معنى ظل الزاوية. الجيب وجيب التمام والظل: ما هذا؟ كيف تجد الجيب وجيب التمام والظل؟ شرط في علم المثلثات

أمثلة:

\ (\ cos (30 ^ °) = \) \ (\ frac (\ sqrt (3)) (2) \)
\ (\ cos⁡ \) \ (\ frac (π) (3) \) \ (= \) \ (\ frac (1) (2) \)
\ (\ cos⁡2 = -0.416 ... \)

الحجة والقيمة

جيب التمام من زاوية حادة

جيب التمام من زاوية حادةيمكن تحديده باستخدام مثلث قائم الزاوية - فهو يساوي نسبة الضلع المجاورة على الوتر.

مثال :

1) دعنا نحصل على زاوية وتحتاج إلى تحديد جيب تمام هذه الزاوية.

2) لنكمل أي مثلث قائم الزاوية في هذه الزاوية.

3) بعد قياس الأضلاع الضرورية ، يمكننا حساب جيب التمام.

جيب تمام الزاوية الحادة أكبر من \ (0 \) وأقل من \ (1 \)

إذا تبين ، عند حل المشكلة ، أن جيب التمام للزاوية الحادة أكبر من 1 أو سالب ، فعندئذ يكون هناك خطأ في مكان ما في الحل.

جيب التمام لعدد

تسمح لك دائرة الأرقام بتحديد جيب التمام لأي رقم ، ولكن عادةً ما تجد جيب التمام للأرقام المرتبطة بطريقة أو بأخرى بـ: \ (\ frac (π) (2) \) ، \ (\ frac (3π) (4) \) ، \ (- 2π \).

على سبيل المثال ، بالنسبة للرقم \ (\ frac (π) (6) \) - سيكون جيب التمام مساويًا لـ \ (\ frac (\ sqrt (3)) (2) \). وبالنسبة للرقم \ (- \) \ (\ frac (3π) (4) \) سيكون مساويًا لـ \ (- \) \ (\ frac (\ sqrt (2)) (2) \) (تقريبًا \ (-0 ، 71 \)).

جيب التمام لأرقام أخرى غالبًا ما تصادف في الممارسة ، انظر.

تقع قيمة جيب التمام دائمًا بين \ (- 1 \) و \ (1 \). في هذه الحالة ، يمكن حساب جيب التمام لأي زاوية ورقم على الإطلاق.

جيب التمام من أي زاوية

بفضل الدائرة العددية ، من الممكن تحديد جيب التمام ليس فقط للزاوية الحادة ، ولكن أيضًا منفرجة وسالبة وحتى أكبر من \ (360 درجة \) (دورة كاملة). كيفية القيام بذلك - من الأسهل رؤيته مرة واحدة بدلاً من سماع \ (100 \) مرة ، لذا انظر إلى الصورة.

الآن شرح: فليكن من الضروري تحديد جيب التمام للزاوية KOAمع قياس الدرجة في \ (150 درجة \). نحن نجمع النقطة ابمركز الدائرة والجانب نعم- مع محور \ (س \). بعد ذلك ، نضع جانباً \ (150 درجة \) عكس اتجاه عقارب الساعة. ثم احداثية النقطة لكنسيظهر لنا جيب تمام هذه الزاوية.

إذا كنا مهتمين بزاوية بمقياس درجة ، على سبيل المثال ، في \ (-60 ° \) (زاوية KOV) ، نفعل الشيء نفسه ، لكن \ (60 درجة \) نحينا جانبًا في اتجاه عقارب الساعة.

وأخيرًا ، الزاوية أكبر من \ (360 درجة \) (الزاوية كوس) - كل شيء مشابه للكلمة ، فقط بعد اجتياز دورة كاملة في اتجاه عقارب الساعة ، نذهب إلى الجولة الثانية و "نشعر بنقص الدرجات". على وجه التحديد ، في حالتنا ، يتم رسم الزاوية \ (405 درجة \) كـ \ (360 درجة + 45 درجة \).

من السهل تخمين أنه لوضع زاوية جانبًا ، على سبيل المثال ، في \ (960 درجة \) ، تحتاج إلى عمل دورتين (\ (360 درجة + 360 درجة + 240 درجة \)) ، ولزاوية في \ (2640 ° \) - سبعة كاملة.

يجدر بنا أن نتذكر ما يلي:

جيب تمام الزاوية القائمة يساوي صفرًا. جيب تمام الزاوية المنفرجة سالب.

علامات جيب التمام في الأرباع

باستخدام محور جيب التمام (أي محور الإحداثي المظلل باللون الأحمر في الشكل) ، من السهل تحديد علامات جيب التمام على طول الدائرة العددية (المثلثية):

عندما تكون القيم على المحور من \ (0 \) إلى \ (1 \) ، سيكون لجيب التمام علامة زائد (الأرباع الأولى والرابعة هي المنطقة الخضراء) ،
- حيث تكون القيم على المحور من \ (0 \) إلى \ (- 1 \) ، سيكون لجيب التمام علامة ناقص (الربع الثاني والثالث - منطقة أرجوانية).

مثال. حدد العلامة \ (\ cos 1 \).
المحلول: لنجد \ (1 \) على الدائرة المثلثية. سنبدأ من حقيقة أن \ (π \ u003d 314 \). هذا يعني أن واحدًا يقارب ثلاث مرات تقريبًا من الصفر (نقطة "البداية").

إذا رسمنا عموديًا على محور جيب التمام ، يصبح من الواضح أن \ (\ cos⁡1 \) موجب.
إجابه: زيادة.

فيما يتعلق بالوظائف المثلثية الأخرى:

الوظيفة \ (ص = \ كوس (س) \)

إذا قمنا برسم الزوايا بالراديان على طول المحور (س) ، وقيم جيب التمام المقابلة لهذه الزوايا على طول المحور (ص) ، نحصل على الرسم البياني التالي:

يسمى هذا الرسم البياني وله الخصائص التالية:

مجال التعريف هو أي قيمة لـ x: \ (D (\ cos (⁡x)) = R \)
- نطاق القيم - من \ (- 1 \) إلى \ (1 \) شاملًا: \ (E (\ cos (x)) = [- 1 ؛ 1] \)
- زوجي: \ (\ cos⁡ (-x) = \ cos (x) \)
- دوري مع الدورة \ (2π \): \ (\ cos⁡ (x + 2π) = \ cos (x) \)
- نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:
الإحداثي السيني: \ ((\) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ πn \) ، \ (؛ 0) \) ، أين \ (n ϵ Z \)
المحور ص: \ ((0 ؛ 1) \)
- فترات الأحرف:
الوظيفة موجبة على الفواصل الزمنية: \ ((- \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πn ؛ \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πn) \) حيث \ (n ϵ Z \)
الوظيفة سالبة على الفواصل الزمنية: \ ((\) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πn ؛ \) \ (\ frac (3π) (2) \) \ (+ 2πn) \ ) ، حيث \ (n ϵ Z \)
- فترات الزيادة والنقصان:
تزداد الوظيفة على الفواصل الزمنية: \ ((π + 2πn ؛ 2π + 2πn) \) ، حيث \ (n ϵ Z \)
تقل الوظيفة على الفواصل الزمنية: \ ((2πn ؛ π + 2πn) \) ، حيث \ (n ϵ Z \)
- القيم القصوى والدنيا للوظيفة:
الوظيفة لها قيمة قصوى \ (y = 1 \) عند النقاط \ (x = 2πn \) ، حيث \ (n ϵ Z \)
الوظيفة لها قيمة دنيا \ (y = -1 \) عند النقاط \ (x = π + 2πn \) ، حيث \ (n ϵ Z \).

ما هو الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية سيساعدك على فهم المثلث القائم.

