل على اتصال مع حاصل الضرب النقطي:

أنظر أيضا

ملاحظاتتصحيح

1. موضوع التاريخ: نظرية فيثاغورس في الرياضيات البابلية
2. (ص 351) ص 351
3. (المجلد الأول ص 144)
4. مناقشة الحقائق التاريخية ترد في (ص 351) ص 351
5. كيرت فون فريتز (أبريل 1945). "اكتشاف عدم القابلية للقياس بواسطة Hippasus of Metapontum." حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية(حوليات الرياضيات) 46 (2): 242–264.
6. لويس كارول ، قصة مع عقدة ، م. ، مير ، 1985 ، ص. 7
7. اسجر آبوحلقات من التاريخ المبكر للرياضيات. - الرابطة الرياضية الأمريكية ، 1997. - ص 51. - ردمك 0883856131
8. اقتراح فيثاغورسبواسطة إليشا سكوت لوميس
9. إقليدس عناصر: الكتاب السادس ، الاقتراح السادس 31: "في المثلثات القائمة الزاوية ، يكون الشكل الموجود على الجانب المقابل للزاوية اليمنى مساويًا للأشكال المماثلة والموصوفة بالمثل على الجوانب التي تحتوي على الزاوية اليمنى".
10. لورانس س ليف استشهد العمل... - سلسلة بارون التعليمية - ص 326. - ردمك 0764128922
11. هوارد ويتلي إيفيس§ 4.8: ... تعميم نظرية فيثاغورس // لحظات عظيمة في الرياضيات (قبل 1650). - الرابطة الرياضية الأمريكية ، 1983. - ص 41. - ردمك 0883853108
12. كان ثابت بن قرة (الاسم الكامل ثابت بن قرة بن مروان الحبيب العراني) (826-901 م) طبيبًا يعيش في بغداد ، كتب كثيرًا عن عناصر إقليدس ومواضيع رياضية أخرى.
13. أيدين سايلي (مارس 1960). تعميم "ثوب بن قرة" لنظرية فيثاغورس ". مشاكل 51 (1): 35-37. دوى: 10.1086 / 348837.
14. جوديث د.سالي ، بول ساليالتمرين 2.10 (ii) // عمل مقتبس. - ص 62. - ردمك 0821844032
15. للحصول على تفاصيل مثل هذا البناء ، انظر جورج جينينغزالشكل 1.32: نظرية فيثاغورس المعممة // الهندسة الحديثة مع التطبيقات: مع 150 رقمًا. - الثالث. - سبرينغر ، 1997. - ص 23. - ردمك 038794222X
16. أرلين براون ، كارل م. بيرسيغرض ج: معيار تعسفي نمضاعفة ... // مقدمة للتحليل. - سبرينغر ، 1995. - ص 124. - ردمك 0387943692راجع أيضًا الصفحات 47-50.
17. ألفريد جراي ، إلسا أبينا ، سيمون سالامونالهندسة التفاضلية الحديثة للمنحنيات والأسطح باستخدام Mathematica. - الثالث. - مطبعة CRC ، 2006. - ص 194 - ISBN 1584884487
18. راجندرا بهاتياتحليل المصفوفة. - سبرينغر ، 1997. - ص 21. - ردمك 0387948465
19. ستيفن دبليو هوكينج استشهد العمل... - 2005. - ص 4. - ردمك 0762419229
20. إريك دبليو وايسشتاينموسوعة مختصرة لاتفاقية حقوق الطفل للرياضيات. - الثاني. - 2003. - ص 2147. - ردمك 1584883472
21. الكسندر ر.بروس

في شيء واحد ، يمكنك أن تكون متأكدًا بنسبة مائة بالمائة أنه عند السؤال عن مربع الوتر ، فإن أي شخص بالغ سيجيب بجرأة: "مجموع مربعات الأرجل". هذه النظرية متجذرة بقوة في أذهان كل شخص متعلم ، لكن يكفي أن نطلب من شخص ما إثباتها ، ومن ثم يمكن أن تنشأ الصعوبات. لذلك ، لنتذكر ونفكر في طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس.

نظرة عامة موجزة عن السيرة الذاتية

نظرية فيثاغورس مألوفة للجميع تقريبًا ، لكن لسبب ما ، لا تحظى سيرة الشخص الذي ولدها بشعبية كبيرة. هذا قابل للإصلاح. لذلك ، قبل دراسة الطرق المختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس ، تحتاج إلى التعرف بإيجاز على شخصيته.

فيثاغورس فيلسوف وعالم رياضيات ومفكر أصله من اليوم ومن الصعب جدًا التمييز بين سيرته الذاتية والأساطير التي تشكلت في ذاكرة هذا الرجل العظيم. ولكن على النحو التالي من كتابات أتباعه ، ولد فيثاغورس من ساموس في جزيرة ساموس. كان والده قاطع أحجار عادي ، لكن والدته كانت من عائلة نبيلة.