ماذا تسمى أضلاع المثلث القائم الزاوية؟ هذا صحيح ، الوتر والساقين: الوتر هو الضلع الذي يقع مقابل الزاوية اليمنى (في مثالنا ، هذا هو الضلع \ (AC \)) ؛ الأرجل هي الضلعان المتبقيان \ (AB \) و \ (BC \) (تلك المجاورة للزاوية اليمنى) ، علاوة على ذلك ، إذا أخذنا في الاعتبار الساقين بالنسبة للزاوية \ (BC \) ، ثم الساق \ (AB \) هي الساق المجاورة ، والساق \ (BC \) معاكسة. الآن ، دعنا نجيب على السؤال: ما هو الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية؟

جيب الزاوية- هذه هي نسبة الضلع المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.

في مثلثنا:

\ [\ sin \ beta = \ dfrac (BC) (AC) \]

جيب التمام لزاوية- هذه هي نسبة الضلع المجاورة (القريبة) إلى الوتر.

في مثلثنا:

\ [\ cos \ beta = \ dfrac (AB) (AC) \]

ظل الزاوية- هذه هي نسبة الضلع المقابلة (البعيدة) إلى المجاورة (القريبة).

في مثلثنا:

\ [tg \ beta = \ dfrac (BC) (AB) \]

ظل التمام لزاوية- هذه هي نسبة الضلع المجاورة (القريبة) إلى الضلع المقابل (البعيد).

في مثلثنا:

\ [ctg \ beta = \ dfrac (AB) (BC) \]

هذه التعريفات ضرورية تذكر! لتسهيل تذكر الساق التي تقسم على ماذا ، عليك أن تفهم ذلك بوضوح ظلو ظل التمامفقط الساقان تجلسان ، ويظهر الوتر فقط في التجويفو جيب التمام. وبعد ذلك يمكنك الخروج بسلسلة من الجمعيات. على سبيل المثال ، هذا:

جيب التمام ← اللمس ← اللمس ← المجاور ؛

ظل التمام ← اللمس ← اللمس ← المجاور.

بادئ ذي بدء ، من الضروري أن نتذكر أن الجيب وجيب التمام والظل والظل كنسب لأضلاع المثلث لا تعتمد على أطوال هذه الجوانب (بزاوية واحدة). لا تثق؟ ثم تأكد من خلال النظر إلى الصورة:

ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، جيب التمام للزاوية \ (\ بيتا \). حسب التعريف ، من المثلث \ (ABC \): \ (\ cos \ beta = \ dfrac (AB) (AC) = \ dfrac (4) (6) = \ dfrac (2) (3) \)لكن يمكننا حساب جيب تمام الزاوية \ (\ بيتا \) من المثلث \ (AHI \): \ (\ cos \ beta = \ dfrac (AH) (AI) = \ dfrac (6) (9) = \ dfrac (2) (3) \). كما ترى ، أطوال الأضلاع مختلفة ، لكن قيمة جيب التمام لزاوية واحدة هي نفسها. وبالتالي ، فإن قيم الجيب وجيب التمام والظل والظل تعتمد فقط على حجم الزاوية.

إذا فهمت التعاريف ، فابدأ في إصلاحها!

للمثلث \ (ABC \) الموضح في الشكل أدناه نجد \ (\ sin \ \ alpha، \ \ cos \ \ alpha، \ tg \ \ alpha، \ ctg \ \ alpha \).

\ (\ start (array) (l) \ sin \ \ alpha = \ dfrac (4) (5) = 0.8 \\\ cos \ alpha = \ dfrac (3) (5) = 0.6 \\ tg \ alpha = \ dfrac (4) (3) \\ ctg \ \ alpha = \ dfrac (3) (4) = 0.75 \ end (array) \)

حسنًا ، هل فهمت ذلك؟ ثم جربها بنفسك: احسب نفس الزاوية \ (\ بيتا \).

الإجابات: \ (\ الخطيئة \ \ بيتا = 0.6 ؛ \ \ كوس \ \ بيتا = 0.8 ؛ \ tg \ \ بيتا = 0.75 ؛ \ ctg \ \ بيتا = \ dfrac (4) (3) \).

دائرة الوحدة (المثلثية)

لفهم مفاهيم الدرجة والراديان ، اعتبرنا دائرة نصف قطرها يساوي \ (1 \). تسمى هذه الدائرة غير مرتبطة. إنه مفيد للغاية في دراسة علم المثلثات. لذلك ، فإننا نتناولها بمزيد من التفصيل.

كما ترى ، هذه الدائرة مبنية في نظام الإحداثيات الديكارتية. نصف قطر الدائرة يساوي واحدًا ، بينما يقع مركز الدائرة عند نقطة الأصل ، والموضع الأولي لمتجه نصف القطر ثابت على طول الاتجاه الموجب للمحور \ (س \) (في مثالنا ، هذا هو نصف قطر \ (AB \)).

تتوافق كل نقطة على الدائرة مع رقمين: الإحداثي على طول المحور \ (س \) والإحداثيات على طول المحور \ (ص \). ما هي هذه الأرقام الإحداثيّة؟ وبشكل عام ، ما علاقتهم بالموضوع المطروح؟ للقيام بذلك ، تذكر معلومات المثلث القائم الزاوية. في الشكل أعلاه ، يمكنك أن ترى مثلثين قائمين كاملين. خذ بعين الاعتبار المثلث \ (ACG \). إنه مستطيل لأن \ (CG \) عمودي على المحور \ (س \).

ما هو \ (\ cos \ \ alpha \) من المثلث \ (ACG \)؟ هذا صحيح \ (\ cos \ \ alpha = \ dfrac (AG) (AC) \). إلى جانب ذلك ، نعلم أن \ (AC \) هو نصف قطر دائرة الوحدة ، لذلك \ (AC = 1 \). عوّض بهذه القيمة في صيغة جيب التمام. إليك ما يحدث:

\ (\ cos \ \ alpha = \ dfrac (AG) (AC) = \ dfrac (AG) (1) = AG \).

وما هو \ (\ sin \ \ alpha \) من المثلث \ (ACG \)؟ حسنا بالطبع، \ (\ sin \ alpha = \ dfrac (CG) (AC) \)! استبدل قيمة نصف القطر \ (AC \) في هذه الصيغة واحصل على:

\ (\ sin \ alpha = \ dfrac (CG) (AC) = \ dfrac (CG) (1) = CG \)

لذا ، هل يمكن أن تخبرني ما هي إحداثيات النقطة \ (ج \) التي تنتمي إلى الدائرة؟ حسنًا ، مستحيل؟ لكن ماذا لو أدركت أن \ (\ cos \ \ alpha \) و \ (\ sin \ alpha \) مجرد أرقام؟ ما هو التنسيق الذي يتوافق مع \ (\ cos \ alpha \)؟ حسنًا طبعا الإحداثي \ (س \)! وما هو التنسيق الذي يتوافق مع \ (\ sin \ alpha \)؟ هذا صحيح ، تنسيق \ (ص \)! لذا فإن النقطة \ (C (x؛ y) = C (\ cos \ alpha؛ \ sin \ alpha) \).

ما هي إذن \ (tg \ alpha \) و \ (ctg \ alpha \)؟ هذا صحيح ، دعنا نستخدم التعريفات المناسبة لـ tangent و cotangent ونحصل على ذلك \ (tg \ alpha = \ dfrac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) = \ dfrac (y) (x) \)، أ \ (ctg \ alpha = \ dfrac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha) = \ dfrac (x) (y) \).

ماذا لو كانت الزاوية أكبر؟ هنا على سبيل المثال كما في هذه الصورة:

ما الذي تغير في هذا المثال؟ دعونا نفهم ذلك. للقيام بذلك ، ننتقل مرة أخرى إلى مثلث قائم الزاوية. ضع في اعتبارك مثلث قائم الزاوية \ (((A) _ (1)) ((C) _ (1)) G \): زاوية (كما هو مجاور للزاوية \ (\ beta \)). ما هي قيمة الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية \ (((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = 180 () ^ \ circ - \ beta \)؟ هذا صحيح ، نحن نلتزم بالتعريفات المقابلة للوظائف المثلثية:

\ (\ start (array) (l) \ sin \ angle ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (( (أ) _ (1)) ((C) _ (1))) = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (1) = ((C) _ (1)) G = y ؛ \\\ cos \ angle ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (((A) _ (1)) ((C) _ (1))) = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (1) = ((A) _ (1)) G = x ؛ \\ tg \ زاوية ((C ) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (((A) _ (1)) G) = \ dfrac (y) ( x) ؛ \\ ctg \ angle ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (((C) _ (1 )) G) = \ dfrac (x) (y) \ end (array) \)

حسنًا ، كما ترى ، لا تزال قيمة جيب الزاوية تتوافق مع الإحداثيات \ (ص \) ؛ قيمة جيب التمام للزاوية - الإحداثيات \ (س \) ؛ وقيم الظل والظل للنسب المقابلة. وبالتالي ، فإن هذه العلاقات قابلة للتطبيق على أي دوران لمتجه نصف القطر.

لقد تم بالفعل ذكر أن الموضع الأولي لمتجه نصف القطر يقع على طول الاتجاه الإيجابي للمحور \ (س \). حتى الآن قمنا بتدوير هذا المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة ، ولكن ماذا يحدث إذا قمنا بتدويره في اتجاه عقارب الساعة؟ لا شيء غير عادي ، ستحصل أيضًا على زاوية بحجم معين ، لكنها ستكون سالبة فقط. وهكذا ، عند تدوير متجه نصف القطر عكس اتجاه عقارب الساعة ، نحصل على زوايا موجبة، وعند الدوران في اتجاه عقارب الساعة - نفي.

لذلك ، نعلم أن الثورة الكاملة لمتجه نصف القطر حول الدائرة هي \ (360 () ^ \ circ \) أو \ (2 \ pi \). هل من الممكن تدوير متجه نصف القطر بمقدار \ (390 () ^ \ circ \) أم بواسطة \ (- 1140 () ^ \ circ \)؟ حسنا بالطبع يمكنك! في الحالة الأولى، \ (390 () ^ \ circ = 360 () ^ \ circ +30 () ^ \ circ \)، لذلك فإن متجه نصف القطر سوف يقوم بدوران كامل ويتوقف عند \ (30 () ^ \ circ \) أو \ (\ dfrac (\ pi) (6) \).

في الحالة الثانية ، \ (- 1140 () ^ \ circ = -360 () ^ \ circ \ cdot 3-60 () ^ \ circ \)، أي أن متجه نصف القطر سيحدث ثلاث دورات كاملة ويتوقف عند الموضع \ (- 60 () ^ \ circ \) أو \ (- \ dfrac (\ pi) (3) \).

وبالتالي ، من الأمثلة أعلاه ، يمكننا أن نستنتج أن الزوايا تختلف بـ \ (360 () ^ \ circ \ cdot m \) أو \ (2 \ pi \ cdot m \) (حيث \ (m \) هو أي عدد صحيح) تتوافق مع نفس موضع متجه نصف القطر.

يوضح الشكل أدناه الزاوية \ (\ beta = -60 () ^ \ circ \). نفس الصورة تتوافق مع الزاوية \ (- 420 () ^ \ circ، -780 () ^ \ circ، \ 300 () ^ \ circ، 660 () ^ \ circ \)إلخ. يمكن أن تستمر هذه القائمة إلى أجل غير مسمى. يمكن كتابة كل هذه الزوايا بالصيغة العامة \ (\ بيتا +360 () ^ \ دائرة \ cdot م \)أو \ (\ beta +2 \ pi \ cdot m \) (حيث \ (m \) هو أي عدد صحيح)

\ (\ start (array) (l) -420 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot (-1)؛ \\ - 780 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot (-2) ؛ \\ 300 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot 1 ؛ \\ 660 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot 2. \ end (array) \)

الآن ، بعد معرفة تعريفات الدوال المثلثية الأساسية واستخدام دائرة الوحدة ، حاول الإجابة عن القيم التي تساويها:

\ (\ start (array) (l) \ sin \ 90 () ^ \ circ =؟ \\\ cos \ 90 () ^ \ circ =؟ \\\ text (tg) \ 90 () ^ \ circ =؟ \\\ text (ctg) \ 90 () ^ \ circ =؟ \\\ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi =؟ \\\ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ pi =؟ \\\ text (tg) \ 180 () ^ \ circ = \ text (tg) \ \ pi =؟ \\\ text (ctg) \ 180 () ^ \ circ = \ text (ctg) \ \ pi =؟ \\\ sin \ 270 () ^ \ circ =؟ \\\ cos \ 270 () ^ \ circ =؟ \\\ text (tg) \ 270 () ^ \ circ =؟ \\\ text (ctg) \ 270 () ^ \ circ =؟ \\\ sin \ 360 () ^ \ circ =؟ \\\ cos \ 360 () ^ \ circ =؟ \\\ text (tg) \ 360 () ^ \ circ =؟ \\\ text (ctg) \ 360 () ^ \ circ =؟ \\\ sin \ 450 () ^ \ circ =؟ \\\ cos \ 450 () ^ \ circ =؟ \\\ text (tg) \ 450 () ^ \ circ =؟ \\\ text (ctg) \ 450 () ^ \ circ =؟ \ end (array) \)

إليك دائرة الوحدة لمساعدتك:

أي صعوبات؟ ثم دعونا نكتشف ذلك. لذلك نحن نعلم أن:

\ (\ start (array) (l) \ sin \ alpha = y؛ \\ cos \ alpha = x؛ \\ tg \ alpha = \ dfrac (y) (x)؛ \\ ctg \ alpha = \ dfrac (x) ) (ص). \ نهاية (مجموعة) \)

من هنا نحدد إحداثيات النقاط المقابلة لقياسات معينة للزاوية. حسنًا ، لنبدأ بالترتيب: الزاوية \ (90 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (2) \)يتوافق مع نقطة ذات إحداثيات \ (\ يسار (0 ؛ 1 \ يمين) \) ، لذلك:

\ (\ الخطيئة 90 () ^ \ circ = y = 1 \) ؛

\ (\ cos 90 () ^ \ circ = x = 0 \) ؛

\ (\ text (tg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (y) (x) = \ dfrac (1) (0) \ Rightarrow \ text (tg) \ 90 () ^ \ circ \)- غير موجود؛

\ (\ text (ctg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (x) (y) = \ dfrac (0) (1) = 0 \).

علاوة على ذلك ، بالتمسك بالمنطق نفسه ، نجد أن الزوايا في \ (180 () ^ \ circ، \ 270 () ^ \ circ، \ 360 () ^ \ circ، \ 450 () ^ \ circ (= 360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ) \ \ )تتوافق مع النقاط مع الإحداثيات \ (\ left (-1؛ 0 \ right)، \ text () \ left (0؛ -1 \ right)، \ text () \ left (1؛ 0 \ right)، \ text () \ left (0 ؛ 1 \ الحق) \)، على التوالى. بمعرفة ذلك ، من السهل تحديد قيم الدوال المثلثية في النقاط المقابلة. جربها بنفسك أولاً ، ثم تحقق من الإجابات.