وفقًا للأسطورة ، تم التنبؤ بميلاد فيثاغورس من قبل امرأة تدعى Pythia ، تم تسمية الصبي على شرفها. وفقًا لتنبؤاتها ، كان ينبغي للولد المولود أن يجلب العديد من الفوائد والخير للبشرية. وهو ما فعله بالفعل.

ولادة النظرية

في شبابه ، انتقل فيثاغورس إلى مصر للقاء حكماء مصريين مشهورين هناك. بعد لقائه بهم ، تم قبوله للدراسة ، حيث تعلم كل الإنجازات العظيمة للفلسفة والرياضيات والطب المصري.

ربما كان فيثاغورس مستوحى من عظمة وجمال الأهرامات في مصر وخلق نظريته العظيمة. قد يصدم هذا القراء ، لكن المؤرخين المعاصرين يعتقدون أن فيثاغورس لم يثبت نظريته. لقد نقل معرفته فقط إلى أتباعه ، الذين أكملوا لاحقًا جميع الحسابات الرياضية اللازمة.

مهما كان الأمر ، لا تُعرف اليوم طريقة واحدة لإثبات هذه النظرية ، ولكن العديد منها في وقت واحد. اليوم يمكننا فقط تخمين كيف أجرى اليونانيون القدماء حساباتهم بالضبط ، لذلك سننظر هنا في طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس.

نظرية فيثاغورس

قبل البدء في أي حسابات ، تحتاج إلى معرفة النظرية التي يجب إثباتها. تنص نظرية فيثاغورس على هذا النحو: "في المثلث ، حيث تكون إحدى زواياه 90 درجة ، يكون مجموع مربعات الساقين مساويًا لمربع الوتر."

في المجموع ، هناك 15 طريقة مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس. هذا رقم كبير إلى حد ما ، لذلك دعونا ننتبه إلى أكثرها شعبية.

الطريقة الأولى

أولاً ، دعنا نحدد ما أعطي لنا. سيتم تطبيق هذه البيانات على طرق أخرى لإثبات نظرية فيثاغورس ، لذلك يجب أن تتذكر على الفور جميع الرموز المتاحة.

افترض أن مثلثًا قائم الزاوية معطى ، بأرجل أ ، ب ، وتر المثلث يساوي ج. تعتمد الطريقة الأولى في الإثبات على حقيقة أنه يجب رسم مربع من مثلث قائم الزاوية.

للقيام بذلك ، تحتاج إلى رسم جزء مساوٍ للساق b إلى الرجل التي يبلغ طولها a ، والعكس صحيح. يجب أن يؤدي هذا إلى تكوين جانبين متساويين من المربع. يبقى فقط لرسم خطين متوازيين ، والمربع جاهز.

داخل الشكل الناتج ، تحتاج إلى رسم مربع آخر له جانب يساوي وتر المثلث الأصلي. للقيام بذلك ، من الرؤوس ac و sv ، تحتاج إلى رسم جزأين متوازيين يساوي c. وهكذا ، نحصل على ثلاثة جوانب من المربع ، أحدها هو وتر المثلث القائم الزاوية الأصلي. يبقى فقط لإنهاء الجزء الرابع.

بناءً على الشكل الناتج ، يمكننا أن نستنتج أن مساحة المربع الخارجي هي (أ + ب) 2. إذا نظرت داخل الشكل ، يمكنك أن ترى أنه بالإضافة إلى المربع الداخلي ، فإنه يحتوي على أربعة مثلثات قائمة الزاوية. مساحة كل منها تساوي 0.5 أف.

لذلك ، فإن المنطقة هي: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2

ومن ثم (أ + ب) 2 = 2 أب + ج 2

وبالتالي ج 2 = أ 2 + ب 2

تم إثبات النظرية.

الطريقة الثانية: مثلثات متشابهة

تم اشتقاق هذه الصيغة لإثبات نظرية فيثاغورس على أساس بيان من قسم الهندسة حول المثلثات المتشابهة. تقول أن ضلع المثلث القائم الزاوية هو المتوسط ​​النسبي لوتره وقطاع الوتر المنبثق من رأس الزاوية 90 درجة.

تظل البيانات الأولية كما هي ، لذلك لنبدأ على الفور بالإثبات. لنرسم قطعة من SD عموديًا على الضلع AB. بناءً على البيان أعلاه ، فإن أرجل المثلثات هي:

AC = √AB * HELL ، SV = AB * DV.

للإجابة على السؤال الخاص بكيفية إثبات نظرية فيثاغورس ، يجب إكمال الدليل بتربيع كلا المتراجحتين.

AC 2 = AB * HELL و SV 2 = AB * DV

الآن أنت بحاجة إلى جمع المتباينات الناتجة.

AC 2 + SV 2 = AB * (HELL * DV) ، حيث HELL + DV = AB

لقد أتضح أن:

AC 2 + SV 2 = AB * AB

وبالتالي:

AC 2 + CB 2 = AB 2

يتطلب إثبات نظرية فيثاغورس والطرق المختلفة لحلها مقاربة متعددة الاستخدامات لهذه المشكلة. ومع ذلك ، فإن هذا الخيار هو أحد أبسط الخيارات.

تقنية حسابية أخرى

قد لا يقول وصف الطرق المختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس أي شيء ، حتى تبدأ في التدرب بنفسك. لا توفر العديد من التقنيات الحسابات الرياضية فحسب ، بل توفر أيضًا تكوين أشكال جديدة من المثلث الأصلي.

في هذه الحالة ، من الضروري إكمال مثلث آخر قائم الزاوية من VSD من ضلع BC. وهكذا ، يوجد الآن مثلثين مع ضلع مشترك BC.

مع العلم أن مساحات هذه الأشكال لها نسبة مربعات ذات أبعاد خطية متشابهة ، إذن:

S avd * s 2 - S avd * a 2 = S avd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) = a 2 * (S abd -S vd)

ق 2-ث 2 = أ 2

ص 2 = أ 2 + ب 2

نظرًا لأن هذا الخيار غير مناسب من طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس للصف الثامن ، يمكنك استخدام التقنية التالية.

أسهل طريقة لإثبات نظرية فيثاغورس. المراجعات

يعتقد المؤرخون أن هذه الطريقة قد استخدمت لأول مرة لإثبات النظرية في اليونان القديمة. إنه أبسط طريقة لأنه لا يتطلب أي حسابات على الإطلاق. إذا قمت برسم الشكل بشكل صحيح ، فسيكون دليل البيان على أن 2 + في 2 = c 2 سيكون مرئيًا بوضوح.

ستكون شروط هذه الطريقة مختلفة قليلاً عن سابقتها. لإثبات هذه النظرية ، افترض أن المثلث القائم الزاوية ABC متساوي الساقين.

نأخذ الوتر AC على أنه ضلع من المربع ونقسم أضلاعه الثلاثة. بالإضافة إلى ذلك ، من الضروري رسم خطين قطريين في المربع الناتج. بحيث يوجد بداخلها أربعة مثلثات متساوية الساقين.

بالنسبة للأرجل AB و CB ، تحتاج أيضًا إلى رسم مربع ورسم خط قطري واحد في كل منهما. الخط الأول مرسوم من الرأس A ، والثاني من C.

أنت الآن بحاجة إلى إلقاء نظرة فاحصة على الرسم الناتج. بما أن هناك أربعة مثلثات تساوي المثلث الأصلي على وتر AC ، واثنان على الساقين ، فهذا يدل على صحة هذه النظرية.

بالمناسبة ، بفضل هذه الطريقة لإثبات نظرية فيثاغورس ، ولدت العبارة الشهيرة: "سروال فيثاغورس متساوٍ في كل الاتجاهات."

دليل جارفيلد

جيمس جارفيلد هو الرئيس العشرين للولايات المتحدة الأمريكية. بالإضافة إلى ترك بصماته على التاريخ كحاكم للولايات المتحدة ، فقد كان أيضًا شخصًا موهوبًا علم نفسه بنفسه.

في بداية حياته المهنية ، كان مدرسًا عاديًا في مدرسة شعبية ، لكنه سرعان ما أصبح مديرًا لإحدى مؤسسات التعليم العالي. سمحت له الرغبة في تطوير الذات باقتراح نظرية جديدة لإثبات نظرية فيثاغورس. النظرية ومثال على حلها على النحو التالي.

أولاً ، تحتاج إلى رسم مثلثين بزاوية قائمة على ورقة بحيث يكون ساق أحدهما استمرارًا للثاني. يجب ربط رؤوس هذه المثلثات لتشكيل شبه منحرف في النهاية.

كما تعلم ، مساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب نصف مجموع قاعدته والارتفاع.

S = أ + ب / 2 * (أ + ب)

إذا اعتبرنا شبه المنحرف الناتج كشكل يتكون من ثلاثة مثلثات ، فيمكن العثور على مساحته على النحو التالي:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

أنت الآن بحاجة إلى معادلة التعبيرين الأصليين

2av / 2 + s / 2 = (أ + ب) 2/2

ص 2 = أ 2 + ب 2

يمكن كتابة أكثر من مجلد من كتاب مدرسي حول نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها. ولكن هل من المنطقي عدم إمكانية تطبيق هذه المعرفة عمليًا؟

التطبيق العملي لنظرية فيثاغورس

لسوء الحظ ، تنص المناهج المدرسية الحديثة على استخدام هذه النظرية فقط في المشكلات الهندسية. سيترك الخريجون قريبًا جدران المدرسة دون معرفة كيف يمكنهم تطبيق معارفهم ومهاراتهم في الممارسة.