الإجابات:

\ (\ displaystyle \ sin 180 () ^ \ circ = sin \ pi = 0 \)

(displaystyle cos 180 () ^ circ = cos pi = -1)

\ (\ text (tg) \ 180 () ^ \ circ = \ text (tg) \ \ pi = \ dfrac (0) (- 1) = 0 \)

\ (\ text (ctg) \ 180 () ^ \ circ = \ text (ctg) \ \ pi = \ dfrac (-1) (0) \ Rightarrow \ text (ctg) \ \ pi \)- غير موجود

\ (\ الخطيئة \ 270 () ^ \ الدائرة = -1 \)

\ (\ كوس \ 270 () ^ \ الدائرة = 0 \)

\ (\ text (tg) \ 270 () ^ \ circ = \ dfrac (-1) (0) \ Rightarrow \ text (tg) \ 270 () ^ \ circ \)- غير موجود

\ (\ text (ctg) \ 270 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (- 1) = 0 \)

\ (\ الخطيئة \ 360 () ^ \ الدائرة = 0 \)

\ (\ cos \ 360 () ^ \ دائرة = 1 \)

\ (\ text (tg) \ 360 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (1) = 0 \)

\ (\ text (ctg) \ 360 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (0) \ Rightarrow \ text (ctg) \ 2 \ pi \)- غير موجود

\ (\ sin \ 450 () ^ \ circ = \ sin \ \ left (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ right) = \ sin \ 90 () ^ \ circ = 1 \)

\ (\ cos \ 450 () ^ \ circ = \ cos \ يسار (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ right) = cos \ 90 () ^ \ circ = 0 \)

\ (\ text (tg) \ 450 () ^ \ circ = \ text (tg) \ left (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ right) = text (tg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (0) \ Rightarrow \ text (tg) \ 450 () ^ \ circ \)- غير موجود

\ (\ text (ctg) \ 450 () ^ \ circ = \ text (ctg) \ left (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ right) = text (ctg) \ 90 () ^ \ Circ = \ dfrac (0) (1) = 0 \).

وهكذا يمكننا عمل الجدول التالي:

ليست هناك حاجة لتذكر كل هذه القيم. يكفي تذكر المراسلات بين إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة وقيم الدوال المثلثية:

\ (\ left. \ start (array) (l) \ sin \ alpha = y؛ \\ cos \ alpha = x؛ \\ tg \ alpha = \ dfrac (y) (x)؛ \\ ctg \ alpha = \ dfrac (x) (y). \ end (array) \ right \) \ text (تحتاج إلى التذكر أو القدرة على الإخراج !! \) !}

وإليك قيم الدوال المثلثية للزوايا في و \ (30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (6)، \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (4) \)في الجدول أدناه ، يجب أن تتذكر:

لا داعي للخوف ، سنعرض الآن أحد الأمثلة على حفظ بسيط إلى حد ما للقيم المقابلة:

لاستخدام هذه الطريقة ، من الضروري تذكر قيم الجيب لجميع مقاييس الزوايا الثلاث ( \ (30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (6)، \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (4)، \ 60 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi ) (3) \)) ، وكذلك قيمة ظل الزاوية في \ (30 () ^ \ circ \). من خلال معرفة قيم \ (4 \) هذه ، من السهل جدًا استعادة الجدول بأكمله - يتم نقل قيم جيب التمام وفقًا للأسهم ، أي:

\ (\ start (array) (l) \ sin 30 () ^ \ circ = \ cos \ 60 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (2) \ \ \ \ sin 45 () ^ \ circ = \ cos \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ sqrt (2)) (2) \ sin 60 () ^ \ circ = \ cos \ 30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ sqrt (3) )) (2) \ نهاية (مجموعة) \)

\ (\ text (tg) \ 30 () ^ \ circ \ = \ dfrac (1) (\ sqrt (3)) \)، مع العلم بهذا ، من الممكن استعادة قيم \ (\ text (tg) \ 45 () ^ \ circ، \ text (tg) \ 60 () ^ \ circ \). سيتطابق البسط "\ (1 \)" مع \ (\ text (tg) \ 45 () ^ \ circ \ \) ، وسيتطابق المقام \ (\ sqrt (\ text (3)) \) "\ (\ text (tg) \ 60 () ^ \ circ \ \). يتم نقل قيم ظل التمام وفقًا للأسهم الموضحة في الشكل. إذا فهمت هذا وتذكرت المخطط باستخدام الأسهم ، فسيكون ذلك كافيًا لتذكر قيم \ (4 \) فقط من الجدول.

إحداثيات نقطة على دائرة

هل يمكن إيجاد نقطة (إحداثياتها) على دائرة ، مع معرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها وزاوية دورانها؟ حسنا بالطبع يمكنك! لنشتق صيغة عامة لإيجاد إحداثيات نقطة. هنا ، على سبيل المثال ، لدينا مثل هذه الدائرة:

لقد أعطيت لنا هذه النقطة \ (ك ((س) _ (0)) ؛ ((ص) _ (0))) = ك (3 ؛ 2) \)هو مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة هو \ (1،5 \). من الضروري إيجاد إحداثيات النقطة \ (P \) التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة \ (O \) بمقدار \ (\ دلتا \) درجة.

كما يتضح من الشكل ، فإن إحداثيات \ (x \) للنقطة \ (P \) يتوافق مع طول المقطع \ (TP = UQ = UK + KQ \). يتوافق طول المقطع \ (المملكة المتحدة \) مع الإحداثي \ (س \) لمركز الدائرة ، أي أنه يساوي \ (3 \). يمكن التعبير عن طول المقطع \ (KQ \) باستخدام تعريف جيب التمام:

\ (\ cos \ \ delta = \ dfrac (KQ) (KP) = \ dfrac (KQ) (r) \ Rightarrow KQ = r \ cdot \ cos \ delta \).

ثم لدينا ذلك بالنسبة للنقطة \ (P \) الإحداثي \ (x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ delta = 3 + 1،5 \ cdot \ cos \ delta \).

بنفس المنطق ، نجد قيمة إحداثي y للنقطة \ (P \). في هذا الطريق،

\ (y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta = 2 + 1،5 \ cdot \ sin \ delta \).

لذلك ، بشكل عام ، يتم تحديد إحداثيات النقاط بواسطة الصيغ:

\ (\ start (array) (l) x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ delta \\ y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ دلتا \ نهاية (مجموعة) \)، أين

\ (((x) _ (0))، ((y) _ (0)) \) - إحداثيات مركز الدائرة ،

\ (r \) - دائرة نصف قطرها ،

\ (\ دلتا \) - زاوية دوران نصف قطر المتجه.

كما ترى ، بالنسبة لدائرة الوحدة التي ندرسها ، يتم تقليل هذه الصيغ بشكل كبير ، نظرًا لأن إحداثيات المركز تساوي صفرًا ونصف القطر يساوي واحدًا:

\ (\ start (array) (l) x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ delta = 0 + 1 \ cdot \ cos \ \ delta = \ cos \ \ delta \ y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta = 0 + 1 \ cdot \ sin \ delta = \ sin \ delta \ end (array) \)

جيب التمام هو دالة مثلثية معروفة ، وهي أيضًا إحدى الوظائف الرئيسية لعلم المثلثات. جيب تمام الزاوية في مثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة للمثلث إلى وتر المثلث. في أغلب الأحيان ، يرتبط تعريف جيب التمام بمثلث من نوع مستطيل تمامًا. ولكن يحدث أيضًا أن الزاوية التي يلزم حساب جيب التمام لها في مثلث من النوع المستطيل لا تقع في هذا المثلث من النوع المستطيل. ما العمل بعد ذلك؟ كيف تجد جيب التمام لزاوية مثلث؟

إذا كنت تريد حساب جيب التمام لزاوية في مثلث قائم الزاوية ، فكل شيء في غاية البساطة. ما عليك سوى تذكر تعريف جيب التمام ، حيث يكمن حل هذه المشكلة. كل ما تحتاجه هو إيجاد النسبة نفسها بين الضلع المجاورة ، وكذلك بين وتر المثلث. في الواقع ، ليس من الصعب هنا التعبير عن جيب التمام لزاوية. تبدو الصيغة كما يلي: - cosα = a / c ، هنا "a" هي طول الساق ، والجانب "c" ، على التوالي ، هو طول الوتر. على سبيل المثال ، يمكن إيجاد جيب تمام الزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية باستخدام هذه الصيغة.