في الواقع ، يمكن للجميع استخدام نظرية فيثاغورس في حياتهم اليومية. وليس فقط في الأنشطة المهنية ، ولكن أيضًا في الأعمال المنزلية العادية. لنأخذ في الاعتبار عدة حالات قد تكون فيها نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها ضرورية للغاية.

العلاقة بين النظرية وعلم الفلك

يبدو كيف يمكن ربط النجوم والمثلثات على الورق. في الواقع ، علم الفلك هو مجال علمي تستخدم فيه نظرية فيثاغورس على نطاق واسع.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك حركة شعاع الضوء في الفضاء. من المعروف أن الضوء يتحرك في كلا الاتجاهين بنفس السرعة. يسمى المسار AB ، الذي يتحرك به شعاع الضوء ل. ونصف الوقت الذي يستغرقه الضوء للانتقال من النقطة أ إلى النقطة ب ، دعنا نسميها ر... وسرعة الشعاع - ج. لقد أتضح أن: ج * ر = ل

إذا نظرت إلى هذا الشعاع ذاته من مستوى آخر ، على سبيل المثال ، من خط فضاء يتحرك بسرعة v ، عندها ستتغير سرعتها بمثل هذه الملاحظة للأجسام. في هذه الحالة ، حتى العناصر الثابتة ستبدأ في التحرك بسرعة v في الاتجاه المعاكس.

لنفترض أن الخط الهزلي يبحر إلى اليمين. ثم تنتقل النقطتان A و B ، اللتان يقذف الشعاع بينهما ، إلى اليسار. علاوة على ذلك ، عندما يتحرك الشعاع من النقطة A إلى النقطة B ، فإن النقطة A لديها وقت للتحرك ، وبناءً عليه ، سيصل الضوء بالفعل إلى نقطة جديدة C. لإيجاد نصف المسافة التي انتقلت بها النقطة A ، تحتاج إلى الضرب سرعة البطانة بمقدار نصف زمن انتقال الحزمة (t ").

ولإيجاد المسافة التي تمكن شعاع الضوء من قطعها خلال هذا الوقت ، تحتاج إلى تعيين نصف المسار بحرف جديد s والحصول على التعبير التالي:

إذا تخيلنا أن نقطتي الضوء C و B ، بالإضافة إلى خط الفضاء ، هي رؤوس مثلث متساوي الساقين ، فإن القطعة من النقطة A إلى الخط المستقيم ستقسمه إلى مثلثين قائم الزاوية. لذلك ، بفضل نظرية فيثاغورس ، يمكنك إيجاد المسافة التي يمكن أن يقطعها شعاع الضوء.

هذا المثال ، بالطبع ، ليس هو الأفضل ، لأن القليل منهم فقط يمكن أن يكون محظوظًا بما يكفي لتجربته في الممارسة العملية. لذلك ، سننظر في المزيد من التطبيقات الدنيوية لهذه النظرية.

نصف قطر إرسال إشارة المحمول

من المستحيل بالفعل تخيل الحياة الحديثة دون وجود الهواتف الذكية. لكن هل ستكون ذات فائدة كبيرة إذا لم يتمكنوا من توصيل المشتركين عبر اتصالات الجوال ؟!

تعتمد جودة الاتصالات المتنقلة بشكل مباشر على الارتفاع الذي يقع عنده هوائي مشغل الهاتف المحمول. من أجل حساب المدى الذي يمكن للهاتف أن يستقبل فيه إشارة من برج الجوال ، يمكنك تطبيق نظرية فيثاغورس.

لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد الارتفاع التقريبي لبرج ثابت حتى يتمكن من نشر إشارة داخل دائرة نصف قطرها 200 كيلومتر.

AB (ارتفاع البرج) = x ؛

الطائرات (نصف قطر إرسال الإشارة) = 200 كم ؛

OS (نصف قطر الكرة الأرضية) = 6380 كم ؛

OB = OA + ABOV = r + x

بتطبيق نظرية فيثاغورس ، وجدنا أن الحد الأدنى لارتفاع البرج يجب أن يكون 2.3 كيلومتر.

نظرية فيثاغورس في الحياة اليومية

من الغريب أن نظرية فيثاغورس يمكن أن تكون مفيدة حتى في الأمور اليومية ، مثل تحديد ارتفاع خزانة الملابس ، على سبيل المثال. للوهلة الأولى ، ليست هناك حاجة لاستخدام مثل هذه الحسابات المعقدة ، لأنه يمكنك ببساطة إجراء قياسات باستخدام شريط قياس. لكن يتفاجأ الكثير من سبب ظهور بعض المشكلات أثناء عملية التجميع ، إذا تم إجراء جميع القياسات بدقة أكبر.

الحقيقة هي أن خزانة الملابس يتم تجميعها في وضع أفقي وعندها فقط ترتفع ويتم تثبيتها على الحائط. لذلك ، يجب أن يمر جانب الخزانة في عملية رفع الهيكل بحرية في الارتفاع والقطري للغرفة.

لنفترض أن لديك خزانة ملابس بعمق 800 مم. المسافة من الأرضية إلى السقف 2600 مم. سيخبرك صانع أثاث متمرس أن ارتفاع الخزانة يجب أن يقل بمقدار 126 مم عن ارتفاع الغرفة. لكن لماذا بالضبط 126 مم؟ لنلقي نظرة على مثال.

مع الأبعاد المثالية للخزانة ، نتحقق من عمل نظرية فيثاغورس:

AC = √AB 2 + BC 2

AC = √2474 2 +800 2 = 2600 مم - كل شيء يتقارب.

لنفترض أن ارتفاع الخزانة ليس 2474 مم ، بل 2505 مم. ثم:

AC = √2505 2 + √800 2 = 2629 ملم.

لذلك ، هذه الخزانة غير مناسبة للتركيب في هذه الغرفة. نظرًا لأن رفعه إلى وضع رأسي يمكن أن يضر بجسمه.

ربما ، بعد النظر في طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس من قبل علماء مختلفين ، يمكننا أن نستنتج أنها أكثر من صحيحة. يمكنك الآن استخدام المعلومات الواردة في حياتك اليومية والتأكد تمامًا من أن جميع الحسابات لن تكون مفيدة فحسب ، بل ستكون صحيحة أيضًا.

دليل متحرك لنظرية فيثاغورس هو واحد من أساسينظريات الهندسة الإقليدية ، التي تؤسس العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية. يُعتقد أنه تم إثبات ذلك من قبل عالم الرياضيات اليوناني فيثاغورس ، الذي سمي على اسمه (هناك إصدارات أخرى ، على وجه الخصوص ، رأي بديل بأن هذه النظرية بشكل عام قد صاغها عالم الرياضيات فيثاغورس هيباسوس).
تقول النظرية:

في المثلث القائم الزاوية ، تكون مساحة المربع المبني على الوتر مساوية لمجموع مناطق المربعات المبنية على الساقين.

للدلالة على طول وتر المثلث ج ،وأطوال الرجلين أو ب،نحصل على الصيغة التالية:

وهكذا ، فإن نظرية فيثاغورس تؤسس علاقة تسمح لك بتحديد ضلع مثلث قائم الزاوية ، مع معرفة أطوال المثلث الآخر. نظرية فيثاغورس هي حالة خاصة من نظرية جيب التمام ، والتي تحدد النسبة بين أضلاع مثلث عشوائي.
تم إثبات العبارة العكسية أيضًا (وتسمى أيضًا نظرية فيثاغورس المعكوسة):

لأي ثلاثة أعداد موجبة أ ، ب ، ج مثل أ؟ + ب؟ = ج؟ ، يوجد مثلث قائم الزاوية به أرجل أ وب وتر المثلث ج.