إذا كنت مهتمًا بما يساوي جيب تمام الزاوية في مثلث عشوائي ، فإن نظرية جيب التمام تأتي للإنقاذ ، والتي يجب استخدامها في مثل هذه الحالات. تنص نظرية جيب التمام على أن مربع أحد أضلاع المثلث هو مسبقًا يساوي مجموع مربعات الأضلاع الأخرى للمثلث نفسه ، ولكن بدون ضعف حاصل ضرب هذين الضلعين بجيب جيب التمام للزاوية بينهما.

1. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد جيب التمام لزاوية حادة في مثلث ، فأنت بحاجة إلى استخدام الصيغة التالية: cosα \ u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. إذا كان من الضروري في المثلث إيجاد جيب التمام لزاوية منفرجة ، فأنت بحاجة إلى استخدام الصيغة التالية: cosα \ u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). التعيينات في الصيغة - أ وب - هي أطوال الأضلاع المجاورة للزاوية المرغوبة ، ج هي طول الضلع المقابل للزاوية المرغوبة.

أيضًا ، يمكن حساب جيب التمام لزاوية باستخدام نظرية الجيب. تقول أن جميع جوانب المثلث متناسبة مع جيوب الزوايا المقابلة. باستخدام نظرية الجيب ، يمكنك حساب العناصر المتبقية في المثلث ، بمعرفة ضلعين فقط وزاوية تقابل جانبًا واحدًا ، أو زاويتان وضلع واحد. تأمل في مثال. شروط المشكلة: أ = 1 ؛ ب = 2 ؛ ج = 3. الزاوية المقابلة للجانب "A" ، نشير إلى - α ، ثم وفقًا للصيغ ، لدينا: cosα \ u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \ u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 * 3) = (4 + 9-1) / 12 = 12/12 = 1. الجواب: 1.

إذا كان يلزم حساب جيب التمام للزاوية ليس في مثلث ، ولكن في شكل هندسي تعسفي آخر ، يصبح كل شيء أكثر تعقيدًا. يجب أولاً تحديد قيمة الزاوية بالتقدير الدائري أو الدرجات ، وبعد ذلك فقط احسب جيب التمام من هذه القيمة. يتم تحديد جيب التمام بالقيمة العددية باستخدام جداول Bradis أو الآلات الحاسبة الهندسية أو التطبيقات الرياضية الخاصة.

قد يكون للتطبيقات الرياضية الخاصة وظائف مثل الحساب التلقائي لجيب جيب التمام للزوايا في شكل معين. يكمن جمال هذه التطبيقات في أنها تقدم الإجابة الصحيحة ، ولا يقضي المستخدم وقته في حل المشكلات المعقدة أحيانًا. من ناحية أخرى ، مع الاستخدام المستمر للتطبيقات الحصرية لحل المشكلات ، تُفقد جميع المهارات الخاصة بالعمل مع حل المشكلات الرياضية لإيجاد جيب تمام الزوايا في المثلثات ، فضلاً عن الأشكال التعسفية الأخرى.

علم المثلثات هو أحد فروع الرياضيات التي يتعامل معها تلاميذ المدارس مع أكبر الصعوبات. لا عجب: من أجل إتقان هذا المجال من المعرفة بحرية ، فأنت بحاجة إلى التفكير المكاني ، والقدرة على إيجاد الجيب وجيب التمام والظلال والمظلات باستخدام الصيغ ، وتبسيط التعبيرات ، والقدرة على استخدام الرقم pi في العمليات الحسابية. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن تكون قادرًا على تطبيق علم المثلثات عند إثبات النظريات ، وهذا يتطلب إما ذاكرة رياضية مطورة أو القدرة على استنتاج سلاسل منطقية معقدة.

أصول علم المثلثات

يجب أن يبدأ التعرف على هذا العلم بتعريف الجيب وجيب التمام والظل للزاوية ، ولكن عليك أولاً معرفة ما يفعله علم المثلثات بشكل عام.

تاريخيًا ، كانت المثلثات القائمة على اليمين هي الهدف الرئيسي للدراسة في هذا القسم من العلوم الرياضية. إن وجود زاوية 90 درجة يجعل من الممكن إجراء عمليات مختلفة تسمح للشخص بتحديد قيم جميع معلمات الشكل قيد النظر باستخدام جانبين وزاوية واحدة أو زاويتين وجانب واحد. في الماضي ، لاحظ الناس هذا النمط وبدأوا في استخدامه بنشاط في تشييد المباني ، والملاحة ، وعلم الفلك ، وحتى الفن.

المرحلة الأولى

في البداية ، تحدث الناس عن علاقة الزوايا والأضلاع حصريًا بمثال المثلثات القائمة. ثم تم اكتشاف الصيغ الخاصة التي جعلت من الممكن توسيع حدود الاستخدام في الحياة اليومية لهذا القسم من الرياضيات.

تبدأ دراسة علم المثلثات في المدرسة اليوم بمثلثات قائمة الزاوية ، وبعد ذلك يتم استخدام المعرفة المكتسبة من قبل الطلاب في الفيزياء وحل المعادلات المثلثية المجردة ، والتي يبدأ العمل بها في المدرسة الثانوية.

علم المثلثات الكروية

في وقت لاحق ، عندما وصل العلم إلى المستوى التالي من التطور ، بدأ استخدام الصيغ ذات الجيب وجيب التمام والظل والظل في الهندسة الكروية ، حيث تنطبق القواعد الأخرى ، ومجموع الزوايا في المثلث دائمًا أكثر من 180 درجة. لم يتم دراسة هذا القسم في المدرسة ، ولكن من الضروري معرفة وجوده ، على الأقل لأن سطح الأرض ، وسطح أي كوكب آخر ، محدب ، مما يعني أن أي علامة على السطح ستكون "على شكل قوس" في مساحة ثلاثية الأبعاد.

خذ الكرة الأرضية وخيط. اربط الخيط بأي نقطتين على الكرة الأرضية بحيث يكون مشدودًا. انتبه - لقد اكتسب شكل قوس. بهذه الأشكال تتعامل الهندسة الكروية ، التي تُستخدم في الجيوديسيا ، وعلم الفلك ، وغيرهما من المجالات النظرية والتطبيقية.

مثلث قائم

بعد أن تعلمنا القليل عن طرق استخدام علم المثلثات ، دعنا نعود إلى علم المثلثات الأساسي لفهم ماهية الجيب وجيب التمام والظل ، وما هي الحسابات التي يمكن إجراؤها بمساعدتهم وما هي الصيغ التي يجب استخدامها.

الخطوة الأولى هي فهم المفاهيم المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية. أولًا ، الوتر هو الضلع المقابل للزاوية 90 درجة. هي الأطول. نتذكر أنه وفقًا لنظرية فيثاغورس ، فإن قيمتها العددية تساوي جذر مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

على سبيل المثال ، إذا كان طول ضلعين 3 و 4 سنتيمترات على التوالي ، فسيكون طول الوتر 5 سنتيمترات. بالمناسبة ، عرف المصريون القدماء عن هذا منذ حوالي أربعة آلاف ونصف سنة.