دليل مرئي للمثلث (3 ، 4 ، 5) من كتاب "تشو باي" 500-200 ق. يمكن تقسيم تاريخ النظرية إلى أربعة أجزاء: معرفة أرقام فيثاغورس ، ومعرفة نسبة الأضلاع في مثلث قائم الزاوية ، ومعرفة نسبة الزوايا المجاورة ، وإثبات النظرية.
الهياكل المغليثية حوالي 2500 قبل الميلاد في مصر وشمال أوروبا ، تحتوي على مثلثات قائمة الزاوية بأضلاع أعداد صحيحة. افترض Bartel Leendert van der Waerden أنه في ذلك الوقت تم العثور على أرقام فيثاغورس جبريًا.
كتب بين عامي 2000 و 1876 قبل الميلاد بردية من مملكة مصر الوسطى برلين 6619يحتوي على مشكلة حلها هو أرقام فيثاغورس.
في عهد حمورابي الكبير اللوح البابلي بليمبتون 322 ،مكتوب بين 1790 و 1750 قبل الميلاد يحتوي على العديد من الإدخالات وثيقة الصلة بأرقام فيثاغورس.
في Budhayana sutras ، والتي تم تأريخها وفقًا لإصدارات مختلفة إلى القرنين الثامن أو الثاني قبل الميلاد. في الهند ، يحتوي على أرقام فيثاغورس مشتقة جبريًا ، وصياغة نظرية فيثاغورس ، وإثباتًا هندسيًا لمثلث قائم الزاوية السهمي.
توفر Apastamba sutras (حوالي 600 قبل الميلاد) دليلًا رقميًا على نظرية فيثاغورس باستخدام حسابات المنطقة. يعتقد Van der Waerden أنه كان قائمًا على تقاليد أسلافه. وفقًا لألبرت بوركو ، هذا دليل أصلي على النظرية ويفترض أن فيثاغورس زار الآراكون ونسخها.
فيثاغورس ، الذي عادة ما يشار إلى سنوات حياته في 569 - 475 قبل الميلاد. يستخدم الطرق الجبرية لحساب أرقام فيثاغورس ، وفقًا لتعليق Proklov على إقليدس. ومع ذلك ، عاش بروكلس بين 410 و 485 م. وفقًا لتوماس جيز ، لا يوجد مؤشر على تأليف النظرية لمدة خمسة قرون بعد فيثاغورس. ومع ذلك ، عندما ينسب مؤلفون مثل بلوتارخ أو شيشرون النظرية إلى فيثاغورس ، فإنهم يفعلون ذلك كما لو كان التأليف معروفًا على نطاق واسع ولا يمكن إنكاره.
حوالي 400 قبل الميلاد وفقًا لـ Proclus ، أعطى أفلاطون طريقة لحساب أرقام فيثاغورس ، والجمع بين الجبر والهندسة. حوالي 300 قبل الميلاد ، في البداياتإقليدس ، لدينا أقدم دليل بديهي ، والذي نجا حتى يومنا هذا.
مكتوب في مكان ما بين 500 قبل الميلاد و 200 قبل الميلاد ، كتاب الرياضيات الصيني "Chu Pei" (؟؟؟؟) ، يعطي دليلًا مرئيًا على نظرية فيثاغورس ، والتي تسمى في الصين نظرية gugu (؟؟؟؟) ، للمثلث مع الأضلاع (3 ، 4 ، 5). في عهد أسرة هان من 202 قبل الميلاد قبل 220 م تظهر أرقام فيثاغورس في تسعة أقسام للفن الرياضي ، إلى جانب ذكر المثلثات القائمة الزاوية.
تم تسجيل استخدام النظرية لأول مرة في الصين ، حيث تُعرف باسم نظرية جوجو (؟؟؟؟) ، وفي الهند ، حيث تُعرف باسم نظرية باسكار.
لقد نوقشت فكرة اكتشاف نظرية فيثاغورس مرة واحدة أو عدة مرات. يعتقد Boyer (1991) أن المعرفة الموجودة في Shulba Sutra قد تكون من أصل بلاد ما بين النهرين.
برهان جبري
تتكون المربعات من أربعة مثلثات قائمة الزاوية. أكثر من مائة دليل على نظرية فيثاغورس معروفة. هنا يعتمد الدليل على نظرية الوجود لمساحة الشكل:

ضع أربعة مثلثات متطابقة قائمة الزاوية كما هو موضح في الصورة.
رباعي مع الجوانب جمربع ، لأن مجموع زاويتين حادتين ، الزاوية غير المطوية هي.
مساحة الشكل الكامل هي ، من ناحية ، مساحة المربع مع الضلع "أ + ب" ، ومن ناحية أخرى ، مجموع مساحات المثلثات الأربعة والمربع الداخلي.

وهو ما يجب إثباته.
من خلال تشابه المثلثات
استخدام مثلثات متشابهة. اسمحوا ان ABCهو مثلث قائم الزاوية فيه الزاوية جمباشرة كما هو موضح في الرسم التوضيحي. لنرسم الارتفاع من النقطة ج ،ودعونا نتصل حنقطة تقاطع جانبية AB.يتكون مثلث ACHمثل المثلث ABC ،نظرًا لأن كلاهما مستطيل (حسب تعريف الارتفاع) ويشتركان في زاوية مشتركة أ،من الواضح أن الزاوية الثالثة ستكون هي نفسها في هذه المثلثات أيضًا. وبالمثل mirkuyuchy ، مثلث CBHأيضا مثل المثلث ABC.من تشابه المثلثات:

يمكن كتابة هذا كـ

إذا أضفنا هاتين المتعادلتين ، نحصل على

HB + c مرات AH = c مرات (HB + AH) = c ^ 2 ،! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

بمعنى آخر ، نظرية فيثاغورس:

دليل إقليدس
تم إثبات إثبات إقليدس في "المبادئ" الإقليدية ، نظرية فيثاغورس بطريقة متوازي الأضلاع. اسمحوا ان أ ، ب ، جرءوس مثلث قائم الزاوية أ.أسقط العمودي من النقطة أإلى الضلع المقابل للوتر في المربع المبني على الوتر. يقسم الخط المربع إلى مستطيلين ، كل منهما له نفس مساحة المربعات المبنية على الأرجل. الفكرة الرئيسية في الدليل هي أن المربعات العلوية تتحول إلى متوازي أضلاع من نفس المنطقة ، ثم تعود وتتحول إلى مستطيلات في المربع السفلي ومرة ​​أخرى بنفس المنطقة.