يسمى الجانبان المتبقيان اللذان يشكلان الزاوية اليمنى الأرجل. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن نتذكر أن مجموع زوايا المثلث في نظام إحداثيات مستطيل يساوي 180 درجة.

تعريف

أخيرًا ، بفهم قوي للقاعدة الهندسية ، يمكننا أن ننتقل إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل للزاوية.

جيب الزاوية هو نسبة الضلع المقابل (أي الضلع المقابل للزاوية المرغوبة) إلى الوتر. جيب تمام الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر.

تذكر أنه لا الجيب ولا جيب التمام يمكن أن يكون أكبر من واحد! لماذا ا؟ لأن الوتر هو الأطول بشكل افتراضي ، وبغض النظر عن طول الساق ، سيكون أقصر من الوتر ، مما يعني أن نسبته ستكون دائمًا أقل من واحد. وبالتالي ، إذا حصلت على شرط أو جيب التمام بقيمة أكبر من 1 في إجابة المشكلة ، فابحث عن خطأ في الحسابات أو التفكير. من الواضح أن هذه الإجابة خاطئة.

أخيرًا ، ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور. نفس النتيجة ستعطي قسمة الجيب على جيب التمام. انظر: وفقًا للصيغة ، نقسم طول الضلع على الوتر ، وبعد ذلك نقسم على طول الضلع الثاني ونضرب في الوتر. وبالتالي ، نحصل على نفس النسبة كما في تعريف الظل.

ظل التمام ، على التوالي ، هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى الضلع المقابل. نحصل على نفس النتيجة بقسمة الوحدة على الظل.

لذا ، فقد درسنا تعريفات ما هي الجيب وجيب التمام والظل والظل ، ويمكننا التعامل مع الصيغ.

أبسط الصيغ

في علم المثلثات ، لا يمكن للمرء الاستغناء عن الصيغ - كيف يمكن إيجاد الجيب وجيب التمام والظل والظل بدونها؟ وهذا بالضبط ما هو مطلوب عند حل المشكلات.

الصيغة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند البدء في دراسة علم المثلثات تنص على أن مجموع مربعي الجيب وجيب التمام لزاوية يساوي واحدًا. هذه الصيغة هي نتيجة مباشرة لنظرية فيثاغورس ، لكنها توفر الوقت إذا كنت تريد معرفة قيمة الزاوية ، وليس الضلع.

لا يستطيع العديد من الطلاب تذكر الصيغة الثانية ، والتي تحظى أيضًا بشعبية كبيرة عند حل مشكلات المدرسة: مجموع واحد ومربع ظل الزاوية يساوي واحدًا مقسومًا على مربع جيب تمام الزاوية. ألقِ نظرة فاحصة: بعد كل شيء ، هذا هو نفس البيان كما في الصيغة الأولى ، تم تقسيم جانبي الهوية فقط على مربع جيب التمام. اتضح أن عملية حسابية بسيطة تجعل الصيغة المثلثية غير معروفة تمامًا. تذكر: معرفة ما هي الجيب وجيب التمام والظل والظل ، وقواعد التحويل وبعض الصيغ الأساسية ، يمكنك في أي وقت اشتقاق الصيغ الأكثر تعقيدًا المطلوبة بشكل مستقل على ورقة.

صيغ الزاوية المزدوجة وإضافة الوسيطات

هناك صيغتان أخريان تحتاج إلى تعلمهما تتعلقان بقيم الجيب وجيب التمام لمجموع الزوايا وفرقها. يتم عرضها في الشكل أدناه. يرجى ملاحظة أنه في الحالة الأولى ، يتم ضرب الجيب وجيب التمام في المرتين ، وفي الحالة الثانية ، يُضاف حاصل الضرب الزوجي للجيب وجيب التمام.

هناك أيضًا صيغ مرتبطة بحجج مزدوجة الزاوية. إنها مشتقة تمامًا من سابقاتها - كممارسة ، حاول الحصول عليها بنفسك ، مع أخذ زاوية ألفا مساوية لزاوية بيتا.

أخيرًا ، لاحظ أنه يمكن تحويل صيغ الزاوية المزدوجة لتقليل درجة الجيب وجيب التمام والظل ألفا.

نظريات

النظريتان الرئيسيتان في علم المثلثات الأساسيان هما نظرية الجيب ونظرية جيب التمام. بمساعدة هذه النظريات ، يمكنك بسهولة فهم كيفية العثور على الجيب وجيب التمام والظل ، وبالتالي مساحة الشكل وحجم كل جانب ، إلخ.

تنص نظرية الجيب على أنه نتيجة قسمة طول كل جانب من ضلعي المثلث على قيمة الزاوية المقابلة ، نحصل على نفس العدد. علاوة على ذلك ، سيكون هذا الرقم مساويًا لنصف قطر الدائرة المقيدة ، أي الدائرة التي تحتوي على جميع نقاط المثلث المحدد.

تعمم نظرية جيب التمام نظرية فيثاغورس ، وتسقطها على أي مثلثات. اتضح أنه من مجموع مربعي الضلعين ، اطرح حاصل ضربهما مضروبًا في جيب التمام المزدوج للزاوية المجاورة لهما - ستكون القيمة الناتجة مساوية لمربع الضلع الثالث. وهكذا ، تبين أن نظرية فيثاغورس حالة خاصة من نظرية جيب التمام.

أخطاء ناتجة عن عدم الانتباه

حتى مع معرفة ماهية الجيب وجيب التمام والظل ، فمن السهل ارتكاب خطأ بسبب شرود الذهن أو خطأ في أبسط الحسابات. لتجنب مثل هذه الأخطاء ، دعنا نتعرف على أكثرها شهرة.

أولاً ، لا يجب تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية حتى يتم الحصول على النتيجة النهائية - يمكنك ترك الإجابة ككسر عادي ، ما لم ينص الشرط على خلاف ذلك. لا يمكن وصف مثل هذا التحول بالخطأ ، ولكن يجب أن نتذكر أنه في كل مرحلة من مراحل المهمة ، قد تظهر جذور جديدة ، والتي ، وفقًا لفكرة المؤلف ، يجب تقليصها. في هذه الحالة ، سوف تضيع الوقت في عمليات حسابية غير ضرورية. هذا صحيح بشكل خاص لقيم مثل جذر ثلاثة أو اثنين ، لأنها تحدث في المهام في كل خطوة. الأمر نفسه ينطبق على تقريب الأرقام "القبيحة".

علاوة على ذلك ، لاحظ أن نظرية جيب التمام تنطبق على أي مثلث ، لكن ليس نظرية فيثاغورس! إذا نسيت عن طريق الخطأ طرح ضعف حاصل ضرب الأضلاع في جيب تمام الزاوية بينهما ، فلن تحصل على نتيجة خاطئة تمامًا فحسب ، بل ستظهر أيضًا سوء فهم كامل للموضوع. هذا هو أسوأ من خطأ الإهمال.

ثالثًا ، لا تخلط بين قيم الزوايا 30 و 60 درجة للجيب وجيب التمام والظل والظل. تذكر هذه القيم ، لأن جيب الزاوية 30 درجة يساوي جيب التمام 60 ، والعكس صحيح. من السهل خلطها ، ونتيجة لذلك ستحصل حتمًا على نتيجة خاطئة.

طلب

كثير من الطلاب ليسوا في عجلة من أمرهم لبدء دراسة علم المثلثات ، لأنهم لا يفهمون معناها التطبيقي. ما هو الجيب وجيب التمام والظل للمهندس أو الفلكي؟ هذه هي المفاهيم التي بفضلها يمكنك حساب المسافة إلى النجوم البعيدة ، والتنبؤ بسقوط نيزك ، وإرسال مسبار بحث إلى كوكب آخر. بدونها ، من المستحيل بناء مبنى أو تصميم سيارة أو حساب الحمل على السطح أو مسار كائن ما. وهذه ليست سوى الأمثلة الأكثر وضوحًا! بعد كل شيء ، يتم استخدام علم المثلثات بشكل أو بآخر في كل مكان ، من الموسيقى إلى الطب.