دعنا نرسم الأجزاء CFو ميلادي،نحصل على مثلثات BCFو BDA.
زوايا سيارة أجرةو حقيبة- خطوط مستقيمة؛ نقاط على التوالي ج ، أو جيهل تربطهما علاقة خطية متداخلة. نفس الطريقة ب ، أو ح.
زوايا اتفاقية التنوع البيولوجيو FBA- كلا الخطين المستقيمين ، ثم الزاوية ABDيساوي الزاوية FBC ،لأن كلاهما مجموع الزاوية القائمة والزاوية ABC.
مثلث ABDو FBCالمستوى على كلا الجانبين والزاوية بينهما.
منذ النقاط أ ، كو إل- الخطية الخطية ، مساحة المستطيل BDLK تساوي منطقتين في المثلث ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
وبالمثل ، نحصل عليه CKLE = ACIH = التيار المتردد 2
منطقة جانب واحد CBDEيساوي مجموع مساحات المستطيلات BDLKو CKLE ،ومن ناحية أخرى ، مساحة المربع BC 2 ،أو AB 2 + التيار المتردد 2 = قبل الميلاد 2.

استخدام الفروق
استخدام الفروق. يمكن الوصول إلى نظرية فيثاغورس إذا قمت بدراسة كيفية تأثير الكسب الجانبي على قيمة الوتر كما هو موضح في الشكل على اليمين وقمت بتطبيق القليل من العمليات الحسابية.
نتيجة الزيادة في الجانب أ،من مثلثات مماثلة للزيادات اللامتناهية في الصغر

نحصل على التكامل

لو أ= 0 إذن ج = ب،لذا فإن "الثابت" هو ب 2.ثم

كما ترى ، يتم الحصول على المربعات بسبب التناسب بين الزيادات والجوانب ، في حين أن المجموع هو نتيجة المساهمة المستقلة لزيادات الأضلاع ، وليس واضحًا من الدليل الهندسي. في هذه المعادلات داو العاصمة- على التوالي ، زيادات صغيرة بلا حدود للجوانب أو ج.لكن بدلاً من ذلك نستخدمها؟ أو؟ ج ،ثم حد النسبة ، إذا كانت تميل إلى الصفر ، هو دا / العاصمة ،المشتق ، ويساوي أيضًا ج / أ،نسبة أطوال أضلاع المثلثات ، ونتيجة لذلك نحصل على معادلة تفاضلية.
في حالة النظام المتعامد للناقلات ، فإن المساواة قائمة ، والتي تسمى أيضًا نظرية فيثاغورس:

إذا - هذا هو إسقاط المتجه على محاور الإحداثيات ، فإن هذه الصيغة تتطابق مع المسافة الإقليدية وتعني أن طول المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مكوناته.
التناظرية لهذه المساواة في حالة وجود نظام لانهائي من النواقل يسمى مساواة بارسيفال.

نظرية فيثاغورس

دليل

في الوقت الحالي ، تم تسجيل 367 دليلًا على هذه النظرية في الأدبيات العلمية. ربما تكون نظرية فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على مثل هذا العدد الرائع من البراهين. لا يمكن تفسير هذا التنوع إلا بالمعنى الأساسي لنظرية الهندسة.
بالطبع ، من الناحية المفاهيمية ، يمكن تقسيمهم جميعًا إلى عدد صغير من الفصول. وأشهرها: البراهين بطريقة المنطقة ، البراهين البديهية والغريبة (على سبيل المثال ، استخدام المعادلات التفاضلية).

من خلال مثلثات متشابهة

الدليل التالي للصياغة الجبرية هو أبسط البراهين المبنية مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص ، لا يستخدم مفهوم منطقة الشكل.
لنفترض أن ABC مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة C. ارسم الارتفاع من C ودل على قاعدته من خلال H. يشبه المثلث ACH المثلث ABC في زاويتين.
وبالمثل ، فإن المثلث CBH مشابه لـ ABC. تقديم التدوين

نحن نحصل

ما هو المعادل

مضيفا نحصل

أو

إثبات المناطق

البراهين أدناه ، على الرغم من بساطتها الظاهرة ، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. كلهم يستخدمون خصائص المنطقة ، وإثباتها أصعب من إثبات نظرية فيثاغورس نفسها.

إثبات تكاملية متساوية

الدليل من خلال القياس

يظهر مثال على أحد هذه البراهين في الرسم على اليمين ، حيث يتحول مربع مبني على الوتر عن طريق التبديل إلى مربعين مبنيين على الساقين.

دليل إقليدس

إثبات ليوناردو دافنشي

إن العناصر الرئيسية للإثبات هي التناظر والحركة.

ضع في اعتبارك الرسم ، كما يتضح من التناظر ، فإن الجزء CI يقطع المربع ABHJ إلى جزأين متطابقين (لأن المثلثين ABC و JHI متساويان في البناء). من خلال تدويره 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، نرى أن الشكلين المظللين CAJI و GDAB متساويان. من الواضح الآن أن مساحة الشكل المظلل تساوي مجموع نصفي مساحات المربعات المبنية على الأرجل ومساحة المثلث الأصلي. من ناحية أخرى ، فهي تساوي نصف مساحة المربع المبني على الوتر ، زائد مساحة المثلث الأصلي. الخطوة الأخيرة في الإثبات متروكة للقارئ.