أخيراً

إذن أنت شرط ، جيب تمام ، ظل. يمكنك استخدامها في العمليات الحسابية وحل مشاكل المدرسة بنجاح.

يتلخص جوهر علم المثلثات بأكمله في حقيقة أنه يجب حساب المعلمات غير المعروفة من المعلمات المعروفة للمثلث. هناك ستة معامِلات في المجموع: أطوال الأضلاع الثلاثة وقياسات الزوايا الثلاث. يكمن الاختلاف الكامل في المهام في حقيقة أنه يتم تقديم بيانات إدخال مختلفة.

كيف تجد الجيب وجيب التمام والظل بناءً على الأطوال المعروفة للساقين أو الوتر ، كما تعلم الآن. نظرًا لأن هذه المصطلحات لا تعني أكثر من نسبة ، والنسبة هي كسر ، فإن الهدف الرئيسي للمسألة المثلثية هو إيجاد جذور معادلة عادية أو نظام معادلات. وهنا سوف تساعدك الرياضيات المدرسية العادية.

مفاهيم الجيب وجيب التمام والظل والظل هي الفئات الرئيسية لعلم المثلثات - فرع من الرياضيات ، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بتعريف الزاوية. يتطلب امتلاك هذا العلم الرياضي حفظ الصيغ والنظريات وفهمها ، فضلاً عن تطوير التفكير المكاني. هذا هو السبب في أن الحسابات المثلثية غالبًا ما تسبب صعوبات لأطفال المدارس والطلاب. للتغلب عليها ، يجب أن تصبح أكثر دراية بالوظائف والصيغ المثلثية.

مفاهيم في علم المثلثات

لفهم المفاهيم الأساسية لعلم المثلثات ، يجب عليك أولاً تحديد ما هو المثلث القائم الزاوية والزاوية في الدائرة ، ولماذا ترتبط جميع الحسابات المثلثية الأساسية بهما. المثلث الذي تكون إحدى زواياه 90 درجة هو مثلث قائم الزاوية. تاريخيًا ، غالبًا ما استخدم هذا الرقم من قبل الناس في الهندسة المعمارية والملاحة والفن وعلم الفلك. وفقًا لذلك ، عند دراسة وتحليل خصائص هذا الرقم ، توصل الناس إلى حساب النسب المقابلة لمعلماته.

الفئات الرئيسية المرتبطة بالمثلثات القائمة هي الوتر والساق. الوتر هو ضلع مثلث يقابل الزاوية القائمة. الساقان ، على التوالي ، هما الجانبان الآخران. دائمًا ما يكون مجموع زوايا أي مثلث 180 درجة.

علم المثلثات الكروي هو قسم من علم المثلثات لم يدرس في المدرسة ، ولكن في العلوم التطبيقية مثل علم الفلك والجيوديسيا ، يستخدمه العلماء. من سمات المثلث في علم المثلثات الكروي أنه دائمًا ما يحتوي على مجموع زوايا أكبر من 180 درجة.

زوايا المثلث

في المثلث القائم ، جيب الزاوية هو نسبة الضلع المقابلة للزاوية المرغوبة على وتر المثلث. وفقًا لذلك ، فإن جيب التمام هو نسبة الضلع المجاورة والوتر. تحتوي كلتا القيمتين دائمًا على قيمة أقل من واحد ، لأن الوتر دائمًا أطول من الضلع.

ظل الزاوية هو قيمة مساوية لنسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور للزاوية المرغوبة ، أو الجيب إلى جيب التمام. ظل التمام ، بدوره ، هو نسبة الضلع المجاور للزاوية المرغوبة إلى الصبار المقابل. يمكن أيضًا الحصول على ظل التمام لزاوية بقسمة الوحدة على قيمة الظل.

دائرة الوحدة

دائرة الوحدة في الهندسة هي دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا. يتم إنشاء هذه الدائرة في نظام الإحداثيات الديكارتية ، حيث يتزامن مركز الدائرة مع نقطة الأصل ، ويتم تحديد الموضع الأولي لمتجه نصف القطر بالاتجاه الإيجابي للمحور X (محور الإحداثيات). كل نقطة في الدائرة لها إحداثيان: XX و YY ، أي إحداثيات الإحداثي والإحداثيات. باختيار أي نقطة على الدائرة في المستوى XX ، وإسقاط الخط العمودي منها على محور الإحداثيات ، نحصل على مثلث قائم الزاوية مكون من نصف قطر للنقطة المحددة (دعنا نشير إليه بالحرف C) ، عمودي مرسوم على المحور X (يُشار إلى نقطة التقاطع بالحرف G) ، والمقطع هو محور الإحداثي بين الأصل (يُشار إلى النقطة بالحرف A) ونقطة التقاطع G. والمثلث الناتج ACG هو مثلث قائم الزاوية محفور في دائرة ، حيث AG هو الوتر ، و AC و GC هي الأرجل. الزاوية بين نصف قطر الدائرة AC والجزء الخاص بمحور الإحداثي مع التعيين AG ، نعرّفها على أنها α (ألفا). إذن ، cos α = AG / AC. إذا كان AC هو نصف قطر دائرة الوحدة ، وهو يساوي واحدًا ، فقد اتضح أن cos α = AG. وبالمثل ، sin α = CG.

بالإضافة إلى ذلك ، بمعرفة هذه البيانات ، من الممكن تحديد إحداثيات النقطة C على الدائرة ، بما أن cos α = AG ، و sin α = CG ، مما يعني أن النقطة C لها الإحداثيات المحددة (cos α ؛ sin α). مع العلم أن الظل يساوي نسبة الجيب إلى جيب التمام ، يمكننا تحديد ذلك tg α \ u003d y / x و ctg α \ u003d x / y. بالنظر إلى الزوايا في نظام إحداثيات سالب ، يمكن للمرء أن يحسب أن قيم الجيب وجيب التمام لبعض الزوايا يمكن أن تكون سالبة.

الحسابات والصيغ الأساسية

قيم الدوال المثلثية

بعد النظر في جوهر الدوال المثلثية من خلال دائرة الوحدة ، يمكننا اشتقاق قيم هذه الدوال لبعض الزوايا. تم سرد القيم في الجدول أدناه.

أبسط المتطابقات المثلثية

تسمى المعادلات التي توجد فيها قيمة غير معروفة تحت علامة الدالة المثلثية. المتطابقات ذات القيمة sin x = α ، k هي أي عدد صحيح:

1. الخطيئة س = 0 ، س = π ك.
2. 2. الخطيئة س \ u003d 1 ، س \ u003d π / 2 + 2π ك.
3. الخطيئة س \ u003d -1 ، س \ u003d-/ 2 + 2πk.
4. الخطيئة س = أ ، | أ | > 1 ، لا توجد حلول.
5. الخطيئة س = أ ، | أ | ≦ 1، x = (-1) ^ k * arcsin α + k.

المتطابقات ذات القيمة cos x = a ، حيث k هي أي عدد صحيح:

1. كوس س = 0 ، س = / 2 + ك.
2. كوس س = 1 ، س = 2π ك.
3. كوس س \ u003d -1 ، س \ u003d π + 2π ك.
4. كوس س = أ ، | أ | > 1 ، لا توجد حلول.
5. كوس س = أ ، | أ | ≦ 1 ، х = ± arccos α + 2πk.

المتطابقات ذات القيمة tg x = a ، حيث k هي أي عدد صحيح:

1. tg x = 0 ، x = / 2 + k.
2. tg x \ u003d a ، x \ u003d arctg α + πk.

المتطابقات ذات القيمة ctg x = a ، حيث k هي أي عدد صحيح:

1. ctg x = 0 ، x = / 2 + k.
2. ctg x \ u003d a ، x \ u003d arcctg α + πk.

صيغ الصب

تشير هذه الفئة من الصيغ الثابتة إلى الطرق التي يمكنك من خلالها الانتقال من الدوال المثلثية للنموذج إلى وظائف الوسيطة ، أي تحويل الجيب وجيب التمام والظل والتظل لزاوية أي قيمة إلى المؤشرات المقابلة لزاوية الفاصل الزمني من 0 إلى 90 درجة لمزيد من الراحة في العمليات الحسابية.

تبدو صيغ تقليل الوظائف لجيب الزاوية كما يلي:

• الخطيئة (900 - α) = α ؛
• الخطيئة (900 + α) = cos α ؛
• الخطيئة (1800 - α) = الخطيئة α ؛
• الخطيئة (1800 + α) = -sin α ؛
• الخطيئة (2700 - α) = -cos α ؛
• الخطيئة (2700 + α) = -cos α ؛
• الخطيئة (3600 - α) = -sin α ؛
• الخطيئة (3600 + α) = الخطيئة α.

لجيب الزاوية:

• كوس (900 - α) = sin α ؛
• كوس (900 + α) = -sin α ؛
• كوس (1800 - α) = -cos α ؛
• كوس (1800 + α) = -cos α ؛
• كوس (2700 - α) = -sin α ؛
• كوس (2700 + α) = sin α ؛
• كوس (3600 - α) = كوس α ؛
• كوس (3600 + α) = كوس α.

يمكن استخدام الصيغ أعلاه وفقًا لقاعدتين. أولاً ، إذا كان من الممكن تمثيل الزاوية كقيمة (π / 2 ± a) أو (3π / 2 ± a) ، تتغير قيمة الوظيفة:

• من الخطيئة إلى كوس.
• من جيب التمام إلى الخطيئة ؛
• من tg إلى ctg ؛
• من ctg إلى tg.

تظل قيمة الوظيفة دون تغيير إذا كان من الممكن تمثيل الزاوية على أنها (π ± a) أو (2π ± a).

ثانيًا ، لا تتغير علامة الدالة المختصرة: إذا كانت موجبة في البداية ، فإنها تظل كذلك. نفس الشيء صحيح بالنسبة للوظائف السالبة.

صيغ الجمع

تعبر هذه الصيغ عن قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لمجموع وفرق زاويتين من زاويتين من حيث وظائفهما المثلثية. عادة ما يشار إلى الزوايا على أنها α و.

تبدو الصيغ كما يلي:

1. الخطيئة (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. تان (α ± β) = (تان α ± تان β) / (1 ∓ تان α * تان β).
4. ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

هذه الصيغ صالحة لأي زوايا α و.

صيغ مزدوجة وثلاثية الزاوية

الصيغ المثلثية للزاوية المزدوجة والثلاثية هي صيغ تربط وظائف الزاويتين 2α و 3α ، على التوالي ، بالوظائف المثلثية للزاوية α. مشتق من صيغ الإضافة:

1. sin2α = 2sinα * cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin ^ 2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3α.
5. cos3α = 4cos ^ 3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg ^ 3 α) / (1-tg ^ 2 α).

الانتقال من المجموع إلى المنتج

بالنظر إلى أن 2sinx * cozy = sin (x + y) + sin (x-y) ، وبتبسيط هذه الصيغة ، نحصل على الهوية sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. وبالمثل ، sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2 ؛ cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2 ؛ cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2 ؛ tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ ؛ tgα - tgβ = sin (α - β) / cosα * cosβ ؛ cosα + sinα = 2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

الانتقال من المنتج إلى المجموع

تتبع هذه الصيغ من الهويات الخاصة بانتقال المجموع إلى المنتج:

• sinα * sinβ = 1/2 * ؛
• cosα * cosβ = 1/2 * ؛
• sinα * cosβ = 1/2 *.

صيغ التخفيض

في هذه المتطابقات ، يمكن التعبير عن القوى التربيعية والتكعيبية للجيب وجيب التمام بدلالة الجيب وجيب التمام للقوة الأولى لزاوية متعددة:

• الخطيئة ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2 ؛
• cos ^ 2α = (1 + cos2α) / 2 ؛
• الخطيئة ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4 ؛
• cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4 ؛
• الخطيئة ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8 ؛
• كوس ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

استبدال شامل

تعبر صيغ الاستبدال المثلثية العامة عن الدوال المثلثية بدلالة مماس نصف زاوية.

• الخطيئة x \ u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2) ، بينما x \ u003d π + 2πn ؛
• cos x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (1 + tg ^ 2 x / 2) ، حيث x = π + 2πn ؛
• tg x \ u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2) ، حيث x \ u003d π + 2πn ؛
• ctg x \ u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2) ، بينما x \ u003d π + 2πn.

حالات خاصة

ترد أدناه حالات خاصة من أبسط المعادلات المثلثية (k هو أي عدد صحيح).

خاص بجيب:

حاصل جيب التمام:

خاص لـ tangent:

قسمة ظل التمام:

نظريات

نظرية الجيب

هناك نسختان من النظرية - بسيطة وممتدة. نظرية الجيب البسيطة: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. في هذه الحالة ، أ ، ب ، ج هي أضلاع المثلث ، و α ، ، هي الزوايا المتقابلة على التوالي.

نظرية الجيب الموسعة لمثلث عشوائي: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. في هذه المطابقة ، يشير R إلى نصف قطر الدائرة التي يوجد بها المثلث المحدد.

نظرية جيب التمام

يتم عرض الهوية بهذه الطريقة: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. في الصيغة ، a ، b ، c هي أضلاع المثلث ، و α هي الزاوية المقابلة للضلع a.

نظرية الظل

تعبر الصيغة عن العلاقة بين مماس زاويتين وطول الضلع المقابل لهما. الأضلاع مسماة أ ، ب ، ج ، والزوايا المقابلة المقابلة هي α ، β ، γ. صيغة نظرية الظل: (أ - ب) / (أ + ب) = tg ((α - β) / 2) / tg ((α + β) / 2).

نظرية ظل التمام

يربط نصف قطر دائرة منقوشة في مثلث بطول أضلاعها. إذا كانت أ ، ب ، ج هي أضلاع المثلث ، و أ ، ب ، ج ، على التوالي ، زواياهما المتقابلة ، و r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة ، و p نصف محيط المثلث ، فإن المتطابقات التالية يمسك:

• ctg A / 2 = (p-a) / r ؛
• ctg B / 2 = (p-b) / r ؛
• ctg C / 2 = (p-c) / r.

التطبيقات

علم المثلثات ليس فقط علمًا نظريًا مرتبطًا بالصيغ الرياضية. تُستخدم خصائصها ونظرياتها وقواعدها في الممارسة من قبل فروع مختلفة من النشاط البشري - علم الفلك والملاحة الجوية والبحرية ونظرية الموسيقى والجيوديسيا والكيمياء والصوتيات والبصريات والإلكترونيات والهندسة المعمارية والاقتصاد والهندسة الميكانيكية وقياس العمل ورسومات الكمبيوتر ، علم الخرائط وعلم المحيطات وغيرها الكثير.

الجيب وجيب التمام والظل والظل هي المفاهيم الأساسية لعلم المثلثات ، والتي يمكنك من خلالها التعبير رياضيًا عن العلاقة بين الزوايا وأطوال الأضلاع في المثلث ، والعثور على الكميات المرغوبة من خلال المتطابقات والنظريات والقواعد.