البراهين الأكثر إثارة للاهتمام لنظرية فيثاغورس

نظرية فيثاغورس هي إحدى النظريات الأساسية للهندسة الإقليدية ، وتؤسس العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية. c2 = a2 + b2 توجد طرق عديدة لإثبات هذه النظرية ، لكننا اخترنا أكثرها إثارة للاهتمام ...

كرسي العروس في الشكل ، يتم وضع المربعات المبنية على الأرجل في درجات واحدة بجانب الأخرى. هذا الرقم موجود في الأدلة التي يرجع تاريخها إلى القرن التاسع الميلادي. ه ، أطلق الهنود على "كرسي العروس". طريقة تكوين مربع مع ضلع يساوي الوتر واضحة من الرسم. الجزء المشترك من مربعين مبنيين على الأرجل والمربع المبني على الوتر هو شكل خماسي مظلل غير منتظم 5. بإرفاق مثلثين 1 و 2 به ، نحصل على كلا المربعين مبنيين على الساقين ؛ إذا استبدلنا المثلثين 1 و 2 بمثلثين متساويين 3 و 4 ، فسنحصل على مربع مبني على الوتر. توضح الأشكال أدناه موقعين مختلفين قريبين من الموقع الوارد في الشكل الأول.

إثبات لعالم الرياضيات الهندي بهاسكاري ضع في اعتبارك المربع الموضح في الشكل. ضلع المربع يساوي ب ، أربعة مثلثات أصلية بأرجل أ و ج مُركبة على المربع ، كما هو موضح في الشكل. جانب المربع الصغير في المركز هو c - a ، ثم: b2 = 4 * a * c / 2 + (ca) 2 = = 2 * a * c + c2 - 2 * a * c + a2 = = a2 + c2

أبسط دليل على نظرية فيثاغورس. ضع في اعتبارك المربع الموضح في الشكل. ضلع المربع هو أ + ج. في حالة واحدة (على اليسار) ، ينقسم المربع إلى مربع مع الضلع b وأربعة مثلثات قائمة الزاوية بالأرجل a و c. في الحالة الأخرى (على اليمين) ، ينقسم المربع إلى مربعين لهما جوانب أ وج وأربعة مثلثات قائمة الزاوية بأرجل أ وج. وهكذا ، نجد أن مساحة المربع مع الضلع b تساوي مجموع مساحات المربعات التي بها ضلعان أ وج.

الإثبات من خلال مثلثات متشابهة لنفترض أن ABC مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة C. ارسم الارتفاع من C وقم بالإشارة إلى قاعدته بواسطة H. المثلث ACH يشبه المثلث ABC في زاويتين. وبالمثل ، فإن المثلث CBH مشابه لـ ABC. عند تقديم الترميز ، نحصل على ما يعادله ، إضافة ، نحصل على أو

دليل هوكينز هنا دليل آخر ، ذو طبيعة حسابية ، لكنه مختلف تمامًا عن جميع الدلائل السابقة. نشره الإنجليزي هوكينز عام 1909 ؛ من الصعب تحديد ما إذا كان معروفا من قبل. قم بتدوير المثلث القائم الزاوية ABC بالزاوية القائمة C بمقدار 90 درجة بحيث يأخذ الموضع A "CB". دعنا نمد الوتر A "B" إلى ما بعد النقطة A "حتى يتقاطع مع الخط AB عند النقطة D. ، سيكون الجزء B" D هو ارتفاع المثلث B "AB. ضع في اعتبارك الآن الشكل الرباعي المظلل A" AB "B. يمكن أن يكون متحللة إلى مثلثين متساوي الساقين CAA "و CBB" (أو مثلثين أ "B" A و A "B" B). SCAA "= b² / 2 SCBB" = a² / 2 SA "AB" B = (a² + b²) / 2 المثلثان A "B" A و A "B" B لهما قاعدة مشتركة c والارتفاعات DA و DB ، لذلك: SA "AB" B = c * DA / 2 + c * DB / 2 = c (DA + DB ) / 2 = c² / 2 من خلال مقارنة تعبيرين تم الحصول عليهما للمساحة ، نحصل على: a ² + b ² = c ² وقد تم إثبات النظرية.

برهان وولدهايم هذا الدليل حسابي بطبيعته. لإثبات النظرية باستخدام الشكل الأول ، يكفي التعبير عن مساحة شبه المنحرف بطريقتين. Strapeziums = (a + b) ² / 2 Strapeziums = a²b² + c² / 2 معادلة الجوانب اليمنى نحصل على: a² + b² = c² تم إثبات النظرية.